PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV. Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G54102044

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G54102044

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

RINGKASAN DEWI NOVIYANTI SARI. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar Menggunakan Hidden Markov. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N. K. KUTHA ARDANA . Suatu masalah proses stokastik dengan serangkaian data yang diberikan namun penyebabnya tidak diamati secara langsung, dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov model, HMM). Model Hidden Markov adalah model rantai Markov yang merupakan pasangan penyebab suatu kejadian yang penyebabnya tidak diamati secara langsung, serta kejadian itu sendiri. Tulisan ini mengkaji metode pendugaan parameter model Hidden Markov dari serangkaian data pengamatan serta menentukan peluang kejadiannya dengan menggunakan pemrograman Mathematica 5.1 Model HMM kaya akan struktur matematis dan dapat bekerja dengan baik di berbagai aplikasi penting. Contohnya yang dibahas dalam karya ilmiah ini yaitu masalah perubahan nilai tukar mata uang. Dalam kasus perubahan nilai tukar mata uang, terdapat berbagai hal yang dapat menyebabkan perubahan nilai tukar. Diasumsikan bahwa penyebab kejadian tersebut tidak diamati. Oleh karena itu masalah perubahan nilai tukar dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov. Data nilai tukar yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data rataan nilai tukar mata uang Rupiah terhadap US Dollar per bulan yang berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005. Data nilai tukar tersebut dianalisis bersama nilai awal yang telah diketahui, dengan menggunakan algoritma Expectation Maximization yang tercakup dalam program. Hasilnya berupa parameter-parameter yang memaksimumkan nilai peluang kejadiannya.

Judul Nama NRP

: Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar Menggunakan Hidden Markov : Dewi Noviyanti Sari : G54102044

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 131 835 248

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. NIP. 131 842 412

Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP. 131 473 999

Tanggal Lulus : …………………..

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 2 November 1985 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara. Ayah bernama Ahmad Husaeni dan Ibu bernama Sri Agustina Muzni. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri I Cigombong, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri I Cijeruk tahun 1999, Sekolah Menengah Umum Negeri 3 Bogor tahun 2002, dan masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB pada tahun yang sama. Selama mengikuti perkuliahan, penulis sempat menjadi anggota aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika IPB sebagai anggota departemen kewirausahaan dan sosial masyarakat pada tahun 2004 hingga 2005.

PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya hingga akhir zaman. Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang secara langsung ataupun tidak langsung berkontribusi besar dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kedua orang tua (Mama dan Papa), yang selalu memberikan kasih sayang, semangat dan doa. Teteh Linda dan Aa Yunus yang banyak memberikan motivasi kepada penulis, Aa Edi yang selalu memberikan masukan dalam pembuatan program dan adik-adik tersayang Ricad dan Evi. 2. Ibu Berlian Setiawaty dan Bapak N. K. Kutha Ardhana yang telah membimbing dan mengarahkan selama penulisan karya ilmiah ini. Serta Bapak I Wayan Mangku sebagai penguji dan untuk masukan-masukannya yang bermanfaat. 3. Erra, Lutfi, Azhari, Nurrahmi, Lia, Nely, Elis, Desi dan Tamitam atas indahnya persahabatan yang telah terjalin serta untuk semangat dan doa yang telah diberikan. 4. Riswan, untuk semua bantuan yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini. Tika, Nita dan Azhari yang telah bersedia menjadi pembahas. Andri Suryana, Teh Yana dan Teh Linda atas masukan dan sarannya. 5. Agus Tri Antoro, yang selalu menemani disaat suka dan duka. 6. Seluruh Dosen Matematika IPB atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis. Staf TU Matematika IPB yang senantiasa membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Bu Susi yang banyak memberi masukan dan bantuan dari sejak awal hingga penyelesaian karya ilmiah ini. 7. Matematika angkatan 39 serta seluruh pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Juni 2006 Dewi Noviyanti Sari

DAFTAR ISI Halaman I.

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1.1. Latar Belakang ............................................................................................... 1.2. Tujuan penulisan ............................................................................................ II. LANDASAN TEORI .............................................................................................. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ............................................................ 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ................................................................... 2.3 Rantai Markov................................................................................................... 2.4 Ruang Perkalian Dalam .................................................................................. III. MODEL HIDDEN MARKOV ................................................................................ 3.1 State dan Proses Observasi ............................................................................. 3.2 Nilai Harapan Bersyarat ................................................................................. 3.3 Perubahan Ukuran ........................................................................................... 3.4 Pendugaan Rekursif ........................................................................................ 3.4.1 Penduga untuk State ............................................................................ 3.4.2 Penduga Banyaknya Lompatan ............................................................ 3.4.3 Penduga untuk Waktu Kejadian ........................................................... 3.4.4 Penduga untuk Proses Observasi ........................................................ IV. PENDUGAAN PARAMETER ............................................................................... 4.1 Algoritma Expectation Maximization ............................................................ 4.2 Reestimasi Parameter EM .............................................................................. V. PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR ................. 5.1 Data Input Nilai Tukar Rupiah ....................................................................... 5.2 Pemodelan Nilai Tukar Rupiah ...................................................................... 5.3 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2 ........ 5.4 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk Banyaknya Penyebab Kejadian N = 3 ...... SIMPULAN ................................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... LAMPIRAN ...................................................................................................................

1 1 1 1 1 2 4 5 5 6 6 7 8 9 9 9 9 9 9 11 13 13 14 16 18 21 21 22

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1: Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan .................. Gambar 2.1: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. .............................................. Gambar 2.2: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. .............................................. Gambar 2.3: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. .......................................... Gambar 2.4: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. .......................................... Gambar 3.1: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. .............................................. Gambar 3.2: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. .............................................. Gambar 3.3: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. .............................................. Gambar 3.4: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. .......................................... Gambar 3.5: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. .......................................... Gambar 3.6: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. ..........................................

14 16 17 17 17 18 18 19 19 19 19

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran A: Program utama ......................................................................................................... Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 .......................................... Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 3............................................ Lampiran B: Output Untuk Kasus Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2.............................. Tabel (1.1). Parameter matriks transisi A .................................................................. Tabel (1.2). Parameter ragam ................................................................................ Tabel (1.3). Parameter nilai rata-rata C...................................................................... Tabel (1.4). Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k ............................................................................................... Tabel (1.5). Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k + 1) dan dua bulan (k + 2) yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k .. Lampiran C: Output Untuk Kasus Banyaknya Penyebab Kejadian N=3 ................................ Tabel (2.1). Parameter matriks transisi A................................................................... Tabel (2.2). Parameter ragam ................................................................................ Tabel (2.3). Parameter nilai rata-rata C...................................................................... Tabel (2.4). Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k............................................................................................... Tabel (2.5). Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k + 1) dan dua bulan (k + 2) yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k ..

23 26 26 27 27 30 33

37 40 41 41 41 50

55 60

I. PENDAHULUAN Latar Belakang

melakukan pendugaan parameter, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang yang kemudian dinterpretasikan kembali dengan menggunakan peluang asal. Perubahan peluang ini dibatasi oleh turunan RadonNykodim. Dalam ukuran peluang baru, dilakukan pendugaan parameter melalui reestimasi parameter. Hasilnya berupa pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi. Pendugaan rekursif ini kemudian digunakan untuk menentukan parameter dengan menggunakan algoritma EM. Dalam karya ilmiah ini, terlebih dahulu pada Bab II dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan pada pembahasan selanjutnya. Kemudian model Hidden Markov dijelaskan pada Bab III. Untuk menduga parameter model maka dilakukan reestimasi parameter dengan menggunakan algoritma EM yang dibahas pada Bab IV. Setelah itu pemodelan untuk kasus dua dan tiga penyebab kejadian dijelaskan pada Bab V. Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk menyelesaikan masalah HMM. Software yang digunakan adalah Mathematica 5.1. Keuntungan menggunakan program tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam analisis data yang cukup banyak. Dalam karya ilmiah ini, program tersebut digunakan untuk membantu dalam penyelesaian masalah perubahan nilai tukar.

Terdapat banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Setiap kejadian itu terkait erat dengan penyebab kejadiannya. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM). Karakteristik model Hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu matriks transisi dari penyebab kejadian, serta nilai harapan dan ragam dari proses pengamatan. Parameter-parameter tersebut diduga melalui reestimasi parameter dengan menggunakan algoritma EM (Excpectation Maximization), sehingga diperoleh parameter model dalam bentuk pendugaan rekursif. Pendugaan rekursif ini nantinya dapat dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau mungkin data yang baru. Selain kaya akan struktur matematis, HMM juga dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Contohnya dalam bidang ekonomi yaitu masalah perubahan nilai tukar mata uang. Dalam karya ilmiah ini masalah yang dibahas adalah masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dari tahun 1998 hingga tahun 2005. Terdapat berbagai hal yang dapat menyebabkan perubahan nilai tukar di antaranya adalah situasi keamanan, situasi politik, krisis keuangan serta kebijakan pemerintah. Diasumsikan bahwa penyebab kejadian tersebut tidak diamati. Oleh karena itu masalah perubahan nilai tukar tersebut dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov. Dengan menggunakan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005, maka dapat diduga parameter modelnya. Sebelum

Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mempelajari model Hidden Markov dan pendugaan parameternya. 2. Mengimplementasikan model Hidden Markov untuk masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar.

II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Pada Bab ini dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam

1

Teorema 2.1.6 (Kontinu Absolut) Jika ν dan µ merupakan dua ukuran peluang

kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama disebut percobaan acak. [Hogg dan Craig, 1995]

pada (Ω, ) . Ukuran peluang ν dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang µ jika

µ A = 0 maka ν A = 0, untuk setiap A ∈ . Dinotasikan ν << µ . [Royden, 1963]

Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Teorema 2.1.7 (Radon Nikodym) Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ) sehingga untuk setiap B ∈ ,

P(B ) = 0 menyebabkan P (B ) = 0 , maka terdapat peubah acak tak-negatif ∆ sehingga P (C ) = ∆ dP untuk semua C∈ .

Definisi 2.1.3 (Medan- ) Medan- σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. φ ∈ , ∞ 2. Jika A1 , A2 ,... ∈ maka At ∈ , t =1 3. Jika A ∈ maka A c ∈ . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

C

Dinotasikan

dP dP

[bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Peubah Acak) Misalkan adalah Medan- σ dari ruang contoh Ω . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → dengan sifat

Definisi 2.1.4 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah Medan- σ dari ruang contoh Ω . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : → [0,1] pada (Ω, ) yang memenuhi: 1. P (φ ) = 0, P (Ω ) = 1 , 2. Jika A1 , A2 ,... ∈ adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai A j = φ untuk

{ω ∈ Ω; X (ω ) ≤ x} ∈

P

i =1

Pasangan (Ω,

Ai =

∞ i =1

oleh FX ( x ) = P ( X ≤ x) . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

P( Ai ) .

Definisi 2.2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Teorema 2.1.5 (Teorema Bayes) Misalkan (Ω, , P ) adalah ruang peluang dan C i ∈ , i = 1,2,...k . Misalkan kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian C i , maka peluang bersyarat dari C j setelah

(

)

(

)

( )(

P Cj P C |Cj k

.

Definisi 2.2.2 (Fungsi Sebaran) Misalkan (Ω, , P ) adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F : → [ 0,1] yang didefinisikan

, P ) disebut ruang peluang. [Grimett dan Stirzaker, 1992]

diketahui C adalah P C ∩C j = P Cj |C = P(C )

, untuk setiap x ∈

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

setiap pasangan i ≠ j , maka ∞

= ∆.

)

P(C i )P (C | C i )

Definisi 2.2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan (Ω, , P ) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah suatu fungsi p : → [ 0,1] yang didefinisikan oleh p X ( x) = P( X = x) . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

.

i =1

[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]

2

Definisi 2.2.5 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai FX ( x) = dengan f :

x −∞

maka kejadian C1 dan C2 dikatakan saling bebas. Kemudian dapat diperoleh peluang bersamanya P (C1 ∩ C2 ) = P (C1 ) P (C2 | C1 )

f X (u )du, x ∈

= P (C1 ) P (C2 )

→ ( 0, ∞ ) adalah fungsi yang

dan untuk P ( C2 ) > 0 peluang bersyarat C1

terintegralkan. Fungsi f X dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X. [Grimett dan Stirzaker, 1992]

jika diketahui C2 adalah

P (C1 | C2 ) =

Definisi 2.2.6 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi F : → [ 0,1]

[Hogg dan Craig, 1995] Kejadian yang saling bebas disebut sebagai bebas stokastik.

yang didefinisikan oleh F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.2.10 (Bebas Stokastik Identik) Misalkan X 1 , X 2 ,... X n adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu f(x) sehingga f1 ( x1 ) = f ( x1 )

Definisi 2.2.7 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah fungsi yang didefinisikan oleh ∂ 2 F ( x, y ) f XY = ∂x∂y dan

fY ( y ) =

∞ −∞

f2 ( x2 ) = f ( x2 ) fn ( xn ) = f ( xn ) Maka fungsi kepekatan bersamanya adalah f ( x1 ) f 2 ( x2 )... f ( xn ) . Dalam hal ini, peubah acak X 1 , X 2 ,..., X n disebut bebas stokastik identik. [Hogg dan Craig, 1995]

f XY ( x, y )dx

adalah fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak Y . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.2.11 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x) = P( X = x) , X adalah maka nilai harapan dari [X ] = xp X ( x) .

Definisi 2.2.8 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, dengan fungsi kepekatan peluang marjinal fY ( y ) > 0 dan f XY ( x, y ) adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y , maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah

x

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.2.12 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x) , maka nilai harapan dari X adalah

f ( x, y ) . f X |Y ( x | y ) = XY fY ( y ) [Grimett dan Stirzaker, 1992]

[X ] =

∞ −∞

xf X ( x)dx .


Definisi 2.2.13 (Nilai Harapan Bersyarat) Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan f X |Y ( x | y ) adalah fungsi kepekatan

Teorema 2.2.9 (Kejadian Saling Bebas ) Misalkan kejadian C1 tidak memengaruhi kejadian C2

P (C1 ∩ C2 ) = P ( C1 ) . P ( C2 )

dengan peluang P ( C1 ) > 0

peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y , maka nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah

sedemikian sehingga peluang bersyarat C2 jika diketahui C1 adalah P (C2 | C1 ) = P (C2 )

[ X | Y = y] =

∞ −∞

x f X |Y ( x | y )dx.


3

P ( X k +1 = j | X k = i ) = P ( X 1 = j | X 0 = i ) = p ji

Definisi 2.2.14 (Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang peluang (Ω, , P ) . Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi diberikan oleh: I A (ω ) =

I A : Ω → [ 0,1] ,

untuk j , i ∈ S . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

yang

Definisi 2.3.6 (Inkremen Bebas dan Inkremen Stasioner) 1) Suatu proses stokastik { X k : k ∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua k0 < k1 < k2 < ... < kt peubah acak X k1 − X k0 ,..., X kt − X kt −1 adalah bebas.

1, jika ω ∈ A

. 0, jika ω ∉ A [Grimett dan Stirzaker, 1992]

2.3 Rantai Markov Definisi 2.3.1 (Ruang State) Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. [Grimett dan Stirzaker, 1992]

2)

Definisi 2.3.2 (Proses Stokastik) Proses stokastik { X k : k ∈ } yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, , P ) adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke ruang state S. [Ross, 1996]

Suatu proses stokastik { X k : k ∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki X k +1 − X k inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai k , t ∈ . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.7 (Filtrasi) Misalkan adalah suatu medan- σ dan = { 0 , 1 ,...} merupakan barisan submedanσ dari , disebut filtrasi jika ⊆ +1 untuk semua k ∈ . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Misalkan (Ω, , P ) adalah ruang peluang dan S ruang state. Proses stokastik { X k : k ∈ } dengan ruang state S , disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap k = {0,1,...} berlaku

Definisi 2.3.8 (Measurable/ terukur) Misalkan X adalah peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, , P ) . Jika {ω ∈ Ω; X (ω ) ≤ x} ∈

, untuk setiap x ∈

,

maka X dikatakan terukur - . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

P ( X k +1 = j ) | X k = ik , X k −1 = ik −1 ,..., X 0 = i0 ) =

P ( X k +1 = j | X k = ik ) untuk semua kemungkinan nilai dari i0 , i1 ,..., ik −1 , ik ; j ∈ S . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.9 (Adapted) Misalkan (Ω, , P ) adalah ruang peluang. Barisan peubah acak { X k : k ∈ } dikatakan adapted terhadap filtrasi jika X k terukur untuk setiap k. [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.4 (Matriks Transisi) Misalkan { X k : k ∈ } adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran N. Matriks transisi P = ( p ji ) berukuran NxN

Definisi 2.3.10 (Predictable) Misalkan adalah suatu medan- σ . Barisan {X k : k ∈ } peubah acak dikatakan predictable (terduga), jika X k terukur - k −1 untuk setiap k. [Elliott, 1995]

adalah matriks dari peluang transisi. p ji = P ( X k +1 = j | X k = i ) untuk j , i ∈ S . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.5 (Rantai Markov yang Homogen) Rantai Markov { X k } dengan ruang state S disebut homogen jika

Teorema 2.3.11 (Nilai Harapan Rantai Markov Homogen ) Misalkan { X k ; k ∈ } adalah rantai Markov homogen dengan ruang state S dimana n ( S ) = 2 dan S = {ei ;1 ≤ i ≤ 2} . e1 = (1, 0)t dan

4

2.4 Ruang Perkalian Dalam

e2 = (0,1)t adalah vektor unit di 2 . Misalkan A merupakan matriks transisi berukuran 2 × 2 , dengan A = ( a ji ) , i, j = 1, 2 dan

Definisi 4.1 (Hasil Kali Titik) Untuk setiap dua vektor

β1

a ji = P( X k +1 = e j | X k = ei )

a=

maka nilai harapan dari X dinotasikan [ X k ] yang memenuhi Aπ = π adalah

βn

π=

di

(1 − a22 ) /(2 − a11 − a22 ) π= . (1 − a11 ) /(2 − a11 − a22 )

Definisi 2.3.12 (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks) Misalkan S ∈ N adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua x, xt ∈ S terdapat λ ∈ [0,1] maka (1 − λ ) x + λ xt ∈ S . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan f ( (1 − λ ) x + λ xt ) ≤ (1 − λ ) f ( x ) + λ f ( xt ) .

, hasil kali titik vektor a dan b adalah a ⋅ b = α1 β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Untuk setiap vektor x, y dan z di V serta bilangan γ di berlaku:

1. x, y = y, x , 2. γ x, y = γ x, y , 3. x + y, z = x, z + y, z ,

4. x, x ≥ 0, dan x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. [Arifin, 2001]

Teorema 2.3.13 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan X ∈ adalah peubah acak dengan

Hasil kali titik di dalam.

berhingga dan g ( X ) adalah fungsi

g(X ) ≥ g(

αn

Definisi 4.2 (Hasil Kali Dalam) Hasil kali dalam pada ruang vektor Real V adalah pemetaan V ×V → dengan pengaitan ( x , y ) → x, y .

Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika ∇ 2 f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ S dan merupakan strictly convex jika ∇ 2 f ( x) > 0, ∀x ∈ S . [Osborne, 1997]

konveks. Maka

N

N sebagai Dengan memandang vektor di vektor kolom, hasil kali titik a dan b di N dapat dituliskan sebagai a ⋅ b = a t b = bt a dengan a t menyatakan transpos dari a . [Arifin, 2001]

[bukti lihat Hamilton, 1990]

X

α1

dan b =

N

merupakan hasil kali

[ X ]) .

[bukti lihat Weisstein, 1999]

III. MODEL HIDDEN MARKOV Pada Bab ini akan dibahas mengenai model Hidden Markov. Model ini terdiri atas pasangan state penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan proses observasinya. Dengan menggunakan model ini, akan diduga penyebab kejadian serta kejadian yang akan datang. Untuk itu perlu ditentukan suatu nilai harapan bersyarat dengan informasi data proses observasi dan parameter yang diketahui. Sebelum menduga parameter-parameter model Hidden Markov, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang untuk

mendapatkan variasi bentuk objek secara matematik yang akan diinterpretasikan kembali menggunakan peluang asal. Perubahannya dibatasi oleh turunan RadonNykodim. Dalam ukuran peluang baru dilakukan pendugaan parameter model Hidden Markov melalui reestimasi parameter. Akibatnya dihasilkan pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi. Pendugaan rekursif

5

ini kemudian digunakan untuk menentukan parameter baru dengan menggunakan algoritma EM.

Misalkan

serta

Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model Hidden Markov. Model ini { X k , yk } . terdiri atas pasangan

= σ { X 0 ,... X k } Misalkan medan- σ yang dibangkitkan { X 0 , X 1 ..., X k } dan { k } adalah k

}, k ∈

adalah oleh filtrasi

. Sedangkan

N

j =1

transisi

ωk , k ∈

adalah peubah acak dengan sebaran normal N(0,1) yang bebas stokastik identik, karenanya ω k bebas terhadap dan

⊂

memenuhi

y

+1

. Sebaran bersyarat proses observasi

dengan diketahui

dengan dan

P ( yk +1 ≤ t |

[ X k +1 | k ] = [ X k +1 | X k ] = AX k . Vk +1 := X k +1 − AX k

(3.1.5)

3.2 Nilai Harapan Bersyarat

a ji = 1 , maka

Didefinisikan

dan

dan

yk +1 = c( X k ) + σ ( X k )ωk +1

N

yang

c ( X k ) = c, X k

serta

X k +1 = AX k + Vk +1

a ji = P( X k +1 = e j | X k = ei )

matriks

[X ]

σ ( X k ) = σ , X k dengan σ i > 0, 1 ≤ i ≤ N . Jadi berdasarkan (3.1.2) dan (3.1.4) maka bentuk model Hidden Markov yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah

merupakan peluang transisi dan A = (a ji ) N × N N

merupakan

di mana {ω k +1} adalah barisan peubah acak dari sebaran normal dengan rataan nol dan ragam satu N(0,1) yang bersifat bebas stokastik identik, dan karena X k ∈ S x , maka fungsi c dan σ didefinisikan sebagai c = (c1 , c2 ,...cN )t dan σ = (σ 1 , σ 2 ,...σ N )t di

dengan ei = {0,...,1, 0,..., 0} ∈ . Karena X rantai Markov homogen maka berdasarkan sifat Markov diperoleh P ( X k +1 = e j | k ) = P ( X k +1 = e j | X k ) .

adalah

(3.1.3) t

memenuhi Aπ = π . Proses state X tidak diamati secara langsung, namun terdapat proses observasi yk +1 = c( X k ) + σ ( X k )ωk +1 , k ∈ . (3.1.4)

dibangun oleh y dan { k }, k ∈ merupakan filtrasi lengkap yang dibangun oleh X dan y. Ruang state dari X adalah himpunan vektor unit ei di N . Ruang state X dapat dituliskan sebagai berikut S x = {e1 , e2 ,..., eN }

Misalkan

π j = P( X = e j )

nilai harapan dari X yaitu π =

adalah filtrasi lengkap yang

t

ei , e j P( X = ei )

maka vektor π = (π 1 , π 2 ,...π N )

X = { X k , k ∈ } adalah rantai Markov yang bersifat homogen dan tidak diamati secara langsung sedangkan y = { yk , k ∈ } merupakan proses observasinya. Dalam karya ilmiah ini y dianggap bernilai skalar dan semua proses didefinisikan dalam ruang peluang ( Ω, , P ) .

{

i =1

= P( X = e j )

3.1 State dan Proses Observasi

lengkap yang dibangun oleh

N

=

X ,ej

N

)=

i =1 N

=

(3.1.1)

i =1

adalah

P ( yk +1 ≤ t , X k = ei |

{P( yk +1 ≤ t | X k P( X k = ei |

[ AX k | X k ] = AX k

N

=

i =1

[Vk +1 | k ] = [ X k +1 − AX k | X k ]

)×

)}

{P(σ iωk +1 ≤ t − ci ) × P( X k = ei |

= AX k − AX k = 0. Dari (3.1.1) diperoleh X k +1 = AX k +1 + Vk +1 (3.1.2) yang disebut sebagai persamaan state.

= ei ,

)

)} .

Misalkan nilai harapan penyebab kejadian X k jika diketahui adalah ˆ X = [X | ] k

maka

6

k

P ( X k = ei |

k

(

)=

X k , ei |

k

)

3.3 Perubahan Ukuran

( X k | k ) , ei

=

Untuk mempermudah dalam perhitungan secara matematis, diperlukan suatu ukuran peluang baru yang kemudian akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asalnya. Misalkan P adalah ukuran peluang baru yang kontinu absolut serta berpadanan dengan P dan memiliki kepekatan λ .

= Xˆ k , ei dan misalkan φi ( x) = (2πσ i ) −1/ 2 exp(− x 2 / 2σ i ) untuk fungsi kepekatan peluang N (0, σ i ) maka peluang bersyarat proses observasi untuk satu satuan waktu yang akan datang dengan syarat adalah P ( yk +1 ≤ t |

)=

N

Xˆ k , ei

i =1

t − ci −∞

φi ( x)dx .(3.2.1)

Jadi fungsi kepekatan dari diketahui N j =1

dP = λ dan di bawah P , peubah dP acak y mempunyai fungsi kepekatan φ

Akibatnya

yk +1

setelah

=

N j =1

=

N

i =1 j =1

=

N

N

i =1 j =1

N

N

i =1 j =1

_

= I{ y ≤ t} λ dP

Ω

Ω

=

i =1 j =1

{P( X k

= ei |

=

N

{P( X k

= ei |

{ Xˆ , e

i

i =1 j =1

{ Xˆ , e k

i

)

=

N

N

i =1 j =1

t −c

λ (ω ) φ (ω ) d ω

σ

λ (ω )φ (ω )

)}

,

(3.3.2)

, P) , proses

mempunyai bentuk

dengan ω k merupakan peubah acak N(0,1) yang bebas stokastik identik. Misalkan φ (⋅) adalah fungsi kepekatan N(0,1) dan σ , X l −1 φ ( yl ) λl = , l∈ φ (ωl )

)× )×

)}

Λ0 = 1 serta k

t −c −∞

Λ k = ∏ λl , k ≥ 1 .

)}

l =1

Didefinisikan ukuran peluang baru P dengan batasan turunan Radon Nikodym terhadap yaitu

φ ( x)dx

∆k =

state X k +1 = e j . Jadi fungsi

t −c −∞

φi ( x)dx .

dP dP

.

Lema 3.1 Di bawah P , yk adalah N(0,1) yang bebas stokastik identik. (Bukti: Lihat Kristina hal.9, 2006)

)

Xˆ k , ei a ji

σ

yk +1 = c, X k + σ , X k ω k +1

a ji ×

a ji

dy

Dalam ruang peluang (Ω,

kepekatan peluang dari yk + 2 setelah diketahui adalah P ( yk + 2 ≤ t |

t

ω≤

observasi { yk }, k ∈

dengan a ji adalah matriks transisi dari state

X k = ei ke

I

dengan I adalah fungsi indikator. Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh σφ ( y ) . λ (ω ) = φ (ω )

)×

P (σ iωk + 2 ≤ t − ci | N

=

)

P ( yk + 2 ≤ t , X k +1 = e j , X k = ei |

k

+∞

−∞

)

P ( yk + 2 ≤ t | X k +1 = e j , X k = ei , N

=

−∞

P ( X k +1 = e j | X k = ei , N

(3.3.1)

Xˆ k , e j φ j (t − c j ) .

P ( yk + 2 ≤ t , X k +1 = e j | X k = ei ,

=

φ ( y )dy

= I { y ≤ t} d P

P ( yk + 2 ≤ t , X k +1 = e j | N

−∞

adalah

Sedangkan fungsi kepekatan dari proses observasi untuk dua satuan waktu yang akan datang setelah diketahui , dapat dicari dengan cara yang sama yaitu P ( yk + 2 ≤ t |

t

P( y ≤ t ) =

(3.2.2)

7

Kemudian akan ditentukan peluang P sehingga di bawah P y − c, X k , k∈ ωk +1 := k +1 σ , Xk

γ k ( H k X k ) ,1 = γ k ( H k X k ,1

ukuran

= γ k ( Hk X k = γ k ( H k ).

adalah barisan peubah acak N(0,1) yang bebas stokastik identik. Untuk menentukan nilai P dari P didefinisikan λl dan Λ k yang

γ k (1) = γ k ( X k ,1 = [Λ k |

l =1

Didefinisikan P dengan batasan dP = Λk . dP Untuk menentukan nilai P digunakan faktor λk dengan syarat σ , X k ≠ 0 .

Notasi (4.2) Notasikan

φ Γ ( ⋅ ) ( yk ) =

Lema 3.2 Di bawah P, {ωk }, k ∈ adalah barisan peubah acak N(0,1) yang bebas stokastik identik. (Bukti: Lihat Kristina hal.9-10, 2006).

H k +1 = H k + α k +1 + β k +1 , Vk +1 + δ k +1 f ( yk +1 ) ,

Untuk mereestimasi parameter baru, maka dibentuk suatu pendugaan rekursif dari state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Namun terlebih dahulu dinotasikan suatu nilai harapan tak ternormalkan dari H k jika diketahui k .

k ≥ 1, dengan Vk +1 = X k +1 − AX k , f skalar − predictable dan α , β , δ adalah proses ( β merupakan vektor berdimensi N ). Maka

γ k +1 ( H k +1 X k +1 ) = γ k +1, k +1 ( H k +1 )

Notasi 4.1 Jika {H k }, k ∈ merupakan barisan adapted ke { k } , notasikan

=

=

[Λ k |

γ k (H k ) γ k (1)

(3.4.1)

N

{

γ k ( H k X k ), Γi ( yk +1 ) ai +

( (δ

) X ,Γ (y ) ) f ( y γ ( diag ( a ) − a a ') γ ( β X

γ k α k +1 X k , Γi ( yk +1 ) ai + k

i

k +1

k

i

k]

i i

k +1

k

k +1

k +1

k

) ai +

, Γi ( yk +1 )

)}

dengan ai = Aei . k

]

(Bukti: Lihat Kristina hal.11, 2006).

k]

Dengan menggunakan Lema dan notasi tersebut, dapat ditentukan pendugaan rekursif seperti yang ditunjukkan pada 3.4.1 hingga 3.4.4.

(3.4.2)

dan γ 0 ( X 0 ) = [ X 0 ] sebagai nilai awal. Misalkan 1 merupakan vektor dari

(1,1,...,1)t ∈

N i =1

Dengan menggunakan teorema Bayes dan persamaan (3.4.1) maka

[Λ k H k |

yk +1 − c(⋅) σ (⋅) e(⋅) . σ (⋅)φ ( yk )

Lema 4.3 Misalkan H k adalah proses -adapted yang bernilai skalar yang mempunyai bentuk: H 0 merupakan terukur- k ,

3.4 Pendugaan Rekursif

=

].

Sehingga dari (3.4.1), jika γ k ( X k ) diketahui maka faktor penormalan dapat dicari dengan menjumlahkan semua komponen penduga tak ternormalkan γ k ( X k ) .

k

dan Λ k = ∏ λl , k ≥ 1 .

Hˆ k : = [ H k |

)

= γ k ( X k ),1

Λ0 = 1

].

(3.4.3)

Jika H k = 1 maka dengan (3.4.3) didapatkan

merupakan invers dari λl dan ∆ k , yaitu: φ (ωl ) λ l = λl −1 = σ , X l −1 φ ( yl )

γ k ( H k ) = [Λ k H k |

) ,1 )

maka

8

3.4.1 Penduga untuk State

r k +1

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai H k +1 = H 0 = 1, α k = 0, β k = 0, δ k = 0 , maka penduga untuk state didefinisikan sebagai berikut

γ k +1 ( X k +1 ) =

N i =1

=

k +1

X n −1 , er

n =1

=

N i =1

N

=

rs k

+ X k , er

=

rs k

+ X k , er asr + X k , er Vk +1 , es .

i =1

rs k

X k +1 , es

AX k , es + Vk +1 , es

(3.4.3.1)

c = (c1 , c2 ,..., cN )t pada proses observasi yk +1 = c( X k ) + σ ( X k )ω k +1 harus ditentukan penduga untuk proses observasi dalam bentuk

)

r k +1

dapat

(f)=

k +1 l =1

=

maka penduga untuk

r k

X l −1 , er f ( yl ), 1 ≤ r ≤ N

( f ) + X k , er f ( yk +1 )

untuk f ( y ) = y atau f ( y ) = y 2 . Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai H k +1 = kr+1 ( f ), H 0 = 0, α k +1 = 0, β k +1 = 0,

didefinisikan

δ k +1 = X k , er , maka penduga untuk proses

), Γi ( yk +1 ) ai +

γ k ( X k ), Γ r ( yk +1 ) asr es .

}

Untuk menentukan kembali vektor ragam serta vektor

+ X k , er

γ k ,k (

), Γi ( yk +1 ) ai +

3.4.4 Penduga untuk Proses Observasi

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai H k +1 = krs+1 , H 0 = 0, δ k +1 = 0, β k +1 = X k , er es' ,

=

r k

σ = (σ 1 , σ 2 ,..., σ N )t

rs k

banyaknya lompatan sebagai berikut γ k +1, k +1 ( rsk +1 )

γ k ,k (

X k +1 , es = 1 .

=

α k +1 = X k , er asr ,

{

γ k ( X k ), Γ r ( yk +1 ) ar .

X n , es

(

+ X k , er .

kejadian dapat didefinisikan sebagai berikut γ k +1, k +1 ( rk +1 )

Banyaknya lompatan dari er ke es pada waktu k+1 adalah rs k +1

r k

δ k +1 = 0 , maka penduga untuk lamanya waktu

Jika rantai Markov melompat dari state er pada waktu k ke state es pada waktu k+1, X k , er

X n , er

n =1

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai H k +1 = rk +1 , H 0 = 0, α k +1 = X k , er , β k +1 = 0,

γ k ( X k ), Γi ( yk +1 ) ai . (3.4.1.1)

maka

k +1

=

3.4.2 Penduga Banyaknya Lompatan

1 ≤ r, s ≤ N ,

=

observasi didefinisikan sebagai berikut γ k +1, k +1 ( kr+1 ( f ))

(3.4.2.1)

=

N i =1

3.4.3 Penduga untuk Waktu Kejadian

γ k ,k (

r k

( f )), Γi ( yk +1 ) ai +

γ k ( X k ), Γ r ( yk +1 ) f ( yk +1 ) ar .

(3.4.4.1)

Misalkan rk adalah lamanya waktu sampai waktu ke-k, X terjadi di state er , maka

IV. PENDUGAAN PARAMETER Seperti yang telah dibahas pada Bab sebelumnya, pendugaan parameter model Hidden Markov dilakukan dengan reestimasi parameter. Metode yang digunakan adalah algoritma EM. Hasilnya berupa parameter dalam bentuk pendugaan rekursif. Berikut ini akan dibahas mengenai algorima EM. Kemudian akan dilanjutkan dengan reestimasi parameter EM.

4.1 Algoritma Expectation Maximization Misalkan

{ Pθ ,θ ∈ Θ}

adalah himpunan

ukuran peluang yang terdefinisi pada ( Ω,

)

dan kontinu absolut terhadap P0 . Misalkan ⊂ . Fungsi Likelihood yang digunakan

9

untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi adalah dPθ | dP0

L(θ ) =

dengan

.

p

(MLE)

Λ k = ∏ λl , k ≥ 1 l =1

= λ1 .λ2 ...λk

θ ∈Θ

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu algoritma Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang. Langkahlangkah dalam metode tersebut adalah: 1. Set nilai awal parameter θˆk dengan

= =

Set θ * = θˆk dan hitung Q( ⋅ , θ * ) dengan θ*

log

dPθ | dPθ *

.

Ganti k dengan k + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih θˆk +1 dan θˆk kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. 1 Misalkan g ( x) = log . Karena turunan x kedua dari g ( x) selalu positif

( )

(

+1

dPθk +1 dPθk

( )

( )

log L θˆk +1 − log L θˆk = dPθˆ

= log = log = log = log = log

k +1

dP0

|

dPθˆ

− log

|

k

dP0

[ ∆ k +1 | ] − log [ ∆ k | ] ∆ k [ λk +1 | ] − log ∆ k ∆k ∆k

θˆk

[λk +1 | ]

dPθˆ θˆk

k +1

dPθˆ

|

.

k

Berdasarkan Teorema ketaksamaan Jensen maka dPθˆ dPθˆ k +1 | − log θˆ ≤ − θˆ log k +1 | k k dPθˆ dPθˆ k

}

k

atau

( )

( )

log L θˆk +1 − log L θˆk ≥

merupakan fungsi likelihood yang tak turun yaitu

( )

.

dP0

Sehingga

1 ∇ 2 g ( x ) = ∇ 2 log x 1 = 2 > 0, ∀x > 0 x maka g ( x) merupakan fungsi konveks. Berdasarkan ketaksamaan Jensen, karena 1 log merupakan fungsi konveks maka x dapat dihasilkan barisan θˆ , k ≥ 0 , yang

log L θˆk +1 − log L θˆk ≥ Q θˆk +1 , θˆk

dPθk

λk +1 =

4.

k

dP0

serta

θ ∈Θ

{

dPθk

Dengan cara serupa maka dPθk +1 ∆ k +1 = dP0

Cari θˆk +1 ∈ arg max Q(θ ,θ * ) .

3.

dPθk dPθ1 dPθ2 . .... dP0 dPθ1 dPθk −1

∆k =

atau

k = 0.

Q(θ , θ * ) =

dPθl −1

maka

Penduga Maximum Likelihood didefinisikan oleh θˆ ∈ arg max L(θ ) .

2.

dPθl

λl =

θˆk

log

dPθˆ

k +1

dPθˆ

|

.

k

) (4.1.3)

Hasil kedua ruas pada persamaan (4.1.3) akan bernilai sama jika dan hanya jika θˆk +1 = θˆk . Bentuk Q(θ ,θ ∗ ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat.

Bukti: Karena k

Λ k = ∏ λl , k ≥ 1 l =1

10

tersebut dapat ditulis dalam bentuk dinamik sebagai berikut

4.2 Reestimasi Parameter EM

k

Pada model (3.1.5), himpunan parameter yang digunakan adalah θ = {(asr ),1 ≤ s, r ≤ N , cr ,1 ≤ r ≤ N , σ i ,1 ≤ i ≤ N }. Dengan menggunakan algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru, θˆ = {( aˆsr ) ,1 ≤ s, r ≤ N , cˆr ,1 ≤ r ≤ N , σˆ i ,1 ≤ i ≤ N } yang memaksimumkan fungsi likelihood bersyaratnya. Dimulai dengan mengganti parameter a ji yang mendefinisikan peluang transisi pada rantai Markov, dengan parameter aˆ ji . Untuk

N

l =1 r , s =1

X l , er aˆsr (k ) =

k

N

= ∏∏

l =1 r , s =1

X l , es

aˆsr (k ) asr

l =1 r =1

X l −1 , er

r , s =1

L(aˆ , λ ) =

=

log Λ k |

=

r , s =1

ˆ

s =1

ˆ

N

log aˆsr (k ) + Rˆ (a ) .

r , s =1

N r =1

ˆr . k

(4.2.2)

log aˆsr (k ) + Rˆ (a ) + N

ˆ aˆ (k ) − k . sr

ˆ aˆ (k ) − k . sr

Dengan menyamakan kedua turunan di atas dengan nol, maka didapatkan 1 ˆ rs (4.2.3) +λ ˆ = 0 aˆsr dan

Kemudian karena aˆsr (k ) adalah peluang transisi, maka jumlah peluang dari semua kemungkinan state asal untuk berpindah ke suatu state atau jumlah peluang setiap kolom matriks transisi, harus bernilai 1 dan dapat ditulis sebagai berikut N

X l , er

Kemudian turunkan persamaan di atas terhadap aˆsr . Sehingga dihasilkan persamaan berikut 1 ˆ +λ ˆ aˆsr (k ) Sedangkan jika diturunkan terhadap λ , akan diperoleh

X l −1 , er

dengan R (a ) bebas terhadap aˆ dan nilai harapan bersyaratnya sebagai berikut N

X l , er =

r , s =1

log aˆ sr (k ) + R (a )

r , s =1

N

λ

[log aˆsr (k ) − log asr ]

N

aˆsr (k )

X l , er (1)

ˆ aˆ (k ) = k . sr

r , s =1

k

r , s =1 l =1

s =1

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter aˆsr (k ) yang memenuhi bentuk bersyarat (4.2.2). Untuk itu dinotasikan λ sebagai pengali Lagrange sehingga

dP* pada . Akibatnya dP dapat diperoleh fungsi Log-likelihoodnya yaitu dP* log Λ*k = log dP X l , es

N

N

=

N

(4.2.1) =k . Dapat dilihat bahwa persamaan (4.2.1) sama bentuknya dengan penduga lamanya waktu kejadian yaitu l =1 r =1

k

N

X l , er

Jadi persamaan (4.2.1) dapat ditulis dalam bentuk bersyarat

Misalkan ukuran peluang baru adalah P* , dP* didefinisikan = Λ sebagai turunan dP

N

k

=

.

Radon-Nykodim

N

l =1 r =1

itu didefinisikan fungsi Likelihood k

N

l =1 r =1 k

=

k

Λ*k = ∏ l =1 λl* ( X l −1 , yl )

k

N r , s =1

aˆsr (k ) = 1 .

ˆ aˆ (k ) = k . sr

(4.2.4)

Dari kedua persamaan tersebut, dihasilkan ˆ rs (4.2.5) . aˆsr (k ) = − k r . λˆ

Hal ini berlaku untuk setiap transisi ke state X l = er ,1 < l < k ,1 < r < N pada setiap waktu ke-l, 1 < l < k . Akibatnya persamaan

k

Kemudian subtitusikan (4.2.5) ke (4.2.4)

11

N

ˆ aˆ (k ) = k sr

r , s =1 N

−

ˆ

ˆ

1

−

N

k

λ r , s =1 n =1

1

=k

rs k

=k

λˆ

r , s =1

−

rs k r k

N

λ r , s =1

ˆ

=

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter cˆr (k ) . Hal ini dilakukan dengan menurunkan persamaan di atas terhadap cˆr (k ) dan menyamakan turunannya dengan nol sebagai berikut

sehingga didapatkan nilai λ = −1 dan diperoleh pilihan optimum untuk aˆsr (k ) yaitu

ˆ

aˆsr (k ) =

rs k r k

ˆ

=

γk (

rs k

) ( )

γk

r k

2 ˆ kr ( y ) − 2 ˆ rk cˆr ( k )

.

2σ r

Kini untuk mengganti parameter dengan cî , didefinisikan fungsi likelihood Λ = ∏ l =1 λ k

* k

* l

2

− cˆ, X k

{

}) .

cˆr ( k ) =

l =1

=

( c, X

2 l −1

2

N

l =1

r =1

X l −1 , er

(c

2 r

=

N

2

( y ) cˆr ( k ) −

cˆ

2

r

(k )

(

σ , Xk σˆ, X k

)

exp −

exp −

1 2 σˆ , X k 1 2 σ ,Xk

( yk +1 − c, X k )

2

( yk +1 − c, X k )

2

P* ,

Misalkan ukuran peluang baru adalah maka turunan Radon-Nykodim

)

dP* pada dP

k

diberikan oleh dP* dP

+ R ( c ),

2σ r dengan R (c) bebas terhadap cˆ dan nilai harapan bersyaratnya adalah r =1

.

λ X k , yk +1 = l

− cˆr2 ( k )

r k

r k

dengan faktor

− 2 yl c, X l −1

−2 yl cr + 2 yl cˆr ( k ) ) / 2σ r r k

( )

k

+ 2 yl cˆ, X l −1 ) / 2 σ , X l −1

k

( y) )

Λ*k = ∏ l =1 λl* ( X l −1 , yl )

P* , { yl − cˆ, X l −1 } , l ∈ N ,

− cˆ, X l −1

k

r k

k

N

.

Kemudian untuk mengganti parameter σ dengan σˆ i ( k ) (dengan nilai ci tetap), didefinisikan fungsi likelihood

adalah barisan peubah acak yang menyebar Normal N (0, σ ) dan bebas stokastik identik. Kemudian dapat diperoleh fungsi Loglikelihood nya yaitu dP* log Λ*k = log dP =

ˆ r ( y) γ k ( k = ˆr γ k

k

bawah

( y)

ˆr

Akibatnya dapat diperoleh pilihan optimum dari cˆr (k ) , jika diketahui observasi hingga waktu ke-k, sebagai berikut

2

Misalkan ukuran peluang baru adalah P* , dP* maka turunan Radon-Nykodim pada k dP diberikan oleh dP* = Λ*k . dP Di

r k

k

c, X k

− 2 yk +1 c, X k + 2 yk +1 cˆ, X k

ˆ

cˆr ( k ) =

( X l −1 , yl )

1 2 σ , Xk

=0

2 ˆ kr ( y ) − 2 ˆ rk cˆr ( k ) = 0

ci

dengan faktor

λk*+1 ( X k , yk +1 ) = exp

+ Rˆ ( c )

2σ r

r =1

X n , es = k

X n −1 , er

[log Λ*k | ] ˆ r ˆ2 N 2 ˆ r y c ˆ k ( ) r (k ) − k c r (k )

= Λ*k . k

Akibatnya dapat diperoleh likelihood nya yaitu

12

fungsi

Log-

.

log Λ k = log

dP* dP

l =1

(y

k

1 1 − log σˆ , X l −1 − × 2 2 σˆ , X l −1

k

=

− c, X l −1

l

Akibatnya dapat diperoleh pilihan optimum dari σˆ i ( k ) , jika diketahui observasi hingga waktu ke-k sebagai berikut −1 ˆ i ( y 2 ) − 2c ˆ i ( y ) + c 2 ˆ i . σˆ (k ) = ˆ i

dengan R ( c,

)

)

2

( )

i

) + R ( c, σ )

k

k

bebas terhadap σ dan nilai

=

−

l =1 i =1

X ,e 1 X l −1 , ei log σˆ i ( k ) − l −1 i × 2 2σˆ i ( k )

( y − 2ci yl + c ) | 2 l

=−

1 2

N i =1

aˆsr (k ) =

k]

N

2 i

log σˆ i ( k ) ˆ ik +

^

1

σˆ i ( k )

2 − 2ci ˆ ki ( y ) + ci ˆ ik

+ R ( c, σ )

k

( )

= ˆ ik

(

−2ci γ k

ˆ i ( y) + c ˆ i k

ˆ

i k

i

k

=

γk (

rs k

γk

r k

) ( ) r k r k

(4.2.6)

) )

(4.2.7)

ˆ i ( y 2 ) − 2c ˆ i ( y ) + c 2 ˆ i k i k i k

) (

i k

−1

)γ(

i k

i k

( y2 ))

( y ) ) + ci γ k ( 2

i k

)

.

(4.2.8)

dievaluasi

kembali

dengan menggunakan parameter baru dan memungkinkan juga untuk selanjutnya dievaluasi dengan menggunakan data baru.

) ) = σˆ ( k ).

2 −2ci ˆ ki ( y ) + ci ˆ ik = 0 i

ˆ

rs k r k

Nilai dan γ k ( X k ) dapat

)

σˆ i ( k ) ˆ ik − ˆ ki ( y 2 ) =

2

k

yang didefinisikan pada himpunan parameter θˆ = {( aˆ sr ) ,1 ≤ s, r ≤ N , cˆr ,1 ≤ r ≤ N , σˆ i ,1 ≤ i ≤ N }.

2 −2ci ˆ ki ( y ) + ci ˆ ik = 0

i k

−1

= γk (

(

( ˆ ( y ) − 2c

i

σˆ i (k )

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter σˆ i ( k ) . Hal ini dilakukan dengan menurunkan persamaan di atas terhadap σˆ i ( k ) dan menyamakan turunannya dengan nol sebagai berikut 1 î 1 ˆ i ( y2 ) = k− k 2 σˆ i ( k ) σˆ i ( k )

2

k

2

)} + Rˆ ( c,σ ).

(

ˆ

ˆ r ( y) γ k ( k = ˆr γk ( k

cˆr (k ) =

( ˆ (y ) i k

i

Jadi rumusan yang dihasilkan untuk parameter baru berdasarkan observasi hingga waktu ke-k, adalah:

harapan bersyaratnya adalah [log Λ k |

k

i

V. PEMODELAN NILAI NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR Pada Bab ini dimodelkan masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Berikut ini terlebih dahulu dijelaskan mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah serta aplikasi untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 dan N =3.

dari www.bankofcanada.ca. Data berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005. Artinya ada sebanyak 95 data proses observasi ( yk ) yang digunakan dalam kasus perubahan nilai tukar Rupiah tersebut. Grafik data dapat dilihat pada Gambar 1.1. Pada Gambar 1.1, terlihat data di awal meningkat cukup tinggi hingga mencapai puncaknya pada bulan Juli tahun 1998. Kemudian pada bulan berikutnya, data menurun secara perlahan. Posisi terendah dicapai pada bulan Juli tahun 1999. Kemudian

5.1 Data Input Nilai Tukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan yang diambil

13

Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan 15.000

Nilai 1 US Dollar (Rupiah)

14.000 13.000 12.000 11.000 10.000 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.000 Feb-1998

Feb-1999

Feb-2000

Feb-2001

Feb-2002

Feb-2003

Feb-2004

Feb-2005

Tahun

Gambar 1.1 Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan data mengalami kenaikan serta penurunan lagi di bulan-bulan selanjutnya.

dipengaruhi oleh penyebab kejadian sebelumnya saja. Jadi karena penyebab kejadian nilai tukar Rupiah membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, maka masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov. Proses observasi { yk , k ∈ } yang digunakan pada model adalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan dan bernilai skalar. Banyaknya data k adalah 95, sedangkan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung { X k , k ∈ } pada model adalah penyebab terjadinya perubahan nilai tukar tersebut. Berdasarkan banyaknya penyebab kejadian N, maka kasus yang dibahas dalam karya ilmiah ini terbagi atas dua macam. Kasus pertama untuk N = 2 dan kasus kedua untuk N = 3 . Dengan menggunakan algoritma EM dan pendugaan rekursif pada kedua kasus tersebut, maka dapat ditentukan parameter yang dapat memaksimumkan peluang kejadiannya sehingga dapat diduga penyebab terjadinya perubahan nilai tukar tersebut. Kemudian dapat ditentukan peluang observasi untuk satu bulan dan dua bulan yang akan datang jika diketahui data proses observasi sebelumnya. Secara keseluruhan algoritma yang digunakan untuk memproses data tersebut adalah sebagai berikut:

5.2 Pemodelan Kasus Nilai Tukar Rupiah Nilai tukar Rupiah dapat berubah setiap waktunya. Banyak hal yang dapat menyebabkan perubahan tersebut, di antaranya pergantian sistem pemerintahan, situasi keamanan yang kurang baik dan sebagainya. Penyebab-penyebab tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, jika di waktu sebelumnya terjadi pergantian sistem pemerintahan maka biasanya akan diikuti dengan munculnya mosi tidak percaya dari masyarakat terhadap pemerintahan baru yang menyebabkan situasi keamanan di Indonesia saat itu menjadi kurang kondusif. Hal itu membuat banyak investor asing takut menginvestasikan Dollar di Indonesia sehingga terjadi kenaikan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar. Kejadian ini bisa berulang namun tidak dapat dipastikan kurun waktunya. Akibatnya besar kemungkinan di waktu yang akan datang penyebab kejadiannya adalah kejadian yang sama jika sebelumnya diketahui terjadi pergantian sistem pemerintahan, akan memiliki nilai peluang yang tidak jauh berbeda dengan nilai peluangnya saat itu. Hal ini menunjukkan bahwa penyebab kejadian nilai tukar bersifat homogen. Selain itu, penyebab kejadian nilai tukar diasumsikan bersifat Markov. Artinya meski di waktu yang lalu pernah terjadi berbagai hal yang memengaruhi nilai tukar, namun penyebab perubahan nilai tukar saat ini cukup

Algoritma: 1. Misalkan diketahui nilai harapan penyebab kejadian awal, sama dengan

14

γ k +1 (

peluang dari penyebab kejadiannya yaitu kejadian ke-i atau state ei

[ X 0 ] = P( X k

6.

σˆ i ,1 ≤ i ≤ N } Untuk proses ini digunakan Algoritma Expectation Maximization. Langkahlangkahnya seperti pada Bab IV sehingga dihasilkan rumus untuk mencari parameter seperti pada persamaan (4.2.6), (4.2.7) dan (4.2.8). Dengan menggunakan rumus tersebut, tentukan nilai-nilai parameter baru θˆ . 7. Dengan parameter yang dihasilkan, dapat dicari penduga rekursif untuk state pada waktu ke-( k + 1 ) seperti pada persamaan (3.4.1.1). 8. Ganti nilai awal penduga rekursif γ untuk banyaknya lompatan, lama waktu kejadian, proses observasi dan penduga untuk state dengan data yang baru. Sedangkan nilai awal parameter θ 0 bernilai tetap. Kemudian ganti nilai k menjadi k + 1 . 9. Ulangi langkah 4 hingga 9 sebanyak h kali atau sampai nilai k sama dengan h. 10. Parameter yang dihasilkan pada iterasi terakhir atau ketika k sama dengan h, dijadikan parameter awal θ 0 untuk iterasi

= 0 , penduga lamanya = 0 , dan

(f)=0

penduga proses observasi

untuk f = y dan f = y . Akibatnya didapatkan nilai penduga tak ternormalkan untuk ukuran peluang baru P yaitu: penduga banyaknya lompatan γ 0,0 ( ) = 0 , penduga lamanya waktu 2

kejadian di state ei γ 0,0 (

penduga proses γ 0,0 ( ( f ) ) = 0 untuk 4.

dan

observasi f = y dan

f = y2 . Dengan nilai parameter awal θ 0 dan nilai awal penduga diketahui, maka dapat dicari nilai penduga rekursif untuk waktu ke-( k + 1 ) dalam ukuran peluang P yaitu: dan γ k +1, k +1 ( + ) , γ k +1, k +1 ( +1 ) ,

γ k +1, k +1 (

5.

)=0,

+1

( f ))

ke-( h + 1 ). Ganti nilai awal penduga state γ 0 ( X 0 ) atau π , dengan data yang baru yang memenuhi persamaan Aπ = π , dengan A adalah parameter matriks transisi yang baru. Kemudian tentukan nilai harapan bersyarat dari X k +1 jika diberikan dengan rumus ˆ X k +1 : = [ X k +1 | k ]

f = y dan

untuk

f = y 2 . Rumus yang digunakan seperti pada persamaan (3.4.2.1), (3.4.3.1) dan (3.4.4.1). Tentukan penduga rekursif dari banyaknya lompatan, lama waktu kejadian dan proses observasi setelah diketahui data proses observasi hingga waktu ke-k ( ), dengan rumus sebagai berikut:

γ k +1 (

γ k +1 (

rs k +1 r k +1

)=

)=

γ k +1, k +1 ( γ k +1, k +1 (

rs k +1 r k +1

Dengan informasi data ke-k , dapat dicari parameter baru θˆ = ( aˆ ji ) ,1 ≤ i, j ≤ N , cî ,1 ≤ i ≤ N ,

σ i ,1 ≤ i ≤ N } Mulai dengan diketahui data awal dan akan dicari data ke- h = 1 . Untuk k = 0 , set nilai awal penduga rekursif γ , yaitu penduga banyaknya

waktu kejadian di state- ei

( f ) ) ,1

{

ci ,1 ≤ i ≤ N ,

lompatan

r k +1

dengan 1 = (1,1,...,1) .

= ei ) ,

rataan C0 dan ragam σ 0 . Jadi nilai parameter awal diketahui yaitu θ 0 = {(a ji ),1 ≤ i, j ≤ N ,

3.

( f ) ) = γ k +1, k +1 ( t

adalah π 0 yang memenuhi A0π 0 = π 0 sehingga bisa didapatkan nilai awal penduga state γ 0 ( X 0 ) dan matriks transisi A0 . Selain itu diberikan nilai awal

2.

r k +1

_

=

_

Λ k X k +1 | _

k

_

Λk |

k

γ k ( X k +1 ) γ k ( 1) γ k ( X k +1 ) = . γ k ( X k +1 ),1 =

) ,1

11. Ganti h dengan h + 1 . Kemudian ulangi langkah 3 hingga 11 sampai data yh yang terakhir.

) ,1

15

12. Tentukan nilai peluang bersyarat untuk penyebab kejadian X t = ei jika diketahui data proses observasi ke-k (

γ0(X0) =

)dengan

πi =

exp

πj

N j =1

2πσ j

exp

−( yk − ci ) 2 2σ i

− ( yk − c j ) 2σ j

2

k

i

Untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 , terdapat dua nilai rata-rata c dan ragam σ yang diduga merupakan rataan dan ragam kejadian. Selain itu ukuran matriks peluang transisinya A adalah 2 × 2 . Dalam karya ilmiah ini dimisalkan rataan yang diakibatkan oleh state e1 adalah 10000 dan C0 =

8000

.

adalah

Sedangkan

8000 ragam

P Xk e1 Yk

0.46 0.45 0.44 0.43 0.42 0.41

atau

0.4 0.39

untuk

0

penyebab kejadian e1 adalah 2000 dan untuk

e2 adalah 1000 atau σ 0 =

2000 1000

49 /127 78 /127

20

40

60

80

Gambar 2.1 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu kek. Sedangkan untuk nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah kejadian ke-2 atau e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k, ditunjukkan pada Gambar 2.2. Dapat dilihat pada gambar tersebut,

. Misalkan

nilai harapan penyebab kejadian awal, sama dengan peluang dari penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-i atau state ei , diketahui yaitu π 0 =

.

cukup besar untuk berpindah menjadi e2 dengan rataan 8000. Sedangkan untuk kejadian sebaliknya, peluangnya sangat kecil. Dengan menggunakan algoritma seperti pada pembahasan 5.1, maka didapatkan hasil berupa parameter-parameter seperti yang ditunjukkan pada lampiran dalam tabel parameter 1.1. Selain itu dihasilkan peluang bersyarat seperti yang ditunjukkan pada lampiran dalam Tabel 1.2, 1.3, 1.4, dan 1.5. Adapun grafik yang dihasilkan oleh data tersebut ditunjukkan pada Gambar 2.1, 2.2, 2.3 dan 2.4 . Grafik pada Gambar 2.1 menunjukkan perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke-1 atau e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu kek. Dapat dilihat pada grafik bahwa peluangnya turun dari 0.641 menjadi 0.385 pada waktu k = 2 atau pada bulan Maret tahun 1998. Kemudian relatif stabil pada bulan-bulan selanjutnya.

Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2

10000

6 / 13

transisi dari state e2 ke state e2 adalah 6/13. Dari matriks tersebut dapat terlihat bahwa peluang perpindahan dari state e1 ke state e2 lebih besar dibandingkan peluang transisi yang lain. Artinya jika penyebab kejadiannya e1 dengan rataan 10000 maka peluangnya

.

2

i

e2

6/7

e2 ke state e1 adalah 7/13 dan peluang

5.2.1 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk

state

7 / 13

state e2 adalah 6/7, peluang transisi dari state 2

Lalu dapat digambarkan grafik dari peluang bersyarat tersebut. 13. Tentukan nilai peluang bersyarat untuk data proses observasi satu bulan dan dua bulan yang akan datang, k +1 dan k +2 dengan diketahui data proses observasi hingga bulan ke-k, . Nilai r atau batas Rupiah yang digunakan berkisar antara 7000-16000. Rumus yang digunakan seperti pada persamaan (3.2.1) dan (3.2.2). Kemudian dapat digambarkan grafik dari peluang bersyarat tersebut.

untuk

1/ 7

e1 adalah 1/7, peluang transisi dari state e1 ke

Kemudian tentukan nilai peluang bersyarat untuk penyebab kejadian X t = ei jika diketahui data proses observasi hingga waktu ke-k dengan rumus P ( X = e | ) = Xˆ , e k

78 /127

dan A0 =

Artinya peluang transisi dari state e1 ke state

rumus P ( X k = ei | yk ) 2πσ i

49 /127

sehingga bisa diperoleh

16

bahwa peluangnya naik dari 0.538 menjadi 0.614 pada waktu k = 2 atau pada bulan Maret tahun 1998. Kemudian relatif stabil pada bulan-bulan selanjutnya.

e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k, ditunjukkan pada Gambar 2.4. Dapat dilihat pada gambar tersebut bahwa nilai peluangnya mengalami penurunan yang cukup tajam hingga 0.61417328811 pada waktu k = 72 atau bulan Januari tahun 2004. Kemudian mengalami penurunan lagi dan stabil di kisaran 0,6141732278 hingga waktu terakhir. P(Xk =e|y,y,...y) 2 1 2 k

P Xk e2 Ytk

0.61 0.6 0.59 0.58 0.57

0,6141732284

0.56

0,6141732283

0.55

0,6141732282

0.54

0

20

40

60

0,6141732281

80

Gambar 2.2 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k . Dari Gambar 2.1 dan Gambar 2.2 dapat disimpulkan bahwa jika hanya diketahui proses observasi pada waktu ke-k, maka penyebab kejadian e2 dengan rataan 8000, paling memengaruhi perubahan nilai tukar pada waktu k = 2 . Hal ini sesuai dengan perubahan nilai tukar Rupiah yang terjadi pada bulan Maret tahun 1998. Dari grafik perubahan nilai tukar dapat dilihat bahwa terjadi penurunan dari Rp 9.649,92 menjadi Rp. 8.136,55 pada waktu tersebut. Sedangkan jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k, maka nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah e1 dapat ditunjukkan pada Gambar 2.3. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa nilai peluang mengalami lonjakan hingga 0.3858267718 pada waktu k = 72 atau pada bulan Januari tahun 2004. Kemudian mengalami kenaikan lagi dan stabil di kisaran 0,3858267721 hingga waktu terakhir. P(Xk =e|y,y,...y) 1 1 2 k

0,6141732280 0,6141732279 0,6141732278 1

Gambar 2.4 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k . Dari kedua grafik pada Gambar 2.3 dan 2.4 dapat disimpulkan bahwa penyebab kejadian e1 lebih memengaruhi terjadinya nilai tukar pada waktu k = 72 . Dari grafik perubahan nilai tukar Rupiah, dapat dilihat bahwa terjadi kenaikan dari Rp 8.389,33 menjadi Rp 8.345,10 pada waktu tersebut. Meski demikian, penyebab kejadian e2 , tetap mungkin berpengaruh pada perubahan nilai tukar karena nilai peluangnya selalu di atas 0.5. Untuk peluang proses observasi kejadian nilai tukar satu bulan dan dua bulan yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke 95 atau data yang terakhir, dapat dilihat pada Tabel 1.5. Dari tabel tersebut dapat diketahui bahwa nilai kedua peluang semakin meningkat seiring dengan kenaikan r atau batas nilai Rupiahnya. Kenaikan peluang mencapai 0.55 setelah r = 10000. Semakin tinggi nilai r, maka peluangnya semakin tinggi pula. Bahkan ketika r = 16000 peluangnya mencapai 0,99. Artinya peluang untuk proses observasi semakin besar pada interval r yang semakin lebar. Jika dibandingkan dengan data aktual pada bulan Januari tahun 2006 yaitu Rp 9.464.28 dan data bulan Februari tahun 2006 yaitu Rp 9.265.31maka dapat dilihat keakuratannya. Proses observasi pada kejadian sebenarnya mendekati nilai 10000. Hal ini sesuai dengan peluang yang telah diperoleh, yaitu di atas 0.5 setelah r = 10000. Jadi peluang bersyarat

0,3858267722 0,3858267721 0,3858267720 0,3858267719 0,3858267718 0,3858267717 0,3858267716 0,3858267715 1

11

21

31

41

51

61

71

81

11 21 31 41 51 61 71 81 91

91

Gambar 2.3 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k . Untuk nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke-2 atau

17

seperti pada persamaan (3.2.1) dan (3.2.2) cukup baik untuk menduga peluang observasi yang akan datang.

peluangnya cukup besar untuk berpindah menjadi e1 dengan rataan 10000. Dengan menggunakan algoritma seperti pada pembahasan 5.1, maka didapatkan hasil berupa parameter-parameter seperti yang ditunjukkan pada lampiran dalam Tabel parameter 2.1. Selain itu dihasilkan peluang bersyarat seperti yang ditunjukkan pada lampiran dalam Tabel 2.2, 2.3, 2.4 dan 2.5 . Adapun grafik yang dihasilkan oleh data tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 dan 3.6. Grafik pada gambar 3.1 menunjukkan perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke-1 atau e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. Dapat dilihat dari grafik tersebut bahwa peluangnya naik dari 0.124 menjadi 0.326 pada waktu k = 2 atau pada bulan Maret tahun 1998. Kemudian relatif stabil pada bulan-bulan selanjutnya.

5.2.3 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk Banyaknya Penyebab Kejadian N = 3 Untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 3, terdapat tiga nilai rata-rata c dan ragam σ yang diduga merupakan rataan dan ragam kejadian. Selain itu ukuran matriks peluang transisinya A adalah 3 × 3 . Dalam karya ilmiah ini dimisalkan rataan yang diakibatkan oleh state e1 adalah 10000, untuk state

e2 adalah 9000

dan untuk state e3 adalah 10000

8000 atau C0 = 9000 . Sedangkan ragam 8000

untuk penyebab kejadian e1 adalah 3000,

P Xk e1 Yk

untuk state e2 adalah 2000 dan untuk state e3 3000

0.3

adalah 1000 atau σ 0 = 2000 . Untuk kasus

0.25

1000

ini terlebih dulu diketahui nilai matriks transisi

yaitu

1/ 3

2/9

4/9

A0 = 4 / 9

1/ 3

1/ 3 .

2/9

4/9

2/9

0.2 0.15

0

Kemudian dapat dicari nilai harapan penyebab kejadian awal, sama dengan peluang dari penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-i atau state ei , yaitu

0,32608695652173914

π 0 = 0,3695652173913043

20

40

60

80

60

80

Gambar 3.1 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. Sedangkan untuk nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke2 atau e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k, ditunjukkan pada grafik di bawah.

,

0,30434783608695654 sehingga bisa didapatkan γ 0 ( X 0 ) dengan nilai yang sama. Dari matriks transisinya dapat terlihat bahwa peluang transisi dari state e1 ke state

P Xk e2 Yk

0.7

e2 serta peluang transisi state e2 ke state e3

0.6

dan peluang transisi state e3 ke state e1 lebih besar dibandingkan peluang transisi yang lain. Artinya jika penyebab kejadiannya e1 dengan rataan 10000 maka peluangnya cukup besar untuk berpindah menjadi e2 dengan rataan 9000. Begitupun jika penyebab kejadiannya e2 dengan rataan 9000 maka peluangnya

0.5 0.4

0

20

40

Gambar 3.2 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. Dapat dilihat pada Gambar 3.2, bahwa peluangnya turun dari 0.7869 menjadi 0.369 pada waktu k=2 atau pada bulan Maret tahun

cukup besar untuk berpindah menjadi e3 dengan rataan 8000. Dan jika penyebab kejadiannya e3 dengan rataan 8000 maka

18

1998. Kemudian relatif stabil pada bulanbulan selanjutnya. Untuk nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke-3 atau e3 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k, ditunjukkan pada pada gambar 3.3. Dapat dilihat pada gambar tersebut bahwa grafik peluangnya naik dari 0.0865 menjadi 0.304 pada waktu k = 2 atau pada bulan Maret tahun 1998. Kemudian relatif stabil pada bulan-bulan selanjutnya.

Dapat dilihat pada Gambar 3.4, bahwa nilai peluang naik perlahan di awal namun mengalami penurunan yang cukup tajam pada waktu k = 71 atau pada bulan Desember tahun 2004. Setelah itu, nilai peluang mengalami kenaikan dan stabil di kisaran 0,3260869563 hingga waktu terakhir. Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah kejadian ke2 atau e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k, ditunjukkan pada Gambar 3.5. Terlihat pada gambar bahwa grafik peluangnya mengalami penurunan yang cukup tajam hingga 0.36956521391122 pada waktu k = 72 atau pada bulan Januari tahun 2004. Kemudian mengalami lonjakan hingga mencapai posisi 0.36956521741 pada waktu k = 73 atau pada bulan Februari tahun 2004. Setelah itu, nilai peluang mengalami kenaikan lagi dan stabil di kisaran 0.3695652174188 hingga waktu terakhir.

P Xk e3 Yk

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1

0

20

40

60

80

Gambar 3.3 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3 , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. Dari Gambar 3.1, Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 dapat disimpulkan bahwa pada waktu e3 penyebab kejadian cukup k =2 memengaruhi terjadinya nilai tukar. Dari grafik perubahan nilai tukar Rupiah, dapat dilihat bahwa terjadi penurunan dari Rp 9.649,92 menjadi Rp. 8.136,55 pada waktu tersebut. Meski demikian, kemungkinan penyebab kejadian nilai tukar adalah e1 atau e3 juga bisa berpengaruh karena nilai peluang ketiganya tidak jauh berbeda. Sedangkan jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k, maka nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 dapat ditunjukkan pada grafik di bawah.

P(Xk =e|y ,y2,...yk ) 2 1 0,36956521743 0,36956521742 0,36956521741 0,36956521740 0,36956521739 0,36956521738 0,36956521737 1

Gambar 3.5 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. P(Xk =e|y ,y2,...yk ) 3 1

0,30434782635

0,30434782625

P(Xk =e|y ,y2,...yk ) 1 1

0,3260869567

11 21 31 41 51 61 71 81 91

0,30434782615

0,3260869566

0,30434782605 1

0,3260869565

31 41 51 61

71 81 91

Gambar 3.6 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. Sedangkan untuk nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3 jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k ditunjukkan pada Gambar 3.6. Dapat dilihat pada gambar tersebut, nilai peluang mengalami lonjakan hingga 0.3043478262890

0,3260869564 0,3260869563 0,3260869562 1

11 21

11 21 31 41 51 61 71 81 91

Gambar 3.4 Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1 , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k.

19

pada waktu k = 72 atau pada bulan Januari tahun 2004. Kemudian mengalami penurunan hingga 0.3043478262567 pada waktu k = 73 atau pada bulan Februari tahun 2004. Setelah itu, nilai peluang mengalami penurunan lagi dan stabil di kisaran 0.3043478262562 hingga waktu terakhir. Jadi dari grafik peluang pada Gambar 3.4, Gambar 3.5 dan Gambar 3.6 dapat disimpulkan bahwa sejak waktu awal hingga waktu k = 71 terjadinya perubahan nilai tukar sangat dipengaruhi penyebab kejadian e1 . Dari tabel perubahan nilai tukar Rupiah, dapat dilihat bahwa terjadi kenaikan hingga Rp 14.226,88 di awal data. Kemudian terjadi penurunan yang cukup drastis hingga Rp 6.987,73 dan naik lagi hingga berada pada Rp Rp. 8.488,13 pada waktu k = 71 . Hal ini sesuai dengan dugaan yang mungkin bahwa penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-1 yang mempunyai rataan 10000, karena nilainya paling dekat dengan setiap nilai tukar tersebut. Untuk waktu k = 71 hingga waktu k = 72 , penyebab kejadian yang cukup memengaruhi terjadinya nilai tukar adalah penyebab kejadian e3 . Meskipun nilai

k = 73 hingga k = 95 Pada waktu penyebab kejadian e2 kembali memengaruhi terjadinya nilai tukar. Dari tabel perubahan nilai tukar Rupiah, dapat dilihat bahwa terjadi perubahan nilai tukar di kisaran Rp 10.000,00 dan Rp 9.000,00 dan di akhir data terjadi penurunan menuju Rp 9.864,64 dari Rp 10.049,99. Hal ini sesuai dengan dugaan yang mungkin bahwa penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-2 yang mempunyai rataan 9000, Nilai–nilai secara lengkapnya dapat dilihat pada lampiran dalam tabel peluang bersyarat. Untuk peluang proses observasi kejadian nilai tukar satu bulan dan dua bulan yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke 95 atau data yang terakhir, dapat dilihat pada Tabel 2.5. Dari tabel tersebut dapat diketahui bahwa nilai kedua peluang semakin meningkat seiring dengan kenaikan r atau batas nilai Rupiahnya. Kenaikan peluang mencapai 0.55 setelah r = 10000. Semakin tinggi nilai r, maka peluangnya semakin tinggi pula. Bahkan ketika r = 16000 peluangnya mencapai 0,99 atau hampir mendekati satu. Artinya peluang untuk proses observasi semakin besar pada interval r yang semakin lebar. Jika dibandingkan dengan data aktual pada bulan Januari tahun 2006 yaitu Rp 9.464.28 dan data bulan Februari tahun 2006 yaitu Rp 9.265.31maka dapat dilihat keakuratannya. Proses observasi pada kejadian sebenarnya mendekati nilai 10000. Hal ini sesuai dengan peluang yang telah diperoleh, yaitu di atas 0.5 setelah r = 10000. Jadi peluang bersyarat seperti pada persamaan (3.2.1) dan (3.2.2) cukup baik untuk menduga peluang observasi yang akan datang. Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, dapat diketahui bahwa semakin tinggi nilai N maka keakuratan yang diperoleh semakin baik. Hal ini dapat dilihat dari hasil peluang bersyarat untuk kejadian nilai tukar Rupiah yang akan datang. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa model Hidden Markov, dapat memodelkan dengan baik masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar.

peluang e2 lebih besar, tapi kenaikan peluang

e3 menandakan bahwa terjadi peningkatan peluang yang cukup memengaruhi nilai tukar. Dari grafik perubahan nilai tukar, dapat dilihat bahwa pada waktu tersebut terjadi penurunan menuju Rp 8.389,33. Hal ini sesuai dengan dugaan yang mungkin bahwa penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-3 yang mempunyai rataan 8000, karena nilainya paling dekat dengan penurunan tersebut. Penyebab kejadian e2 lebih memengaruhi terjadinya nilai tukar pada waktu k = 72 . Dari grafik perubahan nilai tukar Rupiah, dapat dilihat bahwa sejak waktu k = 72 dengan nilai tukar Rupiah sebesar Rp 8.435,10, nilai tukar Rupiah terus naik menuju Rp. 9000,-. Hal ini sesuai dengan dugaan yang mungkin bahwa penyebab kejadiannya adalah kejadian ke-2 yang mempunyai rataan 9000, karena nilainya paling dekat dengan kenaikan tersebut.

20

SIMPULAN Model Hidden Markov dapat memodelkan masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Dalam karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data nilai tukar Rupiah per bulan yang diperoleh dari www.bankofcanada.ca. Data berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005. Data nilai tukar dianalisis dengan terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran yang dibatasi oleh turunan Radon-Nykodim. Kemudian dalam ukuran peluang baru dilakukan pendugaan parameter model Hidden Markov melalui reestimasi parameter menggunakan program komputasi yang dibuat dengan software Mathematica 5.1. Hasilnya berupa penduga rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi. Pendugaan rekursif ini kemudian digunakan untuk menentukan

parameter dengan menggunakan algoritma EM yang tercakup dalam program. Parameter-parameter yang diperoleh kemudian digunakan untuk mencari peluang bersyarat dari penyebab kejadian dan kejadian nilai tukar yang akan datang. Sehingga bisa diduga penyebab utama kejadian nilai tukar serta nilai tukar untuk satu hingga dua bulan yang akan datang. Hal ini bisa membantu dalam pengambilan keputusan ekonomi untuk masa yang akan datang. Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, dapat diketahui bahwa semakin tinggi nilai N maka keakuratan yang diperoleh semakin baik. Hal ini dapat dilihat dari hasil peluang bersyarat untuk kejadian nilai tukar Rupiah yang akan datang. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa model Hidden Markov, dapat memodelkan dengan baik masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar.

DAFTAR PUSTAKA Arifin, Ahcmad. 2001. Aljabar Linier. Ed. Ke-2. Penerbit ITB. Bandung.

Osborne, M. J. 1997. Concave and convex functions of many variables. www.economics.about.com/Convex.htm. [20-3-2005]

Elliot, J. Robert; A. Lakhdar dan Moore, John B. 1995. Hidden Markov Model. Continuous. Springer-Verleg. New York.

Ross, S. M. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York.

Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Royden, H. L. 1963. Real Analysis. The Macmillan Company. New York. Weisstein, E. W. 1999. Jensen's Inequality www.mathworld.wolfram.com/ Jensens Inequality.html . [20-3-2005]

Hamilton, J. D. 1990. Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime. Journal of Econometrics 45:39-70.

Wong. E dan B. Hajek. 1985. Stochastic Processes in Engineering Systems. Springer-Verlag. New York.

Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed.ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Kristina, Linda. 2006. Pendugaan Parameter Model Hidden Markov. Skripsi. Sarjana Science Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB.

21

LAMPIRAN

22

LAMPIRAN A Program utama

LinearAlgebra`MatrixManipulation` Statistics`ContinuousDistributions` fungsi . yk fungsi2 i_, yk_, ci_, i_, N_ : yk ci fungsi3 ScientificForm ScientificForm 1 i ScientificForm fungsi3 yk ; fungsi kepekatan peluang . fungsi3 R_ : PDF NormalDistribution

1

i

0, 1 , R

fungsi7 N

All, i

N;

hasil kali dalam fungsi4 Q_, D_ : Q.D; fungsi penduga proses observasi f y dan f y2 fungsi5 Y_, C_, G_, W_, A_, PX_, PPY_, K_ : Transpose Table Sum fungsi4 PPY All, r , fungsi2 m, Y, C m , G m , W A All, m fungsi4 PX, fungsi2 r, Y, C r , G r , W Y^K A All, r , m, 1, W , r, 1, W ; peluang Xk jika diketahui yk fungsi6 P_, yk_, ci_, i_, N_ : Sum P i fungsi10 yk, ci i , i i

, i, 1, N ;

matriks identitas fungsi7 N_ : IdentityMatrix N ; fungsi i . fungsi8 x_, gi_ : PDF NormalDistribution

0, gi1

fungsi sebaran bersama yk dan Xk fungsi9 P_, j_, yk_, ci_, i_, N_ : P j fungsi10 yk, ci j , i j

fungsi6 P, yk, ci, i, N ;

2

,x

N;

fungsi kepekatan peluang yk jika diketahui Xk fungsi10 yk_, ci_, i_ : PDF NormalDistribution ci, i , yk ; fungsi11 x_, peluangBaru_ , A0_ : If x 2, 1 A0 2, 2 2 A0 1, 1 A0 2, 2 , 1 A0 1, 1 2 A0 1, 1 A0 2, 2 , peluangBaru . Solve A0.peluangBaru Sum peluangBaru u , u, 1, W 1 , peluangBaru 1

peluangBaru ,

fungsi utama FungsiUtama pendugaLompA_ , pendugaStayA_ , pendugaProcYA_ , pendugaProcY2A_ , pendugaLompatanA_ , pendugaStayedA_ , pendugaProcessYA_ , pendugaProcessY2A_ , Ap1_, Gp1_, Cp1_, pendugaX0A_ , pendugaLomp3_ , pendugaStay3_ , pendugaProcY3_ , pendugaProcY23_ , W_, Y_, A0_, C0_, G0_, k_ : mencari penduga lompatan pendugaLompA1 Table Table Sum fungsi4 pendugaLomp3 r, s , fungsi2 m, Y k , C0 m , G0 m , W A0 All, m fungsi4 pendugaX0A , fungsi2 r, Y k , C0 r , G0 r , W A0 s, r fungsi7 W All, s , m, 1, W , s, 1, W , r, 1, W , mencari penduga Occupation time pendugaStayA1 Transpose Table Sum fungsi4 pendugaStay3 All, r , fungsi2 m, Y k , C0 m , G0 m , W A0 All, m fungsi4 pendugaX0A , fungsi2 r, Y k , C0 r , G0 r , W A0 All, r , m, 1, W , r, 1, W ,

23

mencari penduga proses observasi pendugaProcYA1 fungsi5 Y k , C0, G0, W, A0, pendugaX0A , pendugaProcY3 , 1 , pendugaProcY2A1 fungsi5 Y k , C0, G0, W, A0, pendugaX0A , pendugaProcY23 , 2 , mencari penduga k dari k,k yang diketahui pendugaLompatanA1 Table Table fungsi4 satu, pendugaLompA1 r, s , s, 1, W , r, 1, W , pendugaStayedA1 Table fungsi4 satu, pendugaStayA1 All, r , r, 1, W , pendugaProcessYA1 Table fungsi4 satu, pendugaProcYA1 All, r , r, 1, W , , r, 1, W , pendugaProcessY2A1 Table fungsi4 satu, pendugaProcY2A1 All, r

mencari parameter baru ai,j k ,ci k , i k ,1 i N,1 j N Ap2 Table Table pendugaLompatanA1 r, s pendugaStayedA1 r , r, 1, W , s, 1, W , 1 pendugaStayedA1 r pendugaProcessY2A1 r Gp2 Table 2C0 r pendugaProcessYA1 r C0 r 2 pendugaStayedA1 r , r, 1, W , pendugaProcessYA1 r Cp2 Table , r, 1, W , pendugaStayedA1 r mencari X dan penduga X yang tak ternormalkan pendugaX01 Sum fungsi4 pendugaX0A , fungsi2 i, Y k , Cp2 i, 1, W ,

Xk

atau

i , Gp2 i

,W

Ap2

All, i

,

set nilai awal pendugaLompA1 , pendugaStayA1 , pendugaProcYA1 , pendugaProcY2A1 , W, Y, A0, C0, G0, k 1 ; FungsiUtama1 W_, pi_, C0_, G0_, A0_, peluangBaru_ : Deklarasi nilai awal Y 9154.10, 9649.92 , 8136.55 , 10313.69 , 13699.15 , 14226.88 , 12222.14 , 11149.69 , 8643.90 , 7850.81 , 7679.35 , 8537.93 , 8750.35 , 8911.01 , 8602.34 , 7943.89 , 7364.07 , 6759.72 , 7458.12 , 8256.95 , 7489.01 , 6987.73 , 7138.07 , 7275.65 , 7427.10 , 7469.71 , 7799.30 , 8338.29 , 8605.60 , 9163.88 , 8428.83 , 8649.07 , 8948.38 , 9353.54 , 9445.49 , 9478.58 , 9653.75 , 10211.95 , 11121.66 , 11272.98 , 11300.52 , 10850.87 , 8949.88 , 9319.49 , 10080.10 , 10557.80 , 10273.10 , 10397.68 , 10233.38 , 9914.37 , 9496.59 , 9130.28 , 8711.79 , 8976.69 , 8916.62 , 8961.73 , 9134.25 , 9061.42 , 8923.31 , 8888.88 , 8888.44 , 8924.60 , 8801.36 , 8425.97 , 8224.26 , 8344.33 , 8449.72 , 8508.12 , 8437.43 , 8503.03 , 8488.13 , 8389.33 , 8435.10, 8583.26 , 8626.29 , 9007.21 , 9395.75 , 9019.92 , 9244.40 , 9180.77 , 9101.73 , 9009.07 , 9226.05 , 9203.24 , 9254.91 , 9378.43 , 9553.58 , 9470.54 , 9635.49, 9821.18, 10009.85 , 10241.43 , 10082.66 , 10049.99 , 9864.64 ; kt Length Y ; pendugaX0 pi; Ap ZeroMatrix W ; Cp ZeroMatrix W, 1 ; Gp ZeroMatrix W, 1 ; Ak ZeroMatrix W, W kt ; Ck ZeroMatrix W, kt ; Gk ZeroMatrix W, kt ; pendugaLomp ZeroMatrix W ; pendugaStay ZeroMatrix W ; pendugaProcY ZeroMatrix W ; pendugaProcY2 ZeroMatrix W ; pendugaLomp1 ZeroMatrix W ; pendugaStay1 ZeroMatrix W ; pendugaProcY1 ZeroMatrix W ; pendugaProcY21 ZeroMatrix W ; pendugaLompatan ZeroMatrix W ; pendugaStayed ZeroMatrix W ; pendugaProcessY ZeroMatrix W ; pendugaProcessY2 ZeroMatrix W ;

24

pendugaNX ZeroMatrix W, kt ; pendugaX ZeroMatrix W, kt ; peluangBersyarat1 ZeroMatrix W, kt ; peluangBersyarat2 ZeroMatrix W, kt ; satu Table 1, i, 1, W ; penduga1 0; Aw A0; Cw C0; Gw G0; Ap 0; Gp 0; Cp 0; A01 A0; C01 C0; G01 G0; Reestimasi parameter Table k 1; set nilai awal Table Table pendugaLomp r, s Table 0, k, 1, W , r, 1, W , s, 1, W ; Table Table pendugaLomp1 r, s Table 0, k, 1, W , r, 1, W , s, 1, W ; Nest FungsiUtama , pendugaLomp1 , pendugaStay1 , pendugaProcY1 , pendugaProcY21 , pendugaLompatan , pendugaStayed , pendugaProcessY , pendugaProcessY2 , Ap, Gp, Cp, pendugaX0 , pendugaLomp , pendugaStay , pendugaProcY , pendugaProcY2 , W, Y, A01, C01, G01, k , h ; A01 Ap2; G01 Gp2; C01 Cp2; menyimpan data untuk tampilan akhir Table Ak All, W h 1 f Ap2 All, f , f, 1, W ; Ck All, h Cp2; Gp2^ 1 2 ; Gk All, h mencari pendugaX0 fungsi11 W, peluangBaru , A01 ; pendugaX All, h pendugaX0 ; penduga1 fungsi4 satu, pendugaX All, h ; pendugaNX All, h Table pendugaX r, h penduga1 , r, 1, W , h, 1, kt ; mencari peluang bersyarat Xk ei dengan syarat Yk k 1; Table peluangBersyarat1 j, k fungsi9 pi, j, Y k , Ck All, k , Gk All, k , W , j, 1, W ; Table Table peluangBersyarat1 j, k fungsi9 pendugaNX All, k 1 , j, Y k , Ck All, k , Gk All, k , W , j, 1, W , k, 2, kt ; mencari peluang bersyarat Xk ei dengan syarat y1,y2,...,yk Table Table peluangBersyarat2 j, k fungsi4 pendugaNX All, k , fungsi7 W All, j , j, 1, W , k, 1, kt ; nilai awal untuk mencari p yk 1 r y1 ,y2 ,...,yk dan p yk 2 r y1,y2 ,...,yk peluangSatu ZeroMatrix 1, 10 ; peluangDua ZeroMatrix 1, 10 ; piBaru pendugaNX All, kt ; mencari p yk 1 r y1,y2,...,yk dan p yk 2 r y1,y2,...,yk peluangSatu Table Sum fungsi4 piBaru , fungsi7 W All, i Integrate fungsi8 x, Gp2 i , x, , t Cp2 i , i, 1, W , t, 7000, 16000, 1000 ; peluangDua Table Sum Sum fungsi4 piBaru, fungsi7 W All, i Ap2 j, i Integrate fungsi8 x, Gp2 j , x, , t Cp2 j , j, 1, W , i, 1, W , t, 7000, 16000, 1000 ; menggambar grafik P Xk ei Yk dataGrafik Table ListPlot peluangBersyarat1 y, All , PlotJoined True, ColorOutput GrayLevel , PlotLabel y, Frame True, GridLines None, PlotRange All, DisplayFunction Identity , y, 1, W Show GraphicsArray dataGrafik , PlotLabel "P Xk ei Yk " ;

25

;

menggambar grafik P Xk ei y1 ,y2,...,yk dataGrafik2 Table ListPlot peluangBersyarat2 y, All , PlotJoined True, ColorOutput GrayLevel , PlotLabel y, Frame True, GridLines None, PlotRange All, DisplayFunction Identity , y, 1, W ; Show GraphicsArray dataGrafik2 , PlotLabel "P Xk ei y1,y2,...,yk " ; Tampilan output TableForm TableForm 0, MatrixForm Aw , MatrixForm Gw , MatrixForm Cw , TableHeadings None, "k", "A0", " 0", "C0" , TableForm Table x0, MatrixForm Transpose Partition Ak, W, W k, 1 , MatrixForm x1 , MatrixForm x2 . x0 k, x1 Gk All, k , x2 Ck All, k k, 1, kt , TableHeadings None, "k", "A k ", " k ", "C k " , TableForm MatrixForm pi N , MatrixForm piBaru , TableHeadings " awal", " terakhir " , TableForm Table x0, MatrixForm x1 , MatrixForm x2 . x0 k, x1 peluangBersyarat1 All, k , x2 peluangBersyarat2 All, k , k, 1, kt TableHeadings None, "k", "P Xk ei Yk ", "P Xk ei y1 ,y2 ,...,yk " , TableForm Table nilaiTukar , peluangSatu nilaiTukar 1000 6 , peluangDua nilaiTukar 1000 6 , nilaiTukar , 7000, 16000, 1000 , TableHeadings None, "r", "p yk 1 r y1 ,y2,...,yk ", "p yk 2 r y1 ,y2 ,...,yk "

,

,

Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 ClearAll W, Y, kt, peluang, pi, pendugaX0 , A0, C0, G0, Ap, Cp, Gp, Ak, Ck, Gk, pendugaLomp , pendugaStay , pendugaProcY , pendugaProcY2 , pendugaLomp1 , pendugaStay1 , pendugaProcY1 , pendugaProcY21 , pendugaLompatan , pendugaStayed , pendugaProcessY , pendugaProcessY2 , pendugaX , pendugaNX , satu, peluangBersyarat1 , peluangBersyarat2 , penduga1 , Aw, Cw, Gw W 2; peluangBaru p1, p2 ; peluang 1 7, 6 13 ; pi 1 peluang 2 2 peluang 1 peluang 2 , 1 peluang 1 2 peluang 1 peluang 2 ; A0 peluang 1 , 1 peluang 2 , 1 peluang 1 , peluang C0 10000, 8000 ; G0 2000, 1000 ; FungsiUtama1 W, pi, C0, G0, A0, peluangBaru

2

;

Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 3 ClearAll W, Y, kt, peluang, pi, pendugaX0 , A0, C0, G0, Ap, Cp, Gp, Ak, Ck, Gk, pendugaLomp , pendugaStay , pendugaProcY , pendugaProcY2 , pendugaLomp1 , pendugaStay1 , pendugaProcY1 , pendugaProcY21 , pendugaLompatan , pendugaStayed , pendugaProcessY , pendugaProcessY2 , pendugaX , pendugaNX , satu, peluangBersyarat1 , peluangBersyarat2 , penduga1 , Aw, Cw, Gw W 3; peluangBaru p1, p2, p3 ; 1 2 4 4 1 1 2 4 2 A0 , , , , , , , , ; 3 9 9 9 3 3 9 9 9 peluang peluangBaru . Solve A0.peluangBaru peluangBaru , Sum peluangBaru u , u, 1, W 1 , peluangBaru 1 ; pi peluang ; pendugaX0 pi; C0 10000, 9000, 8000 ; G0 3000, 2000, 1000 ; FungsiUtama1 W, pi, C0, G0, A0, peluangBaru

26

LAMPIRAN B • Output Untuk Kasus Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2 k 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Tabel 1.1 Parameter matriks transisi A 1 7 6 7

7 13 6 13

0.14285714285714282` 0.8571428571428571` 0.14285714285714185` 0.8571428571428582` 0.14285714285713821` 0.8571428571428618` 0.14285714285713685` 0.8571428571428631` 0.142857142857133` 0.8571428571428669` 0.1428571428571337` 0.8571428571428663` 0.14285714285712559` 0.8571428571428744` 0.142857142857123` 0.8571428571428769` 0.14285714285712212` 0.8571428571428777` 0.14285714285712262` 0.8571428571428775` 0.14285714285712378` 0.8571428571428763` 0.14285714285712528` 0.8571428571428744` 0.14285714285712553` 0.8571428571428743` 0.14285714285712497` 0.857142857142875` 0.14285714285712497` 0.857142857142875` 0.1428571428571255` 0.8571428571428745` 0.14285714285712647` 0.8571428571428736` 0.1428571428571278` 0.8571428571428721` 0.14285714285712808` 0.8571428571428722` 0.14285714285712836` 0.8571428571428719` 0.14285714285712808` 0.857142857142872` 0.14285714285712814` 0.857142857142872` 0.14285714285712775` 0.8571428571428726` 0.14285714285712575` 0.8571428571428744` 0.1428571428571209` 0.8571428571428794`

A(k)

0.5384615384615384` 0.46153846153846156` 0.5384615384615279` 0.4615384615384722` 0.5384615384615206` 0.4615384615384797` 0.5384615384615176` 0.4615384615384823` 0.5384615384615096` 0.4615384615384901` 0.5384615384615111` 0.46153846153848876` 0.5384615384614949` 0.46153846153850525` 0.5384615384614898` 0.4615384615385102` 0.5384615384614881` 0.461538461538512` 0.538461538461489` 0.46153846153851086` 0.5384615384614914` 0.46153846153850847` 0.5384615384614944` 0.4615384615385052` 0.538461538461495` 0.461538461538505` 0.5384615384614939` 0.461538461538506` 0.538461538461494` 0.4615384615385059` 0.538461538461495` 0.4615384615385053` 0.5384615384614968` 0.461538461538503` 0.5384615384614997` 0.46153846153850037` 0.5384615384615001` 0.46153846153849964` 0.5384615384615009` 0.46153846153849915` 0.5384615384615005` 0.46153846153849964` 0.5384615384615008` 0.46153846153849964` 0.5384615384614997` 0.4615384615385002` 0.5384615384614957` 0.4615384615385042` 0.5384615384614859` 0.4615384615385139`

27

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

0.14285714285712114` 0.5384615384614865` 0.8571428571428789` 0.4615384615385133` 0.14285714285712103` 0.5384615384614863` 0.8571428571428789` 0.4615384615385138` 0.14285714285712073` 0.5384615384614856` 0.8571428571428794` 0.46153846153851447` 0.14285714285712103` 0.5384615384614863` 0.8571428571428792` 0.46153846153851363` 0.1428571428571214` 0.538461538461487` 0.8571428571428785` 0.461538461538513` 0.14285714285712145` 0.5384615384614871` 0.8571428571428785` 0.4615384615385129` 0.14285714285711346` 0.5384615384614708` 0.8571428571428866` 0.4615384615385286` 0.14285714285711235` 0.538461538461469` 0.8571428571428864` 0.4615384615385307` 0.14285714285711457` 0.5384615384614735` 0.8571428571428856` 0.4615384615385269` 0.14285714285711432` 0.5384615384614726` 0.8571428571428859` 0.4615384615385273` 0.14285714285711537` 0.5384615384614747` 0.8571428571428855` 0.4615384615385251` 0.1428571428571152` 0.5384615384614748` 0.8571428571428849` 0.46153846153852557` 0.1428571428571188` 0.538461538461482` 0.8571428571428807` 0.461538461538518` 0.1428571428571191` 0.5384615384614825` 0.857142857142881` 0.4615384615385176` 0.14285714285712026` 0.5384615384614851` 0.8571428571428793` 0.4615384615385148` 0.14285714285712028` 0.5384615384614853` 0.8571428571428802` 0.4615384615385153` 0.1428571428571216 0.538461538461488 0.857142857142878 0.461538461538512 0.1428571428571213` 0.5384615384614874` 0.8571428571428789` 0.46153846153851247` 0.14285714285712062` 0.5384615384614861` 0.8571428571428794` 0.4615384615385139` 0.1428571428571220 0.538461538461488 0.857142857142878 0.461538461538511 0.1428571428571243 0.538461538461494 0.857142857142876 0.461538461538506 0.142857142857124 0.538461538461494 0.85714285714288 0.461538461538506 0.142857142857117 0.53846153846148 0.85714285714288 0.46153846153852 0.142857142857121 0.53846153846149 0.85714285714288 0.46153846153851 0.14285714285712 0.53846153846149 0.8571428571429 0.46153846153851 0.14285714285712 0.5384615384615 0.8571428571429 0.4615384615385 0.14285714285712 0.5384615384615 0.8571428571429 0.4615384615385 0.1428571428571 0.5384615384615 0.8571428571429 0.4615384615385 0.1428571428571 0.538461538461 0.857142857143 0.461538461539 0.1428571428571 0.538461538461 0.857142857143 0.461538461539

28

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

0.142857142857 0.538461538461 0.857142857143 0.461538461539 0.142857142857 0.538461538461 0.85714285714 0.461538461539 0.142857142857 0.53846153846 0.85714285714 0.46153846154 0.14285714286 0.53846153846 0.85714285714 0.46153846154 0.14285714286 0.53846153846 0.8571428571 0.46153846154 0.14285714286 0.5384615385 0.8571428571 0.4615384615 0.14285714286 0.5384615385 0.8571428571 0.4615384615 0.1428571429 0.5384615385 0.8571428571 0.4615384615 0.1428571429 0.538461538 0.857142857 0.461538462 0.1428571429 0.538461538 0.857142857 0.461538462 0.142857143 0.538461538 0.857142857 0.461538462 0.142857143 0.53846154 0.85714286 0.461538462 0.142857143 0.53846154 0.85714286 0.46153846 0.14285714 0.53846154 0.85714286 0.46153846 0.142857 0.538462 0.857143 0.461538 0.1428571428571116 0.538461538461468 0.857142857142889 0.461538461538532 0.1428571430591918 0.538461538871607 0.857142856940809 0.461538461128393 0.142857143225259 0.538461539208655 0.85714285677474 0.461538460791345 0.142857143225933 0.53846153921002 0.85714285677407 0.46153846078998 0.142857143246562 0.53846153925189 0.85714285675344 0.46153846074811 0.14285714324637 0.53846153925151 0.8571428567536 0.46153846074849 0.14285714324602 0.5384615392508 0.8571428567540 0.4615384607492 0.14285714324527 0.5384615392493 0.8571428567547 0.4615384607507 0.1428571432453 0.5384615392493 0.8571428567547 0.4615384607507 0.1428571432453 0.538461539249 0.857142856755 0.461538460751 0.1428571432453 0.538461539249 0.857142856755 0.461538460751 0.142857143245 0.538461539249 0.857142856755 0.461538460751 0.142857143245 0.538461539249 0.85714285675 0.461538460751 0.142857143245 0.53846153925 0.85714285675 0.46153846075 0.14285714325 0.53846153925 0.85714285675 0.46153846075 0.14285714325 0.53846153925 0.8571428568 0.46153846075 0.14285714325 0.5384615392 0.8571428568 0.4615384608

29

88 89 90 91 92 93 94 95

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.14285714325 0.5384615392 0.8571428568 0.4615384608 0.1428571432 0.5384615392 0.8571428568 0.4615384608 0.1428571432 0.538461539 0.857142857 0.461538461 0.1428571432 0.538461539 0.857142857 0.461538461 0.142857143 0.538461539 0.857142857 0.461538461 0.142857143 0.53846154 0.85714286 0.461538461 0.142857143 0.53846154 0.85714286 0.46153846 0.14285714 0.53846154 0.85714286 0.46153846 Tabel 1.2 Parameter ragam

2000 1000 845.9000000000113` 1154.1000000000072` 495.8200000000267` 495.82000000000835` 1098.4551636503156` 1098.4551636502983` 1267.6854924683266` 1267.685492468289` 2468.5879717704524` 2468.5879717704643` 3049.7853029177177` 3049.78530291757` 3101.0907186195236` 3101.090718619472` 2958.328383326681` 2958.328383326666` 3397.8216696957797` 3397.8216696957907` 3033.365715546102` 3033.365715546126` 3499.650592513018` 3499.6505925130487` 4572.647244146754` 4572.64724414676` 4484.680408854193` 4484.680408854177` 3369.0220165481787` 3369.022016548179` 2055.1583486569334` 2055.1583486569384` 4241.010322786199` 4241.010322786226` 4306.325770025006` 4306.325770025041` 3685.6564926914093` 3685.656492691417` 3433.3639002058944` 3433.363900205899`

σ

(k)

30

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

5360.359585809611` 5360.359585809601` 4758.554011467013` 4758.554011467015` 3324.1794733183833` 3324.179473318376` 2978.7934341054147` 2978.7934341053774` 3017.771866779714` 3017.77186677963` 5109.78424112764` 5109.784241127647` 4789.214799437593` 4789.214799437588` 4346.039265477727` 4346.039265477716` 2969.6893936130778` 2969.6893936130837` 4979.570159970433` 4979.570159970444` 4781.805630697267` 4781.805630697284` 756.9272973654016` 756.9272973653674` 1874.4746480247416` 1874.4746480247302` 3439.7094957674476` 3439.709495767488` 4084.350696121812` 4084.350696121687` 881.1845482190249` 881.1845482190298` 2119.3280243538893` 2119.328024353887` 3499.0510192438655` 3499.051019243938` 4178.588941991846` 4178.588941991881` 2202.6461859008764` 2202.6461859008928` 2556.664456255389` 2556.664456255388` 3414.127728775894` 3414.1277287759217` 4072.9165297192676` 4072.916529719248` 948.0083360330036` 948.0083360329999` 2290.100826173496` 2290.100826173514` 3190.5938527468819145309301986025`14.545589625276206 3190.5938527469228844155368236405`14.545589625276216 3818.8833856918011944712269687444`14.015285939965807 3818.8833856918047492771916357977`14.015285939965796 1188.9264429722527` 1188.9264429722043` 1945.3694974407426` 1945.369497440788`

31

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

3177.6233711137419843483`12.798881854377626 3177.6233711137357766515`12.798881854377623 3810.6895644360153862018`12.634926151490356 3810.6895644359961381905`12.634926151490358 2381.6686983618782044506`12.09784094815878 2381.6686983618661567149`12.097840948158849 2699.9974800200579212615`11.760098506458906 2699.9974800200423183339`11.760098506458979 3193.6185844348462968271`11.606892579870829 3193.6185844348381463741`11.606892579870841 4477.8008829243743290653`11.608420829300625 4477.8008829243626137491`11.608420829300634 4911.3232321915499471968`11.324469178297827 4911.323232191582005587`11.324469178297845 899.5468545113492043987`10.011067406488225 899.5468545113480689218`10.011067406488163 2642.0834572193290579584`10.427241597868159 2642.0834572193090404774`10.427241597868175 2818.8426781412133873856`10.054674673757692 2818.8426781411843686382`10.054674673757699 4714.2936943619245721314`10.17163178511722 4714.2936943619201338508`10.171631785117238 4762.0893728426179048904`9.798647642134847 4762.0893728426011420678`9.798647642134792 785.3102667919619115488`8.38744803429552 785.3102667919577934605`8.387448034295465 2321.3413772539245389035`8.829343857549523 2321.3413772539440497023`8.829343857549484 2931.9951758431264819185`8.483411910171581 2931.9951758431262585717`8.483411910171599 3528.6996336367533026952`8.337993622570972 3528.6996336367443141635`8.337993622570986 3670.8981051641634273361`8.140750634356435 3670.8981051641436074424`8.140750634356515 3966.8775363816584749186`7.888982077368554 3966.8775363816271554932`7.888982077368499 4965.5471589617318990877`7.837680569679425 4965.5471589617219638735`7.837680569679379 4044.8332179913637117173`7.301101095677336 4044.8332179913863913356`7.3011010956773 19.7717650794715478277`2.835849988593423 19.7717650794715478277`2.8358499885935258 717.1659980709084` 717.16599807091` 2047.8991909238589343409971764095`14.309594286468295 2047.8991932822146724058918915344`14.30959428760808 3303.8508884138526257560846727236`13.908175929635528 3303.8508915405214628511689032582`13.908175930590886 3961.217655363809575369588499247`13.638407631728363 3961.2176563866450546089430942629`13.63840763189365 262.636495977943572522`11.334832180078077 262.6364960088195870025`11.334832180177363 698.7657030177306343813`11.774762906972915 698.7657030169756953891`11.774762906971556 1929.5172333831136275752`12.176600533815314 1929.5172333792100313797`12.176600533812739 3467.0791923268879893425`12.259448507434385 3467.0791923120631892176`12.25944850743014

32

78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4127.0071815061890640903`12.083341592990791 4127.0071814988489463151`12.083341592989662 619.2961029575355500134`10.545316783236807 619.2961029575845455757`10.545316783236904 1683.0769644038377762825`10.974070737476094 1683.0769644039603248391`10.974070737476145 3577.3197881496711370818`11.095676035780503 3577.3197881502192336319`11.095676035780658 4143.0499461431124808528`10.8981720686719 4143.0499461429174413921`10.89817206867186 908.7203623987672149926`9.693272106541515 908.7203623987690195612`9.693272106541512 2499.8707857713398446604`10.072218301052432 2499.87078577135230292`10.0722183010524 2639.6348416668147984208`9.627842533257597 2639.6348416668405398198`9.627842533257555 2989.8197246678223938354`9.497967671838381 2989.8197246677984816509`9.497967671838456 4831.6698178179335548886`9.598833502886162 4831.6698178179120462581`9.598833502886245 3303.8171194619539570985`8.91854632559972 3303.8171194619652352196`8.918546325599818 3347.8320010554715366811`8.704150792078586 3347.8320010554272097803`8.704150792078654 3724.6947624751905514091`8.444444147340436 3724.6947624751576151334`8.444444147340526 4990.982481279637715142`8.435771561205891 4990.9824812796644888696`8.435771561205863 2525.331620849467123685`7.505231414589961 2525.3316208494573960161`7.5052314145899155 3035.1854220047513485516`7.387029413551226 3035.1854220047950071255`7.387029413551337 3653.3221432277059511244`7.163762466692606 3653.3221432277017129988`7.163762466692555 904.480963137138982442`5.994538986078824 904.4809631371362795418`5.9945389860788465 Tabel 1.3 Parameter nilai rata-rata C C(k) 10000 8000 9154.099999999999` 9154.1` 9649.920000000006` 9649.920000000036` 8769.279999999968` 8769.280000000024` 9646.212357950615` 9646.212357950651` 10486.527758934195` 10486.527758934357` 12658.468950037672` 12658.468950037612` 10233.389640042178` 10233.389640042195` 12836.216620424166` 12836.216620424164` 9858.324007895451` 9858.324007895451`

33

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

11731.860867728712` 11731.860867728745` 8548.27952311398` 8548.279523113977` 12766.407108797464` 12766.40710879746` 8324.371984321519` 8324.37198432152` 10668.687460033758` 10668.68746003375` 8663.847539836332` 8663.84753983633` 12515.03737217309` 12515.037372173127` 8252.60793361983` 8252.607933619833` 10737.620910254489` 10737.62091025449` 7338.974028635992` 7338.974028635991` 12344.899714494983` 12344.899714494984` 7615.71330460163` 7615.713304601631` 9548.255701920989` 9548.255701920994` 10396.429622493768` 10396.429622493675` 7461.675019697315` 7461.675019697315` 12172.786171541158` 12172.786171541153` 7397.9177719862355` 7397.917771986234` 10786.743959831085` 10786.743959831087` 7850.395683588648` 7850.395683588646` 12490.875662418794` 12490.875662418808` 7755.943740739407` 7755.943740739407` 8486.692629501833` 8486.692629501813` 9694.84912800562` 9694.849128005635` 12436.78254745759` 12436.782547457457` 8561.04252506323` 8561.042525063232` 9442.015553796504` 9442.015553796504` 9770.40622516251` 9770.406225162447` 12711.05196283245` 12711.051962832476` 8845.747395613607` 8845.747395613605`

34

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

11030.755322497194` 11030.755322497193` 9885.673396411883` 9885.673396411885` 12739.606600320485` 12739.606600320472` 9057.7630177412592851467888748736`15.653559774527032 9057.7630177412640276751631956493`15.653559774527029 9434.866198678292` 9434.866198678286` 10036.136485292513` 10036.136485292443` 12498.9247655677580072607220407472`15.653559774527046 12498.9247655677691414329989821757`15.653559774527046 9120.48387955831651640510082952`15.176438641265522 9120.483879558321219608580154098`15.176438641265582 10305.6323462861` 10305.632346286102` 9927.3057357547836777928204396745`14.477468515471337 9927.3057357547876474536977934156`14.477468515471331 12243.2803102088808777714260610973`14.162198080692729 12243.2803102088596276836738805164`14.162198080692724 8735.7542783426996005994824222186`13.854219262365127 8735.7542783427000205110823052879`13.85421926236513 10383.8322566385338016369`13.60184792567851 10383.8322566385373786165`13.601847925678547 11516.7232151727020873859`13.24701975456775 11516.7232151727082458672`13.247019754567757 8743.5909165679352038736`12.94513891859514 8743.5909165679353926259`12.945138918595154 12909.170030891007744484`12.643684140814829 12909.170030891039618484`12.64368414081484 8060.8933644270554818808`12.342455306948438 8060.8933644270566105953`12.342455306948384 8960.4068914200852280302`12.32920463709806 8960.4068914200852210572`12.329204637098066 10589.3442918508874844918`11.740222848594358 10589.3442918508713770348`11.740222848594383 8346.1111331330837143386`11.439214051326463 8346.1111331330885651145`11.439214051326477 12765.551379074675998522`11.13812309338527 12765.5513790746651933334`11.138123093385254 8103.1766301087612724834`10.837763064712188 8103.1766301087653904987`10.83776306471217 8888.4855961177107609389`10.825339999592991 8888.4855961177107608622`10.825339999592941 10218.0019753008055414107`10.23502150928043 10218.0019753008018851685`10.235021509280413 12142.3756383069968712344`9.933990685263106 12142.3756383069970039049`9.933990685263154 9094.1753511026191963473`9.632960275549484 9094.1753511026193012461`9.632960275549465 11816.6527307936499850961`9.331945463883715 11816.6527307936337574143`9.331945463883699 7926.7612203200831016821`9.030906623804963 7926.7612203200886072548`9.030906623804984 12499.4346141079255179179`8.729869926027353 12499.4346141079482519931`8.729869926027277

35

68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

8457.1929330623078423491`8.514302837917635 8457.1929330623078762459`8.514302837917704 8437.4412042767298147034`8.42877047216051 8437.441204276729814313`8.428770472160611 9154.476514749673` 9154.476514749684` 9885.547227175271834052278882978`15.653559774526991 9885.547223397917076937741986425`15.653559774526984 12473.583417460054600143013710047`15.176438519807341 12473.5834186137508574099473030065`15.176438519807336 8843.8569537817051734555819023109`14.808461734519318 8843.8569538122432083898094748736`14.808461734519291 8581.6675219256818154769732166519`14.746489509762569 8581.667521925376022401233149308`14.746489509761867 9219.7308224587144909619842419313`14.162198080692724 9219.730822462826669321208436924`14.162198080692711 9706.9366027990951752008926707625`13.854219225073384 9706.9366028153935538250218865937`13.854219225073395 12518.6458419777217947819`13.549756053571047 12518.6458419698633889627`13.54975605357104 8623.3211681958795103231`13.247019594096647 8623.3211681958269402834`13.247019594096662 9242.2077010369184466397`13.24096650877103 9242.2077010369142428679`13.240966508770986 9446.3199930350600036813`12.643684140814784 9446.31999303461467828`12.643684140814797 12344.6370102639056413926`12.34244193186442 12344.6370102636907796019`12.342441931864439 8311.8766737778455967105`12.041305868478771 8311.8766737778439861598`12.041305868478771 9219.8887214596892691393`12.029116451575183 9219.8887214596894892307`12.02911645157518 10396.5217395061751836525`11.439166343271749 10396.521739506109753207`11.439166343271738 10778.6894965277488508327`11.138124368842378 10778.6894965277364978341`11.13812436884243 8202.009074777151958501`10.837086471825947 8202.0090747771570250872`10.837086471825959 12738.4129168389266036272`10.536053161655806 12738.4129168389378979579`10.536053161655829 9436.9015696852123582757`10.358122004847203 9436.9015696852123641027`10.358122004847207 11634.7588537683774548484`9.934034620573403 11634.7588537683635989116`9.934034620573415 7995.0681393832066695103`9.632960279258693 7995.0681393832130166722`9.632960279258723 12650.1708264682689097562`9.331930072671202 12650.1708264682589113644`9.331930072671168 10131.6071661339658449261`9.212413797135985 10131.607166133965607569`9.212413797136046 12212.8074637841920440739`8.729869926027245 12212.8074637841835444191`8.72986992602721 8978.4201463623200991913`8.428839904477256 8978.4201463623227149553`8.428839904477273 9881.2836700749968472062`8.391755733080819 9881.2836700749968332225`8.391755733080899

36

Tabel 1.4 Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k k

P( X k = ei | yk )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0.46152282971425035` 0.5384771702857496` 0.3858267716535345` 0.6141732283464655` 0.3858267716535429` 0.6141732283464572` 0.38582677165352547` 0.6141732283464746` 0.3858267716535115` 0.6141732283464886` 0.385826771653522` 0.614173228346478` 0.38582677165352564` 0.6141732283464744` 0.3858267716535184` 0.6141732283464815` 0.38582677165351703` 0.6141732283464829` 0.38582677165351736` 0.6141732283464825` 0.3858267716535179` 0.6141732283464821` 0.3858267716535173` 0.6141732283464827` 0.3858267716535183` 0.6141732283464816` 0.3858267716535192` 0.6141732283464809` 0.38582677165351936` 0.6141732283464806` 0.3858267716535208` 0.6141732283464791` 0.3858267716535211` 0.6141732283464789` 0.38582677165352064` 0.6141732283464794` 0.38582677165352236` 0.6141732283464776` 0.3858267716535223` 0.6141732283464777` 0.38582677165352275` 0.6141732283464773` 0.3858267716535226` 0.6141732283464774` 0.385826771653515` 0.614173228346485` 0.3858267716535155` 0.6141732283464845` 0.38582677165351964` 0.6141732283464805` 0.38582677165351403` 0.614173228346486`

P ( X k = ei |

0.3858267716535433` 0.6141732283464567` 0.38582677165354323` 0.6141732283464567` 0.38582677165353835` 0.6141732283464617` 0.38582677165353413` 0.6141732283464659` 0.3858267716535325` 0.6141732283464676` 0.385826771653528` 0.6141732283464719` 0.3858267716535288` 0.6141732283464713` 0.3858267716535193` 0.6141732283464806` 0.3858267716535164` 0.6141732283464836` 0.3858267716535153` 0.6141732283464846` 0.385826771653516` 0.6141732283464839` 0.3858267716535173` 0.6141732283464826` 0.38582677165351925` 0.6141732283464808` 0.38582677165351936` 0.6141732283464806` 0.38582677165351886` 0.6141732283464812` 0.38582677165351886` 0.6141732283464811` 0.3858267716535192` 0.6141732283464807` 0.38582677165352053` 0.6141732283464795` 0.3858267716535221` 0.6141732283464779` 0.38582677165352247` 0.6141732283464776` 0.38582677165352275` 0.6141732283464774` 0.38582677165352247` 0.6141732283464776` 0.38582677165352247` 0.6141732283464776` 0.385826771653522` 0.6141732283464779` 0.38582677165351975` 0.6141732283464801` 0.38582677165351426` 0.6141732283464858` 0.38582677165351453` 0.6141732283464855`

37

k

)

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

0.3858267716535142` 0.6141732283464857` 0.3858267716535148` 0.6141732283464851` 0.3858267716535146` 0.6141732283464854` 0.3858267716535152` 0.6141732283464848` 0.3858267716535037` 0.6141732283464963` 0.38582677165351487` 0.6141732283464851` 0.3858267716534964` 0.6141732283465037` 0.3858267716534973` 0.6141732283465026` 0.385826771653508` 0.614173228346492` 0.3858267716535053` 0.6141732283464948` 0.38582677165351037` 0.6141732283464895` 0.3858267716535093` 0.6141732283464906` 0.38582677165351353` 0.6141732283464865` 0.38582677165351187` 0.6141732283464882` 0.385826771653515` 0.6141732283464851` 0.38582677165351226` 0.6141732283464877` 0.3858267716535138` 0.6141732283464861` 0.38582677165351437` 0.6141732283464856` 0.38582677165351614` 0.6141732283464839` 0.385826771653516` 0.6141732283464841` 0.3858267716535088` 0.6141732283464912` 0.38582677165352364` 0.6141732283464765` 0.38582677165350887` 0.6141732283464911` 0.385826771653514` 0.614173228346486` 0.3858267716535137` 0.6141732283464864` 0.385826771653514` 0.614173228346486` 0.3858267716535121` 0.6141732283464879` 0.38582677165351287` 0.6141732283464871` 0.3858267716535123` 0.6141732283464877`

0.3858267716535142` 0.6141732283464857` 0.3858267716535138` 0.6141732283464861` 0.3858267716535143` 0.6141732283464856` 0.38582677165351476` 0.6141732283464852` 0.38582677165351476` 0.6141732283464852` 0.38582677165350565` 0.6141732283464943` 0.3858267716535044` 0.6141732283464956` 0.3858267716535067` 0.6141732283464932` 0.3858267716535065` 0.6141732283464936` 0.38582677165350765` 0.6141732283464922` 0.3858267716535075` 0.6141732283464925` 0.3858267716535118` 0.6141732283464882` 0.38582677165351204` 0.614173228346488` 0.3858267716535137` 0.6141732283464864` 0.3858267716535134` 0.6141732283464867` 0.3858267716535151602051730363`15.319839422619127 0.6141732283464848397948269637`15.487461572751004 0.38582677165351487` 0.614173228346485` 0.3858267716535141` 0.6141732283464858` 0.3858267716535159171050888332`15.319839422619143 0.6141732283464840828949111668`15.48746157275101 0.3858267716535184397170913766`14.842718167899488 0.6141732283464815602829086234`15.010340318031357 0.3858267716535185016795963189`14.47474138260489 0.6141732283464814983204036811`14.642363532736756 0.3858267716535100410637027004`14.143748163563428 0.6141732283464899589362972996`14.31137031369531 0.385826771653515112103439794`13.828477728784824 0.614173228346484887896560206`13.9960998789167 0.3858267716535146119900221654`13.520498873165506 0.6141732283464853880099778346`13.68812102329738 0.3858267716535138266780032513`13.216035701663152 0.6141732283464861733219967487`13.383657851795029 0.3858267716535127060098753509`12.913299242185147 0.6141732283464872939901246491`13.080921392317023 0.3858267716535115625171091877`12.611418522484406 0.6141732283464884374828908123`12.77904067261628 0.3858267716535108462874964414`12.309963788906945 0.6141732283464891537125035586`12.477585939038823 0.3858267716535104610432932705`12.008721579956564 0.6141732283464895389567067295`12.176343730088453

38

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

0.3858267716535102` 0.6141732283464898` 0.38582677165350837` 0.6141732283464916` 0.385826771653508` 0.614173228346492` 0.38582677165350837` 0.6141732283464917` 0.38582677165350604` 0.614173228346494` 0.3858267716535054` 0.6141732283464947` 0.3858267716535079` 0.6141732283464921` 0.38582677165350554` 0.6141732283464945` 0.38582677165350676` 0.6141732283464935` 0.38582677165350604` 0.6141732283464939` 0.3858267716535047` 0.6141732283464953` 0.3858267716535062` 0.6141732283464938` 0.38582677165350493` 0.6141732283464949` 0.38582677165350354` 0.6141732283464965` 0.38582677165350693` 0.6141732283464931` 0.3858267715010784` 0.6141732284989216` 0.385826771637341` 0.614173228362659` 0.3858267719505873` 0.6141732280494127` 0.38582677211195965` 0.6141732278880403` 0.3858267720860018` 0.6141732279139982` 0.3858267721093272` 0.6141732278906727` 0.3858267721081212` 0.6141732278918788` 0.38582677210796357` 0.6141732278920364` 0.38582677210752203` 0.6141732278924781` 0.385826772107505` 0.6141732278924951` 0.3858267721075079` 0.6141732278924922` 0.38582677210751837` 0.6141732278924815` 0.38582677210756106` 0.6141732278924389` 0.3858267721075583` 0.6141732278924418`

0.3858267716535104684018219982`11.707585516522652 0.6141732283464895315981780018`11.875207666654537 0.3858267716535104159286433099`11.406502496686462 0.6141732283464895840713566901`11.574124646818342 0.3858267716535088834022067717`11.105445991363883 0.6141732283464911165977932283`11.273068141495768 0.3858267716535068586492798952`10.804402741477357 0.6141732283464931413507201048`10.972024891609248 0.3858267716535066109002205497`10.503366118853798 0.6141732283464933890997794503`10.67098826898569 0.3858267716535066882487652806`10.202332809747949 0.6141732283464933117512347194`10.369954959879845 0.385826771653505624895086211`9.901301157372494 0.614173228346494375104913789`10.06892330750439 0.3858267716535072084491567028`9.600270333355189 0.6141732283464927915508432972`9.767892483487062 0.3858267716535071401651681284`9.299239923515094 0.6141732283464928598348318716`9.466862073646984 0.3858267716535065541`8.998209720763223 0.6141732283464934459`9.165831870895113 0.385826771653505403`8.697179621555314 0.614173228346494597`8.864801771687201 0.3858267716535036371`8.396149574119375 0.6141732283464963629`8.563771724251275 0.3858267716535035237`8.095119552569452 0.6141732283464964763`8.262741702701334 0.3858267716535035239`7.794089543962465 0.6141732283464964761`7.961711694094345 0.3858267716535034` 0.6141732283464967` 0.3858267716535035855106021145`15.319839422619067 0.6141732283464964144893978855`15.487461572750952 0.3858267718898631810830246523`14.842718168313382 0.6141732281101368189169753477`15.010340318139693 0.3858267720841010199196555556`14.474741383358996 0.6141732279158989800803444444`14.642363532934182 0.3858267720848886498338288526`14.14374816431897 0.6141732279151113501661711474`14.311370313893134 0.385826772109017693827041067`13.828477729582621 0.614173227890982306172958933`13.996099879125595 0.385826772108796169879323917`13.520498873962907 0.614173227891203830120676083`13.688121023506165 0.3858267721083808193424748053`13.216035702459854 0.6141732278916191806575251947`13.38365785200364 0.3858267721075032504179854646`12.913299242980274 0.6141732278924967495820145354`13.080921392525203 0.3858267721074980433201933947`12.611418523279504 0.6141732278925019566798066053`12.779040672824438 0.3858267721075142134390456633`12.30996378970207 0.6141732278924857865609543367`12.47758593924698 0.3858267721075292357633363575`12.00872158075173 0.6141732278924707642366636425`12.176343730296628 0.3858267721075606025831485162`11.70758551731784 0.6141732278924393974168514838`11.875207666862702 0.3858267721075601986399163013`11.40650249748169 0.6141732278924398013600836987`11.574124647026538 0.3858267721075606272871223115`11.1054459921591 0.6141732278924393727128776885`11.273068141703954

39

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

0.3858267721075615` 0.6141732278924386` 0.38582677210755995` 0.6141732278924401` 0.38582677210756344` 0.6141732278924364` 0.3858267721075627` 0.6141732278924372` 0.385826772107559` 0.6141732278924411` 0.38582677210756033` 0.6141732278924397` 0.3858267721075602` 0.6141732278924399` 0.38582677210755667` 0.6141732278924433` 0.3858267721075593` 0.6141732278924408` 0.3858267721075568` 0.6141732278924431` 0.38582677210755933` 0.6141732278924404`

0.3858267721075617108369676619`10.804402742272632 0.6141732278924382891630323381`10.97202489181749 0.3858267721075637927503654723`10.503366119649105 0.6141732278924362072496345277`10.670988269193936 0.3858267721075619276544048444`10.202332810543195 0.6141732278924380723455951556`10.36995496008805 0.3858267721075614765998382672`9.901301158167769 0.6141732278924385234001617328`10.068923307712623 0.3858267721075621096458699299`9.600270334150421 0.6141732278924378903541300701`9.767892483695269 0.3858267721075595167179903189`9.299239924310374 0.6141732278924404832820096811`9.46686207385523 0.3858267721075575915`8.998209721558537 0.6141732278924424085`9.165831871103393 0.3858267721075580099`8.697179622350596 0.6141732278924419901`8.864801771895454 0.3858267721075571481`8.396149574914553 0.6141732278924428519`8.563771724459423 0.3858267721075600932`8.095119553364668 0.6141732278924399068`8.262741702909514 0.3858267721075601069`7.794089544757678 0.6141732278924398931`7.961711694302524

awal 0.3858267716535433` 0.6141732283464567` terakhir 0.3858267721075601069`7.794089544757678 0.6141732278924398931`7.961711694302524 Tabel 1.5 Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k + 1) dan dua bulan (k + 2) yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k

r (Rupiah) 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000

P( yk +1 ≤ r |

k

P ( yk + 2 ≤ r |

)

0.000722356100364022` 0.01876462904743606` 0.1649406678603903` 0.5522126289926237` 0.8919304700415087` 0.9904216224275642` 0.9997176992237868` 0.9999973642162339` 0.999999992399791` 0.9999999999933296`

k

)

0.0007223561003640218` 0.01876462904743606` 0.16494066786039027` 0.5522126289926237` 0.8919304700415087` 0.9904216224275642` 0.9997176992237866` 0.9999973642162339` 0.999999992399791` 0.9999999999933294`

40

LAMPIRAN C • Output Untuk Kasus Banyaknya Kejadian N=3 k 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Tabel 2.1 Parameter matriks transisi A 1 3 4 9 2 9

2 9 1 3 4 9

4 9 1 3 2 9

0.33333333333333337` 0.4444444444444444` 0.2222222222222222` 0.3333333333334564` 0.4444444444442364` 0.2222222222223072` 0.3333333333334508` 0.4444444444442467` 0.22222222222230248` 0.3333333333334504` 0.44444444444424747` 0.22222222222230215` 0.33333333333345117` 0.4444444444442451` 0.22222222222230392` 0.33333333333345905` 0.4444444444442399` 0.22222222222230084` 0.33333333333344384` 0.44444444444425407` 0.22222222222230212` 0.33333333333343984` 0.44444444444425907` 0.222222222222301` 0.333333333333433` 0.4444444444442662` 0.22222222222230076` 0.33333333333343135` 0.44444444444426784` 0.2222222222223007` 0.33333333333343057` 0.44444444444426945` 0.2222222222223002` 0.33333333333343085` 0.4444444444442684` 0.22222222222230112` 0.33333333333342946` 0.44444444444426956` 0.22222222222230123` 0.3333333333334303` 0.44444444444426817` 0.22222222222230162` 0.33333333333343046` 0.4444444444442677` 0.22222222222230184` 0.33333333333343035` 0.4444444444442695` 0.22222222222230037`

A(k)

0.22222222222222218` 0.3333333333333333` 0.44444444444444436` 0.22222222222229202` 0.3333333333331172` 0.4444444444445907` 0.22222222222228954` 0.33333333333312687` 0.4444444444445838` 0.22222222222228927` 0.33333333333312753` 0.4444444444445832` 0.22222222222228927` 0.33333333333312504` 0.4444444444445858` 0.22222222222229554` 0.33333333333312276` 0.4444444444445816` 0.22222222222228474` 0.3333333333331325` 0.44444444444458303` 0.2222222222222823` 0.3333333333331366` 0.4444444444445812` 0.22222222222227783` 0.3333333333331418` 0.44444444444458064` 0.22222222222227658` 0.3333333333331429` 0.44444444444458037` 0.2222222222222761` 0.33333333333314424` 0.4444444444445796` 0.22222222222227608` 0.3333333333331431` 0.444444444444581` 0.22222222222227508` 0.3333333333331438` 0.44444444444458103` 0.22222222222227564` 0.33333333333314263` 0.4444444444445817` 0.22222222222227572` 0.33333333333314236` 0.44444444444458214` 0.22222222222227592` 0.3333333333331439` 0.4444444444445798`

41

0.4444444444444445` 0.33333333333333337` 0.22222222222222224` 0.4444444444445807` 0.33333333333312554` 0.2222222222222937` 0.4444444444445752` 0.33333333333313475` 0.22222222222229` 0.4444444444445747` 0.3333333333331354` 0.22222222222228974` 0.44444444444457537` 0.33333333333313336` 0.22222222222229138` 0.44444444444458414` 0.33333333333312826` 0.22222222222228744` 0.44444444444456765` 0.3333333333331418` 0.22222222222229068` 0.4444444444445635` 0.33333333333314635` 0.22222222222229016` 0.4444444444445563` 0.33333333333315296` 0.22222222222229074` 0.4444444444445546` 0.3333333333331545` 0.222222222222291` 0.44444444444455367` 0.3333333333331558` 0.2222222222222906` 0.4444444444445538` 0.33333333333315485` 0.22222222222229146` 0.4444444444445522` 0.33333333333315596` 0.2222222222222917` 0.44444444444455333` 0.3333333333331549` 0.22222222222229207` 0.44444444444455333` 0.3333333333331544` 0.22222222222229218` 0.4444444444445534` 0.33333333333315585` 0.22222222222229077`

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

0.33333333333342985` 0.44444444444426945` 0.22222222222230073` 0.33333333333342957` 0.44444444444427017` 0.22222222222230037` 0.33333333333342985` 0.4444444444442701` 0.2222222222223001` 0.3333333333334309` 0.444444444444269` 0.2222222222223` 0.3333333333334308` 0.44444444444426934` 0.22222222222229993` 0.33333333333343057` 0.4444444444442698` 0.2222222222222996` 0.3333333333334312` 0.44444444444426984` 0.22222222222229912` 0.33333333333343146` 0.4444444444442688` 0.2222222222222997` 0.33333333333343435` 0.4444444444442663` 0.2222222222222987` 0.33333333333343496` 0.4444444444442661` 0.22222222222229912` 0.33333333333343507` 0.4444444444442661` 0.22222222222229882` 0.3333333333334359` 0.44444444444426595` 0.22222222222229832` 0.33333333333343557` 0.44444444444426634` 0.222222222222298` 0.33333333333343584` 0.44444444444426723` 0.22222222222229687` 0.3333333333334358` 0.4444444444442672` 0.22222222222229693` 0.3333333333334376` 0.4444444444442673` 0.2222222222222953` 0.3333333333334424` 0.44444444444426257` 0.2222222222222951` 0.3333333333334353` 0.44444444444426434` 0.2222222222223001` 0.3333333333334347` 0.4444444444442648` 0.22222222222230056` 0.3333333333334469` 0.4444444444442628` 0.22222222222229057`

0.22222222222227556` 0.3333333333331438` 0.4444444444445804` 0.22222222222227558` 0.3333333333331447` 0.4444444444445801` 0.2222222222222757` 0.3333333333331446` 0.44444444444457953` 0.22222222222227647` 0.3333333333331442` 0.44444444444457953` 0.22222222222227633` 0.3333333333331444` 0.44444444444457937` 0.22222222222227633` 0.33333333333314485` 0.4444444444445788` 0.22222222222227683` 0.33333333333314513` 0.44444444444457815` 0.22222222222227678` 0.3333333333331441` 0.4444444444445789` 0.22222222222227903` 0.33333333333314286` 0.4444444444445778` 0.22222222222227925` 0.33333333333314247` 0.44444444444457826` 0.22222222222227944` 0.33333333333314247` 0.4444444444445779` 0.2222222222222802` 0.3333333333331425` 0.44444444444457726` 0.22222222222228014` 0.3333333333331429` 0.44444444444457687` 0.22222222222228064` 0.33333333333314424` 0.44444444444457526` 0.22222222222228064` 0.33333333333314413` 0.4444444444445753` 0.22222222222228216` 0.33333333333314474` 0.4444444444445728` 0.22222222222228546` 0.33333333333314147` 0.44444444444457304` 0.22222222222227933` 0.33333333333314075` 0.44444444444458026` 0.22222222222227864` 0.3333333333331406` 0.4444444444445806` 0.2222222222222898` 0.33333333333314347` 0.4444444444445666`

42

0.44444444444455283` 0.3333333333331559` 0.22222222222229118` 0.4444444444445524` 0.33333333333315657` 0.22222222222229088` 0.4444444444445527` 0.3333333333331565` 0.22222222222229063` 0.4444444444445539` 0.3333333333331558` 0.22222222222229046` 0.4444444444445536` 0.333333333333156` 0.22222222222229038` 0.44444444444455355` 0.33333333333315646` 0.22222222222229004` 0.44444444444455417` 0.3333333333331562` 0.22222222222228943` 0.4444444444445545` 0.33333333333315535` 0.22222222222229` 0.4444444444445578` 0.3333333333331533` 0.22222222222228882` 0.4444444444445581` 0.3333333333331528` 0.222222222222289` 0.4444444444445584` 0.33333333333315285` 0.22222222222228866` 0.4444444444445593` 0.33333333333315257` 0.22222222222228802` 0.44444444444455894` 0.3333333333331529` 0.22222222222228782` 0.4444444444445594` 0.3333333333331538` 0.22222222222228674` 0.44444444444455933` 0.33333333333315374` 0.22222222222228677` 0.44444444444456177` 0.33333333333315385` 0.22222222222228508` 0.44444444444456666` 0.3333333333331491` 0.2222222222222843` 0.4444444444445588` 0.33333333333315174` 0.22222222222229004` 0.4444444444445577` 0.33333333333315185` 0.2222222222222904` 0.44444444444457193` 0.3333333333331489` 0.22222222222227936`

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

0.3333333333334459` 0.22222222222228855` 0.4444444444445706` 0.4444444444442614` 0.3333333333331412` 0.3333333333331475` 0.222222222222293` 0.4444444444445701` 0.22222222222228175` 0.3333333333334376` 0.22222222222228222` 0.4444444444445615` 0.4444444444442666` 0.3333333333331438` 0.33333333333315296` 0.22222222222229593` 0.4444444444445743` 0.22222222222228563` 0.33333333333343684` 0.2222222222222818` 0.44444444444456077` 0.4444444444442676` 0.3333333333331447` 0.3333333333331539` 0.22222222222229548` 0.44444444444457365` 0.22222222222228535` 0.3333333333334373` 0.22222222222228255` 0.4444444444445615` 0.4444444444442689` 0.3333333333331465` 0.33333333333315496` 0.22222222222229376` 0.4444444444445714` 0.22222222222228372` 0.33333333333343385` 0.22222222222227953` 0.444444444444558` 0.4444444444442692` 0.3333333333331456` 0.3333333333331558` 0.22222222222229654` 0.44444444444457515` 0.2222222222222867` 0.3333333333334317 0.2222222222222782 0.4444444444445551 0.4444444444442733 0.3333333333331488 0.3333333333331588 0.2222222222222955 0.4444444444445732 0.2222222222222858 0.33333333333343207` 0.2222222222222786` 0.444444444444556` 0.4444444444442727` 0.3333333333331486` 0.33333333333315857` 0.2222222222222951` 0.44444444444457265` 0.22222222222228552` 0.33333333333342585` 0.22222222222227503` 0.44444444444454956` 0.44444444444428155` 0.3333333333331555` 0.33333333333316634` 0.22222222222229318` 0.44444444444456943` 0.22222222222228444` 0.3333333333334446 0.2222222222222901 0.4444444444445703 0.4444444444442709 0.3333333333331512 0.3333333333331552 0.2222222222222849 0.4444444444445585 0.2222222222222743 0.333333333333424 0.222222222222272 0.444444444444547 0.444444444444279 0.333333333333151 0.333333333333164 0.222222222222298 0.444444444444577 0.222222222222289 0.333333333333423 0.222222222222272 0.444444444444546 0.444444444444279 0.333333333333151 0.333333333333165 0.222222222222298 0.444444444444577 0.222222222222289 0.33333333333342 0.222222222222271 0.44444444444454 0.44444444444428 0.33333333333316 0.33333333333317 0.222222222222296 0.44444444444457 0.222222222222288 0.33333333333343 0.22222222222228 0.44444444444456 0.44444444444428 0.33333333333316 0.33333333333317 0.22222222222229 0.44444444444456 0.22222222222228 0.33333333333343 0.22222222222228 0.44444444444456 0.44444444444428 0.33333333333316 0.33333333333316 0.22222222222229 0.44444444444456 0.22222222222228 0.33333333333343 0.22222222222228 0.4444444444446 0.4444444444443 0.33333333333316 0.33333333333316 0.22222222222229 0.4444444444446 0.22222222222228 0.3333333333334 0.2222222222223 0.4444444444446 0.4444444444443 0.3333333333332 0.3333333333332 0.2222222222223 0.4444444444446 0.2222222222223 0.3333333333334 0.2222222222223 0.4444444444446 0.4444444444443 0.3333333333332 0.3333333333332 0.2222222222223 0.4444444444446 0.2222222222223 0.3333333333334 0.2222222222223 0.444444444445 0.444444444444 0.3333333333332 0.3333333333332 0.2222222222223 0.444444444445 0.2222222222223 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.444444444444 0.333333333333 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.222222222222 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.444444444444 0.333333333333 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.222222222222 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.444444444444 0.333333333333 0.333333333333 0.222222222222 0.444444444445 0.222222222222

43

58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

0.33333333333 0.222222222222 0.44444444444 0.44444444444 0.33333333333 0.33333333333 0.222222222222 0.44444444444 0.222222222222 0.33333333333 0.22222222222 0.44444444444 0.44444444444 0.33333333333 0.33333333333 0.22222222222 0.44444444444 0.22222222222 0.33333333333 0.22222222222 0.44444444444 0.44444444444 0.33333333333 0.33333333333 0.22222222222 0.44444444444 0.22222222222 0.33333333333 0.22222222222 0.4444444444 0.4444444444 0.33333333333 0.33333333333 0.22222222222 0.4444444444 0.22222222222 0.3333333333 0.2222222222 0.4444444444 0.4444444444 0.3333333333 0.3333333333 0.2222222222 0.4444444444 0.2222222222 0.3333333333 0.2222222222 0.4444444444 0.4444444444 0.3333333333 0.3333333333 0.2222222222 0.4444444444 0.2222222222 0.3333333333 0.2222222222 0.444444444 0.444444444 0.3333333333 0.3333333333 0.2222222222 0.444444444 0.2222222222 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444444 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.222222222 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444444 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.222222222 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444444 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.222222222 0.33333333 0.222222222 0.44444444 0.44444444 0.33333333 0.33333333 0.222222222 0.44444444 0.222222222 0.33333333 0.22222222 0.44444444 0.44444444 0.33333333 0.33333333 0.22222222 0.44444444 0.22222222 0.333333 0.222222 0.444444 0.444444 0.333333 0.333333 0.222222 0.444444 0.222222 0.3333333333334619 0.2222222222223006 0.4444444444445885 0.4444444444442493 0.3333333333331336 0.3333333333331348 0.2222222222222893 0.4444444444445657 0.2222222222222768 0.333333333128957 0.222222222033615 0.444444444205510 0.444444444473928 0.333333333276868 0.333333333380590 0.222222222397114 0.444444444689517 0.222222222413899 0.333333333120927 0.222222222038300 0.444444444200960 0.444444444518635 0.333333333325456 0.333333333418738 0.222222222360439 0.444444444636243 0.222222222380302 0.33333333312121 0.222222222038598 0.44444444420130 0.44444444451874 0.33333333332570 0.33333333341880 0.222222222360054 0.44444444463570 0.222222222379902 0.33333333312260 0.22222222204033 0.44444444420311 0.44444444452013 0.33333333332795 0.33333333341980 0.22222222235727 0.44444444463172 0.22222222237709 0.33333333312245 0.22222222204021 0.44444444420295 0.44444444452021 0.33333333332797 0.33333333341988 0.22222222235734 0.44444444463182 0.22222222237718 0.33333333312247 0.22222222204022 0.4444444442030 0.4444444445202 0.33333333332794 0.33333333341985 0.22222222235735 0.4444444446318 0.22222222237719 0.3333333331224 0.2222222220402 0.4444444442029 0.4444444445202 0.3333333333280 0.3333333334199 0.2222222223574 0.4444444446319 0.2222222223772

44

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

0.3333333331224 0.2222222220402 0.4444444442029 0.4444444445202 0.3333333333280 0.3333333334199 0.2222222223574 0.4444444446319 0.2222222223772 0.3333333331224 0.2222222220402 0.444444444203 0.444444444520 0.3333333333280 0.3333333334199 0.2222222223574 0.444444444632 0.2222222223772 0.333333333122 0.222222222040 0.444444444203 0.444444444520 0.333333333328 0.333333333420 0.222222222357 0.444444444632 0.222222222377 0.333333333122 0.222222222040 0.444444444203 0.444444444520 0.333333333328 0.333333333420 0.222222222357 0.444444444632 0.222222222377 0.333333333122 0.222222222040 0.444444444203 0.444444444520 0.333333333328 0.333333333420 0.222222222357 0.444444444632 0.222222222377 0.33333333312 0.222222222040 0.44444444420 0.44444444452 0.33333333333 0.33333333342 0.222222222357 0.44444444463 0.222222222377 0.33333333312 0.22222222204 0.44444444420 0.44444444452 0.33333333333 0.33333333342 0.22222222236 0.44444444463 0.22222222238 0.33333333312 0.22222222204 0.44444444420 0.44444444452 0.33333333333 0.33333333342 0.22222222236 0.44444444463 0.22222222238 0.33333333312 0.22222222204 0.4444444442 0.4444444445 0.33333333333 0.33333333342 0.22222222236 0.4444444446 0.22222222238 0.3333333331 0.2222222220 0.4444444442 0.4444444445 0.3333333333 0.3333333334 0.2222222224 0.4444444446 0.2222222224 0.3333333331 0.2222222220 0.4444444442 0.4444444445 0.3333333333 0.3333333334 0.2222222224 0.4444444446 0.2222222224 0.3333333331 0.2222222220 0.444444444 0.444444445 0.3333333333 0.3333333334 0.2222222224 0.444444445 0.2222222224 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444445 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444445 0.222222222 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444445 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444445 0.222222222 0.333333333 0.222222222 0.444444444 0.444444445 0.333333333 0.333333333 0.222222222 0.444444445 0.222222222 0.33333333 0.222222222 0.44444444 0.44444444 0.33333333 0.33333333 0.222222222 0.44444444 0.222222222 0.33333333 0.22222222 0.44444444 0.44444444 0.33333333 0.33333333 0.22222222 0.44444444 0.22222222

Tabel 2.2 Parameter ragam k 3000 0 2000 1000 845.9000000000012` 1 154.09999999998706` 1154.0999999999897` 495.82000000011084` 2 495.8200000000896` 495.8200000001118`

σ

(k)

45

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1098.4551636502977` 1098.4551636502938` 1098.455163650298` 1267.6854924681952` 1267.6854924682032` 1267.6854924681902` 2468.5879717702364` 2468.587971770298` 2468.5879717703097` 3049.7853029179364` 3049.7853029178136` 3049.7853029178386` 3101.0907186193763` 3101.0907186193313` 3101.0907186193594` 2958.3283833261876` 2958.328383326134` 2958.328383326153` 3397.82166969571` 3397.821669695694` 3397.821669695699` 3033.3657155468154` 3033.365715546802` 3033.3657155468145` 3499.6505925141546` 3499.6505925141614` 3499.6505925141487` 4572.647244146547` 4572.647244146528` 4572.647244146532` 4484.6804088534755` 4484.680408853491` 4484.680408853478` 3369.0220165511982` 3369.022016551204` 3369.0220165511973` 2055.1583486605587` 2055.158348660553` 2055.158348660565` 4241.01032278884` 4241.010322788837` 4241.010322788832` 4306.325770027792` 4306.325770027784` 4306.325770027792` 3685.656492675389` 3685.6564926753913` 3685.656492675394` 3433.3639001812176` 3433.3639001812253` 3433.3639001812235` 5360.3595858009785` 5360.359585800974` 5360.3595858009785` 4758.554011451784` 4758.554011451779` 4758.554011451787` 3324.1794735909934` 3324.1794735909953` 3324.1794735910007`

46

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

2978.7934306292764` 2978.7934306292827` 2978.793430629273` 3017.7718549561864` 3017.771854956205` 3017.7718549562082` 5109.784233060355` 5109.7842330603635` 5109.784233060356` 4789.214792353189` 4789.21479235319` 4789.214792353194` 4346.039337289283` 4346.039337289291` 4346.0393372893` 2969.6895206370255` 2969.6895206370227` 2969.6895206370255` 4979.570223604292` 4979.570223604284` 4979.570223604306` 4781.805682941709` 4781.805682941709` 4781.805682941702` 756.9272915456343` 756.9272915456354` 756.9272915456393` 1874.4746263655481` 1874.4746263655707` 1874.474626365565` 3439.70949756988` 3439.7094975698483` 3439.7094975698005` 4084.3506917216555` 4084.3506917215027` 4084.350691721431` 881.1845762513424` 881.1845762513544` 881.1845762513803` 2119.3280920004577` 2119.3280920004613` 2119.328092000443` 3499.0509154099063` 3499.050915409849` 3499.0509154098318` 4178.588826891317` 4178.588826891214` 4178.588826891306` 2202.6460647635654` 2202.646064763561` 2202.646064763575` 2556.664315954553` 2556.6643159545442` 2556.6643159545224` 3414.12717824503` 3414.1271782450026` 3414.127178245025` 4072.915902682128` 4072.9159026821485` 4072.915902682155`

47

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

948.0083132210209` 948.008313221002` 948.0083132210145` 2290.1006871416243` 2290.100687141702` 2290.1006871417403` 3190.5941547279086604188110671398`14.545589703303321 3190.5941547278087477718736495527`14.545589703303284 3190.5941547276994702318547541492`14.545589703303278 3818.8837350948753280441610240212`14.015286007474293 3818.8837350948409319933224228121`14.015286007474343 3818.8837350948595355155333857786`14.015286007474279 1188.9265596241444` 1188.9265596241341` 1188.9265596241446` 1945.369655025711` 1945.3696550257266` 1945.3696550257916` 3177.6231708442448370166`12.798881790291162 3177.6231708442640244839`12.798881790291187 3177.6231708442327867302`12.79888179029119 3810.6893610146076307386`12.634926099348407 3810.689361014617527671`12.634926099348428 3810.6893610146029772482`12.634926099348393 2381.6701323063633775017`12.097841323956468 2381.6701323063553629177`12.097841323956416 2381.6701323063618056593`12.097841323956459 2699.9959329598047449132`11.760098182225796 2699.9959329598172818081`11.760098182225757 2699.9959329598187806945`11.760098182225788 3193.6145096008081310215`11.606892157968025 3193.6145096008024016333`11.60689215796804 3193.6145096007988131429`11.606892157968003 4477.8072244952028734227`11.608422315430744 4477.8072244952034481256`11.608422315430765 4477.8072244952017078796`11.608422315430795 4911.327094190523509193`11.324469822994336 4911.3270941905330500159`11.324469822994363 4911.3270941905258929131`11.32446982299439 899.5489674103640391723`10.01106959066918 899.5489674103650709603`10.011069590669136 899.5489674103667701752`10.01106959066917 2642.0888181063428410471`10.427243084051618 2642.0888181063614140065`10.427243084051574 2642.0888181063509504416`10.4272430840516 2818.8573507507334670476`10.054680168870627 2818.8573507507699405798`10.054680168870654 2818.8573507507773611907`10.054680168870691 4714.3166839656865071636`10.171638563453904 4714.3166839657239390583`10.17163856345391 4714.3166839657264535919`10.171638563453877 4762.0201981557462723582`9.798634622171074 4762.0201981557420466987`9.798634622171063 4762.0201981557461295383`9.798634622171097 785.2478505810890510335`8.387375321114948 785.2478505810850222388`8.387375321114943 785.2478505810850090062`8.387375321114977 2321.1562329236339890198`8.82928306634975 2321.1562329236535131208`8.82928306634976 2321.1562329236493562175`8.829283066349786

48

63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

2932.2576824430579185426`8.483484581444277 2932.2576824430695491531`8.48348458144427 2932.257682443076609564`8.483484581444241 3528.9913455464328335412`8.338035044458493 3528.9913455464158499719`8.338035044458476 3528.9913455463996201333`8.338035044458506 3668.3766417847588399028`8.140293085699524 3668.3766417847953478625`8.140293085699533 3668.3766417847629998178`8.14029308569956 3963.2691088734983013558`7.888467289341101 3963.2691088734733929969`7.888467289341143 3963.269108873496123103`7.888467289341128 4968.3516662007464790717`7.838093001894124 4968.3516662007521334148`7.838093001894051 4968.3516662007463322325`7.838093001894089 4048.3600082189107760467`7.301615187908553 4048.3600082188987272122`7.301615187908539 4048.360008218903817054`7.301615187908579 19.8243364591580383475`2.8380862878802358 19.8243364591580383475`2.8380862878802318 19.8243364591580383475`2.8380862878801976 717.1687374964193` 717.1687374964489` 717.1687374964314` 2047.9053972542328635247377402456`14.309596556028344 2047.9053967988621741721136967453`14.309596555822427 2047.9053957430669801618595370826`14.309596555403802 3303.8478180377987893954741846186`13.908174835407765 3303.8478177572100703495244120391`13.90817483531285 3303.8478182477536708835483371349`13.908174835448873 3961.2142994531166237902495642114`13.638406502526834 3961.2142995620253488681821131987`13.638406502544862 3961.2142999281920567723143863363`13.638406502604656 262.6461294856235232554`11.334863177701674 262.6461294852911454475`11.334863177700766 262.646129487836905214`11.334863177708788 698.7750149443974801516`11.774774267826334 698.7750149442138165991`11.774774267826222 698.7750149441060448451`11.774774267825947 1929.539965367180644663`12.17660979785081 1929.5399653673369726963`12.176609797850885 1929.5399653671731596979`12.17660979785081 3467.0696728980898452168`12.259444764100431 3467.0696728975113726871`12.259444764100287 3467.0696728975422031898`12.259444764100323 4127.0018776967845354705`12.08333881021652 4127.0018776964905163718`12.083338810216496 4127.0018776966992064429`12.083338810216462 619.2633617948029949643`10.545268729157938 619.2633617947979830391`10.54526872915799 619.2633617948027568868`10.545268729158028 1682.986065921466632591`10.974027504166257 1682.9860659214615037865`10.974027504166246 1682.9860659215350376527`10.974027504166237 3577.3169840349846603763`11.095682573642074 3577.3169840350162889627`11.095682573642078 3577.3169840349587926679`11.095682573642016 4142.9993841979955324475`10.89816968923267 4142.9993841980163926383`10.898169689232729 4142.9993841980502294732`10.898169689232663

49

83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

k 0 1 2 3 4 5

908.8035867349207143001`9.693356262021092 908.8035867349187249862`9.693356262021082 908.8035867349196439641`9.693356262021059 2500.0846578237524234062`10.072279937998225 2500.0846578237116866242`10.072279937998228 2500.0846578237120489332`10.072279937998216 2639.0636022735642055391`9.627786574135177 2639.0636022735561744411`9.627786574135197 2639.0636022735925810711`9.627786574135255 2986.8689787666244038539`9.497341522665364 2986.8689787665979072483`9.497341522665439 2986.8689787665729782625`9.49734152266546 4830.4426809047637493177`9.59857859836438 4830.4426809047347020946`9.598578598364334 4830.442680904731253729`9.598578598364378 3303.5420265847694705362`8.918460047299508 3303.5420265847726185448`8.918460047299607 3303.5420265847353514454`8.918460047299504 3351.9844000982560707609`8.704945175105186 3351.9844000982523985394`8.704945175105143 3351.9844000982420823848`8.704945175105196 3729.8093089496640447521`8.445153336849065 3729.80930894965797654`8.445153336849025 3729.8093089496529733416`8.445153336849078 4987.8297788389631695101`8.435188377744693 4987.8297788389581244699`8.43518837774465 4987.8297788389580879364`8.4351883777447 2522.9827139457884692105`7.504570717421696 2522.9827139457931215188`7.504570717421656 2522.9827139457782181739`7.504570717421565 3035.8916759112140595906`7.387140247473931 3035.8916759111995798519`7.387140247474016 3035.8916759111980859965`7.387140247473943 3654.0332681027227605218`7.163636971899938 3654.0332681027142859204`7.1636369718999005 3654.0332681027138717481`7.163636971899961 900.2128445503809360582`5.990333949376586 900.2128445503802894593`5.990333949376615 900.2128445503800308198`5.990333949376606 Tabel 2.3 Parameter nilai rata-rata C C(k) 10000 9000 8000 9154.1` 9154.1` 9154.100000000002` 9649.920000000197` 9649.920000000171` 9649.920000000167` 8769.280000000179` 8769.280000000164` 8769.280000000172` 9646.212357950628` 9646.212357950633` 9646.212357950633` 10486.527758933846` 10486.527758934013` 10486.527758934`

50

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

12658.4689500377` 12658.468950037677` 12658.468950037695` 10233.389640042536` 10233.389640042577` 10233.389640042571` 12836.216620423875` 12836.216620423871` 12836.216620423871` 9858.324007895068` 9858.324007895084` 9858.324007895077` 11731.860867729974` 11731.860867729969` 11731.860867729962` 8548.27952311379` 8548.279523113788` 8548.279523113788` 12766.407108796737` 12766.407108796742` 12766.407108796737` 8324.371984321482` 8324.371984321479` 8324.37198432148` 10668.687460037328` 10668.687460037334` 10668.687460037336` 8663.847539835704` 8663.847539835706` 8663.847539835702` 12515.037372175997` 12515.037372175992` 12515.037372175992` 8252.607933619953` 8252.607933619953` 8252.607933619951` 10737.620910226055` 10737.620910226058` 10737.62091022606` 7338.974028631901` 7338.974028631899` 7338.9740286319` 12344.899714478843` 12344.89971447884` 12344.899714478843` 7615.71330460068` 7615.713304600684` 7615.713304600681` 9548.255702288396` 9548.255702288392` 9548.255702288396` 10396.429609041741` 10396.429609041756` 10396.429609041763` 7461.675022378271` 7461.675022378268` 7461.675022378271` 12172.786164404795` 12172.786164404797` 12172.786164404795`

51

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

7397.917771958229` 7397.917771958229` 7397.917771958228` 10786.744066484434` 10786.744066484433` 10786.74406648443` 7850.395662352462` 7850.395662352464` 7850.395662352461` 12490.875718949903` 12490.875718949912` 12490.875718949903` 7755.943744724021` 7755.9437447240225` 7755.943744724022` 8486.692628060113` 8486.692628060116` 8486.692628060115` 9694.849113254677` 9694.84911325467` 9694.849113254673` 12436.782526255873` 12436.782526255725` 12436.782526255633` 8561.04249677804` 8561.042496778047` 8561.042496778042` 9442.01555352937` 9442.015553529369` 9442.015553529367` 9770.406327565548` 9770.406327565579` 9770.406327565626` 12711.051924307734` 12711.051924307654` 12711.051924307743` 8845.747527728938` 8845.74752772895` 8845.747527728941` 11030.755334822137` 11030.755334822137` 11030.755334822135` 9885.673785503579` 9885.673785503583` 9885.673785503588` 12739.606054698006` 12739.606054698022` 12739.606054698019` 9057.7632264168332542369967174522`15.653559774527036 9057.7632264168344350038668258959`15.653559774526986 9057.7632264168279286772184322287`15.653559774527032 9434.866257392277` 9434.866257392277` 9434.866257392281` 10036.136256096524` 10036.136256096655` 10036.136256096766` 12498.9250802591991523681478872047`15.653559774527045 12498.9250802591713314772958717167`15.653559774527066 12498.9250802591788694149173109795`15.653559774527027

52

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

9120.483761838144652543951740049`15.176438641265616 9120.4837618381455183182960139709`15.176438641265637 9120.4837618381409448234135546518`15.176438641265603 10305.632345633132507533947983122`15.011135706939243 10305.632345633134` 10305.6323456331325863862216921242`15.011135706939191 9927.3059681498514036026432558061`14.477468515471351 9927.3059681498552607014067753543`14.47746851547139 9927.3059681498295884812760248914`14.477468515471363 12243.28025566633348380069288637`14.162198080692745 12243.280255666334227244753633828`14.162198080692766 12243.28025566632550362215526063`14.162198080692743 8735.7545708110554176779923669413`13.854219262365149 8735.7545708110552011710224816124`13.854219262365136 8735.7545708110548730974958834936`13.854219262365138 10383.8333259662196668917`13.601847814073613 10383.8333259662247770938`13.601847814073594 10383.8333259662156596418`13.601847814073604 11516.7139612585947201836`13.247019754584446 11516.7139612585908091998`13.247019754584404 11516.7139612585884401285`13.247019754584398 8743.5845133323007775915`12.945138918598202 8743.5845133323001392702`12.945138918598253 8743.5845133323031121132`12.94513891859822 12909.1718073821987890886`12.643684140814797 12909.1718073822041286077`12.643684140814818 12909.1718073821957612095`12.643684140814818 8060.8912472460411799983`12.342455307560863 8060.8912472460401479111`12.342455307560884 8060.891247246038448283`12.342455307560881 8960.4068871043213048182`12.329204593768646 8960.4068871043213045484`12.329204593768601 8960.4068871043213041928`12.32920459376857 10589.3507416253177290958`11.740222848594259 10589.3507416253294366847`11.74022284859428 10589.3507416253195989311`11.74022284859431 8346.0718084015144526496`11.439214043547752 8346.0718084015087296382`11.43921404354773 8346.071808401501318125`11.439214043547732 12765.5327378341662503982`11.138123093385184 12765.532737834170946577`11.138123093385186 12765.5327378341751593417`11.138123093385184 8103.2390354357231516544`10.837763594494259 8103.2390354357271804538`10.837763594494287 8103.2390354357271936736`10.837763594494287 8888.4855855287868255524`10.825341507930498 8888.4855855287868255504`10.825341507930492 8888.4855855287868255391`10.825341507930526 10217.8141048456444225296`10.235021509280337 10217.8141048456510362446`10.23502150928034 10217.8141048456524180439`10.235021509280367 12142.8594991369558182019`9.933990685263073 12142.8594991369434641641`9.933990685263064 12142.8594991369506810212`9.933990685263066 9094.3770857987281219009`9.632960275549474 9094.3770857987275831017`9.632960275549461 9094.3770857987357092098`9.632960275549495 11812.0409142603391699457`9.331946435445296 11812.0409142603104610566`9.331946435445293 11812.0409142603276390854`9.331946435445294

53

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

7925.941273492521440938`9.030906744876008 7925.941273492519646031`9.030906744875988 7925.9412734925187545737`9.030906744876004 12503.0109137059219301607`8.729869926027256 12503.010913705909851228`8.729869926027249 12503.0109137059149572257`8.729869926027286 8457.2455910528426080178`8.51421678705592 8457.2455910528426007699`8.514216787055911 8457.2455910528426065405`8.514216787055883 8437.4411616521893317555`8.428770736180345 8437.4411616521893318013`8.428770736180342 8437.4411616521893317672`8.42877073618031 9154.478514931441` 9154.478514931438` 9154.478514931436` 9885.5521276449726475957807677521`15.653559774527015 9885.5521280433667948385195603187`15.653559774526993 9885.5521276005472508456105074114`15.653559774526997 12473.5857040108520832507291942372`15.17643851980737 12473.5857041266937098344816919285`15.176438519807377 12473.5857045316278039844343758562`15.176438519807359 8843.866504511441230148041828176`14.80846173451933 8843.866504511203064639176424536`14.808461734519355 8843.8665045136442840169487662352`14.808461734519318 8581.6674443750300914654861145392`14.746489317456897 8581.6674443751042704920827113483`14.7464893174572 8581.6674443750190673222368648037`14.746489317456934 9219.7341380822017022757179769014`14.162198080692763 9219.7341380821582657338599140771`14.162198080692775 9219.7341380824894024579162368638`14.16219808069278 9706.9564779655479521572598003338`13.854219225073516 9706.9564779660474545594366157841`13.854219225073503 9706.9564779661058672789612009998`13.85421922507353 12518.6598230910484889049`13.54975605357114 12518.6598230907370983306`13.549756053571166 12518.6598230909478047666`13.549756053571132 8623.3542116147829042438`13.247019594096738 8623.3542116147879260594`13.247019594096747 8623.3542116147832022023`13.247019594096772 9242.2080470176625530797`13.240967213457028 9242.2080470176625635161`13.240967213457019 9242.2080470176626281872`13.240967213456985 9446.241999856750916679`12.643684140814939 9446.2419998566994024534`12.64368414081493 9446.2419998567484754436`12.643684140814916 12344.5266039529854323189`12.342441931864624 12344.5266039530105508975`12.34244193186462 12344.5266039530417849642`12.342441931864574 8311.7919274146029777772`12.041305868479032 8311.791927414604994161`12.041305868479027 8311.7919274146040441995`12.04130586847902 9219.8870831078437705854`12.029113229807967 9219.8870831078437993143`12.029113229807962 9219.8870831078437652427`12.029113229807999 10396.8145608849987392319`11.43916634327188 10396.8145608849279162113`11.439166343271896 10396.8145608848708091889`11.439166343271884 10773.8910674117075452534`11.138124419346301 10773.8910674116840056965`11.138124419346324 10773.8910674116819520348`11.138124419346372

54

86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

8202.9719865528237023497`10.837086471936741 8202.9719865528231903361`10.837086471936756 8202.9719865528338728997`10.837086471936853 12738.0533621986763562875`10.536053161656017 12738.0533621986794496628`10.53605316165604 12738.0533621986421893449`10.536053161656021 9436.822602164821468172`10.358058447935615 9436.8226021648214149506`10.35805844793562 9436.8226021648214457448`10.358058447935665 11642.3660948394401790352`9.934029776859228 11642.3660948394352061208`9.934029776859255 11642.3660948394307594165`9.934029776859312 7997.2465403414484379569`9.632960279170886 7997.2465403414478559856`9.632960279170911 7997.2465403414491288796`9.632960279170902 12647.8770256859837466885`9.331930072671412 12647.8770256859883844315`9.33193007267137 12647.8770256859734574222`9.331930072671359 10131.6649338164407296431`9.2124562079018 10131.6649338164407039659`9.212456207901761 10131.6649338164407199252`9.212456207901711 12216.2560652725071277232`8.729869926027607 12216.2560652725131092272`8.729869926027565 12216.2560652725124673002`8.729869926027625 8982.5430580143515514832`8.428839904477641 8982.543058014352248389`8.428839904477673 8982.543058014352419535`8.428839904477663 9881.1438268307772176374`8.392045843266303 9881.1438268307772283607`8.392045843266272 9881.1438268307772116973`8.392045843266262 Tabel 2.4 Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei , jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k.

k

P( X k = ei | yk )

0 1 2 3 4 5 6 7

0.12649762166643155` 0.7869667959549822` 0.08653558237858638` 0.3260869565217342` 0.36956521739131454` 0.3043478260869513` 0.3260869565218735` 0.3695652173911105` 0.3043478260870162` 0.3260869565218689` 0.3695652173911165` 0.30434782608701466` 0.326086956521846` 0.36956521739113124` 0.30434782608702277` 0.326086956521864` 0.3695652173911194` 0.3043478260870166` 0.32608695652187414` 0.3695652173911155` 0.3043478260870103`

P( X k = ei |

0.32608695652173914` 0.3695652173913043` 0.30434782608695654` 0.3260869565217392` 0.3695652173913043` 0.30434782608695654` 0.326086956521875` 0.36956521739110854` 0.3043478260870165` 0.3260869565218692` 0.3695652173911176` 0.30434782608701333` 0.3260869565218688` 0.3695652173911182` 0.30434782608701305` 0.3260869565218693` 0.369565217391116` 0.30434782608701466` 0.32608695652187725` 0.3695652173911128` 0.30434782608701005` 0.3260869565218623` 0.3695652173911234` 0.30434782608701433`

55

k

)

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

0.32608695652185987` 0.3695652173911254` 0.30434782608701466` 0.3260869565218579` 0.36956521739112785` 0.3043478260870142` 0.32608695652185143` 0.36956521739113246` 0.3043478260870162` 0.3260869565218504` 0.3695652173911337` 0.304347826087016` 0.3260869565218491` 0.3695652173911354` 0.30434782608701544` 0.32608695652184977` 0.36956521739113385` 0.3043478260870164` 0.3260869565218485` 0.36956521739113496` 0.30434782608701644` 0.32608695652184916` 0.36956521739113524` 0.3043478260870155` 0.32608695652184905` 0.36956521739113396` 0.3043478260870169` 0.3260869565218489` 0.369565217391136` 0.30434782608701516` 0.32608695652184894` 0.3695652173911353` 0.30434782608701566` 0.3260869565218485` 0.3695652173911358` 0.30434782608701555` 0.3260869565218486` 0.36956521739113624` 0.3043478260870152` 0.32608695652184944` 0.3695652173911357` 0.30434782608701483` 0.3260869565218494` 0.369565217391136` 0.3043478260870147` 0.32608695652185066` 0.36956521739113585` 0.3043478260870134` 0.3260869565218511` 0.3695652173911356` 0.3043478260870133` 0.32608695652185027` 0.3695652173911351` 0.30434782608701466` 0.32608695652185293` 0.3695652173911338` 0.3043478260870134` 0.32608695652185354` 0.36956521739113346` 0.30434782608701316`

0.3260869565218584` 0.3695652173911276` 0.30434782608701416` 0.3260869565218518` 0.3695652173911331` 0.3043478260870151` 0.32608695652185027` 0.36956521739113435` 0.30434782608701544` 0.32608695652184905` 0.36956521739113557` 0.30434782608701527` 0.32608695652184927` 0.3695652173911345` 0.3043478260870161` 0.32608695652184816` 0.3695652173911354` 0.3043478260870164` 0.3260869565218492` 0.3695652173911343` 0.3043478260870165` 0.32608695652184927` 0.3695652173911339` 0.30434782608701677` 0.3260869565218491` 0.3695652173911355` 0.3043478260870153` 0.3260869565218487` 0.36956521739113546` 0.3043478260870158` 0.3260869565218481` 0.3695652173911362` 0.3043478260870157` 0.3260869565218486` 0.36956521739113607` 0.30434782608701527` 0.3260869565218495` 0.3695652173911354` 0.30434782608701505` 0.3260869565218494` 0.36956521739113574` 0.304347826087015` 0.32608695652184916` 0.3695652173911361` 0.3043478260870147` 0.3260869565218497` 0.36956521739113624` 0.3043478260870141` 0.32608695652185016` 0.3695652173911353` 0.30434782608701455` 0.32608695652185277` 0.3695652173911337` 0.30434782608701344` 0.3260869565218532` 0.36956521739113346` 0.3043478260870134` 0.3260869565218535` 0.36956521739113346` 0.30434782608701305`

56

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

0.3260869565218533` 0.3695652173911337` 0.3043478260870129` 0.3260869565218544` 0.36956521739113335` 0.30434782608701233` 0.3260869565218538` 0.3695652173911336` 0.30434782608701244` 0.3260869565218548` 0.3695652173911352` 0.30434782608700994` 0.32608695652185526` 0.3695652173911338` 0.3043478260870107` 0.32608695652184344` 0.3695652173911374` 0.3043478260870192` 0.32608695652185055` 0.36956521739113407` 0.30434782608701544` 0.3260869565218597` 0.36956521739113357` 0.30434782608700656` 0.32608695652185343` 0.3695652173911309` 0.3043478260870156` 0.3260869565218609` 0.36956521739113785` 0.3043478260870012` 0.32608695652186054` 0.36956521739113596` 0.3043478260870035` 0.3260869565218556` 0.3695652173911354` 0.304347826087009` 0.3260869565218536` 0.3695652173911348` 0.30434782608701155` 0.3260869565218549` 0.3695652173911377` 0.3043478260870074` 0.3260869565218534` 0.3695652173911362` 0.30434782608701044` 0.32608695652184766` 0.36956521739114256` 0.3043478260870097` 0.3260869565218641` 0.3695652173911368` 0.3043478260869991` 0.3260869565218383` 0.3695652173911474` 0.30434782608701433` 0.3260869565218605` 0.3695652173911413` 0.3043478260869982` 0.32608695652184144` 0.36956521739114484` 0.3043478260870138`

0.3260869565218541` 0.3695652173911334` 0.3043478260870125` 0.32608695652185404` 0.36956521739113374` 0.3043478260870122` 0.32608695652185404` 0.36956521739113485` 0.30434782608701116` 0.3260869565218541` 0.36956521739113474` 0.30434782608701116` 0.32608695652185554` 0.3695652173911352` 0.3043478260870092` 0.3260869565218602` 0.3695652173911315` 0.3043478260870083` 0.3260869565218539` 0.36956521739113196` 0.3043478260870142` 0.3260869565218532` 0.36956521739113196` 0.30434782608701483` 0.32608695652186415` 0.3695652173911326` 0.3043478260870032` 0.32608695652186354` 0.3695652173911309` 0.30434782608700556` 0.32608695652185543` 0.3695652173911344` 0.3043478260870101` 0.326086956521855` 0.36956521739113524` 0.3043478260870098` 0.3260869565218554` 0.3695652173911367` 0.304347826087008` 0.3260869565218523` 0.3695652173911364` 0.3043478260870113` 0.3260869565218497641535510303`15.352529778863001 0.3695652173911395026251529609`15.352529778863001 0.3043478260870107332212960088`15.352529778863001 0.32608695652185044` 0.3695652173911392` 0.30434782608701033` 0.32608695652184394` 0.36956521739114634` 0.30434782608700967` 0.3260869565218617580549441183`15.352529778863014 0.3695652173911398360764335753`15.352529778863014 0.3043478260869984058686223065`15.352529778863014 0.3260869565218423982527941669`14.87540852414337 0.3695652173911428592779014168`14.87540852414337 0.3043478260870147424693044163`14.87540852414337 0.326086956521842154766822146`14.507431738848757 0.3695652173911431580043677407`14.507431738848757 0.3043478260870146872288101133`14.507431738848757

57

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

0.32608695652184716` 0.3695652173911463` 0.30434782608700667` 0.32608695652184005` 0.36956521739114534` 0.30434782608701466` 0.3260869565218494` 0.3695652173911489` 0.3043478260870016` 0.32608695652184994` 0.3695652173911469` 0.30434782608700306` 0.3260869565218506` 0.3695652173911457` 0.3043478260870038` 0.32608695652184905` 0.36956521739114717` 0.30434782608700384` 0.32608695652185193` 0.3695652173911455` 0.3043478260870025` 0.32608695652185116` 0.36956521739114584` 0.3043478260870031` 0.3260869565218512` 0.36956521739114634` 0.3043478260870023` 0.326086956521852` 0.3695652173911449` 0.3043478260870031` 0.32608695652185493` 0.369565217391145` 0.3043478260870001` 0.3260869565218549` 0.36956521739114345` 0.3043478260870016` 0.32608695652186` 0.36956521739114123` 0.3043478260869988` 0.32608695652186254` 0.3695652173911396` 0.3043478260869978` 0.32608695652186526` 0.369565217391138` 0.30434782608699673` 0.3260869565218602` 0.3695652173911414` 0.30434782608699845` 0.3260869565218635` 0.3695652173911381` 0.3043478260869984` 0.32608695652186587` 0.3695652173911385` 0.30434782608699557` 0.32608695652186337` 0.3695652173911392` 0.30434782608699734` 0.3260869565218667` 0.369565217391134` 0.3043478260869992`

0.3260869565218399198847628239`14.176438519807359 0.3695652173911466428130835439`14.176438519807359 0.3043478260870134373021536322`14.176438519807359 0.3260869565218492567794078073`13.861168085028762 0.3695652173911495456673801747`13.861168085028762 0.304347826087001197553212018`13.861168085028762 0.3260869565218503309389707181`13.55318922940945 0.3695652173911465692723012099`13.55318922940945 0.3043478260870030997887280721`13.55318922940945 0.326086956521850665636999538`13.24872605790706 0.3695652173911456967970823749`13.24872605790706 0.304347826087003637565918087`13.24872605790706 0.3260869565218495313040934755`12.94598959842903 0.3695652173911470633656537555`12.94598959842903 0.3043478260870034053302527689`12.94598959842903 0.3260869565218519095507821661`12.644108878728277 0.3695652173911459117800020152`12.644108878728277 0.3043478260870021786692158187`12.644108878728277 0.3260869565218508102497488869`12.342654145150815 0.3695652173911462369612558989`12.342654145150815 0.3043478260870029527889952142`12.342654145150815 0.3260869565218508476350902453`12.041411936200458 0.3695652173911462884695124702`12.041411936200458 0.3043478260870028638953972844`12.041411936200458 0.3260869565218508865053881648`11.740275872766487 0.3695652173911462631065718207`11.740275872766487 0.3043478260870028503880400144`11.740275872766487 0.3260869565218517663312505262`11.439192852930276 0.3695652173911461917112610907`11.439192852930276 0.3043478260870020419574883832`11.439192852930276 0.3260869565218539964159464537`11.138136347607691 0.3695652173911438954645775029`11.138136347607691 0.3043478260870021081194760433`11.138136347607691 0.3260869565218601607600201955`10.837093097721187 0.3695652173911409584507563112`10.837093097721187 0.3043478260869988807892234933`10.837093097721187 0.326086956521863701693963893`10.536056475097629 0.3695652173911389892278827786`10.536056475097629 0.3043478260869973090781533284`10.536056475097629 0.3260869565218636458187308198`10.235023165991773 0.3695652173911390253012090352`10.235023165991773 0.304347826086997328880060145`10.235023165991773 0.3260869565218613030434192964`9.933991513616347 0.3695652173911403992837910832`9.933991513616347 0.3043478260869982976727896204`9.933991513616347 0.3260869565218648873852369309`9.632960689599003 0.3695652173911379707624544952`9.632960689599003 0.3043478260869971418523085738`9.632960689599003 0.3260869565218670201661843131`9.331930279758945 0.3695652173911372284125174116`9.331930279758943 0.3043478260869957514212982753`9.331930279758945 0.3260869565218642073`9.030900077007077 0.3695652173911378036`9.030900077007079 0.3043478260869979892`9.030900077007077 0.3260869565218671167`8.729869977799193 0.3695652173911337418`8.729869977799192 0.3043478260869991415`8.729869977799192 0.3260869565218654065`8.428839930363237 0.3695652173911361749`8.428839930363235 0.3043478260869984185`8.428839930363235

58

68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

0.32608695652186487` 0.3695652173911366` 0.30434782608699834` 0.3260869565218653` 0.36956521739113596` 0.30434782608699873` 0.32608695652186526` 0.36956521739113496` 0.3043478260869999` 0.32608695648294017` 0.3695652173418755` 0.30434782617518435` 0.32608695654851577` 0.36956521738871284` 0.3043478260627713` 0.32608695635211654` 0.36956521738092973` 0.3043478262669539` 0.32608695632710416` 0.3695652174181194` 0.30434782625477635` 0.3260869563266687` 0.3695652174171027` 0.30434782625622864` 0.3260869563278305` 0.3695652174187332` 0.3043478262534363` 0.32608695632764173` 0.36956521741882487` 0.3043478262535334` 0.32608695632767054` 0.3695652174187862` 0.3043478262535433` 0.3260869563276104` 0.36956521741881765` 0.30434782625357193` 0.326086956327614` 0.3695652174188224` 0.3043478262535636` 0.3260869563276111` 0.36956521741881887` 0.30434782625357004` 0.32608695632761675` 0.36956521741882686` 0.30434782625355655` 0.32608695632761553` 0.3695652174188222` 0.30434782625356227` 0.3260869563276093` 0.36956521741882364` 0.304347826253567` 0.3260869563276146` 0.3695652174188245` 0.3043478262535611` 0.3260869563276064` 0.3695652174188263` 0.30434782625356716` 0.3260869563276088` 0.36956521741882875` 0.3043478262535623`

0.3260869565218652974`8.127809908813282 0.3695652173911359814`8.127809908813282 0.3043478260869987212`8.127809908813282 0.3260869565218652973`7.826779900206278 0.3695652173911359815`7.826779900206278 0.3043478260869987212`7.826779900206278 0.3260869565218653` 0.3695652173911359` 0.30434782608699884` 0.3260869565218787253166520679`15.352529778863012 0.3695652173911220037130230872`15.352529778863012 0.3043478260869992709703248449`15.352529778863012 0.3260869563370577863324959595`14.87540852414336 0.3695652173739134139844393397`14.87540852414336 0.3043478262890287996830647008`14.87540852414336 0.326086956326420578959502095`14.507431738848778 0.3695652174168763117080955072`14.507431738848778 0.3043478262567031093324023978`14.507431738848778 0.3260869563266607937307603933`14.176438519807327 0.3695652174170469983397244167`14.176438519807327 0.30434782625629220792951519`14.176438519807327 0.3260869563278007228244597672`13.861168085028769 0.3695652174187600110125995844`13.861168085028769 0.3043478262534392661629406484`13.861168085028769 0.3260869563276607922505382534`13.553189229409519 0.3695652174188050078221830135`13.553189229409519 0.3043478262535341999272787331`13.553189229409519 0.3260869563276810718084166823`13.248726057907147 0.3695652174187720155189566681`13.248726057907147 0.3043478262535469126726266496`13.248726057907147 0.3260869563276114273655726889`12.945989598429135 0.3695652174188158171731759489`12.945989598429135 0.3043478262535727554612513622`12.945989598429135 0.3260869563276109505968951315`12.64410887872833 0.3695652174188161704225740071`12.64410887872833 0.3043478262535728789805308614`12.64410887872833 0.3260869563276088338781572733`12.34265414515093 0.3695652174188192717759675231`12.34265414515093 0.3043478262535718943458752037`12.34265414515093 0.3260869563276148827624869233`12.041411936200609 0.3695652174188264669805845671`12.041411936200609 0.3043478262535586502569285096`12.041411936200609 0.3260869563276159035756862752`11.740275872766643 0.3695652174188218225314208027`11.740275872766643 0.3043478262535622738928929221`11.740275872766643 0.3260869563276161815999272535`11.439192852930477 0.369565217418821764545072875`11.439192852930477 0.3043478262535620538549998715`11.439192852930477 0.3260869563276152393326439835`11.138136347607881 0.3695652174188225864949155904`11.138136347607881 0.3043478262535621741724404261`11.138136347607881 0.3260869563276089344819007291`10.837093097721308 0.3695652174188264120309923241`10.837093097721308 0.3043478262535646534871069468`10.837093097721308 0.3260869563276100391341310544`10.536056475097771 0.3695652174188290945465268196`10.536056475097771 0.3043478262535608663193421261`10.536056475097771 0.3260869563276045313924765011`10.235023165991976 0.3695652174188301430288000755`10.235023165991976 0.3043478262535653255787234233`10.235023165991976

59

88 89 90 91 92 93 94 95

0.3260869563276037` 0.3695652174188288` 0.30434782625356765` 0.3260869563276026` 0.36956521741883075` 0.3043478262535667` 0.3260869563276013` 0.36956521741882914` 0.3043478262535696` 0.32608695632760054` 0.3695652174188286` 0.30434782625357093` 0.32608695632759943` 0.3695652174188282` 0.3043478262535724` 0.3260869563275992` 0.3695652174188293` 0.3043478262535716` 0.3260869563275985` 0.3695652174188281` 0.3043478262535733` 0.326086956327597` 0.369565217418829` 0.304347826253574`

0.3260869563276032396431438751`9.93399151361659 0.369565217418830865249575938`9.93399151361659 0.3043478262535658951072801869`9.93399151361659 0.3260869563276017102610945938`9.632960689599225 0.3695652174188290735858526733`9.632960689599225 0.3043478262535692161530527329`9.632960689599225 0.3260869563276007339571385523`9.331930279759185 0.3695652174188287259706787775`9.331930279759185 0.3043478262535705400721826702`9.331930279759186 0.3260869563275996399`9.030900077007368 0.3695652174188290177`9.030900077007367 0.3043478262535713424`9.030900077007368 0.3260869563275994558`8.729869977799408 0.3695652174188291473`8.729869977799407 0.3043478262535713969`8.729869977799408 0.3260869563275990497`8.428839930363603 0.3695652174188278759`8.428839930363601 0.3043478262535730744`8.428839930363603 0.3260869563275971909`8.127809908813655 0.3695652174188288962`8.127809908813651 0.304347826253573913`8.12780990881365 0.3260869563275971673`7.82677990020669 0.3695652174188288953`7.826779900206689 0.3043478262535739374`7.826779900206688

awal 0.32608695652173914` 0.3695652173913043` 0.30434782608695654` terakhir 0.3260869563275971673`7.82677990020669 0.3695652174188288953`7.826779900206689 0.3043478262535739374`7.826779900206688 Tabel 2.5 Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k + 1) dan dua bulan (k + 2) yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k

r (Rupiah) 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000

P ( yk +1 ≤ r |

k

P ( yk + 2 ≤ r |

)

0.0006859134845587174` 0.018323923957142055` 0.16383515178422361` 0.5525201891992086` 0.8930438965063954` 0.990706897016725` 0.9997344663629971` 0.9999976237266961` 0.9999999935079187` 0.9999999999946632`

k

)

0.0006859134845587174` 0.018323923957142052` 0.16383515178422364` 0.5525201891992088` 0.8930438965063955` 0.990706897016725` 0.9997344663629971` 0.9999976237266961` 0.9999999935079187` 0.9999999999946632`

60

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV. Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G

Recommend Documents