Pengembangan dan Penerapan Teorema Pappus dalam Berbagai Kasus. Oleh Hasriati dan Asli Sirait Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Hasri @unri.ac.id Abstract In this paper we discuss about The Pappus theorem with colinearitas of three points which is the intersection of six points on two different lines. Furthermore, if there are four lines that intersect and form a triangles, the triangle formed through the orthocenter is show coliniearitas. Key Words : The Pappus theorem, coliniearitas. The orthocenter. Abstrak Pada makalah ini membahas Teorema Pappus dengan kolinearitas dari tiga buah titik yang merupakan perpotongan dari enam buah titik yang terletak pada dua garis yang berbeda.Selanjutnya kolinier garis juga terdapat pada satu segitiga, dua segitiga, maka dengan menggunakan Teorema Menelaus' dibuktikan kolinieritas terbentuknya satu garis. Kata Kunci: Teorema Pappus, kolinearitas, Teorema Menelaus'. . l.Pendahuluan Bila pada dua garis / dan myang tidak berpotongan diberikan tiga titik pada masingmasing
garis yaitu ^ , 5 , C d a n
A',B'-,C'.
Dari titik-titik tersebut dihubungkan
sedemikian hingga 5C'berpotongan dengan CB', C4'berpotongan dengan ^C'dan AB' berpotongan dengan BA'. Maka terdapat titik potong dari garis-garis tersebut yaitu D,E,F.
Jika ketiga titik tersebut dihubungkan, maka ketiga titik tersebut segaris (
kolinear), Teorema Pappus [2, 3, 14, 15, 16 dan 18]. Seianjutnya jika terdapat 4 buah garis a,b,c dan d yang mana keempat garis tersebut saling
berpotongan. Dari perpotongan tiga garis akan membentuk 4 buah segitiga. Pada
segitiga-segitiga yang terbentuk terdapat orthocenter, dan jika dihubungkan orthocenter dari keempat segitiga tersebut akan segaris, Teorema Steiner [1, 2, 3, 7 dan 16].Pada sebuah segitiga juga terdapat garis kolinier, yaitu dengan menhubungkan titik tengah. Sedangkan untuk dua buah segitiga yang perspektif
13
2.Kongkurensi dan Kolinier Garis Salah satu persoalan yang sering muncul dalam geometri adalah bagaimana menunjukkan bahwa tiga buah titik berada pada garis yang sama. Begitu juga bagaimana menunjukkan bahwa tiga buah garis akan berpotongan di satu titik. Kalau secara analitik, maka akan mudah ditunjulkan dengan menggunakan determinant. Akan tetapi ini adalah untuk tiga buah titik yang berada pada sisi-sisi suatu segitiga. Salah satu Teorema yang terkenal untuk kewujudan untuk kongkurensi adalah apa yang disebut dengan Teorema Ceva dan kewujudan kolinearitas adalah apa yang disebut dengan Teorema Menelaus [2, 3, 5, 15, 16, 17 da, 18] yaitu sebagai berikut:
Teorema .1. (Teorema Ceva). Jika D, E dan F masing-masing adalah titik pada sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC. Maka garis AD, BE dan CF adalah kongkuren (bertemu di satu titik) jika dan hanya jika AF
BD CE
FB DC EA
=1
Bukti : =>. Misalkan ketiga garis AD, BE dan CF kongkuren (bertemu disatu titik), katakan titik P. Misalkan pula LAABC menyatakan luas segitiga ABC , maka berlaku AF _ LAACF
_ LAAPF
FB ~ LAFCB
~ LAFPB
_ LAACF - LAAPF ~
LAFCB-LAFPB LAAPC LABPC
Dengan cara yang sama akan diperoleh BD
LABPA
DC
LACPA
dan
14
CE
LACPB
EA
LAAPB
Jadi AF
BD
PCE
LAAPC
LABPA
LACPB
FB
DC
EA
LABPC
LACPA
LAAPB
=I
<= Untuk membuktikan sebaliknya misalkan hasi' kali perbandingan ketiga garis bemilai 1, akan ditunjukkan bahwa ketiga garis bertemu di suatu titik. Untuk itu misalkan AD dan BE berpotongan di titik P, seianjutnya buat garis CP dan perpanjang sehingga memotong garis AB, katakan titik potongnya adalah F, berdasarkan hipotesis maka berlaku AF'
BD
CE
FB
DC'
EA
=1
Jadi
AF
DC
EA
AF
FB
BD
CE
FB
Kesamaan di atas mengatakan F = F. Jadi ketiga garis tersebut bertemu pada satu titik. V Teorema. 2 (Teorema Menelaus). .Jika titik D, E dan F masing-masing terletak ada sisi BC, CA dan AB pada segitiga/i5C, Maka titik D, E dan Fadalah segaris jika dan hanya jika
AF BD CE _ ^ FB'DC'EA" Bukti: => Misalkan ketiga titik D, E dan F adalah segaris, dan misalkan pula titik G pada AC sehingga DE sejajar dengan BG, maka diperoleh: AAFE
~ A ABG
AF _
yang mengakibatkan
AE
FB ~ EG Dan dari ABCG ~ADCE,
menghasilkan Gambar 2
BD _ GE DC ~ EC Sehingga diperoleh 15
AFlBD^CE^_AE^aEC^_
^
FB' DC' EA~ EG' EC' EA~" <= Misalkan perbandingan hasiikali ketiganya bemilai -1, Misalkan pula perpotongan DE dengan AB adalah f, maka berdasarkan hipotesis diperoleh
AF^BJDCE^_
J
F'B'DC'EA" Yang mengakibatkan
AF' _ F'B~
DC EA _ AF BD'CE~FB
Ini mengatakan bahwa F = F', jadi ketiga titik adalah segaris.
T
Kedudukan garis-garis yang berpotongan dari 6 titik dengan masing-masing terdapat 3 titik pada dua garis yang berbeda. Koliner titik dapat terjadi dengan menghubungkan tiga titik pada garis/ dan bersilangan dengan titik-titik yang terletak pada garis k yang mana akan diperoleh tiga titik potong [1,2, 6, 11, 12 dan 16].
Teorema.3.(Teorema Pappus) : Jika titik A, C dan E berada pada suatu garis dan titik B, D dan F berada pada garis lainnya, dan jika terdapat garis AD, AF dan CF masing-masing berpotongan dengan BC, BE dan DE. Maka ketiga titik potongnya yaitu K, L dan Af adalah segaris. Bukti: perhatikan gambar di bawah ini
Gambar 3a
Gambar 3b 16
Pada gambarJa perpanjang sisi ED dan CB sehingga berpotongan dititiic Y, perpotongan AF dengan CB adalah A'dan perpotongan /IF dengan ED adalah Z, seperti pada gambar .3b. Pandang segitiga XYZ dengan garis transpersal adalah BDF, maka dengan menggunakan teorema Menelaus akan diperoleh
XB_Yp^ZF^^
J
X^Y^ZA_^
Br'DZFX"
Cr'EZ
^ AX~'
Kemudian dengan memandang AD sebagai garis transpersalnya akan diperoleh pula
XK
YD ZA
KY'
DZ AX
XB
YE ZL
BY'
EZ LX
—"1
Untuk BE sebagai garis transpersal diperoleh
= -1
Dan CF sebagai garis transpersalnya akan diperoleh
XC_YM_ZF^_ CY'' MZ
J
FX"
Maka dari kelima persamaan di atas akan mengakibatkan
XK_YM_ZL^_ KY''
J
MZ'LX"
Dan ini bermakna bahwa ketiga t i t i k ^ Fdan Zadalah segaris.
V
Kalau Teorema Menelaus adalah untuk menunjukkan kolinearitas dari dua titik yang berada pada penggal garis (sisi-sisi segitiga) dan satu titik lagi berada pada perpanjangan pengal garis dari sisi lainnya. Berikut ini akan ditunjukkan kewujudan kolinearitas dari tiga buah titik yang kesemuanya tidak berada pada penggal garis dari sisi-sisi segitiga tersebut, akan tetapi berada pada perpanjangan penggal garis tersebut. Teorema tentang ini sering juga disebut dengan Teorema transversal Menelaus.
Teorema .4 ( Teorema transversal Menelaus). Jika t i t i k F d a n Z masing masing berada pada perpanjangan sisi CB, AC dan AB, maka X, Fdan Z adalah segari jika dan hanya jika
AZ BX CY ZB XC YA 17
Bukti : Buat masing-masing garis tegak lurus dari titik A, B dan C ke sisi XZ (perhatikan gambar 4a dan 4b) dan misalkan panjangnya berturut-turut adalah hu h2 dan hj. Maka dengan mudah anda akan dapat Menunjukkan bahwah
A^__hi_ ZB~
BJ^_ Ih
h,' XC~\
gambar 4a
AY _
h,
YZ ~
h,
Gambar 4.b
Seianjutnya akan anda peroleh
AZ BX CY _ ^ ZB"XC'YA~ Untuk membuktikan sebaliknya persis sama dengan pembuktian teorema Menelaus. 3. Hasil Utama 3.1. Kolinearitas Tiga Buah Titik Apabila pada suatu segitiga sebarang terdapat terdapat tiga titik pada sisi, lalu dihubungkan dengan cara menyilang, maka terdapat titik-titik potong dari garis yang menyilang tersebut.Yang mana jika dihubungkan ketiga titik tersebut akan kolinier.
Teorema .5..Jika D, E dan Fmasing-masing titik potong garis dari A, B dan Cterhadap sisisisi segitiga A B C seperti pada gambar di bawah. Jika X, Y dan Z masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AD, BE dan CF, tunjukkan bahwaX, Fdan Z adalah segaris.
18
«
C
.4i
^
Gambar .5 Bukti : Misalkan A}, Bj dan Cy masing-masing adalah titik tengah dari sisi BC. v4C dan AB. Maka B/Ci sejajar
dengan BC, dengan 5,
C/ dan X adalah segaris. Sehingga
BD _
AF_ _ B^Z
_ „' ~ • ^ „
UC
Ax),
Dengan cara yang sama akan diperoleh
^
ziv4
~*
/C|
dan
tD
~' ry .
Zy^i
seianjutnya berdasarkan teorema Menelaus terhadap segitiga ABC dengan garis DEF diperoleh
BD
CE AF
= -1
DC' EA FB C,X
B,Z A,Y ^ ^
XB,
ZA, YC,
Maka diperoleh X, Fdan Zadalah segaris. Seianjutnya akan ditunjukkan kolinier dari dua buah segitiga yang perspectif pada satu titik
Teorema .6.Misalkan ABC dan
PQR dua segitiga sedemikian hingga AP,BQ,CR
bertemu
pada titik O ( du? segitiga perspective dari titik O). Misalkan L perpotongan dari BC dan QR, M perpotongan dari CA dan RP , N perpotongan dari AB dan PQ
19
Gambar 6. Bukti: Garis LQP memotong
pada L,Q dan R, Dengan menggunakan Teorema
Menelaus'diperoleh: BL
CR
OQ _
^
LC'RO'QB~
Garis MPR dan NQP Memotong AOC4 dan AOAB berturut-turut, maka diperoleh: CM
AP
. MA
OR
. PO
,
==-1 RC
^
AN
dan
— - . — — = -1 NB
BQ QO
OP RA
Dengan mengalikan kedua persamaan, maka diperoleh: BL
CM
AN _
^
LC'MA'NB~
Sehingga pada A/IJSC berlaku Teorema Menelaus', titik L,M dan A'^ kolinier. Teorema .7 ; Pada AABC, titik D, E dan F berturut-turut merupakan titik potong garis tinggi dari titik A, B dan C terhadap sisi BC, CA dan AB. Bila P, Q dan R adalah titik potong garis tinggi dari titik A, B dan C pada EF, FD dan DE. Tunjukkan P, Q dan R adalah segaris.
20
Bukti
: Pertama-tama tunjukkan secara
trigonometri bahwa sin ZFAP = cos ZAFP = cos C. Dengan cara yang sama anda dapat menunjukkan sinZPAE = cos B, sinZECR = cos B, sinZRCD = cos A, sinZDBQ = cos A dan sinZQBF = cosC. Maka sin ZFAP sin .^ECR sin^PAE
sin ^ROD
sin ZDBQ sin^RBF
=
1
Ini bermaicna bahwa titik P, Q dan R adalah segaris. Teorema .S.Jika D, E dan F masing-masing titik potong garis dari A, B dan C terhadap sisisisi M.BC seperti pada gambar 9.2.1 di bawah. JikaX, Fdan Zmasing-masing merupakan titik tengah dari sisi AD, BE dan CF, tunjukkan bahwa A', Fdan Z adalah segaris. Bukti : Misalkan Ai, B\ dan C\ masing-masing adalah titik tengah dari sisi BC. AC dan AB. Maka B\C\ sejajar dengan BC, dengan B\. C\ dan X adalah segaris, sehingga BD
C,X
DC ~ XB, Dengan cara yang sama akan diperoleh CE _ AJ EA ~ YC,
dan
AF
B,Z
FB
ZA.
Gambar 8
Seianjutnya berdasarkan teorema Menelaus terhadap AABC dengan garis
diperoleh
BD CE AF DC EA FB Lalu 21
C,X
B,Z
AJ
XB,
ZA,
YC,
= -\
Ini bermakna bahwaX Fdan Zadalah segaris.
3.2. Kolinearitas Segitiga Berikut ini hanya sebagai gambaran sederhana akan diberikan kondisi kolinearitas dari orthocenter dari beberapa buah segitiga. Definisi .l.Pada sebarang segitiga terdapat: a. Orthocenter adalah titik potong ketiga garis tinggi yang berpotongan pada satu titik. b. Incenter adalah titik potong ketiga garis bagi sudut yang berpotongan pada satu titik. c. Circumcenter adalah titik potong ketiga garis yang melalui median dan tegak lurus dengan masing-masing sisi. Seianjutnya bila dari 4 buah garis yang berpotongan membentuk segitiga-segitiga juga akan dapat diperoleh kolinieritas melalui orthocenter. Teorema.9. Jika a,b,c adalah empat buah garis , maka orthocenter dari Abcd,Aacd,Aabd,Aabc adalah kolinier. Bukti: Misalkan, D,E,F
berpotongan
dari garis d
a,b,c
dengan
dan
K, L, M adalah orthocenter Abed, Aacd, Aabd dan Aahc . Yang mana
diperoleh
titik-titik
K = ECf]Fb,L^FaC[Dc, M = Db( , karena a,b,c adalah garis-garis yang tidak terbatas, maka kolinier ,dan
L,M,N
K,L,M
juga kolinier (
Teorema Pappus).
22
Kepustakaan 1. AtuI Dixit and Darij Grinberg, 2004, Orthopoies and the Pappus Theorem. Forum Geometricorum, 4, 53 - 59. 2. Brian, O.C, 2010, Misteries of the Equilateral Triangle, Hikari Ltd, 3. Bottema, O, 2008, Topics in Elementary Geometry, second editions, springer, NewYork 4. D. Grinberg and P. Yiu, 2002, 2002, The Apollonius Circles as a Tucker Circle, Forum Geometricorum, 2, 175 - 182. 5. Florentin Smarandache, LP, 2012, The Geometry of Homological Triangle, The Education Publisher, Inc, Ohio, 6. F. Holland, 2007, Another Verifications of Fagnano's Theorem, Forum Geometricorum, 7, 2007 - 2010. 7. Galieh, K . 1997, Algebraic Properties of Some Conficurational Proposition, Journal of Geometri, 56, 46 - 66. 8. Hasriati, 2010, Camot's Theorem in Barycentric Coordinates, Prosiding Seminar UKM-Unri ke 6, Bangi, 513-515. 9. Jian Liu, 2008,A Weighted Geometric Inequality and its Applications, Journal of Inequality in pure and Applied Mathematics, 9(2), 1 - 9. 10. Lev Emeryanov, 2004, On the Intercepts of The 01-Line. Forum Geometricorum, 4, 81-84. 11. Marian P, 1997, A Simple Proof for the Theorems of Pascal and Pappus, Journal for Geometry and Graphics, volume 1 no 1, 1 - 3. 12. Mashadi, 2010, Bukti Sederhana Dari Teorema Camot's dan Ketaksamaan ErdossMordell. Proseding K N M X V , Manado, 41 - 55. 13. W. Yu-Dong,. Y . Chun-Lei and Z. Chi-Hua, A Geometry Inequality of the Generalized Erdos-Mordel Type, Journal of Inequality in Pure and Applied Mathematics, 10(4), 2009, 107 - 111. 14. Wong Yan Loi, 2009, An Introductions to Geometry, Academic press inc. 15. http://www.cut-the-knot.org/triangle/Fagnano.shtml 16. http://mathworld.wolfram.com/PappussHexagonTheorem.html 17. http://mathworld.wolfram.com/DesarguesConfiguration.html 18. Yiu-P, Euclidean Geometry, 1998, available at http://www.mat.fau.edu/viu/Geometrv.hml.
23
