BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit, sistem persamaan linear, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan diferensial nonlinier, nilai eigen dan vektor eigen, kriteria kestabilan sistem persamaan diferensial, kriteria Routh-Hurwitz, dan bilangan reproduksi dasar. Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut di atas. A. Model Matematika Penyebaran Penyakit Model matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan
matematika.
Pemodelan
matematika
merupakan
suatu
proses
merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007: 1). Suatu model matematika
dikatakan baik jika model matematika yang terbentuk dapat merepresentasikan atau mewakili suatu permasalahan dalam kehidupan nyata. Berikut diberikan langkah-langkah dalam pemodelan matematika menurut Widowati & Sutimin (2007: 3-5). 1.
Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian matematika.
Langkah ini membutuhkan pemahaman pada permasalahan yang akan dimodelkan sehingga pada langkah ini dapat dilakukan identifikasi variabelvariabel dalam masalah dan membentuk beberapa hubungan antar variabel yang dihasilkan dari permasalahan tersebut. 9
2.
Menentukan asumsi yang akan digunakan. Pada dasarnya asumsi mencerminkan bagaimana proses berpikir sehingga diperoleh suatu model. Asumsi yang diterapkan oleh setiap individu dapat berbeda dari individu lainnya dalam suatu permasalahan yang sama. Hal ini yang nantinya akan menyebabkan adanya perbedaan pada model yang dihasilkan.
3.
Membentuk model matematika. Dengan pemahaman hubungan antar variabel dan asumsi, langkah selanjutnya yaitu memformulasikan persamaan atau sistem persamaan. Formulasi model merupakan langkah yang paling penting dan sulit sehingga suatu saat diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar dalam proses pembentukan formulasi dapat sesuai dan realistik.
4.
Menentukan solusi atau menyelidiki sifat solusi. Tidak semua model matematika dapat dengan mudah ditentukan hasil atau solusinya sehingga pada langkah ini dapat dilakukan analisis atau menyelidiki mengenai sifat atau perilaku dari solusi model matematika tersebut.
5.
Interpretasi solusi atau sifat solusi model matematika. Hal ini menghubungkan kembali formula matematika dengan permasalahan dalam kehidupan nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan selanjutnya diinterpretasikan sebagai solusi dalam dunia nyata.
10
Untuk lebih mudahnya, diberikan diagram alur langkah-langkah pemodelan matematika menurut Widowati & Sutimin (2007: 3) pada Gambar 2.1.
Masalah Dunia Nyata
Masalah Dalam Matematika
Asumsi
Formulasi Persamaan/ Pertidaksamaan
Solusi Dunia Nyata
Interpretasi Solusi atau Sifat Solusi
Menentukan Solusi atau Sifat dari Solusi
Gambar 2.1. Proses pemodelan matematika menurut Widowati & Sutimin
Beberapa model matematika yang sering digunakan dalam penyebaran penyakit memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi (pembagian kelas) yang menggambarkan penyebaran penyakit pada masingmasing kelas. Suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas yang masingmasing kelas mewakili tahapan berbeda. Beberapa istilah yang sering kita dengar dalam model epidemiologi di antaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik merupakan fenomena suatu penyakit tiba-tiba muncul dalam suatu populasi dan menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu, sedangkan endemik
11
merupakan fenomena suatu penyakit yang muncul akan selalu dalam suatu populasi. Model penyebaran penyakit pertama kali dikemukakan oleh Kermark & McKendrick pada tahun 1927 yang terdiri atas kelas susceptible (S), infection (I), dan recovered (R) sehingga dikenal sebagai model epidemik SIR. Kelas susceptible (S) merupakan kelas individu yang rentan terhadap suatu penyakit. Kelas infection (I) merupakan kelas individu yang terinfeksi suatu penyakit terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit ke individu pada populasi rentan. Kelas recovered (R) merupakan kelas individu yang telah sembuh dari suatu penyakit. Untuk pemodelan penyebaran suatu penyakit, penambahan atau pengurangan suatu kelas dapat terjadi sesuai dengan karakteristik penyebaran penyakit yang akan dibahas. Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten (masa inkubasi) seperti model SEIR dan MSEIR, terdapat kelas E (exposed) yang digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki periode laten, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit ke individu lain. Kelas M (maternal antibody) digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru lahir dan memiliki kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya berlangsung sementara dan kemudian individu pada kelas
ini akan memasuki kelas rentan
(susceptible). Model matematika epidemik di antaranya SIR, SIRS, SEIR, MSEIR dan termasuk model SVID.
12
Berikut diberikan beberapa model matematika berdasarkan penelitian yang telah dilakukan sebelumnya dan akan dijadikan sebagai acuan dalam pembentukan model matematika pada skripsi ini. Penelitian mengenai model penyebaran penyakit tuberkulosis dilakukan oleh Fredlina, Oka, & Dwipayana (2012) dalam jurnal matematika yang berjudul Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovery) untuk Penyebaran Penyakit Tuberkulosis yang menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB dan menghasilkan persamaan model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible (S), infectious (I), dan recovered (R). Jumlah populasi
akan bertambah karena kelahiran sebesar
, dengan
adalah konstan dan berkurang karena kematian dengan laju , kontak langsung dengan individu yang terinfeksi menyebabkan individu pada populasi rentan akan ikut terinfeksi dan masuk menjadi populasi
dengan laju penularan penyakit TB
sebesar . Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alami dengan laju
dan kematian karena penyakit TB dengan laju
terinfeksi TB dapat sembuh dengan laju
. Individu yang
dan masuk dalam populasi
juga menyebabkan berkurangnya populasi . Individu dalam kelas
. Hal ini
diasumsikan
tidak akan kambuh kembali menjadi penderita TB. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian dengan laju . Berdasarkan pernyataan-pernyataan diatas diperoleh diagram alir sebagai berikut
13
Gambar 2.2. Diagram alir model matematika SIR menurut Fredlina, Oka, & Dwipayana sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut
(
dengan
)
.
Pada kenyataannya, dalam penyebaran penyakit TB terdapat individu yang terinfeksi TB namun tidak menunjukkan gejala dan belum bisa menularkan penyakit TB kepada individu lain yang disebut dengan penderita TB laten, sehingga penelitian yang dilakukan oleh Adetunde (2008) yang berjudul On the Control and Eradication Strategies of Mathematical Models of the Tuberculosis in A Community membahas model matematika SLIR yang membagi populasi menjadi empat kelas, yaitu kelas susceptible, kelas latent, kelas infectives, dan kelas recoveries. Populasi pada kelas rentan akan bertambah karena adanya kelahiran ( ) dan akan berkurang karena adanya kematian alami ( ). Kontak langsung antara individu ini dengan individu yang terinfeksi ( ) mengakibatkan individu ikut terinfeksi sehingga populasi kelas ini berkurang dengan laju sebesar
. 14
Kelas
menyatakan individu yang telah terdeteksi TB tetapi belum
menginfeksi. Populasi ini bertambah oleh masuknya individu dari kelas susceptible yang telah terinfeksi, sedangkan berkurangnya populasi disebabkan oleh kematian alami ( ) pengobatan hingga sembuh ( ) dan berkembangnya bakteri TB sehingga individu ini dapat menularkan ke individu lain ( ) Kelas
menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB
kepada individu lain. Bertambahnya populasi kelas ini dikarenakan masuknya individu dari kelas
yang disebabkan bakteri TB telah menjadi aktif ( )
Berkurangnya kelas ini dikarenakan adanya kematian alami ( ) dan kematian akibat penyakit TB ( ) dan adanya pengobatan hingga sembuh ( ) Kelas
menyatakan populasi individu yang telah sembuh dari penyakit TB
dan diasumsikan dapat terjangkit TB lagi sehingga masuk kembali ke kelas sebesar
Populasi kelas ini bertambah karena masuknya individu yang telah
sembuh dari kelas
dan kelas sebesar
dan
Populasi ini berkurang karena
adanya kematian alami ( ) Berdasarkan
pernyataan-pernyataan
tersebut
menghasilkan
model
matematika yang diberikan dalam diagram alir sebagai berikut
_2
Gambar 2.3. Diagram alir model matematika SLIR menurut Adetunde 15
sehingga diperoleh model matemamatika sebagai berikut
( (
dengan
)
)
menyatakan total area yang ditempati populasi dan
menyatakan jumlah total populasi. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Rosadi (2014) dalam tesis yang berjudul Model Dua Strain Penyakit Tuberculosis menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible (S), infectious (I), dan susceptible (S) dengan kelas infectious yang terdiri dari dua strain/jenis, yaitu strain kelas infeksi TB yang resisten terhadap obat anti TB ( ) dan strain kelas infeksi TB yang sensitif terhadap obat anti TB ( ). Berikut diberikan diagram alir model penyebaran penyakit TB menurut Rosadi.
Gambar 2.4. Diagram alir model matematika SIS menurut Rosadi sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut 16
(
dengan
)
(
(
)
(
)
merupakan laju kelahiran dan kematian,
penyakit TB,
)
merupakan laju penularan
merupakan laju kontak antara penderita TB antar strain, dan
merupakan laju sembuh. Pada penelitian-penelitian tersebut, belum ada yang membahas mengenai adanya maternal antibody sehingga Wulandari (2013) dalam skripsinya yang berjudul Analisis Model Epidemik MSEIR pada Penyebaran Penyakit Difteri menggunakan model matematika dengan adanya kelas maternal antibody dan dalam skripsi ini model tersebut akan digunakan untuk penyebaran penyakit TB. Berikut diberikan diagram alir model matematika menurut Wulandari.
M
Gambar 2.4. Diagram alir model matematika MSEIR menurut Wulandari Berdasarkan diagram alir tersebut diperoleh model matematika sebagai berikut
17
dengan
( )
( )
( )
( )
( )
( )
adalah laju kelahiran populasi yang dilindungi oleh kekebalan tubuh, adalah laju transisi dari kelas maternal antibody ke susceptible, transisi dari kelas susceptible ke expose, ke infected,
adalah laju
adalah laju transisi dari kelas exposed
adalah laju transisi dari kelas infected ke recovered. Laju kematian
alami untuk tiap kelas dinyatakan dengan . B. Sistem Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang
secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah
persamaan garis yang berbentuk
. Persamaan semacam ini
dinamakan persamaan linear dengan dua variabel
dan . Secara umum untuk
variabel yang berhingga (
), persamaan linear dapat dinyatakan
sebagai
dengan
dan
adalah konstanta-konstanta real.
Berikut akan diberikan definisi mengenai sistem persamaan linear homogen. Definisi 2.2.1 (Anton, 1988: 19) Diberikan
variabel dan
persamaan. Sistem
persamaan linear dikatakan homogen apabila semua suku konstanta sama dengan nol.
18
(2.2.1)
Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten sebab merupakan solusi. Solusi tersebut dinamakan sebagai solusi trivial. Jika solusi tidak sama dengan nol, maka solusi tersebut dinamakan solusi nontrivial. Oleh karena sistem persamaan linear homogen harus konsisten maka sistem tersebut akan memiliki satu solusi atau tak hingga banyak solusi. Selanjutnya sistem (2.2.1) dapat dibentuk sebagai persamaan matriks tunggal yaitu (2.2.2) dengan
(
)
serta
adalah matriks dengan jumlah baris
dan jumlah kolom . C. Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial memiliki peran penting tidak hanya di bidang matematika, namun di bidang lainnya seperti fisika, mesin, ekonomi, biologi, dan lain sebagainya. Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ ̇ ̇ dengan
,
Diberikan pula kondisi awal
̇ ( )
( (
) )
(
)
,
, dan (
(2.3.1)
)
.
. 19
Sistem (2.3.1) dapat ditulis menjadi ̇ dengan
(
)
dan syarat awal ( )
,
(
(2.3.2)
( ) (
) , ̇
)
( ̇
̇) , ̇
.
Dalam hal ini sistem (2.3.2) disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena variabel waktu jika
tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya,
masing-masing linear dalam
maka sistem (2.3.1)
disebut sistem persamaan diferensial linear. Sistem (2.3.1) dapat ditulis dalam bentuk ̇ ̇
(2.3.3)
̇ Sistem (2.3.3) dinyatakan dalam bentuk ̇
dengan
(
, dan
(2.3.4)
(
)
.
Jadi, sistem (2.3.4) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.3.1), tetapi jika sistem (2.3.1) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem (2.3.4) maka sistem (2.3.1) tersebut disebut sistem persamaan diferensial nonlinear. Selanjutnya simbol
( )
*
diferensiabel pada
dan
kontinu pada }. Berikut ini diberikan definisi dari solusi sistem (2.3.2).
20
( ) dengan
Definisi 2.3.1 (Perko, 2001: 71) Diberikan
terbuka. ( ) disebut solusi sistem (2.3.2) pada interval pada dan ( ) memenuhi ̇
( ( )) untuk setiap
himpunan
jika ( ) diferensiabel .
D. Titik Ekuilibrium Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Berikut akan didefinisikan mengenai titik ekuilibrium dari sistem (2.3.2). Definisi 2.4.1 (Perko, 2001: 102) Titik ̅ sistem (2.3.2) jika (̅)
disebut titik ekuilibrium dari
.
Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi 2.4.1. Contoh 2.4.2 Diberikan sistem persamaan differensial yaitu ( )
(
*.
Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial diatas. Penyelesaian. Titik ekuilibrium dari sistem persamaan diatas dapat diperoleh jika (̅)
, sehingga sistem tersebut menjadi
atau dapat ditulis menjadi (
)
.
Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh ̅̅̅ Jika ̅̅̅
dan ̅̅̅
.
sehingga didapat titik ekuilibrium
(
dan menurut persamaan ,
maka diperoleh Jika ̅̅̅
) .
dan menurut persamaan 21
maka diperoleh
(
sehingga didapat titik ekuilibrium
) .
E. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Linearisasi dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik. Proses linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret Taylor untuk sistem ( (̅)
) di sekitar titik ekuilibrium ̅
( ̅ ̅
̅
̅ ) dengan
sebagai berikut ̇
( )
(̅)
(
(̅)
̇
( )
(̅)
̇
( )
(̅)
(
(
(̅)
̅ )
(
̅ )
(
̅ )
̅ ) ̅ ‖)
(
(‖
(̅)
̅ )
(
(‖ (̅)
̅ )
(
(̅)
(̅)
̅ )
̅ ) ̅ ‖)
(
(‖
̅ ) ̅ ‖)
Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh
22
̇
̇
̇
(̅) (̅)
(̅)
(
̅ )
(
̅ )
(
̅ )
(̅)
(
̅ )
(
̅ )
(
̅ )
(̅)
(̅)
(̅) (̅)
(̅)
(
̅ )
(
̅ )
(
̅ )
Selanjutnya didefinisikan ̅ ̅
̅ Didapat derivatifnya yaitu ̇ sehingga ̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇ dan diperoleh ̇
̇
̇
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(2.5.1)
(̅)
Jika bentuk (2.5.1) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh
23
̇ ̇
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
( ,
( ,
̇
(̅)
(̅) )
(̅)
( atau ditulis menjadi ( (̅)) ̇
dengan ( (̅)) merupakan matriks Jacobian dan fungsi
di titik ekuilibrium ̅.
Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian. Definisi 2.5.1 (Perko, 2001) Diberikan fungsi ( )
dan
dengan
himpunan terbuka. Matriks
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅)
(̅) )
( ( ̅ ))
( dari ̅.
dinamakan matriks Jacobian dari
Selanjutnya diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan nonlinear. Definisi 2.5.2 (Perko, 2001: 102) Diberikan matriks Jacobian ( ( )) pada (2.5.1). Sistem linear ̇ disebut linearisasi dari sistem ̇
( (̅)) ( ) disekitar titik ̅.
24
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Aplikasi dari aljabar linear yang melibatkan sistem dengan
persamaan dan
variabel disajikan dalam definisi berikut. Definisi 2.6.1 (Anton, 1988: 277) Jika yang tak nol
di dalam
adalah matriks
maka sebuah vektor
dinamakan vektor eigen dari
jika
adalah
kelipatan skalar dari , yakni
untuk suatu skalar . Skalar
dinamakan nilai eigen dari
dan
dikatakan
sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen suatu matriks
yang berukuran
atau dapat ditulis sebagai
diperoleh dari
. Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat
ditulis kembali menjadi (
)
(2.6.1)
dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (2.6.1) akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika (
)
. Berikut didefinisikan mengenai determinan suatu matriks .
Definisi 2.6.2 (Anton, 1988: 63) Misalkan Fungsi determinan dinyatakan oleh
adalah sebuah matriks persegi.
dan didefinisikan
semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari
( ) sebagai jumlah . Jumlah det (A) kita
namakan determinan A. Matriks
berukuran
elementer bertanda dari
mempunyai
hasil kali elementer. Hasil kali
adalah hasil kali elementer
dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (
dikalikan ) adalah permutasi 25
genap dari himpunan *
+ dan tanda – jika (
) adalah permutasi
ganjil. Determinan dari matriks persegi dapat ditentukan sebagai berikut 1.
*
2.
[
+
]
Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi di atas. Contoh 2.6.3 *
Diberikan matriks
+. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks . Penyelesaian. Karena *
+
*
+
*
+
maka deterninan dari persamaan di atas adalah (
)
(*
Persamaan karakteristik dari
adalah
+)
sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks
.
adalah
dan
.
Menurut definisi, * + adalah vektor eigen
yang bersesuaian dengan
jika dan hanya jika x adalah
pemecahan nontrivial dari persamaan (2.6.1), yakni, dari 26
* Jika
+* +
(2.6.2)
.
, maka persamaan (2.6.2) menjadi *
+* +
Apabila persamaan di atas ditulis dalam bentuk sistem persamaan menjadi
Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan
,
, maka * +
*
sehingga +
*
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan Jika
+ . *
adalah
+.
, maka persamaan (2.6.2) menjadi *
+* +
yang dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan
Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan
,
, maka * +
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
sehingga *
+
*
adalah
+ *
+.
Nilai determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom atau baris yang didefinisikan sebagai berikut. 27
Definisi 2.6.4 (Anton, 1988: 77) Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri dinyatakan oleh
dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang
tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan ( dinyatakan oleh
dan dinamakan kofaktor entri
Misalkan matriks
)
.
secara umum yaitu [
]
dengan determinan ( )
dapat ditulis kembali sebagai ( )
(
)
(
)
(
). Karena pernyataan-pernyataan di dalam kurung merupakan kofaktor-kofaktor dan
maka diperoleh ( )
.
Hal ini memperlihatkan bahwa determinan entri-entri
dalam
kolom
pertama
dapat dihitung dengan mengalikan dengan
kofaktor-kofaktornya
dan
menambahkan hasil kalinya. G. Kestabilan Titik Ekuilibrium Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.
28
Definisi 2.7.1 (Olsder & Woude, 2004: 57) Diberikan sistem persamaan diferensial orde satu ̇
( ) dan
(
pada saat dengan kondisi awal ( )
) adalah solusi persamaan tersebut .
i. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika diberikan sedemikian sehingga jika ‖ semua
̅‖
, maka ‖ (
, terdapat )
̅‖
untuk
.
ii. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika titik-titik ekuilibriumnya stabil dan terdapat asalkan ‖
̅‖
sedemikian sehingga
‖ (
)
̅‖
,
.
iii. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika titik-titik ekuilibriumnya tidak memenuhi (i). Pada definisi diatas, ‖ ‖ menyatakan norm atau panjang pada
.
Berikut ilustrasi titik ekuilibrium stabil, stabil asimtotik, dan tidak stabil yang akan ditunjukkan pada gambar 2.6.
Gambar 2.6. Ilustrasi tipe kestabilan titik ekuilibrium
Berdasarkan Gambar 2.6, titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi sistem persamaan pada saat
selalu berada pada jarak yang cukup dekat dengan titik
29
ekuilibrium tersebut, titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik jika solusi sistem persamaan pada saat
akan menuju ke titik ekuilibrium, dan titik ekuilibrium
dikatakan tidak stabil jika solusi sistem persamaan pada saat
bergerak menjauhi
titik ekuilibrium tersebut. Matriks Jacobian ( (̅)) dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem nonliear di sekitar titik ekuilibrium ̅ asalkan titik ekuilibrium tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi tentang titik ekuilibrium hiperbolik. Definisi 2.7.2 (Perko, 2001: 102) Titik ekuilibrium ̅ dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( (̅)) mempunyai bagian real tak nol. Berikut diberikan definisi mengenai sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian. Definisi 2.7.3 (Perko, 2001: 102) Suatu titik ekuilibrium ̅ pada sistem persamaan diferensial ̇
( ) dikatakan
i. stabil node (sink), jika semua nilai eigen matriks Jacobian
( (̅))
mempunyai bagian real negatif, ii. tidak stabil node (source), jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( (̅)) mempunyai bagian real positif, iii. pelana (saddle), jika titik ekuilibrium hiperbolik dan terdapat nilai eigen matriks Jacobian ( (̅)) mempunyai bagian real positif dan megatif. Selanjutnya, diberikan pula teorema yang menyajikan sifat kestabilan suatu sistem ̇
dengan nilai eigen
dengan
.
30
Teorema 2.7.4 (Olsder & Woude, 2004: 58) Diberikan sistem persamaan diferensial ̇
, dengan
berbeda
suatu matriks
dengan
i. Titik ekuilibrium ̅
yang mempunyai
nilai eigen
.
dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika
untuk setiap
.
ii. Titik ekuilibrium ̅
dikatakan stabil jika dan hanya jika
setiap
dan jika setiap nilai eigen
untuk
imajiner dengan
,
maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama. iii. Titik ekuilibrium ̅
dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat
paling sedikit satu
untuk setiap
.
Bukti: i. Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium ̅ untuk setiap
stabil asimtotik maka
.
Penyelesaian. Berdasarkan definisi (2.7.1), titik ekuilibrium ̅ ‖ ( ̅
)
. Karena
̅‖ (
. Hal ini berarti untuk
stabil asimtotik jika , (
) akan menuju
) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial,
) memuat
( )
maka
(
maka
harus bernilai negatif.
. Akibatnya, untuk
Selanjtnya, akan dibuktikan bahwa jika maka titik ekuilibrium ̅
( )
menuju ̅
,
untuk setiap
stabil asimtotik.
Penyelesaian.
31
Solusi dari sistem persamaan differensial adalah (
akan menuju ̅ ̅
( )
) selalu memuat
. Jika
(
) sehingga , (
, maka untuk
)
sehingga berdasarkan definisi (2.7.1), titik ekuilibrium
stabil asimtotik.
ii. Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium ̅ untuk setiap
stabil, maka
.
Penyelesaian. Andaikan memuat
( )
(
) yang
(menjauh dari titik ekuilibrium ̅
) untuk
, maka solusi persamaan diferensial akan menuju
, sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik ekuilibrium ̅
stabil, maka
untuk setiap
. Jadi, terbukti bahwa jika titik ekuilibrium ̅ untuk setiap
stabil, maka
.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika maka titik ekuilibrium ̅
untuk setiap
stabil dan jika ada
, maka
multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama. Penyelesaian. Solusi dari sistem persamaan differensial adalah (
) selalu memuat
( )
. Jika
stabil asimtotik (pasti stabil). Jika
(
) sehingga
, maka titik ekuilibrium ̅ , maka nilai eigen berupa bilangan
kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. 32
Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang sistem pada
yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni. ̇ [ ] ̇
[
]* +
.
(2.7.1)
Nilai eigen dari sistem (2.7.1) ditentukan dengan mensubtitusi matriks [
(
] ke dalam persamaan
)
([ Persamaan karakteristik dari matriks
(
Berdasarkan definisi, bersesuaian dengan (
)
.
adalah
)
√
dan
.
adalah vektor eigen dari
jika dan hanya jika
yang
adalah solusi nontrivial dari
, yakni, dari [
Jika
]*
√
Akar dari persamaan di atas yaitu
sehingga diperoleh
√
]* +
(2.7.2)
.
, maka (2.7.2) menjadi [
√ √
]* +
.
Matriks augmentasi dari sistem di atas yaitu [
√ √
Baris pertama matriks augmentasi dikali dengan
]. √
sehingga matiks
augmentasi menjadi 33
√
[
]. √
Baris kedua matriks di atas dikali dengan
sehingga diperoleh
√
[
].
√
Selanjutnya, baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh matriks dalam bentuk eselon tereduksi √
[
]
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi di atas diperoleh solusi * +
[
√
]
atau dapat ditulis * +
[
√
√
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan Jika
√
]
yaitu * +
[
√
]
, maka (2.7.2) menjadi [
√ √
]* +
Matriks augmentasi dari sistem di atas yaitu
34
√
[
].
√ √
Baris pertama matriks augmentasi dikali dengan
sehingga matiks
augmentasi menjadi √
[
]. √
Baris kedua matriks di atas dikali dengan
sehingga diperoleh
√
[
].
√
Selanjutnya, baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh matriks dalam bentuk eselon tereduksi √
[
]
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi di atas diperoleh solusi * +
[
√
]
atau dapat ditulis * +
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan
[
√
]
√
yaitu * +
[
√
]
Terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan vektor eigen. 35
iii. Akan dibuktikan jika titik ekuilibrium ̅ untuk setiap
tidak stabil, maka
.
Penyelesaian. Titik ekuilibrium ̅ akan menuju
. Karena
diferensial, maka ( jika
, maka (
dikatakan tidak stabil jika (
) merupakan solusi dari sistem persamaan
) memuat
untuk setiap
( )
. Untuk (
) menuju
dipenuhi
.
Selanjutnya, akan dibuktikan jika maka titik ekuilibrium ̅
)
untuk setiap
,
tidak stabil.
Penyelesaian. Jika ( )
maka solusi persamaan diferensial (
akan selalu menuju
) yang memuat
. Hal ini berarti bahwa solusi tersebut akan
menjauhi titik ekuilibrium ̅
sehingga titik ekuilibrium ̅
dikatakan
tidak stabil. H. Kriteria Routh-Hurwitz Permasalahan yang sering timbul dalam menentukan suatu tipe kestabilan sistem dengan menggunakan nilai eigen adalah ketika mencari akar persamaan karakteristik berorde tinggi. Oleh sebab itu, diperlukan suatu kriteria yang mampu menjamin nilai dari akar suatu persamaan karakteristik tersebut negatif atau ada yang bernilai positif. Salah satu kriteria yang efektif untuk menguji kestabilan sistem adalah kriteria Routh-Hurwitz.
36
Kriteria Routh-Hurwitz didasarkan pada pengurutan koefisien persamaan karakteristik sistem orde yang dituangkan ke dalam bentuk array. Diberikan suatu persamaan karaketristik dari akar-akar karakteristik matriks |
|
sebagai berikut (2.8.1)
dengan
dan
merupakan koefisien dari persamaan
karakteristik dari matriks . Tabel Routh-Hurwitz adalah tabel yang disusun berdasarkan pengurutan koefisien-koefisien karakteristik dari matriks tersebut. Berikut diberikan tabel Routh-Hurwitz yang ditunjukkan Tabel 2.1. Tabel 2.1. Tabel Routh-Hurwitz
dengan
didefinisikan sebagai berikut
,
, (2.8.2)
,
, dan
Perhitungan dalam membentuk tabel Routh-Hurtwitz terus dilakukan sampai kolom pertama menghasilkan nilai nol. Matriks
dikatakan stabil
menurut teorema 2.7.4 apabila semua bagian real dari nilai eigennya bernilai 37
negatif, dalam kriteria Routh-Hurwitz hal ini dapat ditunjukan dengan tidak adanya perubahan tanda pada kolom pertama tabel 2.1. Artinya berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz suatu sistem persamaan diferensial dikatakan stabil jika dan hanya jika setiap elemen di kolom pertama tabel Routh-Hurwitznya memiliki tanda yang sama. Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan definisi mengenai kriteria Routh-Hurwitz. Definisi 2.8.1 (Olsder & Woude, 2004: 61) Diberikan polinomial (2.8.3) dengan
, akar-akar polinomial (2.8.3) memiliki bagian real negatif jika
dan hanya jika tabel Routh-Hurtwitz terdiri dari
baris dan semua elemen
kolom pertama pada tabel tidak mengalami perubahan tanda, semua elemen pada kolom pertama bertanda positif atau negatif. I.
Bilangan Reproduksi Dasar (
)
Tingkat penyebaran suatu penyakit atau infeksi dapat diketahui melalui suatu parameter tertentu yang digunakan untuk melihat seberapa besar potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Parameter yang dimaksud yakni Bilangan Reproduksi Dasar (
).
Bilangan reproduksi dasar (
) didefinisikan sebagai jumlah rata-rata kasus
sekunder yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya dalam keseluruhan populasi rentan (Diekmann & Heesterbeek, 2000). Angka ini berbeda untuk setiap penyakit dan biasanya dipengaruhi oleh jenis penyakit, keadaan masyarakat, dan kondisi lingkungan tempat penyakit berkembang. Apabila angka reproduksi ini tinggi maka penyebaran penyakit akan meningkat. 38
Artinya penyebaran penyakit semakin berbahaya dan epidemik semakin meningkat. Dalam istilah lain
disebut juga sebagai rata-rata pertumbuhan awal.
Bilangan reproduksi dasar mempunyai nilai batas 1 (satu) sehingga jika nilai kurang dari satu (
), maka satu individu yang terinfeksi strain penyakit TB
akan menginfeksi kurang dari satu individu rentan sehingga penyakit TB kemungkinan akan hilang dari populasi atau individu yang terinfeksi oleh penyakit TB kemungkinan tidak ada dalam populasi. Sebaliknya, jika dari satu (
lebih
), maka individu yang terinfeksi oleh penyakit TB akan
menginfeksi lebih dari satu individu yang rentan sehingga individu yang terinfeksi TB ada dalam populasi atau penyakit TB akan menyebar ke populasi. Metode yang digunakan untuk menentukan nilai
dalam skripsi ini adalah
dengan menggunakan metode Driessche & Watmough (2002) yaitu metode matriks generasi berikutnya dengan nilai
. Hal ini dikarenakan banyaknya
suatu individu yang terinfeksi tidak mungkin bernilai negatif. Selanjutnya, didefinisikan sebagai radius spektral dari matriks generasi berikutnya. Matriks ini merupakan matriks yang dikontruksi dari sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi saja. Diberikan keterinfeksi sebesar
(
) dengan
0 menyatakan proporsi kelas
yang terinfeksi pada saat . Misalkan proporsi kelas yang sehingga
. Selanjutnya, didefinisikan
merupakan
matriks laju terjadinya infeksi baru suatu penyakit pada kelas ke- dan merupakan selisih laju perpindahan individu yang keluar dari kelas ke- dengan 39
laju perpindahan individu yang masuk ke dalam kelas ke- sehingga bentuk menjadi
dengan
merupakan laju perpindahan individu yang keluar dari kelas ke- dan
merupakan laju perpindahan individu yang masuk ke dalam kelas kelas keSelanjutnya diperhatikan model penyebaran penyakit berikut ( ) ̇
( )
( )
( )
(2.9.1)
dengan ( )
( )
( ).
Sistem (2.9.1) dapat ditulis menjadi bentuk ( ) ̇ dengan
( )
(
( )
Matriks Jacobian dari
( ) ( ) dan
( )
( )) dan ( )
(2.9.2) ( )
(
( )
( )) .
( ) hasil linearisasi di sekitar titik ekuilibrium
bebas penyakit ̅ pada sistem (2.9.2) adalah ( ( ̅ )) dengan
dan
+ dan ( ( ))
*
merupakan matriks
Lebih lanjut entri matriks non-singular, kemudian matriks
[
]
(2.9.3)
yang didefinisikan sebagai berikut
(
( ̅ )*
,
(
( ̅ )*
.
bernilai non-negatif dan
adalah M-matriks
dicari inversnya sehingga diperoleh
merupakan matriks non-negatif. Terakhir, perkalian dari matriks
yang
dengan matriks 40
akan diperoleh
. Bentuk
merupakan matriks generasi berikutnya
untuk sistem (2.9.2). Menurut Driessche dan Watmough (2002), radius spektral ( ) dari matriks generasi berikutnya
merupakan bilangan reproduksi dasar untuk sistem
(2.9.2) pada titik ekuilibrium bebas penyakit ̅ sehingga diperoleh (
Selanjutnya, diberikan teorema tentang kestabilan
(
)
).
Teorema 2.9.1. (Diessche & Watmough, 2002: 33) Diberikan ̅ merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit dari sistem persamaan
̇
ekuilibrium bebas penyakit ̅ stabil asimtotik lokal jika tidak stabil jika
(
)
( ), maka titik (
)
dan
.
Selanjutnya, diberikan lemma sebagai syarat upaya titik ekuilibrium ̅ stabil lokal. Lemma 2.9.2 (Brauer & Castillo-Chaves, 2011) Diberikan negatif dan (
matriks non-
M-matriks non-singular, bilangan reproduksi dasar )
jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks (
)
mempunyai bagian real negatif. Berikut akan diberikan contoh dalam menentukan bilangan reproduksi dasar
pada suatu sistem persamaan nonlinear.
Contoh 2.9.3 Berikut diberikan contoh model matematika dari penyebaran penyakit. Populasi terdiri dari empat kelas yaitu Susceptible (S) yaitu kelas yang rentan dengan penyakit, exposed (E) yaitu kelas infeksi tapi tidak menular, infection (I) yaitu kelas yang terinfeksi dan menular, dan remove (R) yaitu kelas yang sembuh 41
dari penyakit. Model matematika penyebaran penyakit sebagai berikut ̇
( ̇
)
(
)
(2.9.4)
̇ ̇ Pada sistem (2.9.4) akan dicari bilangan reproduksi dasar dengan terlebih dahulu menentukan transfer infeksi baru, yaitu kelas E dan kelas I sehingga didefinisikan matriks
merupakan matriks infeksi baru pada populasi. Kemudian
didefinisikan matriks perpindahan individu dari kelas yang satu ke kelas yang lain dalam hal ini disimbolkan dengan . Dari definisi matriks di atas maka dapat disusun matriks
dan
sebagai
berikut ( (
, dan
(
Selanjutnya, entri matriks
) ,.
dan
dicari turunan parsialnya sehingga
diperoleh (
) dan
Lebih lanjut matriks
(
Perkalian dari matriks
(
).
dicari inversnya sehingga diperoleh
,
dengan matriks
akan diperoleh
42
(
Matriks nilai eigen yaitu
)(
,
(
+
merupakan matriks generasi berikutnya dan mempunyai satu sehingga bilangan reproduksi dasar dari sistem (2.9.4)
adalah
43
