PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK

PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK

TESIS

Oleh ROBINSON SITEPU 067021009/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh ROBINSON SITEPU 067021009/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK : Robinson Sitepu : 067021009 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Direktur

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., M.Sc)

Tanggal lulus: 16 Juli 2008


Telah diuji pada Tanggal 16 Juli 2008

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

:

Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota

:

Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Opim Salim Situmpul, M.Ikom, PhD Drs. Open Darnius Sembiring, M.Sc


ABSTRAK Pada tesis ini penulis mengajukan suatu metode untuk memodelkan dan meramalkan deret waktu musiman. Tidak seperti metode tradisional yang hanya bergantung sepenuhnya pada model dinamik, dalam tesis ini diajukan suatu metode yang mengkombinasikan pemodelan dinamik setokastik dengan analisis filter bank yang dirancang untuk mengurangi dimensionalitas dan untuk menggali komponen yang ada untuk peramalan jangka panjang yang dapat dipercaya. Filter bank mengubah (decomposes) deret waktu menjadi komponen-komponen musiman dan hanya komponen tersebut yang coherent melalui periode yang terpilih untuk pemodelan dan peramalan selanjutnya. Percobaan yang dilakukan menunjukkan bahwa menurut kondisi tertentu yang tepat, penggunaan komponen coherent yang tepat tidak hanya mengurangi kompleksitas pemodelan dan jumlah data percobaan yang diperlukan tetapi juga membatasi dampak perubahan berkala dan juga gangguan (noise) dalam data percobaan sedemikian sehingga memberikan ramalan robust dengan variabilitas yang berkurang. Kata Kunci: Pemodelan, Peramalan, Deret Waktu Musiman, Filter Bank

i Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

ABSTRACT This paper proposes a method for modeling and forecasting seasonal time series. Unlike the traditional method that depends solely on dynamic models, here we propose method that combines stochastic dynamic modeling with an analysis filter bank designed to reduce dimensionality and to extract persistent components for reliable long-term forecasting. The filter bank decomposes the time series of interest into seasonal components and only those components that are highly coherent across the periods are selected for subsequent modeling and forecasting. Experiments show that under suitable conditions, the use of highly coherent components not only reduce the modeling complexity and the required amount of training data but also limits the impact of noise and occasional corruption in the training data in such a way provides robust forecast with reduced variability. Keyword: Modelling, Forecasting, Seasonal Time Series, Filter Bank

ii Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

KATA PENGANTAR Puji dan syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, Pengasih dan Penyayang atas berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan baik melalui bimbingan, arahan dan bantuan yang diberikan berbagai pihak khususnya pembimbing, pembanding, para dosen dan rekan-rekan mahasiswa, khususnya mahasiswa program studi Magister Matematika dan pengelola Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Tesis dengan judul : ”Pemodelan dan Peramalan Deret Waktu Musiman dengan Pendekatan Filter Bank” adalah merupakan tugas akhir dan syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Rektor Universitas Sriwijaya dan jajarannya yang telah memberikan izin dan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti pendidikan lanjutan pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Ketua PHK A2 beserta staf jurusan Matematika FMIPA UNSRI yang telah memberikan bantuan moril dan material serta beasiswa sehingga penulis dapat melanjutkan pendidikan lanjutan dan menyelesaikannya. Prof. Dr. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.AK selaku Rektor Universitas Sumatera Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., M.Sc selaku Direktur Sekolah Prascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah bersedia menerima penulis sebagai mahasiswa Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Mateiii Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

matika. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara dengan penuh kesabaran memotivasi, memberikan dukungan moril, kritik dan saran serta memberikan bahan-bahan yang berkaitan dengan penyusunan tesis ini sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan baik. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai anggota komisi pembimbing dengan penuh kesabaran membimbing, memotivasi, memberikan dukungan moril, kritik dan saran sehingga penulisan tesis ini dapat dirampungkan. Dr. Sutarman, M.Sc sebagai ketua komisi pembimbing berkat bimbingan, saran dan bantuannya kepada penulis sehinggapenulisan tesis ini dapat diselesaikan. Drs. Opim Salim Sitompul, M.Ikom., PhD dan Drs. Open Darnius Sembiring, M.Sc sebagai pembanding yang telah memberikan saran, masukan dan arahan yang baik untuk kesempurnaan penulisan tesis ini Seluruh staf pengajar dan administrasi Program Studi Magister MAtematika yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis selama menikuti perkuliahan. Orang tua tercinta P.T. Sitepu (Alm), S. Br Tarigan, Kakak dan adikadikku serta semua keluarga yang senantiasa mendoakan, memberikan dorongan dan melayani dengan penuh kasih, sabar serta memberikan pengorbanan selama penulis mengikuti perkuliahan.

iv Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

Istri tercinta R Mulyani Br Purba, yang ditinggal jauh di Palembang, selalu mendoakan, memberikan dorongan dengan kasih dan sabar serta berkorban menggantikan tugas-tugas keluarga serta membimbing anak-anak, selama penulis mengikuti perkuliahan di Medan, sekali lagi terima kasih. Anak-anakku tersayang, Irene Widya Florentine Sitepu mahasiswa Ankutansi Fakultas Ekonomi Universitas Sriwijaya Palembang dan Christian Damar Sagara Sitepu siswa SMA Negeri I Palembang, yang juga tinggal di Palembang yang selalu mendoakan, memberikan dorongan, motivasi pada saatnya nanti anakanakku juga dapat menenmpuh pendidikan yang lebih tinggi, sehingga berguna bagi keluarga, Agama, Nusa dan Bangsa. Rekan-rekan di FMIPA USU Medan, khususnya Departemen Matematika dan FMIPA UNSRI Palembang khususnya jurusan Matematika yang telah banyak membantu penulis selama mengikuti perkuliahan. Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu dalam tesis ini, terima kasih atas semua bantuan yang diberikan. Kecil besarnya bantuan yang diberikan turut menghantarkan penulis untuk menyelesaikan pendidikan yang ditempuh selama ini. Dengan segala kekurangan dan kerendahan hati, semoga kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala bantuan, kebaikan yang telah diberikan.

Medan, Juli 2008 Penulis,

Robinson Sitepu

v Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Robinso Sitepu dilahirkan di Beganding Kecamatan Simpang Empat Kabupaten Karo pada tanggal 1 Desember 1958 dan merupakan anak ke tiga dari sembilan bersaudara, dari Ayah PT. Sitepu (Alm) dan Ibu S. Br Tarigan. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Negeri Beganding Kabupaten Karo tamat pada tahun 1971, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Katolik Kabanjahe Kabupaten Karo tamat pada tahun 1974 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) LPSK Bandung Kodya Bandung tamat pada tahun 1977. Pada tahun 1977 memasuki perguruan Tinggi Negeri FMIPA Univeristas Padjadjaran Bandung jurusan Statistik dan memperoleh gelas sarjana Statistik tahun 1984. Pada tahun 1985 sampai sekarang menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebagai staf pengajar (Dosen) pada Juruusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya Palembang Propinsi Sumatera Selatan. Pada tanggal 30 Juli 1988 menikah dengan R. Mulyani Br. Purba dan telah dikaruniai dua orang anak, yaitu Irene Widya Florentine Sitepu dan Christian Damar Sagala Sitepu. Tahun 2006 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana USU Medan.

vi Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR ISI

Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Kontribusi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

BAB 3 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN 10 3.1 Model ARIMA Musiman . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.1 Proses MA musiman . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.2 Proses AR Musiman . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Model ARIMA Musiman Multiplikatif . . . . . . . . . . .

13

3.2.1 Proses ARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1)12 atau MA(1)(1)12 . . .

13

vii Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

3.2.2 Proses ARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)12 . . . . . . . . . . .

14

3.3 Model ARIMA Musiman tidak Stasioner . . . . . . . . . .

15

BAB 4 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK . . . . . . . .

16

4.1 Dekomposisi dengan Filter Bank

. . . . . . . . . . . . .

16

4.2 Pemodelan dengan Gelombang (Waveform) Coherent . . . .

18

4.2.1 Definisi Gelombang (Waveform) Coherent . . . . . .

18

4.2.2 Model Deret Waktu Musiman . . . . . . . . . . . .

19

4.2.3 Deteksi Gelombang (Waveform) High-Coherent

. . .

21

4.3 Pemodelan Parametrik . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.4 Peramalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

viii Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Salah satu dari ciri kehidupan sekarang ini adalah bahwa seseorang dipaksa untuk selalu meramalkan (forecasting) apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang dan membuat rencana yang sesuai dengan kejadian-kejadian yang diramalkan. Suatu ramalan yang baik sudah pasti bukanlah ramalan yang didasarkan atas spekulasi yang tidak beralasan, melainkan melalui perkiraan berdasarkan atas tingkah laku dari gejala yang sudah ada dan diamati secara berulang-ulang. Misalnya pertambahan jumlah penduduk tidak mungkin diperhitungkan dan diramalkan berdasarkan renungan semata-mata. Dengan pengamatan yang berulangulang pertambahan penduduk dapat diperhitungkan dan diramalkan dengan tepat dan teliti, atau perusahaan manufaktur mungkin disetiap akhir tahun perlu meramalkan permintaan produknya perbulan untuk beberapa tahun berikutnya untuk menjamin adanya bagian tertentu yang cukup tersedia dari supplier. Peramalan adalah bagian integral dari kegiatan pengambilan keputusan managemen. Organisasi selalu menentukan sasaran dan tujuan, berusaha menduga faktor-faktor lingkungan, kemudian memilih tindakan yang diharapkan akan menghasilkan pencapaian sasaran dan tujuan. Kebutuhan akan peramalan meningkat sejalan dengan usaha pihak managemen untuk mengurangi ketergantungan pada hal-hal yang belum pasti dan menjadi lebih ilmiah sifatnya dalam lingkungan managemen, karena setiap bagian dari organisasi berkaitan antara 1 Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

2

yang satu dengan yang lainnya. Baik buruknya peramalan dapat mempengaruhi seluruh bagian dari organisasi atau perusahaan. Beberapa teknik peramalan yang telah dikembangkan (Makridakis, el.at., 1982). Teknik tersebut dibagi kedalam dua katagori utama, yaitu metode kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif dapat dibagi kedalam deret waktu dan metode kausal. Model deret waktu, pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel, sedangkan metode kausal mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Permasalahan musiman sering dijumpai dalam fenomena kehidupan sehari. Musinan berarti kecenderungan mengulangi pola tingkah gerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk data bulanan. Oleh sebab itu, deret waktu musiman mempunyai karateristik yang ditunjukan oleh adanya korelasi beruntun yang kuat pada jarak musiman (Cryer, 1986). Periodeksitas merupakan fenomena yang sering muncul dalam deret waktu bidang ekonomi, bisnis, dan fisika (Dehay dan Hurd, 1994; Franses, 1996). Apa yang disebut deret waktu periodek atau musiman pada kenyataannya tidaklah derterministik, karena periodeksitas ini tidak secara sempurna berulang dari satu periode ke periode berikutnya. Umumnya terdapat keragaman acak pada periode tersebut. Dalam tesis ini ramalan dalam bentuk deret waktu musiman dengan adanya keragaman (bukan yang deterministik yang dibahas). Istilah musiman merupakan istilah yang general yang menyajikan setiap periodeksitas tertentu (misalnya, 24 jam, 12 bulan, dan 52 minggu). Peramalan jangka pan-


3

jang dari deret waktu musiman banyak muncul dalam pemakaian, seperti perencanaan strategi bisnis. Misalnya pada akhir dari setiap minggu suatu bandara ingin meramalkan aliran penumpang setiap jamnya pada suatu gate tertentu untuk beberapa minggu yang akan datang sehingga memenuhi permintaan terhadap pelayanan (misalnya, jumlah personil) keamanan. Suatu perusahaan manufaktur, pada akhir setiap tahun perlu meramalkan permintaan bulanan dari produknya, untuk beberapa tahun kedepan sehingga mengamankan ketersediaan bahan baku. Peramalan yang handal hingga horizon waktu jangka panjang merupakan perhatian utama dalam tesis ini. Terdapat banyak cara yang mungkin untuk memodelkan yang bentuknya (bukan musiman yang konstan), yang tergantung pada bagaimana pola musiman diandaikan. Model yang banyak dipakai untuk perubahan musiman dapat dikatagorikan dalam dua katagori, yaitu model dengan musiman akar unit (unit root) dan model dengan parameter tergantung musim (season dependent). Dalam katagori pertama, model seasonal outoregressive integrated moving average (SARIMA), yang dikembangkan oleh Box dan Jenkins (Box et.al. 1994) merupakan model yang paling populer dan telah banyak dipakai sebagai acuan dalam berbagai studi perbandingan tentang peramalan (Funke, 1990; Kulendran dan King, 1997; Novals dan de Fruto, 1997). Dalam model ini, pola musiman dalam satu periode diandaikan berulang dalam periode berikutnya hanya dengan satu pertubasi acak tambahan. Walaupun efektif, kelemahan SARIMA adalah kurangnya kemampuan untuk menghasilkan peramalan jangka panjang yang handal karena pengandaian model tipe random-walk. Katagori kedua model periodek


4

outogressive moving average (ARMA) dimana parameter ARMA diperbolehkan untuk bervariansi dengan musim yang bukan konstan. Model ini dapat direfrentasi sebagai ARMA multivariate tertentu untuk vektor musiman. Ramalan terdiri dari rata-rata musiman ditambah suku yang ditentukan oleh sifat outokorelasi dari deret waktu disetiap periode. Kelemahannya terdapat sejumlah besar variabel dalam vektor musiman. Karena itu perlu metode untuk mereduksi dimensi. Ide dasarnya ialah menguraikan pola musiman menjadi komponen yang berbeda dan mengatur komponen musiman penting terhadap objektif ramalan. Diajukan apa yang disebut filtering (menyaring) parameter dengan memakai filter Bank. Model-model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) atau SARIMA diterapkan untuk analisis deret waktu, peramalan dan pengendalian. Modelmodel ARIMA merupakan proses kombinasi dari ARMA, yaitu AR (Autoregresif) dan MA (Moving Average). Dengan kata lain, jika x(m) menyatakan vektor musiman pada tahun ke m, maka model SARIMA mengasumsikan bahwa x(m) = x(m − 1) + ε(m), dimana ε(m) merupakan proses acak stasioner ratarata nol (ARMA). Tipe random-walk musiman juga diasumsikan dengan model keadaan ruang (Kitagawa dan Gersch, 1996). Pendekatan multivariate lengkap (full) sangat fleksibel dan serbaguna, tetapi mempunyai kelemahan dalam situasi dimana sejumlah besar variable termuat dalam vektor musiman. Sebagai contoh, model dimensi 52 akan membutuhkan pengamatan mingguan bila periode tahunan yang diamati. Dalam situasi seperti ini, model ARMA multivariate lengkap akan melibatkan vektor-vektor dan matriks-matriks berdimensi besar, dan dengan demikian kompleksitas, pemodelan


5

dan perhitungan menjadi terlalu susah dikerjakan. Taksiran yang dipercaya untuk sejumlah besar parameter juga akan membutuhkan data percobaan dalam jumlah yang sangat besar dan mungkin tidak selalu ada tersedia. Dalam memodelkan deret waktu yang kompleks, perlu dikembangakan teknik penurunan dimensi tertentu. Salah satu pendekatan penurunan dimensi adalah dengan menggunakan struktur tertentu pada parameter-parameter model dengan menggunakan periodesitas (Bloomild et.al, 1994), pemodelan himpunan bagian (Lutkepohl, 1993) dan Prior Bayes (Litterman, 1986 dan Lutkepohl, 1993). Filtering dengan filter bank dapat diartikan sebagai memproyeksikan input deret waktu ke himpunan fungsi basis yang direpresentasikan oleh denyet respon saringan. Jika fungsi basis, misalnya berbentuk sinus dan cosinus, maka proyeksinya secara tunggal menentukan input deret waktu. Apabila filter diterapkan pada setiap vektor musiman dari deret waktu musiman, proyeksi hasil dapat dipandang sebagai bentuk gelombang yang bergelombang dari suatu periode ke periode berikutnya. Untuk proses SARIMA yang umum, fungsi peramalan jangka panjang bergantung pada pola musiman individual paling akhir dalam data percobaan, dan peramalan terdiri atas pertambahan periodik pola dan komponen modifikasi aditif (pertambahan) yang cenderung sama dengan nol secara eksponensial secara cepat karena horizon bertambah besar. Akan tetapi, dengan adanya fluktuasi acak, pola musiman individual tidak hanya menduplikasi (berulang sendiri) dimasa mendatang tetapi juga berubah karena prilaku abnormal tak berkala pada data percobaan (misalnya outlier besar). Akibatnya, ramalan SARIMA dalam situasi ini bisa tidak handal, terutama bila horizon ramalan tidak singkat.


6

1.2 Perumusan Masalah Untuk peramalan jangka panjang yang handal perlu ditentukan pola yang lebih menetap, dengan mengajukan metodologi umum untuk memodelkan dan meramalkan deret waktu musiman.

1.3 Tujuan Penelitian Membentuk model untuk meramalkan deret waktu musiman dengan menggunakan pendekatan Filter Bank.

1.4 Kontribusi Penelitian Dengan diperolehnya metode untuk memodelkan dan meramalkan deret waktu musiman dengan menggunakan pendekatan Filter Bank, diharapkan memberikan sumbangan teoritis terhadap suatu lembaga ataupun terhadap individu yang melaksanakan perencanaan suatu kegiatan.

1.5 Metodologi Penelitian Metode penelitian yang digunakan adalah menggunakan metode literatur yang bersifat penjelasan dan uraian.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Metode peramalan deret waktu adalah metode peramalan yang menggunakan deret waktu sebagai dasar peramalan. Dalam bidang perencanaan pengendalian produksi, fungsi peramalan memegang peranan penting, khususnya dalam bidang industri. Langkah pertama dalam peramalan deret waktu adalah menentukan pola data yang diperlukan untuk menenukan metode peramalan yang sesuai. Ada empat pola dasar, yaitu pola trend, musiman, siklis dan horizontal. Keempat pola ini belum cukup untuk menentukan metode yang yepat agar peramalan dapat dipercaya dengan tingkat kesalahan sekecil mungkin. Deret waktu adalah himpunan nilai-nilai pengamatan Xt yang diamati pada waktu spesifik t. Jika pengamatan deret Xt untuk himpunan waktu T0 = {1, 2, 3, · · · , n} dan peramalan deret t = n + 1, n + 2, · · · , maka Xt disebut deret waktu diskrit, dan jika deret tersebut dicatat secara kontinu atas suatu interval waktu T0 = [0, 1] maka Xt disebut deret waktu kontinu (Brockwell and Davis, 1991). Langkah pertama dalam analisis deret waktu adalah membuat grafik. Langkah ini akan menunjukkan adanya trend, adanya kelakuan musiman (seasonal) reguler dan gambaran-gambaran sistematis lainnya dari data. Hal ini perlu diidentifikasi agar kelakuan-kelakuan data tidak terbawa kedalam model matematika. Bentuk grafik yang sederhana untuk melihat kemecengan atau kesemetrisan data adalah histogram. Banyak model, deret waktu yang menghendaki data yang mempunyai histogram simetris, sehingga diperlukan transformasi data yang mem7 Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

8

buatnya mendekati simetris (Cryer, 1986). Dalam suatu kegiatan (misalnya, kegiatan bisnis), ada sebuah kebutuhan untuk peramalan otomatis. Secara lengkap dengan memperhitungkan trend, musiman dan sifat-sifat lain dari data tanpa adanya campur tangan manusia. Dalam managemen sebagai contoh, ramalan akan permintaan didasarkan dalam sebuah dasar regular untuk setiap jumlah besaran dari rangkaian waktu, sehingga tingkat inventory dapat direncanakan untuk menyiapkan tingkat pelayanan yang dapat diterima pelanggan. Metode yang sering digunakan adalah metode pemulusan exponensial smoothing (Brown, 1959) atau prosur Box-Jenkins automatic (Libert, et.al., 1984) yang menggunakan teknik yang sangat rumit dan susah untuk dipahami dan juga tidak membicarakan masalah interval data. Metode exponensial smoothing sudah dipakai sejak tahun 1950, tetapi belum dikembangkan secara baik dalam rangka pemodelan yang berkaitan dengan modelmodel stokostik, perhitungan likelihood (kemungkinan), prediksi interval dan prosedur untuk pemilihan model. Beberapa langkah yang penting terhadap kerangka pemilihan model telah dikembangakan oleh (Gardner, 1985) dan (Ord et.al., 1997) dan penemuan awal dalam prosedur taksiran interval untuk metode exponensial smoothing ditunjukkan (Chaffield dan Yar, 1991), (Ord et.al., 1997) dan (Koeler et.al., 2001). Hasil penemuan (Brown, 1959) dan (Gardner, 1985) mengarahkan metode exponensial smoothing dalam peramalan otomatis (misal, yang dikerjakan oleh Stellwogen dan Goodrik, 1999). Namun demikian harus dibangun atau dikem-


9

bangkan class (jenis) yang lebih umum dari metode-metode dengan suatu pendekatan yang seragam (uniform) untuk memperhitungkan taksiran interval, kemungkinan perkiraan maksimum dan perhitungan eksak yang tepat dari kreteria pemilihan model Akaiks Information Creterion.


BAB 3 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN

Problem musiman seringkali di jumpai dalam fenomena kehidupan ekonomi dan masyarakat. Musiman berarti kecenderungan mengulangi pola tingkah gerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk data bulanan. Karena itu, deret waktu musiman mempunyai karakteristik yang ditunjukkan oleh adanya korelasi berurutan yang kuat pada jarak semusim (periode musim), yakni waktu yang berkaitan dengan banyak observasi pada periode musim. Beberapa contoh deret waktu musiman antara lain jumlah penumpang kapal terbang, jumlah turis yang datang, dan tingkat curah hujan di suatu kota. Banyak model yang dapat digunakan untuk menyelesaikan deret waktu musiman, salah satunya adalah dengan memasukkan variansi musiman dengan cara deterministik.

Misalnya, deret waktu musiman mungkin dimodelkan sebagai

fungsi waktu yang periodik ditambah komponen random. Kadang-kadang juga dengan menggunakan variabel dummy untuk mencerminkan efek tambahan yang berkaitan dengan bulan atau kuartal tertentu. Model-model peramalan untuk data deret waktu musiman yang dijelaskan pada bab ini sebagai landasan berpikir untuk melakukan penelitian, agar mempermudah hasil pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya. Adapun modelmodel peramalan untuk data deret waktu musiman mencakup : model ARIMA musiman, model ARIMA Musiman multiplikatif dan model ARIMA tidak stasioner.

10 Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

11

3.1 Model ARIMA Musiman

3.1.1 Proses MA musiman Bentuk umum dari proses MA (moving average) musiman untuk periode S tingkat Q atau MA(Q)S didefinisikan sebagai berikut : Zt = αt − Θ1 αt−s − Θ2 αt−2s − · · · − ΘQ αt−Qs

(3.1)

dimana αt adalah independent yang berdistribusi normal dengan rata-rata 0 variansi σa2 . Persamaan (3.1) dapat juga ditulis dalam bentuk Zt = Θ(B)αt

(3.2)

dengan Θ(B) = 1 − Θ1 (B)S − Θ2(B)2S − · · · − ΘQ (B)Q S yang dikenal sebagai operator dari MA(Q)S . Sebagai contoh dari model-model MA(Q)S akan diperlihakan MA(1)12. Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model MA(1)12, jika {Zt } mengikuti model Zt = at − Θat −12

(3.3)

Terlihat rata-rata Zt , yaitu E(Zt ) = 0 untuk semua k. Dengan demikian diperoleh: E(Zt , Zt−k ) = E [(αt − Θ1αt−12 )(αt−k − Θ1 αt−12−k )]

(3.4)

Dalam hal ini E(z, Zt − k) = 0 untuk k 6= 12, artinya proses tidak mempunyai korelasi diluar lag 12. Sebagai ringkasan, untuk suatu deret yang mengikuti proses MA(1)12, maka : γ0 = var (Zt) = α2a (1 + Θ21) γ12 = −Θ1σa2


12 −Θ1 1 + Θ21

ρ12 = dan

γk = ρk = 0 untuk k 6= 12

3.1.2 Proses AR Musiman Bentuk umum dari proses moving average musiman untuk periode S tingkat P atau AR(P )S didefinisikan sebagai berikut : Zt = Θ1 Zt−s + Θ2 Zt−2s + · · · + Θp Zt − P s + αt

(3.5)

dimana αt adalah independent yang berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi σa2. Persamaan (3.5) dapat juga ditulis dalam bentuk Θ(B)Zt = αt

(3.6)

dengan Θ(B) = 1−Θ1 (B)S −Θ2(B)QS yang dikenal sebagai operator dari AR(P )S . Sebagai contoh untuk model-model AR(P )S akan diperlihakan AR(1)12 yaitu Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model AR(1)12, jika {Zt } mengikuti model Zt = at Zt−12 + αt

(3.7)

dimana E(Zt ) = 0 untuk semua k. Dengan demikian diperoleh : E(Zt , Zt−k ) = E [(Θ1Zt−12 + αt )(Φ1 Zt−12−k + αt−k )]

(3.8)

Jika persamaan (3.8) dibagi dengan γ0 , maka diperoleh ρk = Φ1 ρk−12 , untuk k ≥ 1. Dengan demikian ρ12 = Φ1 ρ0 dan ρ24 = Φ1 ρ24 = Φ21


(3.9)

13

Sehingga secara umum diperoleh

ρ12k = Φk1 untuk k = 1, 2, · · ·

(3.10)

Selanjutnya, untuk k = 1 dan k = 11, dan dengan menggunakan ρk = −ρk akan memberikan ρ1 = Φ1 ρ11 dan ρ11 = Φ1 ρ1 yang berimplikasi bahwa ρ1 = ρ11 = 0. Dengan cara yang sama dapat pula ditunjukkan bahwa ρk = 0 untuk k selain lag-lag musiman 12, 24, 36, · · · atau secara umum lag s, 2s, 3s, · · · , untuk AR(1)S

3.2 Model ARIMA Musiman Multiplikatif

3.2.1 Proses ARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1)12 atau MA(1)(1)12 Suatu proses {Zt } dikatakan mengikuti model MA(1)(1)12 jika {Zt } mengikuti model : Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1 B12)αt

(3.11)

Persamaan (3.11) dapat juga ditulis dengan bentuk : Zt = αt − θ1αt−12 − Θ1αt−12 + θ1 Θ1αt−12

(3.12)

Secara teoritik fungsi autokorelasi dari model memberikan nilai tidak sama dengan nol untuk lag 1, 11, 12 dan 13 seperti yang diperlihatkan oleh : γ0 = (1 + θ12 )(1 − Θ21 )σα2 ρ1 = ρ1 1 = ρ1 3 =

−θ1 1 + θ12

θ1Θ1 (1 + θ12 )(1 + Θ21 )


(3.13) (3.14) (3.15)

14

dan ρ12 =

−Θ1 1 + Θ21

(3.16)

3.2.2 Proses ARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)12 Model ARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)12 dari suatu proses {Zt } didefinisikan (1 − Φ1 B 12)Zt = (1 − θ1 B)αt

(3.17)

Zt = Φ1 Zt−12 + αt − θ1αt−1

(3.18)

atau dapat juga ditulis

Dengan menggunakan teknik-teknik standar diperoleh γ = Θγ1 − θ1 σα2

(3.19)

γk = Φ1 γk−12 untuk k ≥ 2

(3.20)

dan

Melalui perhitungan seperti sebelumnya akan diperoleh γ0 =

(1 − θ12 ) 2 σ (1 − Φ21 ) α

ρ12k = Φk1 , k = 1, 2, · · · ρ12k−1 = ρ12k+1 = −

θ1 Φk , k = 0, 1, 2, · · · (1 + θ12 ) 1

dan 0 untuk lag-lag yang lainnya


(3.21) (3.22) (3.23)

15

3.3 Model ARIMA Musiman tidak Stasioner Dalam bagian ini diberikan ilustrasi tentang proses musiman yang tidak stasioner. Secara umum bentuk model ARIMA Box-Jenkins Musiman atau ARIMA (p, d, q)(P, Q, D)s adalah : ∅ρ (B)φp(B S )(1 − B)d(1 − B S )D Zt = θq (B)θQ(B S )αt

(3.24)

dimana : p, d, q P, D, Q φp (B) φp (B S ) (1 − B)d (1 − B S )D θq (B) θQ (B S ) Zt

= = = = = = = = =

order AR, MA dan differencing non-musiman, order AR, MA dan differencing musiman, (1 − φ1 B − φ2 B 2 − · · · − φp B p) (1 − θ1 B s − φ2B 2s − · · · − φpB ps ) order differencing non-musiman, differencing musiman, (1 − θ1 B − θ2 B 2 − · · · − θq B q ) (1 − θ − 1B S − θ2B 2S − · · · − θQ B QS ) Zt − µ

Sebagai contoh, jika {Z} mengikuti model ARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1)12 aturan matematika {Z4 } mengikuti (1 − B)1 Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1 B)αt

(3.25)

atau dapat juga ditulis dalam bentuk : Zt = Zt−1 + αt θ1αt−1 − Θ1 αt−12 + θ1Θ1 αt−13


(3.26)

BAB 4 PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK

4.1 Dekomposisi dengan Filter Bank Komponen pertama dari pendekatan yang diajukan adalah dekomposisi deret waktu musiman dengan menggunakan Filter Bank STFA (Statistical Time Frequency Analysis). Untuk penyederhanaan hanya difilter bank ortogonal, walaupun ortogonalitas tidak diperlukan sepanjang transformasi mempunyai invers (invrtible). Misalkan {x(t) = 0, ±1, ±2, · · · } adalah deret waktu (univariat). Andaikan bahwa {x(t)} diamati atas n periode dengan panjang p > 1 sehingga data yang ada dapat dinyatakan sebagai x(m) := [x(mp − 1), · · · , x(mp − p)]

T

(m = 1, · · · , n)

(4.1)

dimana x(m) adalah vektor musiman dengan priode ke-m. (Elemen pertama dari x(m) adalah pengamatan terbaru pada periode m). Misalkan wk := [wk (1), · · · , wk (p)]T (k = 1, · · · , p) adalah himpunan filter respon impuls-berhingga (FIR) ortonormal, yang memenuhi wjT wk =

   1 jika j = k

  0 jika j 6= k

Dengan x{x(t)} sebagai input, output dari filter wk dapat dinyatakan sebagai ξk (t) =

p X

wk(T )x(t − T ),

(k = 1, · · · , p)

(4.2)

T =1


17

Dengan mengambil subsampel output pada t = MP (yaitu, satu sampel per periode ) dihasilkan ξk (mp) :=

p X

wk(T )x(t − T ) = wkT x(m)

(4.3)

T =1

Jika sampel-sempel dikumpulkan melalui filter bank untuk membentuk vektor ξ(m) = [ξ1 (mp), · · · , ξp (mp)]T Maka dari (4.3) diperoleh ξ(m) = wx (m)

(4.4)

dimana W adalah matriks ortogonal yang didefenisikan oleh w = [w1 , · · · , wp]T

(4.5)

dengan demikian output filter bank ξ(m) merupakan transformasi orthogonal dari vektor data musiman x(m). perhatikan bahwa wk , yang juga dikenal sebagai filter analysis, merupakan vektor-vektor baris dari W . Karena W T W = 1, dapat di rekonstruksi x(m) dari ξ(m) menurut x(m) = W T ξ(m), rekonstruksi dapat diselesaikan dengan menggunakan filter bank synthesis, yang terdiri dari vektor-vektor kolom W , yaitu w(T ) = [wt (T ), · · · , wp (T )]T (Y = 1, · · · , p) yang juga orthonormal. Rekonstruksi dapat dinyatakan sebagai x(m) =

p X k=1

xk (m) =

p X

ξk (mp)wk

(4.6)

k=1

dimana xk (m) = ξk (m)Wk merupakan proyeksi dari x(m) pada Wk , dengan ξk (m) merupakan koefisien proyeksi. Persamaan (4.6) dapat ditafsirkan sebagai dekomposisi dari x(m) menjadi p proyeksi orthogonal xk (m), (k = 1, · · · , p). Dalam


18

dekomposisi ini, sifat-sifat intra-priode {x(t)} disandikan oleh filter menjadi koefisien proyksi dan variasi antar-priode dari {x(t)} ditransformasikan menjadi dinamik koefisien proyeksi.

4.2 Pemodelan dengan Gelombang (Waveform) Coherent Untuk setiap k tertentu, filter Wk dapat ditafsirkan sebagai bentuk gelombang pangkat tak hingga dengan indeks k menyatakan nomor gelombang. Menurut (4.6), vektor musiman x(m) merupakan superposisi p dari bentuk gelombang sedemikian yang memiliki koefisien, ξk (m), bervariasi secara acak dari satu periode ke periode lainnya, yang menghasilkan perubahan musiman.

4.2.1 Definisi Gelombang (Waveform) Coherent Bentuk gelombang komponen dari x(m) dapat diklasifikasikan kedalam tiga kategori menurut koefisien statistiknya ξk (mp). Selanjutnya, misalkan diasumsikan bahwa untuk setiap k, {ξk (mp)} merupakan proses stasioner orde ke dua dengan rata-rata µk dan variansi σk2 sedemikian sehingga n−1 Σnm=1 ξk (mp) → µk dan n−1 Σnm=1 {ξk (mp) → µk }2 → σk2 apabila n → ∞ secara pasti dalam keadaan probabilitas atau hampir.

Definisi 1 Dengan mengasumsikan µ2k + σk2 > 0 kekuatan dari gelombang ke-k dari x(m) didefenisikan sebagai γk :=

µ2k µ2k + σk2

(4.7)

Bentuk gelombang ke-k dari x(m) disebut (a) kuat secara lengkap γk = 1(b) tidak kuat jika γk = 0, (c) kuat parsial jika 0 < γk < 1. misalkan γk adalah taksiran


19

γk dari suatu sample berhingga. Maka, bentuk gelombang ke-k dari x(m) disebut sangat kuat atau high-C, jika γk > θ, di mana θ adalah ambang batas yang pemilihannya dibahas pada bagian c.

Karena µ2k + σk2 adalah momen kedua dari ξk (mp), kekuatan γk yang selalu diantara nol dan satu, dapat ditafsirkan sebagai pecahan dari variabilitas antarperioede ξk (mp) mendekati nol yang biasa disebutkan pada ξk (mp). Menurut defenisi, bentuk-gelombang yang tidak kuat tidak memiliki efek jangka panjang karena koefisien-koefisiennya mempunyai mean nol (µk = 1) dan dengan demikian tidak memiliki kemenetapan dalam jangka panjang. Di lain pihak, bentuk gelombang yang kuat secara lengkap akan menjadi deterministic dalam jangka panjang (σk2 = 0) dan sempurna untuk peramalan jangka panjang. Secara umumnya, bentuk gelombang High-C paling cocok untuk peramalan jangka panjang karena mempunyai efek selamanya (yaitu, rata-rata tidak nol) seiring berlanjutnya periode. Pengamatan ini menghasilkan ide baru tentang ekstraksi pola dan pengurangan dimensi : pemanfaatan bentuk gelombang High-C dalam pemodelan berikutnya.

4.2.2 Model Deret Waktu Musiman Misalkan C ⊂ {1, · · · , p} adalah himpunan indeks dari bentuk-bentuk gelombang High-C. Dalam pendekatan yang diajukan, diasumsikan bahwa deret waktu {x(t)} memenuhi syarat berikut : x(m) =

X k∈`

ξk (mp)wk +

X

ξk (mp)wk

(4.8)

k6∈`

dimana ξC (m) = vec {ξk (m)}, k ∈ C adalah proses acak stasioner multivari-


20

at yang selanjutnya akan dimodelkan, dan ξC (m) = vec {ξk (m), k 6∈ C adalah gangguan putih (white noise) {ξk (mp) − IID(0, σk2 ) dan tidak tergantung pada {ξk (m)}. Dalam model ini koefisien-koefisien proyeksi ξk (mp) diasumsikan stasioner atas periode-periode (yaitu, terhadap m) tetapi diperbolehkan nonstasioner dalam periode (yaitu, atas k). Karena koefisien-koefisien korelasi diperbolehkan, maka model pada (4.8) dapat dianggap sebagai generalisasi konsep proses yang dapat diharmoniskan dengan memasukkan fungsi-fungsi dasar non-sinusoidal dan koefisien-koefisien acak non-bebas (penambahan). Misalkan R(j) = [rkk , (j)] adalah fungsi autokovariansi (ACF) dari {ξk (m)}., dimana rkk = Cov{ξk ((m+j)p)}, {ξk (mp)}. Maka, berdasarkan (4.8), AFC dapat dinyatakan sebagai: C(t, t) = cov {(x(t), x(t)} = w(T )T R(m − m)w(T ) P 2 P rrkk (m − m)wk (T )wk (T ) + σk wk ()wk (T ), = k,k∈C

k∈C

dimana t = mp − T dan t = mp − T . Jelaslah C(t, t) adalah fungsi dari m − m, T dan T , tetapi tidak harus merupakan fungsi dari t − t = (m − m)p − (T − T ). Selanjutnya dapat dilihat bahwa E{x(t+p) = E{x(t)} dan C(t+p, t+p) = C(t, t) untuk sebarang t dan t. Proses acak dengan sifat ini disebut berkorelasi secara periodik, atau cyclostasioner (Gladyshev, 1961 ; Dehay dan Hurd, 1994). Secara umum deret waktu {x(t)} berkorelasi secara periodic jika dan hanya jika ξ(m) yang didefenisikan oleh (4.4) stasioner. Oleh karena dalam (4.8) menunjukkan proses cyclostasioner khusus: sebagai pengganti stasioner ξ(m), model ini memberikan struktur pada stasioneritas dimana himpunan bagian dari ξ(m) diasumsikan merupakan gangguan putih (white noise) dan tidak tergantung pada


21

yang lainnya. Model ini juga bias dipandang sebagai model regresi generalisasi dimana koefisien-koefisien berubah secara acak atas periode-periode dan suku error mempunyai struktur non-i.i.d yang khusus. Dengan asumsi-asumsi pada (4.8), bentuk gelombang non-High-C tidak memberikan kontribusi apapun pada kesimpulan statistik tentang bentuk gelombang High-C, dan demikian sebaliknya, karena {ξN (m)} dan {ξC (m)} saling bebas. Bentuk gelombang non-High-C juga tidak dapat diprediksi karena koefisien - koefisiennya bebas satu sama lainnya, baik atas-elemen (atas nomor gelombang) maupun atas periode. Oleh karena itu, dapat diabaikan dalam pemodelan selanjutnya. Ramalan terbaik atas ξk (mp) untuk k 6∈ C adalah mean-nya µk = 0 (ingat kembali bahwa ξk (mp) − IID (0, σk2 ) untuk k 6∈ C).

4.2.3 Deteksi Gelombang (Waveform) High-Coherent Untuk mendeteksi bentuk gelombang High-C, perhatikan, untuk setiap k tetap, masalah pengujian hipotesa : H0 = µk = 0 vs H1 = µk 6= 0

(4.9)

diketahui n pengamatan dari ξk (m), misalkan µk dan σk2 masing-masing adalah rata-rata sampel dan variansi sampel. Proposisi 1: Untuk setiap k, jika ξk (m) adalah proses gangguan putih (white noise), maka berdasarkan H0 dalam (4.9), nµ2k /σk2 ∼ χ2(1) secara asymptotik. Secara umum, jika {ξk m)} adalah proses linier umum, maka pernyataan tetap berlaku (valid), asalkan σk2 diganti dengan estimator konsisten fk (0) = Σ∞ j=−∞ γkk (j) yang merupakan kepadatan spectral dari {ξk (m)} pada frekuensi nol.


22

Menurut Proposisi 1, himpunan indeks C dapat dibentuk sebagai berikut : k tercakup di dalam C jika dan hanya jika χ2k = nµ2k /σk2 > χα1−α (1) dimana χα1−α(1) adalah CDF dari χ2(1) dan α ∈ (0, 1) adalah tingkat signifikasi pengujian. Misalkan γk = µ2k / (µ2k + σk2) adalah taksiran koheren. Maka, dapat dibuktikan bahwa γk = µ2k / (µ2k + σk2 ). Oleh karena itu, prosedur yang ekivalen untuk membentuk C adalah sebagai berikut : k tercakup di dalam C jika dan hanya jika γk > θ dimana θ = χα1−α(1)/ n + χα1−α(1) Menurut defenisi 1, bentuk gelombang yang dipilih dengan cara ini adalah bentuk gelombang High-C. Untuk aplikasi pendekatan yang diajukan, terutama untuk peramalan jangka pendek yang baik, mungkin perlu kiranya memasukkan ke dalam C beberapa komponen tambahan yang memberi kontribusi yang signifikan kepada total variasi deret waktu (yaitu, σk2 yang besar, sekalipun µ2k = 0). Karena komponenkomponen ini bisa berkorelasi dengan bentuk gelombang High-C, yang memotong komponen ini menjadi suku kedua dari (4.8) akan menghasilkan ramalan yang lebih buruk disebabkan ketidakcocokan dengan asumsi-asumsi pada (4.8). Dengan demikian, komponen-komponen dengan σk2 besar juga bisa disebut High-C. Secara umum, filter bank harus dirancang sedemikian rupa sehingga bentuk gelombang High-C yang dihasilkan dalam C efisien dalam artian bahwa (µ2k + σk2 ) Σk6∈C (µ2k + σk2) dan q p, dimana q menyatakan kardinalitas C. Ukuran efisiensi merupakan entropy yang didefenisikan oleh : H = Σpk=1 ρk log ρk dimana ρk = (µ2k + σk2)/Σpj=1 µ2j + σj2 . Semakin kecil entropy, semakin sedikit bentuk gelombang High-C, dan dengan demikian semakin efisienlah pendekatan yang diajukan. Proposisi 1 dapat dibuktikan dengan teorema limit tengah dan dipastikan √ µk − µk ) → N (0, σk2) ada pada distribusi dan dengan hukum bilangan bahwa n (ˆ


23 besar menjamin bahwa σ ˜ k2 → σk2 dan ada dalam probabilitas (Slutsky). Untuk proses linier umum, dapat diperlihatkan (Brockwell dan Davis, 1992) bahwa √ n(ˆ µk − µk ) → N(0, fk (0)) berada pada distribusi, dengan fk (0) adalah kepadatan spektral dari {ξk (mp)} untuk frekuensi nol. Teorema Slutsky berlaku jika fk (0) ditaksir dengan penaksir konsistem.

4.3 Pemodelan Parametrik Begitu bentuk gelombang High-C terdeteksi, langkah berikutnya adalah memodelkan dinamika antar-periodenya untuk meramalkannya. Tanpa kehilangan generalitas, diasumsikan bahwa C = {1, · · · , q} untuk 0 < q < p sehingga {ξC (m)} = [ξ1 (mp), · · · , ξq (mp)]T dan µC = E {ξC (m)} = [µ1 , · · · , µq ]T Dalam uraian berikut ini diasumsikan bahwa {ξk (m)} merupakan vector penyebab proses AR(VAR) yang berbentuk k X

Aj {ξC (m − 1) − µC } = ε(m)

(4.10)

j=0

dimana A0 = I dan ε(m) ∼ IID (0, Σε ). Perhatikan bahwa model VAR bukanlah satu-satunya pilihan untuk pemodelan {ξC (m)}. Bergantung dengan situasi, model, parametrik lainnya (seperti ARMA vektor atau model ruang-keadaan) mungkin lebih efektif dalam penentuan dinamik {ξC (m)}. Isu pemilihan model tidak dibicarakan karena sudah banyak rujukan yang baik tentang topik ini, contoh Box dan Jenkins (1976). Model VAR (10) digunakan karena keserbagunaan dan kesederhanaan perhitungannya. Diketahui pengamatan {ξC (1), · · · , ξC (n)} dengan n > k dapat dihitung rata-rata sampel µC dan ACF sampel R(j) untuk |j| < n. Berdasarkan rangkuman statistik, taksiran {A1, · · · , Ak } dan Σε dapat secara mudah diperoleh dengan


24

menggunakan algoritma Levinson-Durbin multivariate (misalnya, Brockwell dan Davis, 1991). Orde n dapat ditentukan dengan criteria standar seperti AIC (misalnya, Brockwell, dan Davis, 1991).

4.4 Peramalan Difasilitasi dengan model VAR (4.10), dapat meramalkan {x(t)1} untuk periode h ≥ 1 berikutnya berdasarkan pengamatan sebelumnya {x(1), · · · , x(n)}. Untuk memperoleh ramalan {x(t)}, dibutuhkan lemma berikut, dimana buktinya dapat ditemukan dalam Brockwell dan Davis (1991).

Lemma 4.4.1 Asumsikan bahwa {ξC (m)} memenuhi (4.10). Diberikan {ξC (1), · · · , ξC (n)}, µC , k, {A1, · · · , Ak ) dan Σε , predictor tak bias linier terbaik (BL UP) dari ξC (n + h) adalah ξC (n + h) = µC + ξC (n + h) dimana ξ˜C (n + h) dihitung secara rekursif menurut ξ˜C (n + l) =

k X

Aj ξ˜C (n = l − j) (l = 1, · · · , h)

j=1

dengan nilai awal ξ˜C (n − l) = ξC (n − j) − µC (j = 0, 1, · · · , m − 1) Mean-kuadrat error prediksi diberikan oleh ΣC (h) = E{[ξC (n + h) − ξC (n + h)] [ξC (n + h) − ξC T (n + h)]T } = Σh−1 j=0 Bj Σε Bj dimana Bj adalah matriks koefisien dalam represen-

tasi vektor MA(∞) dari {ξC (m)}. Dilengkapi dengan lemma diatas diperoleh proporsi berikut ini : Proposisi 2 : Asumsikan bahwa (4.8) dan (4.10) dipenuhi. Diketahui pengamatan {x(1), · · · , x(n)} dan parameter-parameter model C, µC , k, {A1, · · · , AK )


25

dan Σε predictor tak bias linier periode-berikut dari {x(t)} dapat dinyatakan sebagai x ˆ(n + h) =

X

ξk ((n + h)p)wk

(4.11)

ξk ((n + h)p)wk (T )

(4.12)

k∈C

Rumus ekuivalen prediktor adalah x ˆ(t + hp) =

X k∈C

dimana t = np − T dan T = 1, · · · , p. Tanpa kehilangan generalitas, asumsikan bahwa C = {1, · · · , q}. Maka, ξk ((n + h)p) adalah elemen ke-k dari ξC (n + h) yang diperoleh dari lemma 1. Selanjutnya, mean kuadrat error prediksi diberikan o n T = W T Σξ (h)W , oleh Σx (h) = E [x(n + h) − x(n + h)] [x(n + h) − x(n + h)] 2 , · · · , σp2 . dimana Σξ (h) = diag {ΣC (h), ΣN } dan ΣN = diag σq+1 Untuk model VAR, predictor ξˆC (n + h) cenderung mendekati µC apabila periode h mendekati takberhingga. Akibatnya, ramalan x ˆ(n + h) konvergen dalam T jangka panjang ke νC = W T µTC , 0T (dengan mengasumsikan C = {1, · · · , q}). Nilai pembatas ini bertepatan dengan mean musiman ν = E{x(m)} = W T µ menurut asumsi-asumsi pada (4.8) karena µk = 0 untuk semua k 6= C. Secara umum, dapat dianggap νC sebagai versis tereduksi-dimensi dari rata-rata musiman. Bisa ditunjukkan bahwa saat ditaksir dari data, rata-rata musiman tereduksi-dimensi dapat menghasilkan rata-rata kuadrat error yang lebih kecil daripada rata-rata sampel lengkap penuh x(m) dalam situasi dimana |µk | cukup kecil untuk k 6∈ C. Selanjutnya tidak seperti peramalan SARIMA jangka panjang, rata-rata musiman dimensi-tereduksi mempunyai variabelitas yang lebih kecil dengan keberadaan musiman yang senantiasa berubah, karena tergantung pada pola musiman rata-rata, dan bukan pola musiman sendiri-sendiri. Perhatikan bahwa variabelitas proses SARIMA meningkat tak terbatas dalam jangka panjang


26

karena akar unit musiman. Jika variabelitas tak terbatas tidak dapat dijastifikasi, penggunakan SARIMA untuk peramalan jangka panjang harus lebih berhati-hati.


BAB 5 KESIMPULAN

Tesis ini membicarakan tentang pembentukan, model dan peramalan untuk deret waktu dengan pola musiman dengan mempergunakan pendekatan filter bank. Dalam pemakaian biasanya data peramalan jangka panjang dengan pola musiman berdimensi sangat besar sehingga diperlukan suatu pendekatan yang sesuai agar diperoleh hasil peramalan yang andal. Analisis filter bank pada dasarnya dirancang untuk mereduksi dimensi besar dan mampu mengekstrasi komponen utama. Filter bank dalam tesis ini menguraikan deret waktu menjadi komponen musiman dan hanya komponen-komponen dengan coherent tinggi pada periode tersebut dipilih. Dari hasil ini diperoleh model peramalan yang diharapkan


DAFTAR PUSTAKA Bloomfield, P., et.al., 1994, Periodic correlation in stratospheric ozone data; journal of time series analysis, vol 15, no. 2, pp. 127-150. Brockwell, P.J and Davis, R.A., 1991, Time series : Theory and methods, 2nd edition, New York: Springer-Varlag Brown, R.G., 1959, Statistical forecasting for inventory control. New York: Me Graw- Hill. Box, G.E.P and Jenkins, G.M., 1997, Time series analysis : Forecasting and control, Holden day, san Fransisco. Chatfield, C and Yar, M., 1991, Prediction interval for multiplicative, holt-wanters, International Journal of Forecasting, 7 : 31-37. Cryer, J.D., 1986, Time Series Analysis, Press, Boston. Journal of Forecasting, 1, 111-153 Dehay, Duxbury and Hurd, H.L., 1994, Representation and estimation for periodically and almost periodically correlated random pracesses, in cyclostationarity in communications and signal processing, edited by W.A. Gardner, Piscataway, NJ: IEEE Press. Franses, P.H., 1996, Periodicity and Stochastic Trends in economic time series, oxpord, UK: Oxpord university Press. Funke, M., 1990, Assessing the forecasting accuracy of monthly vector gutoregressive model, International Journal of Forecasting, vol. 6, pp. 363-378. Garden, E.S., 1985, Exponentical Smoothing: the State of the art. Journal of Forecasting, 4, 1-28. Kitagawa, G and Gersch, W., 1996, Smoothness priors analysis of time series, New York : Sprinter. Koehler, A.B., et.al., 2001, Forecasting models and prediction intervals for the multiplicative, holt winters method; International journal of forecasting 17, 269-286. Libert, G., 1984, The M-Competition with a fully atomatic, Box-Jenking procedure, Journal of Forecasting, 3, 325-328. Litterman, R.B., 1986, Forecasting with Bayesian vector outoregressions five years of experience, journal of business, and economic statistics, vol. 4, pp. 25-38. Lutkepohl, H., 1993, Introduction to Multiple series analysis, 2nd ed., New York : Springer-Verlag. Markridakis, S., et.al., 1982, The accurary of extrapolation (time Series) methods : results of a forecasting Compefition. 28 Robinson Sitepu : Pemodelan Dan Peramalan Deret Waktu Musiman Dengan Pendekatan Filter Bank, 2008 USU e-Repository © 2008

29

Novales, A and de Fruto, R.F., 1997, Forecasting with periodic models: a camparison with time invariant coefficient model, International Journal of Forecasting, vol. 13, pp. 393-405. Ord, J.K., et.al., 1997, Estimation and prediction for a class dynamic nonlinier statistical association, 92, 1621-1629. Stellwagen, E.A and Goodrich, R.L., 1999, Forecast pro 4.0 manual, Business forecast system : Belmant, Massachustts.


PEMODELAN DAN PERAMALAN DERET WAKTU MUSIMAN DENGAN PENDEKATAN FILTER BANK

Recommend Documents