METODE NUMERIK TKM4104
Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yang utama untuk menurunkan suatu metode numerik.
o Deret Taylor berguna untuk menghampiri fungsi ke dalam bentuk polinom o Fungsi yang rumit menjadi sederhana dengan deret Taylor
DERET TAYLOR Definisi : Andai kata f dan semua turunannya, f ’,f ’’,f ’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :
DERET TAYLOR Jika (x-xo)=h, maka :
Contoh : Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f ’’’(x) = - cos(x) f ’(x) = -cos(x) f(4)(x) = sin(x) f ’’(x) = - sin(x) dst.
DERET TAYLOR maka : h2 h3 h4 f ( x) sin( x) sin(1) h cos(1) sin(1) cos(1) sin(1) ... 2 6 24
f ( x) 0,8415 0,5403h 0,4208h 2 0,0901h3 0,0351h4 ...
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku. Contoh 1 : f(x)= sin(x) dimana xo = 0
DERET TAYLOR Penyelesaian :
h2 h3 f ( x) sin( x) sin(0) h cos(0) sin(0) cos(0) 2 6 x3 x5 f ( x) sin( x) x ... 6 120
Contoh 2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian : ( x 0) 0 ( x 0) 2 0 ( x 0)3 ( x 0) 4 0 f ( x) e e e e e ... 1! 2! 3! 4! x
0
2 3 4 x x x f ( x) e x 1 x e0 ... 2! 3! 4!
DERET TAYLOR Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: ( x xo ) ' ( x xo ) 2 '' ( x xo ) n ( n) f ( x) f ( xo ) f ( x0 ) f ( xo ) .... f ( xo ) Rn ( x) 1! 2! n! ( x xo ) ( n 1) ( n 1) Rn ( x) f (c); xo c x disebut galat / sisa (residu ) (n 1)!
DERET TAYLOR Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis : f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
dimana : ( x xo ) k k Pn ( x) f ( xo ) k! k 1 n
( x xo ) ( n 1) ( n 1) Rn ( x) f (c ) (n 1)!
DERET TAYLOR Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n Penyelesaian : ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 P4 ( x) sin(1) cos(1) sin(1) cos(1) sin(1) 1! 2! 3! 4!
( x 1) ( 41) ( 41) ( x 1)5 Galat R4 ( x) f (c ) cos(c) (4 1)! 5!
ANALISIS GALAT a. Apa itu galat?
b. Mengapa harus ada galat? c. Bagaimana menghitung galat? d. Bagaimana galat timbul?
ANALISIS GALAT o Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) terhadap solusi eksak o Galat (ε) adalah perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak.
o Definisi: ε= a - â
ANALISIS GALAT ^
Galat Mutlak a a
Galat relatif : R
a
x 100%
Galat relatif hampiran : RA
^
a
x 100%
ANALISIS GALAT Misalkan : ^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka : ^
a a disebut galat
Contoh : ^
a 10,5; a 10,45
10,45 10,5 0,05
Contoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat ! (b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif ! (d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian : (a). Galat : ε = a-â = 10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333
^ (b). Galat Mutlak a a 0,000333 (c). Galat relatif : R
a
0,000333 x 100% 0,01% (10/3) 0,000333 1 ^ x 100% x 100% 3,333 999 a
x 100%
(d). Galat relatif hampiran : RA
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (iteration), εRA dihitung dengan cara :
RA dimana :
ar 1 ar ar 1
ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang ar
= nilai hampiran lelaran sebelumnya
Proses lelaran dihentikan bila : |εRA| < εS εS = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil εS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya Contoh : Diketahui : Xr+1=(Xr3 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; εs= 0,00001 Hitung : εRA !
Penyelesaian : Xo = 0,5 X1 = 0,4791667;
RA
(X1 X o ) 0,043478 s X1
X2 = 0,4816638;
RA
(X 2 X1 ) 0,0051843 s X2
X3 = 0,4813757;
RA
(X 3 X 2 ) 0,0005984 s X3
X4 = 0,4814091;
RA
(X 4 X 3 ) 0,0000693 s X4
X5 = 0,4814052;
RA
(X 5 X 4 ) 0,0000081 s , berhenti ! X5
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman
GALAT PEMOTONGAN o Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. o Ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana o Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.
Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :
f
'
( x1 )
f ( xi 1 ) f ( xi ) h
dimana : h = lebar absis xi+1 Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f ’(x) = - sin(x) f ’’(x) = - cos(x)
Maka :
x 2 x 4 x 6 x 8 x10 f ( x) cos( x) 1 ...... 2! 4! 6! 8! 10!
Nilai hampiran
Galat pemotongan
Galat pemotongan : ( x xo ) ( n1) ( n 1) Rn ( x) f (c ) (n 1)! ( x 0) ( 41) ( 41) x5 R4 ( x) f (c) cos(c) (4 1)! 5!
Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :
Rn ( x) Maks xo c x
( n 1) (x x ) o f ( n 1) (c) (n 1)!
Contoh-1 : Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat ! Penyelesaian : f(x) = ln(x)
f(1) = 0
f’(x) = 1/x
f’(x) = 1
f’’(x) = -1/x2
f’(x) = -1
f’’’(x) = 2/x3
f’’’’(x) = 2
f(4)(x) = - 6/x4
f(4)(x) = -6
f(5)(x) = 24/x5
f(5)(c) = 24/c5
Deret Taylor : ( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 ln( x) ( x 1) R4 ( x) 2 3 4 (0,1) 2 (0,1)3 (0,1) 4 ln(0,9) 0,1 R4 ( x) 2 3 4
ln(0,9) 0,1053583 R4 ( x) R4 (0,9) Maks 0 , 9 c 1
24 (-0,1)5 x 0,0000034 5 c 5!
Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan < 0,0000034.
Contoh-2 : Hampiri nilai
1
e
x2
dx
secara numerik, yaitu :
f ( x) e x
2
0
dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian : Deret Maclaurin orde 8 dari ex
2
f ( x) e
x2
adalah :
4 6 8 x x x 1 x2 2! 3! 4!
1
1
x 4 x 6 x8 0 e dx 0 (1 x 2! 3! 4! )dx x
2
2
x3 x5 x 7 x9 x 1 1 1 1 1 x 1 1,4617724 3 10 42 216 x 0 3 10 42 216
GALAT PEMBULATAN o Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan nyata
o Dengan aplikasi computer, semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat o Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan.
Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).
ANGKA BENA Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
GALAT TOTAL Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh :
(0,2) 2 (0,2) 4 Cos(0,2) 1 0,9800667 2 24 Galat pemotongan
Galat pembulatan
Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.
