Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
1
Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas1, Naimah Aris2, Jusmawati M3.
Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass dengan menggunakan teorema Fejer. Teorema aproksimasi Weierstrass menyatakan bahwa suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval tutup dapat dihampiri oleh suatu polinomial. Oleh Fejer, teorema ini dibuktikan dengan menunjukkan bahwa suatu fungsi ( ) yang kontinu pada interval tutup [– ] dengan ( ) ( ) dapat dihampiri oleh suatu polinomial rata-rata ( ) dan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) konvergen seragam pada [– ]. Kata Kunci : teorema aproksimasi Weierstrass, teorema Fejer.
Abstract This thesis discussed about proving by Weierstrass approximation theorem by using Fejer theorem. The approximation theorem states that a continuous function on a closed interval can be approached by a polynomial. By Fejer, this theorem is proved by showing that a continuous ( ) can be approached by a polynomial function ( ) on a closed interval [– ] with ( ) ( ) ( ) converges uniformly on [– average ( ) then is proved that ]. Keywords: Weierstrass approximation theorem, Fejer theorem.
1.
Pendahuluan
Dalam aplikasi-aplikasi matematika, umumnya menggunakan fungsi-fungsi yang jauh lebih rumit dari fungsi standar. Beberapa dari fungsi-fungsi tersebut tidak dapat diekspresikan dalam bentuk standar, dan beberapa lagi hanya diketahui secara implisit atau melalui grafiknya. Untuk kasus-kasus seperti itu digunakan suatu pendekatan/aproksimasi terhadap fungsi tersebut. Salah satu bentuk aproksimasi diberikan oleh Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (1885) yang dikenal teorema Weierstrass yang menyatakan bahwa suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval tutup dapat dihampiri oleh polinomial ( ). Pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass yang paling terkenal adalah pendekatan konstruktif melalui polinomial Bernstein oleh Sergei Bernstein pada tahun 1911 yaitu, jika adalah sebuah , -, ( ) fungsi kontinu bernilai real pada maka barisan polinomial Bernstein ∑ ( ) ( ) . / untuk setiap konvergen seragam ke . Pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass juga dilakukan oleh Fejer dan Marshall Stone. Dalam tulisan ini, pembahasan difokuskan pada pembuktian teorema Weierstrass dengan menggunakan teorema Fejer. Permasalahan yang akan dibahas dibatasi pada fungsi trigonometri yang kontinu dan terbatas pada interval [– ] dimana fungsi-fungsinya bernilai real yang terdefinisi pada semua domain dan periodik dengan periode serta terintegralkan Riemann pada [– ]. 1
Mahasiswa Prodi Matematika,Jurusan Matematika,Universitas Hasanuddin,email:
[email protected] Dosen Prodi Matematika, Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, email:
[email protected] 3 Dosen Prodi Matematika, Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, email:
[email protected] 2
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
2.
2
Tinjauan Pustaka
Terkait dengan permasalahan yang akan diselesaikan, kajian pustaka yang penting untuk dipahami adalah teori mengenai Fungsi, Barisan, Limit dan Kontinuitas, Integral Riemann, Deret, dan Deret Fourier.
2.1 Fungsi Definisi 2.1 Misalkan dan adalah dua himpunan. Fungsi dari subhimpunan dari sedemikian sehingga untuk setiap sedemikian sehingga ( ) .
ke merupakan terdapat tunggal
2.2 Barisan Definisi 2.2 Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli dengan range himpunan bilangan real .
2.3 Limit dan Kontinuitas Teorema 2.1 Misalkan . Suatu bilangan adalah titik kluster dari ( ) terdapat barisan ( ) di sedemikian sehingga
jika dan hanya jika
Definisi 2.3 Misalkan dan , adalah titik kluster dari . Suatu bilangan real dikatakan limit dari pada titik , jika untuk setiap , terdapat sedemikian | | | ( ) | sehingga jika maka .
Definisi 2.4 Misalkan dan . Fungsi dikatakan kontinu di jika | | maka | ( ) ( )|
sedemikian sehingga jika .
2.4 Integral Riemann Definisi 2.5
, - jika terdapat bilangan disebut terintegralkan Riemann di , - sedemikian sehingga jika ̇ adalah sehingga terdapat di , ̇) - dengan ‖ ̇ ‖ partisi bertanda dari , , maka | ( | Fungsi
Teorema 2.2
Jika * ( )+ adalah barisan fungsi yang terintegral Riemann dan * ( )+ konvergen seragam ke ( ), maka ( ) terintegral Riemann.
2.5 Deret Misalkan adalah barisan
( ) adalah barisan di , maka deret yang dibangun oleh barisan ( ) yang didefinisikan oleh:
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
3
Teorema 2.3
+. Deret ∑ Misalkan positif dan monoton turun pada * dan hanya jika integral tak wajar ∫ ( ) ∫ ( ) ∑ ∑ ∑ konvergen, jumlah parsial dan jumlah ( ) ∫ ∫ ( )
konvergen jika ada. Dalam hal memenuhi
2.6 Deret Fourier Definisi 2.6 ], deret Fourier dari diberikan oleh ( ) ∑ ( ) Dengan koefisien-koefisien Fourier berikut ( ) ∫ Misal
[–
∫
( )
∫
( )
Definisi 2.7 Misalkan , ) . Perluasan periodik diperoleh dengan mendefinisikan ( ) ( sehingga , ).
(dengan periode ), dimana
) dari ke sedemikian
Definisi 2.8
, -. Deret sinus Fourier dari diberikan oleh ( ) ∑ Misalkan Dimana adalah koefisien sinus Fourier dari . Dengan ∫ ( ) , - diberikan oleh cara yang sama, deret cosinus Fourier dari ( ) ∑ Dimana ∫ ( ) koefisien cosinus Fourier dari .
∫
( )
adalah
Teorema 2.4
Misalkan * + dan * + adalah barisan dari bilangan real yang memenuhi ∑ a) Jumlahan parsial membentuk barisan terbatas, b) , dan c) , maka ∑ konvergen.
Teorema 2.5
Misalkan * dan a) ∑ b) ∑
+ adalah barisan dari bilangan real yang memenuhi Maka konvergen untuk setiap , dan konvergen untuk setiap , kecuali pada
,
.
Definisi 2.9 ∑ ( Deret yang berbentuk bilangan real disebut deret trigonometri.
) dimana
dan
adalah
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
4
Teorema 2.6
∑ ( ) konvergen seragam pada Jika deret trigonometri [– ], maka deret tersebut adalah deret Fourier dari fungsi bernilai real yang kontinu pada [– ].
Teorema 2.7 Misalkan seragam ke
, - untuk setiap -. Maka pada ,
Teorema 2.8 Jika periodik dengan periode terintegralkan Riemann pada , ∫ ( )
, dan misalkan bahwa barisan * + konvergen , - dan ∫ ( ) ∫ ( ) dan terintegralkan Riemann pada , - untuk setiap , dan ∫
-, maka ( )
Definisi 2.10
Barisan * + dari fungsi non negatif yang terintegralkan Riemann pada , memenuhi ( ) ) ∫ dan ) ∫* | |+ ( ) disebut identitas aproksimasi pada ,
- yang
-.
Teorema 2.9
-, dan misalkan fungsi periodik pada Misalkan * + sifat aproksimasi pada , , -. periode 2 bernilai real yang terbatas di dengan ) ( ) Untuk , , didefinisikan ( ) ∫ ( ( ) Jika kontinu di , maka ( ) -, maka ( ) ( ) seragam pada . Selanjutnya, jika kontinu pada ,
3.
Hasil dan Pembahasan
Aproksimasi Weierstrass adalah suatu bentuk aproksimasi terhadap suatu fungsi kontinu pada suatu interval tutup oleh suatu fungsi polinomial.
Teorema 3.1
, Jika kontinu, maka untuk setiap ( )| , sedemikian sehingga | ( )
, terdapat polinomial
( ),
Pada teorema yang diberikan oleh Fejer, diberikan secara eksplisit versi trigonometri dari teorema Weierstrass. Fungsi-fungsi yang memegang peranan penting dalam pembuktian teorema Fejer adalah fungsi yang dikenal sebagai Kernel Fejer yang merupakan suatu fungsi yang dibangun dari Dirichlet Kernel. Misalkan adalah suatu fungsi bernilai real yang terdefinisi pada [– ] dan diperluas pada domain dimana periodik dengan periode . Selanjutnya diasumsikan , -. bahwa
Teorema 3.2 Misalkan ( ) ∫
, ( )
-. (
)
Maka untuk setiap dan dimana adalah Dirichlet kernel diberikan oleh
,
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
( )
5
∑
( )
∑ ( )
dan
, diperoleh )
∑( ∫ ( )[
Misalkan
)
{
Bukti : Berdasarkan definisi koefisien-koefisien Fourier ( )
(
(
∑
)]
(
)
, maka dengan menggunakan persamaan (3.1), diperoleh ∫ ( )[
(
∑
∫ ( )
(
)]
)
Selanjutnya, sisa mengambil fungsi ( ). - Untuk , , diperoleh ( -
Untuk
)
∑
, dengan identitas dari Teorema 2.5, diperoleh ( ) ( ( )
)
, - maka barisan * + akan Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika -. Untuk membuktikan kekonvergenan dalam ratakonvergen ke suatu fungsi pada , rata dari deret Fourier, didefinisikan rata-rata aritmetika dari jumlahan parsial . Untuk setiap , diberikan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema 3.3
Jika limit dari * + ada, maka Bukti : Misalkan barisan * + konvergen ke , sehingga Selanjutnya, terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap |
,
|
Persamaan (3.2) dapat dituliskan ( Misalkan
)
∑
(
. Dengan manipulasi aljabar, persamaan (3.3) dapat dituliskan ∑(
)
∑ (
)
)
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
6
Dengan mengaplikasikan ketidaksamaan segitiga pada kedua penjumlahan dan karena ) . Sehingga diperoleh , maka penjumlahan sisi kanan lebih kecil dari ( |
|
| (
karena konstan dan misalkan , diperoleh | untuk setiap
)
∑(
∑ (
)|
) semakin besar hingga penjumlahan sisi kiri lebih kecil dari
|
. Jadi,
konvergen ke .
Lemma 3.1 Untuk
, misalkan ( )
)
∑(
Maka )
( )
∑(
)(
)
dan ) ∫, ( )
Teorema 3.4
,
Misalkan
∫, ( )
( )-
-. Maka untuk setiap ( )
dimana
( )-
dan
∫ ( ) (
)
adalah kernel Fejer, diberikan oleh
( )
∑
(
( )
)
(
[
{ Bukti Dengan Teorema 3.2, ( ) dimana
∫ ( )
(
)
∫ ( ) (
)
adalah Dirichlet Kernel. Oleh karena itu, ( )
dimana
,
)
]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
7
( ) Jika
,
(
, maka
)
( Jika
,
∑
( )
, dan jadi
)
∑(
(
)
)
, maka ( )
,
Dengan sifat ∑
(
)
(
)
(
)
(
∑
(
∑ (
)
(
)
(
) )
)-,
∑( (
Oleh karena itu, untuk
)
)
, ( )
(
)
Teorema 3.5 a) periodik pada periode b) ( ) untuk setiap . c) ∫ ( ) . d) Untuk ,
(
[
(
dengan
( )
)
)
]
( ).
seragam untuk setiap ,
| |
Bukti : a) Diketahui
( )
(
[ )
(
)
(
] . Karena
(
)
(
))
(
)
(
dan (
)
subtitusikan hasil ini ke (
diperoleh )
(
( ( )
)
)
[
[
(
)
(
)
]
]
)
.
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
8
Selanjutnya, (
)
(
(
diperoleh b) Karena c)
(
)
(
)
]
( )
Karena ∫
( (
[
untuk
(
) ]
) )
]
periodik dengan periode ( )
, maka
.
untuk semua nilai .
, diperoleh ∫
. /
d) Karena
)
)
( ) ( ). Oleh karena itu,
) [
[
)
(
(
( )
∑
∫
| |
. / untuk semua dan
dan
) )
(( |
( )
) )|
((
diperoleh ( )
(
)
( | |
untuk semua nilai , dan
(
[
( )
]
) . Untuk setiap , dimana ( )
Karena
)
(
, diperoleh
)
sehingga ( )
Oleh karena itu,
( )
| |
secara seragam pada
.
Teorema 3.6 Jika
adalah fungsi bernilai real pada [– ( )
seragam pada [– ]. Bukti : Diketahui adalah fungsi yang bernilai real pada Teorema 3.4, ( ) Dengan mengubah variabel
] dengan ( ( )
( ), maka
yang periodik dengan periode
∫ ( ) (
diperoleh
)
)
, dari
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
9
( ) (
Karena fungsi yang memetakan
seragam pada [–
) ( )
) ( ) periodik dengan periode
( )
∫ (
, diperoleh
) ( )
] dengan ( ) ( ) ( )
kontinu pada [–
Selanjutnya, karena
(
∫
( ), maka diperoleh
].
Akan ditunjukkan bahwa teorema aproksimasi Weierstrass versi trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Fejer sebagai berikut
Teorema 3.7 Misalkan kontinu pada [– polinomial trigonometri
] dengan (
( )
)
( ). Untuk setiap )
∑(
sedemikian sehingga
| ( )
, terdapat
( )|
untuk setiap [– ]. Bukti : ( ). Diketahui bahwa ( ) adalah Misalkan kontinu pada [– ] dengan ( ) rata-rata jumlahan parsial dari deret trigonometri dan deret tersebut juga merupakan fungsi polinomial trigonometri, dimana ( ) sehingga
( )
∑(
)(
)
( ). Dari teorema Fejer diperoleh ( ) ( )
konvergen seragam pada [– ], yang berarti Berdasarkan definisi konvergen seragam, diperoleh | ( ) ( )| | ( ) untuk setiap .
( ) konvergen seragam ke
( ).
( )|
4. Penutup Berdasarkan hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa teorema aproksimasi Weierstrass dapat dibuktikan dengan teorema Fejer, yaitu ( ). Untuk setiap Misalkan kontinu pada [– ] dengan ( ) , terdapat polinomial trigonometri (yang diperoleh dari teorema Fejer) ( ) dan
∑(
)( ( )
( )
)
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Universitas Hasanuddin
10
seragam pada [–
], sedemikian sehingga | ( ) ( )| untuk setiap [– ]. Selain itu juga pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass yang dilakukan oleh ilmuwan lainnya, misalnya oleh marshall Stone atau yang lainnya dapat dikaji ulang.
Daftar Pustaka [1] [2] [3] [4] [5]
Manfred Stoll, 1997, Introduction to Real Analysis, Addison-Wesley, Amerika Serikat. Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert, 2000, Introduction to Real Analysis third edition, John Wiley & Sons, New York. Robert Wrede dan Murray R. Spiegel, 2007, Schaum’s Outlines Teori dan Soal-soal Kalkulus Lanjut, Erlangga, Jakarta. William Ted Martin, E. H. Spanier, G. Springer and P. J. Davis, 1976, Principles of Mathematical Analysis third edition, McGraw-Hill, Inc., New York. http://www.ias.ac.in/resonance/April2011/p341-355.pdf diakses pada tanggal 20 September 2011.
[6] [7] [8]
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/matematika_lanjut/bab10-deret fourier.pdf diakses pada tanggal 12 Maret 2012. http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/78574/18100cspring2006/ contents/projects/ricketson.pdf diakses pada tanggal 4 September 2012. http://emis.matem.unam.mx/journals/DM/v16-1/art14.pdf diakses pada tanggal 4 April 2013.
