MODEL BAYESIAN MARKOV SWITCHING ARCH (Penerapan Pada Data Inflasi di Indonesia) Juwariyanto1
Nur Iriawan2
1
Mahasiswa Program Magister e-mail:
[email protected] 2
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya e-mail:nur
[email protected] Abstract
Inflation is a macro-economic data that reflects the economic conditions in a country. Like other financial data, inflation has a fairly high volatility. Previous studies showed that the volatility of inflation data can be handled using conditional autoregressive heterocedasticity (ARCH). However, ARCH can not know the regime changes in volatility between low and high volatility. Switching ARCH models can solve heteroscedasticity and can identify changes between low and high volatility regimes. Estimation parameters in these models usually uses maximum likelihood estimation (MLE). However, the general calculation method are more complex and have to use numerical methods. This study used a Bayesian approach because of the Bayesian can better to modelling the uncertain economic phenomena. The results show that by using the MS-ARCH (2.3) model, the probability of transition between the low to high volatility regime is 31.84 %. Conversely, the probability of transition between the high to the low volatility regime is 67.65 %. The probability to still stay in the low volatility regime is 68.16 % and still in the high volatility regime is 32.35 %. Forecasting in conditional mean and variance using Bayesian Model MS-ARCH (2,3) is better than the Bayesian model GARCH (1,1). Keywords : Bayesian, Markov Switching, ARCH, Inflation
Abstrak Inflasi merupakan data makro ekonomi yang mencerminkan kondisi ekonomi di suatu negara. Seperti data-data keuangan lainnya, inflasi mempunyai volatilas yang cukup tinggi. Penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa volatilitas data inflasi dapat dimodelkan dengan menggunakan Autoregressive Conditional Heterocedasticity (ARCH). Namun, ARCH tidak dapat mengetahui perubahan antar regime volatilitas rendah dan volatilitas tinggi. Model Markov Switching ARCH dapat mengatasi heteroskedastisitas sekaligus mengetahui perubahan antar regime volatilitas rendah dan tinggi. Estimasi parameter dalam model ini biasanya menggunakan maximum likelihood estimation (MLE). Dalam penelitian ini digunakan pendekatan Bayesian dengan alasan bahwa Bayesian memodelkan fenomena ekonomi yang tidak pasti dengan baik. Hasilnya, dengan menggunakan model MS-ARCH(2,3) diperoleh bahwa probabilitas perubahan antara regime volatilitas rendah ke regime volatilitas tinggi sebesar 31.84 %. Sebaliknya, probabilitas perubahan antara regime volatilitas tinggi ke regime volatilitas rendah sebesar 67.65%. Probabilitas untuk bertahan dalam regime volatil-
1
itas rendah sebesar 68.16% dan dalam volatilitas tinggi sebesar 32.35%. Peramalan conditional mean dan conditional variance dengan menggunakan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih baik daripada model Bayesian GARCH(1,1). Kata kunci : Bayesian, Markov Switching, ARCH, Inflasi
1. Pendahuluan Data inflasi merupakan data bidang keuangan yang sangat penting bagi indicator makro ekonomi di suatu negara. Inflasi di Indonesia, dalam perkembangannya mengalami volatilitas dan mengandung ARCH [Widarjono, 2002]. Dalam pemodelan data inflasi menggunakan ARCH, atau Threshold Auto Regressive (TAR), tidak dapat memperoleh perubahanantar volatilitas data yang terjadi. Salah satu model yang dapat mengatasi hetrokedastisitas sekaligus mengetahui peluang transisi antar regime volatilitas adalah Markov Switching ARCH [Kauffman dan FruhwirthSchanatter, 2000];[Kauffman dan Scheicher, 2006];[Chen dan Lin, 2000]. Dalam perkembangannya seiring dengan perkembangan teknologi informasi terutama perkembangan computer, metode Statistik Bayesian mulai dikembangkan di banyak bidang penelitianBerik Hal yang menarik adalah penerapan Bayesian dalam data keuangan[4], yang lebih mudah menangkap fenomena dunia keuangan yang penuh dengan ketidakpastian. Dalam paper ini akan dibahas lebih lanjut tentang Bayesian Markov Switching ARCH (MS-ARCH) dan penerapannnya pada data inflasi di Indonesia. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data inflasi bulanan di Indonesia mulai dari bulan Januari 1970 hingga Desember 2010.
2. Metode Model Markov Switching ARCH adalah model ARCH yang melibatkan perubahan antar regime (Hamilton, 1994); (Cai, 1994). Model ini disingkat menjadi MSARCH(K, m) (Kauffman, 2000), dengan K menyatakan banyaknya regime dan m menyatakan banyaknya koefisien ARCH. Persamaan modelnya untuk MSARCH(K,m) adalah sebagai berikut: yt = β0 + β1 yt−1 + ut ut =
p
ht .νt
dimana
(1)
νt ∼ N (0, 1)
h2t = γκ + α1 u2t−1 + α2 u2t−2 + ... + αq u2t−m + dt−1 ξu2t−1
(2)
Dalam MS-ARCH, perubahan antar regime dapat dicerminkan dalam matriks probabilitas perubahan (probability transitition matrix ) dengan P (i = 1|j = 1) = η11 , P (i = 1|j = 2) = η12 , P (i = 2|j = 1) = η21 , dan P (i = 2|j = 2) = η22 , atau dapat dituliskan sebagai: η11 η12 η11 1 − η11 η= = (3) η21 η22 1 − η22 η22 2
Estimasi model diatas dilakukan dengan menggunakan metode Bayesian. Metode Bayesian dikembangkan oleh Thomas Bayes (1702 1761). Perbedaan mendasar antara metode Bayesian dengan statistik pada umumnya adalah bahwa dalam Bayesian, parameter dianggap sebagai variabel random sedangkan dalam statistik klasik, parameter dianggap tidak diketahui dan tetap. Prinsip metode Bayesian berdasarkan peluang bersyarat, sehingga dalam Bayesian mengenal dua istilah penting yaitu: Pertama, Prior yaitu distribusi dari parameter. Dalam menentukan prior dilakukan dengan tingkat ketersediaan informasi penelitian sebelumnya. Kedua, Posterior adalah distribusi yang merupakan perkalian antara prior dengan fungsi likelihood. Hal ini juga merupakan perbedaan antara metode Bayesian dan statistic klasik dimana statistic klasik melakukan inferensia hanya berdasarkan fungsi likelihood sedangkan metode Bayesian menggunakan distribusi posterior yeng merupakan perkalian antara fungsi likelihood dan prior. Metode inferensia dalam Bayesian menggunakan metode numerik dengan membangkitkan nilai parameter dari distribusi posterior. Metode ini terkenal dengan Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Algoritma yang sering digunakan dalam MCMCadalah algoritma Metropolis Hasting dan Gibb Sampler. Gibb Sampler merupakan Metropolis Hasting yang bersifat khusus dimana setiap pembangkitan parameter selalu diambil sebagi parameter baru. Secara umum, teori inflasi dibagi menjadi 3 yaitu: 1. Teori kuantitas yang mendasarkan pada permintaan (demand) dan penawaran(supply) 2. Teori Keynes bahwa inflasi terjadi juga adanya kesenjangan antara permintaan (demand) dan penawaran(supply) namun lebih pada tinjauan makro ekonomi. 3. Teori Strukturalis bahwa inflasi terjadi karena struktur perekonomian suatu Negara kurang dinamis menghadapi perkembangan ekonomi secara umum. Berdasarkan teori-teori diatas, maka penanggulangan inflasi dalam artian menjaga stabilitas dapat ditempuh dengan berbagai kebijakan yaitu: 1. Kebijakan moneter 2. Kebijkan Fiskal 3. Kebijakan yang berkaitan dengan ouput 4. Kebijakan penurunan harga
3. Hasil dan Pembahasan
A. Spesifikasi Model Bayesian MS-ARCH Model Markov Switching ARCH merupakan gabungan antara ARCH dan Markov Switching. Model MS-ARCH mampu menangkap volatilitas data dengan dua pendekatan yaitu menaangkap fenomena volatilitas dengan model dalam 3
mean dan dalam model varians. Model yang digunakan dalam tesis ini sebagaimana pada persamaan 1 dan 2. Dalam hal ini proses rantai Markov harus dipenuhi tiga kondisi yaitu (Taylor, H.M. dan Karlin, S, 1998): 1. Recurent Suatu proses rantai Markov dikatakan recurrent apabila proses Markov akan kembali ke state atau regime awal setelah sekian kali terjadi transisi (perpindahan). 2. Irreducible Merupakan suatu proses Markov dimana setiap state atau regime saling berhubungan atau komunikasi satu dengan yang lainnya. 3. Aperiodic Merupakan suatu proses Markov yang mempunyai periode 1 untuk setiap state atau regime. Dalam melakukan estimasi parameter model MS-ARCH dengan menggunakan statistik Bayesian perlu menentukan fungsi likelihood dan fungsi distribusi prior untuk mendapatkan distribusi posterior sesuai dengan formula Bayes pada persamaan 2.6. B. Fungsi Likelihood Didefinisikan η = (η1. , η2. , · · · , ηκ. ) dimana ηiκ = (ηi1 , ηi2 , , ηκκ ) untuk i = 1, 2, · · · , κ yang merupakan karateristik transisi distribusi bersyarat dan menghimpun probabilitas transisi dari St . Vektor θ = (η, α, β, γ, ξ) merupakan kumpulan semua parameter dengan yt = (y1 , y2 , · · · , yκ ), β = (β0 , β1 ) danα = (α1 , α2 , · · · , αq ). Urutan variabel state dapat diwakili dengan S T = (S1 , S2 , · · · , ST ). Fungsi likelihood untuk model MS-ARCH, bila y T = (y1 , y2 , · · · , yT ) dengan kondisi S T dan θ adalah sebagai berikut: T
T
f (y |S , θ) =
T Y
f (yt |y t−1 , α, β, γSt , ξ)
(4)
t=1
dengan pendekatan distribusi observasi adalah normal (Gaussian) dan zt = (1, yt−1 )0 sehingga: 1
f (yt |y t−1 , α, β, γSt , ξ) = p
(1/(2πht (α, β, γSt , ξ, y t−1 )
exp(
−(yt − zt0 β)2 ) 2ht (α, β, γSt , ξ, y t−1 ) (5)
4
C. Penentuan Prior Sebelum melakukan skema pengambilan sampel posterior dengan menggunakan MCMC maka terlebih dahulu menentukan distribusi prior sebagai pembentuk dari distribusi posterior, skema pengambilan sampel menggunakan blocks sampling (Kauffman dan Fruhwirth, 2002). Distribusi prior S T hanya bergantung pada matrik transisi probabilitas η = (η1 , η2 , · · · , ηκ ) sehingga distribusi π(S T |η) adalah π(S T |η) ∝
T Y
ηSt−1 ,St π(S0 |η) =
t=1
κ Y κ Y
ηij Nij π(S0 |η)
(6)
i=1 j=1
dimana Nij adalah jumlah (St = j|St = i). Untuk distribusi prior parameter yang lain mengikuti ketentuan sebagai berikut: a. Untuk kumpulan parameter θ = (α, β, γ, ξ) dan parameter (γ, η), (α, ξ), β adalah independen (saling bebas) sehingga: π(θ) = pi(γ, η).π(α, ξ).π(β)
(7)
b. β mempunyai prior dengan distribusi N (b0 , B0 ). c. Join distribusi prior (α, ξ) mengharuskan bernilai positif untuk menjamin varians yang stasioner sehingga digunakan distribusi Dirichlet. Prior untuk parameter (α, 2ξ , αq+1 ) adalah D(α1 , α2 , · · · , x0 , αq+1 ) dengan αq+1 = 1 − Σqi=1 αi − 2ξ . d. Distribusi prior untuk γκ ∼ IG(g0,κ , G0,κ ) dan D(e1κ , e2κ , · · · , eκκ ) sehingga join distribusi priornya adalah sebagai berikut: π(γ, η) =
K! κ 1 XY IG(g0ρm (κ) , G0ρm (κ) )×D(eρm (κ),ρm (1) , eρm (κ),ρm (2) , · · · , eρm (κ),ρm (κ) ) K! m=1 k=1 (8)
D. Estimasi Parameter dengan MCMC Join distribusi posterior π(θ, S T |y T ) untuk parameter diperoleh dengan menggunakan formula Bayes sebagai berikut: π(θ, S T |y T ) ∝ f (y T |θ, S T ) × π(S T |η) × π(θ)
(9)
dengan f (y T |θ, S T ) diperoleh dari Persamaan , π(S T |η) dari persamaan dan π(θ) dari Persamaan . Estimasi parameter ψ = (θ, S T ) dilakukan dengan membangkitkan nilai-nilai dari distribusi posterior π(ψ|y T ). Nilai parameter diperoleh dengan nilai ratarata metode MCMC. Skema pembangkitan untuk model MS-ARCH(K,q) dengan membagi menjadi beberapa bagian yaitu: 5
1. Membangkitkan S T dari π(S T |θ, y T ) Pembangkitan parameter S T danη, merupakan presedur standar dalam MCMC model MS-ARCH yang melibatkan variabel laten. Langkah pembangkitan parameter S T dilakukan dengan multi-move (Chib dalam Kauffman dan Schnatter, 2002). Pembangkitan parameter dilakukan dengan forward untuk filter probabilities π(St |θ, y T ) untuk t = 1, 2, · · · , T dengan distribusi prior π(S0 ) sehingga: π(S T |θ, y T ) ∝ f (yt |y T −1 , γSt , S T , α, β, ξ).π(St |θ, y T −1 )
(10)
dimana f (yt |y T −1 , γSt , S T , α, β, ξ) dari Persamaan dan π(St |θ, y T −1 ) diperoleh dari: κ X T −1 π(St |θ, y )= π(St−1 |θ, y T −1 ).ηSt−1 St (11) St−1 =1
π(St |St+1 , · · · , SN , θ, y T ) = π(St St+1 , θ, y T ) ∝ π(St |θ, y T )ηSt St+1
(12)
Salah satu cara pembangkitan S T dari distribusi ηST = π(St |.) adalah dengan menggunakan probabilitas bersyarat qj = P (St = j|St ≥ j, .) yaitu: ηj (13) qj = P (St = j|St ≥ j, .) = Pκ l=j ηl. Hal ini dimulai dari j = 1 dengan membangkitkan suatu bilangan U dari distribusi Uniform. Jika U ≤ qj , maka St = j. Lainnya lanjutkan j menjadi j + 1 dan bangkitkan lagi bilangan U. 2. Membangkitkan η dari π(η|ψ, y T ). Dalam hal ini, distribusi posterior π(η|ψ, y T ) hanya bergantung pada struktur distribusi prior St dan distribusi transisi bersyarat η1. , η2. , · · · , ηκ. merupakan distribusi posterior yang independen dengan ηi. berdistribusi Dirichlet D(ei1 + Ni1 , · · · , eiκ + Niκ ) π(ηi. |S T ) ∝
κ Y
e +Nij
pijij
Nij = jumlah (St = j|St−1 = i)
(14)
j=1
Cara yang paling mudah mengambil sampel dari distribusi posterior Dirichlet D(ei1 + Ni1 , · · · , eiκ + Niκ ) adalah dengan mengambil sampel sebanyak K untuk nilai η˜i1 , · · · , η˜iκ dari distribusi Gamma G(ei1 +Ni1 , 1), · · · , G(eiκ +Niκ , 1) η˜ kemudian di hitung normalisasi ηij = Pκ ij η˜ij .Pembangkitan berkaitan denj=1
gan distribusi campuran (mixture) pada Persamaan (8) dengan hiperparameter yang salng berhubungan. Dalam hal ini, posterior π(η|ψ, y T ) adalah distribusi Dirichlet campuran dan digunakan metode Metropolis Hasting untuk membangkitkan nilai parameter dari persamaan berikut: q(η) =
κ Y
D(ηi. , ei1 + Ni1 , · · · , eiκ + Niκ )
(15)
i=1
6
penerimaan nilai parameter baru η ∗ dengan kriteria sebagai berikut: Qκ D(ηi.∗ , ei1 + Ni1 , · · · , eiκ + Niκ ) π(γ, η (old) ) ∗ (old) . α(η |η ) = min{ Q i=1 (old) , 1} ∗ κ , ei1 + Ni1 , · · · , eiκ + Niκ ) π(γ, η ) i=1 D(ηi. (16) bila η ∗ diterima, maka nilai parameter yang dibangkitkan sebagai parameter baru dan bila η ∗ ditolak maka gunakan parameter yang lama atau η (old) . 3. Membangkitkan paramater β dari π(β|α, γ, ξ, S T , y T ) Belum ada metode langsung dalam melakukan pengambilan sampel parameter β meskipun parameter ARCH (α, γ) diketahui. Bila diketahui suatu persamaan regresi yt = zt0 β + ut dengan kondisi heterokedastisitas var(ut ) = ht . Permasalahan utama dalam inferensia parameter regresi β adalah kenyataan bahwa ht bergantung kepada lags resdidual ut−1 , · · · , ut−m . Dalam hal ini digunakan algoritma Metropolis Hasting dengan proposal density sebagai berikut: q(β|β (old) ) ∼ N (bT (β (old) ), BT (β (old) ))
(17)
bT (β (old) = BT (β)(Z 0 W (β)y) + B0−1 b0 )
(18)
B0−1 b0 )−1
(19)
W (β) = Diag(ω1 (β), · · · , ωT (β))
(20)
0 0 αl. (yt − zt−1 β)2 + dt−1 ξ(yt − zt−1 β)2
(21)
0
BT (β) = (Z W (β)y) +
ωt (β)−1 = ht (β) = γit +
m X l=1
dengan y dan Z adalah vektor nilai observasi dari model regresi. Sebuah nilai β ∗ di sampel dari q(β|β ( old)) (Persamaan (17)) dengan nilai peluang penerimaan sebagai berikut: α(β|β (old) ) = min{
π(β ∗ |α, γ, ξ, S T , y T ) q(β (old) |β ∗ ) × , 1} π(β (old) |α, γ, ξ, S T , y T ) q(β ∗ |β (old) )
(22)
dimana π(β|α, γ, ξ, S T , y T ) setara dengan f (y1 , · · · , yT |α, β, γ, ξ, S T ) × π(β). 4. Pengambilan sampel (γ, α, ξ) dari π(γ, α, ξ|β, η, S T , y T ) Untuk pengambilan samel bersama parameter (γ, α, ξ) dilakukan formulasi model switching ARCH sebagai model linier secara umum. Dengan ut = p (ht ).t dimanat adalah normal standar, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: u2t = νt2 (23) ht vt2 adalah random variabel χ21 dengan derajat bebas 1. vt2 dapat disamakan dengan 2t = 1 + εt , dan E(εt ) = 0, var(εt ) = 2. Dengan demikian, Persamaan (23) dapat ditulis sebagai: u2t = ht + ht .εt u2t
=
γ1 St1
+ ··· +
(24) γκ Stκ
+
α1 u2t−1
+ ··· +
αm u2t−m
+
dt−1 ξu2t−1
+ ht ε(25) t 7
Untuk setiap t dalam variabel dummy St1 , St2 , · · · , Stκ didefinisikan Stj = 1 untuk Stj = j dan Stj = 0 untuk nilai lainnya. Pengambilan sampel bersama (α, γ, ξ) menggunakan algoritma Metropolis Hasting dengan proposal density sebagai berikut: q((γ, α, ξ)|(γ, α, ξ)(old) ) ∼ N (cT ((γ, α, ξ)(old) ), CN ((γ, α, ξ)(old) ))
(26)
cT ((γ, α, ξ)) = CN ((γ, α, ξ))(Z W (γ, α, ξ)˜ u) + C0−1 c0 ) CN ((γ, α, ξ)) = (Z 0 W (γ, α, ξ)˜ u) + C0−1 c0 )−1
(27)
0
W (γ, α, ξ) = diag(ω1 (γ, α, ξ), · · · , ωT (γ, α, ξ)) m X ωt (γ, α, ξ) = 2h2t (γ, α, ξ) = 2(γit + αi u2t−1 + dt−1 ξu2t−1
(28) (29) (30)
i=1
C0−1 =
G0,1 1+g0,1
. .. c0 = G0,κ 1+g0,κ 0m×1 ! 3 3 (1+g ) (1+g ) 0κ×m diag( G20,1 , · · · , G20,κ ) 0,1
0,κ
0m×κ
0m
(31)
(32)
timesm
Penerimaan nilai parameter (γ, α, ξ)∗ didasarkan pada peluang sebagai berikut: α((γ, α, ξ)∗ |(γ, α, ξ)(old) ) = min{
π((γ, α, ξ)∗ |β, η, S T , y T ) × π((γ, α, ξ)(old) |β, η, S T , y T ) q((γ, α, ξ)(old) )|(γ, α, ξ)∗ ) , 1} q((γ, α, ξ)∗ |(γ, α, ξ)(old) )
(33)
8
E. Penerapan Bayesian MS-ARCH pada Data Inflasi 1. Deskripsi Data Sesuai dengan UU No. 3 Tahun 2004 tentang Bank Indonesia, salah satu tugas Bank Indonesia (BI) adalah mengendalikan tingkat inflasi. Baik dengan menggunakan kebijakan fiskal seperti: menentukan tingkat SBI (Suku Bunga Bank Indonesia) hingga kebijakan non-fiskal. Menurut Teori Keynes, terjadinya inflasi karena adanya kesenjangan antara penawaran dan permintaan atau antara tekanan dari sisi penawaran (cost push inflation) dan permintaan (demand pull inflation) serta ekpetasi inflasi. Berdasarkan skema pada diatas, penyebab adanya permintaan yang tidak seimbang salah satunya adalah depreasi nilai tukar rupiah, kondisi ekonomi regional atau global, dari sisi penawaran, kondisi iklim, gangguan distribusi, bencana alam merupakan faktor yang utama saat ini. Faktor ekpetasi inflasi juga menjadi fenomena yang menarik di Indonesia. Hal ini dipengaruhi oleh perilaku masyarakat dan pelaku ekonomi. Hal ini bersifat adaptif. Sebagai gambaran, pada saat menjelang hari besar keagamaan (Lebaran, Natal/Tahun Baru), walaupun dari sisi ketersediaan barangbarang akan cukup untuk mendukung peningkatan permintaan akan tetapi harga barang-barang tetap naik. Begitu juga ketika akan terjadi kenaikan Upah Minimum Propinsi (UMP) atau gaji PNS, biasanya harga barang akan naik terlebih dahulu dibandingkan dengan kenaikan UMR atau gaji PNS. Berdasarkan Gambar 2. dan Gambar 3. terlihat bahwa nilai inflasi dalam kurun waktu Januari 1970 hingga Desember 2010 berada dalam rentang 2.32 dan 12.76. Nilai inflasi terendah selama 41 tahun yang lalu terjadi Mei 1971 dan tertinggi terjadi pada bulan Februari 1998. Bila melihat mediannya,nilai inflasi Indonesia berada pada kisaran 0.57. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi perekonomian Indonesia semakin stabil terhadap berbagai guncangan baik dari sisi sosial, politik dan ekonomi lainnya. Namun, data inflasi tidak terdistribusi secara normal dan cenderung untuk skew, nilai skewness sebesar 3.25. Bila ditinjau dari runtutan datanya, seperti pada , inflasi di Indonesia sebelum tahun 1990 memiliki volatilitas yang tinggi dibandingkan dengan periode sesudah tahun 1990. Kecuali, pada saat krisis ekonomi yang melanda Indonesia pada tahun 1998 dan pada saat kenaikan harga BBM pada oktober 2005. Pada kasus kenaikan harga BBM pada tahun 2005 menunjukkan adanya efek domino kenaikan harga BBM, karena kenaikan satu jenis komoditas berakibat kepada kenaikan harga barang-barang yang lain. 2. Tes Heterokedastisitas Sebelum menerapkan Bayesian Markov Switching ARCH pada data Inflasi
9
di Indonesia terlebih dahulu dilakukan pendeteksian adanya heterokedastisitas dalam data inflasi. Pendeteksian dilakukan dengan menggunkan metode Lagrange Multiplier sebagaimana dijelaskan dalam subbab 2.2 sebelumnya. Pengujian dilakukan dengan melakukan regresi linier antara residua kuadrat ke-t dan residual kuadrat ke t-1. Berdasarkan Gambar 3. diatas, dengan T = 491 dan R2 = 0.156, nilai statistik uji T R2 adalah 79,596 dan melebihi titik kritis distribusi Chi-square dengan derajat bebas 1 dan tingkat kepercayaan 95%. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa data inflasi mengandung heteroskedastisitas sebagaimana hasil penelitian Widarjono (2002). 3. Penerapan Bayesian MS-ARCH Pada umumnya, penerapan MS-ARCH banyak digunakan untuk memodelkan return indeks saham karena volatilitas pada data tersebut sangat tinggi sehingga jumlah regime yang terlibat bisa sangat banyak. Seperti: di Jerman (Kauffman dan Scheicher, 2006), di Taiwan (Chen dan Lin, 2000). Namun demikian, penerapan pada data inflasi juga dapat dilakukan (Evans dan Wachtel,1993), tentu saja dengan jumlah regime yang terlibat tidak terlalu banyak. Penerapam Bayesian MS-ARCH pada data inflasi dalam penelitian ini menggunakan formula sebagimana pada persamaan 4.1 dengan jumlah state atau regime sebanyak St = 1, 2, 3, 4 dan koefisien ARCH q = 1, 2, 3, 4. Dengan demikian kombinasi antara jumlah state dan ARCH akan terbentuk sebanyak 16 model Bayesian ARCH. Selain itu, juga akan digunakan model Bayesian GARCH untuk memperoleh perbandingan model peramalan yang tepat diantara keduanya. Kriteria pemilihan model yang terbaik menggunakan Schwarz Information Criterion (SIC). Penentuan model terbaik adalah model yang mempnyai nilai SIC yang terkecil. Penghitungan SIC menggunakan formula sebagai berikut: SIC = M ax(L) −
k InN 2
(34)
dimana,L adalah nilai likelihood, k adalah jumlah parameter, dan T adalah jumlah observasi. Dengan menggunakan jumlah regime sebanyak 4 dan ARCH sebanyak 4 juga maka akan menghasilkan kombinasi model sebanyak 16 model. Pemilihan model terbaik didasarkan pada nilai SIC yang paling kecil dan berdasarkan Tabel 2 diatas terlihat bahwa model Bayesian MS-ARCH(2,3) mempunyai nilai SIC sebesar -685,9751. Dengan demikian, model Bayesian MS-ARCH merupakan model yang terbaik. Model ini mengindikasikan bahwa jumlah state yang sesuai adalah 2 dan ARCH sebanyak 3 dengan jumlah parameter sebanyak 12. Bila ditinjau dari aspek komputasi, penghitungan nilai model seperti pada Tabel 2 menggunakan Matlab 2009a. Secara umum, proses pengolahan hingga 10
menghasilkan nilai parameter dengan menggunakan MCMC dengan iterasi sebanyak 55.000 menghasilkan waktu yang lama yaitu rata-rata 5.273,87 detik atau 1,46 jam untuk setiap model. Hal ini terkait dengan random generate di Matlab yang masih menggunakan metode Acceptance Rejection. Dalam Bayesian software yang tepat untuk digunakan adalah WinBugs, namun dalam WinBugs penerapan algoritma Metropolis Hasting sangat sulit dilakukan karena didalamnya tidak terdapat perintah conditional (If, If elseatau If then else). Dalam penelitian ini penulis menggunakan laptop processor P6200 (model I3 yang paling rendah), dengan Memory sebesar 4 Gigabyte. Setelah diperoleh model terbaik, dilakukan estimasi parameter model Bayesian 0 MS-ARCH dengan menggunakan MCMC. Bila G(θ(1) ), G(θ(2) ), · · · , G(θ(T ) ) menyatakan nilai bangkitan nilai parameter dari distribusi posterior, maka inferensia parameter menggunakan nilai rata-rata parameter dengan formula sebagai berikut: T0 X 1 ¯ = ˆ EG(θ)|y) = G(θ) G(θ(t) ) (35) T0 t=1
dimana, t = 1, 2, , T 0 dan T 0 adalah banyaknya iterasi. Namun, apabila hasil pembangkitan nilai parameter tidak menunjukkan suatu distribusi atau tidak konvergen, nilai parameter yang digunakan adalah nilai modusnya. Sedangkan untuk standar deviasi dari parameter-parameter yang dibangkitkan dihitung dengan menggunakan formula sebagai berikut: T0
ˆ SD(G(θ|y) =
1 X 2 ˆ [G(θ(t) ) − EG(θ)|y)] T0 − 1
(36)
t=1
Berdasasarkan Tabel 3 maka persamaan untuk model Bayesian MS-ARCH(2,3) dapat ditulis sebagai berikut: yˆt = 0.3939 + 0.3443yt−1 (37) ˆ 1 = 0.2844 + h ˆ 2 = 9.23791 + h
0.2073u2t−1 0.2073u2t−1
+ +
0.1085u2t−2 0.1085u2t−2
+ 0.0893u2t−3 + 0.0631dt−1 u2t−1 (38) + 0.0893u2t−3 + 0.0631dt−1 u2t−1 (39)
dimana, Persamaan 37 menyatakan permasaan model Bayesian MS-ARCH(2,3) dalam mean, akan tetapi dalam hal ini tidak mengalami perubahan regime artinya regime pertama dan regime kedua mempunyai persamaan yang sama. Sedangkan Persamaan 38 dan Persamaan 39 menyatakan persamaan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) dalam variance, dimana Persamaan 38 mewakili regime dengan volatilitas rendah dan Persamaan 39 mewakili regime dengan volatilitas tinggi. Probability transition matrix model Bayesian MS-ARCH(2,3) diatas adalah sebagai berikut: η11 η12 0.6816 0.3184 η= = (40) η21 η22 0.6765 0.3235 11
Berdasarkan Persamaan 40 dapat dikatakan bahwa peluang untuk bertransisi dari volatilitas rendah ke volatilitas tingg sebesar 31,84%, sedangkan ketika berada dalam volatilitas tinggi, maka akan segera pindah ke volatilitas rendah dengan probabilitas sebesar 67,65%. Probabilitas selalu dalam volatilitas rendah adalah 68,16% dan probabilitas berada dalam volatilitas tinggi hanya 32,35%. Dengan demikian, maka data akan lebih sering berada dalam volatilitas rendah dibandingkan dengan berada dalam volatilitas tinggi. Peramalan dilakukan dengan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) dengan metode 1-step ahead, kemudian dibandingkan dengan model Bayesian GARCH(1,1). Peramalan model Bayesian MS-ARCH(2,3) dalam hal ini dibagi menjadi 2 model yaitu peramalan conditional mean dan conditional variance. Model Bayesian GARCH(1,1) yang digunakan adalah model dengan persamaan sebagai berikut:
ut =
p
ht .νt
yt = φ0 + φ1 yt−1 + ut
(41)
dengan νt ∼ N (0, 1)
(42)
αu2t
(43)
ht = γ +
+ βht−1
Berdasarkan Tabel 4, model Bayesian GARCH(1,1) dapat dituliskan sebagai berikut: yˆt = 0.4986 + 0.3391yt−1 ˆ ht = 0.5696 + 0.4853u2t + 0.2576ht−1
(44) (45)
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa nilai ramalan untuk Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih baik dibandingkan dengan Model Bayesian GARCH(1,1). Bila dilihat dari nilai SSE, MSE dan MAPE, perbandingan peramalan conditional mean kedua model adalah sebagai berikut: Nilai SSE, MSE dan MAPE Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih kecil daripada nilai MSE dan MAPE Model Bayesian GARCH(1,1) (lihat Tabel 5). Dengan demikian, peramalan conditional mean inflasi dengan menggunakan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih baik daripada menggunakan Model Bayesian ARCH(1,1). Untuk menilai kebaikan peramalan conditional variance digunakan nilai SSE, MSE dan MAPE sebagai kriterianya. Perbandingan nilai SSE, MSE dan MAPE kedua model dapat dilihat dari tabel berikut ini: Berdasarkan Tabel ??, nilai SSE, MSE dan MAPE model Bayesian MSARCH(2,3) lebih kecil dibandingkan dengan model Bayesian GARCH(1,1) sehingga dapat dikatakan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih baik dalam peramalan conditional variance data inflasi bulan Januari 2011 sampai Nopember 2011.
4. Kesimpulan 12
Berdasarkan analisis dan pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya, maka dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Model, estimasi dan peramalan model Baesian Markov Switching ARCH adalah • Model Bayesian Markov Switching ARCH yang digunakan dalam penelitian ini adalah yt = β0 + β1 yt−1 + ut ut =
p
ht .νt
dimana
νt ∼ N (0, 1)
h2t = γκ + α1 u2t−1 + α2 u2t−2 + ... + αq u2t−m + dt−1 ξu2t−1 • Estimasi parameter model Bayesian MS-ARCH menggunakan MCMC dengan algoritma Metropolis Hasting dan Gibb Sampler. • Peramalan dilakuakn dalam 2 model yaitu model conditional mean dan conditional variance. 2. Penerapan model Bayesian MS-ARCH dalam data inflasi adalah • Penerapan dalam data inflasi di Indonesia menunjukkan bahwa data inflasi mengandung heterokedastisitas dan selama periode Januari 1970 sampai Desember 2010, inflasi terendah terjadi dalam Bulan Mei 1971 sebesar -2.32 dan inflasi tertinggi terjadi pada bulan Februari 1998 sebesar 12.76. • Dalam penelitian ini, model terbaik dari 16 model yang digunakan adalah model MS-ARCH(2,3) dengan nilai Swarchtz Information Creteria (SIC) sebesar 687.3640. • Persamaan model yang terbentuk adalah sebagai berikut: yˆt = 0.3939 + 0.3443yt−1 + ut 2 2 ˆ h1 = 0.2844 + 0.2073ut−1 + 0.1085ut−2 + 0.0893u2t−3 + 0.0631dt−1 u2t−1 ˆ 2 = 9.23791 + 0.2073u2 + 0.1085u2 + 0.0893u2 + 0.0631dt−1 u2 h t−1
t−2
t−3
t−1
• Dengan menggunakan model MS-ARCH(2,3) diperoleh bahwa probabilitas perubahan antara regime volatilitas rendah ke regime volatilitas tinggi sebesar 31.84 %. Sebaliknya, probabilitas perubahan antara regime volatilitas tinggi ke regime volatilitas rendah sebesar 67.65 %. Probabilitas untuk bertahan dalam regime volatilitas rendah sebesar 68.16% dan dalam volatilitas tinggi sebesar 32.35%. • Peramalan conditional mean dan conditional variance dengan menggunakan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) lebih baik daripada model Bayesian GARCH(1,1).
13
Model K=4
K=3
K=2 K=1
Tabel 1: Spesifikasi Prior π(γ) γ1 ∼ IG(1, 2) η1. ∼ D(1, 1, 1, 1) γ2 ∼ IG(1, 4) η1. ∼ D(1, 1, 1, 1) γ3 ∼ IG(1, 8) η2. ∼ D(1, 1, 1, 1) γ4 ∼ IG(1, 16) η3. ∼ D(1, 1, 1, 1) γ1 ∼ IG(1, 2) η4. ∼ D(1, 1, 1) γ2 ∼ IG(1, 4) η2. ∼ D(1, 1, 1) γ3 ∼ IG(1, 15) η3. ∼ D(1, 1, 1) γ1 ∼ IG(1, 2) η1. ∼ D(1, 1) γ2 ∼ IG(1, 3) η2. ∼ D(1, 1) γ1 ∼ IG(1, 2)
Tabel 2: Jumlah Parameter, Nilai MS-ARCH Jumah (K,q) Parameter (1) (2) (4,4) 27 (4,3) 26 (4.2) 25 (4,1) 24 (3,4) 19 (3,3) 18 (3,2) 17 (3,1) 16 (2,4) 13 (2,3) 12 (2,2) 11 (2,1) 10 (1,4) 8 (1,3) 7 (1,2) 6 (1,1) 5
Likelihood, SIC dan Waktu running Program Likelihood SIC Waktu (detik) (3) (4) (5) -637.5316 740.7186 5.347,06 -637.0863 736.4516 5.549,85 -640.3682 735.9118 5.508,93 -646.1782 737.9000 5.806,52 -636.4410 709.0540 6.064,94 -637.4351 706.2264 6.163,14 -644.5339 709.5035 5.441,12 -647.9446 -709.0925 5.651,71 -638.7765 688.4592 5.516,63 -641.5031 687.3640 5.159,38 -650.5128 692.5520 5.530,33 -657.5599 695.7773 6.234,58 -827.2925 857.8664 4.143,58 -828.0904 854.8426 3.867,00 -1369.3215 1392.2519 4.099,47 -1554.3349 1573.4436 4.297,72
14
Tabel 3: Hasil Estimasi Parameter Bayesian MS-ARCH(2,3) Parameter Mean St. Dev Median Modus 2.5% 97.5% (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) β0 0.3939 0.0426 0.3942 0.3119 0.3115 0.4805 β1 0.3443 0.0449 0.3442 0.3441 0.2546 0.4333 γ1 4.1424 3.9902 0.3213 0.2844 0.1808 9.2379 γ2 4.2161 3.9914 5.1046 9.2379 0.1786 9.2379 α1 0.2073 0.0662 0.2128 0.2128 0.0958 0.3448 α2 0.1085 0.0432 0.0997 0.0708 0.0520 0.2138 α3 0.0893 0.0353 0.0811 0.0714 0.0378 0.1918 ξ 0.0631 0.0491 0.0376 0.0335 0.0033 0.1853 η11 0.6816 0.2811 0.8939 0.0223 0.1792 0.9658 η12 0.3184 0.2811 0.1058 0.0184 0.0342 0.8208 η22 0.3235 0.2818 0.2466 0.0196 0.0346 0.8208 η21 0.6765 0.2818 0.7513 0.0331 0.1792 0.9654
Tabel Parameter (1) φ0 φ1 γ α β
4: Hasil Estimasi Parameter Bayesian GARCH(1,1) Mean St. Dev Median Modus 2.5% 97.5% (2) (3) (4) (5) (6) (7) 0.4986 0.0683 0.5076 0.5200 0.3516 0.6314 0.3391 0.0643 0.3325 0.2782 0.2337 0.4533 0.5696 0.1090 0.2881 0.4268 0.2337 0.3325 0.4853 0.1010 0.4770 0.3925 0.3086 0.6926 0.2576 0.1055 0.2489 0.1421 0.0786 0.4983
Tabel 5: Perbandingan Nilai SSE, MSE dan MAPE dalam Peramalan conditional mean Model MS-ARCH(2,3) dan GARCH(1,1) Model SSE MSE MAPE (1) (2) (3) (4) MS-ARCH(2,3) 1.9931 0.2214 196.3700 GARCH(1,1) 2.6210 0.2912 233.5601
Tabel 6: Perbandingan Nilai SSE, MSE dan MAPE dalam Peramalan conditional variance Model MS-ARCH(2,3) dan GARCH(1,1) Model SSE MSE MAPE (1) (2) (3) (4) MS-ARCH(2,3) 0.6686 0.1337 75.1103 GARCH(1,1) 5.1912 1.0382 88.8605
15
Gambar 1: Plot time series Data Inflasi Bulanan di Indonesia Januari 1970 sampai Desember 2010
Gambar 2: Deskripsi Data Inflasi Bulanan Januari 1970 sampai Desember 2010
16
Gambar 3: Output Minitab: Pengujian Lagrange Multiplier untuk mendeteksi Heterokedastisitas
Gambar 4: Perbandingan nilai inflasi dan peramalan conditional mean dengan Model Bayesian MS-ARCH(2,3) dan Bayesian GARCH(1,1)
17
Gambar 5: Perbandingan peramalan conditional variance Model Bayesian MSARCH(2,3) dan Bayesian GARCH(1,1)
18
DAFTAR PUSTAKA Albert, J. (2009), Bayesian Computation with R, Springer, Newyork. Ardia, D. (2007), Bayesian Estimation of the Markov-Switching ARCH(1,1) Model with Student-t Innovations, R/Rmetrics User and Developer Work-shop, Meielisalp. Ardia, D. (2008), Financial Risk Management with Bayesian Estimation of GARCH Models: Theory and Applications, Springer, Berlin. Ardia, D. dan Hoogerheide, L.F. (2010), Bayesian Estimation of the GARCH(1,1) Model:The R Package bayesGARCH, The R Journal, Vol.2, No.2, pp 41-47. Bauwens, L., Preminger, A., dan Rombouts, J.V.K. (2008), Theory and Inference for a Markov-Switching GARCH Model, Working Paper 07-33, Centre Interuniversitaire sur le Risque, les Politiques Economiques et I’Emploi. Billio, M., Monfort, A., dan Robert, C.P. (1999), Bayesian Estimation of Switching ARMA Models, Journal of Econometrics, Vol. 93 pp. 299-255. Bollerslev, T. (1986), Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity, Journal of Econometrics, Vol. 31, 307-327. Bolstad, W.M. (2007), Introduction to Bayesian Statistics, John Wiley and Sons, New Jersey. Box, G.E.P. dan Jenkins, G.M. (1976), Time Series Analysis Forecasting and Control, Holden-Day, California. Box, G.E.P. dan Tiao, G.C. (1973), Bayesian Inference in Statistical Analysis, AddisonWesley, London. Carlin, B.P. dan Chib, S. (1995), Bayesian Model Choice via Markov Chain Monte Carlo Methods, Journal of The Royal Statistical Society, Vol. 57, No. 3, Pp. 473-484. Carlin, B.P. dan Thomas, A.L. (1996), Bayes and Empirical Bayes Methods for Data Analysis, 2nd Edition, Chapman and Hall, London. Casella, G. dan Berger, R.l. (2002), Statistical Inference, Duxbury, California. Cai, J. (1994), A Markov Model of Switching-Regime ARCH, Journal of Business & Economics Statistics, Vol. 12, No. 3, pp 309-316. Chen, S-W, dan Lin, J-L, (2000), Switching ARCH Model Of Stock Market Volatility in Taiwan, Economic and Finance, Advance in Pacifik Basic Bussiness,Vol 4. Das, D dan Yoo, B.H. (2004), ”A Bayesian MCMC Algorithm for Markov Switching GARCH models, Econometric Society 2004 North American Summer Meetings 179, Econometric Society. Engle, R.F. (1982), Autoregressive conditional Heteroscedasticity, Estimation Of United Kingdom Inflation,Journal Econometrika, Vol.50, No.4, pp. 987-1007. Evans, M. dan Wachter, P. (1993), Inflation Regimes and the Sources of Inflation Uncertainty, Journal of Money, Credit and Banking, Vol. 25, No. 3. Gamerman, D. (1997), Markov Chain Monte Carlo, Chapman & Hall, London. Gelman, A., Carlin, J.B., Stern H.S., dan Rubin D.B. (1995), Bayesian Data Analysis, 2nd Edition, Chapman and Hall, London.
19
Gilks, W.R., Richardson, S. dan Spiegelhalter, D.J. (1995), Introducing Markov Chain Monte Carlo, Chapman & Hall, London. Hamilton, J.D. dan Susmel, R. (1994), Autoregressive Conditional Heterokedasticity and Change in Regime, Journal of Econometrics, Vol. 64, Pp. 307-333. Hadiyat, M.A. (2007), Pemodelan Markov Switching GARCH (Penerapan pada Return Indeks Dowjones), Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya. Iriawan, N. (2000), Computationally Intensive Approaches to Inference in Neo-Normal Linier Models, Thesis Ph.D., CUT-Australia. Iriawan, N. (2001), Studi tentang Bayesian Mixture Normal dengan Menggunakan Metode MCMC, Laporan penelitian: Lemlit ITS, Surabaya. Iriawan, N. (2002), Studi Tentang Model Mixtures Regresi Linear, Pendekatan Markov Chain Monte Carlo (MCMC), Natural Journal, 249-256. Karadag, M.A. (2008), Analysis of Turkey Stock Market With Markov Switching Regimes Volatility Models, Thesis Master of Science, The Middle East Technical University. Kauffmann, S. dan Fruhwirth-Schnatter, S. (2002), Bayesian Analysis of Switching ARCH Models, Journal of Time Series Analysis, Vol. 23, No. 4, pp 425-458. Kaufmann, S. dan Scheicher, M. (2006), A Switching ARCH Model for the German DAX Index, Studies in Nonlinier Dynamics & Econometrics, Vol. 10, Issue 4. Koop, G. (2003), Bayesian Econometric, John Wiley & Sons, Chicester England. Koop, G., Poitier D.J. dan Tobias, J.L. (2007), Bayesian Econometrics Methods, Cambridge University Press, New York. Niggli, M. dan Musy, A. (2005), A Bayesian combination method of flood models: Principles and application results, Agricultural Water Management Journal, Vol: 7, pp. 110-127. Ntzoufras, I. (2009), Bayesian Modelling Using WinBugs, John Wiley & Sons, New Jersey. Perlin, M. (2011), MS Regress-The Matlab Package for Markov Regime Switching Models, Working Paper, ICMA Centre Reading University (UK) and Escola Administracao, Federal University of Rio Grande do Sul (Brazil). Rachev, S.T., Hsu, J.S.J. , Bagasheva, B.S., dan Fabozzi, F.J. (2008), Bayesian Methods In Finance, John Wiley & Sons, New Jersey. Sugiyanto, C. (1994), Ekonomi Uang dan Bank, Diktat Mata Kuliah Ekonomi uang dan Bank, Penerbit Gunadarma, Yogyakarta. Tong, H. 1978. On a Threshold Model. In Pattern Recognition and Signal Processing, edited by C. H. Chen. Amsterdam: Kluwer. Widarjono, A. (2002), Aplikasi Model ARCH Kasus Tingkat Inflasi di Indonesia, Jurnal Ekonomi Pembangunan, Vol.7 No.2. Yoo, B.H. (2005), Bayesian Financial and Macroeconomic Analysis, Dissertation of Doctor, The Graduate Scholl New Brunswick Rudgers The State University of New Jersey.
20
