PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA SRI RAMADANIATY

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA

SRI RAMADANIATY

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Sri Ramadaniaty NIM G54100097

ABSTRAK SRI RAMADANIATY. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT. Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 10. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali iterasi. Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah

ABSTRACT SRI RAMADANIATY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American Dollar using Previous Time Hidden Markov. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT. An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important reference for Indonesian economic movement. The movement of the exchange rate of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. This model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by using Mathematica 10. After the parameter model is obtained, then the exchange rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with one iteration. Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of Rupiah

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PRAKATA Puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya.

1.

2.

3. 4.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada: Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji. Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede), Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan kasih sayangnya. Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni atas kesabaran dan bantuannya selama ini. Kak Tyas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni, Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas doa dan semangatnya selama ini. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Bogor, Mei 2015

Sri Ramadaniaty

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

LANDASAN TEORI

2

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

2

Peubah Acak dan Sebarannya

3

Nilai Harapan

4

Rantai Markov

5

Algoritme Expectation Maximization (EM)

8

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

9

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA Model Hidden Markov Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA

9 9 10 18

Data Input Nilai Tukar Rupiah

18

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

19

Penentuan Nilai Awal Parameter

19

Hasil Program

20

SIMPULAN

21

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

22

RIWAYAT HIDUP

44

DAFTAR GAMBAR 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan 18 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya 19 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan 20

DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti Lema 1 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32) 3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software Mathematica 10 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya

22 23 35 41

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan, sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah. Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia. Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia, dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah. Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politikekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor, baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai Rupiah dari hutang luar negeri. Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata. Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri. Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.

2 Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (1966) adalah metode yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut. Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan state.

Tujuan Penelitian 1. 2.

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta pendugaan parameternya. Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 1996). Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian 𝐴 adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 3 (Medan-𝝈) Medan-𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a. 𝜙 ∈ ℱ. b. Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ maka ⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ∈ ℱ. 𝑐 c. Jika 𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴 ∈ ℱ (Ross 1996). Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang 𝑃 pada (Ω , ℱ) adalah fungsi 𝑃: ℱ → [0,1] yang memenuhi: a. 𝑃(∅) = 0 dan 𝑃(Ω) = 1.

3 Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ ∞ untuk setiap pasangan 𝑖, 𝑗 di mana 𝑖 ≠ 𝑗, maka 𝑃(⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ). Pasangan (Ω , ℱ, 𝑃) disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 1992). b.

Definisi 5 (Kontinu Absolut) Jika 𝑣 dan 𝜇 merupakan dua peluang pada (Ω , ℱ). Ukuran peluang 𝑣 dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang 𝜇 jika 𝜇(𝐴) = 0 berimplikasi 𝑣(𝐴) = 0, untuk setiap 𝐴 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑣 ≪ 𝜇 (Royden 1963). Definisi 6 (Peluang Bersyarat) Jika 𝑃(𝐵) > 0 maka peluang bersyarat dari kejadian 𝐴 setelah diketahui kejadian 𝐵 ialah 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵). Misal 𝐼 adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian {𝐴𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} disebut saling bebas jika 𝑃(⋂𝑖∈𝐽 𝐴𝑖 ) = ∏𝑖∈𝐽 𝑃(𝐴𝑖 ) untuk setiap himpunan bagian berhingga 𝐽 dari 𝐼 (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 8 (Peubah Acak) Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari Ω. Peubah acak 𝑋 merupakan fungsi 𝑋: Ω → ℝ di mana {𝜔 𝜖 Ω: 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stizaker 1992). Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 9 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝐹𝑋 : ℝ → [0,1] di mana 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 10 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak 𝑋 dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari ℝ (Ross 1996). Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝𝑋 : ℝ → [0,1] di mana 𝑝𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak 𝑋 disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat 𝑥 dinyatakan sebagai 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 untuk suatu fungsi 𝑓𝑋 : ℝ → (0, ∞) yang

4 terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi 𝑋 (Ross 1996). Definisi 13 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak 𝑋 dan 𝑌 merupakan suatu fungsi 𝐹: ℝ2 → [0,1] yang didefinisikan oleh 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 14 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Kontinu) Peubah acak 𝑋 dan 𝑌 disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut 𝑦 𝑥 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = ∫−∞ ∫−∞ 𝑓𝑋𝑌 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑢 𝑑𝑣 untuk suatu fungsi 𝑓𝑋𝑌 : ℝ2 → [0,1] yang terintegralkan. Fungsi 𝑓𝑋𝑌 di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah 𝜕 𝜕 acak kontinu 𝑋 dan 𝑌, 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) (Ross 1996). 𝜕𝑦

Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran 𝐹(𝑥, 𝑦) dan fungsi kepekatan bersama 𝑓(𝑥, 𝑦). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak 𝑋 dan 𝑌 adalah berturut-turut ∞

∞

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 dan 𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞

−∞

(Ross 1996). Definisi 16 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marjinal 𝑓𝑌 (𝑦) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari 𝑋 dengan syarat 𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑌 = 𝑦 adalah 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) = 𝑋𝑌 (Grimmet dan Stirzaker 1992). 𝑓 (𝑦) 𝑌

Nilai Harapan Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) maka nilai harapan dari 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∑𝑥 𝑥𝑝𝑋 (𝑥), asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 1995). Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋 (𝑥) ∞ maka nilai harapan 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∫−∞ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥, asalkan integralnya ada (Hogg dan Craig 1995). Definisi 19 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) adalah fungsi kerapatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦, maka nilai harapan dari 𝑋

5 ∞

dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫−∞ 𝑥𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦)𝑑𝑥 (Hogg dan Craig 1995). Teorema 1 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1) Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh 𝑥

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎

adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). Bukti dapat dilihat pada Stewart (1998). Definisi 20 (Himpunan dan Fungsi Konveks) Misalkan S ⊂ ℝ𝑁 adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua 𝐱, 𝐱 ′ ∈ S dan 𝜆 ∈ [0,1] maka (1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱 ′ ∈ S. Misalkan 𝑓 merupakan fungsi dengan peubah 𝐱 yang terdefinisi pada himpunan konveks S, maka 𝑓 disebut sebagai fungsi konveks jika 𝑓 memenuhi persamaan 𝑓((1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱 ′ ) ≤ (1 − 𝜆)𝑓(𝐱) + 𝜆𝑓(𝐱 ′ ) (Osborne 1997). Teorema 2 (Fungsi Konveks) Misalkan 𝑓 fungsi yang memiliki turunan kedua. 𝑓 adalah fungsi konveks jika dan hanya jika ∇2 𝑓(𝐱) ≥ 0, ∀𝐱 ∈ S dan merupakan fungsi strictly convex jika ∇2 𝑓(𝐱) > 0, ∀𝐱 ∈ S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (1997). Teorema 3 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan 𝐸[𝑋] berhingga dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi konveks, maka 𝐸[𝑔(𝑋)] ≥ 𝑔(𝐸[𝑋]). Bukti dapat dilihat pada Krantz (1999).

Rantai Markov Definisi 21 (Ruang State) Misalkan 𝐾 ⊂ ℝ merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝐾 disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 22 (Proses Stokastik) Proses stokastik 𝑆 = {𝑆𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state 𝐾 (Ross 1996). Dalam hal ini 𝑡 dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak 𝑆𝑡 sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu 𝑡. Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses stokastik {𝑆𝑡 , 𝑡 = 0,1,2, … }, dengan ruang state {1,2,3, … , 𝑁}, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑡 = 1,2,3, … berlaku 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖, 𝑆𝑡−2 = 𝑖𝑡−2 , … , 𝑆0 = 𝑖0 ) = 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗 untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑖0 , 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑡−2 , 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁} (Ross 1996).

6 Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini 𝑆𝑡 dengan syarat state yang lalu 𝑆0 , 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝑡−2 dan state satu waktu sebelumnya 𝑆𝑡−1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property). Proses di atas dapat digambarkan sebagai 𝑁 -state rantai Markov dengan peluang transisi {𝑝𝑖𝑗 } dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁. Nilai dari 𝑝𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state 𝑖 , maka berikutnya akan beralih ke state 𝑗 . Karena 𝑝𝑖𝑗 adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka i. 0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1, untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁}. ii. ∑𝑁 𝑗=1 𝑝𝑖𝑗 = 1, untuk 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑁}. Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks 𝐏 yang disebut sebagai matriks 𝑝11 𝑝21 … 𝑝𝑁1 𝑝12 𝑝22 … 𝑝𝑁2 transisi. 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗 )𝑁×𝑁 = [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] dengan 𝑗 menyatakan baris dan 𝑖 𝑝1𝑁 𝑝2𝑁 … 𝑝𝑁𝑁 menyatakan kolom dari matriks 𝐏. Definisi 24 (Matriks Transisi) {𝑆𝑡 , 𝑡 = 0,1,2, … } adalah rantai Markov dengan ruang state Misalkan {1,2,3, … , 𝑁}. Matriks transisi 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗 )𝑁×𝑁 adalah matriks dari peluang transisi 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖) untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁} (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 25 (Terakses) Peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal (𝑘) adalah 𝑖 dinotasikan 𝑝𝑖𝑗 . Suatu state 𝑗 disebut terakses dari state 𝑖 (notasi: 𝑖 → 𝑗), (𝑘)

(𝑘)

jika ada sebuah bilangan bulat 𝑘 ≥ 0 sehingga 𝑝𝑖𝑗 > 0 di mana 𝑝𝑖𝑗 adalah peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal adalah 𝑖 (Ross 1996). Definisi 26 (Berkomunikasi) Dua state 𝑖 dan 𝑗 dikatakan berkomunikasi (notasi: 𝑖 ↔ 𝑗), jika state 𝑖 dapat diakses dari state 𝑗 dan state 𝑗 dapat diakses dari state 𝑖 (Ross 1996). Definisi 27 (Kelas State) Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong 𝐶 sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari 𝐶 berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota 𝐶 yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari 𝐶 (Ross 1996). Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).

7 Definisi 29 (First-Passage Time Probability) (𝑛) 𝑓𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa mulai dari state 𝑖, proses bertransisi untuk pertama kali ke state 𝑗 , terjadi pada waktu 𝑛 . Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … (𝑛) 𝑓𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑗, 𝑋𝑘 ≠ 𝑗, untuk setiap 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1|𝑋0 = 1) (0)

𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, dan 𝑓𝑖𝑗 = 0 untuk semua 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk (𝑛)

setiap 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, definisikan 𝑓𝑖𝑗 = ∑∞ 𝑛=1 𝑓𝑖𝑗

(Ross 1996).

Definisi 30 (Recurrent dan Transient) State 𝑖 disebut recurrent jika 𝑓𝑖𝑖 = 1 dan disebut transient jika 𝑓𝑖𝑖 < 1 (Ross 1996). Teorema 4 (Recurrent dan Transient) (𝑛) (𝑛) ∞ State 𝑖 adalah recurrent jika ∑∞ 𝑛=0 𝑝𝑖𝑗 = ∞ dan transient jika ∑𝑛=0 𝑝𝑖𝑗 < ∞ . Bukti dapat dilihat pada Ross (1996). Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik) (𝑛) 1. Suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑝𝑖𝑖 = 0 untuk semua 𝑛 yang tidak habis dibagi 𝑑, dan 𝑑 adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑑 adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi 𝑛 sehingga (𝑛) 𝑝𝑖𝑖 > 0. 2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode ≥ 2 disebut periodik (Ross 1996). Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent) Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state 𝑖 maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state 𝑖 adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent (Ross 1996). Definisi 33 (Ergodic) Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross 1996). Teorema 5 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi) (𝑛) Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim 𝑝𝑖𝑗 ada dan nilainya tak tergantung 𝑛→∞

(𝑛)

dari 𝑖. 𝜋𝑗 = lim 𝑝𝑖𝑗 , 𝑗 ≥ 1 adalah solusi unik tak negatif dari 𝑛→∞

𝑁

𝜋𝑗 = ∑ 𝜋𝑗 𝑝𝑖𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 𝑖=1

dan

8 𝑁

∑ 𝜋𝑗 = 1 . 𝑗=1

Bukti dapat dilihat pada Ross (1996). Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State) Vektor peluang 𝛑 = (𝜋1 , 𝜋2 , 𝜋3 , … , 𝜋𝑁 ), yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … , 𝑁, untuk 𝑛 → ∞ di mana 𝑁

𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗) = ∑ 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖)𝑃(𝑆𝑡−1 = 𝑖) 𝑖=1 𝑁

= ∑ 𝑝𝑖𝑗 𝑃(𝑆𝑡−1 = 𝑖) = 𝜋𝑗 𝑖=1

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena 𝛑 adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 1996).

Algoritme Expectation Maximization (EM) Misalkan {𝑃𝜃 , 𝜃 ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, ℱ) dan kontinu absolut terhadap 𝑃0 . Misalkan 𝒴 ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter 𝜃 berdasarkan informasi 𝒴 yaitu medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌 adalah 𝑑𝑃𝜃 𝐿(𝜃) = 𝐸0 [ | 𝒴]. 𝑑𝑃0 Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh 𝜃̂ ∈ arg max 𝐿(𝜃). 𝜃𝜖Θ

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang (iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah: 1. Atur nilai awal parameter 𝜃̂𝑘 dengan 𝑘 = 0. 𝑑𝑃 2. Atur 𝜃 ∗ = 𝜃̂𝑘 dan hitung Φ(𝜃, 𝜃 ∗ ) dengan Φ(𝜃, 𝜃 ∗ ) = 𝐸𝜃∗ [𝑙𝑜𝑔 𝑑𝑃 𝜃 | 𝒴]. 𝜃∗

3.

Cari 𝜃̂𝑘+1 arg max Φ(𝜃, 𝜃 ∗ ).

4.

Ganti 𝑘 dengan 𝑘 + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih 𝜃̂𝑘+1 dan 𝜃̂𝑘 kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan.

𝜃𝜖Θ

1

Misalkan 𝑔(𝑥) = log (𝑥), karena turunan kedua dari 𝑔(𝑥) selalu positif 1 ∇2 𝑔(𝑥) = ∇2 log 𝑔(𝑥) = 2 > 0, ∀𝑥 > 0, 𝑥

9 1

maka 𝑔(𝑥) merupakan fungsi konveks. Karena log 𝑥 merupakan fungsi konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan {𝜃̂𝑘 , 𝑘 > 0} yang merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu log 𝐿(𝜃̂𝑘+1 ) − log 𝐿(𝜃̂𝑘 ) ≥ Φ(𝜃̂𝑘+1 , 𝜃̂𝑘 ) . ∗) Bentuk Φ(𝜃, 𝜃 disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 1995).

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut 𝑛 100% 𝐴𝑡 − 𝐹𝑡 𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑| | 𝐴𝑡 𝑛 𝑡=1

dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, 𝐴𝑡 menyatakan nilai yang sebenarnya, dan 𝐹𝑡 menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA

Model Hidden Markov Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {𝑋𝑡 , 𝑌𝑡 }. {𝑋𝑡 } dengan state {1,2, … , 𝑁} adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan {𝑌𝑡 } adalah proses observasinya. Pada saat 𝑋𝑡 berada pada state 𝑗 (𝑋𝑡 = 𝑗), maka proses yang diamati 𝑌𝑡 menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇𝑗 dan ragam 𝜎𝑗2 . Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari 𝑌𝑡 dengan syarat 𝑋𝑡 = 𝑗 adalah 2 −(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗 ) 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗) = exp ( ) (1) 2𝜎𝑗2 √2𝜋𝜎𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑁. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati 𝑋𝑡 berada pada state 𝑗 adalah 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗) = 𝜋𝑗 (2) dengan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁}. Karena {𝑋𝑡 } rantai Markov maka matriks peluang transisinya 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 )𝑁×𝑁 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖) (3) dengan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁}. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama 𝑦𝑡 dan 𝑋𝑡 = 𝑗, yaitu

10 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗) = 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗) ∙ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗) 2 𝜋𝑗 −(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗 ) = exp ( ) 2𝜎𝑗2 𝜎𝑗 √2𝜋 sehingga 𝑦𝑡

2

𝜋𝑗

−(𝑌𝑡 − 𝜇𝑗 ) 𝑃(𝑌𝑡 ≤ 𝑦𝑡 ; 𝑋𝑡 = 𝑗) = ∫ exp ( ) 𝑑𝑌𝑡 . 2𝜎𝑗2 −∞ 𝜎𝑗 √2𝜋 Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan 2 −(𝑌𝑡 − 𝜇𝑗 ) 𝑑 𝑦𝑡 𝜋𝑗 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗) = ∫ exp ( ) 𝑑𝑌𝑡 𝑑𝑦𝑡 −∞ 𝜎𝑗 √2𝜋 2𝜎𝑗2 𝜋𝑗

2

−(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗 ) = exp ( ). (4) 2𝜎𝑗2 𝜎𝑗 √2𝜋 Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu: (5) 𝑓(𝑦𝑡 ) = ∑𝑁 𝑗=1 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗). Dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh 𝑁 𝑓(𝑦1 , … , 𝑦𝑇 ) = ∑𝑁 𝑖1 =1 … ∑𝑖𝑇 =1 𝜋𝑖 𝑝𝑖1 𝑖2 … 𝑝𝑖𝑇−1 𝑖𝑇 𝑓(𝑦1 , 𝑆1 = 𝑖) … 𝑓(𝑦𝑇 , 𝑆𝑇 = 𝑖). (6) Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu: 𝜃 = {𝜇, 𝜎, 𝜋, 𝐏}, dengan 𝜇 = (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝑁 ), 𝜎 2 = (𝜎12 , 𝜎22 , … , 𝜎𝑁2 ), 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , … , 𝜋𝑁 ) dan 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗 ) . 𝑁×𝑁

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Karakteristik Model Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state ( Ω, ℱ, 𝑃 ) berupa persamaan berikut: ∗ )𝑌 (7) 𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗ ) + 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 + 𝜀𝑡 dengan:  𝜀𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 2 ) bebas stokastik identik.  {𝑌𝑡 } proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state 𝑆𝑌 .  {𝑋𝑡∗ } rantai Markov dengan ruang state 𝑆𝑋 ∗ = {1,2} dan matriks transisi. ∗ 𝑝∗ 𝑝21 ∗ 2 ∗ ∗ 𝑨∗ = [ 11 ∗ ∗ ] dengan 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖) dan ∑𝑗=1 𝑝𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 = 𝑝12 𝑝22 1,2, 𝑝𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1,2.  c = (𝑐1 , 𝑐2 ) dan 𝜙 = (𝜙1 , 𝜙2 ) ∈ ℝ2 , dengan 𝑐1 , 𝑐2 , dan 𝜙1 , 𝜙2 merupakan konstanta real. ∗ ∗ .  𝑐(𝑋𝑡∗ ) = 𝑐𝑋𝑡∗ dan 𝜙 (𝑋𝑡−1 )=𝜙𝑋𝑡−1  𝜃 = {𝑐, 𝑨∗ , 𝜙, 𝜎 2 }. ∗ Karena 𝑌𝑡 tidak hanya bergantung pada 𝑋𝑡∗ tetapi juga pada 𝑋𝑡−1 , maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru 𝑋𝑡 di mana:

11 𝑋𝑡 𝑋𝑡 𝑋𝑡 𝑋𝑡

= 1, jika 𝑋𝑡∗ = 2, jika 𝑋𝑡∗ = 3, jika 𝑋𝑡∗ = 4, jika 𝑋𝑡∗

∗ = 1 dan 𝑋𝑡−1 ∗ = 2 dan 𝑋𝑡−1 ∗ = 1 dan 𝑋𝑡−1 ∗ = 2 dan 𝑋𝑡−1

=1 =1 =2 =2

(8)

Lema 1 {𝑋𝑡 } adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi: ∗ ∗ 𝑝11 0 𝑝11 0 ∗ ∗ 𝑝 0 𝑝12 0 𝐏 = [ 12 ∗ ∗ ]. 0 𝑝21 0 𝑝21 ∗ ∗ 0 𝑝22 0 𝑝22 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. Selanjutnya, karena 𝜀𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 2 ) bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi 𝜀𝑡 : 𝑦

𝐹𝜀𝑡 (𝑦𝑡 ) = 𝑃(𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡 ) = ∫0 𝑡 𝑦

= ∫0 𝑡

1 √2𝜋𝜎

−(𝜀𝑡 −0)2

1

√2𝜋𝜎 −(𝜀𝑡 )2

exp (

2𝜎2

exp (

2𝜎2

) 𝑑𝜀𝑡 (9)

) 𝑑𝜀𝑡 .

Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi 𝑌𝑡 : ∗ )𝑌 𝐹𝑌𝑡 (𝑦𝑡 ) = 𝑃(𝑌𝑡 ≤ 𝑦𝑡 ) = 𝑃(𝑐(𝑋𝑡∗ ) + 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 + 𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡 ) ∗ )𝑌 ∗) = 𝑃(𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡 − 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 ) ∗ )𝑌 𝑦 −𝑐(𝑋𝑡∗ )−𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1

= ∫0 𝑡

−(𝜀𝑡 )2

1 √2𝜋𝜎

exp (

2𝜎2

) 𝑑𝜀𝑡 .

Misalkan ∗ )𝑌 𝑣 = 𝑦𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡∗ ) − 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1

maka 𝑣

𝐹𝑌𝑡 (𝑦𝑡 ) = ∫0

1 √2𝜋𝜎

−(𝜀𝑡 )2

exp (

2𝜎2

) 𝑑𝜀𝑡

dan 𝜕

𝜕𝑣

𝜕

𝑓𝑌𝑡 (𝑦𝑡 ) = 𝜕𝑦 𝐹𝑌𝑡 (𝑦𝑡 ) = 𝜕𝑣 𝐹𝑌𝑡 (𝑦𝑡 ) 𝜕𝑦 𝑡

= = =

1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎

−(𝑣)2

exp (

𝑡

)

𝜕𝑣

.

2𝜎2 𝜕𝑦𝑡 ∗ )𝑌 2 −(𝑦𝑡 −𝑐(𝑋𝑡∗ )−𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 )

exp (

)×1

exp (

).

2𝜎2 ∗ )𝑌 2 −(𝑦𝑡 −𝑐(𝑋𝑡∗ )−𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 ) 2 2𝜎

(10)

Misalkan 𝒴𝑡 adalah medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 , … , 𝑌𝑡 . Karena 𝑋𝑡 merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi 𝑌𝑡 . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1) dilambangkan dengan 𝜂𝑡 , sehingga diperoleh: 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝜂𝑡 = 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) [𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)]

12 −(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙1 𝑌𝑡−1 )2

1

𝑒𝑥𝑝 (

)

𝑒𝑥𝑝 (

)

𝑒𝑥𝑝 (

)

[√2𝜋𝜎 𝑒𝑥𝑝 (

)

√2𝜋𝜎 1

=

√2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1

Misalkan 𝜉𝑡|𝑡−1 =

2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙1 𝑌𝑡−1 )2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙2 𝑌𝑡−1 )2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙2 𝑌𝑡−1 )2

.

] 2𝜎2 𝑇 (1) (2) (3) (4) (𝜉𝑡|𝑡−1 𝜉𝑡|𝑡−1 𝜉𝑡|𝑡−1 𝜉𝑡|𝑡−1 ) melambangkan vektor

(11)

(4 × 1)

(𝑗) 𝜉𝑡|𝑡−1

di mana pada vektor mempresentasikan 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) dan ⊗ melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 = ⊗ 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) [𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)] [𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)] 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = . (12) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) [𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)] Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis: 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) sehingga diperoleh: 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∑4𝑗=1 𝑃 (𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∑4𝑗=1 𝑃 (𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) +𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) +𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) +𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃). 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∑4𝑗=1 𝑃 (𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝟏′ (𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 ) di mana 𝟏′ = [1 1 1 1]. Berdasarkan persamaan (13) dan (14) maka dapat diperoleh 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

(13)

(14) (15)

𝑃(𝑦𝑡 ,𝑋𝑡 =𝑗,𝒴𝑡−1 ;𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1 ;𝜃) 𝑃(𝑦𝑡 ,𝒴𝑡−1 ;𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1 ;𝜃)

𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∙ 𝑃(𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑦𝑡 , 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑦𝑡 , 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗, 𝑦𝑡 , 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑦𝑡 , 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑦𝑡 , 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃).

(16)

13 sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃) = . 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 . 𝜉̂𝑡|𝑡 = ′ 𝟏 (𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 )

(17)

(𝑗) 𝜉̂𝑡+1|𝑡 = 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡 ; 𝜃) 4

= ∑ 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃) 𝑗=1 𝑁 (𝑗) = ∑ 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡 ; 𝜃) 𝜉̂𝑡|𝑡 𝑗=1 4

(18)

(𝑗)

= ∑ 𝑝𝑗𝑖 𝜉̂𝑡|𝑡 . 𝑖 = 1,2,3,4. 𝑗=1 (1)

(3)

∗ ̂ ∗ ̂ 𝑝11 𝜉𝑡|𝑡 + 𝑝11 𝜉𝑡|𝑡

𝜉̂𝑡+1|𝑡 =

(1)

(3)

(2)

(4)

∗ 𝑝11 ∗ 𝑝12

∗ ̂ ∗ ̂ 𝑝12 𝜉𝑡|𝑡 + 𝑝12 𝜉𝑡|𝑡

=[ 0 0

∗ ̂ ∗ ̂ 𝑝21 𝜉𝑡|𝑡 + 𝑝21 𝜉𝑡|𝑡

0 0 ∗ 𝑝21 ∗ 𝑝22

∗ 𝑝11 ∗ 𝑝12

0 0

∗ (2) ∗ (4) [𝑝22 𝜉̂𝑡|𝑡 + 𝑝22 𝜉̂𝑡|𝑡 ] 𝜉̂𝑡+𝑚|𝑡 = 𝐏 𝒎 ∙ 𝜉̂𝑡|𝑡 .

(1) 𝜉̂𝑡|𝑡

0 (2) 0 𝜉̂𝑡|𝑡 ̂ ∗ ] (3) = 𝐏 ∙ 𝜉𝑡|𝑡 . 𝑝21 𝜉̂𝑡|𝑡 ∗ 𝑝22 (4) [𝜉̂𝑡|𝑡 ] (19)

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi 𝜉̂𝑡|𝑡−1 adalah dengan membuat 𝜉̂1|0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat 𝜋 = [𝜋1 𝜋2 𝜋3 𝜋4 ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu: 𝐏𝜋 = 𝜋 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1. Pendugaan Parameter Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu: (20) 𝑓(𝑦𝑡 ; 𝜃) = ∑𝑁 𝑗=1 𝑓(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝒴𝑡−1 ). 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑡 ; 𝜃) = ∏𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ) (21) sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi 𝜃 adalah 𝑇

𝐿(𝜃) = ∑ log 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ) 𝑡=1

(22)

Penduga kemungkinan maksimum likelihood 𝜃̂ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (22) dengan kendala 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1 dan 𝜋𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1,2,3,4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode Lagrange, yaitu (23) 𝐽(𝜃) = 𝐿(𝜃) + 𝜆(1 − 𝜋1 − 𝜋2 − 𝜋3 − 𝜋4 ) 2 lalu persamaan (23) diturunkan masing-masing terhadap 𝜋𝑗 , 𝜇𝑗 , dan 𝜎𝑗 .

14 Berdasarkan persamaan (20), (22), dan (23) diperoleh 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜆

𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜋𝑗

= 0 ⟺ 1 − 𝜋1 − 𝜋2 − 𝜋3 − 𝜋4 = 0 ⟺ 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1. =0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜋𝑗 𝜕

(24)

=0 1

⟺ 𝜕𝜋 (∑𝑇𝑡=1 log 𝑓(𝑦𝑡 ; 𝜃)) = ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 ;𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) = 0. 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜇𝑗

=0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜇𝑗

=0

𝜕

1

(𝑦𝑡 −𝜇𝑗 )

𝑡

𝜎𝑗2

⟺ 𝜕𝜇 (∑𝑇𝑡=1 log 𝑓(𝑦𝑡 ; 𝜃)) = ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 ;𝜃) ∙ 𝑗

𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜎𝑗2

=0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜎𝑗2

(25)

𝑡

𝑗

∙ 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) = 0. (26)

=0

𝜕

⟺ 𝜕𝜎2 (∑𝑇𝑡=1 log 𝑓(𝑦𝑡 ; 𝜃)) = ∑𝑇𝑡=1 𝑗

𝑃(𝑦𝑡 ,𝑋𝑡 =𝑗;𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 ;𝜃)

1

∙ (− 2𝜎2 + 𝑗

(𝑦𝑡 −𝜇𝑗 ) 2𝜎𝑗4

2

) = 0. (27)

Penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃 diperoleh dengan memaksimumkan: 𝐿(𝜃) = ∑𝑇𝑡=1 log 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) dengan membuat turunan pertama dari log likehood terhadap parameter 𝜃 sama dengan nol, maka diperoleh ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )] 𝑐1 = . (28) ∑𝑇𝑡=1 𝐵 + 𝐷 ∑𝑇𝑡=1[𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 )] 𝑐2 = . ∑𝑇𝑡=1[𝐶 + 𝐸]

(29)

∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] . ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐵 + 𝐶]

(30)

∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] 𝜙2 = . ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐷 + 𝐸]

(31)

𝜙1 =

𝜎̂ 2 =

∑𝑇𝑡=1[𝐵

1 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸] 2

2

∙ ∑𝑇𝑡=1 [𝐵 ((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐶 ((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 2

2

𝐷 ((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸 ((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) ]

di mana: 1 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 1 𝐶= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

𝐵=

(32)

15 1

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 1 𝐸= 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ ) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. 𝐷=

Karena persamaan (28) sampai (32) taklinear, maka untuk mencapai penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃 digunakan algoritme iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑇 ) dan matriks transisi ∗ ∗ 𝑝11 0 𝑝11 0 ∗ ∗ 𝑝 0 𝑝12 0 𝐏 = [ 12 ∗ ∗ ]. 0 𝑝21 0 𝑝21 ∗ ∗ 0 𝑝22 0 𝑝22 2. Beri nilai awal bagi 𝜃̂ yang dilambangkan dengan 𝜃̂ = (𝑐̂1 , 𝑐̂2 , 𝜙̂1 , 𝜙̂2 , 𝜎̂ 2 ). 3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi 𝑦𝑇 untuk setiap 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 dengan cara 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝜂𝑡 = 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) [𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)] 2

−(𝑦𝑡 − 𝑐̂1 − 𝜙̂1 𝑌𝑡−1 ) exp ( ) 2𝜎̂ 2 √2𝜋𝜎̂ 1

2 −(𝑦𝑡 − 𝑐̂2 − 𝜙̂1 𝑌𝑡−1 ) exp ( ) 2𝜎̂ 2 √2𝜋𝜎̂

1

=

.

2 −(𝑦𝑡 − 𝑐̂1 − 𝜙̂2 𝑌𝑡−1 ) exp ( ) 2𝜎̂ 2 √2𝜋𝜎̂

1

2 −(𝑦𝑡 − 𝑐̂2 − 𝜙̂2 𝑌𝑡−1 ) exp ( ) 2𝜎̂ 2 [√2𝜋𝜎̂ ]

1

4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu 𝑡 pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi: 4.1 Tentukan nilai awal bagi 𝜉̂𝑡|𝑡−1 yang dilambangkan dengan 𝜉̂1|0 4.2 4.3

Beri nilai awal 𝑖 = 1 Untuk 𝑡 = 𝑖, cari nilai dari 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ ) = 𝟏′ (𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 ).

16 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) ∙ 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) ∙ 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) ∙ 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) ∙

𝜉̂𝑡|𝑡 =

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡 ; 𝜃̂) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡 ; 𝜃̂) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡 ; 𝜃̂) [𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡 ; 𝜃̂)]

𝜉̂𝑡+1|𝑡 =

=

1

exp ( ̂

√2𝜋𝜎 1

̂ √2𝜋𝜎 1 ̂ √2𝜋𝜎 1 ̂ √2𝜋𝜎

exp ( exp ( exp (

̂ 1 𝑌𝑡−1 )2 −(𝑦𝑡 −𝑐̂1 −𝜙

̂2 2𝜎 ̂ 1 𝑌𝑡−1 )2 −(𝑦𝑡 −𝑐̂2 −𝜙 ̂2 2𝜎 ̂ 2 𝑌𝑡−1 )2 −(𝑦𝑡 −𝑐̂1 −𝜙 ̂2 2𝜎 ̂ 2 𝑌𝑡−1 )2 −(𝑦𝑡 −𝑐̂2 −𝜙 ̂2 2𝜎

)+

)+ )+ ).

𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 𝟏′ (𝜉̂𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 )

𝑃(𝑋𝑡+1 = 1|𝒴𝑡 ; 𝜃̂) 𝑃(𝑋𝑡+1 = 2|𝒴𝑡 ; 𝜃̂)

= 𝐏 ∙ 𝜉̂𝑡|𝑡 𝑃(𝑋𝑡+1 = 3|𝒴𝑡 ; 𝜃̂) [𝑃(𝑋𝑡+1 = 4|𝒴𝑡 ; 𝜃̂)] 𝑖 = 𝑖 + 1. Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika 𝑡 = 𝑇. 4.4 Lanjutkan ke langkah 5. 5.

Misalkan 1

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 1 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 𝐶= 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 1 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 𝐷= 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 1 𝐸= 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑚) ) cari nilai dari: ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙̂1 𝑦𝑡−1 ) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙̂2 𝑦𝑡−1 )] 𝑐1 = . ∑𝑇𝑡=1 𝐵 + 𝐷 𝐵=

𝑐2 =

∑𝑇𝑡=1[𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙̂1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙̂2 𝑌𝑡−1 )] . ∑𝑇𝑡=1[𝐶 + 𝐸]

∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐̂1 ) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐̂2 )] 𝜙1 = . ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐵 + 𝐶] 𝜙2 =

∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐̂1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] . ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐷 + 𝐸]

17

𝜎2 =

∑𝑇𝑡=1[𝐵

1 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸] 2

2

∙ ∑𝑇𝑡=1 [𝐵 ((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐶 ((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 2

2

𝐷 ((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸 ((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) ].

6.

Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan 𝜃̂ (𝑚+1) = (𝑐̂1 , 𝑐̂2 , 𝜙̂1 , 𝜙̂2 , 𝜎̂ 2 ) dan 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑇 − 1.

7.

Cari P yang baru, yaitu: (𝑗) (𝑗) (𝑗) (𝑗) 𝜉̂𝑡|𝑇 = 𝜉̂𝑡|𝑡 ⨀ {𝐏 ′ ⋅ [𝜉̂𝑡+1|𝑇 (÷)𝜉̂𝑡+1|𝑡 ]} ∑𝑇𝑡=2 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗, 𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡 ; 𝜃) ∑𝑇𝑡=2 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑇 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑇 ; 𝜃) ≈ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝒴𝑡 ; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡 ; 𝜃) ̂𝜉 (𝑗) × 𝜉̂ (𝑖) 𝑡|𝑇 𝑡−1|𝑡−1 × 𝑝𝑖𝑗 = (𝑗) 𝜉̂ 𝑝̂ 𝑖𝑗 =

𝑡|𝑡

𝑁

𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝒴𝑇 ; 𝜃) = ∑ 𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇 ; 𝜃) 𝑗=1

(Kim 1994) ∑𝑇𝑡=2 𝑝̂ 𝑖𝑗 =

(𝑖) (𝑗) 𝜉̂𝑡|𝑇 ×𝜉̂𝑡−1|𝑡−1 ×𝑝𝑖𝑗 (𝑗) 𝜉̂𝑡|𝑡

(𝑗) (𝑖) 𝜉̂𝑡|𝑇 ×𝜉̂𝑡−1|𝑡−1 ×𝑝𝑖𝑗 𝑇 𝑁 ∑𝑡=2 ∑𝑗=1 (𝑗) 𝜉̂𝑡|𝑡

Bukti dapat dilihat pada Hamilton (1990). 8.

Ulangi mulai dari langkah 2. Hentikan jika 𝑚 = 𝑇. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang akan datang. ∗ )𝑦 𝐸[𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃] = 𝐸[𝑐(𝑋𝑡∗ ) + 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 + 𝜀𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃] ∗ ) = 𝑐(𝑋𝑡∗ ) + 𝜙(𝑋𝑡−1 ∫ 𝑦𝑡−1 𝑓(𝑦𝑡−1 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑑𝑦𝑡

𝑌̂𝑡 = E[𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑇) ] = ∫ 𝑦𝑡 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑇) )𝑑𝑦𝑡

18 𝑁

= ∫ 𝑦𝑡 ∑ 𝑃(X𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑇) )𝑓(𝑦𝑡 |X𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑇) )𝑑𝑦𝑡 𝑗=1 𝑁 (𝑗)

= ∑ 𝜉𝑡|𝑡−1 ⋅ E[𝑦𝑡 |X𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ (𝑇) ]. 𝑗=1

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.

Data Input Nilai Tukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman www.rba.gov.au (12 Oktober 2014). Data diambil pada selang waktu antara bulan Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (𝑦𝑡 ). Data yang akan diduga sebanyak 192 data, dari Juli 1997 hingga Juni 2013. Data nilai tukar pada Juni 1997 akan digunakan sebagai nilai awal (𝑦0 ). Grafik data disajikan pada Gambar 1. 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000

Gambar 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan

Jun-2013

Oct-2012

Jun-2011

Feb-2012

Oct-2010

Feb-2010

Jun-2009

Oct-2008

Feb-2008

Jun-2007

Oct-2006

Jun-2005

Feb-2006

Oct-2004

Feb-2004

Jun-2003

Oct-2002

Jun-2001

Feb-2002

Oct-2000

Jun-1999

Feb-2000

Oct-1998

Feb-1998

Jun-1997

0

19

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh Setiawaty dan Ardana (2013), Santoso (2008), dan Retnoningtyas (2014). Setiawaty dan Ardana (2013) menggunakan persamaan: 𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗ ) + ∗ )𝑌 𝜙(𝑋𝑡 𝑡−1 + 𝜀𝑡 , sedangkan Santoso (2008) dan Retnoningtyas (2014) menggunakan persamaan: 𝑌𝑡 − 𝜇𝑋𝑡∗ = 𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇𝑋𝑡∗ ) + 𝜀𝑡 , di mana {𝑋𝑡∗ } adalah rantai Markov, {𝑌𝑡 } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan 𝜀𝑡 menyebar normal. Pada Setiawaty dan Ardana (2013) diperoleh MAPE 4.31%, pada Retnoningtyas 9124.89 0.87 (2014) digunakan nilai awal 𝜇 = [ ] , 𝜙 = 3.94, 𝑃 = [ ], dan 𝜎 = 9198.76 0.75 1454, dengan MAPE 4.14%. Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah: ∗ )𝑌 𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗ ) + 𝜙(𝑋𝑡−1 𝑡−1 + 𝜀𝑡 seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya. Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%.

Penentuan Nilai Awal Parameter Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga Mei 2013 dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 (𝑦𝑡 ), kedua data kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah 𝑦 = 𝑦𝑡 terhadap 𝑥 = 𝑦𝑡−1 . Persamaan baru yang didapatkan yaitu (33) 𝑌 = 1917.57 + 0.792906 𝑥

Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal 𝑐 dan 𝜙 . Nilai awal 𝑐 yang digunakan dibangkitkan dari interval [1000, 2500] ,

20 dengan nilai awal (2184.29, 1282.7). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝑐 yang digunakan adalah (1932.95, 1932.95) . Nilai awal 𝜙 yang digunakan dibangkitkan dari interval [0.5, 1], dengan nilai awal (0.62068, 0.532869). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜙 yang digunakan adalah (0.7824, 0.7824). Penentuan Nilai Awal P Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,1], karena 0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan 0.5 0 0.5 0 untuk 𝐏 adalah [0.5 0 0.5 0]. 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 Penentuan Nilai Awal 𝝈 Nilai awal untuk parameter 𝜎 yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [100,2000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang 𝜎 dibangkitkan sebesar 1130.27. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜎 yang digunakan adalah 1.03636 × 107 .

Hasil Program Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah 𝑐1 = 1932.95, 𝑐2 = 1932.95, 𝜙1 = 0.7824, 𝜙2 = 0.7824, 𝜎 = 1.03636 × 107 . Galat nilai dugaan yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar 4.48037 % diperoleh melalui satu kali iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3.

Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan

21

SIMPULAN Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya, dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%.

DAFTAR PUSTAKA Baum LE, Petrie T. 1966. Statistical inference for probabilistic functions of finite Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6):15541563.doi:10.1214/aoms/1177699147. Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer Verlag. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Oxford (GB): Clarendon Press. Hamilton JD. 1990. Analysis of time series subject to changes in regime. Journal of Econometrics. 45(2):39-70.doi:10.1016/0304-4076(90)90093-9. Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs. Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of Econometrics. 60(2):1-22.doi:10.1016/0304-4076(94)90036-1. Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser. Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit Leuven. Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA): University of Toronto. Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company. Retnoningtyas A. 2014. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Untuk Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Santoso DH. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Setiawaty B, Ardana NKK. 2013. Modeling the exchange of Rupiah to American Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 2013; 2013 Nov 6-8; Yogyakarta, Indonesia. Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.

22 Lampiran 1 Bukti Lema 1 Karena {𝑋𝑡∗ } rantai Markov, maka {𝑋𝑡 } rantai Markov dengan matriks transisi 𝑝11 𝑝21 𝑝31 𝑝41 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑃 = [𝑝12 𝑝22 𝑝32 𝑝42 ]. 13 23 33 43 𝑝14 𝑝24 𝑝34 𝑝44 ∗ ∗ Misalkan 𝑝𝑖𝑗 melambangkan 𝑃(𝑋𝑡∗ = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖) maka ∗ ∗ ∗ ∗ = 1) = 1, 𝑋𝑡−2 𝑝11 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝑋𝑡−1 = 1) = 𝑃(𝑋𝑡 = 1, 𝑋𝑡−1 = 1|𝑋𝑡−1 ∗ ∗ 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1, 𝑋𝑡−1 = 1, 𝑋𝑡−2 = 1) = ∗ ∗ 𝑃(𝑋𝑡−1 = 1, 𝑋𝑡−2 = 1) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . = 1) = 𝑝11 = 1) = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1|𝑋𝑡−1 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝑋𝑡−1 = 1, 𝑋𝑡−2 ∗ ∗ ∗ = 1) = 2, 𝑋𝑡−2 = 1|𝑋𝑡−1 𝑝21 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝑋𝑡−1 = 2) = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1, 𝑋𝑡−1 ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑃(𝑋𝑡 = 1, 𝑋𝑡−1 = 1, 𝑋𝑡−1 = 2, 𝑋𝑡−2 = 1) = ∗ ∗ 𝑃(𝑋𝑡−1 = 2, 𝑋𝑡−2 = 1) = 0.

Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan ∗ 𝑝31 = 𝑝11 𝑝41 = 0 ∗ 𝑝21 = 𝑝12 𝑝22 = 0 ∗ 𝑝32 = 𝑝12 𝑝42 = 0 𝑝13 = 0 ∗ 𝑝23 = 𝑝21 𝑝33 = 0 ∗ 𝑝43 = 𝑝21 𝑝14 = 0 ∗ 𝑝24 = 𝑝22 𝑝34 = 0 ∗ 𝑝44 = 𝑝22 maka diperoleh matriks transisi ∗ ∗ 𝑝11 0 𝑝11 0 ∗ ∗ 𝑝 0 𝑝12 0 𝐏 = [ 12 ∗ ∗ ]. 0 𝑝21 0 𝑝21 ∗ ∗ 0 𝑝22 0 𝑝22

23

Lampiran 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∑4𝑗=1 𝑃(𝑦𝑡 , 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = ∑4𝑗=1 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 1

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

−(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙1 𝑌𝑡−1 )2

𝑒𝑥𝑝 (

√2𝜋𝜎 1

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

√2𝜋𝜎

2𝜎2

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

−(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙2 𝑌𝑡−1 )2

𝑒𝑥𝑝 (

2𝜎2

1

𝑒𝑥𝑝 (

√2𝜋𝜎 1

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

√2𝜋𝜎

−(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙1 𝑌𝑡−1 )2

𝑒𝑥𝑝 (

)

2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙2 𝑌𝑡−1 )2 2𝜎2

(14)

).

Berdasarkan persamaan (14), diperoleh 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 𝜕𝑐1

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

1

√2𝜋𝜎 1

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

−(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙1 𝑦𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(−1)

𝑒𝑥𝑝 {

√2𝜋𝜎

𝑒𝑥𝑝 {

}

2𝜎2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙2 𝑦𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(−1)

}

2𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

𝜎2

.

2𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 ) 𝜎2

.

Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut 𝑇

ℒ(𝜃) = ∑ log 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃), 𝑡=1

Untuk memperoleh nilai 𝑐1 , 𝑐2 , 𝜙1 , 𝜙2 , 𝜎 2 yang memaksimumkan fungsi log-likehood, maka turunan pertama dari ℒ(𝜃) harus sama dengan nol. 𝜕ℒ(𝜃) 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 1 ∑𝑇𝑡=1 = ∙ 𝜕𝑐 𝑓(𝑦 |𝒴 ;𝜃) 𝜕𝑐 1

𝑡

⇔

1

𝑡−1

1 ∑𝑇𝑡=1 [ 𝑃(𝑋𝑡 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃)

= 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 ) 𝜎2

+ ]

=0

23

24

24 1

⟺ 𝜎2 ∑𝑇𝑡=1 [

1 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) + 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 1 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )] 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃)

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡−1 ;𝜃)

𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) +

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )]

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡−1 ;𝜃)

𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) +

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 1

= ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ;𝜃) 1

= 𝑐1 ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )] 1

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑐1 ) + 𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡−1 ;𝜃)

𝑡

1

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) + 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ;𝜃)

𝑡−1 ;𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)(𝑐1 )]

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)].

Misalkan 1 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 1 𝐷= 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃). 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝐵=

maka dapat dituliskan 𝑇

𝑇

∑[𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )] = 𝑐1 ∑ 𝐵 + 𝐷 𝑡=1

𝑡=1

25 ⇔ 𝑐1 =

∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 ) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑦𝑡−1 )] ∑𝑇𝑡=1 𝐵 + 𝐷

seperti yang telah diklaim pada persamaan (28). Berdasarkan persamaan (14) diperoleh ̂) 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 𝜕𝑐2

= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

1

√2𝜋𝜎 1

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

−(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙1 𝑌𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )(−1)

𝑒𝑥𝑝 (

√2𝜋𝜎

)

𝑒𝑥𝑝 (

𝜕𝑐2

1

= ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

⇔ ∑𝑇𝑡=1 [

̂ ∙ 𝑡−1 ;𝜃 )

̂) 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 𝜕𝑐2

1

̂ ) 𝑃(𝑋𝑡 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 1 ̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃

)

2𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝜕ℒ(𝜃)

+

2𝜎2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙2 𝑌𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )(−1)

𝜎2

2𝜎2

+ 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)

((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 𝜎2

=0

= 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)

((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ )

+

𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 𝜎2

]

=0 1

1

⇔ 𝜎2 ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

̂

𝑡−1 ;𝜃 )

1 ̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 )]

=0

25

26

26 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

̂

𝑡−1 ;𝜃 )

𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂ )(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) +

1 ̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 )]

=0 1

⇔ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

=

̂

𝑡−1 ;𝜃 )

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) +

1 ̂ )] ̂ ) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃 )(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 1 1 ̂ ∑𝑇𝑡=1 [ ) ̂ ) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃 )(𝑐2 + 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 ̂ ) 𝑃(𝑋𝑡 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃 1

= 𝑐2 ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

1

̂

𝑡−1 ;𝜃 )

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) + 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

̂

𝑡−1 ;𝜃 )

= 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)(𝑐2 )]

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)].

Misalkan 1

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 1 𝐸= 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝐶=

maka dapat dituliskan 𝑇

𝑇

∑[𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 )] = 𝑐2 ∑[𝐶 + 𝐸] 𝑡=1

𝑡=1

∑𝑇𝑡=1[𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2 𝑌𝑡−1 )] ⟺ 𝑐2 = − ∑𝑇𝑡=1[𝐶 + 𝐸]

seperti yang diklaim pada persamaan (29).

27 Berdasarkan persamaan (14) diperoleh 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 𝜕𝜙1

1

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

√2𝜋𝜎 1

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

𝜕ℒ(𝜃) 𝜕𝜙1

1

= ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1

∙ ,𝜃)

̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃

1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡 𝑡−1 ,𝜃) 1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝜕𝜙1

√2𝜋𝜎 1

√2𝜋𝜎 1

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

𝑒𝑥𝑝 {

−(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙1 𝑦𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(−𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 {

}

2𝜎2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙1 𝑦𝑡−1 )2 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 {

√2𝜋𝜎

}

2𝜎2 2𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙1 𝑦𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(−𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 {

}

2𝜎2 𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙1 𝑦𝑡−1 )2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 2𝜎2

}

.

𝜎2

=0

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 𝜎2

+

]

=0 1

1

⟺ 𝜎2 ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

1

𝑡−1 ,𝜃)

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

=0 27

28

28 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

𝑡−1 ,𝜃)

𝑡

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) +

𝑡−1 ,𝜃)

𝑡

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1

= ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

=

𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 )]

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

1

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝜙1 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1 𝑇 𝜙1 ∑𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 ,𝜃) 𝑡

1

𝑡−1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡−1 )2 +

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡−1 )2 ].

Misalkan 1

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 1 𝐶= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)

𝐵=

sehingga diperoleh ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 )] = 𝜙1 ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡−1 )2 + 𝐶(𝑦𝑡−1 )2 ] ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 )] ⟺ 𝜙1 = ∑𝑇𝑡=1[𝐵(𝑦𝑡−1 )2 + 𝐶(𝑦𝑡−1 )2 ]

29 ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] ⟺ 𝜙1 = ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐵 + 𝐶] seperti yang diklaim pada persamaan (30). Berdasarkan persamaan (14) diperoleh 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 𝜕𝜙2

1

= 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

√2𝜋𝜎 1

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ = 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙

𝜕𝜙2

1

= ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1

∙ ,𝜃)

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ,𝜃)

1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝜕𝜙2

√2𝜋𝜎

√2𝜋𝜎

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝜕ℒ(𝜃)

𝑒𝑥𝑝 {

−(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙2 𝑦𝑡−1 )2 (−2)((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(−𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 {

√2𝜋𝜎

}

2𝜎2 2𝜎2 2 )−𝜙 ) ((𝑦 −𝑐 𝑦 −(𝑦𝑡 −𝑐1 −𝜙2 𝑦𝑡−1 𝑡 1 2 𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 { 1

}

2𝜎2 2𝜎2 2 (−2)((𝑦 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙2 𝑦𝑡−1 ) 𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(−𝑦𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 {

}

2𝜎2 𝜎2 −(𝑦𝑡 −𝑐2 −𝜙2 𝑦𝑡−1 )2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 𝑐2 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 2𝜎2

}

𝜎2

.

=0

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 𝜎2 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )

+

]

𝜎2

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ,𝜃)

1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)

(𝑦𝑡 −𝑐1 )(𝑦𝑡−1 )−(𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 𝜎2 (𝑦𝑡 −𝑐2 )(𝑦𝑡−1 )−(𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) 𝜎2

+

]

=0

29

30

30 1

⟺ 𝜎2 ∑𝑇𝑡=1 [

1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) − (𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 ) − (𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡−1 ,𝜃)

𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) − (𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 ) +

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 ) − (𝜙2 𝑦𝑡−1 )(𝑦𝑡−1 )]

=0 1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴

𝑡−1 ,𝜃)

𝑡

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 )(𝑦𝑡−1 ) − 𝜙2 (𝑦𝑡−1 )2 + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 )(𝑦𝑡−1 ) − 𝜙2 (𝑦𝑡−1 )2 ]

=0 ⟺ ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 ) [

1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

1

= ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

=

𝑡−1 ,𝜃)

1

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 )]

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝜙2 (𝑦𝑡−1 )2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝜙2 (𝑦𝑡−1 )2 )]

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1 𝑇 𝜙2 ∑𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 ,𝜃) 𝑡

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) +

𝑡−1

1

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡−1 )2 + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 , 𝜃)(𝑦𝑡−1 )2 ].

31 Misalkan 1

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 1 𝐸= 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃̂)

𝐷=

maka dapat dituliskan ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] = 𝜙2 ∑𝑇𝑡=1[𝐷(𝑦𝑡−1 )2 + 𝐸(𝑦𝑡−1 )2 ] ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] ⟹ 𝜙2 = ∑𝑇𝑡=1[𝐷(𝑦𝑡−1 )2 + 𝐸(𝑦𝑡−1 )2 ] 𝑇 ∑𝑡=1(𝑦𝑡−1 )[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1 ) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2 )] ⟹ 𝜙2 = ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1 )2 [𝐷 + 𝐸] Seperti yang telah diklaim pada persamaan (31). 𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝑌𝑡−1 ;𝜃) 𝜕𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (− +𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (− +𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (−

𝜕𝑓(𝑦𝑡 |𝑌𝑡−1 ;𝜃) 𝜕𝜎2

3

2𝜋

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

) (2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒𝑥𝑝 ( 2

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (− 2𝜋

3 − 2

2𝜋

3 − 2

2𝜋

3 − 2

) (2𝜋𝜎 2 ) 𝑒𝑥𝑝 ( 2 ) (2𝜋𝜎 2 ) 𝑒𝑥𝑝 ( 2 ) (2𝜋𝜎 2 ) 𝑒𝑥𝑝 ( 2

2𝜋

= −𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (

2(2𝜋𝜎2 )√2𝜋𝜎2

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 ) −((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 2

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

2𝜎2 −((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

2

2𝜎2

2

2𝜎2

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

) 𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2

1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎

1 √2𝜋𝜎

𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

) + 𝑃 (𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

1 √2𝜋𝜎

) 2

)

2𝜎2

𝑒𝑥𝑝 (

2

2

2𝜎2

𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2

𝑒𝑥𝑝 (

2

)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

2𝜎4

((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎2

)

2

2𝜎4

2

)

.

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎4

2

31

32

32

2(2𝜋𝜎 2(2𝜋𝜎

−𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

) 𝑒𝑥𝑝 ( 2 )√2𝜋𝜎 2 ) 𝑒𝑥𝑝 ( 2 )√2𝜋𝜎 2

1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

2𝜎2

) 𝑒𝑥𝑝 ( 2 )√2𝜋𝜎 2

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

2𝜎2 2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2𝜎2

−1

) (2𝜎2 +

2

)( 2

)( 2

)(

√2𝜋𝜎 1 √2𝜋𝜎

2

) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

)+ 2

)+

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2

)+

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎4

−𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

)(

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

−1

) (2𝜎2 +

2

2𝜎2

𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

−1

) (2𝜎2 +

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

−1

) (2𝜎2 +

2𝜎2

1

2

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2𝜋 2(2𝜋𝜎

2

2𝜎2

−((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2𝜋

−𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2𝜋

−𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (

)

2

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

)+ 2

)+

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2

)+

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎4

2

2

) +.

𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 (

1 √2𝜋𝜎

−((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

)

2𝜎2 −((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

𝑒𝑥𝑝 (

2

2𝜎2 −((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎2

)

((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2

)

2

2𝜎4 ((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎4

2

33 𝜕ℒ(𝜃) 𝜕𝜎2

1

= ∑𝑇𝑡=1 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

⟺

∙

𝑡−1 ,𝜃)

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ;𝜃) 𝜕𝜎2

1 ∑𝑇𝑡=1 [ 𝑃(𝑋𝑡 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1

=0

= 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) (

−𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ( ,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ( ,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ( ,𝜃)

2

)+

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙1 𝑌𝑡−1 )

2

)+

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐1 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 )

2

)+

2𝜎4 −𝜎2 +((𝑦𝑡 −𝑐2 )−𝜙2 𝑌𝑡−1 ) 2𝜎4

2

)]

=0 2

1

⟺ ∑𝑇𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + ,𝜃)

1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1

=

2

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 2

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) +

𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ,𝜃) 1 2 ∑𝑇 𝜎 𝑡=1 [𝑓(𝑦 |𝒴 ,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 𝑡 𝑡−1 1 𝑃(𝑋𝑡 𝑓(𝑦 |𝒴 ,𝜃) 𝑡

𝑡−1

2

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) ] 1

= 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) + 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ,𝜃)

1

= 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) + 𝑓(𝑦 |𝒴 𝑡

𝑡−1 ,𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃)] .

Misalkan 𝐵=

1 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃)

33

34

34 1 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 1 𝐷= 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 1 𝐸= 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1 ; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡 |𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝑓(𝑦𝑡 |𝒴𝑡−1 ; 𝜃) 𝐶=

maka dapat dituliskan 2 2 2 2 ∑𝑇𝑡=1 [𝐵((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐶((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐷((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) ] = 𝜎 2 ∑𝑇𝑡=1[𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸] 2

𝜎2 =

2

2

2

∑𝑇𝑡=1 [𝐵((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐶((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙1 𝑌𝑡−1 ) + 𝐷((𝑦𝑡 − 𝑐1 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸((𝑦𝑡 − 𝑐2 ) − 𝜙2 𝑌𝑡−1 ) ]

Seperti yang diklaim pada persamaan (32).

∑𝑇𝑡=1[𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸]

.

35

Lampiran 3 Program untuk mencari nilai dugaan parameter menggunakan software Mathematica 10

36

37

38

39

40

41 Lampiran 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Nilai Rupiah Nilai Dugaan 2604.67 3834.63 2990.20 3970.84 3278.69 4272.48 3665.43 4498.19 3649.86 4800.78 5350.08 4788.59 12499.60 6118.84 8800.59 11712.6 8549.89 8818.51 8050.47 8622.36 11175.40 8231,62 14875.30 10676.60 13199.70 13571.40 10999.80 12260.40 10788.90 10539.20 7625.74 10374.20 7474.30 7899.31 7929.63 7780.83 8900.73 8137.07 8763.05 8896.86 8725.57 8789.14 8275.23 8759.82 8129.72 8407.47 6729.84 8293.62 6875.77 7198.36 7609.34 7312.54 8324.66 7886.48 6875.58 8446.14 7500.00 7312.39 7012.85 7800.93 7433.41 7419.79 7483.31 7748.83 7615.19 7787.87 7950.58 7891.06 8620.75 8153.47 8735.38 8677.80 8979.73 8767.49 8364.65 8958.67 8790.72 8477.43 9415.31 8810.79 9527.45 9299.47 9615.52 9387.20 9445.66 9456.11 9838.10 9323.21

t 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88

Nilai Rupiah 10415.10 11820.00 11154.90 11410.80 9365.21 8921.75 9685.15 10455.20 10459.60 10399.50 10328.90 10189.80 9655.76 9319.99 8789.21 8730.52 9079.96 8866.59 9011.96 9237.44 8976.46 8949.13 8874.92 8901.55 8903.25 8675.76 8319.53 8279.89 8505.13 8559.38 8400.24 8495.60 8505.41 8470.67 8452.38 8462.64 8583.48 8689.75 9263.61 9412.11 9182.65 9333.90 9175.88 9088.59

Nilai Dugaan 9630.26 10081.70 11180.90 10660.50 10860.80 9260.27 8913.31 9510.59 10133.10 10116.50 10069.50 10014.20 9905.41 9487.59 9224.89 8809.61 8763.69 9037.09 8870.15 8983.89 9160.30 8956.11 8934.73 8876.67 8897.50 8898.83 8720.84 8442.13 8411.12 8587.34 8629.79 8505.28 8579.89 8587.56 8560.38 8546.07 8554.10 8648.64 8731.79 9180.78 9296.96 9117.43 9235.77 9112.14

42

t Nilai Rupiah Nilai Dugaan 89 9017.36 9043.84 90 9309.37 8988.11 91 9160.64 9216.58 92 9265.02 9100.21 93 9489.57 9181.88 94 9574.96 9357.57 95 9506.42 9424.38 96 9718.48 9370.75 97 9819.62 9536.67 98 10475.20 9615.80 100 10215.40 1-128.70 101 10049.40 9925.42 102 10024.40 9795.59 103 9825.54 9775.99 104 9387.48 9620.43 105 9227.85 9277.69 106 9160.50 9152.80 107 8800.05 9100.10 108 9194.60 8818.09 109 9280.24 9126.78 110 9070.25 9193.79 111 9097.94 9029.49 112 9229.95 9051.16 113 9114.66 9154.44 114 9165.61 9064.24 115 9005.43 9104.10 116 9093.26 8978.78 117 9176.40 9047.50 118 9130.11 9112.54 119 9083.21 9076.33 120 8829.45 9039.63 120 9034.99 8841.09 121 9185.72 9001.90 122 9409.54 9119.84 123 9143.54 9294.95 124 9098.31 9086.83 125 9372.81 9051.45 126 9394.28 9266.21 127 9296.49 9283.01 128 9065.08 9206.50 129 9220.04 9025.45 130 9235.30 9146.69 131 9309.55 9158.63 132 9225.02 9216.72 133 9109.60 9150.58

t 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178

Nilai Rupiah 9152.68 9429.71 10875.80 12174.40 10949.80 11354.50 11989.50 11615.00 10682.70 10314.70 10223.10 9915.47 10079.80 9670.49 9540.44 9455.22 9397.93 9364.69 9334.76 9114.53 9011.83 9162.54 9075.44 8951.70 9044.63 8922.11 8927.36 9035.14 8995.38 9057.84 8811.37 8709.12 8573.39 8535.81 8594.84 8504.66 8567.95 8809.94 8835.28 9169.74 9150.26 9005.36 9094.86 9184.77 9191.62

Nilai Dugaan 9060.28 9093.99 9310.73 10442.10 11458.20 10500.00 10826.70 11313.50 11020.50 10291.10 10003.20 9931.46 9690.79 9819.38 9499.12 9397.37 9330.69 9285.87 9259.86 9236.44 9064.14 8983.78 9101.70 9033.55 8936.74 9009.45 8913.59 8917.70 9002.02 8970.91 9019.78 8826.95 8746.95 8640.75 8611.35 8657.53 8586.98 8636.49 8825.83 9107.33 8845.65 9092.09 8978.72 9048.75 9119.09

43

t Nilai Rupiah Nilai Dugaan 179 9563.07 9124.45 180 9477.97 9415.07 181 9484.13 9348.49 182 9565.09 9353.31 183 9587.16 9416.65 184 9631.91 9433.92 185 9605.02 9468.93 186 9637.90 9447.89 187 9760.44 9473.62 188 9668.13 9569.49 189 9710.34 9497.27 190 9723.19 9530.30 191 9803.09 9540.35 192 9927.76 9602.86

MAPE

4.48037%

44

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 13 Maret 1993 dari pasangan Bapak Prof. Dr. Ahmad Husein Ritonga, M.Ag dan Ibu Dra. Mariatul Hasanah Harahap. Penulis merupakan anak ketiga dari lima bersaudara. Penulis menempuh pendidikan di MAN Cendekia Jambi. Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur UTM (Ujian Talenta Masuk) IPB pada tahun 2010. Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).