Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
ISSN 2085-7829
PEMODELAN MARKOV SWITCHING GARCH (Markov Switching GARCH Modeling) Sifriyani StafPengajar Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman ABSTRACT Since firstly proposed by Engle (1982) and Bollerslev (1986), ARCH-GARCH models have been used to describe volatility behaviors of time series, especially in stock market analysis. One of the weaknesses of ARCHGARCH is its inability to model behavior transition between high volatilities and low volatilities. In this research, markov switching GARCH is investigated and applied to capture the presence of different volatility regimes, i.e. low volatilities regime and high volatility regime in Dowjones index return. However, there is no information to decide which observations belong to each of the regimes, and to account this difficulty, EM algorithm is applied for parameter estimation. The result shows that Dowjones index return includes two volatility regimes. The transition matrix of the model yields that low volatility regime is often happened than the high one. Key words : EM algorithm, GARCH, Markov Chain, Markov Switching GARCH, Volatility.
1.
PENDAHULUAN Sebagianbesar data time series yang berkaitandenganasset’s returnmengandungefek yang banyakdisebutsebagaivolatilitas (sifatmudahberubah) yang berkaitaneratdengan volume perdagangan. Bidangekonometrikafinansiallebihumummenyebutfenomenainisebagaivolatility clusteringyakniperiodeketikaterjadivolatilitastinggi yang kemudiandiikutidenganperiodevolatilitasrendahdansebaliknya.Model matematis yang populeruntukmendeskripsikanvolatilitasadalah ARCH (Engle, 1982) dan GARCH (Bollerslev, 1986). Model ARCH-GARCH dapatmendesksripsikanseberapa lama suatubentukvolatilitasdapatbertahandalamjangkaperiodetertentu. Namun, model initidakdapatmendeteksiadanyatransisiataupergeseranantaraperiodevolatilitasrendahdanperiodevolatilit astinggi, danjugatidakmencakupadanya “lompatan” (pergeseran model) pada data, sementaraparapraktisipasar modal memerlukannyasebagaipendukungkeputusan. Untukmengatasihalini, Hamilton (1994), memperkenalkanmetodealternatif yang mampumengidentifikasidanmemodelkan data yang mengandunglompatan model mean melaluimarkov switching model yang diterapkanpada model autoregressive. Namun model inimasihbelummendeskripsikanvolatilitas data, karena model autoregressive memanghanyabekerjapada model mean. Model yang dapatmendeteksiadanyatransisiantarperiodevolatilitasdanjugaadanya “lompatan” model mean akhirnyadikemukakanoleh Hamilton danSusmel (1994) sertaCai (1994) denganmelibatkanmarkov switching pada model ARCH, danpopulerdisebutsebagai SWARCH. Model SWARCH yang dibangundari ARCH iniakanmemberikanpeluanguntukpengembangan model yang lebihfleksibel, terutamauntuk model GARCH yang mempunyaikarakteristikhampirsamadengan ARCH namunmelibatkanprediktordan parameter yang lebihsederhana. Kemampuan SWARCH banyakditerapkandalampemodelan asset’s return, salahsatunyaadalahIp, Wong, Pan, danYuan (2006) denganobyekValue at Riskuntuk stock market. Untukitu, model GARCH yang melibatkan switching regime akandikajipadapenelitianini. Berdasarkanuraianlatarbelakang di atas, makapermasalahan yang dikajidalampenelitianiniadalahBagaimanamenentukan model GARCH yang melibatkanmarkov switching regimedanBagaimanaestimasidanpengujian parameter model GARCH yang melibatkanmarkov switching regime.
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
34
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
2.
ISSN 2085-7829
Markovswitching GARCH
GARCH dalamtulisaninimempunyaipolavolatilitas yang fluktuatif, danbanyakterjadipada datadata returnindeksberjangka. GARCH yang diterapkanpada data returnrtmempunyai model berikut (Bollerslev (1986), Marcucci (2005)) : rt t t , (2.1) Parameter tmewakilipersamaan model mean atauconditional mean yang dapatberbentuk model ARIMA. Batasanpermasalahan di dalamtulisanini, model GARCH yang digunakanadalahGARCH(1,1) yang nantinyaakanmelibatkanswitchingregime. MengacupadaBollerslev (1986), model GARCH(1,1) adalahsebagaiberikut : (2.2) ht t21 ht 1 , dimanahtlebihseringdisebutsebagaiconditional variance. 3.
Estimasi parameter markovswitching GARCH Berikutdisajikan model GARCH padatiapregime. Tabel 3.1. Model GARCH pada tiapregime
Komponen model Conditional mean
Regime 1
rt 1 1t
dimana 1t N 0, h1t Conditional variance
Regime 2
rt 2 2t
dimana 2t N 0, h2t
Markov chain Prob. transisi P dan Q
h1t 1 1 t21 1 ht 1 h2 t 2 2 t21 2 ht 1
SesuaiTabel 3.1., parameter-parameter padamarkovswitching GARCH yang harusdiestimasiadalah (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, P, Q). 3.1 Penentuanfungsi likelihood Fungsi likelihood untukmarkovswitching GARCH, dibentukdengancara yang umumdigunakan, yakni : T
L θ rt , ζt 1 f rt θ, ζt 1 ,
(3.1)
t 1
dimana θ 1, 2 , 1 , 2 ,1,2 , 1 , 2 , P, Q , ataudalambentuk log likelihood : T
ln L θ rt , ζ t 1 ln f rt θ, ζ t 1 .
(3.2)
t 1
Fungsi likelihood inimerupakan likelihood yang dibentukdaridistribusimixture normal denganasumsibahwasetiapdatanyatelahdiketahuimasukkeregime 1 atauregime 2.Artinya, ketikadiketahuibahwasuatu data adalahanggotaregime 1, makanilai f rt ζ t 1 akanbernilainolpadaregime 2, demikianjugasebaliknya (Hamilton, Mengacupadadistribusimixture normal, log likelihood pada (3.2) akanmenjadi :
1994).
T 2 ln L θ rt , ζt 1 ln f rt St i, ζt 1 . pit t 1 i 1 T
ln f rt St 1, ζ t 1 . p1t f rt St 2, ζt 1 . p2t t 1 T
ln f rt St 1, ζ t 1 . p1t f rt St 2, ζt 1 .1 p1t atausecaralebihrinci : t 1
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
35
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
rt 1t 2 1 ln p1t . exp 2 h 2 h1t t 1 1 t T
ln L θ rt , ζt 1
ISSN 2085-7829
rt 2t 2 1 exp 1 p1t . 2 h 2 h2t 2 t
(3.3) Karenasetiap data tidakdiketahuiakanmasukkeregime yang mana, makaoptimisasi log likelihoodtidakdapat dila\kukanmenggunakanmetodenumerikstandarsepertimetode newton. Likelihood pada (3.3) seringkalidisebutsebagaiincomplete data likelihood. Untukmengatasihalini, optimisasi log likelihooduntukmendapatkanestimasiparameterdilakukanmelaluiAlgoritma EM. 3.2 Algoritma EM untukfungsi log likelihood Tahapekspektasi pada algoritma EM dilakukandenganmenghitungcomplete data likelihood, yaknimenghitungekspektasidarivariabel yang missingsehinggalikelihooddapatdioptimisasi.
E ln L θ rt , St , ζt 1 rt , ζt 1 T 2 E I j St ln pit f rt St i, ζt 1 t 1 i 1
T
2
E I S ζ ln p f r S j
t 1 i 1 T 2
Pr S t 1 i 1
t
t
t
it
t
t
i, ζt 1
i ζt ln pit f rt St i, ζt 1
sehingga : 2 rt i 1 Pr St i ζ t ln pit ln 2 hit 2 2hit t 1 i 1 T
2
T
2
it t 1 i 1
2 rt i 1 ln pit ln 2 hit 2 2 hit
(3.4)
Gambar 3.1. Modifikasialgoritmauntukmenerapkanalgoritma EM Langkah1 :Menghitungitdanpitpadasetiapt = (1,2,…,T). For t = 1 to T For i = 1 to 2
p1t P 1t 1 1 Q 1 1t 1 p2t 1 p1t
it
f zt St i, ζt 1 pit 2
f z i 1
t
St i, ζt 1 pit
Endfor (i), Endfor (t). LangkahE :Menghitungcomplete data likelihood T
2
f θ it t 1 j 1
2 zt i 1 ln pit ln 2 hit 2 2hit
LangkahM :Optimisasilikelihoodterhadapparameter θ0 1 , 2 , 1, 2 ,1 , 2 , 1 , 2 , P, Q . Nilaiit dan pit di-update pada setiapiterasidenganperhitunganseperti pada langkah 1.
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
36
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
ISSN 2085-7829
4.
Penerapanmarkov switching GARCH padaindeksberjangkaDowjones Ilustrasicarakerjamarkov switching GARCH diperlihatkanmelaluipenerapannyapada data indeksDowjones. Series yang digunakanterdiridari 2447 data closingharianindeksDowjonesmulaitanggal 2 januari 1997 sampaidengan 21 September 2006. Hamilton (1994) danTsay (2002) menyatakanbahwa model semacam ARCH-GARCH biasanyaditerapkanpada data return yang banyakmengandungvolatilitas. 4.1 Deskripsi data danpengujianheteroskedastisitas Time series plot dari data indeksDowjonesdalambentuk return dapatdilihatpadaGambar 4.1(a), sementarareturndariindeksDowjonesditampilkanpadaGambar 4.1.(b). Time Series Plot of Dowjones Closing Price 12000 11000
closing
10000 9000 8000 7000
10/05/2005
10/15/2004
10/24/2003
11/04/2002
11/13/2001
11/16/2000
11/30/1999
12/09/1998
12/18/1997
01/02/1997
6000
Date
(a) Return indeks Dowjones 5.0
return
2.5 0.0 -2.5 -5.0
10/05/2005
10/15/2004
10/24/2003
11/04/2002
11/13/2001
11/16/2000
11/30/1999
12/09/1998
12/18/1997
01/02/1997
-7.5
Date
(b) Gambar 4.1. Time series plot returnindeksDowjones Secarasederhana, melaluiGambar 4.1(b).dapatdilihatbahwaterdapatsuatukecenderunganterdapatduafluktuasivolatilitas (regimevolatilitas) yang berbeda, yang ditunjukkandenganwarnaberbeda. Regimepertamaberhubungandenganvolatilitas yang rendah, sementararegimekeduaberhubungandenganvolatilitas yang tinggi.Tentusajahalinitidakdapatdijadikandasaruntukmenentukankapanperubahanituterjadi, namuninformasiawalinimenjadititikdasaruntukanalisislebihlanjut.Untukmemperjelasperbedaanini, padaGambar 4.2.ditampilkankuadratreturn data index Dowjones. Kuadrat returns indeks Dowjones
60 50
returnsq
40 30 20 10
10/05/2005
10/15/2004
10/24/2003
11/04/2002
11/13/2001
11/16/2000
11/30/1999
12/09/1998
12/18/1997
01/02/1997
0
Date
Gambar 4.2. Time series plot KuadratreturnindeksDowjones
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
37
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
ISSN 2085-7829
Series padaGambar 4.2.adalahkuadratnilaireturnsetelahdikoreksidengan rata-ratanya, danhasilnyasemakinjelasmenunjukkanbahwaterdapatindikasiperubahandariregime yang mempunyaivolatilitaslebihbesarmenujuregimedenganvolatilitaslebihkecil. Alasanutamaditerapkannyamarkov switching GARCH adalahadanyaindikasiperbedaanantara regime volatilitastinggidanvolatilitasrendah, sesuaidenganinformasi yang diperlukanbagiparatrader, yaknibesardankecilnyarentangantarahargapembukaandanhargapenutupan.Berbedadengan GARCH konvensional, perbedaanregimevolatilitastidakakandapatditangkap, dantentusajalebihsedikitinformasitentangprediksirentangharga yang bisadidapatkandari GARCH konvensional. Model markov switching GARCH akanbekerjapadareturnsepertipadaGambar 4.2. untukmendeteksiperubahanregimevolatilitastersebut. Tabel 4.1.Deskriptifstatistikuntuk data returnindeksDowjones Variabel N Mean SE Standardeviasi Skewness Kurtosis mean Return 2446 0.0238 0.0228 1.1296 Index Dowjones
-0.20
3.90
Return Indeks Dowjones Normal 600
Mean StDev N
500
0.02381 1.130 2446
Frequency
400 300 200 100 0
-6
-4
-2
0 return
2
4
6
Gambar 4.3. Histogram data return index Dowjones Untukmengetahuiapakahterdapatkasusheteroskedastisitas, dilakukanpengujianlagrange multipliertest. Sesuaidenganbatasanmasalahbahwa GARCH (1,1), makapengujianlagrange multiplier testdilakukandenganmeregresikankuadrat residual ke-tdengankuadrat residual ket-1. Berdasarkanhasil output minitabdiperolehT = 2446 danR2 = 0.022, nilaistatistikujiTR2adalah 53,81danmelebihititikkritisdistribusi chi-square denganderajatbebasp=1 (berdasarkanorde GARCH(1,1)) dantingkatkeyakinan 95%. DengandemikiandapatdisimpulkanbahwapadareturnindeksDowjonesmemangmengandungkasushetero skedastisitas, sehingga GARCH dapatditerapkan. 4.2 Penerapanmarkov switching GARCH Model markov switchingGARCH(1,1) yang digunakanadalah zt i t , i= 1,2 dimana
t at hit , hit i i t21 i ht 1 ,
i= 1,2, Hasilestimasi parameter markov switching GARCH menggunakan MATLAB adalahsebagaiberikut : Tabel 4.2.Estimasi parameter markov switching GARCH
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
38
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
ISSN 2085-7829
(a (b (c (d
* Warnahijau :filtered probability
Gambar 4.4. Plot return danprobabilitastiap regime. BerdasarkanGambar (4.4) nilaiprobabilitasmemperlihatkanbahwaregimekedualebihmewakilivolatilitastinggi, sementara regime pertamacenderungpadavolatilitasrendah. Hal inidapatdilihatpadamasing-masingt, ketikap1tatau1tbernilailebihtinggidaripadap1tatau1t, makapadasaatitu yang terjadiadalahvolatilitasrendah, demikian pula sebaliknya. Melaluinilaipitatauitinijugadapatdiperkirakanobservasimana yang menjadianggota regime pertamamaupun regime kedua, meskipuntidakmenutupkenyataanbahwaterkadangsulituntukmenentukannyadikarenakanadanilaiprobab ilitas yang mendekati 0.5. 5. DAFTAR PUSTAKA Aitkin, M, dan Wilson, G.T. (1980), “Mixture Models, Outliers, and the EM Algorithm”, Technometrics, Vol. 22, hal 325-331. Bilmes, J.A. (1998), A Gentle Tutorial of The EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models, Lecture handout : Numerical Optimization, International Computer Science Institute, Berkeley, USA. Bishop, C. (1995), Neural Networks for Pattern Recognition, Clarendon Press, Oxford. Bollerslev, T. (1986), “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedas-ticity”, Journal of Econometrics, Vol. 31, hal 307-327. Cai, J. (1994), “A Markov Model of Unconditional Variance in ARCH”, Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 12, hal 561-605. Cryer, J.D. (1986), Time Series Analysis, PWS-KENT Publishing Company, Boston.
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
39
Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010
ISSN 2085-7829
Dempster, A.P., Laird, N.M., dan Rubin, D.B. (1977), “Maximum Likelihood from Incomplete Data via EM Algorithm”, Journal of the Royal Statistical Society Series B, Vol. 39, hal 1-38. Engle, R.F. (1982), “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of U.K Inflation”, Econometrica, Vol. 50, hal 987-1008. Fiorentini, G., Calzolari, G., danPanattoni, L. (1996), “Analytic Derivatives and the Computation of GARCH Estimates”, Journal of Applied Econometrics, Vol. 11, hal. 399-417. Gray, S. (1996), “Modeling the Conditional Distribution of Interest Rates as a Regime Switching Process”, Journal of Financial Economics, Vol. 42, hal. 27-62. Hamilton, J.D., (1990), “Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime”, Journal of Econometrics, Vol. 45, hal 39-70. ____________, (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, New Jersey. Hamilton, J.D. danSusmel, R. (1994), “Autoregressive Conditional Heteroskedas-ticity and Changes in Regime,” Journal of Econometrics, Vol. 64, hal.307-333. Ip, W.C., Wong, H., Pan, J., dan Yuan, K. (2006), “Estimating Value at Risk for Chinese Stock Market by Switching Regime ARCH Model”, Journal of Industrial and Management Optimization, Vol. 2, hal. 145-163. Kim, C.J. (1994), “Dynamic Linear Models with Markov Switching,” Journal of Econometrics, Vol. 60, hal. 1-22. Lange, K. (1999), Numerical Analysis for Statisticians, Springer-Verlag Inc., New York. Marcucci, J., (2001), Regime Switching GARCH in The Analysis and Forecasting of Stock Market Volatility and The Effects on Option Evaluation, Technical Report, San’t Anna School of Advanced Studies, Pisa, Italy, and University of California, San Diego. Marcucci, J., (2005), “Forecasting Stock Market Volatility with Regime Switching GARCH Models”, Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, Vol. 9, hal/. 1-55. Mathworks.Inc. (2001).Optimization Toolbox for Use with MATLAB : User’s Guide, Version 2, Nash, S.G., danSofer, A. (1996), Linear and Nonlinear Programming, McGraw-Hill Co., Singapura. Nocedal, J., dan Wright, S.J. (1999), Numerical Optimization, Springer-Verlag Inc., New York. Pawitan, Y., (2001), In All Likelihood : Statistical Modeling and Inference Using Likelihood, Clarendon Press, Oxford. Tsay, R. S., (2002), Analysis of Financial Time Series, John Wiley & Sons, Canada.
Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman
40
