BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi, barisan, fungsi kontinu, persamaan diferensial, metode numerik, persamaan beda, dan teorema fungsi implisit. Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut. A. Fungsi Komposisi Pada ilmu matematika sering kali kita jumpai suatu fungsi. Fungsi merupakan pemetaan setiap anggota himpunan ke anggota himpunan yang lain atau secara umum didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.1.1 (Goodaire & Parmenter, 1998: 63) Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan suatu relasi biner (himpunan bagian terdapat satu
dari A ke B
) jika memenuhi untuk setiap sedemikian sehingga
dengan pemetaan. Sebuah fungsi dari
pasti
. Fungsi disebut juga ke
dapat dinotasikan sebagai
. Notasi
jika
dihubungkan dengan
disebut dengan daerah asal (domain) dari daerah kawan (codomain) dari bayangan (image) dari
. Himpunan
dan himpunan
. Jika
, maka
disebut dinamakan
dan dinamakan pra-bayangan (pra-image) dari
. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan
disebut range dari
(Munir, 2010: 129).
6
Suatu fungsi sering diberi nama dengan sebuah huruf tunggal seperti atau . Fungsi
dibaca
yang diberikan oleh
dari
atau
pada
yang menunjukkan nilai
kepada .
Berikut diberikan contoh 2.1 dan contoh 2.2 mengenai fungsi. Contoh
2.1
{ domain
{
Andaikan } maka
}
{
merupakan fungsi
} dan dengan
dan codomain .
Contoh 2.2 Fungsi sebarang
merupakan fungsi
. Domain dari
himpunan bilangan
positif
adalah
dengan
dan range dari
adalah
{ }.
Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai definisi fungsi komposisi. Definisi 2.1.2 (Goodaire & Parmenter, 1998: 78) Jika adalah fungsi, maka komposisi dari
dan
dan
merupakan fungsi (
yang didefinisikan sebagai semua
) untuk
.
Ilustrasi dari definisi 2.1.1 diberikan melalui Gambar 1. A
B
C
(
)
Gambar 1 Ilustrasi dari Fungsi Komposisi
7
Berikut diberikan Contoh 2.3 dan Contoh 2.4 mengenai fungsi komposisi. {
Contoh 2.3 Jika dan
},
{
},
{
} dan
merupakan fungsi {
},
{
}
maka
Jadi,
{
(
)
(
)
(
)
}.
Contoh 2.4 Jika
dan
maka dapat didefinisikan (
)
(
)
adalah fungsi
dan
yang didefinisikan dengan
sebagai berikut
.
Jadi,
dan
Pada umumnya
.
, namun terkadang dapat pula
seperti halnya Contoh 2.5. Contoh 2.5 Jika
dan
maka dapat didefinisikan (
adalah fungsi
dan
yang didefinisikan dengan
sebagai berikut
)
8
(
)
Jadi,
.
B. Barisan Suatu barisan dalam himpunan
merupakan suatu fungsi yang daerah
asalnya merupakan himpunan bilangan asli dalam himpunan
dan daerah hasilnya (range)
atau secara umum didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 53) Barisan dari bilangan riil (barisan pada {
) adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan
} dari bilangan asli dimana range termuat dalam himpunan
dari bilangan riil. Jika
adalah barisan, nilai dari
. Nilai
pada
dinotasikan dengan
disebut dengan elemen dari barisan. Notasi dari barisan yaitu atau
. Berikut ini merupakan contoh dari suatu
barisan. Contoh 2.6
merupakan barisan bilangan genap dan
dapat ditulis sebagai Contoh 2.7 Jika
. , maka
merupakan barisan. Misalkan (
, maka diperoleh barisan )
(
).
Berikutnya akan dibahas mengenai barisan konvergen, barisan yang terbatas dan barisan monoton.
9
1. Barisan Konvergen Pada suatu barisan dari
, seiring dengan semakin besarnya
nilai
akan mendekati ke suatu nilai , maka dapat dikatakan dengan konvergen ke
Barisan konvergen secara formal didefinisikan
sebagai berikut. Definisi 2.2.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 54) Barisan kovergen ke
atau
merupakan limit dari
terdapat bilangan asli ,
memenuhi |
pada
, jika untuk setiap
sedemikian sehingga untuk semua |
.
Jika barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan divergen. Bilangan
dalam hal ini disebut sebagai limit barisan
dan dinotasikan dengan . Terkadang dalam menyatakan suatu barisan konvergen digunakan simbol menghampiri
yang berarti untuk
akan mencapai, mendekati, atau
.
Berikut diberikan contoh mengenai barisan konvergen. Contoh 2.8 Akan dibuktikan bahwa
(
)
Diberikan
. Berdasarkan sifat Archimedes, ada
sehingga
. Jika |
, maka
. sedemikian
sehingga
|
10
Jadi, barisan limit tersebut konvergen ke . 2. Barisan Terbatas Barisan terbatas secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 60) Barisan bilangan riil dikatakan terbatas jika ada bilangan riil sehingga |
|
untuk semua
Barisan
sedemikian
.
terbatas jika dan hanya jika himpunan
terbatas pada
. Berikutnya diberikan Teorema 2.1 mengenai barisan
konvergen yang terbatas sebagai berikut. Teorema 2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 60) Suatu barisan konvergen dari bilangan riil adalah terbatas. Bukti : Andaikan
dan
, maka ada bilangan asli
sedemikian sehingga |
|
untuk semua
pertidaksamaan segitiga dengan | Jika semua
|
| {| | | |
| |
. Berdasarkan
diperoleh | |
|
| |
| |
| |} maka |
. Hal ini menunjukkan bahwa
|
untuk
terbatas.
Berikut akan diberikan contoh dari barisan konvergen yang terbatas. Contoh 2.9 Diberikan barisan
dengan
.
11
Akan ditunjukkan bahwa
( )
sifat Archimedes, ada
sedemikian sehingga
maka
. Diberikan
, berdasarkan . Jika
,
sehingga |
|
Oleh karena itu, ( ) konvergen ke . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ( ) terbatas. Pilih Ada
sedemikian sehingga
sedemikian sehingga | |
untuk semua
. , maka
barisan tersebut terbatas dengan 1. Jadi, merupakan barisan konvergen yang terbatas. 3. Barisan Monoton Barisan monoton secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.4 (Bartle & Sherbert, 2000: 69) Misalkan merupakan barisan bilangan riil. Barisan
dikatakan monoton naik
jika memenuhi
Barisan
dikatakan monoton turun jika memenuhi
Barisan
dikatakan monoton jika monoton naik atau monoton turun.
Berikut diberikan contoh mengenai barisan monoton. Contoh 2.10 Barisan
merupakan barisan monoton
naik.
12
Contoh 2.11 Barisan (
) merupakan barisan monoton
turun. Selanjutnya, diberikan Teorema 2.2 mengenai kekonvergenan monoton sebagai berikut. Teorema 2.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 69) Barisan monoton dari bilangan riil konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Selanjutnya, 1. jika
adalah barisan monoton naik dan terbatas, maka {
2. jika
}
adalah barisan monoton turun dan terbatas, maka {
}.
Bukti : Berdasarkan Sebaliknya,
Teorema
2.1,
barisan
konvergen
pasti
terbatas.
merupakan barisan monoton dan terbatas, maka
merupakan barisan monoton naik atau monoton turun. 1. Akan dibuktikan jika naik. Karena
terbatas, maka barisan monoton
terbatas, ada bilangan riil
untuk semua
. Jadi {
} terbatas. Supremum {
dari barisan tersebut adalah akan ditunjukkan bahwa Jika
, maka
sedemikian sehingga
}. Selanjutnya,
. bukan batas atas dari himpunan{
} dan oleh karena itu ada anggota dari himpunan
sedemikian
13
sehingga
. Karena
maka diperoleh
merupakan barisan monoton naik
untuk setiap
untuk semua
, sehingga
. Oleh karena itu, diperoleh |
untuk semua
|
Karena sembarang
konvergen ke
atau
2. Jika
maka
.
merupakan barisan monoton turun dan terbatas,
maka jelas bahwa
merupakan barisan monoton
naik dan terbatas. Pada bagian pertama terlihat bahwa {
} {
karena jika
}, maka
diperoleh
{
}
{
} {
Oleh karena itu, {
dan
} atau
}.
Berikut ini diberikan contoh dari barisan monoton riil yang konvergen sebagai berikut. Contoh 2.12
( ) √
.
Batas bawah dari himpunan (
√
) adalah .
Contoh 2.13 Akan diselidiki apakah barisan
yang didefinisikan
oleh
14
konvergen atau divergen. Barisan
merupakan barisan monoton naik sebab
, untuk setiap
. Perhitungan secara numerik untuk barisan
tersebut diberikan sebagai berikut: ,
,
,
.
Terlihat bahwa kenaikan nilai dari barisan sangat lambat sehingga seolah-olah suku-suku barisan ini akan menuju bilangan tertentu dan menjadi konvergen. Selanjutnya, perhatikan suku-suku ke , yaitu
. Untuk (
(
, maka
). Untuk
dengan
. Untuk (
, maka
)
). Secara umum diperoleh barisan (
)
(
)
sebanyak
(
) (
)
suku
Jadi, selalu ada suku pada barisan ini yang lebih besar dari bilangan riil manapun sehingga barisan ini tidak terbatas dan disimpulkan bahwa barisan ini divergen.
15
C. Fungsi Kontinu Secara formal, fungsi kontinu didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 120) Misalkan dan
. Fungsi
kontinu pada
sedemikian sehingga jika memenuhi |
|
jika diberikan sebarang adalah sembarang titik pada
, maka |
kontinu pada , maka
,
|
. Jika fungsi
, ada yang tidak
diskontinu pada .
Berikut diberikan contoh dari fungsi kontinu. {
Contoh 2.14 Fungsi
bernilai
.
saat
yaitu
. Jadi,
sehingga
Contoh 2.15 Jika
kontinu pada
diskontinu pada untuk
sehingga
Kemudian,
maka
diskontinu pada
Contoh 2.16 Perhatikan fungsi
.
. tidak didefinisakan untuk
. berikut ini {
Fungsi
bernilai . Jadi,
untuk
, yaitu sehingga
. Sedangkan diskontinu pada
.
16
D. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan-persamaan yang memuat turunan-turunan (derivatif) dari satu atau lebih peubah (variabel) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas (Ross, 1984: 3). Sedangkan turunan dari suatu fungsi secara formal didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.4.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 158) Misalkan dan
. Bilangan riil
sebarang |
merupakan turunan
ada |
pada
jika diberikan
sedemikian sehingga jika
memenuhi
, maka |
Jadi, dari
,
terdiferensial pada
| dan dituliskan dengan
. Turunan
pada dapat pula didefinisikan melalui limit sebagai berikut :
Notasi
menyatakan berturut-turut adalah turunan
pertama, kedua, ketiga, …, turunan ke- . Selanjutnya diberikan Teorema 2.3 sebagai berikut. Teorema 2.3 (Bartle & Sherbert, 2000: 159) Jika turunan pada
, maka
mempunyai
kontinu pada .
Bukti : Untuk semua
,
, sehingga diperoleh (
)
17
Karena
ada, maka
(
)
(
)
(
Jadi,
)(
sehingga
)
kontinu pada .
Kebalikan dari Teorema 2.3 ini tidak benar. Jika maka bukan berarti
fungsi kontinu di ,
mempunyai turunan di .
Himpunan semua fungsi kontinu
dinotasikan dengan
dan himpunan semua fungsi diferensial dengan turunan pertama kontinu dinotasikan dengan
Oleh karena itu,
merupakan fungsi dengan turunan orde
yang kontinu.
Berikut diberikan contoh mengenai turunan. Contoh 2.17 Misalkan pada
dengan
, maka untuk sebarang
diperoleh .
Karena fungsi
didefinisikan pada , maka | | dengan
Contoh 2.18 Misalkan | |
diperoleh untuk
sama dengan
. Limit dititik
terdiferensial pada
untuk
.
, maka untuk
jika
dan sama dengan
tidak ada sehingga fungsi tersebut tidak
. Oleh karena itu, kekontinuan pada titik
syarat cukup yang memenuhi turunan pada
bukan
ada.
18
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai Chain Rule dan Teorema Nilai Rata-Rata sebagai berikut. 1. Chain Rule Chain Rule merupakan teorema yang membahas mengenai turunan dari suatu fungsi komposisi. Namun, sebelum membahas mengenai Chain Rule akan dibahas dahulu Teorema 2.4 yaitu teorema Caratheodory yang akan digunakan dalam pembuktian Chain Rule. Teorema 2.4 Caratheodory (Bartle & Sherbert, 2000: 160) Fungsi terdefinisi pada interval terdiferensial pada
yang memuat titik
sehingga
jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi
pada
yang kontinu pada dan memenuhi untuk Pada kasus ini
.
(2.1)
.
Bukti : Akan dibuktikan jika
terdiferensial pada
maka terdapat fungsi
pada yang kontinu pada dan memenuhi untuk Jika
ada, maka
.
didefinisikan dengan
{
Berdasarkan definisi fungsi fungsi
kontinu. Jika
, maka
sehingga
, maka kedua sisi pada persamaan (2.1)
19
sama dengan nol. Kemudian jika dengan Jika
, maka dengan mengalikan
diperoleh persamaan (2.1) untuk
kontinu pada pada
.
dan memenuhi persamaan (2.1), maka
terdiferensial pada . Jika persamaan (2.1) dibagi dengan dari
, maka kekontinuan
mengimplikasikan bahwa
ada. Oleh karena itu,
terdiferensial pada
dan
. Berikut
diberikan contoh mengenai penggunaan Teorema 2.4. Contoh 2.19 Fungsi . Ada
didefinisikan dengan
, maka
dengan karena itu,
untuk semua
sehingga memenuhi Teorema 2.4. Oleh terdiferensial pada
dan
.
Teorema 2.5 Chain Rule (Bartle & Sherbert, 2000: 162) Diberikan interval
pada
sehingga terdiferensial pada
fungsi Jika
dan terdiferensial pada
maka fungsi komposisi
sedemikian dan jika terdiferensial
pada dan (
)
(2.2)
Bukti :
20
Karena
ada, menurut Teorema 2.4 terdapat fungsi
sedemikian sehingga
kontinu pada
untuk
dan
dimana
terdapat suatu fungsi
pada
kontinu pada
untuk
, dimana
(
)
(
( )
( )
untuk semua
) (
) (
dan
(
) (
, maka diperoleh )(
)
(
)
[( )
) [(
] )
]
sedemikian sehingga
kontinu pada
) ada,
sedemikian sehingga
. Subsitusikan )
(
. Karena
dan
(
pada
dan nilai pada
. Karena fungsi yaitu
(
)
sehingga dengan menggunakan Teorema 2.4 diperoleh persamaan (2.2). Berikut diberikan contoh dari Teorema 2.5 (Chain Rule). Contoh 2.20 Jika setiap
terdiferensial pada
dan
, maka
dan
untuk
. Berdasarkan Teorema
2.5, diperoleh bahwa ( untuk semua
. Oleh karena itu,
untuk semua
.
) (
)
21
2. Teorema Nilai Rata-Rata Teorema nilai rata-rata merupakan teorema yang menghubungkan suatu fungsi dengan nilai turunannya (derivatif). Sebelum membahas mengenai teorema tersebut, terlebih dahulu akan diberikan pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi. Definisi 2.4.2 (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Fungsi mempunyai nilai maksimum relatif di titik persekitaran dari titik
dengan radius
untuk setiap
, yaitu
sehingga
. Sedangkan, fungsi
mempunyai nilai minimum relatif di titik persekitaran dari titik
jika terdapat
dengan radius
jika terdapat , yaitu
untuk setiap
sehingga
. Jika fungsi
mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik maka fungsi
,
dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik
.
Selanjutnya, suatu proses untuk menemukan titik dimana fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif yaitu dengan mencari nilai derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun, cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval, perhatikan Contoh 2.21. Contoh 2.21 Diberikan fungsi
pada interval
merupakan satu-satunya titik dimana relatif dan
. Titik
mencapai nilai minimum
merupakan satu-satunya titik dimana
mencapai
22
nilai maksimum relatif. Akan tetapi, tidak satupun ditemukan nilai nol dari turunan . Sebelum diberikan Teorema 2.6, perlu diketahui pengertian dari titik interior suatu himpunan tak kosong. Definisi 2.4.3 (Chatterjee, 2012: 39) Diberikan
, titik
disebut titik interior himpunan
jika terdapat persekitaran
radius
. Kumpulan semua titik interior
, yaitu
himpunan
dengan
disebut interior himpunan dan dinotasikan dengan
.
Teorema 2.6 Teorema Ekstremum Interior (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Diberikan
titik interior interval
dan fungsi
mempunyai nilai ekstrem relatif. Jika fungsi turunan di titik , maka
mempunyai
.
Bukti : Akan dibuktikan untuk kasus Misalkan atau a. Jika
mempunyai nilai maksimum relatif.
maksimum relatif. Andaikan
, maka
. , maka ada suatu persekitaran
sedemikian
sehingga dan Jika
dan
, maka
.
, sehingga diperoleh
23
. Hal ini kontradiksi dengan b. Jika
sebagai nilai maksimum relatif.
, maka ada suatu persekitaran
sedemikian
sehingga dan Jika
dan
, maka
.
, sehingga diperoleh
. Hal ini kontradiksi dengan
sebagai nilai maksimum relatif.
Berdasarkan pembuktian (a) dan (b) di atas, maka terbukti bahwa . Akibat 2.1 (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Diberikan fungsi kontinu pada
dan andaikan
relatif pada titik interior tidak ada atau
mempunyai nilai ektremum
pada , maka turunan fungsi
di titik
.
Berikut diberikan contoh kasus dari Akibat 2.1. Contoh 2.22 Jika interior minimum pada
| | pada , tetapi
, maka
mempunyai
tidak ada.
Teorema 2.7 Teorema Rolle (Bartle & Sherbert, 2000: 168) Andaikan
kontinu pada interval tertutup
setiap titik dari interval terbuka
dan
.
ada pada , maka
24
terdapat paling sedikit satu titik
pada
sedemikian sehingga
. Bukti : Jika
sama dengan nol ( fungsi nol), maka sembarang
pada
akan memenuhi teorema tersebut. Oleh karena itu, andaikan sama dengan nol, substitusi
dengan –
dan andaikan
tidak
memiliki
nilai positif. Berdasarkan teorema maksimum dan minimum (jika ada interval tertutup
dan
kontinu pada
memiliki absolute minimum dan absolute maksimum pada {
mencapai nilai , titik
}
dititik
pasti pada
relatif maksimum pada
sehingga
maka ) fungsi
pada . Karena ada.
mempunyai
, maka menurut Teorema 2.7
.
Ilustrasi dari Teorema 2.7 diberikan melalui Gambar 2.
a b
c
Gambar 2 Ilustasi dari Teorema 2.7. Teorema 2.8 Teorema Nilai Rata-Rata (Bartle & Sherbert, 2000: 169) Andaikan
kontinu pada interval tertutup
mempunyai turunan pertama pada interval terbuka terdapat minimal satu titik pada
dan , maka
sedemikian sehingga
25
Gambar 3 Ilustrasi dari Teorema 2.8 Bukti: Fungsi
pada didefinisikan sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 2.7, , dan
kontinu pada
, terdiferensial pada
. Oleh karena itu, ada titik
pada
sedemikian sehingga
Jadi,
.
Berikut diberikan contoh mengenai Teorema 2.8. Contoh 2.23 Akan dibuktikan bahwa
,
.
26
Fungsi
kontinu dan terdiferensial pada
, maka Teorema
2.8 dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Terdapat tiga kemungkinan dari nilai , yaitu 1. Jika
, maka benar
2. Jika
, dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval
terdapat
Karena
.
sehingga
, maka
sehingga diperoleh
,
. 3. Jika
, dengan menggunakan Teorema 2.8 pada interval
terdapat
sehingga
Karena
, maka
dan karena –
sehingga diperoleh Berdasarkan hal di atas, maka terbukti bahwa
,
,
maka
. .
27
E. Metode Numerik Metode
numerik
adalah
teknik
yang
digunakan
untuk
memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan (arithmetic) biasa (Munir, 2013: 5). Solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode numerik merupakan solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik disebut dengan solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi hampiran tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih ini disebut dengan galat (error). Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yaitu dengan menghitung nilai fungsi
dengan
merupakan ukuran langkah (step size) setiap iterasi. Nilai awal berfungsi untuk memulai iterasi. Salah satu hal penting dari metode numerik adalah deret Taylor. Deret Taylor digunakan sebagai dasar dari pengembangan metode-metode yang ada dalam metode numerik. Oleh karena itu, akan dijelaskan mengenai deret Taylor sebagai berikut. Definisi 2.5.1 (Rinaldi Munir, 2013: 18) Andaikan turunannya,
, pada selang
untuk nilai-nilai disekitar
dan semua
. Misalkan
(lihat Gambar 4) dan
, maka ,
dapat
diekspansi ke dalam deret Taylor:
(2.3)
28
Gambar 4 Nilai-nilai
di sekitar
.
Persamaan (2.3) merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut dengan deret. Misalkan
, maka persamaan (2.3) menjadi (2.4)
Berikut diberikan contoh mengenai deret Taylor. Contoh 2.24 Hampiran dari fungsi di sekitar
ke dalam deret Taylor
ditunjukkan sebagai berikut:
Turunan-turunan dari fungsi
terhadap , yaitu
, , , , . Berdasarkan persamaan (2.3) dan
, maka diperoleh deret Taylor
sebagai berikut
29
Metode numerik juga dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan
. Proses pencarian solusi tersebut atau biasanya
mencari nilai akar dilakukan dengan cara iterasi. Untuk mendapatkan solusi diperlukan tebakan (guest) awal akar, lalu dengan menggunakan prosedur iterasi akan diperoleh hampiran akar yang baru. Pada setiap kali iterasi, hampiran akar yang lama digunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru. Hampiran akar yang baru mungkin dapat mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Banyak sekali metode pencarian akar yang ada, misalnya saja metode Euler dan metode Newton Rhapson. Berikut ini diberikan penjelasan mengenai metode Euler dan metode Newton-Rhapson. 1. Metode Euler Diberikan persamaan diferensial, dan nilai awal Misalkan
adalah
hampiran
nilai
. pada yang
dihitung
dengan metode Euler. Dalam hal ini
Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan
di sekitar
ke dalam deret Taylor : (2.5)
30
Bila persamaan (2.5) dipotong sampai suku orde tiga, maka diperoleh (2.6) dengan
Berdasarkan
persamanan
bentuk
baku
persamaam diferensial orde satu maka
dan – maka persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi (2.7) Dua suku pertama persamaan (2.7) yaitu: (2.8) atau dapat ditulis (2.9) yang merupakan metode Euler. 2. Metode Titik Tetap Metode titik tetap merupakan salah satu metode dalam metode numerik yang digunakan untuk mencari suatu hampiran akar persamaan. Misalkan (2.10) dapat dituliskan dalam bentuk (2.11)
31
Penyelesaian dari persamaan (2.11) disebut dengan titik tetap Misalkan dipilih sebarang fungsi
.
, maka hasil iterasi hampiran titik tetap
adalah sebagai berikut (2.12)
dengan
. Barisan hasil iterasi dari persamaan (2.11)
adalah sehingga
yang mungkin konvergen ke suatu memenuhi
persamaan
(2.10).
merupakan bentuk lain untuk
akar dari
Persamaan
sehingga
(2.11)
merupakan
pembuat nol dari fungsi . Secara formal hal ini dinyatakan sebagai berikut. Lemma 2.1 (Sahid, 2005: 144) Misalkan dan misalkan barisan , maka
adalah fungsi kontinu
dihasilkan dengan iterasi
. Jika
merupakan titik tetap fungsi
.
Bukti: Jika
, maka
. Fungsi
merupakan
fungsi kontinu, maka ( Jadi, terbukti bahwa
dan
)
merupakan titik tetap
.
Berikut akan diberikan Lemma 2.2 mengenai keberadaan akar dan ketunggalan dari suatu titik tetap dari persamaan (2.10). Lemma 2.2 (Sahid, 2005: 146) Misalkan pada interval
adalah fungsi kontinu
.
32
1. Jika
memenuhi
untuk semua
, maka
persamaan (2.10) memiliki sedikitnya sebuah penyelesaian dalam . 2. Jika
dan jika |
terdefinisi pada
semua
, maka
|
untuk
memiliki titik tetap tunggal pada
.
Bukti: 1. Akan dibuktikan jika
memenuhi
untuk semua
maka persamaan (2.10) memiliki sedikitnya sebuah penyelesaian dalam
. Fungsi
berikut fungsi
didefinisikan sebagai
. Fungsi
kontinu pada
, maka
juga kontinu pada interval tersebut. Selanjutnya, , karena
dan
fungsi kontinu,
. Fungsi
dan
Nilai Antara terdapat titik
merupakan
, maka menurut Teorema sedemikian sehigga
.
Jadi, merupakan titik tetap . 2. Selanjutnya, akan dibuktikkan Jika dan jika |
|
untuk semua
tetap tunggal pada misalkan Fungsi
dan
terdefinisi pada , maka
memiliki titik
. Andaikan terdapat dua titik tetap, yang memenuhi
kontinu pada interval
dan
.
dan mempunyai
pada
, maka menurut Teorema 2.8 terdapat titik
dengan
sedemikian sehingga
33
Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa | semua
|
untuk
. Jadi pengandaian harus diingkar sehingga hanya
ada tepat sebuah titik tetap
.
Gambar 5 Keberadaan Akar persamaan
.
Gambar 5 menunjukkan keberadaan penyelesaian titik potong antara garis
dan
yaitu
.
Selanjutnya diberikan Teorema 2.9 mengenai syarat cukup dari kekonvergenan metode titik tetap. Teorema 2.9 (Sahid, 2005: 148) Misalkan metode titik tetap digunakan untuk menghitung hampiran-hampiran titik tetap
34
. Misalkan interval
memuat titik tetap
hampiran awal titik tetap
dan
. Apabila terdapat bilangan
sedemikian sehingga |
|
untuk semua
Maka barisan hampiran titik-titik tetap
,
konvergen ke .
Bukti: Misalkan
. Oleh karena . Apabila
merupakan titik tetap, maka memenuhi
dikurangi dengan
, maka berdasarkan
persamaan (2.13) diperoleh
Menurut Teorema 2.8 terdapat bilangan
sedemikian
hingga
sehingga
Oleh karena |
, maka
|
untuk semua |
Hal ini berarti titik tengah
. Akibatnya, mengingat hipotesis
|
, maka |
lebih dekat ke
titik tengah ) daripada
| (
|
| , karena
dan
. Oleh karena hampiran awal
, maka semua hampiran berikutnya juga termuat di dalam interval , serta
35
|
|
|
Oleh karena
|
| |
, maka
| |
| Jadi,
|
konvergen ke
. Metode
titik
tetap
ini
digunakan
sebagai
dasar
pada
titik
kesetimbangan dari scalar mapping dan disebut dengan titik tetap. F. Persamaan Beda Diketahui himpunan diskrit dari titik titik berurutan yaitu
. Jarak antara dua
dan disebut dengan step size. Step size
bernilai konstan. Dengan menggunakan metode Euler, jika mensubstitusi ̇
dan
maka persamaan diferensial ̇
dengan
menjadi persamaan beda sebagai berikut: ̇
(2.13) (Kocak, 1991: 68). Jika diberikan suatu nilai awal
, maka nilai perkiraan
dapat diperoleh. Contoh 2.25 Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut: ̇ dengan
(2.14)
merupakan parameter positif. Untuk memperkirakan solusi dari
persamaan (2.14) dapat menggunakan metode Euler dengan sehingga diperoleh: ̇
36
;
(( Jika
sangat kecil,
awal
dan
)
)
(2.15)
juga sangat kecil maka untuk sembarang nilai
pada interval
solusi dari persamaan (2.15) konvergen
monoton ke 1 untuk
.
G. Teorema Fungsi Implisit Pada teori bifurkasi, teorema fungsi implisit sangat dibutuhkan. Teorema ini digunakan untuk mempelajari titik ekuilibrium maupun titik tetap. Oleh karena itu diberikan teorema fungsi implisit sebagai berikut. Teorema 2.10 Teorema Fungsi Implisit (Hale & Kocak, 1991: 41) Andaikan
;
merupakan fungsi
yang
memenuhi dan
maka, ada konstanta
,
.
dan fungsi { ‖ ‖
}
sedemikian sehingga dan (
)
untuk ‖ ‖
.
37
Selain itu, jika ada | |
, dan memenuhi persamaan
sedemikian sehingga ‖ ‖ , maka
dan .
38
