Analisis Deret Waktu Keuangan

Khreshna Syuhada

Catatan Kuliah

Analisis Deret Waktu Keuangan

1

Khreshna Syuhada

Bab 1: Return dan Sifat-sifat Return

2

Misalkan 𝑃𝑃𝑡𝑡 menyatakan harga aset pada waktu 𝑡𝑡. Return atau imbal hasil didefinisikan sebagai • •

𝑅𝑅𝑡𝑡 = (𝑃𝑃𝑡𝑡 − 𝑃𝑃𝑡𝑡−1 )/𝑃𝑃𝑡𝑡−1 , yang disebut return sederhana, atau 𝑅𝑅𝑡𝑡 = ln 𝑃𝑃𝑡𝑡 − ln 𝑃𝑃𝑡𝑡−1 , return majemuk,

dimana keduanya dapat ditunjukkan “sama”. Apa yang dapat anda katakan tentang return yang didefinisikan sebagai 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑃𝑃𝑡𝑡 − 𝑃𝑃𝑡𝑡−1 ? 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑃𝑃𝑡𝑡 /𝑃𝑃𝑡𝑡−1 ? Return memiliki sifat-sifat empiris (empirical facts) antara lain (Cont, 2001; Engle dan Patton, 2001): •

•

Return tidak berautokorelasi; return kuadrat dan return absolut berautokorelasi Untuk menguji sifat ada/tidak ada autokorelasi, dapat digunakan statistik uji Box-Pierce (BP) atau Box-Ljung (BL) atau yang lain dengan mengikuti prosedur standar uji hipotesis. - 𝐻𝐻0 : Return tidak berautokorelasi; 𝐻𝐻1 : 𝐻𝐻0 salah - 𝛼𝛼 - Statistik Uji: BP, BL - Daerah kritis; p-value - Kesimpulan Distribusi return adalah distribusi ekor tebal (heavy-tailed distribution) Beberapa distribusi ekor tebal antara lain distribusi Student’s 𝑡𝑡 dan generalized error distribution (GED) (Liesenfeld dan Jung, 2000). Kenormalan distribusi return dapat diuji dengan normal probability plot (NPP) atau stastistik uji lain seperti Andersen-Darling.

Misalkan 𝑅𝑅𝑡𝑡 return aset pada waktu 𝑡𝑡. Distribusi (tak bersyarat) 𝑅𝑅𝑡𝑡 , distribusi bersyarat 𝑅𝑅𝑡𝑡 |𝑅𝑅𝑡𝑡−1 dan distribusi bersama/bivariat (𝑅𝑅𝑡𝑡 , 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 ) merupakan kajian yang menarik. Telah kita kenal/ketahui sebelumnya tentang • • •

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑡𝑡 ,

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑡𝑡 |𝑅𝑅𝑡𝑡−1 ,

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑡𝑡 ,𝑅𝑅𝑡𝑡−1 = 𝐶𝐶(𝐹𝐹𝑅𝑅𝑡𝑡 , 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑡𝑡−1 ), yang disebut Copula

Sifat momen (pusat) yang penting dari return adalah

𝑘𝑘

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 𝑡𝑡 � ,

dimana momen pusat pertama bernilai nol. Momen pusat kedua, ketiga dan keempat berkaitan dengan variansi, kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis).

Khreshna Syuhada

Bab 2: Model Deret Waktu Linier

3

Misalkan 𝑅𝑅𝑡𝑡 return. Proses stokastik {𝑅𝑅𝑡𝑡 } adalah barisan return acak dengan distribusi peluang ditentukan oleh vektor parameter 𝜃𝜃. Model stokastik untuk return adalah 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑡𝑡 ,

dimana 𝜎𝜎𝑡𝑡 menyatakan volatilitas (volatility atau variansi bersyarat) dan {𝜀𝜀𝑡𝑡 } adalah proses white noise berdistribusi normal baku. Diasumsikan 𝜎𝜎𝑡𝑡 dan 𝜀𝜀𝑡𝑡 saling bebas. •

•

2 𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼0 + 𝛼𝛼1 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 - model Autoregressive Conditional Heterscedastic orde satu atau ARCH(1) - fungsi volatilitas terobservasi - distribusi 𝑅𝑅𝑡𝑡 |𝑅𝑅𝑡𝑡−1 dapat ditentukan - memiliki bentuk fungsi likelihood eksplisit 2 ln 𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 𝛾𝛾 + 𝛿𝛿 ln 𝜎𝜎𝑡𝑡−1 + 𝜂𝜂𝑡𝑡 - model Stochastic Volatility atau SV - fungsi volatilitas bersifat laten (latent atau tidak terobservasi) - tidak ada distribusi bersyarat 𝑅𝑅𝑡𝑡 , diberikan observasi/informasi sebelumnya - tidak memiliki bentuk eksplisit untuk fungsi likelihood

Kedua model stokastik diatas adalah model/proses dengan sifat heteroscedastic, yaitu variansi berubah sejalan dengan waktu (time-varying volatility).

Model stokastik untuk return yang bersifat homoscedastic adalah model Autoregressive atau AR. Model AR(1) didefiniskan sebagai berikut: 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 + 𝜖𝜖𝑡𝑡 ,

dimana 𝜖𝜖𝑡𝑡 ∼ 𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎 2 ). Diasumsikan bahwa 𝜖𝜖𝑡𝑡 dan 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 saling bebas. Sifat-sifat distribusi dan momen untuk model AR(1) adalah • • • •

𝑅𝑅𝑡𝑡 ∼ ⋯ 𝑅𝑅𝑡𝑡 |𝑅𝑅𝑡𝑡−1 ∼ ⋯ 𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑡𝑡𝑘𝑘 � = ⋯

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑡𝑡𝑘𝑘 �𝑅𝑅𝑡𝑡−1 � = ⋯

Catatan: Distribusi tak bersyarat dari 𝑅𝑅𝑡𝑡 sering dikatakan sebagai distribusi stasioner dari 𝑅𝑅𝑡𝑡 . Kestasioneran merupakan sifat penting dari deret waktu.

Khreshna Syuhada

Kestasioneran (stationarity)

4

Terdapat 2 jenis kestasioneran: 1) stasioner kuat (strictly stationary), 2) stasioner lemah (weakly stationary). Deret waktu {𝑅𝑅𝑡𝑡 } dikatakan stasioner kuat jika distribusi bersama dari (𝑅𝑅𝑡𝑡1 , … , 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑘𝑘 )

identik dengan distribusi bersama dari (𝑅𝑅𝑡𝑡1 +𝑡𝑡 , … , 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑘𝑘 +𝑡𝑡 ) untuk semua 𝑡𝑡, dimana 𝑘𝑘 sebarang integer positif dan (𝑡𝑡1 , … , 𝑡𝑡𝑘𝑘 ) koleksi dari 𝑘𝑘 integer positif. Sedangkan stasioner lemah akan dipenuhi oleh deret waktu {𝑅𝑅𝑡𝑡 } apabila 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑡𝑡 ) dan 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑅𝑅𝑡𝑡 , 𝑅𝑅𝑡𝑡−𝜏𝜏 ) tidak berubah menurut waktu (time-invariant), dimana 𝜏𝜏 sebarang integer. Jika{𝑅𝑅𝑡𝑡 } bersifat stasioner kuat dan dua momen pertamanya hingga maka {𝑅𝑅𝑡𝑡 } bersifat stasioner lemah (namun tidak berlaku sebaliknya). Kestasioneran lemah sering juga disebut second-order stationary atau covariance stationary. Sebagai ilustrasi untuk melihat kestasioneran deret waktu, pandang model AR(1): 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑎𝑎1 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 + 𝜖𝜖𝑡𝑡

atau sering disebut a zero-mean Gaussian AR(1) model. Model tersebut akan memiliki kestasioneran lemah jika |𝑎𝑎1 | < 1 (Buktikan!). Untuk model AR(2): 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑎𝑎1 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 + 𝑎𝑎2 𝑅𝑅𝑡𝑡−2 + 𝜖𝜖𝑡𝑡 ,

kestasioneran lemah akan dipenuhi jika 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 … (Buktikan!)

Proses AR(𝑝𝑝), untuk 𝑝𝑝 = 1 misalnya, dapat dibangkitkan dengan kode berikut function AR(a1,sigma);

% this function generate AR(1) process R(t) = a1*R(t-1) + epsilon(t); where epsilon(t) ~ N(0,sigma^2) % created by K Syuhada

Demikian pula halnya dengan proses AR(2) dst. Catatan: Proses AR(1) yang kita bahas adalah proses dengan bentuk forward representation. Kita dapat memiliki backward representation 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 𝑎𝑎1 𝑅𝑅𝑡𝑡+1 + 𝜂𝜂𝑡𝑡

apabila proses AR(1) memiliki galat berdistribusi normal. Jika dipunyai data riil, kita dapat menentukan apakah data tersebut mengikuti proses AR(1) atau AR(2) dengan melihat fungsi autokorelasi parsial (partial autocorrelation function – PACF). Perhatikan juga kriteria AIC dan BIC.

Khreshna Syuhada

5

Fungsi autokorelasi untuk proses AR(1) adalah

dengan perilaku sbb... • •

𝜌𝜌(𝜏𝜏) = ⋯,

Bagaimana pengaruh 𝑎𝑎1 (positif atau negatif) terhadap perilaku fungsi autokorelasi? Lakukan hal diatas untuk proses AR(2)!

Contoh 2.1 (hal. 38). Pandang data laju pertumbuhan setiap kuartal dari GNP di Amerika Serikat dari tahun 1974-1991. Model yang dibangun adalah AR(3): 𝑅𝑅𝑡𝑡 = 0.0047 + 0.35 𝑅𝑅𝑡𝑡−1 + 0.18 𝑅𝑅𝑡𝑡−2 − 0.14 𝑅𝑅𝑡𝑡−3 + 𝜖𝜖𝑡𝑡 ,

dan 𝜎𝜎�𝜖𝜖 = 0.0098. Persamaan beda orde tiga (third-order difference equation) yang berkorespondensi adalah...

Prediksi (prediction, forecasting) Prediktor terbaik adalah mean (bersyarat). Untuk proses AR(1) dengan mean nol, prediktornya adalah

dimana 𝑎𝑎�1 penaksir untuk 𝑎𝑎1 .

𝑋𝑋�𝑛𝑛+1 = 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑛𝑛+1 |𝑋𝑋𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎�1 𝑋𝑋𝑛𝑛 ,

Tugas

Khreshna Syuhada

6

1. Jenis return; return sederhana = log return; plot harga dan return; distribusi ekor tebal (termasuk uji kenormalan); uji autokorelasi; tima-varying volatility, skewness and kurtosis; 2. Generating data from AR(1) process; plot kestasioneran; orde proses AR untuk data riil; syarat kestasioneran untuk AR(𝑝𝑝);