PERLUASAN DAN PENERAPAN T E O R A M A MINELAUS DAN H U B U N G A N N Y A D E N G A N T E O R E M A PAPPUS Sri Gemawati dan Mashadi
Abstrak Dalam tulisan ini akan dibicarakan perluasan dari teorema Minelaus, yaitu teorema Minelaus dapat juga digunakan untuk membuktikan teorema Pappus pada lingkaran, ellips dan parabola.
Kata K u n c i : Ellips, Lingkaran, Segitiga, Parabola, Teorema Minelaus, Teorema Pappus
1.
Pendahuluan
Dalam beberapa tulisan seperti dalam tulisan Hang K i m Hoo dan K o h Khee Meng [1,2, 3, 8 dan 10] teorema Minelaus digunakan untuk menunjukkan kelinearan tiga buah titik dalam suatu segitiga, dan dalam tulisan Atut Dixit dan Darij Grenberg [1, 2, 5, 8, 11 dan 12 ] mengatakan bahwa teorema Pappus membuktikan bahwa tiga titik hasil dari perpotongan tiga buah titik pada satu garis dan tiga buah titik pada garis yang lainnya adalah segaris. Dalam tulisan ini akan dibicarakan penerapan teorema Minelaus dalam bentuk yang lain, yaitu teorema Minelaus digunakan untuk membuktikan bahwa teorema Pappus juga berlaku pada lingkaran dan ellips [5,6 dan 7]. Teorema Pappus memberikan kewujudan titik potong dari 6 buah titik pada dua buah garis (baik sejajar ataupun sebarang),
titik-titik yang dihubungkan adalah titik yang tidak
bersebelahan, misalkan titik A , B , C pada satu garis dan titik P, Q, R pada garis yang lainnya, maka kita tidak boleh menghubungkan titik A dengan titik P, titik B dengan titik Q dan titik C dengan titik R [8, 10, 11 dan 12]. Akan tetapi lainhalnya kewujudan titik potong dari 6 buah titik pada lingkaran dan clips, untuk memenuhi teorema Pappus seperti pada pada dua buah garis, kalau pada lingkaran pasangan titik yang dihubungkan boleh bersebelahan [3,4„5 dan 10].
1
Kondisi ini memungkinkan kita untuk merancang berbagai bentuk konstruksi segitiga seliingga teorema Ceva, Menelaus ataupun teorema transversal Menelaus dapat digunakan sehingga kewujudan tiga titik segaris dapat ditunjukkan. 2.
Teorema Menelaus
Teorema Minelaus menjelaskan bagaimana kita melihat tiga buah titik terletak pada satu garis yang selanjutnya tiga titik tersebut disebut segaris atau kolinear. Secara khusus akan dilihat syarat apa agar tiga buah titik yang berada pada sisi-sisi atau pada perpanjangan sisisisi dari suatu segitiga yang segaris (colinear) [2,3, 5, 7 dan 8] Teorema 2.1. (Teorema Menelaus). Jika titik D, E dan F masing-masing terletak ada sisi BC, CA dan A B pada segitiga A B C , Maka titik D , E dan F adalah segaris j i k a dan hanya jika AF B D CE FB D C E A
= -1
Gambar 2.1
Bukti : => Misalkan ketiga titik D , E dan F adalah segaris, dan misalkan pula titik G pada A C sehingga D E sejajar dengan B G , maka diperoleh A A F E ~ A A B G yang mengakibatkan AF
AE
FB
EG
Dan dari A B C G ~ A D C E , menghasilkan
BD GE 137 = DC ' E C
Sehingga diperoleh AF B D CE
A E GE CE
FB D C E A
E G EC E A
- = -1
<= Misalkan perbandingan hasilkali ketiganya bemilai - 1 , Misalkan pula perpotongan D E dengan A B adalah F', maka berdasarkan hipotesis diperoleh AF
BD C E _ J
FB'DC•EA
~
Yang mengakibatkan AF _
DC EA_ AF
FB"
B D C E ~ F B
Ini mengatakan bahwa F = F ' , jadi ketiga titik adalah segaris.
T
Kalau pada Teroema 2.1 di atas dua buah titik berada pada sisi-sisi dari segitiga dan satu titik lagi berapda pada perpanjangan salah satu sisinya, maka berikut ini akan dibahas kalau ketiga titik yang akan ditunjukkan kolinear tersebut, semuanya berada pada perpanjangan sisi-sisi dari segitiga tersebut. Kondisi ini dikenal dengan Teorema transversal Menelaus [2,5,8 dan 11], yaitu sebagai berikut Teorema 2.2. Teorema Transversal Menelaus
Perhatikan gambar berikut
Gambar 2.2
Gambar 2. 3
Maka tetap berlaku ZB
XC
YA
3
Bukti : buat masing-masing garis tegak lurus dari titik A, B dan C ke sisi XZ (perhatikan Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 dan misalkan panjangnya berturut-turut adalah h\, hj dan h^. Maka dengan mudah anda akan dapat Menunjukkan bahwah — —
J hi'
— YC
hg
~
ha
Selanjutnya akan anda peroleh ZB
XC
YA
Untuk membuktikan sebaliknya persis sama
Berikut ini akan diberikan beberapa konsekuensi dari teorema Menelaus. Teorema 2.3..Jika D, E dan F masing-masing titik potong garis dari A, B dan C terhadap sisi-sisi segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Jika X, Y dan Z masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AD, BE dan CF, tunjukkan bahwa X , 7 dan ZaAaXdSn segaris. .4
Bukti : Misalkan Ai, Bi dan C i masing-masing adalah titik tengah dari sisi BC. AC dan AB. Maka B\C\ sejajar dengan BC, dengan B, C\ dan X adalah segaris. Sehingga
— = DC
Dengan cara yang sama akan diperoleh
— = EA
dan KCL
— = FB
XB^
, selanjutnya Z>ti
berdasarkan Teorema Menelaus terhadap segitiga ABC dengan garis D E F diperoleh
BO CE AF _ DC'
EA'FB
_ ^
~"
4
Lalu C^X B^Z A^Y ^
^
XBi ' ZAi > C i
Ini bermais.na bahwa X , 7 dan Z adalah segaris.
3.
Teor ema Pappus
Disini akan dibuktikan teorema Pappus tanpa mengguna teorma Minelaus dan juga diberikan bukti teorema Papus dengan menggunakan teorema Minelaus.
Teorema 3.1.(Teorema Pappus) : Jika titik A, C dan E berada pada suatu garis dan titik B, D dan F berapa pada garis lainnya, dan j i k a terdapat garis AD, AF dan CF masing-masing berpotongan dengan BC, BE dan DE. Maka ketiga titik potongnya yaitu K, L dan M adalah segaris. Bukti: perhatikan gambar di bawah ini
Gambar 3.1 Pada Gambar 3.1 perpanjang sisi ED dan CB sehingga berpotongan dititik Y dan sebut perpotongan AF dengan CB adalah X dan perpotongan AF dengan ED adalah Z, seperti pada Gambar 3.2
5
4.
Penerapan Teorema Minelaus
Teorema Pappus membicarakan tentang enam titik yang berada pada dua garis , selanjutnya akan dibicarakan teorema Pappus juga berlaku pada lingkaran, ellips dan parabola yang mempunyai enam titik. Dalam pembuktian teorema Pappus ini juga digunakan teorema Minelaus
Teorema 4.1. Misalkan A, B, C, D, E dan F adalah 6 buah titik pada lingkaran (tidak perlu berurutan. Misalkan K =--AB nCD
, L = CF n BE
dan M = DE CiAF . Maka K,
L dan Madalah segaris : Bukti : Perhatikan gambaru 4.1 kemudian perpanjang CD dan AF sehingga bertemu di titik Z, sebut
X = CDCiBE
dmY=
BE
CiAF.
Gambar 4.1
Cara pemiliha titik X, Y, Z untuk membuktikan teorema berikut tidaklah tunggal. Banyak cara yang dapat ditempuh. Misalkan titik X,Y dan Z seperti pada gambar 4.1
.Kemudian
7
Gambar 3.2 Pandang segitiga XYZ dengan garis transpersal adalah BDF, maka dengan menggunakan teorema Menelaus akan diperoleh
ro ZF _ BY'DZ'
VX
XC
ZA
_^
~
dan YE
.—. CY
EZ
=
-1
AX
Kemudian dengan memandang AD sebagai garis transpersalnya akan diperoleh pula Xl^
YD^
ZA_ _
KY'
DZ'
AX
^
~
Untuk BE sebagai garis transpersal diperoleh
BY'
iT
_
EZ'
LX ~
^ ~
Dan CF sebagai garis transpersalnya akan diperoleh m ZF _ ^ CY'
MZ'
FX
~
Maka dari kelima persamaan di atas akan mengakibatkan
^
FM
KY'
MZ'LX
_
^
~
Dan ini bermakna bahwa ketiga titik X, Y dan Z adalah segaris.
6
terapkan Teorema Menelaus pada segitiga XYZ dengan berturut-turut sisi CF, AB dan DE sebagai garis transversalnya, maka akan diperoleh tiga buah persamaan berikut ini A X y T Z C _ I.YFZ'CX
^
XB^ YA ZK_ _ '
^
RY'AZ'KX~
XE YM ZD _ '
^
EY-Mz-Dx~
Kemudian karena XB.XE
=XC.XD
YA.YF=YB.YE ZD.ZC
=
ZF.ZAA
Maka dari ketiga persamaan Menelaus di atas akan mengakibatkan XL
YM
ZK
_
Dengan persamaan yang terakhir ini bermakna bahwa ketiga titik K , L dan M adalah segaris T
Kalau pada teorema 4.1. di atas teorema Cevaq dan Menelaus untuk kewujudan titik buah titik yang diperoleh dari perpotongan 6 titik pada lingkaran yang mana titik-titik yang dihubungkan adalah titik-titk yang berseberangan, maka berikut ini yang kita hubungkan juga adalah titik-titik yang berdekatan, yaitu sebagai berikut. Teorema .4.2 : Misalkan A, B, C, D, E dan F adalah 6 buah titik pada lingkaran (tidak perlu berurutan. Misalkan
P = AB (\ DE, Q = BC n EF, dan R = CD n F A . M a k a P, Q dan R
adalah segaris Bukti: perhatikan Gambar 4.2 dibawah ini
8
Gambar .4.2 Misalkan =EFnAB
,
Y = AB n CD dan Z = CDn EF , perhatikan A A T Z dengan BC
sebagai sumbu transversal, maka akan diperoleh £Q
£ B
QXBr'
K £ _
_
^
CZ
Kemudian secara berturut-turut juga untuk A A T Z dengan garis transversal DE dan FA, masing-masing akan diperoleh : XP
YDZE
PY
DZEX
= —1
YR
ZF
XA
RZ
FX
AY
dan
= -1
Jika dikalikan ketiga persamaan d i atas, maka akan diperoleh QX'BY
' CZ'PY
' DZ'EX'Rz'FX'AY
~ QY'PY'RZ
Hal ini disebabkan karena XA. XB = XE XF,
~
^ ^
YC. YD = YA. YA dan ZE. ZF = Z C . ZD.
Berdasarkan teorema Menelaus, maka persamaan * di atas bermakna bahwa P, Q dan R adalah segaris (kolinear)
9
B
Teorema 4.3. Jika semua enam titik dari
~^
berada pada suatu ellips dan tiga pasang dari
sisi
yang berlawan
^. "^-^C!
berpotongan, ( \
maka tiga titik yang berpotongan adalah
-'^^
kolinear.
D
E
Gambar 4.3. Bukti : Z sebut
Perhatikan gambar 4 . 4 . Perpanjang garis BD dan CE sehingga berpotongan dititik dan i ' =
X = BD(\AF
V4F
n
CE.
Maka untuk garis AE terhadap A X Y Z , maka
dengan menggunakan teorema Menelaus (Teorema 2.1) akan diperoleh NZ'
EY'
AX
Kemudian dengan cara yang sama untuk garis DC akan diperoleh
££ m Dz'
CY'
MX
^ ~
Dengan menggunakan perluasan teorema Menelaus (Teorema 2.2) untuk garis BZ'
Oleh karena
LY'
FX
diperoleh
~
EY.CY= YA.YF, AX.FX=XDJCB
dan DZ.BZ = ZE.ZC,
maka
10
Gambar 4.4
5. Daftar Kepustakaan 1. Atul Dixit and Darij Grinberg, 2004, Orthopoles and the Pappus Theorem. Forum Geometricorum, 4, 53 - 59. 2. Bottema, O, 2008, Topics in Elementary Geometry, second editions, springer, NewYork 3. D . Grinberg and P. Y i u , 2002, 2002, The ApoUonius Circles as a Tucker Circle, Forum Geometricorum, 2, 175 - 182. 4. Dong W u Y , Chun L . Y and Zhang, Z . A , 2009, A Geometric Inequality o f the ErdosMordell Type, Journal of Innequalities in Pure and Applied Mathematic, Volume 10, issue 4, 1 - 5 . 5. Florentin Smarandache, L P , 2012, The Geometry of Homological Triangle, The Education Publisher, Inc, Ohio, 6. Jian L i u , 2008,A Weighted Geometric Inequality and its Applications, Journal of Inequality in pure and Applied Mathematics, 9(2), 1 - 9. 7. Marshall W . Buck and Robert L . Siddon, 2012, The Area o f a Polygon with an Inscribed Circle, Arxiv math, 1203.3438, volume 1, pp, 1 - 13. 8. Paul Y i u , 2001, Introduction to the Geometryof the Triangle, Department o f Mathematics Florida Atlantic University
11
9. Sri Gemawati, 2010, Poncelet's Theorem on Ellips, Presiding Seminar U K M - U n r i ke 6, Bangi,, 1 7 4 - 1 7 6 . 10. Wong Yan Loi, 2009, An Introductions to Geometry, Academic press inc. 11. http://mathworld.wolfram.com/PappussHexagonTheorem.html 12. http://mathworld.wol fram .com/DesarguesConfiguration .htm 1
12
