BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan “ekor suatu barisan”, serta dapat digunakan juga untuk menunjukkan kedivergenan suatu barisan. Definisi 3.1 X = (xn) adalah barisan bilangan real, dan r1 < r2 < …< rn < … merupakan barisan bilangan asli yang selalu naik. Barisan X′ dalam R, yang dinyatakan dengan (
,
,
,…,
, … disebut sub barisan dari X.
Contoh : Pandang barisan X =
,
, ,…
Maka barisan-barisan berikut merupakan sub barisan dari X a.
, , ,…,
b.
, , ,…,
c.
!
, , ,…, !
!
, … , karena … , … , karena… !
, … , karena …
Sedangkan barisan-barisan di bawah ini bukan sub barisan dari X a.
, , , , , , … , karena…
b.
, 0, , 0, , 0, … , karena …
Kalau kita hubungkan pengertian dari sub barisan dan ekor barisan, maka dapat disimpulkan bahwa : * Ekor barisan merupakan sub barisan, contoh: ekor ke-m dari barisan ; maka r1 = m + 1, r2 = m + 2, …, rn = m + n, sehingga tampak bahwa r1 … r2 … r3 … rn … * Sub barisan tidak selalu merupakan ekor barisan. , , ,…, , … bukan ekor dari barisan , , , … , karena … Teorema 3.2 Jika barisan bilangan real X = (xn) konvergen ke suatu bilangan real x, maka sembarang sub barisan dari X konvergen ke x
Bukti: X = (xn) merupakan barisan konvergen, sehingga untuk sembarang ε > 0, akan terdapat K(ε) ∈ N sedemikian hingga untuk n ≥ K(ε) maka |xn - x| < ε X′ = (
,
,
,…,
, … merupakan sub barisan dari X, sehingga r1 < r2 < …< rn < …
merupakan barisan bilangan asli yang monoton naik. Dengan induksi matematika dapat ditunjukan bahwa rn ≥ n, ∀ n ∈ N, dan n ≥ K(ε), sehingga dapat disimpulkan … Oleh karena itu, jika n ≥ K(ε), maka diperoleh juga … , sehingga berlaku …. Jadi, X′ = (
,
,
,…,
, … konvergen ke x.
Contoh-contoh 1. Tunjukkan : lim(bn) = 0, jika 0 < b < 1 Jawab : Kita akan menunjukkan kebenaran ni lai limit tersebut dengan menggunakan sifat sub barisan. 0 < b < 1, maka xn+1 = … < … = xn, sehingga (xn) merupakan barisan turun monoton. Jika lim (xn) = x, dan (x2n) merupakan sub barisan dari (xn), maka lim (x2n) = … xn = bn, maka x2n = b2n = (bn)2 = (xn)2. Karena lim (xn) = …, maka diperoleh : x = lim (x2n) = … = x2, sehingga diperoleh x = 0 atau x = 1. (jelaskan!!) Karena (bn) merupakan barisan monoton turun dan terbatas di atas oleh b < 1, maka dipilih x = 0 2. lim ( Bukti :
= 1, untuk c > 1
> 1 dan yn+1 = … < … = yn, ∀ n ∈ N. Dengan demikian menurut … , (yn) c > 1, maka yn = merupakan barisan konvergen, sehingga (yn) mempunyai limit, misal y = lim(yn). (y2n) merupakan sub barisan dari (yn), sehingga …. = … , oleh karena itu … = lim(y2n) = lim( lim =… y2n = … = … = Dari persamaan tersebut diperoleh y = 0 atau y = 1. Karena yn > 1, maka diperoleh y = … Teorema 3.3 Kriteria Divergensi X = (xn) merupakan barisan bilangan real. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (i) Barisan X = (xn) tidak konvergen ke x, x ∈ R (ii) Ada
> 0, ∋ untuk sembarang k ∈ N, maka ∃ rk ∈ N, ∋ rk > k dan |xrk – x| ≥
(iii)Ada
> 0, dan sub barisan X′ = (xrn) dari X, ∋ |xrk – x| ≥
Bukti : (i)⇒(ii) : Ingat definisi barisan konvergen.
, ∀ n ∈ N.
X = (xn) konvergen ⇔ ∀ ε > 0, ∃ …, ∋ ∀ n ≥ … diperoleh : |xn - x | < ε. Jika kita gunakan negasi pada pernyataan tersebut, maka diperoleh pernyataan : Jika X = (xn) tidak konvergen maka …. Dengan kata lain dapat juga ditulis bahwa ∀ k ∈ N, ∃ rk ∈ N dan rk ≥ k, ∋ |
- x | ≥ ε0
(ii)⇒(iii) : Ambil ε0 yang memenuhi sifat pada (ii). Kemudian kita ambil r1 ∈ N, dan |
- x | ≥ ε0. Juga diambil r2 ∈ N, dan |
- x | ≥ ε0; r3 ∈ N, dan |
- x | ≥ ε0; dan
seterusnya, maka akan diperoleh sub barisan X′ = (xrn) dari X sedemikian hingga |
- x | ≥ ε0 .
(iii)⇒(i) : Andaikan X = (xn) mempunyai sub barisan X′ = (xrn) yang memenuhi kondisi pada (iii), maka X …, karena ….
Contoh 1. Barisan ((-1)n) divergen. Bukti : Andaikan X = ((-1)n) konvergen ke x, maka semua sub barisannya juga konvergen ke x (teorema…) Sub barisan dari X = ((-1)n) adalah(a) …….. (untuk n genap), dan merupakan suatu barisan yang konvergen ke…; dan (b) ……… (untuk n ganjil), dan merupakan barisanyang konvergen ke … Karena nilai-nilai limit dari sub barisannya tidak sama, maka …. 2. (1, , 3,
, … merupakan barisan divergen.
Buktikan ! 3. Barisan S = (sin n) divergen. Bukti : Untuk membuktikannya kita harus dapat menemukan sub-sub barisan dari S yang mempunyai nilai limit berbeda atau bahkan yang tidak mempunyai limit. Ingat kembali bahwa fungsi sinus merupakan suatu fungsi periodik yang nilainya akan berulang pada suatu periode tertentu (?) Contoh : Sin (
= = sin (
=…=…
Untuk x ∈ I1 =
,
maka sin x > . Karena panjang I1 =
=
> 2 (?), maka pada
interval tersebut terdapat paling sedikit 2 bilangan asli, kita tetapkan n1 merupakan bilangan asli yang pertama. Begitu juga untuk setiap k ∈ N, dengan sin x > , untuk x ∈ Ik, Ik = (
2
1 ,
2
1 . Karena panjang Ik lebih besar dari 2, maka
terdapat paling sedikit dua bilangan asli yang terletak pada interval tersebut, tetapkan nk sebagai salah satu titik itu. Dengan demikian terdapat sub barisan S′ = (sin nk) dari S yang semua nilainya terletak pada interval [ , 1 . Hal yang sama juga kita lakukan pada interval Jk = (
2
1 ,
2
1
.
Untuk semua x ∈ Jk, maka nilai x … dan panjang Jk …, sehingga … Ambil mk sebagai bilangan asli pertama yang terletak pada interval Jk. Maka akan terdapat sub barisan S′′ = (sin mk) dari S, yang semua nilainya terletak pada interval […,…]. Ambil sembarang c ∈ R, maka paling sedikit satu diantara dua sub barisan S′ dan S′′ akan terletak di luar persekitaran- dari c, oleh karena itu c bukan titik limit dari S. Karena c ∈ R adalah sembarang bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa …
Keberadaan Sub Barisan Monoton 3.4 Teorema Sub Barisan Monoton Jika X = (xn) merupakan barisan bilangan real, maka ada sub barisan dari X yang monoton Bukti : Sebelum kita membuktikan teorema tersebut, kita sepakati dulu bahwa : suku ke m dari X, yaitu xm merupakan “puncak” jika xm ≥ xn, ∀ n ∈ N dan n ≥ m atau dapat juga diartikan xm selalu lebih besar nilainya dari semua suku yang mengikutinya. Akan terdapat dua kemungkinan, yaitu X mempunyai “puncak” sejumlah hingga atau mempunyai “puncak” yang banyaknya tak hingga. (a) Andaikan X mempunyai “puncak” yang banyaknya hingga (bisa juga 0) Kita misalkan puncak-puncak tersebut adalah : Ambil s1 = mr + 1,
,
, …,
.
“bukan puncak”, sehingga ∃ s2 > s1 dan
≥
“bukan puncak”, sehingga ∃ s3 > s2 dan
≥
Jika proses tersebut kita lanjutkan, maka akan diperoleh sub barisan dari X, yaitu … dengan … ≤ … ≤ … ≤ … ; merupakan suatu sub barisan yang monoton naik (b) Andaikan X mempunyai “puncak” yang banyaknya tak hingga “Puncak-puncak” tersebut dapat diurutkan menurut indeksnya, yaitu :
,
, …,
,…
dengan m1 ≤ m2 ≤ … ≤ mk ≤ … Karena masing-masing merupakan “puncak”, maka : … ≥ … ≥ … ≥ … Dengan demikian kita dapat menyusun sub barisan (
) dari “puncak-puncak” tersebut,
yang merupakan sub barisan dari X yang …
3.5 Teorema Bolzano-Weierstrass Barisan bilangan real yang terbatas mempunyai sub barisan yang konvergen Bukti : I. Menurut teorema Sub Barisan Monoton, jika X merupakan barisan terbatas maka … Karena X terbatas, maka sub barisan dari X juga terbatas, sehingga sub barisan tersebut mempunyai sifat … dan … akibatnya … II. X = (xn) merupakan barisan terbatas, maka himpunan dari suku-suku barisan X, yaitu {xn|n∈N} juga terbatas. Kita andaikan {xn|n∈N} termuat dalam interval I1 = [a,b], dan ambil n1 = 1. ⇒ Bagi I1 ke dalam 2 sub interval, yaitu
, serta bagi {n ∈ N| n > 1} menjadi dua bagian,
dan
yaitu : A1 = {n ∈ N| n > n1, xn ∈ } dan B1 = {n ∈ N| n > n1, xn ∈ Jika A1tak hingga, maka pilih I2 =
}
dan n2 merupakan bilangan asli terkecil dalam A1.
Jika A1 hingga berarti B1 …, maka dipilih I2 =
dan n2 merupakan bilangan asli terkecil di
B1. ⇒ Bagi I2 menjadi 2 sub interval, yaitu yaitu A2 = {n ∈ N| n > n2, xn ∈
dan
, serta bagi {n ∈ N| n > n2} menjadi dua bagian,
} dan B2 = {n ∈ N| n > n2, xn ∈
}
Jika A2 tak hingga, maka pilih I3 = … dan n3 merupakan bilangan asli terkecil dalam A2 Jika A2 hingga berarti B2 …, maka pilih I3 = … dan n3 merupakan bilangan asli terkecil di B2. Lanjutkan proses tersebut, maka kita akan memperoleh suatu barisan dari interval tersarang : I1 ⊇ I2 ⊇ …⊇ Ik ⊇ …dan sub barisan ( Karena panjang Ik =
) dari X, ∋
∈ Ik , ∀ k ∈ N.
, maka terdapat satu titik persekutuan ξ ∈ Ik , ∀ k ∈ N.
pada Ik, sehingga diperoleh |
- ξ| ≤
. Karena
dan ξ terletak
nilainya cukup kecil, maka bisa kita
tetapkan :
= ε, yang mengakibatkan |
- ξ| ≤ ε, dan dapat disimpulkan bahwa (
)
konvergen ke ξ. Dari teorema tersebut tampak bahwa suatu barisan terbatas dapat mempunyai sub barisan yang konvergen ke suatu nilai limit yang berbeda. Contoh : Barisan
1
mempunyai sub barisan
yang konvergen ke 1 (jika …) dan sub barisan yang konvergen ke -1 (jika …), barisan tersebut juga mempunyai sub barisan yang tidak konvergen (??) Jika X adalah barisan bilangan real, dan X′ merupakan sub barisan dari X, maka karena X′ juga merupakan barisan bilangan real, X′ juga mempunyai sub barisan, yang diberi notasi X′′. X′′ juga merupakan barisan dari X.
3.6 Teorema X merupakan barisan bilangan real yang terbatas, dan x ∈ R memenuhi sifat : setiap sub barisan dari X konvergen ke x, maka barisan X konvergen ke x. Bukti : Anggap M > 0 merupakan batas dari X, maka …. ,∀ n ∈ N Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut kriteria Divergensi : ∃ ε0 > 0 dan sub barisan X′= (
) dari X sedemikian hingga ………………, ∀ n ∈ N.
Karena X′ sub barisan dari X, maka M juga merupakan batas dari X′. Dengan menggunakan teorema ……… maka dapat disimpulkan bahwa X′ juga mempunyai sub barisan yang konvergen. Misalkan X′′ merupakan sub barisan dari X′. X′′ merupakan sub barisan dari X′, sedangkan X′ sub barisan dari X, maka ….……... Jadi, menurut hipotesis dapat disimpulkan bahwa X′′ konvergen ke x. Dengan kata lain pada akhirnya suku-suku pada barisan X′′ terletak pada persekitaran-ε0 dari x. Semua suku-suku pada barisan X′′ merupakan suku-suku dari barisan X′, karena ………… Hal tersebut kontradiksi dengan : ………… Akibatnya, X konvergen ke x
