PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

TESIS

Oleh

HORAS NAINGGOLAN 067021017/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

HORAS NAINGGOLAN 067021017/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN : Horas Nainggolan : 067021017 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Direktur

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 6 Juni 2008


Telah diuji pada : Tanggal 6 Juni 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua

:

Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota

:

Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Opim Salim Sitompul, MIkom,Ph.D Drs. Open Darnius, M.Sc


ABSTRAK Deret waktu musiman adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu peristiwa atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu dicatat secara teliti menurut urutan-urutan waktu terjadi. Deret waktu musiman mempunyai karakteristik yang ditunjukkan oleh adanya korelasi beruntun yang kuat pada jarak semusim, yakni waktu yang berkaitan dengan observasi pada tiap periode musim. Pemodelan dan peramalan memegang peranan sangat penting dalam suatu perencanaan dan dalam peramalan, penentuan metode yang tepat sangat diperlukan agar peramalan menjadi efektif dengan tingkat kesalahan sekecil mungkin. Selanjutnya tesis ini menyajikan peramalan dengan Metode Winters dan model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Kata Kunci : Pemodelan, Deret waktu musiman, Metode Winters, ARIMA

i Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

ABSTRACT Time series seasonal is an observation to an event or variabel that recorded in time series carefully based on the sequences of events. The time series seasonal has a characteristics that show by a strong correlation on a seasonal distance, i.e the time related to the observation on seasonal period. Modeling and estimation has an important role in planning and in estimation, determining an accurate method that needed for the effective estimation with the lower error. This thesis describes estimation based on Winters method and ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Keyword : Modelling, Time Series Seasonal, Winters Method, ARIMA

ii Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

KATA PENGANTAR Dengan rendah hati, penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas anugerah dan berkatNya yang telah dilimpahkan sehingga penulis dapat menyelelesaikan tesis dengan judul: ”PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN”. Tesis ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Studi Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sedalamdalamnya kepada: Prof. Dr. Chaeruddin P. Lubis, DTM&H, Sp. Ak., selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Prof.

Dr.

Ir.

T. Chairun Nisa, selaku Direktur Program Pascasarjana

Universitas Sumatera Utara Prof.

Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister

Matematika Program Pascasarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini. Dr.Sutarman, M.Sc selaku dosen pembimbing I, yang telah memberi motivasi dan yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini. Dr.Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing II dan juga sebagai Sekretaris Program Studi Magister Matematika Program Pascasarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah memberi motivasi dan yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini.

iii Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

Seluruh Staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika Program Pascasarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmunya selama perkuliahan. Isteriku tercinta Asnawita Siahaan dan Ananda Jesica Priscillia, Wichita Ghekesia, Cynthia Triyuni dan Andreas Stevan tersayang dan Ibunda yang telah memberikan dukungan, semangat dan doa kepada penulis. Rekan-rekan mahasiswa satu angkatan yang selalu bekerjasama dan saling mendukung selama perkuliahan. Akhir kata penulis berharap bahwa tulisan ini bermanfaat, terutama kepada penulis maupun para pembaca serta semua pihak yang berhubungan dengannya. Kiranya Tuhanlah yang memberikan berkat kepada kita semua dan semoga tesis ini dapat berguna di masa-masa yang akan datang.

Medan, 20 Juni 2008 Penulis,

Horas Nainggolan

iv Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Horas Nainggolan lahir pada tanggal 19 Juni 1965 di Desa Hutanauli, Kecamatan Dolok Masihul, Kabupaten Serdang Bedagai, Propinsi Sumatera Utara, anak ke-5 dari 7 bersaudara, nama ayah Hannas Nainggolan (+) dan ibu Tiomsi Siahaan. Tamat dari Sekolah Dasar tahun 1979 dan melanjutkan pendidikan ke SMP Katolik Cinta Kasih Tebing Tinggi dan tamat tahun 1982. Pada tahun 1985 tamat dari SMA Negeri 1 Tebing Tinggi kemudian melanjutkan pendidikan ke IKIP Negeri Medan Program D3 Jurusan Matematika dan tamat tahun 1988. Pada tahun 1994 melanjutkan pendidikan lagi di IKIP Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Jurusan Matematika tahun 1996. Pada saat ini penulis sedang mengikuti pendidikan dalam Program Studi Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Penulis memulai sebagai Propesi guru tahun 1988 dan menjadi PNS pada tahun1989 di SMA Negeri Sianjur Mula-mula, kemudian pada tahun 1991 pindah tugas ke SMA Negeri 12 Medan, dan mulai tahun 2000 penulis dipercayakan menjabat Wakil Kepala Sekolah sebagai tugas tambahan sampai sekarang. Penulis telah menikah pada tahun 1991 dan memiliki seorang istri bernama Asnawita Siahaan, S.Pd dan Tuhan mengaruniakan empat anak yang bernama Jesica Priscillia Nainggolan, Wichita Ghekesia Nainggolan, Cynthia Triyuni Nainggolan dan Andreas Stevan Nainggolan.

v Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

DAFTAR ISI

Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Kontribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

vi Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

1.5 Metodologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORITIS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1 Metode Perataan (Average) . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.1 Nilai Rata-rata (Mean) . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.2 Single Moving Average . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Metode Winters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3 Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) .

14

3.3.1 Model Random : ARIMA (0, 0, 0)

. . . . . . . . .

15

3.3.2 Model Random, yang Tidak Stasioner : ARIMA (0, 1, 0)

15

3.3.3 Model Autoregresif Stasioner Berorde Satu : ARIMA (1, 0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3.4 Model Moving Average stasioner Berorde satu : ARIMA (0, 0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.3.5 Model Campuran Sederhana : ARIMA (1, 0, 1) . . .

17

3.3.6 Kombinasi-Kombinasi yang Berorde lebih tinggi : ARIMA (p, d, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.4 Model ARIMA Musiman . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.4.1 Proses MA Musiman . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.4.2 Proses AR Musiman . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.5 Model ARIMA Musiman Multiplikatif . . . . . . . . . . .

20

3.5.1 Proses ARIMA (0,0,1) (0,0,1)12 atau MA (1) (1)12 . .

20

3.5.2 Proses ARIMA (0,0,1) (1,0,0)12 . . . . . . . . . . .

21

3.6 Model ARIMA Musiman Tidak Stasioner . . . . . . . . .

22

vii Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

3.7 Ketepatan Metode Peramalan . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.7.1 Ukuran Statistik Standar . . . . . . . . . . . . . .

23

3.7.2 Ukuran-ukuran Relatif . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.7.3 Statistik-U dari Theil . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.7.4 Statistik dari McLaughlin . . . . . . . . . . . . . .

25

BAB 4 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN 26 4.1 Pemulusan dan Peramalan dengan Metode Winters

. . . .

26

4.2 Peramalan dengan Model ARIMA . . . . . . . . . . . . .

29

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

viii Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

3.1

Hubungan Waktu, Moving Average dan Ramalan . . . . . . .

13

4.1

Data Penjualan Kuartalan

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.2

Aplikasi Pemulusan Eksponensial Linear dan Musiman dari Winters pada Data Musiman dari Tabel 4.1 . . . . . . . . . . . .

28

4.3

Data Penjualan Barang (Dalam Ribuan Franc)

31

4.4

Data Penjualan Barang dan Nilai Kesalahan Sesudah Pencocokan Model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)12 Menggunakan Algorima Marquardt

ix Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

. . . . . . . .

32

DAFTAR GAMBAR

Nomor 4.1

Judul

Halaman

Grafik dari Data Penjualan Kuartalan . . . . . . . . . . . .

x Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

27

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Salah satu ciri kehidupan modern sekarang ini adalah bahwa seseorang dipaksa untuk selalu meramalkan (forecasting) apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang dan membuat rencana sesuai dengan kejadian-kejadian yang diramalkan. Suatu ramalan yang baik sudah pasti bukanlah ramalan yang didasarkan atas spekulasi yang tidak beralasan, melainkan melalui suatu perkiraan berdasarkan atas tingkah laku dari gejala yang sudah ada dan diamati secara berulang-ulang. Misalkan perkembangan jumlah penduduk tidak mungkin diperhitungkan dan diramalkan berdasarkan renungan semata-mata. Hanya dengan pengamatan yang berulang-ulanglah perkembangan penduduk itu dapat diperhitungkan dan diramalkan dengan teliti. Seringkali terdapat waktu senjang (time lag) antara kesadaran akan peristiwa atau kebutuhan mendatang dengan peristiwa itu sendiri. Adanya waktu tenggang ini merupakan alasan yang utama bagi perencanaan (planning) dan peramalan (forecasting). Jika waktu tenggang nol atau sangat kecil maka perencanaan tidak diperlukan, tetapi sebaliknya jika waktu tenggang itu panjang dan hasil akhir dari suatu peristiwa tergantung pada faktor-faktor yang dapat diketahui maka perencanaan dapat memegang peranan yang sangat penting. Dalam situasi yang seperti ini maka peramalan diperlukan untuk mengetahui kapan suatu kejadian akan terjadi sehingga tindakan yang lebih baik dapat dilakukan. Dalam hal manajemen dan administrasi, perencanaan merupakan kebutuhan yang sa1 Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

2 ngat penting, karena waktu tenggang untuk mengambil keputusan dapat berkisar dari beberapa tahun, beberapa hari atau mungkin beberapa jam saja. Peramalan merupakan alat bantu yang sangat penting dalam perencanaan yang efektif dan efisien. Dengan mengetahui dan mempelajari berbagai cara peramalan, maka akan diketahui bahwa tidak ada satu cara peramalan yang lebih baik, masing-masing mempunyai keunggulan dan kelemahan (there is seldom one single superior method). Apa yang baik untuk suatu perusahaan dengan kondisi tertentu mungkin justru tidak memperoleh hasil yang baik untuk perusahaan yang lain dan sebaliknya. Terdapat banyak fenomena yang saat ini hasilnya atau terjadinya sesuatu itu dapat diramalkan dengan mudah dan tepat. Misalnya terbitnya matahari, awal timbulnya kelaparan, terjadinya musim hujan atau musim kemarau dan peristiwaperistiwa lain yang dapat diramalkan meskipun hal itu tidak selalu terjadi yang demikian. Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi telah meningkatkan pengertian mengenai berbagai aspek lingkungan dan akibatnya banyak peristiwa yang dapat diramalkan. Beberapa teknik peramalan telah dikembangkan (Makridakis et.al, 1999). Tehnik tersebut dibagi kedalam dua kategori utama, yaitu metode kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif dapat dibagi kedalam deret waktu dan metode kausal. Dalam model deret waktu, pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel atau kesalahan masa lalu, sedangkan model kausal mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Bilamana data yang diperlukan tersedia, suatu hubungan peramalan dapat dihipotesiskan baik sebagai fungsi dari waktu atau sebagai fungsi dari variable bebas, kemudian diuji (Tae-Hwy, 2007). Langkah penting dalam memiliki suatu


3 metode deret waktu yang lebih baik adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data. Pola data dibedakan menjadi empat jenis:

1. Pola horizontal terjadi bilamana nilai data berfluktuasi di sekitar nilai ratarata yang konstan. 2. Pola musiman terjadi bilamana suatu deret di pengaruhi oleh faktor musiman. 3. Pola siklis terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis. 4. Pola trend terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data.

Deret waktu musiman adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu peristiwa atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu, dicatat secara teliti menurut urutan-urutan waktu terjadi, dan disusun sebagai data statistik. Dari suatu rangkaian waktu akan dapat diketahui apakah peristiwa yang diamati itu berkembang mengikuti pola-pola perkembangan yang teratur atau tidak, seandainya suatu rangkaian itu menunjukkan pola yang teratur, maka dapat dibuat ramalan yang cukup kuat mengenai perilaku gejala yang dicatat, dan atas ramalan inilah didapat rencana-rencana yang dapat dipertanggung jawabkan. Peramalan deret waktu sangat dibutuhkan dalam pengambilan keputusan pada masa-masa yang datang.


4 1.2 Permasalahan Di dalam fenomena kehidupan ekonomi dan kemasyarakatan sering dijumpai problem dalam bentuk deret waktu musiman. Untuk mengetahui keadaan ataupun perkembangan fenomena itu maka perencanaan (planning) dapat memegang peranan yang sangat penting. Dalam hal ini perlu dilakukan pemodelan dan peramalan pada deret waktu yang diperoleh agar dalam perencanaan lebih efektif dan efesien.

1.3 Tujuan Tujuan penelitian ini adalah mengadakan tinjauan pemodelan dan peramalan deret waktu musiman.

1.4 Kontribusi Penelitian ini diharapkan memberikan sumbangan teoritis terhadap suatu lembaga ataupun terhadap secara individu yang melaksanakan perencanaan suatu kegiatan.

1.5 Metodologi Metode penelitian yang digunakan dalam pembahasan tesis ini adalah menggunakan metode literatur yang bersifat penjelasan dan uraian. Adapun langkahlangkah yang dilakukan adalah:


5 1. Pemulusan data dengan model Winters dan model ARIMA. 2. Peramalan data dengan model Winters dan model ARIMA


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Deret waktu adalah himpunan data hasil pengamatan Xt yang diamati pada suatu waktu spesifik t. Jika pengamatan deret Xt untuk himpunan waktu T0 = {1, 2, 3, . . . , n} dan peramalan deret t = n + 1, n + 2, . . . maka Xt disebut deret waktu diskrit. Sedangkan jika deret tersebut dicatat secara kontinu atas suatu interval waktu T0 = [0, 1] maka Xt disebut deret waktu kontinu, (Brockwell dan Davis, 1996). Problem musiman seringkali dijumpai dalam fenomena kehidupan seharihari. Musiman berarti kecendrungan mengulangi pola tingkah gerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk data bulanan. Karena itu, deret waktu musiman mempunyai karakteristik yang ditunjukkan oleh adanya korelasi beruntun yang kuat pada jarak semusim (Cryer, 1986). Metode peramalan deret waktu adalah metode peramalan yang menggunakan deret waktu (time series) sebagai dasar peramalan. Dalam bidang perencanaan pengendalian produksi, fungsi peramalan permintaan memegang peranan penting, khususnya industri yang sistem produksinya mengacu pada Eropa dan Amerika. Langkah pertama dalam peramalan deret waktu adalah penentuan pola data yang diperlukan untuk menentukan metode peramalan yang sesuai. Ada empat pola data yaitu pola trend, musiman, siklis dan horizontal. Keempat pola ini belum cukup untuk menentukan metode yang tepat agar peramalan menjadi efektif dengan tingkat kesalahan sekecil mungkin. (Baroto, 2003).

6 Horas Nainggolan: Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman, 2008. USU e-Repository © 2008

7 Peramalan (forecaseting) adalah bagian yang integral dari kegiatan pengambilan keputusan manejemen (Arsham, 1994). Organisasi selalu menentukan sasaran dan tujuan, berusaha menduga faktor-faktor lingkungan, kemudian memilih tindakan yang diharapkan akan menghasilkan pencapaian sasaran dan tujuan tersebut. Kebutuhan akan peramalan meningkat sejalan dengan usaha pihak manajemen untuk mengurangi ketergantungan pada hal-hal yan belum pasti. Peramalan menjadi lebih ilmiah sifatnya dalam menghadapi lingkungan manajemen, karena setiap organisasi berkaitan antara yang satu dengan yang lainnya, baik buruknya peramalan dapat mempengaruhi seluruh bagian dari organisai atau perusahaan. Beberapa bagian organisasi dimana peramalan kini memainkan peranan yang sangat penting adalah:

1. Penjadwalan sumber daya yang tersedia 2. Penyediaan sumber daya tambahan 3. Penentuan sumber daya yang diinginkan.

Dengan adanya serangkaian kebutuhan itu, maka organisasi atau perusahaan perlu mengembangkan pendekatan berganda untuk menduga peristiwa atau kejadian yang tidak tentu dan membangun suatu sistem peramalan. Suatu sistem peramalan harus mempunyai hubungan diantara ramalan-ramalan yang dibuat dengan bidang manajemen yang lain. Jika peramalan ingin berhasil maka harus diperhatikan adanya saling ketergantungan yang tinggi diantara ramalan berbagai divisi atau departemen. Secara umum analisis deret waktu menurut (Chatfield, 2001) mempunyai beberapa tujuan, yaitu peramalan, pemodelan, dan kontrol. Peramalan berkaitan


8 dengan problem pembentukan model dan metode yang dapat digunakan untuk menghasilkan suatu ramalan yang akurat. Pemodelan bertujuan mendapatkan suatu model statistik yang sesuai dalam merepresentasikan perilaku jangka panjang suatu data deret waktu. Perbedaan pemodelan dengan peramalan adalah peramalan lebih cenderung pada suatu model yang ”black-box” untuk mendapatkan ramalan, sedangkan pemodelan cenderung pada model yang dapat diinterpretasikan untuk menjelaskan apa yang sedang terjadi berkaitan dengan hubungan antar variabel pada suatu data deret waktu. Sedangkan tujuan untuk kontrol banyak digunakan dalam bidang teknik, (Tae-Woong dan Juan, 2003). Sebagian besar penelitian terfokus pada model deret waktu, khususnya kelas model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). (Box dan Jenkins, 1997) mengembangkan suatu prosedur yang lengkap untuk metodologi model ARIMA yang sampai sekarang digunakan sebagai prosedur standar dalam pembentukan model deret waktu. Beberapa literatur yang banyak membahas model ARIMA ini dapat dilihat pada [(Cryer, 1986), (Wei, 1990) dan (Bowerman dan OConnell, 1993)]. Selain itu, sifat-sifat yang berkaitan dengan teori statistik untuk model ARIMA juga telah banyak dianalisis dan dikembangkan oleh beberapa peneliti, antara lain telah dilakukan oleh (Brockwell dan Davis, 1996). Langkah pertama dalam analisis deret waktu adalah membuat grafik dari pada data deret waktu. Langkah ini akan menunjukkan adanya trend, adanya kelakuan musiman (seasonal) regular dan gambaran-gambaran sistematis lainnya dari data. Hal ini perlu diidentifikasi agar kelakuan-kelakuan tersebut tidak terbawa kedalam model matematika. Sebuah grafik lainnya yang bermanfaat untuk melihat kemencengan atau kesimetrisan data adalah histogram sederhana.


9 Banyak model deret waktu yang menghendaki data yang mempunyai histogram simetris. Sehingga diperlukan transformasi data untuk membuatnya mendekati simetris (Cryer, 1986). Seringkali bermanfaat untuk menghitung beberapa statistik dari deret waktu antara lain mean dan deviasi standar yang sangat bermanfaat untuk pengukuran lokasi dan penyebaran data dan koefisien kemencengan histogram data. Kemencengan negatif mengidentifikasikan histogram menjurai ke kiri dan kemencengan positif mengindikasikan histogram menjurai ke kanan. Statistik-statistik tersebut dihitung dengan rumus sebagai berikut:

Nilai rata-rata (Mean) X ¯ = 1 Xi X n

(2.1)

Nilai Tengah Deviasi Absolute (Mean Absolute Deviation) MAD =

1X ¯ |Xi − X| n

(2.2)

Jumlah Deviasi Kuadrat (Sum of Squared Deviation) SS =

X

¯ )2 (Xi − X

(2.3)

Nilai tengah Deviasi Kuadrat (mean Squared Deviation) MS =

1X ¯ 2 (Xi − X) n

(2.4)

Varians S2 = Deviasi Standar S=

1 X ¯ )2 (Xi − X n−1

r

1 X ¯ )2 (Xi − X n−1


(2.5)

(2.6)

10 Jadi, bila suatu deret waktu dibangkitkan oleh suatu proses konstanta yang mengandung kesalahan random, maka nilai tengah merupakan statistik yang bermanfaat dan dapat dipakai sebagai ramalan bentuk periode mendatang. Dalam hal keperluan data hanya dua angka yang perlu disimpan, yaitu nilai tengah yang terakhir dan jumlah periode data yang dipakai untuk menghitung nilai tengah tersebut. Walaupun demikian, jika deret waktu tersebut ada pengaruh musiman, maka rata-rata sederhana tidak lagi dapat menggambarkan pola data tersebut (Makridakis et. al, 1999). Bila dijumpai dua ukuran yang berpasangan, maka tingkat hubungan antara dua ukuran itu perlu untuk diperiksa. Statistik yang menunjukkan bagaimana dua variabel berbeda-bersama disebut dengan kovarian dan dinyatakan sebagai berikut: CovXY =

1 X ¯ )(Yi − Y¯ ) (Xi − X n−1

(2.7)

Koefisien korelasi antara X dan Y dinyatakan dengan r, merupakan ukuran kovarians khusus yang memperhatikan masalah skala tersebut, ditulis sebagai berikut:

P ¯ i − Y¯ ) (Xi − X)(Y CovXY p = pP R= ¯ 2 (Yi − Y¯ )2 SX SY (Xi − X)


(2.8)

BAB 3 LANDASAN TEORITIS

3.1 Metode Perataan (Average) Untuk semua kasus, perataan tujuannya adalah memanfaatkan data masa lalu untuk mengembangkan suatu sistem peramalan pada periode mendatang (Makridakis, 1983). Ada beberapa cara untuk perataan data histories masa lalu antara lain:

3.1.1 Nilai Rata-rata (Mean) Diberikan sekumpulan data yang meliputi N periode waktu terakhir: X1 , X2 , X3 , . . . , XN −1 , XN dan ditentukan T titik data pertama sebagai kelompok inisialisasi dan sisanya sebagai kelompok pengujian. Kelompok insialisasi: X1 , X2 , . . . , XT Kelompok Pengujian: XT +1 , . . . , XN Metode rata-rata sederhana adalah mengambil rata-rata semua data dalam kelompok inisialisasi tersebut. ¯ = X

T X Xi i=1

T

= FT +1

(3.1)

Sebagai ramalan untuk periode (T + 1). Kemudian bilamana data periode (T + 1) tersedia, maka dimungkinkan untuk menghitung nilai kesalahannya: ET +1 = XT +1 − FT +1

(3.2) 11


12 Untuk periode (T + 2) keadaannya adalah: Kelompok inisialisasi: X1 , X2 , . . . , XT , XT +1 Kelompok pengujian: XT +2 , . . . , XN Dalam kelompok data histories masa lalu terdapat satu lagi, titik data, sehingga nilai rata-ratanya yang baru adalah: ¯ = X

T +1 X i=1

Xi = FT +2 (T + 1)

(3.3)

dan unsur kesalahan yang baru, jika XT +2 telah tersedia, ET +2 = XT +2 − FT +2

(3.4)

3.1.2 Single Moving Average Single Moving Average salah satu cara untuk mengubah pengaruh data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai ramalan adalah dengan menentukan sejak awal berapa jumlah nilai observasi masa lalu yang akan dimasukkan untuk menghitung nilai tengah. Untuk menggambarkan prosedur ini digunakan istilah rata-rata bergerak (moving average) karena setiap muncul nilai observasi yang terbaru. Rata-rata bergerak ini kemudian akan menjadi ramalan untuk periode mendatang. Diberikan N titik data dan diputuskan untuk menggunakan T observasi pada setiap rata-rata yang disebut dengan rata-rata bergerak T , atau MA(T ), sehingga keadaannya adalah sebagai berikut: Kelompok inisialisasi : X1 , X2 , . . . , XT . Kelompok pengujian : XT +1 , XT +2 , . . . , XN . Jumlah periode (T ) harus dipilih dengan memperhatikan beberapa aspek sebagi berikut:


13 Tabel 3.1 : Hubungan Waktu, Moving Average dan Ramalan Waktu T T +1 T +2

Moving Average ¯ = X

X1 +X2 +···+XT T

Ramalan T P ¯ = FT +1 = X

¯ = X

X2 +X3 +···+XT +1 T

¯ = FT +2 = X

i=1 TP +1

¯ = X

X3 +X4 +···+XT +2 T

¯ = FT +3 = X

i=2 TP +2 i=1

Xi T Xi T Xi T

Dan seterusnya MA (1), yaitu moving average dengan orde 1, nilai data terakhir diketahui. ¯ T ). (XT ) digunakan ramalan untuk periode berikutnya (FT +1 = X MA (4), untuk data kuartalan, moving average empat periode secara efektif mengeluarkan pengaruh musiman.

3.2 Metode Winters Metode Winters didasarkan atas tiga persamaan pemulusan, yaitu satu untuk stasioner, satu untuk trend, dan satu untuk musiman. Persamaan dasar untuk metode Winters adalah sebagai berikut:

1. Pemulusan keseluruhan St = α

Xt + (1 − α)(St−1 + bt−1 ) It−l

(3.5)

2. Pemulusan Trend Bt = γ(St − St−1 + (1 − γ)bt−1

(3.6)

3. Pemulusan musiman It = β

Xt + (1 − β)It−L St


(3.7)

14 4. Ramalan Ft+m = (St + btm)It−1+m

(3.8)

Dimana L adalah panjang musiman, b adalah komponen trend, I adalah faktor penyesuaian musiman, dan Ft+m adalah ramalan untuk m periode ke muka. Persamaan (3.7) dapat dibandingkan indeks musiman yang merupakan rasio antara nilai sekarang dari deret data Xt , dibagi dengan nilai permulusan tunggal yang sekarang untuk deret data tersebut St . Jika Xt lebih besar dari pada St , maka rasio tersebut akan lebih besar dari pada 1, sedangkan jika Xt lebih kecil daripada St , maka rasio itu akan lebih kecil dari pada 1. Perlu dipahami pada metode ini bahwa St merupakan nilai pemulusan (rata-rata) dari deret data yang tidak termasuk unsur musiman. Untuk menghaluskan kerandoman Xt , persamaan (3.7) membobot faktor musiman yang dihitung paling akhir dengan β dan angka musiman paling akhir pada musim yang sama dengan (1 − β). Faktor musiman sebelumnya dihitung pada periode T − L, karena L adalah panjang musiman.

3.3 Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) Metode pemulusan tidak boleh digunakan sembarang, akan tetapi karakteristik data deret waktu harus ditetapkan agar dapat dipilih metode pemulusan yang tepat. Tahap yang sama juga perlu dilakukan untuk mendahului penggunaan model ARIMA. Penetapan karakteristik data deret waktu seperti stasioner dan musiman memerlukan suatu pendekatan yang sistematis dan akan menolong untuk mendapatkan gambaran yang jelas mengenai model-model dasar yanag akan ditangani (Makridakis et. al., 1999).


15 3.3.1 Model Random : ARIMA (0, 0, 0) Persamaan (3.9) merupakan model random sederhana dimana nilai pengamatan Yt terbentuk dari 2 bagian yaitu nilai dengan µ dan komponen kesalahan random et , yang bersifat independent dari waktu ke waktu. Model ARIMA (0, 0, 0), ditulis dalam persamaan: Yt = µ + et

(3.9)

Model ini diklasifikasikan sebagai ARIMA (0,0,0) karena tidak terdapat aspek AR (Yt tidak tergantung pada Yt−1 ), tidak terdapat pembedaan, dan tidak dijumpai dengan proses MA (Yt tidak tergantung pada et−1 )

3.3.2 Model Random, yang Tidak Stasioner : ARIMA (0, 1, 0) Pada persamaan (3.10), nilai Yt bergantung pada Yt−1 Model ARIMA (0, 1,0), ditulis dalam persamaan: Yt = φ1Yt−1 − et

(3.10)

Apabila koefisien Yt−1 bernilai satu, persamaan (3.10) dapat ditulis seperti persamaan (3.11) yang memperlihatkan bahwa pembedaan pertama series Yt adalah model random. Yt − Yt−1 = et

(3.11)

Untuk memudahkan, biasanya (Yt − Yt−1 ) ini ditetapkan sebagai Wt , yaitu deret pembedaan pertama, sehingga dapat dibicarakan mengenai Wt sebagai deret yang stasioner, sedangkan Yt adalah non stasioner. Konsep stasioneritas ini dapat digambarkan secara praktis (non statistic) sebagai berikut:


16 1. Apabila suatu data deret waktu diplot dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu, maka dikatakan bahwa deret data tersebut stasioner pada nilai nilai tengahnya. 2. Apabila plot deret waktu tidak memperlihatkan adanya perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan series data tersebut adalah stasioner pada variannya. 3. Apabila plot deret waktu memperlihatkan nilai tengahnya menyimpang dari waktu ke waktu, maka series data ini mempunyai nilai rata-rata yang tidak stasioner. 4. Apabila plot deret waktu memperlihatkan nilai tengahnya menyimpang dari waktu ke waktu variannya tidak konstan setiap waktu, maka deret data ini mempunyai nilai tengah dan varian tidak stasioner.

3.3.3 Model Autoregresif Stasioner Berorde Satu : ARIMA (1, 0, 0) Persamaan (3.12) memperlihatkan bentukj dasar model AR (1) atau secara umum disebut ARIMA (1,0,0). Nilai pengamatan yang bergantung pada Yt−1 , sedangkan nilai koefisien auto regresif φ1 mempunyai nilai terbatas antara -1 dan +1. Model ARIMA (1, 0, 0), ditulis dalam persamaan: Yt = φ1Yt−1 + µ0 + et


(3.12)

17 3.3.4 Model Moving Average stasioner Berorde satu : ARIMA (0, 0,1) Persamaan (3.13) memperlihatkan model MA (1) atau secara umum ditulis ARIMA (0, 0, 1). Nilai pengamatan Yt bergantung pada nilai kesalahan et dan juga kesalahan sebelumnya et−1 , dengan koefisien −θ1. Model ARIMA (0, 0, 1), ditulis dalam persamaan: Yt = µ + et − θ1et−1

(3.13)

Nilai koefisien θ1 juga mempunyai daerah terbatas antara −1 dan +1

3.3.5 Model Campuran Sederhana : ARIMA (1, 0, 1) Unsur dasar dari proses-proses AR dan MA dapat dikombinasikan untuk menghasilkan berbagai macam model campuran. Model ARIMA (1, 0, 1), ditulis dalam persamaan: Yt = Φ1 Yt−1 + µ0 + et − θ1 et−1

(3.14)

Disini, Yt tergantung pada suatu nilai sebelumnya yaitu Yt−1 dan satu nilai kesalahan sebelumnya, et−1. Deret data tersebut diasumsikan stasioner pada nilai tengah dan variannya.

3.3.6 Kombinasi-Kombinasi yang Berorde lebih tinggi : ARIMA (p, d, q) Tampak jelas bahwa variasi model ARIMA tidak terbatas jumlahnya. Model umum yang mencakup seluruh kasus yang disebut diatas dan masih banyak lagi yang lain, dikenal sebagai ARIMA (p, d, q)


18

AR : p

= Orde dari proses autoregresif

I:d

= Tingkat perbedaan

MA : q

= Orde dari proses moving average

3.4 Model ARIMA Musiman 3.4.1 Proses MA Musiman Bentuk umum dari proses moving average musiman periode S tingkat Q atau MA (Q)S didefinisikan sebagai: Zt = αt − Θ1 αt−s − Θ2 αt−2s − · · · − Θ1 αt−Qs

(3.15)

Dimana αt adalah independent yang berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian σa2. Persamaan (3.15) ini dapat juga ditulis dalam bentuk. Zt = Θ(B)αt

(3.16)

Dengan Θ(B) = 1 − Θ1B s − Θ2 B 2s − · · · − ΘQ B QS yang dikenal operator MA (Q)S . Sebagai contoh dari model-model MA(Q)S akan dijelaskan model MA(1)12. Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model MA (1)12 jika {Zt } mengikuti model Zt = at − Θ1 at−12

(3.17)

Jelaslah bahwa mean Zt , yaitu E(Zt ) = 0 dan untuk semua k E(Zt Zt−k ) = E[(αt − Θ1αt−12 )(αt−k − Θ1 αt−12−k )]

(3.18)

Dalam hal ini E(ZZt−k ) = 0 untuk k 6= 12, yang berarti proses tidak mempunyai korelasi diluar lag 12.


19 Sebagai ringkasan, untuk suatu series yang mengikuti proses MA (1)12, maka γ0 = var(Zt) = σa2 (1 + Θ21 ) γ12 = −Θ1 σa2 ρ12 =

−Θ1 1 + Θ21

dan γk = ρk = 0 untuk k 6= 12

3.4.2 Proses AR Musiman Bentuk umum dari proses autoregresif musiman periode S tingkat P atau AR (P )S didefinisikan sebagai: Zt = Θ1 Zt−s + Θ2 Zt−2s + · · · + ΘpZt−P S + α0t

(3.19)

Dimana αt adalah independent dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians σa2 . Persamaan (3.19) ini dapat juga ditulis dalam bentuk: Φ(B)Zt = αt

(3.20)

dengan Φ(B) = 1 − Φ1 B S − Φ2 B QS yang dikenal sebagai operator AR (P )S . Sebagai contoh model AR (P )S akan dijelaskan model AR (1)12 yakni : Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model AR (1)12 jika {Zt } mengikuti model: Zt = Φ1 Zt−12 + αt

(3.21)

Dimana E(Zt ) = 0, untuk semua k diperoleh E(Zt Zt−k ) = E[(Φ1Zt−12 + αt )(α1 Zt−12 + αt−k )] Dengan membagi persamaan (3.22) dengan γ0 akan didapatkan ρk = Φ1 ρk−12 , untuk k ≥ 1


(3.22)

20 Jelaslah bahwa: ρ12 = Φ1 ρ0 dan ρ22 = Φ1 ρ12 = Φ21

(3.23)

Sehingga secara umum akan diperoleh ρ12k = Φk1 untuk k = 1, 2, . . .

(3.24)

Selanjutnya, untuk k = 1 dan k = 11 dan dengan menggunakan ρk = −ρk akan memberikan ρ1 = Φ1 ρ11 dan ρ11 = Φ1 ρ1 yang berimplikasi bahwa ρ1 = ρ11 = 0. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa ρk = 0 untuk k selain lag-lag musiman 12, 24, 36, . . . atau secara umum lag s, 2s, 3s, . . . untuk AR (1)s .

3.5 Model ARIMA Musiman Multiplikatif 3.5.1 Proses ARIMA (0,0,1) (0,0,1)12 atau MA (1) (1)12 Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model MA (1) (1)12 jika {Zt } mengikuti model : Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1 B 12)αt

(3.25)

Zt = αt − θ1αt−12 − Θ1αt−12 + θ1 Θ1αt−12

(3.26)

Atau dapat ditulis

Secara teoritik fungsi autokorelasi dari model ini akan bernilai tidak sama dengan nol hanya pada lag 1, 11, 12 dan 13 seperti ringkasan pada berikut ini: γ0 = (1 + θ12) (1 − Θ21 )σα2 ρ1 =

−θ1 1 + θ12


(3.27) (3.28)

21

ρ11 = ρ13 =

θ1 Θ1 (1 + θ12 )(1 + Θ21)

(3.29)

Dan ρ12 =

−Θ1 1 + Θ21

(3.30)

3.5.2 Proses ARIMA (0,0,1) (1,0,0)12 Model ARIMA (0,0,1) (1,0,0)12 dari suatu proses {Zt } didefinisikan (1 − Φ1 B 12)Zt = (1 − θ1 B)αt

(3.31)

Zt = Φ1 Zt−12 + αt − Θ1 αt−1

(3.32)

atau dapat juga ditulis

Dengan menggunakan teknik-teknik standar seperti bagian sebelumnya dapat diperoleh γ = Φγ1 − θ1σα2

(3.33)

γk = Φ1 γk−12, untuk k ≥ 2

(3.34)

dan

Melalui perhitungan seperti sebelumnya akan diperoleh (1−θ12 ) 2 σ (1−Φ21 ) α

(3.35)

Φk1 , k = 1, 2, . . .

(3.36)

γ0 = ρ12k =

θ1 k ρ12k−1 = ρ12k+1 = − (1+θ 2 ) Φ1 , k = 1, 2, . . . 1

dan 0 untuk lag-lag yang lainnya.


(3.37)

22 3.6 Model ARIMA Musiman Tidak Stasioner Dalam bagian ini akan diberikan ilustrasi tentang proses musiman yang tidak stasioner. Secara umum bentuk model ARIMA Box-Jenkins Musiman atau ARIMA (p, d, q)(P, Q, D)s adalah: φP (B)φP (B S )(1 − B)d(1 − B S )D Zt = θq (B)θQ(B S )at

(3.38)

dimana

p, d, q

= order AR, MA dan Differencing Non-musiman,

P, D, Q

= order AR, MA dan Differencing Musiman,

φP (B)

= (1 − φ1B − φ2B 2 − · · · − φP B P S )

φP (B S )

= (1 − φ1B S − φ2 B 2S − · · · − φP B P S )

(1 − B)d = order differencing Non-musiman, (1 − B S )D = order differencing Musiman, θq (B)

= (1 − θ1B − θ2B 2 − · · · − θq B q ),

θQ (B S )

= (1 − θ1B S − θ2B 2S − · · · − θQB QS ),

Zt

= Zt − µ.

Sebagai contoh, jika {Z} mengikuti model ARIMA (0,1,1) (0,0,1)12, maka dengan matematika {Z4 } mengikuti (1 − B)1 Zt = (1 − θ1B)(1−1 Θ1 B)αt

(3.39)

Zt = Zt−1 + αt θ1αt−1 − Θ1 αt−12 + θ1Θ1 αt−13

(3.40)

atau dapat ditulis


23 3.7 Ketepatan Metode Peramalan Perlu diperhatikan kesesuaian suatu metode peramalan yang digunakan untuk suatu kumpulan data yang diberkan. Berikut ini berbagai ukuran ketepatan peramalan (atau pemodelan) akan didefinisikan.

3.7.1 Ukuran Statistik Standar Jika Xi merupakan data aktual untuk periode i dan Fi merupakan ramalan untuk periode yang sama, maka kesalahan didefisikan sebagai ei = Xi − Fi Jika terdapat nilai pengamatan dan ramalan untuk n periode waktu, maka akan terdapat n buah kesalahan dan ukuran statistik standar berikut dapat didefinisikan. Nilai tengah kesalahan (mean error) ME =

n X

ei /n

(3.41)

i=1

Nilai tengah kesalahan absolut (mean absolut error) MAE =

n X

|ei |/n

(3.42)

i=1

Jumlah kuadrat kesalahan (sum of squared error) SSE =

n X

e2i

(3.43)

i=1

Nilai tengah kesalahan kuadrat (mean squared error) MSE =

n X

e2i /n

i=1


(3.44)

24 Deviasi standar kesalahan (standard deviation of error) qX e2i /n SDE =

(3.45)

Dalam peramalan perlu melihat dengan baik semua ukuran di atas secara rutin, dan juga untuk mengetahui keterbatasannya masing-masing. Misalnya ukuran MSE dan SSE mempunyai dua kelemahan. Pertama, ukuran ini menunjukan pencocokan suatu model terhadap data historis. Perbandingan nilai MSE yang terjadi selama fese pencocokan peramalan mungkin memberikan sedikit indikasi ketepatan model dalam peramalan. Kekurangan kedua pada MSE, sebagai ukuran ketepatan model adalah berhubungan dengan kenyataan bahwa metode yang berbeda akan menggunakan prosedur yang berbeda pula dalam fase pencocokan. Penggunaan ukuran MSE ini tidak memudahkan perbandingan antar deret waktu yang berbeda dan untuk selang waktu yang berlainan, karena MSE merupakan unsur absolut.

3.7.2 Ukuran-ukuran Relatif Karena keterbatasan MSE sebagai ukuran ketepatan peramalan, maka diperlukan ukuran-ukuran alternatif, yang diantaranya menyangkut kesalahan persentase. Berikut ini ada tiga ukuran relatif, yaitu : Kesalahan persentase (percentace error) Xt − Ft (100) PEt = Xt

(3.46)

Nilai tengah kesalahan persentase (mean percentace error) MPE =

n X P Ei i=1


n

(3.47)

25 Nilai tengah kesalahan persentase absolut (mean absolute percentace error) MAPE =

X |P Ei | n

(3.48)

3.7.3 Statistik-U dari Theil Karakteristik positif yang ditimbulkan dalam menggunakan statistik-U yang dikembangkan oleh Theil (1966) sebagai ukuran ketepatan adalah mengenai interpretasi yang intuitif. Secara matematis, statistik-U dari Theil didefinisikan sebagai berikut :

v u n−1 u P Fi+1 −Xi+1 2 u Xi u i=1 u n−1 t P Xi+1 −Xi 2 i=1

(3.49)

Xi

3.7.4 Statistik dari McLaughlin Alternatif ukuran ketepatan untuk statistik-U dan merupakan ukuran yang konsepnya sangat mirip dengan statistik dari McLaughlin. McLaughlin menyebutkan ukuran ketepatanya sebagai rata-rata batting. Rata-rata batting dari McLaughlin sebenarnya dapat diperoleh dari statistik-U dengan cara mengurangi nilai tersebut dengan 4 dan mengalikan hasilnya dengan 100.


BAB 4 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

4.1 Pemulusan dan Peramalan dengan Metode Winters Untuk melakukan peramalan suatu deret waktu pada data musiman terlebih dahulu menentukan metode mana yang akan digunakan, diantaranya dapat digunakan metode pemulusan tren dan musiman dari Winters. Metode Winters didasarkan tiga persamaan pemulusan (telah diuraikan pada Bab III), yaitu sebagai berikut:

1. Untuk pemulusan tren: bt = γ(St − St−1) + (1 − γ)bt−1 2. Untuk pemulusan musiman: It = β

Xt (1 − β)It−L St

3. Untuk pemulusan keseluruhan: St = α

Xt + (1 − α)(St−1 + bt−1) It−L

Dimana b = komponen tren, I = faktor penyesuaian muman, dan L = panjang musiman. Untuk ramalan m periode ke depan dapat dihitung dengan persamaan berikut: Ft+m = (St + btm)It−L+m


27 Sebagai contoh, untuk menerapkan metode pemulusan tren dan musiman dapat digunakan data musiman pada Tabel 4.1. Data ini merupakan data ekspor kuartalan suatu perusahaan dari tahun 1970 sampai dengan 1975 dan data tersebut diplot pada Gambar 4.1, (Makridakis et.al, 1999).

Tabel 4.1 : Data Penjualan Kuartalan

Gambar 4.1 : Grafik dari Data Penjualan Kuartalan


28 Dengan nilai-nilai parameter α = 0, 2; β = 0, 05 dan γ = 0, 1, maka nilai ramalan dan nilai pemulusan yang berkaitan dengan data musiman pada Tabel 4.1, dapat ditunjukkan pada Tabel 4.2 berikut:

Tabel 4.2 : Aplikasi Pemulusan Eksponensial Linear dan Musiman dari Winters pada Data Musiman dari Tabel 4.1


29 Dalam metode ini, perhitungan yang dilakukan untuk periode 24 adalah sebagai berikut: X24 + 0, 8(S23 + b23) I20 661 + 0, 8(726, 41 + 17, 17) = 0, 2 0, 89

S24 = 0, 2

= 741, 82 B24 = 0, 1(S24 − S23 ) + 0, 9b23 = 0, 1(741, 82 − 726, 41) + 0, 9(17, 17) = 17, 00 X24 0, 95I20 S24 661 + 0, 95(0, 89) = 0, 05 741, 82

I24 = 0, 05

= 0, 89 F24 = [S23 + b23(1)]I20 = (726, 41 + 17, 17)0, 89 = 668, 94 Ramalan untuk periode 25, 26, 27, dan 28 akan menjadi: F25 = [741, 82 + 17, 00(1)](0, 96) = 728, 94 F26 = [741, 82 + 17, 00(2)](1, 02) = 793, 00 F27 = [741, 82 + 17, 00(3)](1, 14) = 908, 70 F28 = [741, 82 + 17, 00(4)](0, 89) = 728, 18 4.2 Peramalan dengan Model ARIMA Notasi ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) dapat diperluas untuk manangani aspek musiman, notasi umum yang disingkat adalah: ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s


30 Dimana p, d, q P, D, Q S

= = =

bagian yang tidak musiman dari model bagian musiman dari model jumlah periode per musim

Model ARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1)12 dapat dinyatakan sebagai berikut: (1 − B)(1 − B 12)Xt = (1 − θ1 B)(1 − Θ1B 12et

(4.1)

Agar dapat menggunakan suatu model yang ditentukan untuk peramalan, dilakukan pengembangan persamaan (4.1) menjadi Xt = Xt−1 + Xt−12 − Xt−13 + et − θ1 et−1 − Θ1 et−12 + θ1Θ1 et−13

(4.2)

Untuk meramalkan 1 periode ke depan , yaitu Xt+1 maka persamaan (4.1) menjadi Xt+1 = Xt + Xt−11 − Xt−12 + et+1 − θ1 et − Θ1 et−11 + θ1Θ1 et−12

(4.3)

Nilai et+1 tidak akan diketahui karena nilai yang diharapkan untuk kesalahan random pada masa yang akan datang ditetapkan sama dengan 0. Untuk nilai- nilai X, pada awal proses paramalan diketahui Xt , Xt−1 dan Xt−12 akan tetapi nilai X pada persamaan (4.3) akan berupa nilai ramalan (forecasted value), bukan nilai masa lalu yang telah diketahui. Data musiman pada Tabel (4.3) adalah data penjualan barang di suatu perusahaan bulanan antara tahun 1963 sampai 1972 yang dapat dipakai untuk menggambarkan aplikasi model ARIMA. Dan Tabel (4.4) merupakan hasil yang diperoleh sesudah iterasi terakhir dari algoritma Marquardt (Makridakis et.al, 1999). Model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)12 disesuaikan dan digunakan untuk peramalan dua belas bulan ke depan. Dengan nilai koefisien optimum baru θ = 0, 864 dan


31

Tabel 4.3 : Data Penjualan Barang (Dalam Ribuan Franc)


32

Tabel 4.4 : Data Penjualan Barang dan Nilai Kesalahan Sesudah Pencocokan Model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)12 Menggunakan Algorima Marquardt


33 Θ = 0, 803, sehingga model ini dapat ditulis sebagai berikut: Xt = Xt−1 + Xt−12 − Xt−13 + et − 0, 864et−1 − 0, 803et−12 + 0, 694et−13

(4.4)

Untuk meramalkan periode ke-109, persamaan (4.4) ditulis menjadi: X109 = X108 + X97 − X96 + e109 − 0, 864e108 − 0, 803e97 + 0, 684e96 Dengan nilai-nilai yang telah diketahui dari Tabel (4.4) peramalan untuk periode 109 dapat dihitung sebagai berikut: X109 = 880, 00+895, 22807, 99+00, 864(18, 99)0, 803(58, 62)+0, 694(−26, 63) = 885, 28


BAB 5 KESIMPULAN

Dari hasil penelitian yang dilakukan pada tesis ini penulis mengambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk data deret waktu musiman pemodelan dan peramalan dapat digunakan metode pemulusan tren dan musiman dari Winters, dengan berdasarkan tiga persamaan pemulusan sebagai berikut: Untuk pemulusan tren: bt = γ(St − St−1) + (1 − γ)bt−1 Untuk pemulusan musiman: It = β

Xt (1 − β)It−L St

Untuk pemulusan keseluruhan: St = α

Xt + (1 − α)(St−1 + bt−1) It−L

Dan juga dapat digunakan model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s 2. Dalam menggunakan metode Winters untuk menentukan nilai parameter α, β dan γ sangat sulit.


DAFTAR PUSTAKA

Arsham, H., 1994, Time Critical Decision Making For Business Administration, American Journal of Small Business. Baroto, T., 2003, Penentuan Karakteristik Pola Data Yang Sesuai Untuk Metode Peramalan Time Series Tertentu, Heritage From JIPTUMM. Bowerman, B.L and OConnell, R.T., 1993, Forecasting and Time Series an Introduction, John Wiley & Sons, New York. Box, G.E.P and Jenkins, G.M., 1997, Time Series Analysis : Forecasting and Control. Holden-Day, San Fransisco. Brockwell, P.J and Davis, R.A., 1996, Introduction to Time Series and Forecasting, Spinger-Verlag New York. Chatfield, C.,2001. Time Series Forecasting. Chapman & Hall, London. Cryer, J.D., 1986, Time Series Analysis, Duxbury Press, Boston. Makridakis, S., Wheelwright, S.C and Victor, E.M., 1999, Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta. Gelora Aksara Pratama Tae-Hwy, L., 2007, Loss Functions in Time Series Forecasting, Department of Economics University of California. Tae-Woong, K. And Juan, B., 2003, A Nonlinear Model For Drought Forecasting Based on Conjunction of Wavalet Transforms and Newral Networks, Journal of Hydrologic Engineering Wei, W.W.S., 1990. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Publishing Co., USA.


PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

Recommend Documents