MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH

oleh YUNITA EKASARI NIM. M0108072

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user

i


digilib.uns.ac.id

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Yunita Ekasari, 2012. MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Dolar Kanada merupakan salah satu dari mata uang komoditas yang aktif diperdagangkan di pasar valuta asing. Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 memiliki sifat heteroskedastisitas dan juga terdapat perubahan struktur. Model GARCH mampu memodelkan adanya heterokedastisitas dengan baik namun tidak memperhitungkan adanya perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Markov Switching (MS ) merupakan alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam MS, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati. Dalam literatur sering disebut state. Banyaknya state diasumsikan ada dua yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi. Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu yang sesuai untuk nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada model GARCH atau sering disebut MS-GARCH. Hasil penelitian menunjukkan model untuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 untuk state nol adalah ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi bersyarat. Sedangkan untuk state satu ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat. Kata kunci : dolar Kanada, heteroskedastisitas, perubahan struktur, MS-GARCH.

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Yunita Ekasari, 2012. EXCHANGE RATE MODEL OF CANADIAN DO LLAR TO RUPIAH USING MARKOV SWITCHING GARCH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Canadian dollar is one of commodity currencies traded actively in foreign currency market. The data of Canadian dollar exchange rate to rupiah during February 1, 2002 to February 29 2012 period have heteroscedasticity property and a structural change, too. GARCH can model the presence of heteroscedasticity correctly but does not take into account the presence of structural change. The structural change is a pattern change occurring in the data time series. Markov switching(M S) is an alternative of time series data modeling having structural change. In Markov Switching, change of model structural that occured is not considered as a result of deterministic event but a result of random anobserved variable. In literature, it is called state. It is assumed that there are two number of states : state zero for low volatility and state one for high volatility. The purpose of this final project is to determine an appropriate time series model for exchange rate of Canadian dolar to rupiah. The data is modeled by involving Markov Switching in GARCH model or frequently called MS-GARCH. The result of research shows that a model to forecast the exchange rate of Canadian dolar to rupiah during February 1, 2002 to February 29 2012 period for state zero is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,0) as conditional variance model, while state one is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,1) as conditional variance model. Key words : Canadian dollar, heteroscedasticity, structural change, MS-GARCH.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTO

Tidak ada simpul yang tidak dapat diurai, tidak ada masalah yang tidak dapat diselesaikan asalkan kita mempunyai kesabaran

Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu dengan kesiapan

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk Ibu dan Bapakku tercinta, Adikku Tony Hendra Prasetya, Keluargaku Tisanda 2, Elza, Agatha, Indriya dan Umi.

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Drs. Pangadi, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II atas kesabarannya membimbing dan memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Surakarta, Juli 2012 Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

Daftar Isi

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv I

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

II LANDASAN TEORI 2.1

5

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1

Model Runtun Waktu dan Stasioneritas . . . . . . . . . .

7

2.1.2

ACF dan PACF

.commit . . . .to. user . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.3

Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

viii


digilib.uns.ac.id

2.1.4

Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.5

Estimasi Model ARMA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.6

Uji Autokorelasi Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.7

Uji Heterokedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.8

Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.9

Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.10 Kriteria Informasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.11 Model Markov Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.12 Model Markov Switching GARCH

. . . . . . . . . . . . .

19

2.1.13 Probabilitas Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.14 Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat 21 2.1.15 Fungsi Likelihood MS-GARCH

2.2

. . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.16 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH . . .

25

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

III METODE PENELITIAN

28

IV PEMBAHASAN

30

4.1

Deskripsi Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2

Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3

Pengujian Karakteristik Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.4

Pembentukan Model Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.4.1

Identifikasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.4.2

Estimasi Parameter Model ARMA . . . . . . . . . . . . .

34

4.4.3

Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0) . . . . . . . .

34

4.4.3.1

Uji Autokorelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4.3.2

Homokesdastisitas Variansi . . . . . . . . . . . .

35

Uji Efek Heteroskedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.4.4.1

Uji Korelasi Kuadrat Residu . . . . . . . . . . . .

36

Uji Lagrange Multiplier commit to user . . . . . . . . . . . . . . Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.4.4

4.4.4.2

4.4.5

ix

38


digilib.uns.ac.id

4.4.6

Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.4.7

Model Markov Switching GARCH . . . . . . . . . . . . . .

39

4.4.8

Peramalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.4.8.1

Peramalan Volatilitas . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.4.8.2

Peramalan Rata-Rata Bersyarat . . . . . . . . . .

41

Validasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.4.9

V PENUTUP

44

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

DAFTAR PUSTAKA

45

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

Daftar Tabel

2.1

Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . .

4.1

Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return

. . . . . . .

34

4.2

Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . .

35

4.3

Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)

. . . . . . . .

37

4.4

Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0) . . . . . .

38

4.5

Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)

39

4.6

Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan

4.7

Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95%

4.8

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

40

41

Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95%

. . . . . . . .

42

Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . .

42

4.10 MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . .

42

4.9

commit to user

xi


digilib.uns.ac.id

Daftar Gambar

4.1

Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . .

30

4.2

Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

31

4.3

Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . .

31

4.4

Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6

32

32

Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.7

Plot Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.8

Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0) . . . .

36

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI

Pt

:

data pada waktu ke-t

rt

:

log return pada waktu ke-t

T

:

jumlah observasi

E()

:

harga harapan

γk

:

autokovariansi pada lag-k

ρk

:

autokorelasi pada lag-k

ϕkk

:

autokovariansi parsial

ϕ

:

parameter autoregressive

θ

:

parameter rata-rata bergerak

p

:

orde parameter autoregressive

q

:

orde parameter rata-rata bergerak

µ

:

rata-rata

σ2

:

variansi

x

:

variabel bebas

S∗

:

jumlah kuadrat residu

εt

:

residu rata-rata bersyarat pada waktu t

ut

:

deret white noise berdistribusi normal dengan variansi satu

Ψt

:

himpunan semua observasi samapai waktu ke-t

α

:

parameter GARCH

β

:

parameter GARCH

st

:

state

f ()

:

fungsi densitas probabilitas

α

:

parameter GARCH

pij

:

probabilitas transisi state i akan diikuti state j

pjt

:

probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt−1 commit to user

xiii


digilib.uns.ac.id

Ij (st )

:

fungsi indikator bernilai nol atau bernilai satu

φjt

:

probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt

lt

:

fungsi log likelihood pada waktu ke-t

Θ

:

vektor parameter MS-GARCH

χ2

:

statistik uji Breuch-Godfrey

ξ∗

:

statistik uji Lagrange Multiplier

Q

:

statistik uji Ljung Box

F

:

statistik uji Chow Break Point

H0

:

hipotesis nol

H1

:

hipotesis alternatif

commit to user

xiv


digilib.uns.ac.id

Bab I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Masalah

Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan hampir semua negara di dunia menganut sistem perekonomian terbuka. Perekonomian terbuka menggambarkan suatu kondisi dimana antar negara melakukan suatu hubungan, baik secara ekonomi melalui perdagangan internasional maupun politik. Perdagangan internasional mengakibatkan munculnya masalah baru yakni perbedaan mata uang antar negara-negara yang bersangkutan. Harga suatu mata uang terhadap mata uang yang lainnya disebut nilai tukar (kurs). Nilai tukar merupakan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Sejak 14 Agustus 1997, Indonesia menganut sistem nilai tukar mengambang bebas (free floating exchange rate system). Nilai tukar rupiah dibiarkan secara bebas bergerak berdasarkan mekanisme pasar. Akibatnya nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing sangat berfluktuasi. Salah satu mata uang yang dapat mempengaruhi pergerakan perekonomian dunia adalah dolar Kanada yang merupakan salah satu dari commodity currency yang aktif diperdagangkan di pasar valuta asing (Haruko [9]). Fluktuasi nilai tukar memberikan dampak yang besar terhadap perekonomian sehingga diperlukan manajemen nilai tukar yang baik, yang menjadikan nilai tukar stabil. Fluktuasi nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu karena merupakan himpunan observasi terurut. Menurut Cryer [4], salah satu model runtun waktu untuk data stasioner adalah Autoregressive Moving Average (ARMA). Model ARMA memiliki asumsi commit to user variansi eror yang konstan, yang dikenal dengan istilah homoskedastisitas. Data runtun waktu finansial sering mengalami perubahan volatilitas dari waktu 1


digilib.uns.ac.id

ke waktu sehingga variansi dari eror berubah setiap waktu (heteroskedastisitas). Hal ini mengakibatkan asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi. Berdasarkan kenyataan tersebut, diperlukan model yang dapat menggambarkan pergerakan variansi eror. Engle [5] memperkenalkan model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH ) untuk memodelkan variansi eror. Model ARCH dalam penerapannya memiliki kelemahan yaitu ketika diperoleh orde ARCH yang besar menyebabkan presisi estimator berkurang. Bollerslev [2] memperkenalkan model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH ) yang merupakan generalisasi dari model ARCH. Namun, baik model ARCH maupun GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktur serta tidak dapat mendeteksi pergeseran volatilitas. Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching(MS ) sebagai alternatif pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Dalam Markov Switching, perubahan struktur yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati(unobservable) dan dalam literatur sering disebut state atau regime. Hamilton [7] melibatkan Markov Switching pada model Autoregressive dan menghasilkan model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dengan baik, namun belum bisa menjelaskan adanya pergeseran volatilitas. Selanjutnya, Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini mampu menjelaskan perubahan struktur dan mendeteksi pergeseran volatilitas pada data. Gray [6] memperkenalkan model Markov Switching GARCH (MS-GARCH ) yang mempunyai karakteristik yang sama dengan MS-ARCH namun melibatkan parameter yang lebih sederhana. Penelitian tentang model (MS-GARCH ) banyak diterapkan dalam asset’s return, diantaranya oleh Marcucci [12] dan Klaasen [10] pada stock market. Marcucci [12] menggunakan rata-rata keseluruhan data sebagai rata-rata bersyarat MScommit to user GARCH. Dalam penelitian ini, (MS-GARCH ) akan diterapkan pada nilai tukar

2


digilib.uns.ac.id

dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 dengan rata-rata bersyarat model Autoregressive.

1.2

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun perumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH. 2. Bagaimana ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH untuk periode 1 Maret samapi dengan 8 Maret 2012.

1.3

Batasan Masalah

Batasan masalah pada penulisan skripsi ini diberikan untuk membatasi ruang lingkup pembahasan masalah yaitu data yang digunakan adalah data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari SeninJumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Model yang digunakan adalah MS-GARCH dengan asumsi terdapat dua state yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi.

1.4

Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH.

commit to user 2. Menentukan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH. 3


digilib.uns.ac.id

1.5

Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan, khususnya dalam pengembangan model variansi eror yang melibatkan perubahan state atau regime. Sedangkan manfaat praktisnya bagi pemerintah diharapkan hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada dapat membantu dalam antisipasi kondisi perekonomian negara dan bagi pelaku pasar modal dapat membantu dalam pengambilan keputusan.

commit to user

4


digilib.uns.ac.id

Bab II LANDASAN TEORI 2.1

Tinjauan Pustaka

Tinjauan pustaka adalah pembahasan mengenai penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian penulis. Penelitian tersebut diantaranya, Engle [5], Bollerslev [2], Hamilton [7], Hamilton dan Susmel [8], Gray [6] Marcucci [12] dan Klaasen [10]. Pemodelan variansi eror pertama kali diperkenalkan oleh Engle [5] menggunakan model ARCH. Engle [5] membandingkan hasil estimasi antara model standar yakni model klasik OLS dengan model ARCH melalui penaksiran maksimum likelihood. Data yang digunakan adalah data inflasi di U.K. periode 1958 sampai 1977. Hasil penelitian memperlihatkan bahwa model ARCH lebih baik daripada model klasik OLS. Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH yang merupakan generalisasi dari model ARCH dengan mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menjelaskan variansi masa yang akan datang. Model ini diterapkan pada data GNP U.S. periode 1948 sampai 1983. Hasil penelitian menunjukkan model GARCH (1,1) lebih akurat daripada model ARCH (8). Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching sebagai alternatif pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktural. Model Markov Switching dikombinasikan dengan model Autoregressive dan diterapkan pada data GNP U.S. periode 1952 sampai 1984. Hasil penelitian masih belum mendeskripsikan volatilitas data. Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, commit to user dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini diterapkan pada data harga saham New York periode 31 juli 1962 sampai 29 desember 1987. Hamilton dan Susmel 5


digilib.uns.ac.id

[8] menggunakan dua sampai empat state dengan distribusi dari Gaussian dan Student t. Hasil penelitian memperlihatkan model MS-ARCH mampu menjelaskan pergeseran volatilitas dengan baik. Model ini memperlihatkan state yang terbentuk ada tiga dan distribusi Student t lebih baik daripada Gaussian. Gray [6] memperkenalkan model MS-GARCH yang diterapkan pada data suku bunga U.S. periode Januari 1970 sampai April 1994. Gray [6] menggunakan path-independent switching GARCH, dimana setiap conditional variance hanya bergantung pada informasi di masa lalu. Model MS-GARCH lebih mudah dalam menaksir parameter karena melibatkan parameter yang lebih sederhana. Marcucci [12] menggunakan model standar GARCH dan Markov Regime Switching GARCH pada data indeks saham S and P100 periode 1 Januari 1988 sampai 15 Oktober 2003. Masing-masing model menggunakan tiga distribusi yang berbeda yaitu Normal, Student t dan Genaralised Error Distribution (GED). Hasil penelitian menunjukkan model Markov Regime Switching GARCH dengan distribusi normal lebih baik dibandingkan model lainnya. Klaasen [10] menerapkan model GARCH dan MS-GARCH pada data nilai tukar dolar Amerika terhadap GBP, mark Jerman dan yen Jepang periode 3 Januari 1978 sampai 23 Juli 1997. Hasil penelitian menunjukkan model GARCH menghasilkan ramalan yang terlalu tinggi pada beberapa periode dan dapat diatasi menggunakan model MS-GARCH. Penelitian-penelitian tersebut membuat penulis tertarik untuk menerapkan model Markov Switching GARCH pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Penulis menggunakan model Autoregressive pada model rata-rata bersyaratnya dan menggunakan identifikasi model untuk menentukan orde MS-GARCH. Beberapa hal yang mendasari penelitian penulis diantaranya pengertian mengenai model runtun waktu dan stasioneritas, ACF dan PACF, log return, model ARMA, model GARCH, model Markov Switching dan model Markov Switching GARCH.

commit to user

6


2.1.1

digilib.uns.ac.id

Model Runtun Waktu dan Stasioneritas

Pemodelan runtun waktu digunakan untuk meramalkan data periode waktu ke depan. Menurut Makridakis et al [11], peramalan kuantitatif dapat diterapkan apabila memenuhi tiga kondisi, yaitu tersedia informasi tentang masa lalu, informasi tersebut dapat dibentuk menjadi data numerik, dan dapat diasumsikan bahwa aspek pola data di masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang. Asumsi yang diperlukan untuk menentukan model adalah data dalam keadaan stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada data. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan tidak memperlihatkan perubahan variansi yang signifikan dari waktu ke waktu. Selain dari plot data, kestasioneran dapat dilihat dari plot ACF.

2.1.2

ACF dan PACF

Autocorrelation Function(ACF ) merupakan fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya. Sedangkan Partial Autocorrelation Function( PACF ) adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya. Menurut Cryer [4], proses Yt dikatakan stasioner apabila E(Yt ) = µ, V ar(Yt ) = σ 2 adalah konstan dan Cov(Yt , Yt+k ) = E(Yt − µ, Yt+k − µ) = γk ,

(2.1)

dengan Cov(Yt , Yk ) adalah fungsi dari selisih waktu |t − k|. Korelasi antara (Yt , Yt+k ) adalah γk Cov(Yt , Yt+k ) = , ρk = Corr(Yt , Yt+k ) = √ √ γ0 V ar(Yt ) V ar(Yt+k ) commit to user

7

(2.2)


digilib.uns.ac.id

dengan γ0 = V ar(Yt ) = V ar(Yt+k ) dan ρk adalah fungsi autokorelasi atau ACF. ACF diestimasi oleh ∑T ρbk =

t=k+1 (Yt − Y )(Yt+k ∑T 2 t=1 (Yt − Y )

−Y)

(2.3)

.

Jika suatu runtun waktu stasioner, maka estimasi nilai ACF turun secara cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag (selisih waktu). Sedangkan jika estimasi ACF turun secara perlahan mendekati nol atau nilai yang keluar dari interval konfidensi membentuk pola tertentu maka runtun waktu tidak stasioner. Autokorelasi parsial antara Yt dan Yt+k adalah korelasi antara Yt dan Yt+k setelah hubungan linearnya dengan Yt+1 , Yt+2 , ..., Yt+k−1 diabaikan. Autokorelasi parsial antara Yt dan Yt+k dinotasikan dengan ϕkk = Corr[Yt , Yt+k |Yt+1 , Yt+2 , ..., Yt+k−1 ] =

ρk − 1−

∑k−1 j=1

∑k−1 j=1

ϕk−1,j ρk−j

ϕk−1,j ρk−j

,

(2.4)

dengan ϕkk disebut fungsi autokorelasi parsial atau PACF.

2.1.3

Log Return

Return diinterpretasikan sebagai hasil yang diperoleh dari suatu investasi. Studi mengenai ekonomi dan finansial lebih dititikberatkan pada return daripada nilai sebenarnya. Menurut Tsay [13], log return dirumuskan sebagai berikut rt = ln(

Pt ) Pt−1

(2.5)

dengan rt adalah log return pada waktu ke t dan Pt adalah nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah pada waktu ke t. Setelah data stasioner selanjutnya data dimodelkan dengan ARMA.

2.1.4

Model ARMA

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan model runtun commit to user waktu stasioner yang mengidentifikasikan persamaan regresi data dengan menggunakan nilai masa lalunya atau kombinasi nilai masa lalu dan residual masa 8


digilib.uns.ac.id

lalunya. Menurut Cryer [4], ARMA mengandung dua komponen yaitu model AR (Autoregressive) dan MA (Moving Average) dengan p adalah orde model AR dan q adalah orde model MA. Menurut Tsay [13], model AR(p) dinotasikan sebagai berikut (2.6)

rt = ϕ1 rt−1 + ϕ2 rt−2 + ... + ϕp rt−p + εt

dengan ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕp adalah parameter model AR dan εt adalah eror model AR. Sedangkan model MA(q) dinotasikan rt = εt − θ1 εt−1 − θ2 εt−2 − ... − θq εt−q

(2.7)

dengan θ1 , θ2 , ..., θq adalah parameter model AR dan εt adalah eror model MA. Model ARMA(p, q) merupakan gabungan dari model AR(p) dan MA(q) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut rt − ϕ1 rt−1 − ϕ2 rt−2 − ... − ϕp rt−p = εt − θ1 εt−1 − θ2 εt−2 − ... − θq εt−q rt = ϕ1 rt−1 + ϕ2 rt−2 + ... + ϕp rt−p + εt − θ1 εt−1 − θ2 εt−2 − ... − θq εt−q .

(2.8)

Menurut Bollerslev [2], ACF dan PACF digunakan sebagai alat untuk mengidentifikasi model ARMA (p, q). Tabel 2.1. Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) Model

ACF

PACF

AR(p)

Turun secara eksponensial

Terpotong setelah lag p

MA(q)

Terpotong setelah lag q

Turun secara eksponensial

ARMA(p, q)

Terpotong setelah lag (q − p) Terpotong setelah lag (q − p)

Pada model ARMA (p, q) terdapat parameter ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕp dan θ1 , θ2 , ..., θq yang tidak diketahui sehingga perlu diestimasi.

2.1.5

Estimasi Model ARMA

commit to user Menurut Cryer [4], untuk mengestimasi nilai terbaik parameter-parameter dalam model ARMA dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara me9


digilib.uns.ac.id

minimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu dinotasikan sebagai S∗ (ϕ, θ) =

n ∑

ε2t

(2.9)

t=1

dengan εt adalah eror model ARMA. Fungsi S∗ akan mempunyai suatu nilai ϕb dan θb yang minimum jika menyamakan turunan parsial pertama fungsi S∗ terhadap b Nilai ϕ dan θ dengan nol sehingga didapatkan estimasi akhir parameter ϕb dan θ. fungsi S∗ pada persamaan (2.9) akan minimum jika turunan parsial kedua dari fungsi S∗ terhadap ϕ ataupun θ memenuhi (S∗ )ϕϕ .(S∗ )θθ − [(S∗ )ϕθ ]2 > 0 (S∗ )ϕϕ > 0, (S∗ )θθ > 0. Misal dipunyai model ARMA(1, 1) sebagai berikut rt − ϕ1 rt−1 = εt − θ1 εt−1 .

(2.10)

Dari persamaan (2.10) diperoleh nilai residual εt = rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 sehingga S∗ (ϕ, θ) =

n ∑ t=1

ε2t

=

n ∑

(rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 )2 .

t=1

Estimasi dari θb dapat dicari dengan menyamakan

∂S∗ (ϕ,θ) ∂θ

diperoleh persamaan sebagai berikut ∑ ∂ nt=1 (rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 )2 =0 ∂θ n ∑ 2 εt−1 (rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 ) = 0 t=1 n ∑

[εt−1 (rt − ϕ1 rt−1 ) + θ1 ε2t−1 ] = 0

t=1 n ∑

n ∑

εt−1 (rt − ϕ1 rt−1 ) + θ1 ε2t−1 = 0 t=1 t=1 commit to user n n ∑ ∑ εt−1 (rt − ϕ1 rt−1 ) = − θ1 ε2t−1 t=1

t=1

10

dengan nol, sehingga


digilib.uns.ac.id

(r − ϕ1 rt−1 ) t=1 ∑nt . t=1 εt−1 (ϕ,θ) dengan menyamakan ∂S∗∂ϕ

θb1 = − Estimasi dari ϕb dapat dicari

∑n

(2.11) dengan nol, sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut ∑ ∂ nt=1 (rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 )2 =0 ∂ϕ n ∑ 2 (−rt−1 )(rt − ϕ1 rt−1 + θ1 εt−1 ) = 0 t=1 n ∑

(−rt−1 )[(rt + θ1 εt−1 ) − ϕ1 rt−1 ] = 0

t=1 n ∑

2 ϕ1 rt−1 − rt−1 (rt + θ1 εt−1 ) = 0

t=1 n ∑ t=1

ϕb1 =

2.1.6

2 ϕ1 rt−1 = rt−1 (rt + θ1 εt−1 )

∑n

(r − θ1 rt−1 ) t=1 ∑nt . t=1 rt−1

(2.12)

Uji Autokorelasi Residu

Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dalam residu yang dihasilkan. Hal ini dapat dilihat dari plot ACF dan PACF. Apabila tidak ada nilai yang signifikan berbeda dengan nol berarti sudah tidak ada autokorelasi dalam residu dan mengindikasikan bahwa model sudah cukup baik. Bentuk plot ACF dan PACF merupakan indikasi awal adanya autokorelasi. Uji statistik perlu dilakukan untuk meyakinkan indikasi awal. Menurut Cryer [4], autokorelasi pada residu model rata-rata dapat diperiksa melalui uji Ljung-Box. Hipotesisnya adalah H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata Statistik uji Ljung-Box dirumuskan sebagai q ∑

ρb2k , T −k k=1 commit to user dengan T merupakan ukuran sampel, k adalah jumlah lag yang diuji, dan ρbk Q = T (T − 2)

adalah nilai autokorelasi setiap lag. Statistik uji Q dibandingkan dengan nilai 11


digilib.uns.ac.id

tabel χ2k . H0 ditolak jika nilai Q lebih besar dari nilai χ2k . Setelah dilakukan uji autokorelasi residu, kemudian menguji efek heterokedastisitas dalam residu menggunakan uji Lagrange Multiplier.

2.1.7

Uji Heterokedastisitas

Menurut Bollerslev [2], efek heteroskedastisitas dapat diperiksa melalui uji Lagrange Multiplier yang dilakukan pada residu model conditional mean. Prinsip dalam uji Lagrange Multiplayer adalah dengan meregresikan kuadrat residu εt dengan lag nya sendiri. Uji hipotesisnya adalah H0 : tidak terdapat efek ARCH sampai lag-k H1 : terdapat efek ARCH sampai lag-k Statistik uji dirumuskan sebagai ξ = T R2 , dengan T merupakan ukuran sampel dan R2 adalah adalah koefisien determinasi. Statistik uji ξ dibandingkan dengan nilai tabel χ2k . H0 ditolak jika nilai ξ lebih besar dari nilai χ2k . Jika terdapat efek heteroskedastisitas maka digunakan model yang dapat menggambarkan pergerakan variansi eror.

2.1.8

Uji Perubahan Struktur

Model yang mengandung perubahan struktur adalah model dengan nilai parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktu tertentu. Waktu terjadinya perubahan struktur (waktu break ) tersebut ada yang diketahui dan ada yang tidak diketahui kapan terjadinya. Perubahan struktur ini sering terjadi di bidang ekonomi. Perubahan struktur dapat disebabkan oleh perubahan kebijaksanaan, perubahan harga minyak, perang, atau bencana alam. Uji perubahan struktur pertama kali diperkenalkan oleh Chow ([3]) dan dikenal dengan uji Chow commit to user Break Point. Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur pada data adalah sebagai berikut : 12


digilib.uns.ac.id

H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data H1 : terdapat perubahan struktur pada data Statistik uji dirumuskan sebagai F =

RSS1 /k , RSS2 /(n1 + n2 − 2k)

dengan RSS1 adalah residual kuadrat dari model dengan keseluruhan data dikurangi residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, RSS2 adalah residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, k adalah banyaknya parameter, n1 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur, n2 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur . H0 ditolak jika nilai F lebih besar dari F tabel dengan derajat bebas (k, n1 + n2 − 2k).

2.1.9

Model GARCH

Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH untuk menggambarkan pergerakan variansi eror. Model GARCH merupakan pengembangan dari model ARCH [5]. Model GARCH mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menjelaskan variansi masa yang akan datang, sehingga dapat diperoleh estimasi yang akurat untuk variansi. Conditional variance (σt ) digunakan sebagai fungsi dari eror dimasa lalu. Diberikan ψt adalah himpunan semua informasi untuk εt dari waktu lampau sampai dengan waktu t. εt adalah eror model ARMA dan dapat dimodelkan sebagai εt = ut σt dengan ut adalah proses white noise berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi satu, σt2 = E(ε2t |ψt−1 ) adalah conditional variance dari eror dan E(εt |ψt−1 ) = 0. Secara umum proses εt disebut GARCH (p, q) jika εt |ψt−1 ∼ N (0, σt2 ) dengan

commit to user q p ∑ ∑ 2 2 2 σt = α0 + αi εt−i + βj σt−i i=1

j=1

13


digilib.uns.ac.id

dan p ≥ 0, q ≥ 0, α0 ≥ 0, αi ≥ 0 untuk i = 1, 2, ..., q dan βj ≥ 0 untuk j = 1, 2, ..., p. Jika p = 0 maka model GARCH tereduksi menjadi model ARCH (q). Jadi model ARCH adalah bentuk khusus dari model GARCH. Menurut Bollerslev [2], parameter dari model GARCH (p, q) dapat diestimasi menggunakan metode Berndt Hall Hall Hausman (BHHH ). Metode ini ditemukan oleh Berndt et al yang dinyatakan sebagai ρ

(i+1)

=ρ

(i)

T ∑ ′ + λi [ (gt gt )]−1 g(ρ(i) ),

(2.13)

t=1

dengan gt =

∂Lt , λi ∂ρ

adalah variabel step length dan gρ = [

∂Lt ∂Lt ∂Lt , , ..., ], ∂ρ1 ∂ρ2 ∂ρn

Metode BHHH menggunakan turunan pertama fungsi log likelihood untuk mengestimasi parameter model. Persamaan regresi yang dimiliki adalah ′

rt = xt µ + εt , rt = µ0 + µ1 xt + εt , t = 1, 2, ..., T, dengan εt adalah eror dari model regresi dan xt adalah variabel eksogen (variabel bebas), dengan εt = ut σt εt |ψt−1 ∼ N (0, σt2 ) dengan σt2

= α0 +

q ∑

αi ε2t−i

+

p ∑

2 βj σt−i

j=1

i=1

Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter Θ yang dinyatakan sebagai Θ = [µ0 , µ1 , α1 , α2 , ..., αq , β1 , β2 , ..., βp ]t = [µt , φt ]t , dengan µt = [µ0 , µ1 ] dan φt = [α0 , α1 , α2 , ..., αq , β1 , β2 , ..., βp ]. Menggunakan asumsi normalitas, fungsi densitas probabilitas dari εt |ψt−1 commit to user adalah f (εt |ψt−1 ) = √ 14

1 2πσt2

−

e

1ε2 t 2σt2


digilib.uns.ac.id

Fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah lt = logf (εt |ψt−1 ) = log( √

1 2πσt2

e

−

1ε2 t 2σt2

)

1 1 ε2t = log(2πσt ) − 2 2 σt2 1 1 ε2t 1 = − log2π − logσt2 − . 2 2 2 σt2

(2.14)

Vektor parameter variansi yaitu φ diestimasi menggunakan turunan pertama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.14) terhadap parameter φ, yaitu ∂lt ∂σt2 ∂lt = ∂φ ∂σt2 ∂φ 1 ε2 ∂σ 2 = (− 2 + t 4 ) t 2σt 2σt ∂φ 2 ∂σ 2 1 ε = 2 ( t 2 − 1) t . 2σt 2σt ∂φ dengan vt =

∂σt2 ∂φ

dan wt =

ε2t σt2

− 1. Menggunakan metode BHHH

diperoleh

bentuk iterasi estimasi parameter variansi yang dirumuskan sebagai T T ∑ ∑ 1 1 1 ′ φ(i+1) = φ(i) + λi [ ( 2 vt wt )( 2 vt wt ) ]−1 ( v w ). 2 t t 2σ 2σ 2σ 2 2 2 t=1 t=1

(2.15)

Iterasi pada persamaan (2.15) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai T ∑ ′ ′ φ(i+1) = φ(i) + λi [ (G G )]−1 G C, t=1

dengan



    G=   

g1 g2 .. .



      =      

gT

∂l1 ∂l1 ∂α0 ∂α1

...

∂l1 ∂l1 ∂αq ∂β1

...

∂l1 ∂βp

∂l2 ∂l2 ∂α0 ∂α2

... .. .

∂l1 ∂l2 ∂αq ∂β2

... .. .

∂l1 ∂βp

∂lT ∂lT ∂α0 ∂α2

...

∂l1 ∂lT ∂αq ∂βT

...

∂lT ∂βp

.. .

.. .



    ..  .  

dengan ∂l1 ∂α0 ∂l1 ∂αi ∂l1 ∂βi

ε2

= − σ12 ( σt2 − 1), t t ∑ ε2 = − σ12 ( qi=1 ε2t−i )( σt2 − 1), t t ∑p ε2t 1 2 = − σ2 ( j=1 εt−j )( σ2 − 1), t

commit to user

t

dengan t = 1, 2, ..., T, i = 1, 2, ..., q, j = 1, 2, ..., p dan C = [11...1]′ adalah matriks 15


digilib.uns.ac.id

T × 1. Mengestimasi parameter rata-rata yaitu µ, menggunakan turunan pertama dari fungsi likelihood pada persamaan (4.3) terhadap parameter µ, yaitu ∂lt ∂lt ∂εt ∂lt ∂σ 2 = + 2 t ∂µ ∂εt ∂µ ∂σt ∂µ εt x t 1 ∂σ 2 ε2 = 2 t + 2 t ( t2 − 1). σt σt ∂µ σt Misal ft =

∂σt2 ∂µ

dan wt =

ε2t σt2

(2.16)

− 1 maka persamaan (2.16) menjadi ∂lt εt xt 1 = 2 t + 2 ft w t . ∂µ σt 2σt

Iterasi untuk estimasi parameter rata-rata adalah T ∑ εt xt 1 εt xt 1 εt x 2 1 µ(i+1) = µ(i) + λi [( ( 2 t + 2 ft wt )( 2 t + 2 ft wt )t )]−1 ( 2t + 2 ft wt ). σt 2σt σt 2σt σt 2σt t=1 (2.17)

dengan

∑ ∑ ∂σt2 = −2 αi xtt−i εt−i + ft = βft−j . ∂µ i=1 j=1 q

p

Persamaan (2.17) dapat ditulis ke dalam notasi matriks sebagai ′

µ(i+1) = µ(i) + λi [BB′ )]−1 B C, dengan B untuk model GARCH (p, q) adalah  ∂l1 ∂µ0

  ∂l2  ∂µ0 B=  ..  .  ∂lT ∂µ0

∂l1 ∂µ1



    ..  .  

∂l2 ∂µ1

∂lT ∂µ1

∑ ε2 ∑ ∂lk εt x t 1 = 2t + 2 − 2 ( t2 − 1). αi xtt−i εt−i + ∂µh σt σt σt j=1 i=1 q

dengan h = 0, 1 dan k = 1, 2, ..., T dan C = [11...1]′ adalah matriks T × 1. Selanjutnya menentukan model GARCH terbaik menggunakan kriteria incommit to user formasi berdasarkan nilai AIC dan SC.

16


digilib.uns.ac.id

2.1.10

Kriteria Informasi

Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC ) dan Schwarz Criterion (SC ). Kedua kriteria tersebut dirumuskan sebagai berikut k l +2 , T T l log(T ) SC = −2 + k , T T AIC = −2

dengan l adalah fungsi log likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi dan T adalah jumlah observasi. Model yang dipilih untuk meramalkan data adalah model dengan AIC dan SC terkecil. Model GARCH mampu menjelaskan variansi eror dengan baik, namun tidak memperhitungkan perubahan struktural.

2.1.11

Model Markov Switching

Model Markov Switching merupakan alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam Markov Switching, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati dan dalam literatur sering disebut state. Sebagai contoh model berikut, zt = µ0 + ϕ1 zt−1 + εt yang bersesuaian dengan runtun waktu pada ti , ti+1 ,..., ti+m . Sementara zt = µ1 + ϕ2 zt−1 + εt yang bersesuaian dengan runtun waktu pada tj , tj+1 ,..., tj+m . Kasus ini menggambarkan adanya pergeseran model antara model pertama dan model kedua yang terjadi pada runtun waktu yang sama pada waktu yang berbeda. Secara umum, kedua model tersebut dapatcommit dituliskan sebagai to user zt = µst + ϕst zt−1 + εt , 17


digilib.uns.ac.id

dimana st bernilai nol atau bernilai satu, yang merepresentasikan periode state yang berbeda. st bernilai nol bersesuaian dengan model pada periode ti , ti+1 ,..., ti+m sedangkan st bernilai satu bersesuaian dengan model pada periode tj , tj+1 ,..., tj+m . Hamilton [7] menggunakan ordo pertama markov chain untuk memodelkan state. Jika probabilitas st sama dengan nilai tertentu sebesar j, untuk jϵ{0, 1} yang dependen terhadap nilai masa lalunya hanya berdasarkan nilai st−1 yang terkini (most recent value) maka probabilitas transisinya dapat dituliskan sebagai berikut P [st = j|st−1 = i, st−2 = k, ...] = P [st = j|st−1 = i] = pij pij adalah probabilitas transisi bahwa state i akan diikuti oleh state j untuk i, jϵ{0, 1} dengan asumsi probabilitas perubahan st hanya tergantung st−1 . Proses ordo pertama markov chain dapat dituliskan sebagai berikut P [st = 0|st−1 = 0] = p00 P [st = 1|st−1 = 0] = p01 P [st = 1|st−1 = 1] = p11 P [st = 0|st−1 = 1] = p10 dan dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yaitu   p00 p01 . P = p10 p11 Penjumlahan seluruh probabilitas untuk tiap st−1 adalah 1. 1 ∑

pij = 1,

j=0

untuk setiap bilangan i = 0, 1. Model Markov Switching pada proses Autoregressive mampu menjelaskan perubahan struktur, namun tidak bisa menjelaskan pergeseran volatilitas. Secommit to user hingga perlu model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dan pergeseran antar volatilitas, yaitu model Markov Switching GARCH. 18


2.1.12

digilib.uns.ac.id

Model Markov Switching GARCH

Model Markov Switching GARCH dapat dituliskan sebagai berikut rt = µst + εt 2 σt2 = ωst + αst ε2t−1 + βst σt−1 √ εt = ut σt2

ut ∼ N IID dengan µst mewakili model rata-rata bersyarat untuk setiap state. Distribusi probabilitas yang mendasari rt pada setiap state adalah distribusi normal ([6] dan [12]) dengan nilai parameter yang berbeda untuk setiap state, dapat dituliskan sebagai berikut rt |Ψt−1 ∼

  N (µ0t , σ02 ), dengan probabilitas P r(St = 0|Ψt−1 )  N (µ1t , σ 2 ), dengan probabilitas P r(St = 1|Ψt−1 ). 1

yang berakibat pola erornya menjadi   N (0, σ02 ), dengan probabilitas P r(St = 0|Ψt−1 ) εt |Ψt−1 ∼  N (0, σ 2 ), dengan probabilitas P r(St = 0|Ψt−1 ). 1

(2.18)

(2.19)

dengan Ψt−1 adalah informasi atau data yang dihimpun sampai pada waktu t−1. Fungsi densitas bersyarat dari rt berdasarkan variabel random st yang bernilai j adalah f (rt |st = j, Ψt−1 ) = √

1

e

−

(rt −µj )2 2σ 2 j

.

2πσj2

(2.20)

Nilai probabilitas untuk sebuah state sebagai variabel random yang tidak teramati dinotasikan dengan P (st = j|Ψt−1 ) = pjt , untuk j = 0, 1.

(2.21)

Sehingga fungsi distribusi bersama dari (2.20) dan (2.21) dapat dituliskan sebagai berikut − pjt P (rt , st = j|Ψt−1 ) = f (rt |st = j,commit Ψt−1 )Pto (stuser = j|Ψt−1 ) = √ e 2πσj2

(rt −µj )2 2σ 2 j

.

(2.22) 19


digilib.uns.ac.id

Fungsi densitas dari rt didapatkan dengan menjumlahkan persamaan (2.22) untuk semua kemungkinan nilai j f (rt |Ψt−1 ) =

2 ∑

P (rt , st = j|Ψt−1 ).

(2.23)

j=1

Setelah memperoleh nilai densitas dari rt , maka dapat dicari nilai probabilitas bersyarat dari st dengan cara membagi persamaan (2.22) untuk setiap nilai j dengan persamaan (2.23) sehingga menghasilkan persamaan P (st = j|rt , Ψt−1 ) =

2.1.13

P (rt , st = j|Ψt−1 ) . f (rt |Ψt−1 )

(2.24)

Probabilitas Transisi

Komponen penting yang membentuk model Markov Switching adalah variabel st yang berperan sebagai indikator state yang berlaku pada saat t. Variabel st tidak akan bisa diobservasi oleh peneliti, namun dalam model Markov Switching variabel ini akan ditentukan probabilitasnya untuk masing-masing state pada saat t. Terdapat dua perhitungan untuk menentukan probabilitas terjadinya state pada saat t, yaitu ex ante probability ([6]) dan filtered probability ([7]). Ex ante probability merupakan terjadinya state pada saat t berdasarkan ∑ informasi Ψt−1 , yakni P (st = j|Ψt−1 ) = pjt , 1j=0 pjt = 1 seperti pada (2.18). Probabilitas ini merupakan probabilitas marjinal dari probabilitas gabungan antara st dan st−1 , yakni pjt = P (st = j|Ψt−1 ) =

1 ∑

(2.25) P (st = j, st−1 = k|Ψt−1 )

j=0

Mengacu pada struktur markov chain, probabilitas pjt hanya bergantung pada state yang terjadi saat t − 1, sehingga (2.25) akan menjadi pjt =

1 ∑

P (st = j|st−1 = k, Ψt−1 )P (st−1 = k|Ψt−1 ).

(2.26)

j=0

Selain ex ante probability, terdapat juga filtered probability yang digunakan commit to user untuk menjelaskan probabilitas terjadinya masing-masing state. Filtered probability merupakan probabilitas terjadinya state j saat t berdasarkan informasi Ψt , 20


digilib.uns.ac.id

yakni φjt = P (st = j|Ψt ). φjt dapat dituliskan kembali sebagai fungsi dari ex ante probability, sebagai berikut P (st = j|Ψt ) = P (st = j|Ψt , Ψt−1 ) = P (st = j|rt , Ψt−1 ) =

(2.27)

f (rt , st = j|Ψt−1 f (rt , Ψt−1 )

dimana f (rt , Ψt−1 ) berbentuk distribusi normal mixture seperti pada (2.18) sehingga f (rt , st = j|Ψt−1 P (st = j|Ψt−1 ) j=0 f (rt |st = j, Ψt−1 )P (st = j|Ψt−1 )

P (st = j|Ψt ) = ∑1

(2.28)

dengan demikian, sesuai (2.26) dan (2.28) dapat dilihat bahwa pjt dan φjt dapat dihitung secara rekursif diantara keduanya.

2.1.14

Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat

Pada penelitian ini menggunakan model umum ARMA sebagai model ratarata bersyarat ([6]). Berikut model rata-rata bersyarat yang digunakan : rt = µst + εt

(2.29)

dengan µst adalah rata-rata bersyarat untuk setiap state. Rata-rata bersyarat untuk MS-GARCH pada penelitian ini mengacu pada ([6]) yakni GARCH (1,1) dengan parameter mengikuti proses switching 2 σt2 = α0 + α1 ε2t−1 + β1 σt−1

(2.30)

2 dalam (2.30) Untuk menghindari ketergantungan komponen ε2t−1 dan σt−1

terhadap kombinasi state, Gray ([6]) memberikan solusi alternatif untuk meng-

commit to user

21


digilib.uns.ac.id

2 , yakni hitung Ψ2t−1 dan σt−1

ε2t−1 = rt−1 = E[rt−1 |Ψt−2 ] =

1 ∑

pjt E[rt |st = j, Ψt−2 ]

j=0

=

1 ∑

(2.31) pjt µjt

j=0

= p1t µ0t + (1 − p1t )µ1t dengan demikian ε2t−1 = rt−1 − [p1t µ0t + (1 − p1t )µ1t ].

(2.32)

2 akan dihitung E[rt2 |Ψt−1 ] berdasarkan GARCH Untuk mendeskripsikan σt−1

tanpa melibatkan perubahan state yakni: E[rt2 |Ψt−1 ] = E[(µt + εt ) = E[µ2t + 2µt εt + ε2t ] = E[µ2t ] + 2µt E[εt ] + E[ε2t ] 2 ), maka E[εt ] = 0 dan Karena εt ∼ N (0, σt−1

var[εt ] = σt2 = E[ε2t ] − [E(εt )2 ] = E[ε2t ] − 0

(2.33)

= E[ε2t ], sehingga E[rt2 |Ψt ] = E[µ2t ] + E[ε2t ]

(2.34)

= µ2t + σt2 , dan untuk masing-masing state 2 E[rt2 |St = 0, Ψt−1 ] = µ0t + σ0t ,

E[rt2 |St

= 1, Ψt−2 ] = µ1t +

(2.35)

2 . σ1t

Melalui cara yang sama dengan (2.31), formula E[rt2 |Ψt−1 ] yang melibatkan commit to user

22


digilib.uns.ac.id

switching regime dapat dihitung ∫ 2 E[rt |Ψt−1 ] = rt2 f (rt |Ψt−1 )drt ] [ 1 ∫ ∑ = rt2 pij f (rt |St = i, Ψt−1 )drt j=0

=

1 ∑

[∫ pij

] rt2 f (rt |St

(2.36)

= i, Ψt−1 )drt

j=0

=

1 ∑

pij E[rt2 |St = i, Ψt−1 )drt ],

j=0

sehingga dengan substitusi (2.35) pada (2.36) maka diperoleh E[rt2 |Ψt−1 ]

=

1 ∑

2 ), P (st = j|Ψt−1 )(µ2jt + σjt

j=0 2 2 = P (st = 0|Ψt−1 )(µ20t + σ0t ) + P (st = 1|Ψt−1 )(µ21t + σ1t ),

(2.37)

2 2 = p0t (µ20t + σ0t ) + (1 − p0t )(µ21t + σ1t ), 2 dapat dicari melalui substitusi (2.31) dan (2.37) yakni sehingga σt−1 2 2 2 σt−1 = E[rt−1 |Ψt−2 ] − [E[rt−1 |Ψt−2 ]]2 , 2 2 = p0t−1 (µ20t−1 + σ0t−1 ) + (1 − p1t−1 )(µ21t−1 + σ1t−1 )

(2.38)

− [p0t−1 µ0t−1 + (1 − p1t−1 )µ1t−1 ], 2 pada (2.30) tisesuai dengan (2.32) dan (2.38), maka komponen ε2t−1 dan σt−1

dak akan tergantung pada kombinasi state sebelumnya yakni (st , st−1 , st−2 , ..., s1 ) sehingga pada tahap penyusunan fungsi likelihood tidak menimbulkan kesulitan dalam optimasinya.

2.1.15

Fungsi Likelihood MS-GARCH

Untuk menentukan fungsi likelihood pada MS-GARCH, pertama kali yang dilakukan adalah meninjau distribusi dari return rt untuk setiap state, yakni distribusi mixture seperti pada (2.18). Sedangkan untuk menentukan probabilitas commit to user transisi diperlukan penjabaran pjt ke dalam bentuk yang memuat φt . Mengacu

23


digilib.uns.ac.id

pada (2.26), pjt untuk state nol adalah p0t = P (st = 0|Ψt−1 ) =

1 ∑

P (st = 0|st−1 = j, Ψt−1 ).P (st−1 = j|Ψt−1 )

j=0

=

1 ∑

P (st = 0|st−1 = j).P (st−1 = j|Ψt−1 )

(2.39)

j=0

= P11 φ1t + P2t φ2t = P φ1t + (1 − Q)(1 − φ2t ) dan untuk state satu p1t = P (st = 1|Ψt−1 ) = 1 − P (st = 0|Ψt−1 ) = 1 − p0t . Fungsi likelihood untuk Markov Switching GARCH yakni: L(Θ|rt , Ψt−1 ) =

T ∏

f (rt |Θ, Ψt−1 ),

(2.40)

t=1

dimana Θ = µ0 , µ1 , k0 , k1 , α0 , α1 , β0 , β1 , P, Q atau dalam bentuk log likelihood lnL(Θ|rt , Ψt−1 ) = ΣTt=1 lnf (rt |Θ, Ψt−1 ).

(2.41)

Fungsi likelihood ini dibentuk dari distribusi mixture normal dengan asumsi bahwa setiap datanya telah diketahui masuk ke state 0 atau 1. Artinya, ketika diketahui bahwa suatu data adalah anggota state 0, maka nilai f (rt |Ψt−1 ) akan bernilai nol pada state 1, demikian juga sebaliknya ([7]). Berdasarkan distibusi mixture normal, log likelihood pada (2.41) akan menjadi : lnL(Θ|rt , Ψt−1 ) = ΣTt=1 ln[Σ1j=0 f (rt |st = j, Ψt−1 )pjt ] = ΣTt=1 ln[f (rt |st = 0, Ψt−1 )p0t + f (rt |st = 1, Ψt−1 )p1t ] = ΣTt=1 ln[f (rt |st = 0, Ψt−1 )p0t + f (rt |st = 1, Ψt−1 )(1 − p0t )]. (2.42) Namun karena setiap data tidak diketahui akan masuk ke state yang mana, maka optimisasi log likelihood tidak dapat dilakukan dengan metode numerik standar. Likelihood pada (2.42) seringkali disebut incomplete likelihood. Untuk mengatasi commit to user hal ini, optimisasi log likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter dilakukan melalui Algoritma EM. 24


2.1.16

digilib.uns.ac.id

Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH

State (st ) adalah variabel yang unobservable, sehingga dapat dianggap sebagai missing. Bila didefinisikan variabel acak st akan bernilai j adalah pjt maka dapat dibuat fungsi untuk st sebagai berikut: f (st ) = P (st = j|Ψt−1 ) =

1 ∏

I (st )

pjtj

.

(2.43)

t=0

dimana Ij (st ) adalah fungsi indikator bernilai 0 dan 1, yakni :   1, st = j Ij (st ) =  0, lainnya.

(2.44)

Fungsi indikator ini menentukan observasi mana yang akan masuk ke masingmasing state. Algoritma EM akan melibatkan st ini dalam fungsi likelihood pada iterasinya. Bila fungsi indikator (2.44) diterapkan pada distribusi probabilitas dari rt maka : f (rt |st = j, Ψt−1 ) =

1 ∏

f (rt |st = j, Ψt−1 )Ij (st ) .

(2.45)

t=0

Sedangkan bila (2.44) diterapkan pada joint distribusi st dan rt maka f (rt |st = j, Ψt−1 ) =

T ∏

f (rt |st = j, Ψt−1 )It st .

(2.46)

t=0

Bila diasumsikan bahwa diketahui observasi yang menjadi anggota masingmasing state, maka akan terdapat pasangan observasi (rt , st ) pada setiap data ke t, dan fungsi likelihood (2.40) akan dimaksimumkan berdasarkan distribusi bersama anatara st dan rt , yakni : L(Θ|rt , st , Ψt−1 ) =

T ∏

f (rt , st = j, Ψt−1 ) =

t=0

T ∏ 1 ∏

[pjt f (rt |st = j, Ψt−1 )It st ].

t=0 j=0

(2.47) atau dalam log likelihood dapat dituliskan lagi sebagai : ln(Θ|rt , st , Ψt−1 ) = ΣTt=0 Σ1j=0 [ln(pjt f (rt |st = j, Ψt−1 ))It st ] commit to user = ΣTt=0 Σ1j=0 Ij (st )[ln(pjt f (rt |st = j, Ψt−1 ))] = ΣTt=0 Σ1j=0 Ij (st )[lnpjt + lnf (rt |st = j, Ψt−1 )] 25

(2.48)


digilib.uns.ac.id

Estimasi parameter untuk setiap state dapat dilakukan mengacu pada optimisasi untuk (2.48). Karena tidak ada petunjuk tetang observasi yang bersesuaian dengan state nol atau satu maka fungsi indikator pada (2.44) tidak akan bisa digunakan. Untuk mengatasi hal ini fungsi indikator diganti dengan ekspektasinya yakni E[Ij (st )|Ψt−1 ]: E[Ij (st )|Ψt ] = Σ1It (st )=0 Ij (st )P (st = j|Ψt ) = 1.P (st = j|Ψt−1 ) + 0.P (st = j|Ψt )

(2.49)

= P (st = j|Ψt ) dan mengacu pada filtered probability seperti pada maka didapatkan ekspektasi dari fungsi indikator adalah : pjt f (rt |st = j) E[Ij (st )|Ψt ] = P (st = j|Ψt ) = φjt = ∑1 j=0 pjt f (rt |st = j)

(2.50)

yang akan digunakan untuk menyusun algoritma EM. Berdasarkan (2.49), maka complete data likelihood (2.48) akan menjadi: Q = E[lnL(Θ|rt , st , Ψt−1 )|rt , Ψt−1 ] = EΣTt=1 Σ1j=0 Ij (st )[ln(pjt f (rt |st = j, Ψt−1 ))] = ΣTt=1 Σ1j=0 E[Ij (st )Ψt−1 ][ln(pjt f (rt |st = j, Ψt−1 ))] = ΣTt=1 Σ1j=0 P (st = jΨt−1 )[ln(pjt f (rt |st = j, Ψt−1 ))] Fungsi Q tersebut akan dimaksimumkan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming.

2.2

Kerangka Pemikiran

Deretan observasi dari variabel random nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah merupakan suatu data runtun waktu. Model ARMA adalah salah satu model runtun waktu untuk data stasioner. Transformasi dan diferensiasi data menjadi bentuk Log return dapat digunakan untuk membentuk runtun commit to user waktu yang stasioner. Model ARMA memiliki asumsi homokedastisitas, sedangkan data kurs dolar Kanada merupakan data finansial yang cenderung memiliki 26


digilib.uns.ac.id

heteroskedastisitas.Hal ini menyebabkan model ARMA tidak relevan untuk digunakan. Sehingga dapat digunakan model GARCH yang untuk memodelkan heterokesdastisitas, namun model GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktural. Model Markov Switching adalah alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktural. Pada model Markov Switching perubahan struktural merupakan hasil variabel random tak teramati (state). Data runtun waktu nilai tukar Dolar Kanada memiliki heteroskedastisitas dan mengalami perubahan struktural dapat dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada proses GARCH. Model GARCH untuk melihat kedinamisan volatilitas dalam suatu state. Sedangkan model Markov Switching akan menentukan perpindahan GARCH dari suatu state ke state lain.

commit to user

27


digilib.uns.ac.id

Bab III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penerapan model dengan menggunakan data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data ini diperoleh dari website Bank Indonesia yaitu www.bi.go.id [1]. Langkah-langkah analisis data dalam penelitian ini diuraikan sebagai berikut. 1. Membuat plot data untuk melihat kestasioneran data dalam mean dan variansi. 2. Melakukan transformasi log return apabila data belum stasioner baik dalam rata-rata maupun variansi. 3. Membuat plot ACF dan PACF dari fungsi log return. Jika data stasioner maka dimodelkan dengan menggunakan proses ARMA. Jika data masih belum stasioner kembali ke langkah dua. 4. Mengestimasi parameter model ARMA. 5. Memeriksa autokorelasi dalam kuadrat residu model ARMA, jika memiliki autokorelasi maka terdapat efek heteroskedastisitas. Efek heteroskedastisitas juga dapat diuji dengan uji Lagrange Multiplier. 6. Memeriksa adanya perubahan struktur. 7. Membentuk model GARCH

commit to user (a) mengestimasi parameter model GARCH untuk memodelkan heteroskedastisitas dari residual model ARMA, 28


digilib.uns.ac.id

(b) menentukan model terbaik dari model GARCH yang telah diperoleh dengan melihat nilai AIC dan SC yang terkecil, (c) mengestimasi secara bersama parameter model ARMA dan GARCH, (d) menguji kecocokan model dengan memeriksa efek heteroskedastisitas, autokorelasi dan asumsi distribusi dari residu terstandar. 8. Membentuk model Markov Switching GARCH (a) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada setiap waktu, (b) menentukan probabilitas transisi dan matrik transisi antar state. 9. Mencari nilai estimasi parameter model GARCH yang melibatkan perubahan state dengan metode Maximum Likelihood (MLE ). (a) menentukan fungsi likelihood berdasarkan fungsi densitas return yang melibatkan probabilitas masing-masing state dan probabilitas transisi, (b) menerapkan algoritma EM untuk mengestimasi parameter MS-GARCH. 10. Melakukan peramalan (a) menentukan banyaknya ramalan sepanjang f periode yang akan dilakukan, (b) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada waktu t + f melalui proses markov chain, (c) meramalkan nilai log return menggunakan model ARMA untuk mencari nilai ramalan kurs jual dolar Kanada terhadap rupiah, (d) meramalkan volatilitas log return menggunakan model MS-GARCH yang telah diperoleh.

commit to user

29


digilib.uns.ac.id

Bab IV PEMBAHASAN 4.1

Deskripsi Data

Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah. Data diambil pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional mulai 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data ini berjumlah 2466 observasi yang diperoleh dari website Bank Indonesia ([1]). Plot data pada Gambar 4.1 memperlihatkan bahwa data berfluktuasi dari waktu ke waktu. Hal ini mengindikasikan bahwa data tidak stasioner baik dalam rata-rata maupun variansi. 11000 10000 9000

KURS

8000 7000 6000 5000 500

1000

1500

2000

PERIODE

Gambar 4.1. Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Indikasi bahwa data tidak stasioner dapat diperkuat menggunakan plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 4.2. Gambar 4.2 menunjukkan nilai ACF signifikan berbeda dengan nol dan mecommit to user luruh secara perlahan menuju nol. Hal ini berarti data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah tidak stasioner. 30


digilib.uns.ac.id

Gambar 4.2. Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

4.2

Log Return

Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah tidak stasioner sehingga perlu diubah ke bentuk log return untuk menstasionerkan data. Plot dari log return disajikan pada Gambar 4.3. .15 .10 .05

LOG_RETURN

.00 -.05 -.10 -.15 500

1000

1500

2000

PERIODE

Gambar 4.3. Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah sudah stasioner dalam ratarata tetapi variansinya tidak konstan. Variansi yang tidak konstan mengindikasikan adanya efek heteroskedastisitas dalam commit to log userreturn.

31


digilib.uns.ac.id

Pengujian Karakteristik Log Return

4.3

Karakteristik data log return dalam pembentukan model heteroskedastisitas adalah adanya volatility clustering. Volatility clustering dapat dilihat dari plot data absolut log return, kuadrat log return dan bentuk kurtosis dari distribusi data log return yang leptokurtik. 1,200

Series: LOG_RETURN Sample 1 2466 Observations 2465

1,000

800

600

400

200

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000138 0.000235 0.131018 -0.131120 0.008612 0.582335 61.10713

Jarque-Bera Probability

346927.8 0.000000

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Gambar 4.4. Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

Gambar 4.5. Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Berdasarkan Gambar 4.4, diperoleh kurtosis yaitu 61,10713. Nilai kurtosisnya lebih besar dari 3 sehingga dapat disimpulkan kurtosisnya berupa leptokurtik. Kurtosis yang berbentuk leptokurtik mengindikasikan volatility clustering. Adanya volatility clustering juga diperkuat dengan berkumpulnya sekelompok aset return yang bernilai besar kemudian diikuti sekelompok aset return bernilai kecil yang ditunjukkan Gambar 4.5.

commit to user

32


4.4

digilib.uns.ac.id

Pembentukan Model Stasioner 4.4.1

Identifikasi Model

Autokorelasi dalam data log return dapat dilihat dari plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 4.6.

Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot ACF dan PACF dapat digunakan untuk identifikasi model ARMA. Gambar 4.6 menunjukkan nilai ACF meluruh menuju nol kemudian terputus setelah lag pertama dan nilai PACF meluruh menuju nol kemudian terputus setelah lag pertama sehingga memungkinkan model yang sesuai adalah ARMA(1,0), ARMA(0,1)dan ARMA(1,1). Estimasi model ARMA untuk log return menghasilkan model ARMA( 1,1) dengan koefisien yang tidak signifikan sehingga model ARMA(1,1) tidak dapat digunakan untuk memodelkan data log return. Model ARMA yang sesuai untuk memodelkan data log return adalah ARMA(1,0) dan ARMA(0,1).

commit to user

33


4.4.2

digilib.uns.ac.id

Estimasi Parameter Model ARMA

Hasil uji pada identifikasi model awal menghasilkan model ARMA( 1,0) dan ARMA(0,1) adalah model yang tepat untuk memodelkan data log return. Hasil Tabel 4.1. Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return Model

Variabel

Koefisien

Probabilitas

ARMA(1,0)

ϕ1

-0,149455

0,000

ARMA(0,1)

θ1

-0,155889

0,000

uji statistik untuk model ARMA(1,0) dan ARMA(0,1) disajikan pada Tabel 4.1. Hasil estimasi parameter menunjukkan nilai ϕ dan θ signifikan tidak sama dengan nol karena memiliki probabilitas yang kurang dari α = 0, 05. Model ARMA(1,0) yang diperoleh adalah rt = −0, 149455rt−1 + εt , dan model ARMA(0,1) adalah rt = −0, 155889εt−1 + εt , dengan rt adalah log return pada waktu t dan εt adalah residu yang dihasilkan model pada waktu t. Pada penelitian ini akan menggunakan model ARMA(1,0) sebagai model conditional mean mengacu pada Gray([6]).

4.4.3

Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0)

Model ARMA(1,0) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut. Model ARMA(1,0) diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam memodelkan rata-rata bersyarat pada data runtun waktu log return dari nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Pemeriksaan model ARMA(1,0) mencakup pemeriksaan autokorelasi residu dan homokedastisitas residu. Model ARMA(1,0) dikatakan baik untuk memodelkan efek heteroskedastisitas jika residu yang dihasilkan tidak terdapat commit to user autokorelasi dan efek homoskedastisitas.

34


digilib.uns.ac.id

4.4.3.1

Uji Autokorelasi

Model ratarata bersyarat dikatakan baik jika residu yang dihasilkan sudah tidak memiliki autokorelasi. Autokorelasi residu dapat dideteksi menggunakan uji statistik Breusch-Godfrey dengan hipotesis H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat. Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0) Koefisien

Probabilitas

Uji Breusch-Godfrey

0,4231

ARMA(1,0)

1,529553

0,5650

Residu pada lag-1

-1,534067

0,5639

Residu pada lag-2

0,198099

0,6185

Residu pada lag-3

-0,060538

0,3344

Residu pada lag-4

0,019380

0,3792

Residu pada lag-5

-0,004950

0,8066

Statistik uji Breusch-Godfrey untuk residu sampai lag-10 pada model ARMA(1,0) disajikan pada Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey untuk model ARMA(1,0) memberikan nilai probabilitas 0,4613 yang lebih besar dari tingkat signifikansi α = 0, 05 sehingga H0 tidak ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa di dalam residu model ARMA(1,0) tidak memiliki autokorelasi. 4.4.3.2

Homokesdastisitas Variansi

Homokedastisitas variansi residu model ARMA(1,0) dapat dilihat pada Gambar 4.7. Plot memperlihatkan variansi yang tinggi pada beberapa periode dan variansi yang kecil pada periode yang lain. Oleh karena itu, diindikasikan residu model ARMA(0,1) tidak memiliki variansi yang konstan atau terdapat efek heteroskedastisitas.

commit to user

35


digilib.uns.ac.id

.15 .10 .05

RESID_AR

.00 -.05 -.10 -.15 500

1000

1500

2000

PERIODE

Gambar 4.7. Plot Residu Model ARMA(1,0)

4.4.4

Uji Efek Heteroskedastisitas

4.4.4.1

Uji Korelasi Kuadrat Residu

Residu model ARMA(1,0) perlu dilakukan uji efek heteroskedastisitas. Uji efek heteroskedastisitas pada model meliputi uji autokorelasi pada residu dan residu kuadratnya. Heteroskedastisitas pada suatu model akan teridentifikasi jika di dalam residu model tersebut tidak terdapat autokorelasi dan residu kuadrat model tersebut terdapat autokorelasi. Sebelumnya telah dibuktikan bahwa model ARMA(1,0) mempunyai residu yang sudah tidak berautokorelasi lagi. Kemudian untuk mengetahui autokorelasi pada residu kuadrat modelARMA(1,0) dapat dilihat dari plot ACF dan PACF pada Gambar 4.8.

commit to user Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0) 36


digilib.uns.ac.id

Bardasarkan Gambar 4.8 memperlihatkan bahwa ada nilai yang berbeda signifikan dengan nol yang berarti terdapat autokorelasi di dalam kuadrat residu modelARMA(1,0). Hal ini diperkuat dengan uji Ljung-Box Q statistik sampai lag-20 yang memberikan probabilitas lebih kecil dari α maka dapat disimpulkan bahwa di dalam kuadrat residu modelARMA(1,0) terdapat autokorelasi. Adanya autokorelasi di dalam residu model ARMA(1,0) dapat disimpulkan residu model ARMA(1,0) terdapat efek heteroskedastisitas. 4.4.4.2

Uji Lagrange Multiplier

Efek heteroskedastisitas juga dapat diketahui menggunakan uji Lagrange Multiplier. Hasil uji Lagrange Multiplier dari residu model ARMA(1,0) disajikan pada Tabel 4.3. Uji hipotesis dari uji Lagrange Multiplier sampai dengan lag10 adalah H0 : tidak ada efek ARCH sampai lag10 H1 : paling tidak terdapat efek ARCH pada sebuah lag. Tabel 4.3. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) Koefisien Uji Lagrange Multiplier

Probabilitas 0,0000

α0

4,64×10−5

0,0000

α1

0,441022

0,0000

α2

-0,186368

0,0000

α3

0,125827

0,0000

α4

-0,077204

0,0006

α5

0,079656

0,0004

α6

-0,052371

0,0206

α7

0,021476

0,3414

α8

0,005096

0,8203

α9

-0,003643 commit to user 0,007987

0,8692

α10

37

0,6930


digilib.uns.ac.id

Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa statistik uji sampai lag-10 untuk residu model ARMA(1,0) menghasilkan nilai probabilitas 0,000000. Nilai ini lebih kecil dari α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa pada residu model ARMA(1,0) terdapat efek ARCH atau efek heteroskedastisitas.

4.4.5

Uji Perubahan Struktur

Pengujian perubahan struktur perlu dilakukan untuk mengetahui ada tidaknya perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur adalah sebagai berikut : H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah H1 : terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah Tabel 4.4. Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0) Break 1624

F

Probabilitas

8,865309

0,002935

Tabel 4.4 menghasilkan nilai probabilitas 0,002935. Nilai ini lebih kecil dari α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah.

4.4.6

Model GARCH

Residu model ARMA(1,0) mengandung efek heteroskedastisitas dapat dimodelkan menggunakan model GARCH. Estimasi parameter menggunakan metode BHHH memberikan hasil bahwa model GARCH yang dapat digunakan untuk memodelkan residu model ARMA(1,0) adalah GARCH (1,1) dan GARCH (1,2). commit to user Pemilihan awal model yang sesuai berdasarkan signifikansi parameter model yang disajikan pada Tabel 4.5. 38


digilib.uns.ac.id

Tabel 4.5. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) Parameter GARCH (1,1)

GARCH (1,2)

1,10×10−5

1,45×10−5

0,0000

0,0000

α1

0,185615

0,231897

prob α0

4,64E-05

0,0000

β1

0,671527

0.238028

0,0000

0,0001

β2

-

0.336637

prob β2

-

0,0000

AIC

-6,912568

-6,914858

SC

-6,905495

-6,905427

α0 prob α0

prob β1

Model yang dipilih adalah model yang memiliki AIC dan SC terkecil. Oleh karena itu, untuk memodelkan heteroskedastisitas dari residu model ARMA(1,0) menggunakan model GARCH (1,1). Model yang diperoleh adalah 2 σt2 = 1, 10 × 10−5 + 0, 185615ε2t−1 + 0, 671527σt−1 .

4.4.7

Model Markov Switching GARCH

Data return nilai tukar dolar Kanada mengindikasikan adanya perbedaan antara state volatilitas tinggi dan volatilitas rendah. Model GARCH konvensional tidak mampu mendeteksi adanya perubahan state dari volatilitas tinggi ke rendah atau sebaliknya sehingga diperlukan model MS-GARCH. Sesuai dengan identifikasi model, rata-rata bersyarat yang digunakan adalah ARMA(1,0) dan variansi bersyarat yang digunakan adalah GARCH(1,1). Hasil estimasi parameter MS-GARCH sebagai berikut   −0, 00145400,untuk state nol commit to user rt =  0, 00022500,untuk state satu.

39


σt2 =

digilib.uns.ac.id

  0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1 ,untuk state nol  0, 00003000 + 0, 08454900ε2

2 ,untuk state satu. + 0, 00012900σt−1   0, 8532020 0, 1467980 . P = 0, 0105534 0, 9894466 t−1

Matriks transisi P memberikan penjelasan bahwa probabilitas terjadinya periode volatilitas rendah diikuti periode volatilitas rendah sebesar p00 =0,8532020, sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas rendah sebesar 1-p00 = 0,1467980. Hal ini berarti nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah akan mengalami volatilitas tinggi setiap 1/(p01 )= 7 hari. Sedangkan probabilitas terjadinya periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas tinggi sebesar p11 = 0,9894466, sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas rendah sebesar 1-p11 = 0,0105534. Hal ini berarti nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah akan mengalami volatilitas rendah setiap 1/(p10 )=95 hari.

4.4.8 4.4.8.1

Peramalan

Peramalan Volatilitas

Ramalan volatilitas log return dari waktu t menggunakan model MSGARCH dihitung berdasarkan persamaan variansi bersyarat   0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1 ,untuk state nol 2 σt =  0, 00003000 + 0, 08454900ε2 + 0, 00012900σ 2 ,untuk state satu. t−1 t−1 Hasil ramalan volatilitas log return untuk enam periode ke depan, yaitu periode 2467 sampai 2472 dapat dilihat pada Tabel 4.6. Tabel 4.6. Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan Periode Ramalan

2466

2467

0,000061 0,000060

2468

2469

0,000059 0,000059 commit to user

40

2470

2471

0,000059

0,000059


4.4.8.2

digilib.uns.ac.id

Peramalan Rata-Rata Bersyarat

Ramalan nilai log return dihitung berdasarkan persamaan rata-rata bersyarat yang dirumuskan sebagai   −0, 00145400,untuk state nol rt =  0, 00022500,untuk state satu. Karena terdapat heteroskedastisitas di dalam residu ARMA(1,0), diasumsikan bahwa 2 εt+s ∼ N (0, σt+s )

Sehingga interval konfidensi 95% untuk pengamatan berikutnya adalah rbt+s ± 1, 96σt+s . Tabel 4.7. Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% Periode

Nilai ramalan

Batas bawah

Batas atas

2466

0,00011239

-0.015146583

0.0153714

2467

0,00011239

-0,015030909

0,0152557

2468

0,00011239

-0,014954076

0,0151788

2469

0,00011239

-0,014954067

0,0151788

2470

0,00011239

-0,014954067

0,0151788

2471

0,00011239

-0,014954067

0,0151788

Log return bukan data yang sebenarnya, sehingga bentuk log return harus diubah ke dalam bentuk semula untuk melihat hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Persamaan untuk data pada periode t yaitu Pt = Pt−1 ert . Persamaan tersebut digunakan untuk mencari nilai ramalan nilai tukar dolar Kacommit to user nada terhadap rupiah berdasarkan nilai ramalan log return. Ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode ke depan adalah ramalan 41


digilib.uns.ac.id

pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional. Hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk periode ke 2367 sampai 2372 atau tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 yang disajikan pada Tabel 4.8. Tabel 4.8. Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% Periode

Data asli

Nilai ramalan

2466

9234,86

9192.61

9053,41

9333,96

2467

9248,43

9192,61

9055,47

9333,93

2468

9290,57

9193,65

9055,47

9333,93

2469

9278,06

9194,70

9056,82

9334,64

2470

9255,28

9195,71

9058,15

9335,36

2471

9236,92

9196,75

9059,07

9336,51

4.4.9

Batas bawah Batas atas

Validasi Model

Ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode ke depan, yaitu pada tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 menggunakan model ARMA, GARCH dan MS-GARCH disajikan pada Tabel 4.9. Tabel 4.9. Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Periode

1 Mar

2 Mar

5 Mar

6 Mar

7 Mar

8 Mar

Data Asli

9248,43 9290,57

9278,06 9255,28

9236,92 9234,86

Ramalan ARMA

9191,62 9191,62

9191,62 9191,62

9191,62 9191,62

Ramalan GARCH

9192,22 9192.21

9192.21 9192.21

9192.21 9192.21

Ramalan MS-GARCH

9192,61 9192,61

9193,65 9194,70

9195,71 9196,75

Tabel 4.10. MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Model

to userMS-GARCH ARMA commit GARCH

MSE

4970,52

4666,21 42

4443.35


digilib.uns.ac.id

Tabel 4.9 menghasilkan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH yang paling mendekati data aslinya. Hal ini diperkuat dengan MSE dari peramalan model MS-GARCH lebih kecil apabila dibandingkan MSE dari peramalan model ARMA dan GARCH.

commit to user

43


digilib.uns.ac.id

Bab V PENUTUP 5.1

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1. Model untuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 adalah ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi bersyarat untuk state nol dan ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat untuk state satu. 2. Hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode kedepan dari tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 berturut-turut 9192,61, 9192,61, 9193,65, 9194,70, 9195,71, 9196,75.

5.2

Saran

Skripsi ini membahas tentang peramalan menggunakan model Markov Switching dengan variansi bersyarat model GARCH. Model GARCH mengasumsikan bahwa nilai residu baik positif maupun negatif memberikan pengaruh yang simetris terhadap volatilitasnya. Pada data finansil kadang dijumpai pergerakan volatilitas yang tidak simetris (asimetris). Pembahasan lebih lanjut tentang Markov Switching dapat menggunakan model variansi bersyarat yang memiliki sifat volatilitas asimetris seperti EGARCH, APARCH atau TARCH.

commit to user

44


digilib.uns.ac.id

DAFTAR PUSTAKA

[1] BI, Kurs uang kertas asing mata uang dolar kanada, www.bi.go.id, 1 Februari 2012. [2] Bollerslev, Tim, Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Econometrics 31 (1986), 307–327. [3] Chow, G.C, Tests of equality between sets of coefficient in two linear regression, Econometrica 28 (1960), no. 3, 591–605. [4] Cryer, J. D, Time series analysis, PWS Publisherrs Duxbury Press, Boston, 1986. [5] Engle, R. F, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation, Econometrics 50 (1982), 987–1006. [6] Gray, S. F, Modeling the conditional distribution of interest rates as a regimeswitching process, Econometrics 42 (1996), 27–62. [7] Hamilton, J. D, A new aproach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle, Econometrics 57 (1989), 357–384. [8] Hamilton, J. D and R. Susmel, Autoregressive conditional heterocedasticity and changes in regime, Econometrics 64 (1994), 307–333. [9] Haruko, K, Change in the relationship between currency and commodity, Bank of Japan, 2012.

commit to user [10] Klaseen, F, Improving GARCH volatility forecasts with regime-switching GARCH, Empirical Economics (2001). 45


digilib.uns.ac.id

[11] Makridakis, S., S.C. Wheelwright, and V.E. McGee, Metode dan aplikasi peramalan, 2 ed., Erlangga, Jakarta, 1995. [12] Marcucci, J, Forecasting stock market volatility with regime-switching GARCH models, University of California, San Diego, 2005. [13] Tsay, R. S, Analysis of financial time series, John Wiley and Sons, Canada, 2002.

commit to user

46

MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH

Recommend Documents