KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA AULIA RETNONINGTYAS

KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA

AULIA RETNONINGTYAS

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas NIM G54070075

ABSTRAK AULIA RETNONINGTYAS. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT. Model hidden Markov adalah model yang terdiri atas pasangan proses stokastik yaitu proses observasi dan faktor penyebab proses observasinya, di mana faktor penyebab observasinya tidak diamati secara langsung dan diasumsikan membentuk rantai Markov. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya merupakan model hidden Markov yang proses observasinya dipengaruhi oleh faktor penyebab kejadian saat ini dan satu waktu sebelumnya. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya dapat diaplikasikan untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika di mana nilai tukar rupiah sebagai proses observasinya dan faktor penyebabnya sebagai rantai Markov. Parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan metode iteratif Expectation Maximization (EM). Dengan menggunakan nilai awal yang diperoleh secara trial and error Santoso (2008) dapat memodelkan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan MAPE 14.58%. Pada tugas akhir ini nilai awal dibangkitkan secara terstruktur pada selang tertentu sehingga keakuratan model meningkat. MAPE yang diperoleh 4.13% dengan hanya satu kali iterasi. Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah

ABSTRACT AULIA RETNONINGTYAS. Numerical Study if the Previous Time Hidden Markov Model for the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT. Hidden Markov model is a model that consists of a pair stochastic processes, ie: the process of observation and the cause factors of the observation, where the cause factors of the observation are not observed directly and assumed to be a Markov chain. The previous time hidden Markov model is a hidden markov model that the observation process is influenced by current events and one previous time cause factors. The previous time hidden Markov model can be applied to the exchange rate of rupiah to US dollar, where the exchange rate of rupiah to US dollar is the observation and the contributing factor is a Markov chain. Parameters of the model are estimated using the maximum likelihood method and calculated using expectation maximization (EM) iterative algorithm. Using the initial value obtained by trial and error, Santoso (2008) was able to model the exchange rate of rupiah to US dollar with MAPE 14.58%. In this paper, the initial value is structuredly generated on a specific interval so that the accuracy of model increases. Retrieved MAPE is 4.13% with only one iteration. Key words: EM algorithm, hidden Markov model, MAPE, the exchange rate of Rupiah

KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA

AULIA RETNONINGTYAS

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya, sehingga karya ilmiah berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ini dapat diselesaikan. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada: 1. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, bimbingan, kesabaran serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini. 2. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan saran. 3. Dosen-dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di Departemen Matematika atas semua bantuan dan layanannya selama ini. 4. Mama, Papa, Tika dan Widy atas doa, dukungan, semangat, kesabaran dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis. Serta seluruh keluarga besar yang ada di Jakarta, Depok, Bogor dan Malang atas doa, dukungan dan kasih sayangnya. 5. Atih, Asti, Benz, Uci, Anggi, Je, Devi dan sahabat-sahabat tersayang yang ada di Malang, Surabaya dan Depok lainnya atas perhatian, semangat, dukungan dan doa yang selalu diberikan. 6. Deva, Sari, Della, Devi, Pandi, Dian, Rofi, Denda, Rizky, Mutia, Rachma, Sri, Ayung, Fajar, Imam, Lukman, Yogie dan semua teman-teman Matematika 44 lainnya, serta kakak-kakak dan adik-adik Matematika 42, 43, 45, 46, dan 47 atas dukungan dan doanya. 7. Teman-teman IPB dari departemen lainnya. 8. Semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

2

Peubah Acak dan Sebaran

3

Nilai Harapan

5

Rantai Markov

6

Algoritme Expectation Maximization (EM)

8

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

9

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA Model Hidden Markov Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DLLAR AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA

9 9 10 18

Data Input Nilai Tukar Rupiah

18

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

19

Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19 Hasil Progam

20

SIMPULAN

21

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

23

RIWAYAT HIDUP

46

DAFTAR GAMBAR 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan

19 20 21

DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti Lema 1 2 Bukti persamaan (13) sampai dengan (16) 3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum menggunakan software Mathematica 9.0 4 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan nilai dugaannya

23 24 37 43

PENDAHULUAN Latar Belakang Nilai tukar mata uang sering digunakan untuk mengukur level perekonomian suatu negara. Nilai tukar mata uang memegang peranan penting dalam perdagangan antar negara, di mana hampir sebagian besar negara-negara di dunia saat ini terlibat dalam aktivitas ekonomi pasar bebas. Bagi perusahaan investasi dan investor mancanegara, nilai tukar mata uang akan berdampak pada return dan portofolio investasinya. Salah satu nilai tukar mata uang yang berpengaruh di negara ini adalah nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika. Faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika antara lain perbedaan tingkat suku bunga, rasio ekspor dan impor, perbedaan tingkat inflasi serta kestabilan politik negara. Penting bagi pemerintah untuk mengetahui lebih dini perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika agar dapat mengantisipasi serta menentukan kebijakan ekonomi yang akan diambil selanjutnya. Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik yaitu proses observasi dan proses yang mempengaruhi terjadinya proses observasi yang diasumsikan membentuk rantai Markov dan diasumsikan tidak diamati. Model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter yaitu peluang awal, peluang transisi, dan peluang observasinya. Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dimodelkan dengan model hidden Markov jika proses yang memengaruhi proses observasinya diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. Dalam hal ini nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika sebagai proses observasinya dan faktorfaktor yang memengaruhi perubahannya sebagai proses yang memengaruhi proses observasinya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti yang dibahas pada karya ilmiah Santoso (2008). Pada model ini nilai tukar rupiah bergantung pada nilai tukar rupiah sebelumnya dan juga faktor penyebab perubahan nilai tukar pada saat ini dan satu waktu sebelumnya. Perhitungan numerik yang dilakukan oleh Santoso (2008) menggunakan nilai awal yang ditentukan secara trial and error yang menghasilkan galat minimum 0.2934 (0.0032%) dan galat maksimum 807.6963 (5.6773%). Pada tugas akhir ini akan dicari cara menentukan nilai awal yang lebih efisien sehingga diharapkan diperoleh galat yang lebih kecil. Perhitungan numerik yang dilakukan dalam karya ilmiah ini menggunakan software Mathematica 9.0. Kelebihan progam tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah untuk digunakan. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mendapatkan model hidden Markov satu waktu sebelumnya untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan nilai

2 awal yang lebih tepat sehingga modelnya lebih akurat jika dibandingkan dengan Santoso (2008).

TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilahistilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diketahui dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Ross 1996) Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . (Grimmet dan Stirzaker 2001) Medan-𝝈𝝈 Medan-𝜎𝜎 adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. ∅ ∈ ℱ, 2. Jika 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , … ∈ ℱ maka ⋃∞𝑖𝑖=1 𝐴𝐴𝑖𝑖 ∈ ℱ, dan 3. Jika 𝐴𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝐴𝐶𝐶 ∈ ℱ. (Ross 1996) Ukuran Peluang Misalkan ℱ adalah medan-𝜎𝜎 dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃𝑃: ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi: 1. 𝑃𝑃(∅) = 0, 𝑃𝑃(Ω) = 1, 2. Jika 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu 𝐴𝐴𝑖𝑖 ⋂ 𝐴𝐴𝑗𝑗 = ∅ untuk setiap pasangan 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗, maka 𝑃𝑃(⋃∞𝑖𝑖=1 𝐴𝐴𝑖𝑖 ) = ∑∞𝑖𝑖=1 𝑃𝑃 (𝐴𝐴𝑖𝑖 ). Pasangan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

Kontinu Absolut Jika 𝑣𝑣 dan μ merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ ) . Ukuran peluang 𝑣𝑣 dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang 𝜇𝜇 jika 𝜇𝜇(𝐴𝐴) = 0 maka 𝑣𝑣(𝐴𝐴) = 0, untuk setiap 𝐴𝐴 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑣𝑣 ≪ 𝜇𝜇. (Royden 1963)

3 Radon Nikodym Jika 𝑃𝑃 dan 𝑃𝑃� merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ ) dan 𝑃𝑃� ≪ 𝑃𝑃 , maka terdapat peubah acak taknegatif Δ sehingga 𝑃𝑃�(𝐶𝐶 ) = ∫𝑐𝑐 ∆𝑑𝑑𝑑𝑑 untuk semua 𝐶𝐶 ∈ ℱ.

Dinotasikan

𝑑𝑑 𝑃𝑃�

� = ∆. (Wong dan Hajek 1985)

𝑑𝑑𝑑𝑑 ℱ

Kejadian Saling Bebas Kejadian 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dikatakan saling bebas jika 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵). Secara umum, himpunan kejadian {𝐴𝐴𝑖𝑖 ; 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} dikatakan saling bebas jika 𝑃𝑃(⋂𝑖𝑖∈𝐽𝐽 𝐴𝐴𝑖𝑖 ) = ∏𝑖𝑖∈𝐽𝐽 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖 ) untuk setiap himpunan bagian berhingga 𝐽𝐽 dari 𝐼𝐼 . (Grimmet dan Stirzaker 2001) Peluang Bersyarat Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah ruang peluang dan 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℱ maka peluang A dengan 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵) syarat B didefinisikan sebagai 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = . (Grimmet dan Stirzaker 2001) 𝑃𝑃(𝐵𝐵)

Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Misalkan ℱ adalah medan-𝜎𝜎 dari Ω. Peubah acak X merupakan fungsi 𝑋𝑋: 𝛺𝛺 → ℝ di mana {𝜔𝜔 𝜖𝜖 𝛺𝛺 ∶ 𝑋𝑋 (𝜔𝜔) ≤ 𝑥𝑥 } 𝜖𝜖 ℱ untuk setiap 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℝ. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋𝑋 adalah suatu fungsi 𝐹𝐹 ∶ ℝ → [0,1] di mana 𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥 ). (Grimmet dan Stirzaker 2001)

Peubah Acak Diskret Misalkan Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan-σ dari Ω dan 𝑆𝑆 adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi 𝑋𝑋 ∶ Ω → S disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat ∀ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑆𝑆 berlaku {𝜔𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋𝑋(𝜔𝜔) ∈ 𝐴𝐴} ∈ ℱ. (Ross 1996)

Fungsi Massa Peluang Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah ruang peluang dan 𝑆𝑆 adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋𝑋 adalah fungsi 𝑝𝑝 ∶ 𝑆𝑆 → [0,1] didefinisikan oleh 𝑝𝑝𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 ), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆.(Grimmet dan Stirzaker 2001)

Fungsi Massa Peluang Bersama Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah peluang dan S adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi 𝑓𝑓: 𝑆𝑆 × 𝑆𝑆 → [0,1] yang didefinisikan oleh 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃 (𝑋𝑋 = 𝑥𝑥, 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦), ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑆𝑆. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

4 Fungsi Massa Marginal Misalkan 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) adalah fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌. Misalkan 𝐴𝐴 adalah himpunan nilai yang mungkin dari 𝑋𝑋, dan 𝐵𝐵 adalah himpunan nilai yang mungkin dari 𝑌𝑌. Selanjutnya fungsi 𝑝𝑝𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = ∑𝑦𝑦 ∈𝐵𝐵 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan 𝑝𝑝𝑌𝑌 (𝑦𝑦) = ∑𝑥𝑥 ∈𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) masing-masing disebut fungsi massa marginal dari 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌. (Ross 1996)

Fungsi Massa Peluang Bersyarat Jika 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 merupakan peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang bersyarat dari 𝑋𝑋 jika diberikan 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦, terdefinisi untuk setiap 𝑦𝑦 sedemikian 𝑃𝑃(𝑋𝑋=𝑥𝑥,𝑌𝑌=𝑦𝑦 ) sehingga𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 𝑦𝑦) > 0adalah 𝑝𝑝𝑋𝑋|𝑌𝑌 (𝑥𝑥|𝑦𝑦) = .(Ross 1996) 𝑃𝑃(𝑌𝑌=𝑦𝑦 )

Peubah Acak Kontinu Peubah acak 𝑋𝑋 disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat 𝑥𝑥 dinyatakan sebagai 𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑 untuk suatu fungsi 𝑓𝑓: ℝ → (0, ∞) yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑋𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Ross 1996) Fungsi Kepekatan Peluang Bersama Misalkan X dan Y peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah 𝑓𝑓𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

𝜕𝜕 2 𝐹𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

.(Grimmet dan Stirzaker 2001)

Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal Misalkan X dan Y peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran 𝐹𝐹 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan fungsi kepekatan peluang bersama 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut ∞

𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ ∞

𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑. −∞

(Ross 1996)

Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥,𝑦𝑦 ) adalah 𝑓𝑓𝑋𝑋|𝑌𝑌 (𝑥𝑥|𝑦𝑦) = 𝑋𝑋𝑋𝑋 (𝑦𝑦) . (Grimmet dan Stirzaker 2001) 𝑓𝑓𝑌𝑌

5 Nilai Harapan Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑝𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 ) maka nilai harapan dari X adalah 𝐸𝐸 [𝑋𝑋] = ∑ 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑋𝑋 (𝑥𝑥) asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak. (Hogg and Craig 2014) Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥 ) ∞ maka nilai harapan dari X adalah 𝐸𝐸 [𝑋𝑋] = ∫−∞ 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑 asalkan integralnya ada. (Hogg and Craig 2014) Nilai Harapan Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑓𝑋𝑋|𝑌𝑌 (𝑥𝑥|𝑦𝑦) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦, maka nilai harapan dari ∞ X dengan syarat 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦 adalah 𝐸𝐸 [𝑋𝑋|𝑌𝑌 = 𝑦𝑦] = ∫−∞ 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑋𝑋 |𝑌𝑌 (𝑥𝑥|𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑. (Hogg dan Craig 2014) Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1 𝑥𝑥 Jika f kontinu pada [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], maka fungsi g didefinisikan oleh g(𝑥𝑥 ) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 adalah kontinu pada [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) dan g′(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ). (Stewart 1998)

Himpunan dan Fungsi Konveks Misalkan 𝑆𝑆 ⊂ ℝ𝑁𝑁 adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua 𝑥𝑥, 𝑥𝑥′ ∈ 𝑆𝑆 dan 𝜆𝜆 ∈ [0,1] maka (1 − 𝜆𝜆)𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜆𝜆′ ∈ 𝑆𝑆 . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan 𝑓𝑓�(1 − 𝜆𝜆)𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜆𝜆′� ≤ (1 − 𝜆𝜆)𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) + 𝜆𝜆𝜆𝜆(𝑥𝑥′). (Osborne 1997) Fungsi Konveks Misalkan f memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika ∇2 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆 dan merupakan strictly convex jika ∇2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆. (Osborne 1997) Ketaksamaan Jensen Misalkan 𝑋𝑋 adalah peubah acak dengan 𝐸𝐸 [𝑋𝑋]berhingga dan g (𝑥𝑥 ) adalah fungsi konveks. Maka 𝐸𝐸 [g(𝑋𝑋)] ≥ g(𝐸𝐸 [𝑋𝑋]). (Krantz 1999)

6 Rantai Markov Ruang State Misalkan 𝑄𝑄 ⊂ ℝ merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝑄𝑄 disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Proses Stokastik Proses stokastik 𝑆𝑆 = {𝑆𝑆𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 𝜖𝜖 𝑇𝑇} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, St adalah suatu peubah acak. (Ross 1996) Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Rantai Markov dengan Waktu Diskret Proses stokastik {𝑆𝑆𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 = 0,1,2, … } , dengan ruang state {1,2,3, … , 𝑁𝑁} , disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {𝑡𝑡 = 0,1,2, … , 𝑇𝑇} berlaku 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑡𝑡−2 = 𝑖𝑖𝑡𝑡−1 ) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 ) = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖

untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑖𝑖0 , 𝑖𝑖1 , 𝑖𝑖2 , … , 𝑖𝑖𝑡𝑡−1 , 𝑖𝑖𝑡𝑡 , 𝑗𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁}. (Ross 1996) Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini 𝑆𝑆𝑡𝑡 dengan syarat state yang lalu 𝑆𝑆0 , 𝑆𝑆1 , 𝑆𝑆2 , … , 𝑆𝑆𝑡𝑡−2 dan state sebelumnya 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property). Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁𝑁. Nilai dari 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 menyatakan peluang bahwa, jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka 1. 0 ≤ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 1, untuk 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁}, dan 2. ∑𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, untuk 𝑖𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁 }. Peluang transisi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai matriks transisi. 𝑝𝑝11 𝑝𝑝21 ⋯ 𝑝𝑝𝑁𝑁1 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋯ 𝑝𝑝 𝐏𝐏 = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑁𝑁×𝑁𝑁 = � 12⋮ 22⋮ ⋮ ⋮𝑁𝑁1 � 𝑝𝑝1𝑁𝑁 𝑝𝑝2𝑁𝑁 ⋯ 𝑝𝑝𝑁𝑁𝑁𝑁

dengan j menyatakan baris dan i menyatakan kolom dari matriks P. Terakses Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state (𝑘𝑘) awal adalah i dinotasikan dengan 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 . Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi ∶ 𝑖𝑖 → 𝑗𝑗), jika minimal ada sebuah bilangan bulat 𝑘𝑘 ≥ 0 sehingga 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) > 0 (𝑘𝑘)

di mana 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i. (Ross 1996)

7

Kelas State Kelas state dari suatu rantai Markov, adalah suatu himpunan takkosong 𝑆𝑆 sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari 𝑆𝑆 berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota 𝑆𝑆 yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari 𝑆𝑆. (Ross 1996) Rantai Markov Tak Tereduksi Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state (satu gugus tertutup state), yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 1996) First-Passage Time Probability (𝑛𝑛 ) 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap 𝑛𝑛 = 1,2,3, … (𝑛𝑛 ) 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑗𝑗, 𝑋𝑋𝑘𝑘 ≠ 𝑗𝑗 untuk semua 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 − 1|𝑋𝑋0 = 𝑖𝑖 ) (𝑛𝑛 )

𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }, dan 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖

= 0 untuk semua 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk (𝑛𝑛 )

setiap 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }, didefinisikan 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∑∞ 𝑛𝑛 =1 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 . (Ross 1996)

Recurrent dan Transient State i disebut recurrent jika 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, dan disebut transient jika 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 < 1. (Ross 1996) Reccurent dan Transient (𝑛𝑛 ) State i adalah berulang (recurrent) jika ∑∞ 𝑛𝑛 =0 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∞. (Ross 1996)

Periode, Periodik, dan Aperiodik (𝑛𝑛 ) 1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisior) bagi n sehingga (𝑛𝑛 ) 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0. 2. Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode ≥ 2 disebut periodik. (Ross 1996)

Positive Recurrent dan Null Recurrent Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996)

Ergodic Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross 1996)

8

Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi (𝑛𝑛 ) Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim𝑛𝑛→∞ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 ada dan nilainya tak tergantung dari i. (𝑛𝑛 ) 𝑗𝑗 ≥ 1. 𝜋𝜋𝑗𝑗 = lim 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑛𝑛→∞

𝜋𝜋𝑗𝑗 adalah solusi unik tak negatif dari

𝑁𝑁

𝜋𝜋𝑗𝑗 = � 𝜋𝜋𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

� 𝜋𝜋𝑗𝑗 = 1. 𝑗𝑗 =1

(Ross 1996)

Vektor Peluang Steady State Vektor peluang 𝜋𝜋 = (𝜋𝜋1 , 𝜋𝜋2 , 𝜋𝜋3 , … , 𝜋𝜋𝑁𝑁 ) , yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … , 𝑁𝑁 untuk 𝑛𝑛 → ∞ di mana 𝑁𝑁

𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 )𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

= � 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖=1

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumlah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stationer, atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan. (Ross 1996)

Algoritme Expectation Maximization (EM) Misalkan {𝑃𝑃𝜃𝜃 , 𝜃𝜃 ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi ( pada Ω, ℱ ) dan kontinu absolut terhadap 𝑃𝑃0 . Misalkan 𝒴𝒴 ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi 𝒴𝒴 adalah 𝑑𝑑𝑃𝑃 𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝐸𝐸0 � 𝑑𝑑 𝑃𝑃𝜃𝜃 |𝒴𝒴�. 0

Penduga Maximum Likelihood (MLE) didefinisikan oleh 𝜃𝜃� ∈ arg max 𝐿𝐿(𝑥𝑥 ). 𝜃𝜃 ∈𝛩𝛩

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu diperlukan suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritme Expectation Maximization (EM). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah: 1. Tentukan nilai awal parameter 𝜃𝜃�𝑘𝑘 dengan 𝑘𝑘 = 0, 𝑑𝑑 𝑃𝑃 2. Tentukan 𝜃𝜃 ∗ = 𝜃𝜃�𝑘𝑘 dan hitung 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃 ∗ ) dengan 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃 ∗ ) = 𝐸𝐸𝜃𝜃 ∗ �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜃𝜃 |𝒴𝒴�, 𝑑𝑑 𝑃𝑃 𝜃𝜃 ∗

9 Cari 𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 ∈ arg max 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃 ∗ ), Ganti 𝑘𝑘 dengan 𝑘𝑘 + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih 𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 dan 𝜃𝜃�𝑘𝑘 kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. 1 Misalkan g ( x ) = log   , karena turunan kedua dari 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) selalu positif x 1 ∇2 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = ∇2 log � � 𝑥𝑥 1 = 2 > 0, ∀𝑥𝑥 > 0 𝑥𝑥 1 maka 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) merupakan fungsi konveks. Karena log � � merupakan fungsi 𝑥𝑥 konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan �𝜃𝜃�𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ≥ 0�, yang merupakan fungsi Likelihood yang takturun yaitu log 𝐿𝐿�𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 � − log 𝐿𝐿𝜃𝜃�𝑘𝑘 ≥ 𝒬𝒬�𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 , 𝜃𝜃�𝑘𝑘 +1 �. ∗ Bentuk 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃 ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat. (Elliot et al. 1995) 3. 4.

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut 𝑛𝑛 100% 𝐴𝐴𝑡𝑡 − 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = �� � 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑡𝑡 =1

dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, 𝐴𝐴𝑡𝑡 menyatakan nilai yang sebenarnya, dan 𝐹𝐹𝑡𝑡 menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)

MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA Model Hidden Markov Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {𝑆𝑆𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡 } . {𝑆𝑆𝑡𝑡 } dengan state {1,2, … , 𝑁𝑁} adalah proses penyebab terjadinya {𝑌𝑌𝑡𝑡 } yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. {𝑌𝑌𝑡𝑡 } adalah proses observasinya. Karakteristik {𝑆𝑆𝑡𝑡 } hanya bisa diamati melalui proses observasinya. Pada saat 𝑆𝑆𝑡𝑡 berada pada state j (𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗), proses yang diamati 𝑌𝑌𝑡𝑡 menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇𝜇𝑗𝑗 dan ragam 𝜎𝜎𝑗𝑗2 . Fungsi kerapatan peluang bersyarat dari 𝑌𝑌𝑡𝑡 dengan syarat 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 adalah

10 2

−�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑗𝑗 � � 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 ) = exp � 2𝜎𝜎𝑗𝑗2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑗𝑗 1

(1)

dengan 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑁𝑁. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati 𝑆𝑆𝑡𝑡 berada pada state j adalah 𝑃𝑃 (𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 ) = 𝜋𝜋𝑗𝑗

(2)

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 )

(3)

dengan 𝑗𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁} . Karena {𝑆𝑆𝑡𝑡 } rantai Markov maka matriks peluang transisinya 𝑃𝑃 = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑁𝑁×𝑁𝑁

dengan 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁}. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama 𝑦𝑦𝑡𝑡 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, yaitu 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 ) = 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 )𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 ) 2

−�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑗𝑗 � �. = exp � 2𝜎𝜎𝑗𝑗2 𝜎𝜎𝑗𝑗 √2𝜋𝜋 𝜋𝜋𝑗𝑗

(4)

Fungsi kerapatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑌𝑡𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu 𝑁𝑁

𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 ) = � 𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑖𝑖 ).

(5)

𝑖𝑖=1

Dari persamaan (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh 𝑁𝑁 𝑓𝑓 (𝑦𝑦1 , … , 𝑦𝑦𝑇𝑇 ) = ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖1 =1 … ∑𝑖𝑖𝑇𝑇 =1 𝜋𝜋𝑖𝑖1 𝑝𝑝𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 … 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑇𝑇−1 𝑖𝑖𝑇𝑇 𝑓𝑓 (𝑦𝑦1 , 𝑆𝑆1 = 𝑖𝑖1 ) … 𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑇𝑇 , 𝑆𝑆𝑇𝑇 = 𝑖𝑖 𝑇𝑇 ). (6)

Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter 𝜃𝜃 = (𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋, P), 𝜇𝜇 = (𝜇𝜇1 , 𝜇𝜇2 , … , 𝜇𝜇𝑁𝑁 ), ragam 𝜎𝜎 = (𝜎𝜎12 , 𝜎𝜎22 , … , 𝜎𝜎𝑁𝑁2 ), peluang 𝜋𝜋 = (𝜋𝜋1 , 𝜋𝜋2 , … , 𝜋𝜋𝑁𝑁 ) dan P = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 � . 𝑁𝑁×𝑁𝑁

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Pada bab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya (Hamilton 1996) sebagai berikut 𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙 �𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆∗𝑡𝑡−1 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡

(7)

di mana 𝜀𝜀𝑡𝑡 ~𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎 2 ) bebas stokastik identik, {𝑌𝑌𝑡𝑡 } proses yang diamati dan bernilai skalar, {𝑆𝑆𝑡𝑡∗ } rantai Markov dengan ruang state 𝑆𝑆 ∗ = {1,2} dan matriks ∗ 𝑝𝑝∗ 𝑝𝑝21 ∗ ∗ ∗ transisi 𝐏𝐏 ∗ = � 11 ∗ ∗ � di mana 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇1 , 𝜇𝜇2 , dan 𝜙𝜙 adalah 𝑝𝑝12 𝑝𝑝22 konstanta real. ∗ Karena 𝑌𝑌𝑡𝑡 tidak hanya bergantung kepada 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ tetapi juga pada 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 , maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru 𝑆𝑆𝑡𝑡 di mana

11 𝑆𝑆𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑡𝑡

= 1 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 2 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 3 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 4 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗

∗ = 1 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 ∗ = 2 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 ∗ = 1 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 ∗ = 2 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1

=1 =1 =2 = 2.

(8)

Lemma 1 {𝑆𝑆𝑡𝑡 } adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi ∗ ∗ 𝑝𝑝11 0 𝑝𝑝11 0 ∗ ∗ 𝑝𝑝 0 𝑝𝑝12 0 𝐏𝐏 = � 12 ∗ ∗ �. 0 𝑝𝑝21 0 𝑝𝑝21 ∗ ∗ 0 𝑝𝑝22 0 𝑝𝑝22 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

Selanjutnya, karena 𝜀𝜀𝑡𝑡 ~ 𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎 2 ) bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi 𝜀𝜀𝑡𝑡 𝐹𝐹𝜀𝜀 𝑡𝑡 (𝑦𝑦𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃(𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦𝑡𝑡

= �

−∞ 𝑦𝑦𝑡𝑡

= � −∞

−(𝜀𝜀𝑡𝑡 − 0)2 exp � � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 2𝜎𝜎 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎 1

−(𝜀𝜀𝑡𝑡 )2 exp � � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 . 2𝜎𝜎 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎 1

Berdasarkan persamaan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi {𝑌𝑌𝑡𝑡 } : 𝐹𝐹𝑌𝑌𝑡𝑡 (𝑦𝑦𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃(𝑌𝑌𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃�𝜙𝜙�𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 � + 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ + 𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡 � = 𝑃𝑃 �𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ − 𝜙𝜙�𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 ��

Misalkan maka

dan

=

𝑦𝑦𝑡𝑡 −𝜇𝜇 𝑆𝑆 ∗ −𝜙𝜙 �𝑌𝑌𝑡𝑡−1 −𝜇𝜇 𝑆𝑆 ∗ 𝑡𝑡

𝑡𝑡−1

�

�

1

√2𝜋𝜋𝜎𝜎

−∞

exp �

−(𝜀𝜀𝑡𝑡 )2 � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 . 2𝜎𝜎 2

𝑣𝑣 = 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ − 𝜙𝜙�𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 �, 𝑣𝑣

𝐹𝐹𝑌𝑌𝑡𝑡 (𝑦𝑦𝑡𝑡 ) = � −∞

−(𝜀𝜀𝑡𝑡 )2 exp � � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 2𝜎𝜎 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎 1

(9)

12 𝜕𝜕 𝐹𝐹 (𝑦𝑦 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑌𝑌𝑡𝑡 𝑡𝑡 −(𝑣𝑣)2 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 exp � � = 2𝜎𝜎 2 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑡𝑡 √2𝜋𝜋𝜎𝜎

𝑓𝑓𝑌𝑌𝑡𝑡 (𝑦𝑦𝑡𝑡 ) =

=

=

1

√2𝜋𝜋𝜎𝜎 1

√2𝜋𝜋𝜎𝜎

exp � exp �

− �𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ − 𝜙𝜙 �𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆∗𝑡𝑡−1 �� 2𝜎𝜎 2

− �𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ − 𝜙𝜙 �𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆∗𝑡𝑡−1 �� 2𝜎𝜎 2

2

2

�

(10)

�.

Misalkan 𝒴𝒴𝑡𝑡 adalah medan-𝛔𝛔 yang dibangun oleh 𝑌𝑌1 , 𝑌𝑌2 , 𝑌𝑌3 , … , 𝑌𝑌𝑡𝑡 . Karena 𝑆𝑆𝑡𝑡 merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kerapatan peluang bagi 𝑌𝑌𝑡𝑡 . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1) dilambangkan dengan 𝜂𝜂𝑡𝑡 , sehingga diperoleh 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) ⎡ ⎤ 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ ⎢ 𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎢𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ ⎣𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎦ 2

Misalkan

⎡ 1 exp �−�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1 − 𝜙𝜙(𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇1 )� �⎤ ⎢√2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎥ 2𝜎𝜎 2 ⎢ 2 ⎥ −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇2 − 𝜙𝜙(𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇1 )� ⎥ ⎢ 1 �⎥ ⎢√2𝜋𝜋𝜎𝜎 exp � 2𝜎𝜎 2 ⎥ =⎢ 2 . ⎢ 1 −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1 − 𝜙𝜙 (𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇2 )� ⎥ �⎥ exp � ⎢ 2𝜎𝜎 2 ⎢√2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎥ 2 ⎥ ⎢ 1 −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇2 − 𝜙𝜙(𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇2 )� ⎢ �⎥ exp � 2𝜎𝜎 2 ⎣√2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎦ (1)

(2)

(3)

(4)

𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 = �𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 �

𝑇𝑇

melambangkan

(11)

vektor

(𝑗𝑗 ) (4 × 1) di mana 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 pada vektor merepresentasikan 𝑃𝑃{𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 } dan ⨂ melambangkan perkalian elemen per elemen, maka

𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 ⎡ 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎢ ⎢𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 ⎣𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 ⎡ 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 =⎢ ⎢𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 ⎣𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡

= 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) ⎤ ⎤ ⎡ = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ ⎢𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ ⨂ = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ ⎢𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎦ ⎣𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎦ = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) ⎤ = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ . = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎥ = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )⎦

(12)

Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis

𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )

sehingga diperoleh

(13)

13 4

𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) = � 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑗𝑗 =1 4

= � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )

(14)

= 𝟏𝟏′ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 �

(15)

𝑗𝑗 =1

= 𝑃𝑃 (𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )

di mana 𝟏𝟏′ = [1 1 1 1]. Berdasarkan persamaan (14) dan (15) maka dapat diperoleh 𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 � 𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 � 𝑃𝑃 (𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) = 𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑃𝑃(𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 � = 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) = 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 , 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ) = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 � = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 )

(16)

sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ) = 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 =

𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 =𝑗𝑗 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 � 𝑓𝑓 (𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 )

𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 𝟏𝟏′ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 �

(17)

(𝑗𝑗 ) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡 = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡 ) 4

= � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡 )𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ) 𝑗𝑗 =1 4

(𝑗𝑗 )

= � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡 )𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 𝑗𝑗 =1 4

(𝑗𝑗 ) = � 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 𝑗𝑗 =1

𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡

∗ ̂ (1) ∗ ̂ (3) ⎡𝑝𝑝11 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡 + 𝑝𝑝11 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎤ ⎢𝑝𝑝∗ 𝜉𝜉̂(1) + 𝑝𝑝∗ 𝜉𝜉̂ (3) ⎥ 12 𝑡𝑡|𝑡𝑡 12 𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎥ =⎢ (2) ∗ ∗ ̂ (4) ⎥ ⎢𝑝𝑝21 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 + 𝑝𝑝21 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎢ ∗ (2) ⎥ ∗ (4) ⎣𝑝𝑝22 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 + 𝑝𝑝22 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎦

14

=�

∗ 𝑝𝑝11 ∗ 𝑝𝑝12

0 0

= 𝐏𝐏𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡

0 0 ∗ 𝑝𝑝21 ∗ 𝑝𝑝22

(1) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎤ ⎡ 0 ⎢𝜉𝜉̂ (2) ⎥ 0 ⎢ 𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎥ ∗ � (3) 𝑝𝑝21 ⎢𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎥ ∗ 𝑝𝑝22 ⎢ (4) ⎥ ⎣𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⎦

∗ 𝑝𝑝11 ∗ 𝑝𝑝12

0 0

𝜉𝜉̂𝑡𝑡+𝑚𝑚 |𝑡𝑡 = 𝐏𝐏m 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 .

(18)

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal ̂ bagi 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 adalah dengan membuat 𝜉𝜉̂1|0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat 𝜋𝜋 = [𝜋𝜋1 𝜋𝜋2 𝜋𝜋3 𝜋𝜋4 ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu 𝜋𝜋 = 𝐏𝐏𝜋𝜋 𝜋𝜋1 + 𝜋𝜋2 + 𝜋𝜋3 + 𝜋𝜋4 = 1. Penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃𝜃 diperoleh dengan memaksimumkan 𝑇𝑇

ℒ(𝜃𝜃) = � log 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃) 𝑡𝑡=1

dengan membuat turunan pertama dari log-likehood terhadap parameter θ sama dengan nol, maka diperoleh 𝜇𝜇̂ 1 = �

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1�𝐵𝐵�1 −

𝜇𝜇̂ 2 = � 𝜙𝜙� = �

di mana 𝑇𝑇

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1�𝐶𝐶

+

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1[(𝑦𝑦𝑡𝑡

𝜎𝜎� 2 = �

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1[𝐵𝐵

1 � × 𝑄𝑄 � 𝜙𝜙� − 𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙��𝜙𝜙� + 𝐶𝐶𝜙𝜙� 2 + 𝐷𝐷�

𝐷𝐷𝜙𝜙� 2

− 𝜇𝜇̂ 1

(19)

1

� × 𝑅𝑅 + 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙� �𝜙𝜙��

)2 (𝐵𝐵

(20)

1 � × 𝑆𝑆 + 𝐶𝐶 ) + (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )2 (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸 )]

(21)

1 � × 𝑈𝑈 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 + 𝐸𝐸]

(22)

𝑄𝑄 = ��𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙� ��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙� 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � − 𝐶𝐶𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � + 𝐷𝐷�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂ 2 �� 𝑡𝑡=1 𝑇𝑇

𝑅𝑅 = ��𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � + 𝐷𝐷𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 − 𝜙𝜙� 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � + 𝐶𝐶�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙� 𝜇𝜇̂ 1 �� 𝑡𝑡=1

𝑇𝑇

𝑆𝑆 = ��(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 )�𝐵𝐵(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) + 𝐷𝐷(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� 𝑡𝑡=1 𝑇𝑇

+ (𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 )�𝐶𝐶 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 ) + 𝐸𝐸 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )�� 2

2

𝑈𝑈 = � �𝐵𝐵�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )� + 𝐶𝐶�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )� 𝑡𝑡=1

2

+ 𝐷𝐷�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )�

2

+ 𝐸𝐸�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� �.

15 Bukti dapat dilihat pada lampiran 2. Karena persamaan (19) sampai (22) taklinear, maka untuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritma iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta input data (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , 𝑦𝑦3 , … , 𝑦𝑦𝑇𝑇 ). 2. Untuk 𝑚𝑚 = 0 dan matriks transisi � (𝐦𝐦) = 𝐏𝐏 � (𝟎𝟎) 𝐏𝐏 ∗ ∗ 0 𝑝𝑝11 0 𝑝𝑝11 ∗ ∗ 𝑝𝑝 0 𝑝𝑝12 0 = � 12 ∗ ∗ �, 0 𝑝𝑝21 0 𝑝𝑝21 ∗ ∗ 0 𝑝𝑝22 0 𝑝𝑝22 beri nilai awal bagi 𝜃𝜃� yang dilambangkan dengan 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) = �𝜇𝜇̂ 1 , 𝜇𝜇̂ 2 , 𝜙𝜙�, 𝜎𝜎� 2 �. 3. Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi 𝑦𝑦𝑇𝑇 untuk setiap 𝑡𝑡 = 1,2, … , 𝑇𝑇 dengan cara 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � ⎡ ⎤ (𝑚𝑚 ) � � |𝑆𝑆 = 2, 𝒴𝒴 ; 𝜃𝜃 𝑓𝑓�𝑦𝑦 ⎢ ⎥ 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡−1 𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎢ (𝑚𝑚 ) �⎥ � 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃 ⎢ ⎥ (𝑚𝑚 ) � � 𝑓𝑓�𝑦𝑦 |𝑆𝑆 = 4, 𝒴𝒴 ; 𝜃𝜃 ⎣ ⎦ 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡−1 2 ⎡ 1 exp �−�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1 − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇1 )� � ⎤ ⎢ √2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎥ 2𝜎𝜎 2 ⎢ 2 ⎥ ( )� −�𝑦𝑦 1 − 𝜇𝜇 − 𝜙𝜙 𝑦𝑦 − 𝜇𝜇 ⎢ ⎥ 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡−1 1 �⎥ 2 ⎢ √2𝜋𝜋𝜎𝜎 exp � 2𝜎𝜎 ⎥. =⎢ 2 ⎢ 1 −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1 − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇2 )� ⎥ �⎥ exp � ⎢ 2𝜎𝜎 2 ⎢√2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎥ 2 ⎢ 1 −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇2 − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇2 )� ⎥ ⎢ �⎥ exp � 2 2𝜎𝜎 √2𝜋𝜋𝜎𝜎 ⎣ ⎦ 4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui a. Tentukan nilai awal bagi 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 yang dilambangkan dengan 𝜉𝜉̂1|0 , b. Beri nilai awal i = 1, c. Untuk t = i, cari nilai dari, 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � = 𝟏𝟏′ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 �

= 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �

2

−�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )� exp � � 2𝜎𝜎� 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎� 1

2

−�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )� +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � exp � � 2𝜎𝜎� 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎� 1

16 2

−�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � exp � � 2𝜎𝜎� 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎� 1

2

−�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃 exp � � 2𝜎𝜎� 2 √2𝜋𝜋𝜎𝜎� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � ⎡ ⎤ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 � ⎢𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �⎥ 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡 = ⎢ = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �⎥ 𝟏𝟏′ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 � ⎢ ⎥ ⎣𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �⎦ 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � ⎡ ⎤ (𝑚𝑚 ) � � ⎢𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃 ⎥ 𝜉𝜉𝑡𝑡+1|𝑡𝑡 = ⎢ = 𝐏𝐏 ⋅ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 (𝑚𝑚 ) �⎥ � 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃 ⎢ ⎥ ⎣𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �⎦ 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1. d. Ulangi mulai dari langkah (c) stop jika t = T. Lanjutkan ke 5. 5. Misalkan 1 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 1 𝐶𝐶 = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 1 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 𝐷𝐷 = 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 1 𝐸𝐸 = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) �𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚 ) � cari nilai dari 1 𝜇𝜇̂ 1 = 𝑇𝑇 ∑𝑡𝑡=1�𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙� �𝜙𝜙� + 𝐶𝐶𝜙𝜙� 2 + 𝐷𝐷� � (𝑚𝑚 ) �

1

𝑇𝑇

× ��𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � − 𝐶𝐶𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 − 𝜙𝜙� 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � 𝑡𝑡=1

𝜇𝜇̂ 2 =

+ 𝐷𝐷�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂ 2 �� ∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1 �𝐶𝐶

+

𝐷𝐷𝜙𝜙� 2 𝑇𝑇

1 + 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙� � − 𝐸𝐸�𝜙𝜙� − 𝜙𝜙� 2 ��

× ��𝐶𝐶�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙� 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂ 1 � + 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙� 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 � 𝑡𝑡=1

+ 𝐷𝐷𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 ��

17 𝜙𝜙� =

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1[(𝑦𝑦𝑡𝑡−1

1 − 𝜇𝜇̂ 1 )2 (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 ) + (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )2 (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸 )] 𝑇𝑇

× ��(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 )�𝐵𝐵(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 ) + 𝐷𝐷(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� 𝑡𝑡=1

𝜎𝜎 2 =

+ (𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 )�𝐶𝐶 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 ) + 𝐸𝐸 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )��

1 ∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1 [𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 + 𝐸𝐸 ] 𝑇𝑇

× � �𝐵𝐵�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )� 𝑡𝑡 =1

2

2

+ 𝐶𝐶�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 1 )�

2

+ 𝐷𝐷�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 1 ) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )�

2

+ 𝐸𝐸�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂ 2 ) − 𝜙𝜙 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂ 2 )� �.

6. Cari P yang baru, yaitu (𝑗𝑗 ) (𝑗𝑗 ) (𝑗𝑗 ) (𝑗𝑗 ) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑇𝑇 = 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 ⨀ �𝐏𝐏 ′ �𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑇𝑇 (÷)𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡 �� 𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 =

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=2 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃) ∑𝑇𝑇𝑡𝑡=2 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃)

𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑇𝑇 ; 𝜃𝜃) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃)𝑃𝑃 (𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑇𝑇 ; 𝜃𝜃) ≈ 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃)𝑃𝑃 (𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑇𝑇 ; 𝜃𝜃)𝑃𝑃 (𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖; 𝜃𝜃) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡 ; 𝜃𝜃) (𝑗𝑗 ) (𝑖𝑖) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑇𝑇 × 𝜉𝜉̂𝑡𝑡−1|𝑡𝑡−1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = (𝑗𝑗 ) 𝜉𝜉̂ 𝑡𝑡|𝑡𝑡

𝑁𝑁

𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑇𝑇 ; 𝜃𝜃) = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑇𝑇 ; 𝜃𝜃) 𝑗𝑗 =1

𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 =

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=2

(𝑗𝑗 ) (𝑖𝑖) 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑇𝑇 ×𝜉𝜉�𝑡𝑡 −1|𝑡𝑡−1 ×𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖

∑𝑇𝑇𝑡𝑡=2 ∑𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1

(𝑗𝑗 ) 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑡𝑡

(𝑗𝑗 ) (𝑖𝑖) 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑇𝑇 ×𝜉𝜉�𝑡𝑡 −1|𝑡𝑡−1 ×𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑗𝑗 ) 𝜉𝜉�𝑡𝑡 |𝑡𝑡

(Kim 1994)

.

(Hamilton 1996) 7. Untuk 𝑚𝑚 = 1 , ulangi mulai dari langkah 2 stop jika 𝑚𝑚 = 𝑇𝑇 . Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang.

18 E�𝑦𝑦𝑡𝑡 |S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) � = E�𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ |S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) � ∗ � + 𝜇𝜇𝑆𝑆 ∗ = 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1 𝑡𝑡 𝑌𝑌�𝑡𝑡 = E�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) �

= � 𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) �𝑑𝑑𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑁𝑁

= � 𝑦𝑦𝑡𝑡 � 𝑃𝑃�S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) �𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡 |S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) �𝑑𝑑𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑁𝑁

𝑗𝑗 =1

(𝑗𝑗 )

= � 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 ⋅ E�𝑦𝑦𝑡𝑡 |S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1 ; 𝜃𝜃� (𝑇𝑇) �. 𝑗𝑗 =1

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika beserta kajian numeriknya. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan nilai tukar rupiah dan yang terakhir kajian numeriknya.

Data Input Nilai Tukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulannya. Data tersebut diambil dari laman www.rba.gov.au. Data diambil dengan selang waktu antara bulan Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (𝑦𝑦𝑡𝑡 ). Data yang diduga sebanyak 192, data dari Juli 1997 hingga Juni 20013. Grafik data disajikan pada Gambar 1.

19 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 50

100

150

Gambar 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Model yang digunakan adalah model hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti pada hal 10 yaitu: 𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙�𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 . Berdasarkan model di atas nilai tukar rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar rupiah satu waktu sebelumnya. Pada karya 9182.96 �, 𝜙𝜙 = 0.840756 ilmiah Santoso (2008) nilai awal yang digunakan 𝜇𝜇 = � 9126.66 dan 𝜎𝜎 = 356984. MAPE yang dihasilkan dari nilai awal secara trial and error yang digunakan sebesar 14.58%. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan pada model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%.

Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Penentuan Nilai Awal 𝝁𝝁𝟏𝟏 , 𝝁𝝁𝟐𝟐 dan 𝝓𝝓 Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga Mei 2013 (𝑦𝑦𝑡𝑡−1 ) dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 (𝑦𝑦𝑡𝑡 ) . Kedua bagian data tersebut dicari nilai rataannya. Data pertama didapatkan nilai rataannya sebesar 9070.89 (rat1) dan data kedua didapatkan nilai rataannya sebesar 9109.94 (rat2). Nilai awal untuk parameter 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2 yang digunakan dibangkitkan menggunakan sebaran di sekitar rataan nilai datanya yaitu [9000,9200]. Nilai rataan kedua data yang didapatkan kemudian menjadi selang nilai acuan untuk membangkitkan parameter 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2 . Pembangkitan nilai awal dengan satu kali iterasi untuk 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2 nilai yang digunakan adalah 9124.89 dan 9198.76.

20 Setelah didapatkan nilai rataannya, diplot nilai dari data yang ada dikurangi dengan nilai rataannya. Nilai yang akan diplot adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡2 terhadap 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟1. Persamaan baru yang didapatkan yaitu 𝑌𝑌 = −1.31274 × 10−13 + 0.792906𝑥𝑥. (23)

Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya. Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan untuk acuan pembangkitan nilai awal 𝜙𝜙. Nilai awal 𝜙𝜙 yang digunakan adalah 0.792906, didapatkan dari persamaan (23). Penentuan Nilai Awal P Sedangkan untuk nilai awal P, dibangkitkan secara acak dari interval peluangnya [0,1] karena 0 ≤ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal yang 0.87 0 0.87 0 0.13 0 0.13 0 digunakan untuk P adalah �0 �. 0.74 0 0.74 0 0.26 0 0.26

Penentuan Nilai Awal 𝛔𝛔 Nilai awal untuk 𝛔𝛔 yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [100,2000] yang merupakan selang nilai dari standar deviasinya. Standar deviasi dari data yang digunakan sebesar 1440.26. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal untuk 𝛔𝛔 yang dibangkitkan dan digunakan adalah 1454. Hasil Progam Dari bagian sebelumnya nilai awal yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar rupiah adalah 𝜇𝜇1 = 9124.89 , 𝜇𝜇2 = 9198.76 , ∅ = 0.79 ,

21 0.87 0 0.87 0 0.13 0 0.13 0 𝑃𝑃 = �0 � dan 𝜎𝜎 = 1454. Galat nilai dugaan yang ditunjukan 0.74 0 0.74 0 0.26 0 0.26 oleh MAPE adalah 4.14%, diperoleh hanya melalui satu kali proses iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila MAPE < 5%. Hasil dari nilai dugaan yang didapatkan mendekati nilai tukar rupiahnya, menandakan bahwa hasil yang didapatkan cukup baik dan lebih akurat dibandingkan dengan hasil akhir dari Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%. Nilai tukar rupiah dan nilai dugaannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3.

Nilai Sebenarnya

Nilai Dugaan

Gambar 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan

SIMPULAN Penentuan nilai awal yang tepat bagi parameter yang digunakan pada model akan mempengaruhi keakuratan nilai akhir yang didapatkan. Nilai awal yang digunakan dibangkitkan menggunakan software Mathematica 9.0. Nilai awal yang didapatkan pada karya ilmiah ini menghasilkan nilai akhir yang baik. Parameter dan nilai awal yang digunakan adalah 𝜇𝜇1 = 9124.89, 𝜇𝜇2 = 9198.76,∅ = 3.94, 0.87 � dan 𝜎𝜎 = 1454. Hasil akhir dianggap baik jika MAPE < 5%. MAPE 𝑃𝑃 = � 0.75 yang didapatkan sebesar 4.14% lebih baik dibandingkan hasil akhir Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%.

22

DAFTAR PUSTAKA Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer-Verlag. Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford (GB): Oxford Univ Pr. Hamilton J D. 1996. Time Series Analysis. New Jersey (US): Princenton Univ Pr. Hogg RV, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs. Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhäuser. Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of Econometrics 60:1-22. Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a deregulated power market [tesis]. Belgium (BE): K.U.Leuven. Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company. Santoso DH. 2008. Pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika menggunakan deret waktu hidden markov satu waktu sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid I. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga. Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variables. Canada (CA): University of Toronto. Wong E, Hajek B. 1985. Stochastic Processes in Engineering System. New York (US): Springer-Verlag.

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37 Lampiran 3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum menggunakan software Mathematica 9.0.

38

𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙�𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−1 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡

𝑌𝑌 = −1.31274 × 10−13 + 0.792906 x

39

40

k 1

41

42

43 Lampiran 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan nilai dugaannya t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Nilai Rupiah 2604.67 2990.20 3278.69 3665.43 3649.86 5350.08 12499.60 8800.59 8549.89 8050.47 11175.40 14875.30 13199.70 10999.80 10788.90 7625.74 7474.30 7929.63 8900.73 8763.05 8725.57 8275.23 8129.72 6729.84 6875.77 7609.34 8324.66 6875.58 7500.00 7012.85 7433.41 7483.31 7615.19 7950.58 8620.75 8735.38 8979.73 8364.65 8790.72 9415.31 9527.45

Nilai Dugaan 2427.10 2600.94 2985.90 3273.97 3660.15 3644.60 5342.33 12481.40 8787.80 8537.46 8038.77 11159.20 14853.60 13180.50 10983.80 10773.20 7614.67 7463.45 7918.11 8887.79 8750.31 8712.89 8263.21 8117.91 6720.08 6865.79 7598.29 8312.56 6865.60 7489.11 7002.67 7422.62 7472.44 7604.13 7939.03 8608.22 8722.68 8966.68 8352.50 8777.94 9401.62

t 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Nilai Rupiah 9615.52 9445.66 9838.10 10415.10 11820.00 11154.90 11410.80 9365.21 8921.75 9685.15 10455.20 10459.60 10399.50 10328.90 10189.80 9655.76 9319.99 8789.21 8730.52 9079.96 8866.59 9011.96 9237.44 8976.46 8949.13 8874.92 8901.55 8903.25 8675.76 8319.53 8279.89 8505.13 8559.38 8400.24 8495.60 8505.41 8470.67 8452.38 8462.64 8583.48 8689.75

Nilai Dugaan 9513.60 9601.54 9431.92 9823.79 10400.00 11802.80 11138.70 11394.20 9351.59 8908.78 9671.06 10440.00 10444.40 10384.40 10313.80 10175.00 9641.72 9306.44 8776.43 8717.83 9066.76 8853.70 8998.86 9224.01 8963.41 8936.12 8862.02 8888.61 8890.31 8663.15 8307.44 8267.86 8492.77 8546.94 8388.03 8483.25 8493.05 8458.36 8440.10 8450.34 8571.01

44 t 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Nilai Rupiah 9263.61 9412.11 9182.65 9333.90 9175.88 9088.59 9017.36 9309.37 9160.64 9265.02 9489.57 9574.96 9506.42 9718.48 9819.62 10475.20 10215.40 10049.40 10024.40 9825.54 9387.48 9227.85 9160.50 8800.05 9194.60 9280.24 9070.25 9097.94 9229.95 9114.66 9165.61 9005.43 9093.26 9176.40 9130.11 9083.21 8829.45 9034.99 9185.72 9409.54 9143.54 9098.31

Nilai Dugaan 8677.12 9250.14 9398.42 9169.30 9320.33 9162.54 9075.38 9004.25 9295.83 9147.32 9251.55 9475.77 9561.04 9492.60 9704.35 9805.34 10459.90 10200.50 10034.80 10009.80 9811.25 9373.83 9214.43 9147.18 8787.26 9181.23 9266.75 9057.06 9084.71 9216.53 9101.41 9152.28 8992.34 9080.04 9163.06 9116.84 9070.00 8816.62 9021.86 9172.36 9395.86 9130.25

t 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

Nilai Rupiah 9372.81 9394.28 9296.49 9065.08 9220.04 9235.30 9309.55 9225.02 9109.60 9152.68 9429.71 10875.80 12174.40 10949.80 11354.50 11989.50 11615.00 10682.70 10314.70 10223.10 9915.47 10079.80 9670.49 9540.44 9455.22 9397.93 9364.69 9334.76 9114.53 9011.83 9162.54 9075.44 8951.70 9044.63 8922.11 8927.36 9035.14 8995.38 9057.84 8811.37 8709.12 8573.39

Nilai Dugaan 9085.08 9359.18 9380.62 9282.97 9051.90 9206.63 9221.87 9296.01 9211.61 9096.36 9139.37 9416.00 10859.90 12156.70 10933.80 11337.90 11972.00 11598.10 10667.20 10299.70 10208.20 9901.05 10065.20 9656.43 9526.57 9441.47 9384.26 9351.07 9321.19 9101.28 8998.73 9149.22 9062.25 8938.69 9031.48 8909.14 8914.38 9022.00 8982.30 9044.67 8798.56 8696.46

45 t 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192

Nilai Rupiah 8535.81 8594.84 8504.66 8567.95 8809.94 8835.28 9169.74 9150.26 9005.36 9094.86 9184.77 9191.62 9563.07 9477.97 9484.13 9565.09 9587.16 9631.91 9605.02 9637.90 9760.44 9668.13 9710.34 9723.19 9803.09 9927.76

MAPE

Nilai Dugaan 8560.93 8523.41 8582.35 8492.30 8555.50 8797.13 8822.44 9156.41 9136.96 8992.27 9081.64 9171.42 9178.26 9549.16 9464.19 9470.34 9551.18 9573.22 9617.90 9591.05 9623.88 9746.24 9654.07 9696.22 9709.05 9788.83

4.13853%

46

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Juni 1989 dari pasangan Bapak Subiyanto dan Ibu Endah Mustika Hidayat. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menempuh pendidikan di SMA Negeri 4 Malang. Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur SPMB. Penulis memilih jurusan Matematika, fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. juga pernah menjadi panitia pada acara Welcome Ceremony Mathematics 2009, Pesta Sains Nasional Institut Pertanian Bogor 2009, dan beberapa try out yang diadakan untuk mahasiswa TPB pada tahun 2009 dan 2010.