14. APROKSIMASI KESALAHAN A. Pengertian Dalam pengukuran perlu ketelitian. Hasil pengukuran ini merupakan pendakatan nilai ukuran yang sebenarnya. Misalnya hasil pengukuran 4,3 berarti ketelitiannya sampai 0,1 m, bila hasil pengukurannya 4,32 m ketelitiannya sampai 0,01 m, dan bila hasil pengukuran 4 m ketelitiannya hanya sampai 1 m. Jadi ketelitian merupakan satuan pengukuran terkecil.
B. Kesalahan Kesalahan adalah selisih antara hasil pengukuran dengan hasil sebenarnya. Misal hasil pengukurannya adalah x, maka: 1. Kesalahan mutlak satuan pengukuran terkecil = ketelitian
Batas atas pengukuran
Batas bawah pengukuran
Hasil pengukuran dapat dituliskan dalam
2. Kesalahan relatif 3. Prosentase kesalahan
Contoh: Hasil pengukuran gula pasir = 3,7 kg. Hitunglah kesalahan mutlak, kesalahan relatif, prosentase kesalahan, dan batas atas/bawah pengukurannya. Penyelesaian: Hasil pengukuran = 3,7 kg Maka ketelitiannya adalah = 0,1 kg Kesalahan mutlak = ½ ( 0,1 ) = 0,05 kg Batas atas pengukuran = ( 3,7 + 0,05 ) kg = 3,75 kg Batas bawah pengukuran = (3,7 – 0,05 ) kg = 3,65 kg Kesalahan relatif = 0,05 / 3,7 = 0,0135 Prosesntase kesalahan = 0,0135 100% = 1,35%
Matematika: APROKSIMASI KESALAHAN - sugiyono | 1
C. Toleransi Toleransi pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang diterima dan pengukuran terkecil yang diterima. Misal hasil pengukuran = x; kesalahan mutlak = x, maka:
Batas atas pengukuran
Batas bawah pengukuran
Toleransi
Contoh: Hasil pengukuran tepung beras dituliskan dalam bentuk (4,5 0,05) kg, tentukan toleransinya. Penyelesaian: Hasil pengukuran
, toleransinya
Untuk hasil pengukuran (4,5 0,05) kg, maka toleransinya = 2 (0,05) kg = 0,1 kg
D. Jumlah dan Selisih Pengukuran Misal hasil pengukuran I adalah x dan kesalahan mutlak x. Hasil pengukuran II adalah y dan kesalahan mutlak y. Bila hasil pengukuran ini dijumlahkan, maka: a. Batas atas, Batas bawah, b. Batas atas, Batas bawah,
jumlah jumlah selisih selisih
Contoh: Hasil pengukuran adalah 3,2 kg dan 1,6 kg. Tentukan batas atas/bawah jumlah pengukuran dan batas atas/bawah selisih pengukuran. Penyelesaian: Untuk pengukuran 3,2 kg, artinya hasil pengukurannya = (3,2 0,05) kg Untuk pengukuran 1,6 kg, artinya hasil pengukurannya = (1,6 0,05) kg Maka:
Batas atas,
jumlah
= (3,2 + 0,05 + 1,6 + 0,05) kg = 4,90 kg
Batas bawah,
jumlah
= (3,2 – 0,05 + 1,6 – 0,05) kg = 4,70 kg
Batas atas,
selisih
= (3,2 + 0,05) – (1,6 – 0,05) kg = 1,70 kg.
Batas bawah,
selisih
= (3,2 – 0,05) – (1,6 + 0,05) kg = 1,50 kg.
Matematika: APROKSIMASI KESALAHAN - sugiyono | 2
E. Hasil kali dan hasil bagi pengukuran-pengukuran Misal
hasil pengukuran I hasil pengukuran II
Maka
batas atas hasil kali batas bawah hasil kali batas atas hasil bagi batas bawah hasil bagi
Contoh: Dua hasil pengukuran yaitu 4,1 m dan 2 m. Tentukan batas atas/bawah hasil kali pengukuran, dan batas atas/bawah hasil bagi pengukuran. Penyelesaian: Untuk pengukuran 4,1 m, artinya hasil pengukurannya (4,1 0,05) m Untuk pengukuran 2 m, artinya hasil pengukurannya (2 0,5) m Maka:
Batas atas hasil kali
= (4,1 + 0,05) (2 + 0,5) m2 = 10,375 m2.
Batas bawah hasil kali
= (4,1 0,05) (2 0,5) m2 = 6,075 m2.
Batas atas hasil bagi
= (4,1 + 0,05) / (2 0,5) m2 = 2,767.
Batas bawah hasil bagi
= (4,1 0,05) / (2 + 0,5) m2 = 1,620.
F. Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Panjang satu blok bahan pakaian seragam adalah (40 1) m. Jika bahan tersebut dipotong menjadi potongan-potongan yang berukuran 1,5 m dengan salah mutlak 0,05 m, maka banyaknya potongan bahan pakaian seragam yang diperoleh berada diantara berapa? Penyelesaian: Bahan pakaian (40 1) m.
Panjang paling besar = (40 + 1) m = 41 m
Panjang paling kecil = (40 – 1) m = 39 m
Potongan bahan 1,5 m dengan salah mutlak 0,05 m
Panjang potongan paling besar = (1,5 + 0,05) m = 1,55 m
Panjang potongan paling kecil = (1,5 – 0,05) m = 1,45 m
Hasil bagi paling besar
= (panjang paling besar) / (potongan paling kecil) = (41) / (1,45) = 28,27 28
Matematika: APROKSIMASI KESALAHAN - sugiyono | 3
Hasil bagi paling kecil
= (panjang paling kecil) / (potongan paling besar) = (39) / (1,55) = 25,16 25
Jadi banyaknya potongan berada diantara 25 dan 28. 2. Dari suatu batang logam yang panjangnya (1 0,01) m diperlukan dua keratan yang panjangnya masing-masing 0,4 m dengan toleransi 0,02 m. Tentukan interval panjang sisa batang tersebut. Penyelesaian: Panjang batang logam (1 0,01) m
Panjang paling besar = (1 + 0,01) m = 1,01 m
Panjang paling kecil = (1 – 0,01) m = 0,99 m
Panjang keratan 0,4 m dengan toleransi 0,02 m ----- ini adalah 2x.
Panjang keratan (0,4 0,01) m, karena rumusnya
Panjang paling besar 2 keratan = 2 (0,4 + 0,01) m = 2 (0,41) m = 0,82 m
Panjang palng kecil 2 keratan = 2 (0,4 – 0,01) m = 2 (0,39) m = 0,78 m
Sisa batang paling besar = (1,01 – 0,78) m = 0,23 m = 23 cm
Sisa batang paling kecil = (0,99 – 0,82) m = 0,17 m = 17 cm
Jadi interval sisa batang logam berada diantara: 17 cm dan 23 cm. 3. Dari sepotong pipa pralon yang panjangnya (30,0 0,5) dm, diperlukan 4 potongan dengan panjang masing-masing (6,0 0,1). Hitung panjang pipa yang tersisa. Penyelesaian: Pipa pralon panjang (30,0 0,5) dm.
Pipa paling panjang = (30,0 + 0,5) dm = 30,5 dm
Pipa paling pendek = (30,0 – 0,5) dm = 29,5 dm
Panjang potongan (6,0 0,1) dm.
4 potongan paling panjang = 4 (6,0 + 0,1) dm = 4 (6,1) dm = 24,4 dm
4 potongan paling pendek = 4 (6,0 – 0,1) dm = 4 (5,9) dm = 23,6 dm
Sisa pipa paling panjang = (30,0 – 23,6) dm = 6,9dm
Sisa pipa paling pendek = (29,5 – 24,2) dm = 5,1 dm
Jadi sisa berada diantara: 5,1 dm dan 6,9 dm, dengan toleransi = 2 x = 2 (0,05) dm = 0,1 dm
Matematika: APROKSIMASI KESALAHAN - sugiyono | 4
G. Soal Latihan 1. Pengukuran 5,3 cm. Tentukan salah mutlak, relatif, prosentase kesalahan, dan toleransi pengukuran. 2. Sepotong kawat yang panjangnya (20,0 0,1) m, dipotong-potong dengan panjang satu potong (3 0,1) m. Tentukan jumlah potongan yang paling banyak dan paling sedikit. 3. Pita panjangnya (6 0,05) m, dipotong-potong menjadi 4 bagian. Satu bagian panjangnya (1,5 0,05) m. Tentukan interval panjang sisa pita. 4. Suatu segitiga mempunyai alas 3,2 m dan tinggi 2,4 m. Tentukan luas segitiga paling besar dan paling kecil. 5. Panjang dan lebar sebuah lapangan parkir diukur sampai meter terdekat adalah 25 m dan 10 m maka luas lapangan parkir itu terletak di antara batas-batas ..... 6. Dua bidang tanah yang berdekatan, mempunyai ukuran sebagai berikut: Tanah I
: panjang (5 0,5) m dan lebar (4 0,5) m
Tanah II
: panjang (10 0,5) m dan lebar (9 0,5)m
Tentukan kedua bagian tanah tersebut digabung, tentukan luas yang paling besar dan luas yang paling sedikit.
Matematika: APROKSIMASI KESALAHAN - sugiyono | 5
