PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA
ARDY KRESNA CRENATA G54052461
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ABSTRAK ARDY KRESNA CRENATA. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA. Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika mengalami perubahan setiap waktunya dalam periode yang panjang dan perubahan yang terjadi saat ini dimungkin terjadi lagi di masa yang akan datang. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov, maka perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Untuk menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika, dalam karya ilmiah ini digunakan model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya. Model ini mengasumsikan bahwa nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika bergantung pada rantai Markov yang merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati dan bergantung juga pada nilai tukar Rupiah empat waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan dalam perhitungannya digunakan algoritma iteratif Expectation Maximization (EM). Untuk memudahkan proses pendugaan parameter, proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 7. Dengan diperolehnya parameter model, dapat dihitung dugaan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika. Berikut ini hasil yang diperoleh: Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) 2,1%, galat absolut maksimum 19,16%, galat absolut minimum 0,0036%, hanya 1,95% dari persentase galat absolut yang ada berada di atas 10%. Hasil tersebut menunjukkan bahwa model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya ini dapat merepresentasikan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan baik.
ABSTRACT ARDY KRESNA CRENATA. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar Using Four Previous Time in Hidden Markov Time Series. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA. The exchange rate of Rupiah to US Dollar fluctuates according to time in a long period. An existing exchange rate might happen again in the future. Assume that the causes of the fluctuation are not observed directly and form a Markov chain, then the exchange rate of Rupiah to US Dollar can be modeled by the hidden Markov time series. In this research, the model used to describe the exchange rate of Rupiah to US Dollar is the four previous time in hidden Markov time series. This model assumes that the exchange rate of Rupiah to US Dollar depends on Markov chain explained by the cause of occurence and the four previous exchange rates of Rupiah to US Dollar. The model parameter is estimated by using the maximum likelihood method, while the estimation itself is calculated using the expectation maximization algorithm, which is implemented using Mathematica. After estimating the parameter, the exchange rate of Rupiah to US Dollar are calculated. The results are as follows. The symmetric mean absolute percentage error (SMAPE) is 2,1%, the maximum absolute error is 19,16%, the minimum absolute error is 0,0036%, and only 1,95% of the whole absolute percentage error that is bigger than 10%. These results show that the four previous time in hidden Markov time series can describe the exchange rate of Rupiah to US Dollar very well.
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA
ARDY KRESNA CRENATA G54052461
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Judul : Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya Nama : Ardy Kresna Crenata NIM : G54052461
Menyetujui, Pembimbing I,
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Pembimbing II,
Ir. N.K. Kutha Ardhana, MSc. NIP. 19640823 198903 1 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Hampir empat tahun waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Sesuatu yang fantastis tentunya, mengingat banyak orang beranggapan saya mampu menyelesaikannya dalam waktu kurang dari satu tahun saja. Bagi saya sendiri, sejujurnya, waktu empat tahun ini terlalu lama dan saya banyak mengalami kerugian karenanya. Namun, keterlambatan ini bukanlah tanpa alasan, tidak terjadi begitu saja, dan bukan sesuatu yang tak bisa dipertanggungjawabkan. Meskipun sangat wajar banyak yang tak bisa menerima bentuk pertanggungjawaban saya, saya tetap tak ingin terlalu menyesali apa yang telah terjadi dan menganggapnya semata proses untuk membentuk diri saya yang sekarang. Empat tahun, waktu yang terlalu lama untuk menyelesaikan tugas akhir sebagai mahasiswa sarjana, namun barangkali masih terlalu singkat untuk menjadi seorang penulis profesional dan menyelesaikan sebuah buku dengan kualitas yang diakui para penulis profesional lainnya, dan saya telah melakukan yang kedua. Jadi, di satu sisi saya meminta maaf karena terlalu lamanya waktu yang saya butuhkan untuk menyelesaikan tugas akhir ini tentu merusak rataan waktu kelulusan mahasiswa Departemen Matematika, namun di sisi lain saya dengan bangga mempersembahkan kepada Departemen Matematika sesuatu yang barangkali sebelumnya tak pernah terbayangkan akan ada: sebuah kumpulan cerpen, pemenang Sayembara Buku Indie 2011, Pendamping. Atas selesainya tugas akhir ini, juga rampung dan terbitnya kumpulan cerpen tersebut, saya harus menyebut beberapa nama sebagai penghormatan dan ungkapan terima kasih. Kepada Fisca Ambarsari Silalahi yang sudah selalu menemani dan mengingatkan saya untuk menyelesaikan tugas akhir ini, yang juga sudah selalu memberikan kepada saya inspirasi dan tenaga untuk terus menulis dan melakukan hal-hal positif lainnya, terima kasih. Kepada kedua orangtua saya yang sudah mengorbankan banyak hal yang saya tahu sesungguhnya di luar yang mereka rencanakan dan siapkan, terima kasih. Kepada adik-adik saya yang sudah merelakan perhatian dan materi yang semestinya milik mereka diberikan kepada saya, terima kasih. Kepada Popi Puspitasari yang sudah beberapa kali menjadi orang yang mengingatkan bahwa saya terlalu berharga untuk kalah dan menyerah, terima kasih. Kepada kedua dosen pembimbing saya, Ibu Berlian Setiawaty dan Bapak N.K. Kutha Ardana, yang sudah sangat bersabar menghadapi keegoisan dan kekanak-kanakan saya, yang sudah sangat membantu dan memotivasi, terima kasih. Kepada teman-teman di Saungkuring yang menemani waktu-waktu saya setiap harinya, terima kasih. Kepada Faramita Anggraeni yang sudah sewaktu-waktu menampung kegelisahan dan kesedihan saya, juga kemarahan saya, terima kasih. Kepada Bapak I Gusti Putu Purnaba yang sudah bersedia menjadi dosen penguji luar, terima kasih. Kepada Ibu Farida Hanum yang sudah mau-maunya direpotkan lagi dan lagi oleh saya, terima kasih. Kepada Bapak Agah Garnadi yang sudah sangat sering mengingatkan saya lewat sosial media, terima kasih. Kepada teman-teman lainnya, beberapa diantaranya adalah sahabat, terima kasih. Semoga Tuhan yang kalian imani membalas kebaikankebaikan kalian dengan kebaikan-kebaikan-Nya. Akhirnya, saya hanya bisa berharap semoga tugas akhir ini, karya ilmiah ini, memberikan sesuatu yang positif bagi orang lain nantinya, entah dalam wujud apa. Adapun tentang kumpulan cerpen saya, semoga bisa memberikan pengertian bahwa hidup adalah memilih sesuatu yang membuat kita nyaman.
Bogor, Oktober 2012
Ardy Kresna Crenata
RIWAYAT HIDUP PENULIS Ardy Kresna Crenata lahir di Bojongpicung, Cianjur, pada 16 Desember 1986, anak pertama dari enam bersaudara, putra dari Endang Suhandi dan Eroh Rohaeni. Pada awalnya ia adalah penyuka eksak dan pemburu penghargaan yang sifatnya akademis, sampai akhirnya ia dipertemukan dengan sastra dan lambat laun menyukainya. Di usia SMA, ia sempat memenangkan sebuah sayembara penulisan cerpen tingkat pelajar se-Jawa Barat, juga sebuah sayembara penulisan puisi tingkat pelajar se-Cianjur, lalu beberapa tahun lamanya ia vakum menulis. Ia pun mencoba kembali menjadi seorang akademisi. Akan tetapi, pada akhirnya, ketika kesibukannya sebagai seorang mahasiswa telah banyak berkurang, ia mulai kembali menekuni sastra dan merasakan jatuh cinta untuk kedua kalinya. Sampai saat ini tidak banyak media massa yang pernah memuat karya-karyanya, tapi beberapa nama bisa disebut: Koran Tempo, Pikiran Rakyat, Jurnal Nasional, Bali Post, Koran Sindo, Jurnal Cerpen Indonesia. Ia juga tak banyak memenangkan sayembara penulisan, tapi beberapa bisa disebut: juara 1 lomba cerpen gelar jepang UI 2011, juara 2 lomba cerpen mimpi kemudian.com 2011, juara 2 lomba cerpen amarah lembaga bhinneka 2012, 1 dari 5 pemenang sayembara buku indie 2011. Bukunya yang sudah terbit adalah sebuah kumpulan cerpen berjudul “Pendamping” yang ia dedikasikan bagi kekasihnya dan dua cerpenis idolanya: Linda Christanty dan Avianti Armand. Selain menjalani hari-hari sebagai mahasiswa Matematika di Institut Pertanian Bogor, ia pun bergiat di Komunitas Wahana Telisik Seni-Sastra (WTS) dan Komunitas Rumah Kata Bogor. Satu hal yang begitu kuat diyakininya adalah bahwa meskipun ia akhirnya memilih jalan lain, apa yang selama ini ia tempuh telah membentuknya dan membuatnya menjadi dirinya yang sekarang. Sastra memang berada pada garis yang berbeda dengan Matematika. Tapi baginya, menempuh jalan sastra adalah juga menunjukkan bahwa Matematika itu ada. Seringkali, ketika ia berhadapan dengan sebuah karya sastra, ia merasa seperti berhadapan dengan sebuah teorema Matematika. Baginya, sastra adalah Matematika, begitu pula sebaliknya.
vii
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii DAFTAR TABEL .....................................................................................................................
viii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................. viii PENDAHULUAN....................................................................................................................... Latar Belakang ...................................................................................................... Tujuan ..................................................................................................................
1 1 1
LANDASAN TEORI................................................................................................................ .. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .................................................................. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ......................................................................... Rantai Markov ...................................................................................................... Algoritme Expectation Maximization (EM) .........................................................
2 2 3 5 7
MODEL HIDDEN MARKOV……………………………………………………………….. Pengertian Model Hidden Markov dan Karakteristiknya ..................................... Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algoritme EM.........................................
9 9 9
MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA .... 11 Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya .......................... 11 Pendugaan Parameter Model ................................................................................ 16 PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA ........................................................................................................................ Data Input ............................................................................................................. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ................................... Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya .................................... Perbandingan Dengan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya..............................................................................................................
23
SIMPULAN DAN SARAN ......................................................................................................
25
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................
25
20 20 20 21
viii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Grafik Perubahan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Per Minggu ........... 20 Gambar 2. Grafik Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Deret Waktu hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ............................................ 23 Gambar 3. Persentase Galat dari SMAPE untuk Tiap Nilai Duga y(t) ........................................... 23 Gambar 4. Gambar 4. Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya dengan Menggunakan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya dan Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya ......................... 24
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1. Pengaruh Nilai Awal Terhadap Hasil ............................................................................... 22
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1: Bukti Lema 2 .................................................................................................... ........ 27 Lampiran 2: Nilai Awal bagi ˆt |t 1 ................................................................................................. 29 Lampiran 3: Bukti Persamaan (34) sampai dengan (38) ............................................................... Lampiran 4: Tabel Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya ............... Lampiran 5: Program untuk Mencari Parameter Menggunakan Software Mathematica 7 ........... Lampiran 6: Output Parameter yang Diperoleh .............................................................................
30 34 38 44
PENDAHULUAN Latar Belakang Menarik untuk diketahui bahwa keadaan perekonomian saat ini memiliki kemungkinan untuk terulang di masa depan. Nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika misalnya, dengan mengamati dinamika yang terjadi selama ini, bisa jadi ternyata memiliki pola yang pada suatu waktu terulang dengan nyaris sama. Dengan kata lain, ada peluang hal itu terjadi. Adanya peluang ini memungkinkan untuk memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan suatu proses stokastik. Benar atau tidaknya pola itu terulang nantinya, tergantung seberapa tepat model yang digunakan. Di dalam karya ilmiah ini, model yang digunakan untuk menunjukkan perilaku nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika adalah model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya. Kejadian saat ini, diasumsikan dipengaruhi oleh kejadian satu sampai dengan empat waktu sebelumnya. Hidden Markov sendiri menandakan bahwa ketika suatu kejadian yang diamati terjadi, ada hal-hal yang tak diamati yang menjadi penyebab kejadian itu terjadi. Ide karya ilmiah ini sendiri berasal dari Hamilton (1990,1994). Untuk memetakan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika saat ini lewat
data satu sampai dengan empat waktu sebelumnya, diperlukan penduga parameter. Metode yang digunakan untuk mencari penduga parameter dalam karya ilmiah ini adalah Maximum Likelihood. Perhitungannya sendiri menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM). Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk mencari parameter yang akan digunakan dalam model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya ini. Software yang digunakan adalah Mathematica 7. Sementara itu, digunakan juga software MathType 5 untuk memudahkan penulisan simbol-simbol matematika yang ada. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengembangkan model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya beserta penduga parameternya. 2. Mengimplementasikan model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya untuk masalah perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika. 3. Membandingkan hasil yang diperoleh dengan model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya.
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Hogg et all 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari . (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 3 (Medan- ) Koleksi dari himpunan bagian disebut sebagai medan-σ jika memenuhi syarat: a. . b.
Jika A1 , A2 ,
maka
Ai .
i 1
c.
Jika A
maka A . (Grimmet dan Stirzaker 1992) C
Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika Misal adalah P( A B) P( A) P( B). I himpunan indeks. Himpunan kejadian Ai | i I disebut saling bebas jika P Ai P( Ai ) iJ iJ
untuk setiap himpunan bagian berhingga I dari J . (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 7 (Hukum Penggandaan) Jika P( A1 A2 A3 ...An1 ) 0 , maka
P( A1 A2 A3 ... An1 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )...P( An | A1 A2 A3... An ). Persamaan diatas disebut dengan hukum penggandaan. (Ghahramani 2005) Definisi 8 (Hukum Total Peluang) Jika C1 , C2 ,...Cn adalah partisi dari ruang contoh suatu percobaan dan P(Ci ) 0 untuk i 1, 2,3,..., n, maka untuk sebarang kejadian A dari S berlaku
P A
n
P( A | C )P(C ). i
i
i 1
1.
P( ) 0, P() 1
Persamaan di atas merupakan Hukum Total Peluang. Misalkan P(C ) 0 dan P(C C ) 0 maka berdasarkan hukum total peluang, P( A ) P( A | C) P(C) P( A | C C ) P(C C ),
2.
Jika A1 , A2 ,... adalah himpunn yang saling lepas yaitu Ai Aj untuk setiap
dengan C C komplemen dari C. (Ghahramani 2005)
Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : [0,1] pada yang memenuhi:
pasangan
i j,
maka
P Ai P( Ai ) i 1 i 1 Pasangan , P disebut ruang peluang.
(Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 5 (Peluang Bersyarat) Jika P( B) 0, maka peluang bersyarat dari kejadian A setelah diketahui kejadian B ialah P A | B
P A B . P B
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 9 (Kontinu Absolut) Misalkan dan merupakan ukuran peluang pada (, ). Ukuran peluang dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang jika berlaku A 0 mengakibatkan A 0 untuk setiap A . Dinotasikan v . (Royden 1963) Teorema 1 (Radon Nikodym) Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada untuk setiap (, ) sehingga
B , P B 0 menyebabkan P B 0, maka terdapat sebuah peubah acak tak negatif
3
sehingga
P C dP
untuk semua
C
C . Dinotasikan
dP dP
.
(Wong dan Hajek 1985) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 14 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) Nilai harapan dari peubah acak diskret X dengan himpunan dari kejadian yang mungkin A dan fungsi kepadatan peluang p( x) didefinisikan sebagai: E ( X ) xp( x). xA
(Ghahramani 2005) Definisi 10 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan- dari S. Peubah acak X merupakan fungsi X : S di mana S : X x untuk setiap x . (Ghahramani 2005) Definisi 11 (Fungsi Sebaran) Jika X adalah peubah acak, maka fungsi F yang terdefinisi pada (, ) oleh
F (t ) P( X t ) disebut fungsi sebaran dari X. Syarat dari fungsi sebaran: 1. F adalah fungsi tak turun yaitu jika t u, maka F (t ) F (u). 2. lim F (t ) 1. t
3. lim F (t ) 0. t
4. F adalah fungsi kontinu kanan yaitu untuk setiap t , F (t ) F (t ). Artinya, jika tn adalah barisan yang menurun dari bilangan real yang konvergen ke t, maka lim F (tn ) F (t ) . n
Definisi 15 (Varians Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan kejadian yang mungkin A. Fungsi kepadatan peluang p( x) dan
E ( X ) , maka varians dari X didefinisikan sebagai: Var ( X ) 2 X ( x )2 p( x). xA
(Ghahramani 2005) Definisi 16 (Peubah Acak Kontinu) Misalkan X adalah peubah acak, X disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya FX ( x) adalah fungsi yang kontinu untuk setiap x . (Hogg et al 2005) Definisi 17 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak kontinu, f X (t ) disebut fungsi kepekatan peluang jika fungsi sebaran FX ( x) didefinisikan x
FX ( x)
(Ghahramani 2005)
f X (t ) dt
Definisi 12 (Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak, maka X disebut diskret jika himpunan nilai-nilai yang mungkin untuk X adalah berhingga atau terhitung. (Ghahramani 2005) Definisi 13 ( Fungsi Kepadatan Peluang) Fungsi kepadatan peluang p dari suatu peubah acak X yang memiliki ruang contoh x1 , x2 , x3 ,... adalah fungsi yang memetakan dari ke yang memenuhi syarat-syarat berikut: a. p( x) 0 jika x x1 , x2 , x3 ,.... b. p( xi ) P( X xi ) dan p( xi ) 0 di mana
(i 0,1, 2,3...). c.
i 1
dan memenuhi syarat berikut:
1.
f X (t ) dt 1.
2. Jika f X (t ) kontinu, maka FX ' ( x) f X ( x). 3. Untuk bilangan real a b, maka b
P(a X b) f X (t ) dt. a
4. P( X x) 0 untuk semua x . (Ghahramani 2005) Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang f X ( x), maka nilai harapan dari X didefinisikan
E( X )
p( xi ) 1.
xf
X
( x) dx.
(Ghahramani 2005)
(Ghahramani 2005)
4
Definisi 19 (Varians Peubah Acak Kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan E ( x) dan fungsi kepekatan peluang f X ( x), maka varians dari X didefinisikan sebagai: Var ( X ) 2 X
(x )
2
f X ( x) dx.
(Ghahramani 2005)
Definisi 23 (Nilai Harapan Bersyarat Peubah Acak Diskret) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dan misalkan himpunan semua nilai-nilai yang mungkin dari X adalah A, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y y didefinisikan oleh:
E ( X | Y y ) x P( X x | Y y ) xA
p x, y pY y
(Ghahramani 2005) Definisi 20 (Fungsi Kepadatan Peluang Bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan ruang contoh yang sama yaitu S, maka p( x, y) P( X x, Y y) disebut fungsi kepadatan peluang bersama dari X dan Y jika memenuhi syarat berikut: 1. p( x, y) 0. 2.
p( x, y) 1. xS yS
(Ghahramani 2005) Definisi 21 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu pada ruang contoh yang sama. Jika fungsi sebarannya didefinisikan x
FX ,Y ( x, y )
y
f X ,Y (t1 , t2 ) dt1 dt2 ,
maka f X ,Y disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y untuk semua ( x, y) 2 jika memenuhi syarat berikut: 1. f X ,Y ( x, y) 0. 2.
Misalkan ruang contoh dari X dan Y adalah , maka
R
f X ,Y ( x, y) dx dy 1. (Hogg et al 2005)
Definisi 22 (Fungsi Kepadatan Peluang Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, fungsi kepadatan peluang bersama dari X dan Y adalah p( x, y) serta fungsi massa peluang marjinal dari Y adalah
pY ( y) di mana pY ( y) 0, maka fungsi massa peluang dari X dengan syarat Y y didefinisikan pX |Y ( x | y) P( X x | Y y)
P( X x, Y y) p( x, y) . P(Y y) pY ( y) (Ghahramani 2005)
Definisi 24 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatan peluang bersama f X ,Y ( x, y) serta fungsi kepekatan peluang marjinal dari Y adalah fY ( y) di mana fY ( y) 0, maka fungsi kepekatan peluang dari X dengan syarat Y y didefinisikan sebagai berikut f ( x, y ) . f X |Y ( x | y ) X ,Y fY ( y ) (Ghahramani 2005) Definisi 25 (Nilai Harapan Bersyarat Peubah Acak Kontinu) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y y didefinisikan sebagai berikut
E( X | Y y)
xf
X |Y
( x | y ) dx .
(Ghahramani 2005) Definisi 26 (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks) Misalkan S N adalah himpunan vektor. Maka S disebut himpunan konveks jika untuk semua x, x ' S dan 0,1 berlaku
1 x x ' S. Misalkan f merupakan fungsi yang terdefinisi pada himpunan konveks S, maka f disebut fungsi konveks jika memenuhi persamaan f 1 x x ' 1 f x f x ' . (Osborne 1997) Teorema 2 Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks S . Jika f memiliki turunan kedua, maka f fungsi konveks jika dan hanya jika 2 f x 0, x S. (Hogg et al 2005)
.
5
Definisi 27 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan X adalah peubah acak bernilai real dengan E ( X ) berhingga dan g ( x) adalah fungsi konveks, maka E g X g E X . (Hogg et al 2005)
Rantai Markov
Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi p ji dengan i, j 1, 2,..., N. Nilai dari peluang transisi
N
Definisi 28 (Ruang State) Misalkan K merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 29 (Proses Stokastik) Proses Stokastik S St , t T adalah suatu koleksi dari sebuah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state K . Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, St adalah suatu peubah acak. (Ross 1996)
p ji menyatakan peluang
bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state maka a. p ji 0 untuk semua i, j 1, 2,..., N. b.
p j 1
ji
1 untuk semua i 1, 2,..., N.
Peluang transisi
N N
dapat dituliskan
dalam bentuk matriks P yang disebut juga matriks transisi, yaitu p1N p11 P= p pNN N1 di mana j menandakan baris dan i menandakan kolom dari matriks P. Definisi 31 (Matriks Transisi) Misalkan St , t 0,1, 2,... adalah Markov dengan ruang state
Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Definisi 30 (Rantai Markov Dengan Waktu Diskret) Misalkan St suatu peubah acak. Proses
St , t 0,1, 2,... 0,1, 2,..., N disebut
stokastik
dengan
ruang
state
rantai Markov
dengan waktu diskret jika untuk setiap t 0,1, 2,... berlaku
P St j | St 1 i, St 2 it 2 ,...
Matriks transisi P p ji
N N
rantai
1, 2,3,..., N. adalah matriks
dari peluang transisi p ji P St j | St 1 i untuk i, j 1, 2,..., N. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 32 (Terakses) Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan dengan p ji k . Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi: i j ), jika minimal ada sebuah bilangan bulat k 0
p ji 0 di mana k
p ji
k
P St j | St 1 i
sehingga
p ji
peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i. (Ross 1996)
untuk semua kemungkinan nilai i0 , i1 , i2 ,..., it 2 , i dan j 1, 2,3,..., N.
dari
adalah
(Ross 1996) Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini St dengan state yang lalu S0 , S1 , S2 ,..., St 2 dan state kemarin St 1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu dan hanya bergantung pada state kemarin.
Definisi 33 (Berkomunikasi) Dua state i dan j dikatakan berkomunikasi (notasi: i j ) jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. (Ross 1996)
6
Definisi 34 (Kelas State) Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C adalah berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C. (Ross 1996) Definisi 35 (Rantai Markov Tak Tereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 1996) Definisi 36 (First-Passage Time Probability) f ji n merupakan peluang bahwa mulai dari state i proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap n 1, 2,3,... f ji n P X n j, X k j untuk semua 1 k n 1| X 0 1
i, j 0,1, 2,...
dan
f ji 0
untuk
semua
i, j 0,1, 2,.... Selanjutnya, untuk setiap
i, j 0,1, 2,... didefinisikan f ji f ji n . n 1
(Ross 1996) Definisi 37 (Recurrent dan Transient) State i disebut recurrent jika f ji 1, dan
2.
persekutuan pembagi terbesar bagi n n sehingga pii 0. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode lebih besar dari dua disebut periodik. (Ross 1996)
Definisi 39 (Positive Recurrent dan Null Recurrent) Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996) Definisi 40 (Ergodic) Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross 1996) Teorema 4 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi) Untuk Rantai Markov ergodic tak tereduksi lim pjin ada dan nilainya tak tergantung pada n
i.
j lim pjin , j 1. n
j adalah solusi unik tak negatif dari N
j j p ji dan i 1
disebut transient jika f ji 1.
N
j 1
j
1. (Ross 1996)
(Ross 1996) Teorema 3 (Recurrent dan Transient)
State i adalah recurrent jika
p dan n 0
transient jika
n ii
p . n0
n ii
Definisi 41 (Vektor Peluang Steady State) Vektor peluang 1 , 2 , 3 ,..., N yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1, 2, 4,..., N untuk n di mana N
(Ross 1996)
P St j P St j | St 1 i P St 1 i i 1 N
Definisi 38 (Periode, Periodik, dan Aperiodik) 1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika pii 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah n
p ji P St 1 i i 1
j
disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga
7
disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrum distribution) dari Rantai Markov yang bersangkutan. (Ross 1996) Definisi 42 (Symmetric Mean Absolute Percentage Error) Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) adalah sebuah ukuran keakuratan berdasarkan persentase galat yang biasanya didefinisikan sebagai berikut:
SMAPE =
di mana At adalah data asli sedangkan Ft adalah data duga. Berbeda dengan MAPE (Mean Absolute Percentage Error) yang tidak memiliki batas atas maupun batas bawah, SMAPE memiliki keduanya. Kisaran nilai SMAPE berdasarkan rumus di atas berada pada rentang 0% hingga 200%. Pada kenyataannya, kisaran dari 0% hingga 100% dianggap lebih bisa menginterpretasikan keakuratan sesungguhnya, sehingga pada prakteknya rumus di bawah ini lebih sering digunakan: 1 n | A Ft | SMAPE = t n t 1 ( At Ft ) (sumber:http://en.wikipedia.org/wiki/SMAPE) Algoritma Expectation Maximization Misalkan P ; adalah himpunan ukuran
,
Cari ˆk 1 arg max arg max , * .
Ganti k dengan k 1 dan ulangi langkah 2 sampai dengan 4 hingga kriteria hentinya tercapai. Misalkan g x log x . Karena turunan 4.
kedua dari g x selalu positif,
2 g x 2 log x
maka
1 0, x 0, x2 merupakan fungsi
dihasilkan
barisan
g x konveks. Berdasarkan ketaksamaan Jensen, karena log x merupakan fungsi konveks maka dapat
1 n | At Ft | n t 1 ( At Ft ) / 2
peluang yang terdefinisi pada
3.
dan
kontinu absolut terhadap P0 . Misalkan Y . Fungsi likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi Y adalah dP L E0 | Y . dP 0 Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh ˆ arg max L .
k
dP , E * log | Y . dP * *
k 1
;k 0
yang
merupakan fungsi likelihood yang tak turun.
Lema 1: log L ˆ
log L ˆ , *
k 1
k
Bukti: Didefinisikan k
k i , k 1 i 1
dengan
i
dPi
,
dPi1
maka k
k i , k 1 i 1
12 3 ...k dP1 dP2 dP3 dPk ... dP0 dP1 dP2 dPk 1
dPk dP0
atau k
Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung. Oleh karena itu algoritma Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang. Langkahlangkah dalam metode tersebut adalah: 1. Set nilai awal parameter ˆk dengan k 0. 2. Set * ˆ dan hitung , * dengan
ˆ
dPk dP0
. k
Dengan cara serupa diperoleh dPk 1 k 1 dP0 k
serta
k 1 sehingga
dPk 1 dPk
1
8
log L ˆk 1 log L ˆk
dPˆ dPˆ log E0 k 1 | Y log E0 k | Y dP0 dP0 log E0 k 1 | Y log E0 k | Y log k Eˆ k 1 | Y log k k
log k Eˆ k 1 | Y k k
dP log Eˆ k 1 | Y . k dPk Berdasarkan ketaksamaan Jensen diperoleh
dP log Eˆ k 1 | Y Eˆ k k dPk atau
dP log k 1 | Y dPk
dP log L ˆk 1 log L ˆk Eˆ log k 1 | Y . k dPk Hasil kedua ruas pada persamaan akan log L ˆ log L ˆ , *
k 1
k
bernilai sama jika dan hanya jika
ˆk 1 ˆk .
Bentuk , * disebut Pseudo Likelihood bersyarat.
MODEL HIDDEN MARKOV Pengertian Model Hidden Markov dan Karakteristiknya Model Hidden Markov terdiri dari pasangan state St yang merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati dan proses observasinya Yt . Misalkan St adalah rantai Markov yang tidak diamati dengan ruang state 1, 2,3,..., N . Jika St berada pada state j , maka proses yang diamati N j ,
Yt 2 j
.
mempunyai
sebaran
normal
Pasangan St , Yt disebut model
hidden Markov. Fungsi kerapatan peluang dari Yt dengan syarat peubah acak St bernilai j adalah yt t 2 exp 2 2 j 2 j (1) untuk j 1, 2,..., N. Dalam hal ini adalah vektor dari parameter populasi yang memuat 1 , 2 , 3 ,..., N dan 12 , 22 , 32 ,..., N2 . f yt | St j;
1
Peubah yang tidak diamati St diduga
telah dibangkitkan oleh beberapa sebaran peluang, di mana peluang tak bersyarat St j dinotasikan dengan j ,
P St j; j untuk j 1, 2,..., N.
(2)
Peluang 1 , 2 , 3 ,..., N juga termasuk dalam sehingga didefinisikan sebagai 1 ,..., N ,12 ,..., N2 , 1 ,..., N . Peluang dari kejadian bersama St j
Yt yang berada pada interval c, d dapat diperoleh dengan mengintegralkan P yt , St j; f yt | St j; P St j; dan
(3) sehingga dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh 2 j yt t P yt , St j; exp . 2 2 j 2 j (4) Fungsi kerapatan peluang tak bersyarat dari Yt diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (4) untuk semua kemungkinan nilai j
N
f yt ; P yt , St j; . j 1
(5) Karena St merupakan peubah yang tidak diamati, persamaan (5) merupakan fungsi kerapatan yang relevan untuk menggambarkan data yang diamati sebenarnya Yt . Jika Yt bersifat bebas stokastik identik maka log-likelihood untuk data yang diamati dapat dihitung dari log f y1 ; f y2 ; ... f yT ; T
log f yt ; . t 1
(6) Penduga kemungkinan maksimum dari diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (6) dengan kendala 0 dan untuk 1 2 ... N 1 j
j 1, 2,..., N. Hal tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma EM. Setelah diperoleh penduga bagi dapat diketahui peluang terjadinya suatu kejadian Yt serta dapat disimpulkan state mana yang paling memungkinkan menjadi penyebab terjadinya suatu kejadian. Dari definisi peluang bersyarat diperoleh P yt , St j; P St j | yt ; f yt ;
j f yt | St j; . f yt ;
(7) Diketahuinya parameter populasi memungkinkan menggunakan persamaan (1) dan (5) untuk menghitung persamaan (7) untuk setiap pengamatan Yt pada contoh. Hal ini menunjukkan bahwa jika diberikan data yang diamati, maka state yang paling berpengaruh untuk pengamatan pada waktu t adalah state j.
Penduga Kemungkinan Maksimum dan Algoritma EM Penduga maksimum likelihood ˆ dapat diperoleh dengan memaksimumkan T
log f yt ;
dengan
kendala
t 1
1 2 ... N 1. Untuk menyelesaikan
10
permasalahan ini digunakan metode Lagrange sebagai berikut: J 1 1 2 ... N T
log f yt ; 1 2 ... N .
T
1 f yt ; P St j | yt ; j 1 f yt ;
j
t 1
T
j 1 P St j | yt ; , t 1
t 1
(8) Berdasarkan persamaan (8) diperoleh ( yt j )2 f yt ; 1 exp 2 j 2 j 2 j
j
t 1
2j
f yt ; 2 j 2j
T
yt j
t 1
2j
(9) 2 f yt ; 1 ( yt j ) yt j exp 2 2 j 2 j 2 j j
yt j
P yt , St j; ,
2 yt j 1 2 4 2 j t 1 2 j P St j | yt ; . T
(17) Untuk mencari nilai ˆ j , ˆ 2j , dan ˆ j yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka turunan pertama dari persamaan Lagrange (8) harus sama dengan nol, yaitu J T yt j P St j | yt ; 0 j 2j t 1
y 2 t j exp 2 3 2 j 2 2 j y 2 y 2 j t j t j exp . 2 4 2 j 2 j 2 j
j
T
2 2 yt j j exp yt j 1 2 2 j 2 4j 2 2j 2 j 2 yt j P y , S j; , 1 2 t t 2 2 4j j
y PS t 1
t
T
j | yt ; j P St j | yt ;
t
t 1
sehingga diperoleh
y P S T
ˆ j
t 1 T
j
t 1
1 f yt | St ; , f yt ;
(12) yt j 1 P yt , St j; , j 2j t 1 f yt ; (13) 2 T yt j 1 1 2 2j 2 4j t 1 f yt ; 2 j P yt , St j; .
T
(14) Berdasarkan (7), persamaan (12) sampai dengan (14) bisa dituliskan sebagai:
t
t
j | yt ;ˆ
P St j | yt ;ˆ t 1
11
P St j | yt ; ,
(16) 2 yt j T 1 1 2 2j 2 4j t 1 f yt ; 2 j f yt ; P St j | yt ;
(10) 2 1 ( yt j ) exp 2 2 2 j 2 j
f yt ; 2j
T
(15)
P St j | yt ;
f yt | St j; ,
yt j 1 f yt ; f yt ; 2j
T
.
(18) Selanjutnya J 0 2j 2 yt j 1 2 P St j | yt ; 0 4 2 j t 1 2 j T
y T
2 j
t 1
t
2
y P S T
t 1
2
t
j
j P St j | yt ; 0 t
sehingga diperoleh
T
j | yt ; 2j P St j | yt ; t 1
11
y T
2 j
t
t 1
P St j | yt ; sama
j P St j | yt ; 2
T
PS t 1
t
.
j | yt ;
(19) Sementara itu T J j 1 P St j | yt ; 0 j t 1 T
j 1 P St j | yt ; t 1
T
PS t 1
t
T
t 1
t
1 2
pengamatan berada pada state j dan sama dengan nol jika pengamatan berada pada state selainnya. Maka penduga rata-rata untuk state j pada persamaan (18) akan sama
bobot rata-rata dari semua pengamatan, di mana bobot untuk setiap pengamatan Yt
T
P St N | yt ; t 1
N
sepadan dengan peluang bahwa pengamatan pada waktu t telah dibangkitkan oleh state j. Kemungkinan lainnya pengamatan berasal dari state j , ,bobot yang lebih besar memperlihatkan bahwa pengamatan berada pada penduga ˆ j . Dengan cara yang sama,
ˆ 2j adalah bobot rata-rata kuadrat standar
T
1 .1 t 1
yang mengakibatkan T . Jika T dimasukkan ke dalam persamaan (20) maka T
PS t 1
jika
P St j | yt ; berada di antara dan 1 untuk beberapa pengamatan, penduga ˆ j adalah
j 0 j
j | yt ; j .
1| yt ;
satu
dengan nilai rata-rata dari yt untuk pengamatan yang diketahui berasal dari state j. Pada kasus yang lebih umum di mana
(20) Dari persamaan di atas, untuk j 1, 2,..., N diperoleh
PS
dengan
t
j | yt ; T j
deviasi untuk Yt dari ˆ j . Karena persamaan (18), (19), dan (21) tak linear, maka tidak mungkin menyelesaikannya secara analitik bagi ˆ sebagai fungsi dari Y1 , Y2 ,..., Yt . Sehingga
sehingga diperoleh
untuk mencari penduga kemungkinan maksimum akan lebih mudah jika menggunakan aloritma iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM.
^ P St j | yt ; ^ t 1 j . T T
(21)
MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA
S rantai Markov dengan ruang state
Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya Pada bab ini akan dibahas model Hidden Markov yang merupakan deret waktu dengan bentuk sebagai berikut:
-
Yt s* 1 Yt 1 s* 2 Yt 2 s*
- P
t 1
3 Yt 3 s*
4
t
t 3
Y
t 4
t 2
s*
t 4
S * 1, 2
- 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 4 , 2 * p11
*
p21
t
(22) dengan: - t N 0, 2 bebas stokastik identik
* t
- 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , dan 4 konstanta real - Yt proses yang diamati dan bernilai skalar
Dalam
* p12 matriks peluang transisi * p22
kasus
ini
Yt
tidak
hanya
bergantung pada St* dan St*1 , tetapi juga bergantung pada St* 2 , St*3 , dan St* 4 . Agar tetap memenuhi sifat Markov, perlu didefinisikan peubah baru St dengan ketentuan-ketentuan sebagai berikut:
12
St 1, jika St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 1, dan St*4 1 St 2, jika St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 1, dan St*4 2 St 3, jika St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 2, dan St*4 1 St 4, jika St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 2, dan St*4 2 St 5, jika St* 1, St*1 1, St*2 2, St*3 1, dan St*4 1
St 6, jika St* 1, St*1 1, St*2 2, St*3 1, dan St*4 2
St 7, jika St* 1, St*1 1, St*2 2, St*3 2, dan St*4 1 St 8, jika St* 1, St*1 1, St*2 2, St*3 2, dan St*4 2 St 9, jika St* 1, St*1 2, St*2 1, St*3 1, dan St*4 1 St 10, jika St* 1, St*1 2, St*2 1, St*3 1, dan St*4 2 St 11, jika St* 1, St*1 2, St*2 1, St*3 2, dan St*4 1
St 12, jika St* 1, St*1 2, St*2 1, St*3 2, dan St*4 2 St 13, jika St* 1, St*1 2, St*2 2, St*3 1, dan St*4 1 St 14, jika St* 1, St*1 2, St*2 2, St*3 1, dan St*4 2 St 15, jika St* 1, St*1 2, St*2 2, St*3 2, dan St*4 1 St 16, jika St* 1, St*1 2, St*2 2, St*3 2, dan St*4 2 St 17, jika St* 2, St*1 1, St*2 1, St*3 1, dan St*4 1 St 18, jika St* 2, St*1 1, St*2 1, St*3 1, dan St*4 2 St 19, jika St* 2, St*1 1, St*2 1, St*3 2, dan St*4 1 St 20, jika St* 2, St*1 1, St*2 1, St*3 2, dan St*4 2 St 21, jika St* 2, St*1 1, St*2 2, St*3 1, dan St*4 1 St 22, jika St* 2, St*1 1, St*2 2, St*3 1, dan St*4 2 St 23, jika St* 2, St*1 1, St*2 2, St*3 2, dan St*4 1
St 24, jika St* 2, St*1 1, St*2 2, St*3 2, dan St*4 2 St 25, jika St* 2, St*1 2, St*2 1, St*3 1, dan St*4 1 St 26, jika St* 2, St*1 2, St*2 1, St*3 1, dan St*4 2
St 27, jika St* 2, St*1 2, St*2 1, St*3 2, dan St*4 1 St 28, jika St* 2, St*1 2, St*2 1, St*3 2, dan St*4 2 St 29, jika St* 2, St*1 2, St*2 2, St*3 1, dan St*4 1 St 30, jika St* 2, St*1 2, St*2 2, St*3 1, dan St*4 2
St 31, jika St* 2, St*1 2, St*2 2, St*3 2, dan St*4 1 St 32, jika St* 2, St*1 2, St*2 2, St*3 2, dan St*4 2 (23)
13
Lema 2: St merupakan rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4,...,31,32} dan matriks transisi: p11 p11
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p11 p11
0
0
p21 p21
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p12 p12
p22 p22 0
0
p12 p12
p22 p22
Bukti lihat Lampiran 1. N 0, 2 bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran
Selanjutnya, karena t bagi t sebagai berikut:
Ft yt P t yt yt
0
yt
0
t 0 2 exp dt 2 2 2 1
2 exp t2 d t . 2 2 1
(24) Berdasarkan persamaan (24) diperoleh fungsi sebaran bagi Yt :
FYt yt P Yt yt
Y P y Y
P 1 Yt 1 s*
t 1
t
t
Misalkan
st*
2
t 2
s*
1
t 1
s*
v yt s* 1 Yt 1 s* maka
t
t 1
t 2
t 1
Y Y 3
2
Y 2
t 2
t 3
s*
t 2
s*
s*
t 2
t 3
t 2
Y Y
Y 3
t 3
4
t 4
3
t 3
s*
t 3
s*
t 4
s*
t 3
y Y st*
4
Y 4
t 4
t
t
t 4
s*
t 4
st*4
14
v
FYt yt 0
2 exp t2 d t 2 2 1
(25) dan
fYt yt
FY yt yt t
v 2 v exp 2 2 2 yt 1
yt st* 1 Yt 1 st*1 2 Yt 2 st*2 3 Yt 3 st*3 4 Yt 4 st*4 1 exp 2 2 2
. 2
(26) Misalkan Yt adalah medan-σ yang lengkap dan dibangun oleh Y1 , Y2 ,..., YT . Kumpulan fungsi kerapatan tersebut dalam vektor 32 1 dilambangkan dengan t , sehingga diperoleh:
f yt | St 1, Yt 1 ; f yt | St 2, Yt 1 ; t f yt | St 32, Yt 1 ; y Y Y Y Y 2 1 1 t 1 1 2 t2 1 3 t 3 1 4 t4 1 1 exp t 2 2 2 2 1 exp yt 1 1 Yt 1 1 2 Yt 2 1 3 Yt 3 1 4 Yt 4 2 2 2 2 . 2 y 2 1 Yt 1 2 2 Yt 2 2 3 Yt 3 2 4 Yt 4 2 1 exp t 2 2 2 (27) dengan penggunaan 1 dan 2 disesuaikan dengan definisi state di poin (23). Misalkan
ˆt|t 1
melambangkan
vektor
32 1
di
mana
elemen
ke-j
pada
vektor
merepresentasikan P St j | Yt 1 ; dan melambangkan perkalian elemen per elemen, maka
P St 1| Yt 1 ; f yt | St 1, Yt 1 ; P St 2 | Yt 1 ; f yt | St 2, Yt 1 ; ˆt |t 1 t . P St 32 | Yt 1 ; f yt | St 32, Yt 1 ; (28) Berdasarkan (28), dapat dituliskan:
P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ;
P St j, Yt 1 ; P yt , St j , Yt 1 ; P Yt 1 ; P St j , Yt 1 ;
P yt , St j, Yt 1 ; P Yt 1 ;
P yt , St j | Yt 1 ; .
15
(29) Sehingga diperoleh: f y | Y ; 1' ˆ t
t 1
t |t 1
t
32
P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; j 1
P St 1| Yt 1 ; f yt | St 1, Yt 1 ; P St 1| Yt 1; f yt | St 1, Yt 1;
P St 32 | Yt 1 ; f yt | St 32, Yt 1 ;
P St 1| Yt 1 ; 2
y Y Y Y Y 2 t 1 1 t 1 1 2 t 2 1 3 t 3 1 4 t 4 1 exp 2 2
P St 2 | Yt 1 ; 2
y Y Y Y Y 2 t 1 1 t 1 1 2 t 2 1 3 t 3 1 4 t 4 2 exp 2 2
P St 32 | Yt 1 ; 2
y Y Y Y Y 2 t 2 1 t 1 2 2 t 2 2 3 t 3 2 4 t 4 2 exp 2 2 (30)
Jika persamaan (29) dibagi dengan persamaan (30) maka diperoleh P yt , St j | Yt 1 ; P yt , St j | Yt 1 ; P Yt 1 ; f yt | Yt 1 ; f Yt 1 ; f yt , Yt 1 ;
P yt , St j , Yt 1 ; f yt , Yt 1 ;
P St j | yt , Yt 1 ; P St j | Yt 1 ; . (31) Sehingga diperoleh
P St j | Yt 1 ;
ˆt |t
P yt , St j | Yt 1 ; f yt | Yt 1 ;
ˆt |t 1 t
1' ˆt |t 1 t
. (32)
untuk data yang diamati yt dapat dihitung dengan cara log f y2 | Y1 ; f y3 | Y2 ; f yT | YT 1 ;
Fungsi log-likelihood
T
log f yt | Yt 1 ; . t 2
(33) Salah satu pendekatan yang digunakan untuk memilih nilai awal bagi ˆt |t 1 adalah dengan membuat ˆ1|0 sama dengan vektor peluang tak bersyarat 1 2 memenuhi sifat ergodic, yaitu P dan 1 2 Lampiran 2.
31 32 yang '
32 1, seperti yang tertera pada
16
Pendugaan Parameter Model Penduga kemungkinan maksimum bagi diperoleh dengan memaksimumkan T
log f yt | Yt 1 ; . t 2
Dengan membuat turunan pertama dari log-likelihood terhadap parameter sama dengan nol, maka diperoleh: T
ˆ1
32
V M t 2 j 1
j
T
j
, ˆ 2
32
V j M j 2
T
32
t 2
j
V M
( M 33 j 2 )
j
T
ˆ1
V j u1 (t , j ) g (t , j ) V j u1 (t , j )2
T
, ˆ2
32
V j u2 (t , j ) g (t , j ) t 1 j 1 T 32
V j u2 (t , j )2
t 2 j 1
T
ˆ4
V u (t , j ) g (t , j ) V j u4 (t , j )2 t 2 j 1
T
, ˆ3
t 2 j 1
32
j 4 t 1 j 1 T 32
,
32
t 2 j 1
32
t 1 j 1 T 32
( M j 1 )
K j M 33 j 2
t 2 j 1
T
33 j
T
^
, 2
32
V u (t , j ) g (t , j ) j 3 t 1 j 1 T 32
V j u3 (t , j )2
,
t 2 j 1
32
V g (t , j ) t 1 j 1 T
2
j
32
V j
.
t 2 j 1
Keterangan: P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; - Vj f yT | YT 1 ; - yt yt 11 yt 22 yt 33 yt 44
- g t , j yt B j1 1 yt 1 B j 2 2 yt 2 B j 3 3 yt 3 B j 4 4 yt 4 B j 5 , -
M= {-1+1 +2 +3 +4 , -1+1 +2 +3 , -1+1 +2 +4 , -1+1 +2 , -1+1 +3 +4 , -1+1 +3 , -1+1 +4 , -1+1 , -1+2 +3 +4 , -1+2 +3 , -1+2 +4 , -1+2 , -1+1 +3 +4 , -1+3 ,-1+4 ,
-1, 1 +2 +3 +4 , 1 +2 +3 , 1 +2 +4 , 1 +2 , 1 +3 +4 , 1 +3 , 1 +4 , 1 ,2 +3 +4 , 2 +3 , 2 +4 , 2 , 3 +4 , 3 , 4 ,0} y 1 1 j 8 & 17 j 24 - u1 (t , j ) t 1 lainnya yt 1 2
yt 2 1 - u2 (t , j ) y t 2 2 yt 3 1 - u3 (t , j ) y t 3 2 y 1 - u4 (t , j ) t 4 yt 4 2
Bukti lihat Lampiran 3.
1 j 4 & 9 j 12 & 17 j 20 & 25 j 28 lainnya 1 j 2 & 5 j 6 & 9 j 10 & 13 j 14 & 17 j 18 & 21 j 22 & 25 j 26 & 29 j 30 lainnya untuk j ganjil untuk j genap
17
Karena persamaan ˆ1 , ˆ 2 , ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 , ˆ4 , dan ˆ 2 yang diperoleh tak-linerar, untuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi digunakan algoritme iteratif, yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut: Langkah 1: Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai y0 , y1 , y2 ,
, yT dan
matriks transisi p11 p11
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p11 p11
0
0
p21 p21
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p12 p12
p22 p22 0
0
p12 p12
p22 p22
Beri nilai awal bagi ˆ yang dilambangkan dengan ˆ m ˆ1 , ˆ 2 , ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 , ˆ4 , ˆ 2 . Langkah 2: Cari fungsi kerapatan peluang bersyarat bagi yT untuk setiap t 1, 2,
t
, T dengan cara
y y y y y 2 1 1 t 1 1 2 t 2 1 3 t 3 1 4 t 4 1 1 exp t 2 2 2 2 f yt | St 1, Yt 1 ; 1 yt 1 1 yt 1 1 2 yt 2 1 3 yt 3 1 4 yt 4 2 exp f yt | St 2, Yt 1 ; 2 2 2 f yt | St 32, Yt 1 ; 2 1 exp yt 2 1 yt 1 2 2 yt 2 2 3 yt 3 2 4 yt 4 2 2 2 2
Langkah 3: Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi : 3.1. Tentukan nilai awal bagi ˆt|t 1 yang dilambangkan dengan ˆ1|0 3.2.
Beri nilai awal i 1
18
3.3.
Untuk t i, cari nilai dari f y | Y ; 1' ˆ t
t 1
t |t 1
t
P St 1| Yt 1 ; f yt | St 1, Yt 1 ; P St 2 | Yt 1 ; f yt | St 2, Yt 1 ;
P St 32 | Yt 1 ; f yt | St 32, Yt 1 ;
P St 1| Yt 1 ; ˆ ˆ ˆt |t 1 t P St 2 | Yt 1 ; ˆt |t 1' ˆ t |t 1 t P S 32 | Y ; ˆ t t 1 P St 1 1| Yt 1 ; ˆ ˆ P St 1 2 | Yt 1 ; ˆt 1|t P.ˆt |t P S 32 | Y ; ˆ t 1 t 1 i i 1 3.4. Ulangi mulai dari langkah (3.3). Stop jika t T Lanjutkan ke langkah 4.
Langkah 4: Misalkan P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; Vj f yT | YT 1 ;
yt yt 11 yt 22 yt 33 yt 44
g t , j yt B j1 1 yt 1 B j 2 2 yt 2 B j 3 3 yt 3 B j 4 4 yt 4 B j 5 ,
M= {-1+1 +2 +3 +4 , -1+1 +2 +3 , -1+1 +2 +4 , -1+1 +2 , -1+1 +3 +4 , -1+1 +3 , -1+1 +4 , -1+1 , -1+2 +3 +4 , -1+2 +3 , -1+2 +4 , -1+2 , -1+1 +3 +4 , -1+3 ,-1+4 , -1, 1 +2 +3 +4 , 1 +2 +3 , 1 +2 +4 , 1 +2 , 1 +3 +4 , 1 +3 , 1 +4 , 1 ,2 +3 +4 , 2 +3 , 2 +4 , 2 , 3 +4 , 3 , 4 ,0} y 1 1 j 8 & 17 j 24 u1 (t , j ) t 1 lainnya yt 1 2 yt 2 1 u2 (t , j ) y t 2 2 yt 3 1 u3 (t , j ) y t 3 2 y 1 u4 (t , j ) t 4 yt 4 2
1 j 4 & 9 j 12 & 17 j 20 & 25 j 28 lainnya
1 j 2 & 5 j 6 & 9 j 10 & 13 j 14 & 17 j 18 & 21 j 22 & 25 j 26 & 29 j 30 lainnya untuk j ganjil
untuk j genap Cari nilai dari ˆ1 , ˆ 2 , ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 , ˆ4 , dan ˆ 2 .
19
Langkah 5:
Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan ˆ m ˆ1 , ˆ 2 , ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 , ˆ4 , ˆ 2 . Langkah 6:
P '. ˆ
j j Cari P yang baru, yaitu: ˆt|T ˆt|t
P S T
pˆ ij
t 2
t
j , St 1 i | Yt ; ˆ
P S T
t 2
t 1
j | Yt ;ˆ
P St j , St 1 i | Yt ;ˆ
j t 1|T
ˆtj1|t
P St j | YT P St 1 i | YT
P St j | YT P St j , St 1 i | Yt P St j | Yt
P St j | YT P St j | St 1 i P St j | Yt P St j | Yt
ˆt|Tj ˆti 1| t 1 pij ˆt|Tj T
ˆt|Tj ˆti 1| t 1 pij
t 2
ˆt|Tj
pˆ ij
N
T
ˆt|Tj ˆti 1| t 1 pij ˆt|Tj
t 2 j 2
Langkah 7: Ulangi mulai dari langkah 2. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang. E Yt | St j , Yt 1 ;
Y Y Y
E 1 Yt 1 s* 2 Yt 2 s* 3 Yt 3 s* 4 Yt 4 s* t s* | St j , Yt 1 ; t 1 t 2 t 3 t 4 t
1 Yt 1 s*
t 1
2
t 2
st* 2
3
t 3
st*3
4
Yˆt E Yt | Yt 1 ; yt . f yt | Yt 1 ; dyt N yt . f yt | St j , Yt 1 ; P St j | Yt 1 ; dyt j 1 N
f yt | St j , Yt 1 ; P St j | Yt 1 ; dyt j 1 N
ˆt|t 1 E Yt | St j , Yt 1 ; j 1
t 4
st* 4
t
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV EMPAT WAKTU SEBELUMNYA Data Input Data input yt yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika yang diambil dari situs www.bankofcanada.ca yang dirata-ratakan per
minggu. Data diakses pada Mei 2011. Data berkisar antara bulan Febuari 1998 hingga April 2011. Data berjumlah 158. Grafik data disajikan pada Gambar 1. (Lihat lampiran 4)
yt Rp 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000
t minggu 50 100 150 Gambar 1. Grafik Perubahan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Per Minggu Sumber : www.bankofcanada.ca
Sebagaimana yang terlihat pada Gambar 1, nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika cukup stabil di angka 9000-an dari minggu ke-100 dan minggu ke-130, sedangkan di rentang waktu lainnya mengalami pergerakan yang signifikan. Pergerakan paling drastis tampak terjadi di sepuluh minggu pertama. Pada saat itu Indonesia sedang dilanda ketidakstabilan politik usai Soeharto jatuh. Indonesia memasuki era baru secara cepat. Revolusi terjadi. Ketidaksiapan dari beberapa pihak menyebabkan sektor-sektor tertentu mengalami kemunduran yang memprihatinkan. Salah satunya adalah sektor perekonomian yang bisa dilihat jelas pada pergerakan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar saat itu. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika. Perubahan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika secara drastis bisa dipengaruhi oleh beberapa hal antara lain pergantian sistem
pemerintahan, kondusif tidaknya kondisi keamanan, naik-turunnya harga minyak dunia. Hal-hal tersebut bisa saja terjadi lagi di suatu waktu di masa depan dalam kondisi yang serupa yang Akibatnya, kondisi perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika pada saat itu sangat mungkin memiliki kemiripan dengan yang pernah terjadi. Meskipun tidak dapat diketahui kapan tepatnya hal itu bisa terjadi, namun kemungkinan untuk itu ada. Dengan kata lain, peluang itu ada. Oleh karena itu, fenomena ini bisa didekati oleh sebuah proses stokastik. Penyebab-penyebab perubahan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika tersebut pada akhirnya tidak dijadikan objek observasi seperti halnya perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar itu sendiri. Dalam karya ilmiah ini, hal-hal tersebut hanya diyakini sebagai hal-hal yang memberikan pengaruh terhadap data observasi namun tak cukup penting untuk ditelusuri secara spesifik. Dalam
21
karya ilmiah ini, hal-hal tersebut merupakan bagian yang ada namun tak dikemukakan, sesuatu yang tersembunyi, hidden, sehingga dengan mengasumsikan bahwa penyebabpenyebab tersebut juga membentuk suatu rantai Markov, fenomena ini bisa didekati oleh konsep Hidden Markov. Pada kasus ini, Yt , t N adalah rata-rata nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika per minggu dan adalah penyebab-penyebab St , t N kejadian yang tak diamati, sebuah himpunan state dengan ruang state yang dalam karya ilmiah ini dibatasi sebanyak 2. Banyaknya data observasi sendiri adalah 158. Pendugaan dimulai dengan data ke-5, sebab data ke-1 hingga ke-4 dijadikan nilai awal untuk model yang ada.
waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya cukup berhasil menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika yang diperoleh dari data yang ada. Gambaran lebih jelas bisa dilihat di Gambar 2. Hasil yang cukup baik ini sesungguhnya sangatlah dipengaruhi oleh nilai-nilai awal yang disebutkan sebelumnya. Pemberian nilai-nilai awal yang berbeda akan memberikan perubahan pada hasil. Inilah salah satu masalah utama ketika mendekati sebuah fenomena dengan model hidden Markov. Dalam karya ilmiah ini, dengan bantuan Mathematica 7, dibuat sebuah fungsi untuk membangkitkan nilai-nilai awal yang nantinya akan terus bergerak (berubah) seiring bertambahnya iterasi sebagai berikut: peluangAwal n_ :
Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya Model hidden Markov yang digunakan adalah: Yt s*
t
Y Y
1 Yt 1 s 4
* t 1
t 4
t 2
2
st*4
s*
t 2
Y 3
t 3
s*
t 3
t
Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai awal 14548, 60 yang menyatakan bahwa nilai 5454, 46
pada saat penyebab kejadian state e1 adalah 14.548,6 dan nilai saat e2 adalah 5.454,46,
0,566906 0,188787 , dan nilai awal bagi adalah 0,859151 0,921183 nilai awal bagi adalah 1065,3. Dengan menggunakan algoritme EM, didapatkan nilai akhir dari parameter yang memaksimumkan 10.052,80 peluang adalah ˆ , 9.345, 61 0,317448 0, 724923 , dan ˆ 6.424,76. Nilai ˆ 0, 0725215 0,139089 Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) yang diperoleh sebesar 2,1%. Nilai galat maksimum absolut adalah 19,16% dan nilai galat minimum absolut adalah 0,0036% (selengkapnya bisa dilihat di lampiran 6). Nilai-nilai ini menunjukkan bahwa model deret
Module
a, b, c , SeedRandom n ;
a
RandomReal
c
a, b , 1
; b
RandomReal
a, 1
;
b
nilaiAwal n_ : Module
a, b, c, d , e, f, g ,
SeedRandom n ; a b
RandomReal 15 000 ;
RandomReal 15 000 ; c
d
RandomReal
;e
f
RandomReal
;g
RandomReal
RandomReal
;
;
a, b, c, d , e, f
Nilai n sebagai input kedua fungsi tersebut bergerak terus menerus dari 1 hingga didapatkan nilai SMAPE yang diinginkan. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, pemberian nilai-nilai awal ini sangat berpengaruh terhadap hasil. Salah satu indikator hasil yang dilihat adalah SMAPE. Beberapa kasus untuk nilainilai awal tertentu beserta SMAPE yang mengikutinya bisa dilihat pada Tabel 1. Sementara itu pada Gambar 2 ditampilkan persentase galat untuk tiap nilai duga bagi y(t), 5 t 158. Tampak bahwa meskipun ada beberapa persentase galat yang nilainya cukup tinggi, namun sebagian besar persentase galat berada pada kisaran 10%. Banyaknya persentase galat yang nilainya di atas 10% hanya 3 atau 1,95% dari banyaknya persentase galat yang ada (lihat lampiran 6). Ini berarti sebanyak 151 atau 98,05% persentase galat berada pada kisaran yang baik dan itu merupakan salah satu indikator lain yang menunjukkan bahwa model hidden Markov empat waktu sebelumnya berhasil menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan baik.
n p11*
287 0.952032
1930 0.711817
4176 0.969908
* p12
0.43404
0.219297
0.363631
14280.5
10677.3
14548.6
6510.6
3289.46
5454.46
0.00891991
0.949637
0.566906
0.233311
0.963733
0.188787
0.460316
0.0576947
0.859151
0.769615 19,93% 0,0082% 2,59%
0.0192752 15,62% 0,0031% 2,23%
0.921183 19,16% 0,0036% 2,10%
1 2 1 2 3 4 GalMax GalMin MAPE
yt Rp
yt Rp
yt Rp
14 000
14 000
12 000
12 000
15 000 10 000
10 000
Grafik
8000
8000
10 000
6000
6000
4000
4000
5000
2000
2000
t minggu 50
100
150
Nilai Tukar IDR-USD
t minggu 50
100
150
t minggu 50
100
150
Nilai Duga Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya Tabel 1. Pengaruh Nilai Awal pada Hasil
Tampak bahwa nilai awal yang berbeda akan berakibat pada MAPE dan grafik yang berbeda. Karena itulah, nilai awal merupakan salah satu faktor krusial dalam sebuah model hidden Markov. Sementara itu, masing-masing grafik menunjukkan bahwa diri mereka sebenarnya sudah cukup layak merepresentasikan apa yang diinginkan si model. Adapun dipilihnya grafik pada kolom ketiga sebagai hasil bagi karya ilmiah ini adalah karena keakuratan yang melebihi grafik lainnya. Apabila program pencarian nilai awal terus dilanjutkan, tidak menutup kemungkinan ditemukan grafik yang memiliki keakuratan yang lebih baik lagi.
23
SMAPE
2,1
yt Rp 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000
Nilai Tukar IDR-USD Nilai Duga Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya
t minggu 50 100 150 Gambar 2. Grafik Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan Nilai Dugaan Model Deret waktu hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya.
Gambar 3. Persentase Galat dari SMAPE untuk tiap Nilai Duga bagi y(t), 5 t 158.
Perbandingan dengan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya Meskipun model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya sudah bisa
melakukan pendugaan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan baik, namun masih belum lebih baik daripada model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya.
24
minimum absolut 0,0025%. Dengan SMAPE yang lebih kecil, model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya melakukan pendugaan dengan lebih akurat. Galat maksimum absolut yang hanya sebesar 17,2% menunjukkan bahwa pendugaan tidak pernah terlalu melenceng dari yang seharusnya. Gambaran lebih jelas bisa dilihat di Gambar 4.
Hal ini cukup mengherankan karena diasumsikan bahwa bertambahnya deret waktu akan membuat model menjadi lebih baik dalam melakukan pendugaan. Hasil yang diperoleh dari model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya adalah sebagai berikut: Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) 1,61%, galat maksimum absolut 17,2%, galat
yt Rp 14 000 12 000
Nilai Tukar IDR-USD Nilai Duga Model Tiga Waktu Sebelumnya Nilai Duga Model Empat Waktu Sebelumnya
10 000 8000 6000 4000 2000
t minggu 50
100
150
Gambar 4. Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika dan Nilai Duganya dengan Menggunakan Model Deret Waktu Hidden Markov Tiga Waktu Sebelumnya dan Model Deret Waktu Hidden Markov Empat Waktu Sebelumnya. Hasil yang tidak lebih baik ini bisa juga disebabkan oleh lebih kompleksnya model yang digunakan. Bertambahnya deret waktu menyebabkan bertambahnya jumlah state secara signifikan. Akibatnya perhitungan pun
semakin kompleks yang sangat mungkin disertai pembulatan di setiap iterasi. Hal ini bisa menyebabkan keakuratan model berkurang.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya mampu melakukan pendugaan terhadap nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dengan baik meskipun tidak sebaik yang dilakukan model deret waktu hidden Markov tiga waktu sebelumnya. Pemberian nilai awal sangat berpengaruh pada hasil yang diperoleh. Nilai awal merupakan faktor krusial dalam suatu model hidden Markov.
Saran Pada karya ilmiah ini, meskipun program komputasi untuk mencari nilai awal yang tepat telah berjalan dengan benar, namun memerlukan waktu yang sangat lama untuk menemukan nilai awal tersebut. Akan sangat baik jika ditemukan program komputasi lain yang bisa menemukan nilai awal yang tepat dengan cepat.
DAFTAR PUSTAKA Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes.Ed. ke-3. Prentice Hall, New Jersey.
markov dua waktu sebelumnya. Skripsi. Sarjana Sains. Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press.Oxford.
Osborne MJ. 1997. Concave and convex function of many variables. www.economics.about.com/Convex.htm
Hamilton JD. 1990. Analysis of time Series Subject to Changes in Regime. Journal of Econometrics 45:30-70.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed. ke-2. John Wiley & Sons, California.
Hamilton JD. 1994. Time Series Analysis. Princeton University Press, New Jersey. Hogg et al. 2005. Introduction Mathematical Statistics. Ed. Prentice Hall, New Jersey.
to ke-6.
Royden HL. 1963. Real Analysis. Macmilian Company, New York. Wong E, Hajek B. 1985. Stochastic Processes in Engineering Systems. SpringerVerlag, New York. www.bankofcanada.ca
Nikmah SF. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar menggunakan deret waktu hidden
http://en.wikipedia.org/wiki/SMAPE
LAMPIRAN
27
Lampiran 1. (Bukti Lema 2) Misalkan
p*ji melambangkan
P St* j | St*1 i , maka diperoleh:
P St 1| St 1 1 P St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 1, St*4 1| St*1 1, St*2 1, St*3 1, St*4 1, St*5 1
P St* 1| St*1 1, St*2 1, St*3 1, St*4 1, St*5 1
P St* 1| St*1 1 * p11
P St 2 | St 1 1 P St* 1, St*1 1, St*2 1, St*3 1, St*4 2 | St*1 1, St*2 1, St*3 1, St*4 1, St*5 1 0 * Selanjutnya, dengan cara serupa, diperoleh hasil p21 untuk St 17.
Sementara itu, juga dengan cara serupa, diperoleh hasil-hasil untuk nilai-nilai St yang lainnya sebagai berikut: * untuk St 17, dan 0 untuk - untuk St 1 2, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 1, p21 yang lainnya. * - untuk St 1 3 dan St 1 4, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 2, p21 untuk St 18, dan 0 untuk yang lainnya. * - untuk St 1 5 dan St 1 6, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 3, p21 untuk St 19, dan 0 untuk yang lainnya. * - untuk St 1 7 dan St 1 8, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 4, p21 untuk
St 20, dan 0 untuk yang lainnya. -
* untuk St 1 9 dan St 1 10, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 5, p21 untuk
St 21, dan 0 untuk yang lainnya. -
* untuk St 1 11 dan St 1 12, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 6, p21 untuk St 22, dan 0 untuk yang lainnya.
* untuk untuk St 1 13 dan St 1 14, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 7, p21 St 23, dan 0 untuk yang lainnya. * untuk St 1 15 dan St 1 16, hasil yang didapatkan adalah p11* untuk St 8, p21 untuk St 24, dan 0 untuk yang lainnya. * untuk St 1 17 dan St 1 18, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 9, p22 untuk St 25, dan 0 untuk yang lainnya.
* untuk St 1 19 dan St 1 20, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 10, p22 untuk
St 26, dan 0 untuk yang lainnya. -
* untuk untuk St 1 21 dan St 1 22, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 11, p22 St 27, dan 0 untuk yang lainnya. * untuk untuk St 1 23 dan St 1 24, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 12, p22 St 28, dan 0 untuk yang lainnya. * untuk St 1 25 dan St 1 26, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 13, p22 untuk St 29, dan 0 untuk yang lainnya.
* untuk St 1 27 dan St 1 28, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 14, p22 untuk St 30, dan 0 untuk yang lainnya. * untuk St 1 29 dan St 1 30, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 15, p22 untuk
St 31, dan 0 untuk yang lainnya. -
* untuk St 1 31 dan St 1 32, hasil yang didapatkan adalah p12* untuk St 16, p22 untuk
St 32, dan 0 untuk yang lainnya.
28
Sehingga matriks transisinya adalah: p11 p11
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p11 p11
0
0
p21 p21
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p12 p12
p22 p22 0
0
p12 p12
p22 p22
29
Lampiran 2. (Nilai Awal bagi ˆt |t 1 ) Diketahui
32
i 1
1
i
dan p11 p11
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p11 p11
0
0
p11 p11
p21 p21
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p11 p11
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
p12 p12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p21 p21
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p22 p22
p12 p12
p22 p22 0
0
p12 p12
p22 p22
Yang dicari adalah (sebuah matriks dengan 1 kolom dan 32 baris) yang memenuhi ketiga ketentuan di atas, dengan kata lain sebuah vektor eigen untuk P dengan nilai eigen ( ) sama dengan 1. Cara sederhana untuk menemukan vektor eigen tersebut adalah dengan Operasi Baris Elementer. Namun, mengingat matriks P berukuran sangat besar, cara tersebut akan memakan waktu dan membutuhkan ketelitian yang tidak main-main. Karena itu, demi keefektifan waktu dan keakuratan hasil, untuk menemukan vektor eigen tersebut digunakan Mathematica 7. Apabila masing-masing peluang awal sudah diberi nilai, vektor eigen tersebut akan dengan sekejap ditemukan dengan output yang sederhana. Sedangkan apabila nilai-nilai tersebut belum ada, dalam arti tiap-tiap peluang awal masih berupa variabel-variabel, vektor output yang muncul sangat kompleks sehingga tak memungkinkan untuk menampilkannya di halaman ini. Adapun perintah Mathematica 7 untuk membangkitkan vektor eigen tersebut adalah sebagai berikut: ne k_ : Eigensystem P k xi0
1; While k ve k
1, k
; ve k_ : Eigensystem P
32, ve k ; If ne k
1, ve k , Break
1 ;
xi0 adalah vektor eigen yang dicari, nilai awal bagi ˆt |t 1 .
;k
2, k ;
;
30
Lampiran 3. (Penduga Parameter Model)
Diketahui 32
f yt | Yt 1 ; P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; . j 1
Misalkan B adalah matriks dengan jumlah baris 32 dan jumlah kolom 5. Tiap-tiap barisnya adalah kemungkinan penempatan posisi dari 1 dan 2 Dalam suatu baris, bisa saja hanya ada 1 atau sebaliknya. Jika menggunakan Mathematica, membangkitkan matriks B ini sangatlah mudah, cukup dengan perintah “Tuples[{ 1 , 2 }, 5]”. Katakanlah Bij adalah komponen matriks B baris ke-i kolom ke-j. Selanjutnya misalkan g t , j yt B j1 1 yt 1 B j 2 2 yt 2 B j 3 3 yt 3 B j 4 4 yt 4 B j 5 ,
h t, j
g t, j
2
,
2 2
maka 32
1
j 1
2
f yt | Yt 1 ; P St j | Yt 1 ;
exp h t , j . (i)
Mencari ˆ1 Untuk mencari ˆ1 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 1 .
32 1 P St j | Yt 1 ; exp h t , j f yt | Yt 1 ; 2 j 1 1 1 32
P St j | Yt 1 ; j 1
1 2
exp h t , j
h t , j 1
g t , j 2 32 2 2 1 P St j | Yt 1 ; exp h t , j 1 2 j 1 32 g t , j g t , j 1 P St j | Yt 1 ; exp h t , j 1 2 2 j 1 Misalkan M adalah matriks dengan 1 kolom dan 32 baris yang tiap barisnya adalah hasil turunan g j terhadap 1 , 1 j 32, dan M j menyatakan anggota M baris ke-j, maka persamaan di atas menjadi f yt | Yt 1 ; 1
32
P St j | Yt 1 ; j 1
32
PS j 1
t
1 2
exp h t , j
g t, j
2
Mj
j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; g t , j M j
2 (ii)
31
Berikut ini adalah M :
M {-1+1 +2 +3 +4 , -1+1 +2 +3 , -1+1 +2 +4 , -1+1 +2 , -1+1 +3 +4 , -1+1 +3 , -1+1 +4 , -1+1 , -1+2 +3 +4 , -1+2 +3 , -1+2 +4 , -1+2 , -1+1 +3 +4 , -1+3 ,-1+4 , -1, 1 +2 +3 +4 , 1 +2 +3 , 1 +2 +4 , 1 +2 , 1 +3 +4 , 1 +3 , 1 +4 , 1 ,2 +3 +4 ,
2 +3 , 2 +4 , 2 , 3 +4 , 3 , 4 ,0} Matriks ini sebenarnya memiliki keteraturan. Keteraturan ini akan sangat berguna pada saat menghitung nilai 1 nantinya. Berikut ini penjabarannya. Misalkan H sebuah matriks dengan 5 kolom dan 32 baris. Tiap-tiap kolom hanya terisi 16 dan sisanya kosong. Katakanlah kolom pertama diisi oleh a, kolom kedua oleh b, kolom ketiga oleh c, kolom keempat oleh d, dan kolom kelima oleh e. Aturannya seperti ini: a muncul tanpa henti hingga baris ke-16, b muncul pada 8 baris pertama dan 8 baris ketiga (jeda 8 baris), c muncul dengan jeda 4 baris, d muncul dengan jeda 2 baris, dan e muncul dengan jeda 1 baris. Selanjutnya, ganti a dengan -1, b dengan 1 , c dengan 2 , d dengan 3 , e dengan 4 . Jika H ij adalah anggota H baris ke-i kolom ke-j, maka 5 M H ij , 1 i 32 j 1 Selanjutnya diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut T
log f yt | Yt 1 ; . t 2
Untuk memperoleh nilai 1 yang memaksimumkan fungsi log-likelihood, turunan pertama dari
terhadap 1 1
Maka diperoleh
1
harus sama dengan nol. T
t 2
T
f yt | Yt 1 ; 1 = 0. f yt | Yt 1 ; 1
32
P St j | Yt 1 ; f yt | St j, Yt 1 ; g t , j M j f yt | Yt 1 ;
t 2 j 1 T
32
2
P St j | Yt 1 ; f yt | St j, Yt 1 ; g t , j M j f yt | Yt 1 ;
t 2 j 1
= 0. = 0.
Langkah selanjutnya adalah memisahkan 1 dengan 2 yang masih berada pada g t , j M j . Setelah pemisahan dilakukan, diperoleh T
ˆ1
32
V M t 2 j 1
j
j
T
32
( M 33 j 2 )
V M t 2 j 1
j
. 2 j
Keterangan: P St j | Yt 1 ; f yt | St j , Yt 1 ; - Vj f yt | Yt 1 ; - yt yt 11 yt 22 yt 33 yt 44
32
Mencari ˆ 2 Untuk mencari ˆ 2 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 2 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh
ˆ 2
T
32
t 2
j
V M j
T
33 j
( M j 1 )
32
K j M 33 j 2
.
t 2 j 1
Mencari ˆ1 Untuk mencari ˆ1 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 1 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh T
ˆ1
32
V u (t , j ) g (t , j ) j 1 t 1 j 1 T 32
V j u1 (t , j )2
.
t 2 j 1
Keterangan: y 1 1 j 8 & 17 j 24 u1 (t , j ) t 1 lainnya yt 1 2
Mencari ˆ2 Untuk mencari ˆ2 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 2 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh T
ˆ2
32
V u (t , j ) g (t , j ) j 2 t 1 j 1 T 32
V j u2 (t , j )2
.
t 2 j 1
Keterangan: 1 j 4 & 9 j 12 & yt 2 1 17 j 20 & 25 j 28 u2 (t , j ) y lainnya t 2 2
33
Mencari ˆ3 Untuk mencari ˆ3 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 3 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh T
ˆ3
32
V u (t , j ) g (t , j ) j 3 t 1 j 1 T 32
V u (t , j )
. 2
j 3
t 2 j 1
Keterangan: 1 j 2 & 5 j 6 & 9 j 10 & 13 j 14 & yt 3 1 17 j 18 & 21 j 22 & 25 j 26 & 29 j 30 u3 (t , j ) y lainnya t 3 2
Mencari ˆ4 Untuk mencari ˆ4 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 4 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh T
ˆ4
32
V u (t , j ) g (t , j ) j 4 t 1 j 1 T 32
V j u4 (t , j )2
.
t 2 j 1
Keterangan: y 1 u4 (t , j ) t 4 yt 4 2
untuk j ganjil untuk j genap
Mencari ˆ 2 Untuk mencari ˆ 2 persamaan (i) harus diturunkan terhadap 2 . Selanjutnya dengan cara serupa dan dengan pemisalan-pemisalan yang sama diperoleh T
ˆ 2
32
V g (t , j ) t 1 j 1 T
2
j
32
V j t 2 j 1
.
34
Lampiran 4. (Tabel Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan Nilai Duganya)
Data ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Data Asli 9.649,92 8.136,55 10.313,69 13.699,15 14.226,88 12.222,14 11.149,69 8.643,90 7.850,81 7.679,35 8.537,93 8.750,35 8.911,01 8.602,34 7.943,89 7.364,07 6.759,72 7.458,12 8.256,95 7.489,01 6.987,73 7.138,07 7.275,65 7.427,10 7.469,71 7.799,30 8.338,23 8.605,60 9.136,88 8.428,83 8.649,07 8.948,38 9.353,54 9.445,49 9.478,58 9.653,75 10.211,95 11.121,66 11.272,98 11.300,52 10.850,87 8.949,88 9.319,49 10.080,10 10.557,80 10.273,10
Model 3 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 9.649,92 0,00 0,00 8.136,55 0,00 0,00 10.313,69 0,00 0,00 9.677,75 4.021,40 17,20 11.755,10 2.471,78 9,51 13.054,00 831,86 3,29 12.361,50 1.211,81 5,15 11.332,80 2.688,90 13,46 9.607,34 1.756,53 10,06 8.475,85 796,50 4,93 8.046,76 491,17 2,96 8.382,84 367,51 2,15 8.683,67 227,34 1,29 8.829,87 227,53 1,31 8.684,01 740,12 4,45 8.282,10 918,03 5,87 7.792,09 1.032,37 7,09 7.316,94 141,18 0,96 7.564,50 692,45 4,38 7.959,92 470,91 3,05 7.820,02 832,29 5,62 7.467,56 329,49 2,26 7.356,82 81,17 0,55 7.427,47 0,37 0,00 7.548,80 79,09 0,53 7.649,78 149,52 0,97 7.898,99 439,24 2,71 8.266,70 338,90 2,01 8.609,72 527,16 2,97 8.868,90 440,07 2,54 8.700,00 50,93 0,29 8.726,05 222,33 1,26 8.918,55 434,99 2,38 9.206,18 239,31 1,28 9.367,24 111,34 0,59 9.458,22 195,53 1,02 9.620,48 591,47 2,98 9.985,33 1.136,33 5,38 10.591,50 681,48 3,12 10.939,30 361,22 1,62 11.022,00 171,13 0,78 10.651,80 1.701,92 8,68 9.634,55 315,06 1,66 9.442,02 638,08 3,27 9.768,07 789,73 3,89 10.187,20 85,90 0,42
Model 4 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 9.649,92 0,00 0,00 8.136,55 0,00 0,00 10.313,69 0,00 0,00 13.699,15 0,00 0,00 14.027,60 199,28 0,71 13.795,70 1.573,56 6,05 13.623,00 2.473,31 9,98 11.599,60 2.955,70 14,60 11.571,60 3.720,79 19,16 9.311,51 1.632,16 9,61 8.253,17 284,76 1,70 7.386,44 1.363,91 8,45 7.879,86 1.031,15 6,14 8.660,11 57,77 0,33 8.794,17 850,28 5,08 8.317,50 953,43 6,08 7.762,20 1.002,48 6,90 7.094,98 363,14 2,50 6.889,58 1.367,37 9,03 8.274,82 785,81 4,98 7.822,43 834,70 5,64 7.125,67 12,40 0,09 6.987,76 287,89 2,02 7.178,27 248,83 1,70 7.140,70 329,01 2,25 7.932,81 133,51 0,85 7.421,06 917,17 5,82 8.504,51 101,09 0,59 8.302,89 833,99 4,78 9.060,38 631,55 3,61 8.885,32 236,25 1,35 8.412,49 535,89 3,09 8.820,62 532,92 2,93 9.034,81 410,68 2,22 9.383,44 95,14 0,50 9.414,32 239,43 1,26 9.598,30 613,65 3,10 9.859,51 1.262,15 6,02 10.601,80 671,18 3,07 11.231,80 68,72 0,30 11.364,80 513,93 2,31 11.351,10 2.401,22 11,83 9.781,99 462,50 2,42 8.637,54 1.442,56 7,71 9.242,75 1.315,05 6,64 9.606,69 666,41 3,35
35
Data ke47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Data Asli 10.397,68 10.233,38 9.914,37 9.496,59 9.130,28 8.711,79 8.976,69 8.916,62 8.961,73 9.134,25 9.061,42 8.923,31 8.888,88 8.888,44 8.924,60 8.801,36 8.425,97 8.224,26 8.344,33 8.449,72 8.508,12 8.437,43 8.503,03 8.488,13 8.389,33 8.435,10 8.583,26 8.626,29 9.007,21 9.395,75 9.019,92 9.244,40 9.180,77 9.101,73 9.009,07 9.226,05 9.203,24 9.254,91 9.378,43 9.553,58 9.470,54 9.635,49 9.821,18 10.009,85 10.241,43 10.082,66 10.049,99 9.864,64
Model 3 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 10.236,10 161,58 0,78 10.246,60 13,22 0,06 10.130,50 216,13 1,08 9.896,88 400,29 2,06 9.571,18 440,90 2,36 9.233,37 521,58 2,91 8.943,35 33,34 0,19 8.938,33 21,71 0,12 8.943,76 17,97 0,10 8.995,91 138,34 0,76 9.072,12 10,70 0,06 9.061,03 137,72 0,77 8.988,31 99,43 0,56 8.935,32 46,88 0,26 8.921,74 2,86 0,02 8.919,69 118,33 0,67 8.828,21 402,24 2,33 8.605,00 380,74 2,26 8.421,38 77,05 0,46 8.414,88 34,84 0,21 8.483,62 24,50 0,14 8.535,48 98,05 0,58 8.531,56 28,53 0,17 8.549,37 61,24 0,36 8.539,99 150,66 0,89 8.500,20 65,10 0,38 8.517,03 66,23 0,39 8.595,33 30,96 0,18 8.705,72 301,49 1,70 8.958,60 437,15 2,38 9.177,55 157,63 0,87 9.147,78 96,62 0,53 9.189,63 8,86 0,05 9.170,43 68,70 0,38 9.123,52 114,45 0,63 9.087,65 138,40 0,76 9.159,76 43,48 0,24 9.197,77 57,14 0,31 9.250,84 127,59 0,68 9.343,35 210,23 1,11 9.445,34 25,20 0,13 9.477,93 157,56 0,82 9.575,53 245,65 1,27 9.717,70 292,15 1,48 9.889,15 352,28 1,75 10.037,50 45,16 0,22 10.024,50 25,49 0,13 9.964,95 100,31 0,51
Model 4 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 10.474,00 76,32 0,37 10.373,20 139,82 0,68 10.498,20 583,83 2,86 10.226,40 729,81 3,70 9.882,11 751,83 3,95 9.474,81 763,02 4,20 9.064,50 87,81 0,49 8.837,58 79,04 0,45 8.997,77 36,04 0,20 8.908,77 225,48 1,25 9.039,28 22,14 0,12 9.104,21 180,90 1,00 9.011,54 122,66 0,69 8.916,02 27,58 0,15 8.910,32 14,28 0,08 8.901,84 100,48 0,57 8.885,98 460,01 2,66 8.649,77 425,51 2,52 8.358,02 13,69 0,08 8.268,92 180,80 1,08 8.356,76 151,36 0,90 8.414,47 22,96 0,14 8.442,88 60,15 0,35 8.422,32 65,81 0,39 8.477,80 88,47 0,52 8.419,14 15,96 0,09 8.375,48 207,78 1,23 8.460,49 165,80 0,97 8.564,82 442,39 2,52 8.713,72 682,03 3,77 9.129,60 109,68 0,60 9.229,19 15,21 0,08 9.089,50 91,27 0,50 9.261,72 159,99 0,87 9.161,07 152,00 0,84 9.074,18 151,87 0,83 9.119,78 83,46 0,46 9.220,75 34,16 0,18 9.235,83 142,60 0,77 9.301,73 251,85 1,34 9.479,22 8,68 0,05 9.530,51 104,98 0,55 9.569,69 251,49 1,30 9.735,67 274,18 1,39 9.940,21 301,22 1,49 10.125,50 42,84 0,21 10.256,10 206,11 1,02 10.137,90 273,26 1,37
36
Data ke95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142
Data Asli 9.464,68 9.258,13 9.158,06 8.928,36 9.012,16 9.360,41 9.129,04 9.101,85 9.152,97 9.182,84 9.134,81 9.098,07 9.077,56 9.067,98 9.168,30 9.092,06 8.840,25 8.981,68 9.073,55 9.372,09 9.298,48 9.105,20 9.276,48 9.348,67 9.401,92 9.186,04 9.163,57 9.205,81 9.270,32 9.279,28 9.162,80 9.162,86 9.346,48 9.957,11 11.598,84 11.180,88 11.104,84 11.833,85 11.833,18 11.018,07 10.363,32 10.173,95 10.092,14 9.945,86 9.836,55 9.486,70 9.443,67 9.454,58
Model 3 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 9.803,22 338,54 1,76 9.543,81 285,68 1,52 9.328,59 170,53 0,92 9.174,86 246,50 1,36 9.038,14 25,98 0,14 9.067,97 292,44 1,59 9.200,04 71,00 0,39 9.171,42 69,57 0,38 9.140,38 12,59 0,07 9.145,21 37,63 0,21 9.161,80 26,99 0,15 9.144,61 46,54 0,26 9.116,03 38,47 0,21 9.093,22 25,24 0,14 9.095,51 72,79 0,40 9.128,20 36,14 0,20 9.081,12 240,87 1,34 8.970,88 10,80 0,06 8.988,25 85,30 0,47 9.086,38 285,71 1,55 9.247,35 51,13 0,28 9.258,92 153,72 0,84 9.198,01 78,47 0,42 9.240,31 108,36 0,58 9.305,48 96,44 0,52 9.328,82 142,78 0,77 9.241,50 77,93 0,42 9.192,63 13,18 0,07 9.200,49 69,83 0,38 9.239,78 39,50 0,21 9.245,05 82,25 0,45 9.197,14 34,28 0,19 9.198,03 148,45 0,80 9.352,18 604,93 3,13 9.757,03 1.841,81 8,62 10.730,60 450,28 2,05 10.971,40 133,44 0,60 11.026,90 806,95 3,53 11.325,90 507,28 2,19 11.420,10 402,03 1,79 11.001,20 637,88 2,99 10.483,90 309,95 1,50 10.176,00 83,86 0,41 10.025,80 79,94 0,40 9.909,11 72,56 0,37 9.770,13 283,43 1,47 9.563,84 120,17 0,63 9.458,92 4,34 0,02
Model 4 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 10.099,40 634,72 3,24 9.817,83 559,70 2,93 9.473,48 315,42 1,69 9.293,47 365,11 2,00 9.123,94 111,78 0,62 8.959,73 400,68 2,19 9.177,92 48,88 0,27 9.265,37 163,52 0,89 9.125,32 27,65 0,15 9.136,78 46,06 0,25 9.201,51 66,70 0,36 9.153,74 55,67 0,31 9.156,35 78,79 0,43 9.086,37 18,39 0,10 9.111,13 57,17 0,31 9.092,71 0,65 0,00 9.175,27 335,02 1,86 8.986,07 4,39 0,02 8.922,51 151,04 0,84 9.014,63 357,46 1,94 9.181,12 117,36 0,64 9.329,62 224,42 1,22 9.251,64 24,84 0,13 9.168,41 180,26 0,97 9.364,31 37,61 0,20 9.350,18 164,14 0,89 9.363,18 199,61 1,08 9.178,51 27,30 0,15 9.238,78 31,54 0,17 9.225,54 53,74 0,29 9.310,95 148,15 0,80 9.235,29 72,43 0,39 9.204,23 142,25 0,77 9.233,24 723,87 3,77 9.596,19 2.002,65 9,45 10.546,80 634,08 2,92 11.524,40 419,56 1,85 11.163,00 670,85 2,92 11.597,20 235,98 1,01 11.668,40 650,33 2,87 11.088,60 725,28 3,38 10.391,30 217,35 1,06 9.915,54 176,60 0,88 9.753,14 192,72 0,98 9.991,15 154,60 0,78 10.004,30 517,60 2,66 9.813,49 369,82 1,92 9.535,10 80,52 0,42
37
Data ke143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158
Data Asli 9.266,31 9.339,91 9.166,17 9.023,68 9.170,82 9.134,48 9.029,48 8.965,39 8.980,88 8.934,62 8.947,73 9.024,71 9.035,50 8.912,65 8.753,73 8.698,80
Model 3 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 9.401,78 135,47 0,73 9.322,78 17,13 0,09 9.292,04 125,87 0,68 9.193,33 169,65 0,93 9.112,88 57,94 0,32 9.132,13 2,35 0,01 9.122,56 93,08 0,51 9.067,63 102,24 0,57 9.013,14 32,26 0,18 8.991,84 57,22 0,32 8.970,40 22,67 0,13 8.978,08 46,63 0,26 9.015,22 20,28 0,11 9.021,71 109,06 0,61 8.983,94 230,21 1,30 8.898,53 199,73 1,14 SMAPE 1,61 Galat Max 17,20 Galat Min 0,0025
Model 4 Waktu Sebelumnya Nilai Duga Galat % 9.519,28 252,97 1,35 9.422,09 82,18 0,44 9.318,71 152,54 0,83 9.315,55 291,87 1,59 9.129,53 41,29 0,23 9.098,72 35,76 0,20 9.184,37 154,89 0,85 9.089,56 124,17 0,69 9.022,53 41,65 0,23 8.982,58 47,96 0,27 8.978,55 30,82 0,17 8.940,53 84,18 0,47 8.988,45 47,05 0,26 9.030,41 117,76 0,66 8.993,29 239,56 1,35 8.853,01 154,21 0,88 SMAPE 2,10 Galat Max 19,16 Galat Min 0,0036
38
Lampiran 5. (Program untuk Mencari Parameter dengan Menggunakan Mathematica 7) y
9649.92, 8136.55, 10 313.69, 13 699.15, 14 226.88, 12 222.14, 11 149.69, 8643.90, 7850.81, 7679.35, 8537.93, 8750.35, 8911.01, 8602.34, 7943.89, 7364.07, 6759.72, 7458.12, 8256.95, 7489.01, 6987.73, 7138.07, 7275.65, 7427.10, 7469.71, 7799.30, 8338.23, 8605.60, 9136.88, 8428.83, 8649.07, 8948.38, 9353.54, 9445.49, 9478.58, 9653.75, 10 211.95, 11 121.66, 11 272.98, 11 300.52, 10 850.87, 8949.88, 9319.49, 10 080.10, 10 557.80, 10 273.10, 10 397.68, 10 233.38, 9914.37, 9496.59, 9130.28, 8711.79, 8976.69, 8916.62, 8961.73, 9134.25, 9061.42, 8923.31, 8888.88, 8888.44, 8924.60, 8801.36, 8425.97, 8224.26, 8344.33, 8449.72, 8508.12, 8437.43, 8503.03, 8488.13, 8389.33, 8435.10, 8583.26, 8626.29, 9007.21, 9395.75, 9019.92, 9244.40, 9180.77, 9101.73, 9009.07, 9226.05, 9203.24, 9254.91, 9378.43, 9553.58, 9470.54, 9635.49, 9821.18, 10 009.85, 10 241.43, 10 082.66, 10 049.99, 9864.64, 9464.68, 9258.13, 9158.06, 8928.36, 9012.16, 9360.41, 9129.04, 9101.85, 9152.97, 9182.84, 9134.81, 9098.07, 9077.56, 9067.98, 9168.30, 9092.06, 8840.25, 8981.68, 9073.55, 9372.09, 9298.48, 9105.20, 9276.48, 9348.67, 9401.92, 9186.04, 9163.57, 9205.81, 9270.32, 9279.28, 9162.80, 9162.86, 9346.48, 9957.11, 11 598.84, 11 180.88, 11 104.84, 11 833.85, 11 833.18, 11 018.07, 10 363.32, 10 173.95, 10 092.14, 9945.86, 9836.55, 9486.70, 9443.67, 9454.58, 9266.31, 9339.91, 9166.17, 9023.68, 9170.82, 9134.48, 9029.48, 8965.39, 8980.88, 8934.62, 8947.73, 9024.71, 9035.50, 8912.65, 8753.73, 8698.80 ; data rata rata nilai tukar IDR USD per minggu
T
Length y ; banyaknya data rata rata nilai tukar IDR USD per minggu
yt
peluangAwal n_ : Module a
a, b, c , SeedRandom n ;
RandomReal
; b
RandomReal
;c
a, b , 1
a, 1
b
nilaiAwal n_ : Module
a, b, c, d , e, f, g , SeedRandom n ;
a
RandomReal 15 000 ; b
d
RandomReal
GalMax
0.9; n
While GalMax pAwal m 1
;e
RandomReal 15 000 ; c
RandomReal
;f
RandomReal
RandomReal
;g
;
a, b, c, d , e, f
1; 0.1,
peluangAwal n ;
nilaiAwal n ; m
1
; 2
m
Sqrt Total Table Length y
;
nilai nilai awal
2 y
; 1 t
m
3
Total y
; 2
m
4
Length y
; 3 2
m
5
; 4
, t, Length y
m
6
;
39
f1 i_ : Piecewise
i
1
2, i , OddQ i
f2 i_ : Piecewise i 2, i
i
1
32 , OddQ i
u i_ : Piecewise
2, i
True , 32 , OddQ i
False
f1 i , 1
i
i 2, i , OddQ i
False
;
True ,
;
32 , f2 i , 33
i
64
;
v i_ : Piecewise pAwal P
pAwal 2, 1
1, 1
, 33
,1
i
i
48 ,
16 ,
pAwal
pAwal
SparseArray Table u i , i, 64
2, 2
1, 2
, 49
, 17
i
64
;
i
Table v i , i, 64
32 ,
;
Normal P ; matrix transisi
LANGKAH 2 S
Tuples
fungsi1
1, 2 , 5 ;
_, 1_, 2_, 3_, 4_, y_, t_, a_, b_, c_, d_, e_ :
PDF NormalDistribution 0, y
t
4
4 y
a
t
1 y
e
t
, 3
b
2 y
t
2
c
3 y
t
1
d
;
fungsi kerapatan peluang model deret waktu hidden Markov empat waktu sebelumnya dengan mean
0. y
i
mencerminkan y t
5 i
Eta Table Table fungsi1 S
i
3
,S
, 1, 2, 3, 4, y, t, S
i
4
,S
i
5
i
1
, i, 32
,S
i
, t, 1, T
2 4
,
;
fungsi kerapatan peluang bersyarat bagi y T untuk setiap t 1,2,...,T
LANGKAH 3 ne k_ : Eigensystem P k
1; While k
; ve k_ : Eigensystem P
32, ve k ; If ne k
nilai awal untuk z 1, 1
1, k
1, ve k , Break
2, k
;k
;
; xi0
ve k
1 0
xi0;
z i_, j_ : z i, j
Piecewise
Dot P, z i
Times z i Dot Table 1, k, 32 z1
1, j
1
1, j , Eta
j
, Times z i
Table z i, j , i, 2 , j, T z1 berisi hasil
t t
dan
4
t 1 t
,i
1 ,
1, j , Eta
j
,i
; yang didapat dari iterasi
2
;
1 ;
40
LANGKAH 4 V
Table z1
1, t
Table
t
y
t, T B
4
2 y
4
y
3
t
; 1
y
t
2
2
y
t
1
B
j, 2
3
y
4 y
t
t
4 ,
;
Tuples
1, 2 , 5 ;
g t_, j_ : b1
, t, T
4
y
t
t
2
1; b2
4
B
B
j, 3
1; b3
j, 1
1 y 3 y
2; b4
t
t
1
3; b5
3 B
j, 4
B
j, 5
;
4;
M Transpose
b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1, b1,
b1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , b2, b2, b2, b2, b2, b2, b2, b2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, b2, b2, b2, b2, b2, b2, b2, b2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , b3, b3, b3, b3, 0, 0, 0, 0, b3, b3, b3, b3, 0, 0, 0, 0, b3, b3, b3, b3, 0, 0, 0, 0, b3, b3, b3, b3, 0, 0, 0, 0 , b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0, b4, b4, 0, 0 , b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0, b5, 0
;
u1 t_, j_ : Piecewise y
t
y 3
t
3
1, 1
1, 17
j
j
24 ,
8 , y
t
y
t
3
3
2, 25
2, 25
j
j
32
32 , ;
u2 t_, j_ : Piecewise
y
t
2 j
1, 1
j
4 ,
12 ,
y
t
y
2
t
2
2, 5
2, 13
j
j
8 ,
y
t
2
1, 9
16 ,
y
t
2
1, 17
j
20 ,
y
t
2
2, 21
j
24 ,
y
t
2
1, 25
j
28 ,
y
t
2
2, 29
j
32
;
u3 t_, j__ : Piecewise
y
t
1
1, 1 j
6 ,
j
2 ,
y
t
y
1
t
1
2, 7
2, 3 j
j
8 ,
4 ,
y
t
1
1, 5
y
t
1
2, 11
j
12 ,
y
t
1
1, 13
j
14 ,
y
t
y
t
1
2, 15
j
16 ,
y
t
1
1, 17
j
18 ,
y
t
1
2, 19
j
20 ,
y
t
1
1, 21
j
22 ,
y
t
1
2, 23
j
24 ,
y
t
1
1, 25
j
26 ,
y
t
1
2, 27
j
28 ,
y
t
1
1, 29
j
30 ,
y
t
1
2, 31
j
32
1
1, 9
j
10 ,
;
u4 j_, t_ : Piecewise
y
t
1, OddQ j
True ,
y
t
2, OddQ j
False
;
Miu1 Sum Sum V t, 2, T
t, j 4
Total M Sum Sum V
j
t
t, j
Total M
Total M
33 2
j
j
2 , j, 32
, j, 32
, t, 2, T
, 4
Miu2 Sum Sum V
t, j
t, 2, T
4
t, 2, T
4
Total M Sum Sum V
;
33 t, j
j
t Total M
Total M 33
j
j 2
2 , j, 32 , j, 32
,
,
;
41
Sum Sum V
Phi1
t, j
Sum Sum V Sum Sum V
Phi2
t, j
t, j
Sum Sum V Sum Sum V
Phi3
Sqrt
2
t, j
Sum Sum V
, j, 32
, j, 32
2
g t, j t, j
2
, t, 2, T
4
;
4
;
4
, t, 2, T
4
;
4
, t, 2, T
, t, 2, T
;
4
, t, 2, T
, j, 32
, j, 32
, t, 2, T
, t, 2, T
, j, 32
4
4
, t, 2, T
g t, j , j, 32
u4 t, j
, t, 2, T
, t, 2, T
g t, j , j, 32
u4 t, j
Sum Sum V
2
u3 t, j
t, j
, j, 32
g t, j , j, 32
u3 t, j
t, j
2
u2 t, j
t, j
Sum Sum V
Sigma
u2 t, j
t, j
Sum Sum V
g t, j , j, 32
u1 t, j
t, j
Sum Sum V
Phi4
u1 t, j
4
;
4
nilai baru penduga parameter
LANGKAH 5 m1
Miu1, Miu2, Phi1, Phi2, Phi3, Phi4, Sigma ; m 1
m1 adalah
yang merupakan nilai nilai baru dari parameter
parameter yang sudah ada
LANGKAH 6 r2 T
4
z1
2, T
4
;
r2 t_ : r2 t
Times z1
2, t
r3
Table r2 t , t, T
r4
Reverse r3 ;
, Dot Transpose P , Times r2 t 4, 1,
1
1 ,
1 z1
;
1, t
;
matrix berukuran 1xT 4 yang berisi sekumpulan
t T
dimulai dari t
1 s.d . t T 4 up i_, j_ : Sum t, 2, T pAtas pBawah pBaru
4
r4
t, j
z1
2, t
1, i
P
i, j
z1
;
Table up i, j , i, 32 , j, 32
;
Total pAtas ; Table pAtas
i, j
matrix transisi baru
pBawah
j
, i, 32 , j, 32
;
2, t, j
,
42
LANGKAH 7 SBaru
Tuples
Miu1, Miu2 , 5 ;
fungsi2 t_, i_ : SBaru Phi2 y
t
Phi4 y
t
2
i, 1
SBaru SBaru
Phi1 y
i, 3
i, 5
t
3
Phi3 y
t
SBaru 1
i, 2
SBaru
i, 4
;
fungsi untuk mencari nilai harapan Y t NilaiHarapan
Table fungsi2 t, i , t, T
4 , i, 32
;
Nilai Harapan Y t yBaru
Table Sum z1
t, T
4
1, t, j
NilaiHarapan
t, j
, j, 32
;
Y baru
Galat
Table
Abs yBaru yBaru
SMAPE
Sum Galat
GalMax
Max Galat ;
GalMin
Min Galat ;
MinDataDuga If SMAPE Break
t
t t
y y
, t, T
t t
4
4
, t, T
4 T
4
;
4 ;
Min yBaru ;
0.03 && GalMax
0.2 && MinDataDuga
6000,
;
n algoritma iteratif untuk menentukan nilai awal yang memaksimumkan peluang
,
43
Style Column Grid Grid " Nilai Awal", Grid
" ", " ", " " ,
MatrixForm
MatrixForm
1, 2, 3, 4
1, 2
,
,
,
Grid " Nilai Duga", Grid
" ", " ", " " ,
MatrixForm
MatrixForm
Miu1, Miu2
Phi1, Phi2, Phi3, Phi4
,
, Sigma
,
TableForm Table
t
4, SetAccuracy y
SetAccuracy Galat TableHeadings TableSpacing FontSize
t
t
4
100, 3
, 3 , SetAccuracy yBaru , t, T
4
,3 ,
,
None, "t", " y t ", " y t ", "Galat 2, 8 , TableAlignments
t
"
,
Right, Center
,
10
menampilkan nilai nilai awal dan nilai nilai duga beserta galat ListLinePlot y, AxesLabel AxesOrigin Background
Style "t
minggu ", Italic , Style " y t Rp ", Italic
0, 0 , PlotStyle
Red , Thick , PlotRange
,
Full,
LightMagenta
menampilkan grafik nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika yt ListLinePlot AxesLabel
y, Flatten Append Table y Style "t
i
, i, 4
, yBaru
,
minggu ", Italic , Style " y t Rp ", Italic
AxesOrigin
0, 0 , PlotRange
PlotStyle
Red , Thick , Green, Thick
,
Full, , Background
LightBlue
menampilkan grafik y t dan y t ListPlot Table 100 Galat AxesLabel PlotRange
Style "t
t
, t, T
4
, Filling
Axis,
minggu ", Italic , Style "Galat
Full, PlotStyle
Orange, Thick
menampilkan grafik persentase galat dari SMAPE
", Italic
,
44
Lampiran 6. (Output Parameter yang Diperoleh) Nilai Awal
Nilai Duga
14 548.6 5454.46
10 052.8 9345.61
0.566906 0.188787 0.859151 0.921183 0.317448 0.724923 0.0725215 0.139089
1065.3
6424.76
t
yt
yt
5
14 226.88
14 027.63
0.71
6
12 222.14
13 795.68
6.05
7
11 149.69
13 623.01
9.98
8
8643.90
11 599.61
14.60
9
7850.81
11 571.57
19.16
10
7679.35
9311.51
9.61
11
8537.93
8253.17
1.70
12
8750.35
7386.44
8.45
13
8911.01
7879.86
6.14
14
8602.34
8660.11
0.33
15
7943.89
8794.17
5.08
16
7364.07
8317.50
6.08
17
6759.72
7762.20
6.90
18
7458.12
7094.98
2.50
19
8256.95
6889.58
9.03
20
7489.01
8274.82
4.98
21
6987.73
7822.43
5.64
22
7138.07
7125.67
0.09
23
7275.65
6987.76
2.02
24
7427.10
7178.27
1.70
25
7469.71
7140.70
2.25
26
7799.30
7932.81
0.85
27
8338.23
7421.06
5.82
28
8605.60
8504.51
0.59
29
9136.88
8302.89
4.78
30
8428.83
9060.38
3.61
31
8649.07
8885.32
1.35
32
8948.38
8412.49
3.09
33
9353.54
8820.62
2.93
34
9445.490
9034.81
2.22
35
9478.58
9383.44
0.50
Galat
45
t
yt
yt
36
9653.75
9414.32
1.26
37
10 211.95
9598.30
3.10
38
11 121.66
9859.51
6.02
39
11 272.98
10 601.77
3.07
40
11 300.52
11 231.78
0.31
41
10 850.87
11 364.78
2.31
42
8949.88
11 351.08
11.83
43
9319.49
9781.99
2.42
44
10 080.10
8637.54
7.71
45
10 557.80
9242.75
6.64
46
10 273.10
9606.69
3.35
47
10 397.68
10 474.04
0.37
48
10 233.38
10 373.19
0.68
49
9914.37
10 498.17
2.86
50
9496.59
10 226.40
3.70
51
9130.28
9882.11
3.95
52
8711.79
9474.81
4.20
53
8976.69
9064.50
0.49
54
8916.62
8837.58
0.45
55
8961.73
8997.77
0.20
56
9134.25
8908.77
1.25
57
9061.42
9039.28
0.12
58
8923.31
9104.21
1.00
59
8888.88
9011.54
0.69
60
8888.44
8916.02
0.15
61
8924.60
8910.32
0.08
62
8801.36
8901.84
0.57
63
8425.97
8885.98
2.66
64
8224.26
8649.77
2.52
65
8344.33
8358.02
0.08
66
8449.72
8268.92
1.08
67
8508.12
8356.76
0.90
68
8437.43
8414.47
0.14
69
8503.03
8442.88
0.35
70
8488.13
8422.32
0.39
71
8389.33
8477.80
0.52
72
8435.10
8419.14
0.09
73
8583.26
8375.48
1.23
74
8626.29
8460.49
0.97
75
9007.21
8564.82
2.52
76
9395.75
8713.72
3.77
Galat
46
t
yt
yt
77
9019.92
9129.60
0.60
78
9244.40
9229.19
0.08
79
9180.77
9089.50
0.50
80
9101.73
9261.72
0.87
81
9009.07
9161.07
0.84
82
9226.05
9074.18
0.83
83
9203.24
9119.78
0.46
84
9254.91
9220.75
0.18
85
9378.43
9235.83
0.77
86
9553.58
9301.73
1.34
87
9470.54
9479.22
0.05
88
9635.49
9530.51
0.55
89
9821.18
9569.69
1.30
90
10 009.85
9735.67
1.39
91
10 241.43
9940.21
1.49
92
10 082.66
10 125.49
0.21
93
10 049.99
10 256.13
1.02
94
9864.64
10 137.87
1.37
95
9464.68
10 099.39
3.24
96
9258.13
9817.83
2.93
97
9158.06
9473.48
1.69
98
8928.36
9293.47
2.00
99
9012.16
9123.94
0.62
100
9360.41
8959.73
2.19
101
9129.04
9177.92
0.27
102
9101.85
9265.37
0.89
103
9152.97
9125.32
0.15
104
9182.84
9136.78
0.25
105
9134.81
9201.51
0.36
106
9098.07
9153.74
0.31
107
9077.56
9156.35
0.43
108
9067.98
9086.37
0.10
109
9168.30
9111.13
0.31
110
9092.060
9092.71
111
8840.25
9175.27
1.86
112
8981.68
8986.07
0.02
113
9073.55
8922.51
0.84
114
9372.09
9014.63
1.94
115
9298.48
9181.12
0.64
116
9105.20
9329.62
1.22
117
9276.48
9251.64
0.13
Galat
0. 10
3
47
t
yt
yt
118
9348.67
9168.41
0.97
119
9401.92
9364.31
0.20
120
9186.04
9350.18
0.89
121
9163.57
9363.18
1.08
122
9205.81
9178.51
0.15
123
9270.32
9238.78
0.17
124
9279.28
9225.54
0.29
125
9162.80
9310.95
0.80
126
9162.86
9235.29
0.39
127
9346.48
9204.23
0.77
128
9957.11
9233.24
3.77
129
11 598.84
9596.19
9.45
130
11 180.88
10 546.81
2.92
131
11 104.84
11 524.39
1.85
132
11 833.85
11 163.01
2.92
133
11 833.18
11 597.15
1.01
134
11 018.07
11 668.39
2.87
135
10 363.32
11 088.62
3.38
136
10 173.95
10 391.28
1.06
137
10 092.14
9915.54
0.88
138
9945.86
9753.14
0.98
139
9836.55
9991.15
0.78
140
9486.70
10 004.25
2.66
141
9443.67
9813.49
1.92
142
9454.58
9535.10
0.42
143
9266.31
9519.28
1.35
144
9339.91
9422.09
0.44
145
9166.17
9318.71
0.83
146
9023.68
9315.55
1.59
147
9170.82
9129.53
0.23
148
9134.48
9098.72
0.20
149
9029.48
9184.37
0.85
150
8965.39
9089.56
0.69
151
8980.88
9022.53
0.23
152
8934.62
8982.58
0.27
153
8947.73
8978.55
0.17
154
9024.71
8940.53
0.47
155
9035.50
8988.45
0.26
156
8912.65
9030.41
0.66
157
8753.73
8993.29
1.35
158
8698.80
8853.01
0.88
Galat
48
yt Rp 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000
t minggu 50
100
150
50
100
150
yt Rp 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000
t minggu
49
