BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa definisi dan teori yang akan digunakan pada pembahasan berdasarkan literatur yang relevan. A. Program Linear Model Program Linear (MPL) merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk memodelkan masalah optimasi yang bertujuan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang berbentuk linear dan memenuhi beberapa fungsi kendala yang juga berbentuk linear. MPL memiliki dua unsur utama yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan adalah fungsi linear dari beberapa variabel keputusan. Variabel keputusan adalah variabel yang menyatakan keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan akan memberikan nilai fungsi tujuan yang paling menguntungkan. Variabel keputusan harus ditentukan terlebih dahulu sebelum menentukan fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi kendala adalah fungsi yang mengendalikan nilai variabel keputusan. Berikut ini diberikan contoh model program linear untuk lebih memahami yang dimaksud dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala. Contoh 2.1 Akan ditentukan nilai dari
yang memaksimumkan (2.1)
dengan kendala (2.2)
6
Fungsi (2.1) merupakan fungsi tujuan dan Fungsi (2.2) merupakan fungsi kendala. Selanjutnya, Definisi 2.1 berikut menjelaskan tentang fungsi. Definisi 2.1 Fungsi (Varberg dan Purcell, 2010:57). Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal fungsi, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua yang disebut daerah hasil fungsi.
Untuk lebih memahami definisi tentang fungsi, berikut ini diberikan contoh tentang fungsi. Contoh 2.2 Gambar 2.1 dibawah ini merupakan contoh gambar bukan fungsi. 𝐴
𝐵
a
x
b
y
c
z
Gambar 2.1 Bukan Fungsi Gambar 2.2 dibawah ini merupakan contoh gambar fungsi. 𝐴
𝐵
a
x
b
y
c
z
Gambar 2.2 Fungsi
7
Salah satu bentuk fungsi yaitu fungsi linear, berikut ini diberikan definisi fungsi linear. Definisi 2.2 Fungsi Linear (Winston, 2004:55). Fungsi f(
)=
merupakan fungsi linear dengan koefisien dari
merupakan
.
Berikut ini, diberikan contoh mengenai bentuk fungsi linear dan fungsi non linear. Contoh 2.3 Diberikan fungsi sebagai berikut: (2.3) (2.4) Fungsi (2.3) merupakan fungsi linear dan Fungsi (2.4) merupakan fungsi nonlinear. 1. Model Program Linear Menurut B.Susanta (1994) Formula (1.1), (1.2), dan (1.3) dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut. Akan menentukan
yang memaksimumkan (2.5)
dengan kendala: (2.6) (2.7) dengan kolom
adalah matriks , dan
,
adalah vektor kolom
adalah vektor baris
8
.
,
adalah vektor
[
]
(2.8)
[
]
(2.9)
[
]
(2.10) (2.11)
[
MPL
banyak
digunakan
]
dalam
menyelesaikan
masalah-masalah
pengalokasian sumber daya, seperti dalam bidang pemasaran, keuangan, personalia, administrasi dan bidang lainnya. Selain itu dengan kemajuan teknologi, maka proses perhitungan untuk menyelesaikan MPL sudah menggunakan komputer, terutama dalam mengahadapi persoalan yang memiliki variabel cukup banyak, yang apabila dilakukan perhitungan dengan cara biasa akan memakai waktu yang cukup lama. Langkah awal yang diperlukan membuat MPL adalah perumusan model. Model merupakan tiruan suatu realitas, sedangkan perumusan model merupakan langkah untuk membuat peralihan dari realita ke model kualitatif. Menurut Ayu (1996), untuk merumuskan model suatu masalah optimasi kedalam bentuk MPL, harus dipenuhi syarat-syarat berikut: a. Tujuan masalah tersebut harus jelas dan tegas. Tujuannya yaitu ingin mendapatkan keuntungan yang maksimal atau meminimumkan biaya produksi b. Harus ada beberapa alternatif yang ingin dibandingkan. Misalkan kombinasi jumlah produksi dan keuntungan yang diperoleh c. Adanya sumber daya yang terbatas
9
d. Fungsi tujuan dan fungsi kendala dapat dirumuskan secara kuantitatif e. Adanya keterkaitan peubah Menurut Hillier & Liebermann (2010:36-41), selain syarat-syarat di atas juga terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu: a. Asumsi Proportionality (Kesebandingan) Asumsi proportionality menyatakan bahwa perubahan pada variabel keputusan ( ) akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan (
) dan juga kendalanya (
). Misalnya, apabila variabel keputusan
dinaikkan dua kali, maka secara proporsional (seimbang dan serasi) nilai-nilai fungsi tujuan dan kendalanya juga akan menjadi dua kali lipat. b. Asumsi Divisibility (Pembagian) Asumsi ini menyatakan bahwa nilai variabel keputusan
yang
dihasilkan oleh setiap aktivitas tidak harus berupa bilangan bulat, artinya nilai variabel keputusan berupa bilangan real. Apabila diinginkan solusi yang berupa bilangan bulat (integer) maka harus digunakan metode integer programming. c. Asumsi Determistic/Certainty (Kepastian) Asumsi ini menghendaki bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linear (
) dapat diperkirakan dengan pasti dan bernilai
tetap. Apabila nilai-nilai parameternya probabilistik, maka harus digunakan formulasi pemrograman masalah stokastik. d. Asumsi Linearity (Linearitas) Asumsi linearity menyatakan bahwa fungsi tujuan dan semua fungsi kendala harus dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi linear. Suatu fungsi kendala
10
yang melibatkan dua variabel keputusan maka dalam diagram dimensi dua kendala tersebut akan berupa suatu garis lurus. Demikian juga apabila suatu kendala melibatkan tiga variabel menghasilkan suatu bidang datar dan kendala yang melibatkan
variabel menghasilkan hyperplane dalam ruang berdimensi .
e. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Penambahan) Menurut B. Susanta (1994:12), asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien variabel keputusan pada fungsi tujuan) merupakan jumlah dari individu-individu Misalnya, keuntungan total
dalam program linier.
yang merupakan variabel keputusan, sama dengan
jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan (
).
2. Penyelesaian Model Program Linear MPL dengan dua variabel atau tiga variabel yang dapat disusutkan menjadi dua variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Untuk MPL yang memuat tiga variabel atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi MPL dengan dua varibel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks (B. Susanta, 1994:68). Menurut Supranto (2009:97), metode simpleks merupakan suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu penyelesaian layak basis (plb) awal ke plb lainnya dan dilakukan secara berulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sampai diperoleh penyelesaian optimal. Pada setiap langkah metode simpleks akan menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih baik (besar) atau sama dari langkah-langkah sebelumnya. Solusi untuk model program linear yang memenuhi Formula (2.6) dan (2.7) disebut penyelesaian layak (p.l) dan
11
penyelesaian layak yang mengoptimumkan Fungsi (2.5) disebut penyelesaian optimum (p.o) (B. Susanta, 1994:113). Menurut B Susanta (1994:69-108) Langkah-langkah penyelesaian MPL menggunakan tabel simpleks sebagai berikut: a. Mengubah soal ke dalam bentuk kanonik Bentuk kanonik MPL memiliki ciri-ciri bahwa semua kendala harus berbentuk kanonik/persamaan dengan koefisien ruas kanan tidak negatif dan memiliki variabel basis pada setiap kendala utamanya. Berikut ini diberikan definisi bentuk kanonik. Definisi 2.3 Bentuk Kanonik (B. Susanta, 1994:70). Bentuk kanonik MPL adalah model program linear dengan semua fungsi kendala utama berbentuk persamaan. Sehingga setiap kendala utama yang berbentuk pertidaksamaan diubah terlebih dahulu menjadi persamaan dengan menyisipkan variabel pengetat yaitu variabel slack dan variabel surplus. Variabel slack adalah variabel yang berfungsi untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatas. Sedangkan variabel surplus adalah variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat. Variabel slack
ditambahkan pada ruas kiri suatu ketaksamaan (≤) fungsi
kendala dan variabel surplus
ditambahkan pada ruas kiri suatu
ketaksamaan ( ) fungsi kendala sehingga bentuk fungsi kendala menjadi: ∑
menjadi ∑
(2.12)
∑
menjadi ∑
(2.13)
12
Selanjutnya dalam pembentukan bentuk kanonik untuk suatu fungsi kendala utama yang belum memiliki variabel basis perlu ditambahkan variabel artificial
. Penambahan variabel slack, surplus dan artificial pada fungsi
kendala utama mengakibatkan penambahan variabel-variabel tersebut pada fungsi tujuan. Koefisien ongkos untuk variabel slack dan surplus adalah nol dan variabel artificial adalah –
dengan
mewakili suatu bilangan yang
sangat besar. Untuk lebih memahami bentuk kanonik, berikut ini diberikan contoh tentang bentuk kanonik. Contoh 2.4 Bentuk kanonik dari Contoh 2.1 yaitu: akan ditentukan nilai
, ,
,
yang memenuhi susunan
kendala: + 2
= 17 +
= 15
≥0 dan memaksimumkan Kejadian penyelesaian persamaan linear dapat dilihat dengan rank suatu matriks. Rank suatu matriks dari
adalah ukuran terbesar dari matriks bagian
yang determinannya tidak nol (B. Susanta, 1994:34). Rank matriks
dilambangkan dengan
Jelas bahwa
13
(2.14) Suatu matriks bujursangkar
disebut singular bila
tidak singular bila
. Jadi bila
dan disebut
tidak singular maka
Berdasarkan Formula (2.6) dengan cara menulis matriks |
matriks
|
. , disusun
| adalah matriks
yang
dilengkapi dengan suku tetap di ruas kanan. Secara umum, menurut B. Susanta (1994:38) kejadian penyelesaian persamaan linear dapat ditandai dengan suatu rank matriks sebagai berikut: 1) Jika
) maka tidak ada penyelesaian.
2) Jika
maka ada penyelesaian. Terdapat dua jenis
penyelasaian yang dapat diperoleh dengan mengetahui banyaknya a) Untuk
maka diperoleh penyelesaian banyak
b) Untuk
maka diperoleh penyelesaian tunggal
yaitu:
Berikut ini diberikan contoh banyaknya penyelesaian pada persamaan linear. Contoh 2.5 MPL pada Contoh 2.4 diketahui nilai
dan
sehingga banyaknya
penyelesaian persamaan linear adalah penyelesaian banyak dengan banyaknya plb adalah
.
b. Menyusun tabel simpleks Untuk
mempermudah
langkah-langkah
penyelesaikan
MPL
menggunakan metode simpleks, berikut ini diberikan bentuk umum tabel simpleks yang disajikan pada Tabel 2.1.
14
Tabel 2.1 Tabel Simpleks
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
Keterangan:
̅ ̅
:
variabel-variabel keputusan
:
koefisien teknis
:
koefisien ruas kanan
:
koefisien ongkos
:
variabel yang menjadi basis pada tabel yang ditinjau
:
koefisien ongkos dari variabel basis ̅
:
∑
:
∑
(hasil kali ̅ dengan
:
selisih
dengan
:
̅
(hasil kali ̅ dengan kolom
)
)
, dengan syarat
Masukan seluruh koefisien ongkos, koefisien teknis dan koefisien ruas kanan dari MPL bentuk kanonik ke dalam simpleks. Selanjutnya dengan membuat variabel non basis bernilai nol pada Tabel 2.1 akan diperoleh ̅
penyelesaian basis awal yaitu
̅
=
dan
penyelesaian basis ini dikatakan layak jika nilai penyelesaian lebih besar atau
15
sama dengan nol. Berikut ini akan diberikan contoh penyelesaian metode simpleks. Contoh 2.6 Bentuk kanonik Contoh 2.5 dimasukkan kedalam Tabel 2.2 sebagai berikut. Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks
12 -15M+76
-2M+2 M+3
M-2
-2M-3
Dari Tabel
2.2
dapat
diketahui
penyelesaian
basis
awal
adalah
. c. Menguji keoptimuman Langkah ini bertujuan untuk memeriksa penyelesaian awal basis yang diperoleh dari tabel simpleks. Suatu penyelesaian layak basis MPL telah optimum apabila
untuk setiap , dengan
. Apabila
penyelesaian yang diperoleh dalam tabel simpleks telah optimum, maka langkah metode simpleks berhenti dan diperoleh penyelesaian yang optimum. Pada akhir iterasi (solusi akhir), variabel artificial harus bernilai nol. Saat variabel artificial ini mempunyai nilai yang tidak sama dengan nol, maka solusi yang diperoleh dinyatakan sebagai solusi tak layak. Namun apabila penyelesaian yang diperoleh belum optimum, maka dilanjutkan langkah
16
keempat yaitu memperbaiki tabel simpleks untuk memperoleh penyelesaian yang lebih baik yaitu penyelesaian yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Pada Contoh 2.6 penyelesaian layak basis MPL belum optimum karena masih ada . d. Memperbaiki tabel simpleks Langkah ini bertujuan untuk mencari penyelesaian layak basis lain yang akan menghasilkan penyelesaian yang lebih baik yaitu membuat nilai fungsi tujuan lebih besar dari tabel sebelumnya. Tabel simpleks yang baru diperoleh dengan cara memilih salah satu variabel non basis untuk dijadikan variabel basis baru pada tabel simpleks baru yang akan dibuat dan memilih satu variabel basis yang akan keluar dari basis karena akan digantikan oleh variabel basis baru yang telah terpilih. Variabel non basis yang akan menjadi variabel basis fungsi tujuan adalah variabel non basis
pada kolom ke-k yang memiliki nilai
paling kecil (
). Selanjutnya kolom yang terpilih tersebut dinamakan kolom kunci. Apabila ada beberapa alternatif kolom kunci, maka dapat dipilih salah satu diantaranya secara acak yang nantinya akan menyebabkan tabel simpleks berputar (cycling) yaitu langkah-langkah simpleks yang akan terus berjalan. Variabel basis yang harus keluar yaitu variabel nilai
yang terkecil dengan
dan
basis yang memiliki . Baris yang terpilih
dinamakan sebagai baris kunci dan perpotongan unsur yang terdapat pada baris kunci dan kolom kunci dinamakan unsur kunci. Unsur kunci ini yang digunakan untuk memperbaiki tabel.
17
Tabel baru yang telah diperoleh, dilakukan kembali uji keoptimalan dengan melihat nilai
Apabila penyelesaiannya telah optimal maka
iterasi dihentikan, tetapi apabila penyelesaiannya belum optimal maka langkah selanjutnya ulangi kembali ke langkah ketiga. Penyelesaian optimum dapat dilihat di kolom bi. Sedangkan nilai optimal dari fungsi tujuan dapat dilihat di baris
kolom bi. Contoh 2.6 diketahui bahwa MPL belum optimum maka dilakukan
perbaikan tabel yaitu dengan memilih nilai
paling kecil. Nilai
paling kecil pada Tabel 2.2 terdapat pada kolom 1 dan ditetapkan sebagai kolom kunci. Selanjutnya disusun nilai
yang terlihat pada Tabel 2.3 di
bawah ini. Tabel 2.3 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-1
-2M+2 M+3 -2M-3
-15M+76
M-2
Pada Tabel 2.3 masih ada nilai
yang bernilai negatif yaitu
kolom 1 dan kolom 7, jadi tabel belum optimum. Sesuai dengan langkah 4, dipilih kolom 1 sebagai kolom kunci dan disusun terdapat pada baris 2, berarti
. Kemudian
terkecil
(basis ke-2) harus keluar digantikan oleh
Tabel perlu diperbaiki dan diperoleh seperti Tabel 2.4 berikut ini.
18
.
Tabel 2.4 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-2 5
5
2
3
0
0
0
-M
0
0
0
0
1
0
5
1
0
0
0
0
-
2
0
1
0
0
0
25
3
0 5
0 2
1 3
0 0
0
0
-3
0
1
0
-1 -3
0
12
-3
Diketahui bahwa Tabel 2.4 belum optimum sehingga dipilih kolom 2 sebagai kolom kunci dan disusun berarti
. Kemudian
terkecil terdapat baris 1,
(basis ke-1) harus keluar digantikan dengan
. Tabel perlu
diperbaiki dan diperoleh seperti Tabel 2.5 berikut ini. Tabel 2.5 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-3
19
-
Diketahui bahwa Tabel 2.5 belum optimum sehingga dipilih kolom 7 sebagai kolom kunci dan disusun kunci maka nilai
. Karena nilai semua
pada kolom
tidak ada dan dapat disimpulkan bahwa penyelesaian layak
berada di tak berhingga. Selain kejadian-kejadian diatas terdapat juga kejadian-kejadian khusus dalam metode simpleks yaitu diantaranya: a) MPL tidak layak yang disebabkan oleh penyelesaian optimum tidak memenuhi kendala yang dapat dilihat dari adanya penyelesaian optimum ada variabel artificial yang bernilai positif. b) Merosot (degenerate) yang terjadi karena variabel basis dalam penyelesaian optimum bernilai nol. c) Kendala berlebih (redundant) terjadi saat terdapat variabel pengetatdan artificial merupakan variabel basis dalam penyelesaian optimum dan bernilai tidak nol. d) Ada alternatif PO (solusi lebih dari satu) yang terjadi karena pada penyelesaian optimum terdapat entri
yang bukan variabel basis
bernilai nol. e) Solusi tunggal terjadi karena banyaknya entri
sama dengan
banyak basisnya. f) Penyelesaian layak di tak berhingga saat semua koefisien pada kolom kunci bernilai negatif atau nol. Masalah optimasi dapat diselesaikan dengan menggunakan Matlab Optimization Toolbox. Matlab Optimization Toolbox mempunyai subroutine atau
20
solver LINPROG untuk menyelesaikan MPL. Menurut Santoso (2008:82) MPL (1.1), (1.2), dan (1.3) dapat diformulakan dengan bentuk sebagai berikut: min
(2.15)
fungsi kendala
Sedangkan sintaks linprog dalam Matlab adalah >>[x,fx,exitflag,out]=LINPROG (f,A,b,Aeq,beq,[ ],[ ],LB,UB) dengan
adalah koefisien untuk fungsi tujuan dan
teknis dan
adalah matriks koefisien
adalah vektor koefisien ruas kanan untuk kendala yang berbentuk
pertidaksamaan,
dan
masing-masing adalah matriks koefisien teknis dan
vektor koefisien ruas kanan untuk kendala yang berbentuk persamaan, serta dan
masing-masing batas bawah dan batas atas. Untuk batas bawah tidak
terbatas maka
dan batas atas tidak terbatas maka
Berikut ini contoh dalam software Matlab untuk menyelesaikan MPL. Contoh 2.7 Berdasarkan Contoh 2.1, fungsi tujuan tersebut harus diubah ke masalah minimasi dengan mengalikannya dengan -1 yaitu [
]
dan kendala yang berbentuk pertidaksamaan bisa diekspresikan sebagai berikut:
[
][ ]
serta kendala yang berbentuk persamaan yaitu
21
[
]
[
][ ]
[
]
Setelah mengkonversikan fungsi tujuan menjadi minimasi, selanjutnya masalah diatas dapt diselesaiakn dengan LINPROG sebagai berikut: >> f = [-5 -5 -2 -3] ; >> A = [1 1 0 0; -2 1 0 0; 0 1 0 1] ; % koefisien teknis >> b = [ 17 -15 -12] ; % koefisien ruas kanan >> Aeq = [1 0 1 0] ; % koefisien teknis yang berbentuk = >> beq = [20] ; % koefisien ruas kanan yang berbentuk = >> LB = [0 0 0 0] ; % nilai x yang nonnegatif >> [X,fx,exitflag,output] = LINPROG (f,A b,Aeq,beq,[ ],[ ],LB) dari hasil output diketahui bahwa salah satu plb untuk MPL di atas dan nilai fungsi tujuan serta
= -3. Fungsi tujuan yang sebelumnya
diubah menjadi minimasi sehingga diperoleh fungsi tujuan bernilai negatif sehingga selanjutnya harus dikalikan dengan -1 untuk diperoleh nilai fungsi tujuan. Sebenarnya nilai
, yaitu output ketiga dapat memberikan nilai
salah satu dari berikut ini: 1. 1 jika solusi layak 2. 0 jumlah iterasi maksimum dicapai 3. -2 jika solusi tidak layak 4. -3 jika solusi tak terbatas
22
5. -4 NaN ( ) value encountered during execution of algorithm 6. -5 kedua primal dan dual problem infeasible 7. -7 arah pencarian (search) terlalu kecil, tidak bisa menuju titik yang lebih rendah lagi.
B. Konsep Himpunan Fuzzy 1. Pengertian Himpunan Fuzzy Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan definisi (syarat) tertentu dan jelas. Himpunan klasik dapat didefinisikan dengan mendaftar anggota-anggota pada himpunan tersebut. Suatu anggota dalam suatu himpunan klasik jika Himpunan
dan jika
mempunyai derajat keanggotaan
maka derajat keanggotaan
= 0.
adalah himpunan „berbadan tinggi‟ yang didefinisikan sebagai
Tinggi =
. Dari definisi tersebut, dapat diketahui bahwa
derajat keanggotaan orang yang memiliki tinggi 165 cm pada himpunan A, = 1 karena 165
A dan derajat keanggotaan orang yang memiliki
tinggi 164 cm pada himpunan A,
= 0 karena 164
A. Derajat
keanggotaan di atas digambarkan menggunakan Gambar 2.3 sebagai berikut. 𝜇𝐴 𝑥
1
𝑥
0
165 cm
Gambar 2.3 Grafik Himpunan “berbadan tinggi”
23
Himpunan fuzzy merupakan pengembangan lebih jauh dari konsep matematika tentang himpunan klasik. Menurut George J Klir, dkk (1997:6), teori himpunan fuzzy (fuzzy set) pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965, yaitu himpunan yang memiliki batas-batas keanggotaan himpunan yang tidak jelas. Keanggotaan pada himpunan fuzzy tidak dinyatakan dengan derajat keanggotaannya 0 atau 1, melainkan dengan derajat keanggotaan berupa bilangan real pada interval [0,1]. Adapun definisi dari himpunan fuzzy adalah sebagai berikut. Definisi 2.4 (Zimmermann, 2001:11-12). Misalkan
adalah koleksi dari objek-
objek yang dinotasikan dengan , suatu himpunan fuzzy ̃ dalam suatu himpunan adalah suatu himpunan pasangan berurutan ̃ ̃
dengan
̃
adalah derajat keanggotaan x di ̃ yang nilainya pada rentang [0,1].
Menurut Zimmermann (2001:12-13) himpunan fuzzy dapat dinotasikan dengan dua cara, yaitu: a. Himpunan fuzzy dituliskan sebagai pasangan berurutan, dengan elemen pertama menunjukkan nama elemen dan elemen kedua menunjukkan derajat keanggotaan. ̃
(2.16)
̃
b. Himpunan fuzzy dinotasikan sebagai ̃
̃
̃
...=∑
dan
24
̃
, jika
diskrit
(2.17)
̃
∫
̃
, jika
kontinu
(2.18)
Berikut ini diberikan contoh himpunan fuzzy. Contoh 2.8 Himpunan tinggi badan sekelompok orang dalam centimeter (cm) dinotasikan dengan
.
Himpunan fuzzy “berbadan tinggi” dinotasikan dengan ̃ yang memiliki fungsi keanggotaan sebagai berikut:
̃
{
Sehingga ̃ dapat dinyatakan sebagai
̃ ={(140,0),(145,0.2),(150,0.4),(155,0.6),
(160,0.8),(165,1.0)}.
Seperti himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki syarat yang dinyatakan dalam definisi berikut: Definisi 2.5 (Ibrahim, 2004:35). Himpunan fuzzy kosong adalah himpunan fuzzy dengan derajat keanggotaan untuk semua elemen himpunan adalah 0.
Berikut ini diberikan contoh tentang himpunan fuzzy kosong. Contoh 2.9 Diberikan suatu himpunan ̃
dan merupakan himpunan fuzzy kosong.
25
sehingga
Definisi 2.6 (Ibrahim, 2004:35). Himpunan semesta fuzzy adalah himpunan fuzzy dengan derajat keanggotaan dari semua elemen himpunan adalah 1. Berikut ini diberikan contoh tentang himpunan semesta fuzzy. Contoh 2.10 Diberikan
dan
̃
sehingga
merupakan himpunan semesta fuzzy.
Definisi 2.7 (Zimmermann, 2001:14). Himpunan α-cut
̃
adalah himpunan
(klasik) elemen-elemen yang ada pada himpunan fuzzy ̃ yang suatu nilai α
[
untuk
̃
] yaitu: ̃
[
̃
]
Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi dari himpunan ̃ . Contoh 2.11 Diberikan
(4,1.0), (5,0.7), (6,0.3)}. Untuk ̃ ̃
̃
dan
={1,2,3,4,5,6}, ̃
(l,0.2), (2,0.5), (3,0.8), ={2,3,4,5}, ̃
={3,4},
={4}.
Definisi 2.8 (Zimmermann, 2001:14). Support dari himpunan fuzzy ̃ yang dinotasikan dengan S( ̃ ) adalah himpunan klasik dari
dengan
̃
Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi S( ̃ ) Contoh 2.12 Dari Contoh 2.11,
̃
adalah support dari himpunan fuzzy ̃.
26
Definisi 2.9 (Ibrahim, 2004:36). Core ( ̃ ) adalah himpunan klasik dari semua dengan derajat keanggotaan
̃
Contoh 2.13 Dari Contoh 2.11, Core ( ̃ )
adalah core dari himpunan fuzzy ̃.
̃
Definisi 2.10 (Ibrahim, 2004:36). Height nilai tertinggi dari
̃
dari himpunan fuzzy ̃ adalah
yang nilai α-level-nya tidak kosong.
Contoh 2.14 Berdasarkan Contoh 2.11, nilai
, ̃
={1,2,3,4,5,6} dengan
( ̃)
adalah height dari himpunan fuzzy ̃. 2. Jenis Fungsi Keanggotaan Fuzzy Fungsi keanggotaan fuzzy adalah fungsi yang mengaitkan setiap elemen dengan suatu bilangan real dalam [0,1]. Fungsi keanggotaan menentukan derajat keanggotaan dari setiap elemen himpunan. Beberapa fungsi keanggotaan fuzzy yang dikenal antara lain fungsi linier (linier naik dan linier turun), fungsi segitiga, fungsi trapesium, fungsi bentuk bahu, fungsi kurva-S, fungsi bentuk lonceng/bell curve (kurva-PI, kurva Beta dan kurva Gauss). Fungsi keanggotaan yang digunakan dalam penelitian ini adalah fungsi keanggotaan linear turun karena bentuk fungsi ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Contoh 2.15 Jumlah persediaan minimal bahan baku gabah pada PB. Guyub Rukun untuk memproduksi beras slip tepat sebesar 100 ton dan dapat mengusahakan lagi
27
sebesar 20 ton. Suatu himpunan fuzzy sedikit
̃ dibentuk untuk menyatakan
variabel jumlah persediaan bahan baku gabah yang digunakan untuk memproduksi beras slip dengan himpunan universal U=[100,20] dan fungsi keanggotaannya yaitu:
̃
{
Fungsi keanggotaan linear adalah fungsi pemetaan input ke derajat keanggotaanya yang digambarkan sebagai suatu garis lurus. Fungsi keanggotaan linear memiliki dua jenis yaitu: a. Fungsi Keanggotaan Linear Naik Fungsi keanggotaan linear naik memiliki representasi derajat keanggotaan 0 di ruas
kiri dan bergerak ke kanan menuju derajat
keanggotaan lebih tinggi atau 1. Menurut Kusumadewi (2002:31) Fungsi keanggotaan representasi linear naik sebagai berikut: (2.19) {
Himpunan fuzzy pada representasi linear naik direpresentasikan pada Gambar 2.4 di bawah ini. 𝜇 𝑥
1
𝑥 𝑎 0 𝑏 Gambar 2.4 Fungsi Keanggotaan Linear Naik
28
Contoh 2.16 ̃
Himpunan fuzzy cepat
pada variabel waktu yang digunakan untuk
menggiling gabah dengan himpunan universal U=[2100,2880] yang mempunyai fungsi keanggotaan: jika ̃
{
jika jika
Grafik representasi dari fungsi keanggotaan tersebut disajikan dalam Gambar 2.5 sebagai berikut.
𝜇𝐴̃ 𝑥
1
𝑥 2100
0
2880
Gambar 2.5 Contoh Fungsi Keanggotaan Linear Naik Berdasarkan fungsi keanggotaan di atas, dimisalkan untuk menentukan derajat keanggotaan waktu penggilingan gabah sebesar 2568 maka dilakukan perhitungan: ̃
dapat disimpulkan bahwa derajat keanggotaan waktu penggilingan sebesar 2412 adalah sebesar 0.6 pada himpunan fuzzy ̃ . b. Fungsi Keanggotaan Linear Turun Fungsi keanggotaan linear turun merupakan kebalikan dari fungsi keanggotaan linear naik. Fungsi keanggotaan linear turun adalah fungsi
29
keanggotaan yang memiliki derajat keanggotaan tertinggi atau satu [1] pada sisi kiri kemudian bergerak ke kanan menuju derajat keanggotaan yang lebih rendah atau nol [0]. Fungsi keanggotaan linear turun adalah sebagai berikut: (2.20)
{
Menurut Kusumadewi (2002:32) Himpunan fuzzy pada representasi linear turun direpresentasikan pada Gambar 2.6 di bawah ini: 𝜇 𝑥
𝑎
𝑏
𝑥
Gambar 2.6 Fungsi Keanggotaan Linear Turun Berikut ini diberikan contoh mengenai fungsi keanggotaan linear turun sebagai berikut: Contoh 2.17 Himpunan fuzzy lambat
̃ pada variabel waktu yang digunakan untuk
menggiling gabah dengan himpunan universal U=[2100,2880] yang mempunyai fungsi keanggotaan:
̃
{
30
Grafik representasi dari fungsi keanggotaan tersebut disajikan dalam Gambar 2.7 sebagai berikut: 𝜇𝐵̃ 𝑥
1
0
2100
2880
𝑥
Gambar 2.7 Contoh Fungsi Keanggotaan Linear Turun Berdasarkan fungsi keanggotaan di atas, dimisalkan untuk menentukan derajat keanggotaan waktu penggilingan gabah sebesar 2458 maka dilakukan perhitungan: ̃
dapat disimpulkan bahwa derajat keanggotaan waktu penggilingan sebesar 2458 adalah sebesar 0.6 pada himpunan fuzzy ̃ . 3. Bilangan Fuzzy Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, seperti misalnya “kira-kira 5 kilogram”, “sekitar 5 unit ” dan sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih 5”, “kira-kira 5 kilogram” atau “sekitar 5 unit” dapat dinyatakan dalam suatu himpunan fuzzy pada semesta bilangan real, dimana bilangan 5 mempunyai niali keanggotaan sama dengan 1 (satu), bilangan-bilangan di sekitar mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1 dan semakin jauh bilangan itu dari 5, derajat
31
keanggotaannya semakin mendekati 0 (nol) (Frans Susilo, 2006:111). Berikut diberikan definisi bilangan fuzzy: Definisi 2.11 Bilangan Fuzzy (Klir & Yuan, 1995:97). Misalkan ̃ adalah himpunan fuzzy pada
. Bilangan fuzzy ̃ adalah himpunan fuzzy yang memenuhi
syarat-syarat sebagai berikut: ̃ merupakan himpunan fuzzy normal
a.
Himpunan fuzzy ̃ dalam
normal jika terdapat
̃ merupakan interval tertutup untuk semua α [
b.
sehingga
.
], dan
c. Support ̃ merupakan himpunan terbatas Syarat bahwa ̃
merupakan interval tertutup untuk semua α
syarat bahwa ̃ merupakan himpunan konveks. Himpunan ̃ di ̃
̃
[
̃
[
] sama dengan
adalah konveks jika dan
setiap
] (Nasseri,2008:1777). Bilangan fuzzy sebagai himpunan fuzzy normal dan
konveks, serta untuk setiap
merupakan interval tertutup. Jadi, bilangan fuzzy
adalah himpunan konveks, normal, dan merupakan interval tertutup. (Chen dan Pham, 2000:42-43) Bilangan fuzzy yang digunakan dalam tulisan ini adalah bilangan fuzzy linear turun yang memenuhi syarat fungsi keanggotaan linear sebagai berikut: (2.21) ̃
Dimana dan
{
adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaanya adalah 1
adalah nilai persekitarannya dari
dengan ̃
.
32
. Bilangan fuzzy linear ditunjukkan
Contoh 2.18 Untuk memproduksi 1 kuintal beras kristal biasanya diperlukan bahan baku gabah sebesar 1,44 kuintal. Akan tetapi pada musim-musim tertentu kadang terjadi serangan hama yang menyebabkan kualitas bahan baku gabah menurun sehingga untuk memproduksi 1 kuintal beras kristal diperlukan toleransi penambahan sebesar 0,05 kuintal. Sehingga jumlah jenis bahan baku gabah yang digunakan untuk memproduksi beras kristal merupakan bilangan fuzzy ̃ dan dapat dituliskan bahwa
maka ̃
dan
. Representasi
bilangan fuzzy ̃ terlihat pada Gambar 2.8 yaitu 𝜇𝐴̃ 𝑥
1
𝑥
1,44
1,49
Gambar 2.8 Bilangan Fuzzy ̃ Bilangan fuzzy ̃ bersifat normal, karena mempunyai derajat keanggotaan 1 untuk
. Semua
pada bilangan fuzzy ̃ tertutup pada selang
]. Support dari himpunan fuzzy ̃ terbatas pada (1,44 , 1,49). Bilangan
[
fuzzy ̃ konveks karena untuk nilai
dan
dan
maka
dengan
̃
̃ ̃
̃
̃
untuk setiap
sehingga dan setiap
33
[
̃
].
4. Operasi pada Himpunan Fuzzy Berikut ini penjelasan mengenai operasi himpunan fuzzy yang berupa irisan dan gabungan. Definisi 2.12 Irisan Himpunan Fuzzy (Bellman & Zadeh, 1970:144). Irisan dari dua himpunan fuzzy ̃ dan ̃ dinotasikan sebagai ̃
̃ dan didefinisikan
sebagai himpunan fuzzy terbesar yang terdapat pada keanggotaan ̃
̃ dan ̃ . Fungsi
̃ diberikan oleh ̃ ̃
̃
̃
Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi irisan himpunan fuzzy. Contoh 2.19 Diberikan himpunan fuzzy ̃
̃ yang didefinisikan sebagai berikut:
̃ ̃ untuk mencari ̃ setiap
̃ , terlebih dahulu menghitung
̃
. ̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
Jadi, ̃
̃
34
̃
untuk
Definisi 2.13 Gabungan Himpunan Fuzzy (Bellman & Zadeh, 1970:145). Gabungan dari dua himpunan fuzzy ̃ dan ̃ dinotasikan sebagai ̃
̃ dan
didefinisikan sebagai himpunan fuzzy terkecil yang terdapat pada ̃ dan ̃ . Fungsi keanggotaan ̃
̃ diberikan oleh
̃ ̃
̃
̃
Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi gabungan himpunan fuzzy. Contoh 2.20 Berdasarkan Contoh 2.19, untuk mencari ̃ ̃
̃
̃ , terlebih dahulu menghitung
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
̃ ̃
̃
̃
.
Jadi, ̃
̃
.
C. Program Linear Fuzzy Program linear menurut Amit Kumar, dkk (2010:37) merupakan salah satu teknik dalam riset operasi yang paling sering diterapkan. Nilai-nilai parameter model program linear harus terdefinisi dengan baik (tegas), sedangkan dalam
35
kehidupan nilai-nilai parameter yang tegas bukan merupakan asumsi yang realistis. Oleh karenanya penggunaan parameter dalam model program linear direpresentasikan dengan bilangan-bilangan fuzzy. Menurut Klir & Yuan (1995:410), bentuk umum model program linear fuzzy sama dengan bentuk umum model program linear biasa. Dalam program linear fuzzy akan dicari suatu nilai
yang merupakan fungsi tujuan yang akan
dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy. Bentuk matematika dari program linear fuzzy adalah: Maksimumkan: (2.22)
∑ ̃
dengan kendala ∑
̃
̃,
0, dengan ̃ ̃
i = 1,2, ... , m j = 1,2, ... , n
dan ̃ semuanya adalah bilangan fuzzy.
Menurut Klir & Yuan (1995:410-411) program linear fuzzy memiliki dua kasus yaitu program linear fuzzy dengan hanya koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan fuzzy dan program linear fuzzy dengan koefisien teknis (
) dan
koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan fuzzy. Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai program linear fuzzy dengan koefisien teknis dan koefisien ruas kanan berbentuk bilangan fuzzy linear turun dengan fungsi tujuan tidak fuzzy (tunggal).
36
Menurut Klir & Yuan (1995:411), bentuk umum dari program linear fuzzy dengan koefisien teknis (
) dan koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan
fuzzy ini adalah sebagai berikut: Maksimumkan: (2.23)
∑
dengan kendala ∑
̃,
̃
i = 1,2, ... , m
0,
j = 1,2, ... , n
Bilangan linear turun fuzzy yang direpresentasikan dengan
untuk a
adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaannya adalah satu dan d adalah nilai persekitarannya dari a yang dituliskan pada koefisien teknis ( ̃ ) dan koefisien ruas kanan ( ̃
sehingga ( ̃
dimisalkan dengan
untuk b adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaannya adalah satu dan p adalah nilai persekitarannya dari b yang dituliskan pada koefisien ruas kanan ( ̃
Sehingga model program linear fuzzy dengan
koefisien teknis ( ̃ ) dan koefisien ruas kanan ( ̃ ) berbentuk bilangan linear turun fuzzy dapat diformulasikan sebagai berikut: Maksimumkan: (2.24)
∑
dengan kendala ∑
,
37
i = 1,2, ... , m
0,
j = 1,2, ... , n
Dalam teori pengambilan keputusan fuzzy dikenal 3 konsep dasar (Bellman & Zadeh, 1970:147-149) yaitu fuzzy goal, fuzzy constraints, dan fuzzy decisions. Misalkan Fuzzy goal
adalah himpunan yang memuat solusi dari pengambilan keputusan. adalah himpunan fuzzy pada
yang keanggotaannya didefinisikan
melalui fungsi keanggotaan: [
: Fuzzy constraint
]
adalah himpunan fuzzy pada
yang keanggotaannya
didefinisikan melalui fungsi keanggotaan: [
µC Fuzzy decision goal
]
adalah himpunan fuzzy
dan fuzzy kendala , yaitu
yang merupakan irisan fuzzy
dengan fungsi keanggotaan: (2.25)
Contoh 2.21 Misalkan dimiliki fuzzy goal dan fuzzy constraint sebagai berikut:
µG { {
Sehingga fuzzy decision D adalah sebagai berikut:
38
,jika (
)
,jika
( min (1,
(2.26)
) ,jika 20 ) 10
,jika
{
, jika
Keputusan maksimal didefinisikan sebagai berikut: = Lebih umum, fuzzy decision kendala
(2.27)
µG (x), µC (x)}. hasil dari k fuzzy goal
dan
didefiinisikan oleh (2.28)
. Dengan fungsi keanggotaan: =
{
,
(2.29)
.
Keputusan maksimal didefinisikan sebagai: .
39
(2.30)
fuzzy
