9
(
T
πˆ j =
∑ P St = j | yt ; θˆ
t =1
T
)
. (21)
P {S t = j | yt ; θ } sama dengan satu jika
pengamatan berada pada state j dan sama dengan nol jika pengamatan berada pada state selainnya. Maka penduga rata-rata untuk state j pada persamaan (18) akan sama dengan nilai rata-rata dari yt untuk pengamatan yang diketahui berasal dari state j. Pada kasus yang lebih umum dimana P {S t = j | yt ; θ } berada diantara 0 dan 1 untuk beberapa pengamatan, penduga πˆ j adalah bobot rata-rata dari semua pengamatan, dimana bobot untuk setiap pengamatan Yt sepadan dengan peluang
dibangkitkan oleh state j. Kemungkinan lainnya pengamatan berasal dari state j, bobot yang lebih besar memperlihatkan bahwa pengamatan berada pada penduga µˆ j . 2 Dengan cara yang sama, σˆ j adalah bobot
rata-rata kuadrat standar deviasi untuk Yt dari µˆ j . Karena persamaan (18), (19), dan (21) taklinear, maka tidak mungkin menyelesaikan secara analitik bagi θˆ sebagai fungsi dari
{Y1 , Y2 , ...., Yt } .
Sehingga
untuk
mencari
penduga kemungkinan maksimum akan lebih mudah jika menggunakan algoritme iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM.
bahwa pengamatan pada waktu t telah
MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV Model Deret Waktu Hidden Markov Pada pasal ini akan dibahas model Hidden Markov yang merupakan deret waktu dengan bentuk sebagai berikut: Yt − µ
st*
(
= φ1 Yt −1 − µ s*
t −1
)+ (
φ2 Yt − 2 − µ
st*−2
)+
εt
(22) di mana: Ø ε t ! N 0,σ 2 bebas stokastik identik
(
Ø
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
St = 2, jika St = 1, St −1 = 2, dan St − 2 = 1 St = 3, jika St = 2, St −1 = 1, dan St − 2 = 1 St = 4, jika St = 2, St −1 = 2, dan St − 2 = 1 St = 5, jika St = 1, St −1 = 1, dan St − 2 = 2 St = 6, jika St = 1, St −1 = 2, dan St − 2 = 2
)
St = 7, jika St = 2, St −1 = 1, dan St − 2 = 2
yang diamati dan bernilai
St = 8, jika St = 2, St −1 = 2, dan St − 2 = 2.
{Yt } proses
(23)
skalar Ø
{ } St*
rantai Markov dengan ruang state
S = {1, 2} *
Ø Ø Ø
µ1 , µ 2 , φ1 , dan φ2 adalah konstanta real
(
θ = µ1 , µ 2 , φ1 , φ2 , σ
p* p* 12 P = 11 p * p* 21 22 peluang transisi. Dalam
2
)
merupakan
kasus
ini *
Yt
tidak
matriks
hanya
*
bergantung pada St dan St −1 , tetapi juga bergantung pada
* St − 2
. Sehingga agar tetap
memenuhi sifat Markov, perlu didefinisikan peubah baru St di mana: *
*
*
St = 1, jika St = 1, St −1 = 1, dan St − 2 = 1
Lema 2: {St } merupakan rantai Markov dengan ruang state {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan matriks transisi:
p11* 0 * p21 0 P= 0 0 0 0
0
0
0
* p12
0
*
p11
0
0
0
0
0
* p12
0
0 p22
0
0
0
* p21
0
* p22
0
0
0
0
0
0
p11
0
0
* p12
0
0
0 0 0
*
p11 0 * p21
0
*
0
0
0
* p21
0
* p22
0
0
Bukti lihat Lampiran 1.
*
0 0 0 0 * p12 0 * p22 0
10
(
Selanjutnya, karena ε t ! N 0,σ 2
)
bebas
stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi ε t : Fε
t
( yt ) = P ( ε t yt
≤ yt )
− ( ε − 0 )2 t d ε t 2 2 σ
1
=∫
exp
2π σ
0
− ( ε ) 2 t exp dε . 2 t 2 σ 2π σ
yt
1
=∫
0
(24) Berdasarkan persamaan (24) diperoleh fungsi sebaran bagi Yt : FYt ( yt ) = P( Yt ≤ yt )
)
(
= Pφ1 Yt−1 − µ * +φ2 Yt −2 − µ * + µ * +εt ≤ yt st −1 s s t −2 t = Pεt ≤ yt − µ * −φ1 Yt−1 − µ * −φ2 Yt−2 − µ * . s s s t t −1 t −2 Misalkan
(
) (
v = yt − µ * − φ1 Yt −1 − µ * st
st −1
)− (
φ2 Yt −2 − µ *
st −2
)
maka v
( yt ) = ∫ t
1
FY
2π σ
0
− ( ε ) 2 t dε 2 t 2 σ
exp
(25)
dan fYt ( yt ) = =
1 σ 2π
∂ ∂yt
FYt ( yt )
exp −
( v )2 ∂v
2 ∂y 2σ t
( ) (
) (
)
2 yt −µs* −φ1 Yt−1 −µs* −φ2 Yt−2 −µs* 1 t t−1 t−2 ∂v = exp− 2 σ 2π 2σ ∂yt
( ) (
) (
)
2 y − µ − φ Y − µ − φ Y − µ t s* 1 t−1 s* 2 t−2 s* 1 t t−1 t−2 = exp− .1 2 σ 2π 2σ
( ) (
) (
)
2 yt −µs* −φ1 Yt−1 −µs* −φ2 Yt−2 −µs* 1 t t−1 t−2 = exp− . 2 σ 2π 2σ (26) Misalkan ϒ t adalah medan- σ yang
lengkap dan dibangun oleh ϒ 1 ,ϒ 2 ,....,ϒ t . Kumpulan fungsi kerapatan tersebut dalam
vektor (8x1) dilambangkan sehingga diperoleh: éf (yt | St = 1, ϒ t - 1 ; q )ù ê ú êf (y | S = 2, ϒ ; q )ú t- 1 ê t t ú êf (y | S = 3, ϒ ; q )ú t- 1 ê t t ú êf y | S = 4, ϒ ; q ú ( ) ê t t ú t- 1 ht = ê ú êf (yt | St = 5, ϒ t - 1 ; q)ú ê ú êf (yt | St = 6, ϒ t - 1 ; q)ú ê ú êf (yt | St = 7, ϒ t - 1 ; q )ú ê ú êf (yt | St = 8, ϒ t - 1 ; q )ú ë û
ηt ,
dengan
2 1 exp− ( yt − µ1) −φ1 (Yt −1 − µ1) −φ2 (Yt−2 − µ1) σ 2π 2σ 2 2 y − µ −φ Y − µ −φ Y − µ 1 ( 1) 1 ( t −1 2) 2 ( t −2 1) t exp− 2 σ 2π 2σ 2 y − µ −φ Y − µ −φ Y − µ 1 ( t 2 ) 1 ( t −1 1) 2 ( t −2 1) exp− 2 2σ 2 σ π 2 1 exp− ( yt − µ2 ) −φ1 (Yt −1 − µ2 ) −φ2 (Yt −2 − µ1) σ 2π 2σ 2 = . 2 1 Y Y µ µ − µ φ φ − − − y − ( t 1) 1 ( t −1 1) 2 ( t −2 2 ) exp− 2 σ 2π 2σ 2 1 ( yt − µ1) −φ1 (Yt −1 − µ2 ) −φ2 (Yt −2 − µ2 ) exp− 2 2σ σ 2π y − µ −φ Y − µ −φ Y − µ 2 1 exp− ( t 2 ) 1 ( t −1 1) 2 ( t −2 2 ) σ 2π 2σ 2 2 1 y − Y Y µ φ µ φ µ − − − − ( ) ( ) ( ) 2 1 t −1 2 2 t −2 2 t exp− 2 σ 2π 2σ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Misalkan
ξˆt |t −1
(27) melambangkan vektor
(8 × 1) di mana elemen ke-j pada vektor merepresentasikan P {St = j | ϒ t −1 ; θ } dan ⊗ melambangkan perkalian elemen per elemen, maka
11
ξˆt |t −1 ⊗ ηt
P { St P { St P { St P { St = P {S t P {S t P { St P {St
= 1 | ϒ t −1 ; θ }
f ( yt | St = 2 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St = 3 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St = 4 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St ⊗ = 5 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St = 6 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St = 7 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St = 8 | ϒ t −1 ; θ } f ( yt | St
= 1,ϒ t −1 ;θ )
= 2,ϒ t −1 ;θ ) = 3,ϒ t −1 ; θ )
= 4,ϒ t −1 ;θ ) . = 5,ϒ t −1 ; θ ) = 6,ϒ t −1 ; θ ) = 7,ϒ t −1 ;θ ) = 8,ϒ t −1 ; θ )
(28) Berdasarkan persamaan (28) maka dapat dituliskan: P ( St = j | ϒ t −1 ; θ ) ⋅ f ( yt | St = j,ϒ t −1 ; θ ) = =
P ( St = j ,ϒ t −1 ; θ ) P ( yt , St = j ,ϒ t −1 ; θ )
⋅
P (ϒ t −1 ; θ )
P ( yt , St = j ,ϒ t −1 ; θ ) P (ϒ t −1 ;θ )
P ( St = j ,ϒ t −1 ; θ )
= P ( yt , St = j | ϒ t −1 ; θ ) .
(29) Sehingga diperoleh:
(
f ( yt | ϒ t −1 ; θ ) = 1′ ξˆt |t −1 ⊗ ηt 8
=
∑
)
P ( St = j | ϒ t −1 ;θ ). f ( yt | St = j ,ϒ t −1 ; θ )
j =1
= P ( St = 1 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 1,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 2 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 2,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 3 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 3,ϒ t −1 ; θ )
(
+ P ( St = 6 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 6,ϒ t −1 ; θ )
+ P ( St = 7 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 7,ϒ t −1 ; θ )
+ P ( St = 8 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 8,ϒ t −1 ; θ )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 (t ) ( ) ( ) 1 +PS ( t =2|ϒt−1;θ). exp− 1 1 t−1 22 2 t−2 1 σ 2π 2σ y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 ( t 2) 1( t−1 1) 2( t−2 1) 1 +PS ( t =3|ϒt−1;θ). exp− σ 2π 2σ2 y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 (t ) ( ) ( ) 1 +PS ( t =4|ϒt−1;θ). exp− 2 1 t−1 22 2 t−2 1 σ 2π 2σ y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 (t ) ( ) ( ) 1 +PS ( t =5|ϒt−1;θ). exp− 1 1 t−1 21 2 t−2 2 σ 2π 2σ 2 ( yt −µ1) −φ1(Yt−1−µ2) −φ2(Yt−2−µ2) 1 +PS ( t =6|ϒt−1;θ). exp− σ 2π 2σ2 y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 ( t 2) 1( t−1 1) 2( t−2 2) 1 +PS ( t =7|ϒt−1;θ). exp− σ 2π 2σ2 2 y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ (t ) ( ) ( ) 1 +PS ( t =8|ϒt−1;θ). exp− 2 1 t−1 22 2 t−2 2 . 2σ σ 2π
Jika persamaan (29) dibagi persamaan (30) maka diperoleh
(30) dengan
P ( yt , St = j | ϒ t −1 ; θ ) f ( yt | ϒ t −1 ; θ )
+ P ( St = 4 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 4,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 5 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 5,ϒ t −1 ; θ )
)
y −µ −φ Y −µ −φ Y −µ 2 1 ( t 1) 1( t−1 1) 2( t−2 1) =PS ( t =1|ϒt−1;θ). exp− σ 2π 2σ2
= =
P ( yt , St = j | ϒ t −1 ;θ )
.
f (ϒ t −1 ; θ )
P ( yt , St = j ,ϒ t −1 ; θ )
P (ϒ t −1 ; θ )
f ( yt ,ϒ t −1 ; θ )
f ( yt ,ϒ t −1 ; θ )
= P ( St = j | yt ,ϒ t −1 ; θ ) = P ( St = j | ϒ t ; θ ) .
(31) Sehingga diperoleh P ( St = j | ϒ t ; θ ) =
(
P yt , St = j | ϒ t −1 ; θ
ξˆt |t =
(
f yt | ϒ t −1 ; θ ξˆ ⊗ η
(
(
t |t −1
t
)
1′ ξˆt |t −1 ⊗ ηt
)
Fungsi log-likelihood L (θ )
)
)
.
(32) untuk data
yang diamati Yt dapat dihitung dengan cara
12
L (θ ) = log ( f ( y2 | ϒ1;θ ) f ( y3 | ϒ 2 ;θ )L f ( yT | ϒT −1;θ ) )
seperti yang terdapat pada Lampiran 2.
T
= ∑logf ( yt | ϒt −1;θ ).
Pendugaan Paremeter Model Penduga kemungkinan maksimum bagi θ diperoleh dengan memaksimumkan:
t =2
(33) Salah satu pendekatan yang digunakan untuk memilih nilai awal bagi ξˆt |t −1 adalah
T
L (θ ) = ∑ logf ( yt | ϒ t −1 ; θ )
dengan membuat ξˆ1|0 sama dengan vektor
t =2
Dengan membuat turunan pertama dari log-likelihood terhadap parameter θ sama dengan nol, maka diperoleh:
peluang tak bersyarat π = [π 1
π2
π3
π4
π5
π6
π7
π8 ]
'
yang memenuhi sifat ergodic, yaitu π = Pπ π 1 + π 2 + π 3 + π 4 + π 5 + π 6 + π 7 + π 8 = 1.
(
T
)
(
)
(
)
(
)
∑ [ A pz + B rz + rφˆ1µˆ 2 − C ( sz − s µˆ 2 ) − D φˆ2 z − φˆ2 q µˆ 2 + E qz + qφˆ2 µˆ 2 + F ( z + s µˆ 2 ) − G φˆ1 z + φˆ1r µˆ 2 t=2
µˆ1 =
T
2 2 2 2 2 ∑ [ A p + Br + Cs + Dφˆ2 + Eq + F + Gφˆ1
t=2
(
)
(
(
)
)
(
)
∑ [ −B φˆ1 z − φˆ1r µˆ1 + C ( z + s µˆ1 ) + D qz + qφˆ2 µˆ1 − E φˆ2 z − φˆ2 q µˆ1 − F ( sz − s µˆ1 ) + G rz + φˆ1r µˆ1 + H ( pz )] T
µˆ 2 =
(34)
t =2
(35)
T
2 2 2 2 2 2 ∑ Bφˆ1 + C + Dq + Eφˆ2 + Fs + Gr + H p t =2
∑ [ A( ac −φ2ce) + B ( ad −φ2de) + C ( bc −φ2ce) + D( bd −φ2de) + E ( ac −φ2cf ) + F ( ad −φ2df ) + G( bc −φ2cf ) + H ( bd − φ2df )] T
φˆ1 = t =2
(36)
2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ [ Ac + Bd + Cc + Dd + Ec + Fd + Gc + H d T
t =2
∑ [ A( ae − φ1ce) + B ( ae − φ1de) + C ( be − φ1ce) + D ( be − φ1de) + E ( af − φ1cf ) + F ( af − φ1df ) + G ( bf − φ1cf ) + H ( bf − φ1df )] T
φˆ2 = t =2
(37)
∑ [ Ae + Be + Ce + De + Ef + Ff + Gf + H f t =2 T
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ A( a −φ1c −φ2e) + B( a −φ1d −φ2e) +C( b −φ1c −φ2e) + D(b −φ1d −φ2e) + E( a −φ1c −φ2 f ) + F( a −φ1d −φ2 f ) +G( b −φ1c −φ2 f ) + H( b −φ1d −φ2 f ) t =2 T
σˆ 2 =
T
∑ A+ B +C + D+ E + F +G + H
t =2
(38) dengan
a = ( yt − µˆ1 ) ,
b = ( yt − µˆ 2 ) ,
(
)
(
)
c = ( yt −1 − µˆ1 ) ,
(
d = ( yt −1 − µˆ 2 ) ,
)
(
)
p = 1 − φˆ1 − φˆ2 , r = 1 − φˆ2 , q = 1 − φˆ1 , s = φˆ1 + φˆ2 , A= C= E= G=
(
1
(
1
f yt | ϒt −1;θˆ
(
1
f yt | ϒt −1;θˆ
(
1
f yt | ϒt −1;θˆ
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
)
P St = 1| ϒ t −1;θˆ f yt | St = 1,ϒt −1;θˆ , B =
)
P St = 3| ϒt −1;θˆ f yt | St = 3,ϒt −1;θˆ , D =
)
P St = 5| ϒt −1;θˆ f yt | St = 5,ϒt −1;θˆ , F =
)
P St = 7 | ϒt −1;θˆ f yt | St = 7,ϒt −1;θˆ , H =
f yt | ϒt −1;θˆ
Bukti lihat Lampiran 3
(
e = ( yt − 2 − µˆ1 ) ,
(
z = yt − φˆ1 yt −1 − φˆ2 yt − 2
1
1
f yt | ϒ t −1 ;θˆ
(
1
f yt | ϒ t −1 ;θˆ
(
1
f yt | ϒ t −1;θˆ
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
)
P St = 2 | ϒ t −1;θˆ f yt | St = 2,ϒ t −1;θˆ
)
P St = 4 | ϒ t −1;θˆ f yt | St = 4,ϒ t −1;θˆ
)
P St = 6 | ϒ t −1;θˆ f yt | St = 6,ϒ t −1;θˆ
)
P St = 8 | ϒ t −1;θˆ f yt | St = 8,ϒ t −1;θˆ .
f yt | ϒ t −1;θˆ
(
f = ( yt − 2 − µˆ 2 )
13
Karena persamaan µˆ1 , µˆ 2 , φˆ1, φˆ2 , dan σˆ 2 yang diperoleh adalah tak-linear, maka untuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritme iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: Langkah 1: Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai , , ,...., y y y y dan matriks transisi ( 0 1 2 T)
p11* 0 * p21 0 P= 0 0 0 0
0
0
* p12
0
0
0
0
0
0
* p22
p11 0
*
* p21
0
0
*
0
0
0
0
* p12
p21
0
0
0
0
0
p22
0
0
0
p11
0
0
p12
0
0
0 0 0
*
p11 *
*
0
0
0
* p21
0
* p22
0
0
*
0 0 0 0 * p12 0 * p22 0
Beri nilai awal bagi θˆ yang dilambangkan
(
)
m dengan θˆ( ) = µˆ1 , µˆ 2 , φˆ1 , φˆ2 , σˆ 2 .
Langkah 2: Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi yT untuk setiap t = 1, 2,...., T dengan cara éf (yt | St = 1, ϒ t - 1 ; q )ù ê ú êf (y | S = 2, ϒ ; q )ú t t t 1 ê ú êf (y | S = 3, ϒ ; q )ú t- 1 ê t t ú êf y | S = 4, ϒ ; q ú ( ) ê t t ú t- 1 ht = ê ú êf (yt | St = 5, ϒ t - 1 ; q)ú ê ú êf (yt | St = 6, ϒ t - 1 ; q)ú ê ú êf (yt | St = 7, ϒ t - 1 ; q )ú ê ú êf (yt | St = 8, ϒ t - 1 ; q )ú ë û
2 1 exp− ( yt − µ1) −φ1 ( yt −1 − µ1) −φ2 ( yt −2 − µ1) σ 2π 2σ 2 2 1 yt − µ1) − φ1 ( yt −1 − µ2 ) −φ2 ( yt −2 − µ1) ( exp− 2 σ 2π 2σ y − µ −φ y − µ −φ y − µ 2 1 ( t 2 ) 1 ( t −1 1) 2 ( t −2 1) exp− 2 2σ σ 2π y − µ −φ y − µ −φ y − µ 2 1 exp− ( t 2 ) 1 ( t −1 2 ) 2 ( t −2 1) σ 2π 2σ 2 = 2 1 y − − y y µ µ µ φ φ − − − ( ) ( ) ( ) t 1 1 t −1 1 2 t −2 2 exp− 2 σ 2π 2σ 2 1 ( yt − µ1) −φ1 ( yt −1 − µ2 ) −φ2 ( yt −2 − µ2 ) exp− 2 2σ σ 2π y − µ −φ y − µ − φ y − µ 2 1 exp− ( t 2 ) 1 ( t −1 1) 2 ( t −2 2 ) σ 2π 2σ 2 2 y − µ −φ y − µ −φ y − µ 1 ( 2) 1 ( t −1 2) 2 ( t −2 2) t exp − 2 σ 2π 2σ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Langkah 3: Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi: 3.1. Tentukan nilai awal bagi ξˆt |t −1 yang dilambangkan dengan ξˆ1|0 3.2. Beri nilai awal i = 1 3.3. Untuk i = 1 , cari nilai dari
(
f ( yt | ϒ t −1 ; θ ) = 1′ ξˆt |t −1 ⊗ ηt
)
= P ( St = 1 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 1,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 2 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 2,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 3 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 3,ϒ t −1 ; θ )
+ P ( St = 4 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 4,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 5 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 5,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 6 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 6,ϒ t −1 ; θ )
+ P ( St = 7 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 7,ϒ t −1 ; θ ) + P ( St = 8 | ϒ t −1 ; θ ) . f ( yt | St = 8,ϒ t −1 ; θ )
14
P ( St = 1 | ϒ t −1;θˆ ) P ( St = 2 | ϒ t −1;θˆ ) ˆ P ( St = 3 | ϒ t −1;θ ) P ( S = 4 | ϒ ;θˆ ) ( ξˆ ⊗ η ) t t −1 t = t |t −1 ξˆt |t = P ( St = 5 | ϒ t −1;θˆ ) 1′ ( ξˆt |t −1 ⊗ ηt ) P ( St = 6 | ϒ t −1;θˆ ) ˆ P ( St = 7 | ϒ t −1;θ ) P S = 8 | ϒ ;θˆ t −1 ) ( t
H=
b = ( yt − µˆ 2 )
c = ( yt −1 − µˆ1 )
d = ( yt −1 − µˆ 2 )
e = ( yt − 2 − µˆ1 )
f = ( yt − 2 − µˆ 2 )
pˆ ij =
B= C= D= E= F= G=
(
f yt | ϒt −1;θˆ
(
1
f yt | ϒt −1;θˆ
(
=
=
(
)
P St = 5| ϒt −1;θˆ f yt | St = 5,ϒt −1;θˆ
)
P St = 6 | ϒt −1;θˆ f yt | St = 6,ϒt −1;θˆ
)
P St = 7 | ϒt −1;θˆ f yt | St = 7,ϒt −1;θˆ
1
f yt | ϒt −1;θˆ
(
1
f yt | ϒt −1;θˆ
)
)
P St = 4 | ϒt −1;θˆ f yt | St = 4,ϒt −1;θˆ
f yt | ϒt −1;θˆ
(
P St = 1| ϒ t −1;θˆ f yt | St = 1,ϒt −1;θˆ
)
1
)
)
P ( St = j | ϒ t )
P ( St = j | ϒ T ) P ( St −1 = i | ϒ t ) P ( St = j | St −1 = i ) P ( St = j | ϒ t )
j i ξˆ(t |T) × ξˆt(−)1|t −1 × pij j ξˆ(t |t )
T
P St = 3| ϒt −1;θˆ f yt | St = 3,ϒt −1;θˆ
f yt | ϒt −1;θˆ
)
P ( St = j | ϒ T ) P ( St = j , St −1 = i | ϒ t )
∑
)
1
2
= P ( St = j | ϒ T ) P ( St −1 = i | ϒ T )
j i ξˆ(t |T) × ξˆ(t −)1|t −1 × pij j ξˆ(t |t )
t =2 N
j i ξˆ(t |T) × ξˆ(t −)1|t −1 × pij j ξˆ(t |t )
t =2 j =2
) (
1
≈ P ( St = j | ϒ T ) P ( St −1 = i | ϒ t )
T
(
2
P ( St = j , St −1 = i | ϒ T )
P St = 2 | ϒt −1;θˆ f yt | St = 2,ϒt −1;θˆ
1
(
T
∑ P St −1 = i | ϒ t ; θˆ
t =2
)
f yt | ϒt −1;θˆ
(
)
(
∑ ∑
) (
)
}
∑ P St = j , St −1 = i | ϒ t ; θˆ
t =2
pˆ ij =
(
1
{
T
( ) r = (1 − φˆ2 ) q = (1 − φˆ1 ) , s = (φˆ1 + φˆ2 ) z = ( yt − φˆ1 yt −1 − φˆ2 yt − 2 ) 1
) (
Langkah 6: Cari P yang baru, yaitu: j j j j ξˆ(t |T) = ξˆ(t |t )! P '. ξˆ(t +1|) T ( ÷ ) ξˆ(t +1|) t
p = 1 − φˆ1 − φˆ2 ,
A=
(
P St = 8| ϒt −1;θˆ f yt | St = 8,ϒt −1;θˆ
(
=
a = ( yt − µˆ1 )
)
Langkah 5: Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan θˆ( m +1) = µˆ , µˆ ,φˆ ,φˆ ,σˆ 2 .
i = i +1 3.4. Ulangi mulai dari langkah (3.3) . Stop jika t = T Lanjutkan ke langkah 4. Langkah 4: Misalkan
(
f yt | ϒt −1;θˆ
Cari nilai dari µˆ1, µˆ 2 ,φˆ1,φˆ2 dan σˆ 2 .
P ( St +1 = 1 | ϒ t −1;θˆ ) P ( St +1 = 2 | ϒ t −1;θˆ ) ˆ P ( St +1 = 3 | ϒ t −1;θ ) P ( S = 4 | ϒ ;θˆ ) t +1 t −1 = P.ξˆt |t = P ( St +1 = 5 | ϒ t −1;θˆ ) P ( St +1 = 6 | ϒ t −1;θˆ ) ˆ P ( St +1 = 7 | ϒ t −1;θ ) P S = 8 | ϒ ;θˆ t −1 ) ( t +1
ξˆt +1|t
1
Langkah 7: Ulangi mulai dari langkah 2. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang. E Yt | St = j ,ϒ t −1;θ
(
) ( ) +φ (
)
(
) (
)
= Eφ1 Yt−1 − µ * +φ2 Yt−2 − µ * +εt + µ * | St = j,ϒt−1;θ st −1 st −2 st
(
) (
)
= φ1
(
) (
)
Yˆt = E Yt | ϒ t −1;θ = ∫ yt . f ( yt | ϒ t −1;θ )dyt
(
) (
)
(
) (
)
(
yt −1 − µ * st −1
2 yt − 2
− µ s*
t −2
)
+
µ
st*
N = ∫ yt . ∑ f ( yt | St = j ,ϒ t −1 ;θ ) .P ( St = j | ϒ t −1 ;θ ) dyt j =1 N
= ∑ P ( St = j | ϒ t −1 ;θ ).∫ yt . f ( yt | St = j ,ϒ t −1;θ )dyt j =1 N
= ∑ ξˆt |t −1.E Yt | St = j ,ϒ t −1;θ j =1
15
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Tetapi sebelumnya, akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah serta aplikasi untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 .
Pada Gambar 1, terlihat bahwa pada bulan Juni 1998, nilai tukar Rupiah per 1 US Dollar meningkat cukup tinggi hingga mencapai Rp. 14.000,-. Kemudian pada bulan-bulan berikutnya Rupiah menurun secara perlahan dan sempat berada level terendah Rp. 6.700,pada bulan Juni 1999, sebelum data berfluktuasi pada kisaran Rp. 8.000,- hingga Rp. 11.000,- per 1 US Dollar pada bulanbulan berikutnya. Meningkatnya nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar pada pertengahan tahun 1998, disebabkan karena instabilitas politik, sosial, dan ekonomi Indonesia pada saat itu.
Data Input Nilai Tukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data rata-rata nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan yang diambil dari situs www.bankofcanada.ca yang diakses pada tanggal 24 Januari 2008. Data berkisar antara bulan Februari 1998 hingga Januari 2008 yang berarti terdapat 120 data observasi ( yt ) . Grafik data disajikan pada Gambar 1.
Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar 16000 Rupiah per US Dollar
14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
78
85
92
99 106 113 120
Waktu per Bulan (Februari 98 - Januari 08)
Gambar 1. Grafik perubahan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan Sumber: www.bankofcanada.ca (akses 24 Januari 2008) Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar Nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang dapat berubah setiap waktu. Banyak hal yang dapat menyebabkan perubahan tersebut, seperti perubahan kebijakan pemerinah, kondisi keamanan yang tidak kondusif, pergantian sistem pemerintah, dan lain-lainnya. Penyebab-penyebab tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, pada saat terjadi kerusuhan akibat dari pergantian sistem pemerintahan yang
merugikan masyarakat, biasanya akan diikuti munculnya mosi tidak percaya dari investor asing untuk menginvestasikan Dollar di Indonesia sehingga terjadi kenaikan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar. Kejadian seperti ini dapat berulang di masa yang akan datang, namun tidak dapat ditentukan kurun waktunya. Besar kemungkinan di waktu yang akan datang akan terjadi kejadian yang sama, jika terjadi perubahan sistem pemerintahan yang memiliki nilai peluang tidak jauh berbeda dengan nilai peluangnya saat itu. Hal
16
ini menunjukkan bahwa penyebab kejadian nilai tukar Rupiah bersifat homogen. Jadi karena penyebab kejadian nilai tukar Rupiah membentuk suatu rantai Markov dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, maka masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dapat dimodelkan menggunakan model hidden Markov. Proses observasi {Yt ,∈ N } yang digunakan adalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan dan bernilai skalar. Banyaknya data t adalah 120, sedangkan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung {St , t ∈ N } pada model adalah penyebab terjadinya perubahan nilai tukar tersebut. Deret Waktu Hidden Markov Model Hamilton Deret waktu hidden Markov Hamilton, yaitu: Yt = cSt + φSt Yt −1 + ε t . Untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2, terdapat 2 nilai c yang menyatakan state. Dalam karya ilmiah Hirasawa (2007),
penyebab kejadian state e1 adalah 10000 dan nilai µ saat state e2 adalah 8000. Nilai φ awal yang digunakan adalah 12/10, sedangkan rataan awal yang digunakan adalah σ = 1000 . Dengan menggunakan algoritme EM, didapatkan nilai akhir dari parameter yang memaksimumkan peluang 9182,96 , 9126,66
adalah µ =
φ = 0,840756 ,
dan
σ = 356984 . Nilai rataan yang diperoleh sebesar 114,5017 (1,2927%). Nilai galat maksimum adalah 807,6963 (5,6773 %) dan nilai galat minimum adalah 0,2934 (0,0032 %). Nilai dugaan model ini mendekati nilai yang sebenarnya. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 2. Dari Gambar tersebut, terlihat bahwa model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya menduga nilai Rupiah terhadap US Dollar lebih baik daripada model hidden Markov Hamilton.
digunakan nilai c awal yaitu c0 =
Deret Waktu Hidden Markov Dua Waktu Sebelumnya Model hidden Markov yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah:
yang menyatakan bahwa nilai c saat e1 adalah
Yt − µ
10000 dan nilai c saat e2 adalah 8000. Nilai
Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai awal
1/ 3 φ awal yang digunakan yaitu φ 0 = 3/ 4 yang menyatakan nilai φ saat e1 adalah 1/3
10000 µ= 8000
10000 8000
dan nilai φ saat e2 adalah 3/4, sedangkan nilai rataan awal yang digunakan adalah σ = 1000. Didapatkan nilai akhir dari parameter yang memakisimumkan peluang adalah 9476,15419 0, 23733 , dan σ = 620,71. c= ,φ = 1442,12135
0,84235
Nilai rataan yang diperoleh adalah sebesar 284,744 (3,0698%). Nilai galat maksimum adalah 2328,49 (21,2266 %) dan nilai galat minimum adalah 1,64 (0,0163 %). Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 2. Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Model hidden Markov yang digunakan adalah:
(
Yt − µ S * = φ Yt −1 − µ S * t
t −1
)+ε
t
Dalam karya ilmiah Santoso (2008), digunakan nilai awal µ = 1 0 0 0 0 yang 8000
menyatakan bahwa
nilai
µ
pada saat
st*
(
= φ1 Yt −1 − µ
st*−1
)+ (
φ 2 Yt − 2 − µ
st*− 2
)+
εt
yang menyatakan bahwa nilai µ
pada saat penyebab kejadian state e1 adalah 10000 dan nilai µ saat state e2 adalah 8000. Nilai awal yang digunakan φ adalah φ =
0, 4333 , sedangkan rataan awal 0, 5
yang digunakan adalah σ = 1000 . Dengan menggunakan algoritme EM, didapatkan nilai akhir dari parameter yang memaksimumkan peluang adalah µ = 5170,76 , φ = 0,481727 , 6034,22 0,522214 dan σ = 1096470 . Nilai rataan yang diperoleh adalah 55,26 (0,59%). Nilai galat maksimum adalah 220,02 (2,32%) dan nilai galat minimum adalah 0,12 (0,0013%). Nilai dugaan model ini mendekati nilai yang sebenarnya. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 2. Dari Gambar tersebut, terlihat bahwa model deret waktu hidden Markov dua waktu sebelumnya menduga nilai Rupiah terhadap US Dollar lebih baik daripada model hidden Markov Hamilton maupun model hidden Markov satu waktu sebelumnya.
17
Tabel 1. Perbandingan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Hamilton, Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya, dan Deret Waktu Hidden Markov Dua Waktu Sebelumnya. Perbandingan Hidden Markov Model Hidden Markov Satu Hidden Markov Dua Hamilton Waktu Sebelumnya Waktu Sebelumnya Rataan Galat Galat Max Galat Min
284,74 (3,07%) 2.328,49 (21,23%) 1,64 (0,016%)
114,50 (1,24%) 807,69 (5,68%) 0,29 (0,003%)
55,26 (0,59%) 220,02 (2,32%) 0,12 (0,0013%)
15,000.00
14,000.00
Rupiah per US Dollar
13,000.00
12,000.00
11,000.00
10,000.00
9,000.00
8,000.00
7,000.00
6,000.00 1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
Waktu per Bulan (Feb 1998 - Jan 2008) Nilai Rupiah
Model Dua Waktu Sebelumnya
Model Satu Waktu Sebelumnya
Model Hamilton
Gambar 2. Grafik nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar
SIMPULAN Model deret waktu hidden Markov dua waktu sebelumnya dapat memodelkan perilaku perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Penduga parameter yang diperoleh dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritma iteratif Expectation Maximization dapat memprediksi nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang akan datang.
Model deret waktu hidden Markov dua waktu sebelumnya dapat memodelkan dengan lebih baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar jika dibandingkan dengan model deret waktu hidden Markov Hamilton dan model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang lebih mendekati nilai sebenarnya.
