DERET DAN APROKSIMASI DERET MACLAURIN DERET TAYLOR COURTESY: IDRIS M. KAMIL DAN ROFIQ IQBAL
TUJUAN • Kenapa perlu perkiraan? • Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana – polynomial. • Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan mudah. • Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi sebenarnya.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0; • Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta, sehingga:
p0 ( x) a0
• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order polynomial approximation; • Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0. • Sehingga:
p0 ( x) f (0)
f(x)
2
1.5
y
p ( x)
1
0.5 -1
-0.5
0 x
0.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Contoh
1 f ( x) 1 x
1 f (0) 1 p0 ( x) 1 1
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS f(x)
2
Tidak akurat
Kurang akurat
1.5
y
p 0 ( x)
1
Sangat akurat 0.5 -1
-0.5
0 x
0.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan menggunakan aproksimasi linier (1st order approximation);
p1 ( x) a0 a1 x
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Menyamakan perpotongan:
p1 (0) f (0) a0 a1 0 f (0) a0 f (0) • Menyamakan slope:
p1 (0) f (0) a1 f (0)
• Sehingga polinom nya:
p1 (0) f (0) f (0) x
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Contoh
1 f ( x) 1 x p1 ( x) a0 a1 x 1 f (0) 1 a0 f (0) 1 1 0 1 f (0) 1 a1 f (0) 1 2 1 x
p1 ( x) 1 x
INGAT, METODE NEWTON RAPHSON tangent f(xi)
xi+1
xi
dy tangent f' dx f xi 0 f ' xi xi xi1 rearrange f xi xi1 xi f ' xi
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS f(x)
2
f(x)
2
p 1 ( x)
1.5
Masih ‘lumayan’ sampai disini
1.5
y
y
1
p 0 ( x)
1
0.5 -1
-0.5
0
0.5
x
0.5 -1
-0.5
0 x
0.5
p 0 ( x)
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:
p2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva (turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Menyamakan perpotongan:
p2 (0) f (0) a0 a1 0 a2 0 f (0) 2
a0 f (0) • Menyamakan kemiringan:
p2 (0) f (0) a1 2a2 0 f (0)
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Mencocokkan kurva (turunan ke 2):
p2(0) f (0) 2a2 f (0)
• Memberikan polinom
1 a2 f (0) 2
1 2 p2 ( x) f (0) f (0) x f (0) x 2
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Contoh
1 f ( x) 1 x p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
• Dari sebelumnya:
a0 1, a1 1
2 2a2 f (0) 2 3 1 x a2 1 f ( x)
p2 ( x) 1 x x
2
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS f(x)
2
p 2 (x)f(x)
2
1.5
p 1 ( x)
Lebih ‘lumayan’ lagi ya..
p 1 ( x)
1.5
y y
p 0 ( x)
1
p 0 ( x)
1
0.5 -1
0.5 -1
-0.5
-0.5
0 x
x
0
0.5
0.5
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga n derajad. • Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:
f ( x) pn ( x) f (0) f (0) x 2
n
x x (n) f (0) f (0) 2! n!
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS • Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan penambahan polinom; • Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).
POLYNOMIAL APPROXIMATIONS
f(x)
2
p 6 ( x) p 2 ( x)
p 1 ( x)
1.5
y
p 0 ( x)
1
0.5 -1
-0.5
0 x
0.5
MACLAURIN (POWER) SERIES • Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga
f ( x) f (0) f (0) x 2
n
x x (n) f (0) f (0) 2! n! • Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
TAYLOR SERIES • Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai x 0 • Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. x x0 • Ini disebut Taylor Series. • Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0
TAYLOR SERIES • Rumus umum Deret Taylor: ( x x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 2! n ( x x ) 0 f ( n ) ( x0 ) n! n ( x x ) 0 f ( n ) ( x0 ) n! n 0
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0 0.5 0.0
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0 0.5
T0 ( x) f (0.35)
0.0
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T1 ( x) f (0.35)
0.5 0.0
f '(0.35) x 0.35
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T2 ( x) f (0.35)
0.5 0.0
f '(0.35) x 0.35
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
f ''(0.35) x 0.35 1 2
2
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives! 1.0
What is f(x) near x=0.35?
T10 ( x)
0.5
T2 ( x) f (0.35)
0.0
f '(0.35) x 0.35
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
f ''(0.35) x 0.35 1 2
X 1.00
N
TN ( x) i 0
f
(i )
a x a i!
i
2
TAYLOR SERIES
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
Most Common: 1st Order
1.0
T1 ( x) f (a)
0.5 0.0
f '(a) x a
-0.5 -1.0 0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
• Look out for “approximate” or “when x is small” or “small angle” or “close to” …
CONTOH – TAYLOR SERIES • Bentuklah Deret Taylor untuk:
f ( x) ln( x),
x0 1
• Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1
CONTOH – TAYLOR SERIES f ( x) ln( x) f ( x0 ) ln(1) 0
1 f ( x0 ) 1 1 1 1 f ( x) 2 f ( x0 ) 2 1 x 1 2 2 f ( x) 3 f ( x0 ) 3 2 x 1 f ( x)
f
(n)
1 x
(n 1)!(1) n 1 ( x) xn (n 1)!(1) n 1 (n) n 1 f ( x0 ) ( n 1 )! ( 1 ) 1n
CONTOH – TAYLOR SERIES • Gunakan Rumus Umum Deret Taylor: ( x x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 2! ( x x0 ) n (n) f ( x0 ) n! ( x 1) 2 2!( x 1)3 ln( x) 0 ( x 1) 2! 3! n n 1 ( x 1) (n 1)!(1) n! ( x 1) 2 ( x 1)3 ln( x) ( x 1) 2 3 n n 1 ( x 1) (1) n
TRUNCATED TAYLOR SERIES • We cannot evaluate a Taylor series – it is infinite! • Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga; • Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
TRUNCATED TAYLOR SERIES • To find an nth order truncated Taylor series ( x x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 2! n ( x x ) 0 f ( n ) ( x0 ) n! • Note: This is the same concept as the polynomial approximations we introduced earlier.
EXAMPLE – TRUNCATED TAYLOR SERIES • Find a cubic (degree 3) truncated Taylor series for the function:
f ( x) cos(2 x)
centered at:
x
4
EXAMPLE – TRUNCATED TAYLOR SERIES • For a degree 3 approximation:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2! 3! 2
3
• So we need to evaluate the function and its first three derivatives at the center.
EXAMPLE – TRUNCATED TAYLOR SERIES • Evaluating these: f ( x) cos(2 x) f ( x) 2 sin(2 x) f ( x) 4 cos(2 x) f ( x) 8 sin(2 x)
f cos 0 4 2 f 2 sin 2 4 2 f 4 cos 0 4 2 f 8 sin 8 4 2
EXAMPLE – TRUNCATED TAYLOR SERIES • … which gives:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) 3 f ( x0 ) f ( x0 ) 2! 3! f ( x) 0 2 x 4
x x 4 4 0 8 2! 3! 2
4
3
f ( x) 2 x x 4 3 4
3
EXAMPLE – TRUNCATED TAYLOR SERIES t 3 ( x)
/4
1
p3 ( x)
0.8
cos(2 x)
0.6
f(x)
0.4
0.2 y
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-3
-2
-1
0 x
x0
1
4
2
3
SERIES ACCURACY • Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai Maclaurin? • Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin jauh dari titik awal x0; • Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan titik yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan perkiraan.
