1.
Jika f ( x ) = sin² ( 2x + a. b. c.
2.
d. e.
6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) –3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
Turunan pertama dari f(x) = sin4 ( 3x² – 2 ) adalah f’(x) = …. a. b. c. d. e.
4.
2 2
Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f’(x) = …. a. b. c. d. e.
3.
2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 ) 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 ) 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 )
Turunan dari f ( x ) = a.
–
–
b.
c. d.
e.
5.
), maka nilai f′ ( 0 ) = ….
–
( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x ) ( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x )
Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …. a.
f’ ( x ) =
cos x . sin 2x
b.
f’ ( x ) =
c. d. e.
f’ ( x ) = –3 sin x . cos x f’ ( x ) = 3 sin x . cos x f’ ( x ) = –3 cos2 x
cos x . sin 2x
adalah f’ ( x ) = ….
6.
Jika f ( x ) =
, maka
( f ( sin x ) ) = …
a.
d.
b.
e.
c.
7.
Jika f ( x ) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’ ( x ) = …. a. b. c.
8.
d. e.
( 2x – 1 ) ( 6x + 11 ) ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 )
Turunan pertama dari fungsi f ( x ) = ( 6x – 3 )³ ( 2x – 1 ) adalah f’ ( x ). Nilai dari f’ ( 1 ) = …. a. b. c.
9.
4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 ) 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 ) ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 )
18 24 54
d. e.
162 216
Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan f ( x ) = f’ ( x ), maka f’ ( x ) = …. a.
d.
b.
e.
adalah
c.
10.
Diketahui f ( x ) = = …. a. b. c.
0,1 1,6 2,5
, Jika f’ ( x ) adalah turunan pertama dari f ( x ), maka nilai f’ ( 2 ) d. e.
5,0 7,0
11.
Diketahui f ( x ) = a.
c.
b.
12.
, Nilai f’ ( 4 ) = ….
d.
1
e.
4
Perhatikan gambar ! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …. a.
( 2, 5 )
b.
( 2,
c.
13.
( ,2)
)
2x + y + 15 = 0 2x + y – 15 = 0 2x – y – 15 = 0
d. e.
4x – 2y + 29 = 0 4x + 2y + 29 = 0
y=x–1 y = –x + 1 y = 2x – 2
d. e.
y = –2x + 1 y = 3x – 3
Persamaan garis singgung kurva y = x a. b. c.
16.
e.
)
Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1, 0 ) adalah …. a. b. c.
15.
( ,2)
Persamaan garis singgung pada kurva y = –2x2 + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah … a. b. c.
14.
( 2,
d.
y = 3x – 2 y = 3x + 2 y = 3x – 1
d. e.
Persamaan garis singgung kurva y = a. b. c.
x – 12y + 21 = 0 x – 12y + 23 = 0 x – 12y + 27 = 0
d. e.
di titik yang berabsis 2 adalah ….
y = –3x + 2 y = –3x + 1
di titik dengan absis 3 adalah … x – 12y + 34 = 0 x – 12y + 38 = 0
17.
) ribu rupiah
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …. a. b. c.
18.
d. e.
Rp. 200.000,00 Rp. 400.000,00 Rp. 560.000,00
Rp. 600.000,00 Rp. 800.000,00
Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800 +
) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut
dapat diselesaikan dalam waktu … jam. a. b. c. d.
19.
20.
a.
c.
b.
d. e.
3 5
Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x – x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …. 120 130 140
d. e.
150 160
Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm. a. b. c.
22.
120 150
Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f ( t ) = ( s dalam meter dan t dalam detik ). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/s.
a. b. c.
21.
e. f.
40 60 100
6 8 10
d. e.
12 16
Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm. a.
b.
c.
d.
e.
23.
Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah …. a. b. c.
24.
21 24
d. e.
x < 0 atau x > 1 x>1 x<1
x<0 0<x<1
Nilai maksimum fungsi f ( x ) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2 adalah …. a. b. c.
27.
d. e.
–21 –9 9
Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval …. a. b. c.
26.
2 4
Grafik fungsi f ( x ) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …. a. b. c.
25.
d. e.
–12 –4 –2
25 27 29
Nilai maksimum dari y =
31 33
pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah ….
– d. e.
a. b. c.
d. e.
8 6
10
***
PEMBAHASAN: 1.
Jawab: C ) [ 2 cos ( 2x +
f’ ( x ) = 2 sin ( 2x + = 4 sin ( 2x +
) cos ( 2x +
= 2 sin ( 4x +
)
f’ ( 0 ) = 2 sin ( 4.0 +
)]
)
)
=2. =
2.
Jawab: E f’ ( x ) = 3 sin2 ( 3 – 2x ) [ –2 . cos ( 3 – 2x ) ] = –6 sin2 ( 3 – 2x ) cos ( 3 – 2x ) = –3 sin ( 3 – 2x ) sin ( 6 – 4x )
3.
Jawab: B f’ ( x ) = 4 sin3 ( 3x2 – 2 ) [ 6x . cos ( 3x2 – 2 ) ] = 24x sin3 ( 3x2 – 2 ) cos ( 3x2 – 2 ) = 12x sin2 ( 3x2 – 2 ) sin ( 6x2 – 4 )
4.
Jawab: D f(x)=
[ – ( 6x + 5 ) sin ( 3x2 + 5x ) ]
f’ ( x ) = =
( 6x + 5 )
Catatan: cos ( 3x2 + 5x ) . cosn ( 3x2 + 5x ) = Sehingga:
n=
–1=
( 3x2 + 5x )
( 6x + 5 )
f’ ( x ) =
( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x )
=
5.
-
Jawab: A f’ ( x ) = 3 cos2 x [ – sin x] = –3 cos2 x . sin x cos x . sin 2x
=
6.
Jawab: E f(x)=
–
f’ ( x ) =
[ 2 sin x . cos x ]
=
7.
Jawab: E U = ( 2x – 1 )² V=x+2 f’ ( x ) = = = =
8.
U’ = 2 ( 2x – 1 ) . 2 = 4 ( 2x – 1 ) V’ = 1
U’ . V + U . V’ 4 ( 2x – 1 ) ( x + 2 ) + ( 2x – 1 )² . 1 ( 2x – 1 ) [ 4 ( x + 2 ) + ( 2x – 1 ) ] ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 )
Jawab: E U = ( 6x – 3 )³ = 27 ( 2x – 1 )3 V = 2x – 1
f’ ( x ) = = = =
U’ = 81 ( 2x – 1 )2 ( 2 ) = 162 ( 2x – 1 ) V’ = 2
U’ . V + U . V’ 162 ( 2x – 1 ) ( 2x – 1 ) + 27 ( 2x – 1 )3 . 2 ( 2x – 1 )2 [ 162 + 54 ( 2x – 1 ) ] 108 ( x + 1 ) ( 2x – 1 )2
= 108 ( x + 1 ) ( 2x – 1 )2 = 108 ( 1 + 1 ) ( 2 . 1 – 1 )2 = 216
f’ ( 1 )
9.
Jawab: A f(x)=
–
f’ ( x ) =
[ 6x ] –
= 3x . =
10.
Jawab: B f(x)=
–
f’ ( x ) =
[ 8x ] –
= 4x . =
f’ ( 2 ) =
11.
=
= 1,6
Jawab: A U = 2x + 4
U’ = 2
V=1+
V’ =
f’ ( x ) =
–
–
–
– =
–
=
–
=
–
=
=
12.
Jawab: B Persamaan garis:
5x + 4y = 20
Mengubah persamaan garis untuk kemudian di subsitusi: 4y = 20 – 5x y=
–
y=5–
x
Subsitusikan ke dalam rumus luas: L=x.y x)
=x(5– = 5x –
x2
Agar luas maksimum, maka L’ = 0: L’ = 5 –
x=0 x = –5 x=2
( Luas persegi panjang = p . l )
Mencari nilai y: y=5–
(2)
=5– =
13.
Jawab: B Mencari gradien garis singgung: mgsg = y’ = –4x + 6
Mencari gradien garis lain yang tegak lurus garis singgung: a=1
x – 2y + 13 = 0 m=–
=–
–
=
;
b = –2
mgsg = –2
Mencari titik yang dilalui garis singgung: mgsg = –4x + 6 = –2 –4x = –8 x=2 y = –2 ( 2 )2 + 6 ( 2 ) + 7 = 11
Persamaan garis singgung bergradien –2 dan melalui ( 2, 11 ): y – 11 = –2 ( x – 2 ) y – 11 = –2x + 4 2x + y – 15 = 0
14.
Jawab: – Mencari gradien garis singgung: m = y’ = 2x – 4 x=1
m = 2 ( 1 ) – 4 = –2
Persamaan garis singgung yang bergradien –2 dan melalui titik ( 1, 0 ): y–b=m(x–a) y – 0 = –2 ( x – 1 ) y = –2x + 2
15.
Jawab: A y= Mencari gradien garis singgung
Turunan pertama dari y:
y’ = m =
Mencari nilai gradien .
m=
subsitusikan x = 2:
=3
Mencari nilai y: y=
=2
.
=4
Persamaan garis bergradien 3 dan melalui titik ( 2, 4 ): y–b= y–4= y–4= y=
16.
m(x–a) 3(x–2) 3x – 6 3x – 2
Jawab: A y= Mencari gradien garis singgung –
y’ = m =
Mencari nilai gradien –
m= = = =
Turunan pertama dari y:
–
–
subsitusikan x = 3:
subsitusikan x = 3:
Mencari nilai y y= = =2
Persamaan garis bergradien
dan melalui titik ( 3, 2 ):
y–b=m(x–a) y–2=
(x–3)
12y – 24 = x – 3 x – 12y + 21 = 0
17.
Jawab: B Biaya total = ( 4x – 160 +
)x
= 4x2 – 160x + 2000
Jumlah hari kerja
Biaya total’ = 0:
Biaya total’ = 8x – 160 = 0 8x = 160 x = 20
Biaya minimum per hari: Biaya = 4 ( 20 )2 – 160 ( 20 ) + 2000 = 400
18.
Jawab: C Biaya total = ( 4x – 800 +
)x
= 4x2 – 800x + 120
Waktu kerja
Biaya total’ = 0:
Biaya total’ = 8x – 800 = 0 8x = 800 x = 100
19.
Jawab: A s= Mencari rumus kecepatan s’ = v =
Turunan pertama dari s: .3
=
Menentukan nilai kecepatan saat t = 8 s: v= =
-
=
20.
Jawab: D Untung = ( 225x – x² ) x = 225x2 – x3
Jumlah barang yang harus diproduksi
Untung’ = 0
Untung’ = 450x – 3x2 = 0 – 3x2 = – 450x x = 150
21.
Jawab: D Menentukan rumus luas: Luas = x . x = 432 x2 – 432 = 0
Menentukan rumus volume: Volume = ( x2 – 432 ) x = x3 – 432x
Mencari panjang persegi: Volume’ = 3x2 – 432 = 0 3x2 = 432
;
x2 =144
;
x=
12
22.
Jawab: D r2 t = 512
Volume tabung =
t=
Luas tabung tanpa tutup = 2 r t + r2 = r ( 2t + r )
Menentukan persamaan luas r(2.
Luas = =
+r)
r(
+r)
=
r2
+
L’ = 0:
Menentukan jari-jari –2
L’ = –1024 r –
=–2 =
subsitusikan t:
+2
r
r
r
r3 =
r= =
23.
Jawab: B Mencari gradien garis l: x + 3y + 12 = 0 m=–
=–
a=1 sehingga
;
ml = 3
Menentukan absis titik singgung: y’ = m = 2x – 1 = 3 2x = 4 ;
b=3
x=2
Menentukan ordinat titik singgung: y = x² – x – 6 = ( 2 )2 – ( 2 ) – 6 = –4
24.
Jawab: A f’ ( x ) < 0
Fungsi turun f’ ( x ) < 0 3x2 + 2ax + b < 0
Catatan: Fungsi hanya turun pada interval –1 < x < 5, artinya saat x = –1 dan x = 5, fungsi akan bernilai 0, sehingga subsitusikan x = –1 dan x = 5 untuk mendapatkan harga a dan b.
Mencari nilai a dan b: x = –1 3 ( –1 )2 + 2a ( –1 ) + b = 0 3 – 2a + b = 0 ; b = 2a – 3 x=5
3 ( 5 )2 + 2a ( 5 ) + b = 0 75 + 10a + b = 0 ; b = –10a – 75
2a – 3 = –10a – 75 12a = –72 a = –6 b = 2 ( –6 ) – 3 = –15
Sehingga nilai a + b = –6 – 15 = –21
25.
Jawab: A Fungsi naik
f’ ( x ) > 0
f’ ( x ) > 0 12x2 – 12x > 0 12x ( x – 1 ) > 0
Sehingga fungsi tersebut akan naik pada interval x < 0 atau x > 1
26.
Jawab: B f’ ( x ) = 0 Nilai maksimum f’ ( x ) = 3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x+3)(x–1)=0 Sehingga:
x = –3 atau x = 1
Mencari nilai maksimum fungsi pada interval –3 ≤ x ≤ 2: x = –3 x=1 x=2
27.
f ( –3 ) = ( –3 )³ + 3 ( –3 )² – 9 ( –3 ) = 27 f ( 1 ) = ( 1 )³ + 3 ( 1 )² – 9 ( 1 ) = –5 f ( 2 ) = ( 2 )³ + 3 ( 2 )² – 9 ( 2 ) = 2
Jawab: D y=
– f’ ( x ) = 0
Nilai maksimum f’ ( x ) =
–
=0 =0 – –
=0
100 – x2 = 0 x = 10 Mencari nilai maksimum fungsi pada interval –6 ≤ x ≤ 8: x = –10
f(x)=
–
–
x = –6
f(x)=
–
–
x=8
f(x)=
–
x = 10
f(x)=
–
=0 =8 =6 =0
***
