BAB 14
HITUNG INTEGRAL 1.Integral tak tentu (tanpa batas) a. Rumus-rumus 1) x n dx
1 n 1 x c, n 1 n 1
2) a.x n dx
3) adx ax c
a n 1 x c, n 1 n 1
1 x
4) x 1dx dx ln x c
b. Sifat-sifat Integral 1) k. f ( x)dx k. f ( x)dx
2) ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
Contoh : 7 2
1. (7 x 5)dx x 2 5 x c 1 5
4 3
2. x2 ( x 2)2 dx x2 ( x2 4 x 4)dx = ( x 4 4 x3 ) 4 x 2 dx x5 x 4 x3 c 1
3
3. x xdx x.x 2 dx x 2 dx
1
x 3 1 2
3 1 2
c
2 52 x c 5
A. Pemakaian Integral tak tentu Contoh : Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 F ( x) f ( x)dx (4 x 1)dx 2 x 2 x c
F(2)=17 2(2)2 2 c 17 10 c 17 c 7 Jadi F(x)= 2 x2 x 7
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui
dy dan sebuah titik pada kurva. dx
Contoh : Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x) melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut. Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti dy 2 x 4 atau dy (2 x 4)dx dx
didapat bahwa y = f(x) = dy (2 x 4)dx = x2 4 x C grafik melalui titik (1,5) maka 5 12 4(1) C C 8 Jadi fungsi tersebut adalah y x2 4 x 8
Matematika SMA
73
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : v
ds s vdt dt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : a
dv v a dt dt
Contoh : Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu. v
ds 1 s vdt (3 t )dt 3t t 2 c dt 2 1 2
s = 0 untuk t = 4 0 3.4 .42 c 1 2
Jadi , s t 2 3t 4
c=-4 II. Integral Tertentu Contoh : 4
Hitung integral tertentu
xdx
0
4
2 32 4 x 3 0
xdx 0
2 2 3 2 1 (4 2 0 3 ) (8 0) 5 3 3 3
b
Jika diperhatikan bentuk
b
f ( x)dx F ( x) a = F(b) – F(a) a
a
= - F(a) – F(b) = f ( x)dx b
a
Untuk
f ( x)dx F (a) F (a) 0 a
Sifat-sifat : b
b
b
a
a
a
1. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx a
a
b
b
2. kf ( x)dx k f ( x)dx , k=konstanta b
3.
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, dengan a
Matematika SMA
74
b
4. dx b a a
Luas sebagai limit suatu jumlah Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut: 1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X a. Diatas sumbu X y=f(x)
b
L f ( x)dx a
a b. Dibawah sumbu X a
b b y=f(x)
b
a
a
b
L f ( x)dx atau L= f ( x )dx
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x = b
y2 g ( x) y1 f ( x) y1 f ( x)
a b
L
b b
(y
1
a
y2 )dx atau L= { f ( x) g ( x)}dx a
Contoh : Luas daerah dibatasi oleh parabola y x2 dan y 4 x 2 adalah … A. 8 2
B.
16 2 3
C. 4 2
D.
8 2 3
E.
2
Jawab : Titik potong kedua parabola
Cara cerdik :
x2 4 x2 2 x2 4
L
x2 2 x 2
x2 4 x 2 x2 4
Matematika SMA
D D ; D b 2 4ac 2 6a
75
2
L
2
(4 2 x 2 )dx 4 x 23 x3
2
D = 32 L
2
32 32 16 2 6.22 3
8 2 83 2 163 2 Untuk bentuk : (p,q)
4 L . p.q 3
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan x=b
yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X X
b
V y 2 dx a
b
( f ( x)) 2 dx
b
a
a
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
b
d
V x 2 dy c
d
( g ( y ))2 dy a
c 3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva y1 f ( x) dan y2 g ( x) diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y (i)
Diputar mengelilingi sumbu X y1 f ( x) y2 g ( x)
X
b
V b ( y1 y2 )dx V {(af ( x))2 ( g ( x)2 }dx 2
2
a
y
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
x1 f ( y)
d
x2 g ( y)
V ( x1 x2 )dy 2
2
c
d
= (( f ( y)) 2 ( g ( y)) 2 dy c
Matematika SMA
76
Contoh :
X
y x 2 3 diputar 360 o mengelilingi
Tentukan volume benda putar jika sumbu X Cara cerdik : V
.D. D 30. a
3
V
.92. 9 30. 1
3
81 10
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi Ingat kembali rumus Deferensial fungsi 1. f ( x) axn f '( x) anx n1
5. f ( x) sin x f '( x) cos x
2. f ( x) u( x).v( x) f '( x) u '( x)v( x) u( x)V '( x)
6. f ( x) cos x f '( x) sin x
3. f ( x)
u ( x) u '( x)v( x) u ( x)v '( x) f '( x) v( x) (v( x))2
7. f ( x) tan x f '( x)
1 cos2 x
4. f ( x) u( x) v( x) f '( x) u '( x) v '( x) Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan fungsi. 1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku F'(x)=f'(g(x)).g'(x) 2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…). 3. a. dalam notasi Leibniz: Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : b. y = F(x) = (fogoho…), maka : y '
dy dy dv . dx dv dx
dy dy dv dw ... . . ...... ( Dalil Rantai) dx dv dw ... dx
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ). a
A
F(a )
B
g(f(a))
C
Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( g f )(a) g ( f (a)) Contoh : f ( x) 3x2 2 dan g ( x) cos x maka : F g f : x ( g f )( x) g ( f ( x)) g (3x 2 2) cos(3x 2 2)
Matematika SMA
77
Contoh : Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = ((2 x 3)
1 3 ) 2x 3
1 3 1 ) maka f ( x) x3 , g ( x) x , dan 2x 3 x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = ((2 x 3) h( x) 2 x 3
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x) = 3((2 x 3)
1 2 1 ) .(1 .(2) 2x 3 (2 x 3)2 ).
= 6((2 x 3)
1 2 1 ) .(1 2x 3 (2 x 3)2 )
Catatan : Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi. Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut: F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0 F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0 F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0 Contoh : Tentukan nilai stasioner dari f ( x) (2 x 1)3 3 (2 x 1) dan sifatnya. 3
1
f ( x) (2 x 1) 2 3(2 x 1) 2 1 1 1 1 3(2 x 1) 3 3 1 f '( x) (2 x 1) 2 .2 3. (2 x 1) 2 .2 = 3(2 x 1) 2 3(2 x 1) 2 = 1 2 2 (2 x 1) 2
1 2
1
1 2
1
f" (x) = 3. (2 x 1) 2 .2 3( )(2 x 1) 2 .2 = 3(2 x 1) 3(2x 1) 1 2
1 2
Syarat stasioner f'(x) = 0 Jadi ,
3(2 x 2) 0 2x 2 0 (2 x 1)
x 1
Untuk x =1 maka : F(1) = -2 F"(x) = 6 (positip) Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA
78
IV. Integral Fungsi Trigonometri Rumus Integral Trigonometri 1. sin xdx cos x c 1
sin(ax b)dx a cos(ax b) c 2. cos xdx sin x c
4. cos ec2 xdx cot anx c
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) c
2
3. sec2 xdx tan x c
5. tan x sec xdx sec x c
1
sec (ax b)dx a tan(ax b) c 2
1
cos ec (ax b)dx a cot(ax b) c 6. cot x cos ecxdx cos ecx c
Contoh :
sin
3
x.cos xdx
A. 14 sin 4 x c B. 12 sin 4 x c
C. 14 cos2 x c
D. 13 sin x c E. 13 sin 4 x c
Jawab :
sin
3
x.cos xdx cos x(sin x)3 dx
sin
Misal : y = sin x dy dx
Cara cerdik :
cos x dx cosdyx
3
x.cos xdx sin 3 xd (sin x) 1 4
sin 4 x c
cos x( y)3 cosdyx y3dy 14 y 4 c 14 sin 4 x c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial. a. Integral Substitusi a. x n dx
1 n 1 x c n 1
u du n 1 u
1
n 1
(ax b)
dx
1 (ax b)n 1 c, n 1 a(n 1)
n
n
c dengan u=f(x),n -1
b. cos xdx sin x c
cos udu sin u c dengan u f ( x) v
1
c.
v.u dx u ' . n 1 u
d.
v sin udx u ' cos u c
n
n 1
c , u = f(x)
v
v
v cos udx u ' ( f ( x)) Matematika SMA
n
d ( f ( x))
79
=
1 ( f ( x))n 1 c n 1
Contoh : dx
Tentukan dx 2x 5
2x 5
1 2
du
u
1 2
……misal u = 2x + 5
du 2 du = 2 dx dx
1 du 2
dx =
1 c 1 1 1 u 2 du .2.u 2 2 2
1
= u 2 c 2x 5 c Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain. Contoh :
2x (4x 2
A.
1 2
3
1)3 dx
(4 x3 1)4 c B. 18 (4 x3 1)2 c C. 14 (4 x3 1)3 c D.
1 16
(4 x 1)5 c E.
1 24
(4 x3 1)4 c
Jawab : Misal : y 4 x3 1
Cara cerdik :
dy dy 12 x 2 dx dx 12 x 2
af
2 x (4 x 2
=
3
1)3 dx 2 x 2 ( y)3
1 3 1 4 y dy y c 6 24
dy 12 x 2
Hasil =
n
a f n1 , syarat n 1 f '( x)(n 1)
( x)dx
a 2 x2 , f ( x) 4 x3 1, n 3 1 (4 x3 1)4 c 24
2x2 (4 x3 1) 4 c 2 12 x (3 1) 1 (4 x3 1) 4 c 24
af
1
( x)
a ln f ( x) c f '( x)
b. Integral Substitusi Trigonometri. Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk
a 2 x2 , a 2 x2 atau
x2 a2 diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN
SUBSTITUSI DENGAN
HASIL SUBSTITUSI
a2 x2
x = a sin t
a 1 sin 2 t a cos t
a2 x2
x = a tan t
a 1 tg 2t a sec t
x2 a2
x = a sec t
a sec2 t 1 a tan t
Matematika SMA
80
Contoh :
16 x 2
Misal x = 4 sin t x2 16sin 2 t 16 x2 16 16sin 2 t 16(1 sin 2 t ) 4 cos 2 t 4cos t
Jadi
x 4sin t dx 4cos tdt
1 1 16 x 2 4cos t.4cos tdt 16 cos 2 tdt 16 ( cos 2t )dt 8 dt 8 cos 2tdt 2 2
= 8t 8 cos 2t
d (2t ) 8t 4sin 2t c 8t 8sin t cos t c 2
c. Integral Parsial Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial. Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x) Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx Sehingga didapat rumus integral Parsial : Atau :
udv uv vdu.
f ( x) g '( x)d '( x) f ( x) g ( x) g ( x). f '( x)dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
f ( x).g ( x)dx f ( x) integral I g ( x)
turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x
integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling) Contoh :
x cos 2x dx ... 1 dv cos 2 xdx v sin 2 x 2 1 1 x cos 2x dx 2 x sin 2x 2 sin 2xdx
u x du dx
= 12 x sin 2 x 14 cos 2 x c contoh : Tentukan x 2 cos 2 xdx .. Turunan x2
integral cos 2x
2x
1 2
2
1 cos 2 x 4
sin 2x
1 sin 2 x 8
x
2
cos 2 xdx x 2 . 12 sin 2 x (2 x. 14 cos 2 x) 2( 18 sin 2 x) c
Matematika SMA
81
= 12 x2 sin 2x 12 x cos 2x 14 sin 2x c Soal Latihan :
( x 2)
1.
2
dx adalah …
x4 4
d. 1x x22 x33 c
4
4
e. 1x x22 x33 c
a. 1x x22 x33 c
4
b. 1x x22 x23 c 4
c. 1x x22 x33 c 2.
x x 12 x 2 x2 x
dx
a. ln x x c
d. ln x 2 x c
b. ln x x c
e. ln x x c
c.
x ln x c
d2y 3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 6 kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar dx 2 8x – y + 10 = 0 adalah … a. f ( x) 3x 2 14 x 9
d. f ( x) x 2 4 x 3x
b. f ( x) 3x 2 3x 1
e. f ( x) x3 2 4
c. f ( x) x 2 x 2 x 4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik y 9 x 2 dan y = x + 3 adalah … a. 9 4
5.
1
3 4
b. 8
c.
b. 1 4
c. 1 2
d.
9 2
e.
8 3
x 1 dx ... x2
a. 3 4
d. 4 5
e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik y x 4 4 x 2 dan y 5x 2 adalah a. 64 34
b. 21 54
c. 20 56
d. 50 56
e. 56 65
7. Volume daerah yang dibatasi oleh y x 2 dan y x 2 2 diputar pada sumbu x adalah a. 25 12
b. 20 34
c. 23 52
d. 6 53
e. 5 13
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 ) memotong sumbu y di : a. ( 0 , 11 )
b. ( 0 , 10 )
c. ( 0 , 9 )
d. ( 0 , 8 )
e. ( 0 , 7 )
9. 8cos(2 x )dx a. 8tg (2 x ) c
d. 4sin(2 x ) c
b. 8cos(2 x ) c
e. 4cos(2 x ) c
Matematika SMA
82
c. 8sin(4 x ) c 10. tg 3x sec3x cot(2 x ) cos ec(2 x )dx .. 4 a. cot(3x) sin(2 x ) c 3
b.
1 1 d. tg (3x) ( )tg (2 x ) c 3 2
1 1 cos ec3x ( ) cos ec(2 x ) c 3 2
2 1 e. sec(3x) ( x) cos ec(2 x ) c 3 2
1 1 c. sec(3x) ( ) cos(2 x ) c 3 2
11. 8sin 2 7 x.sin xdx ... 1 2 sin 8 x sin 6 x c 4 3
d.
1 2 sin 8 x sin 6 x c 2 3
1 2 b. sin 8 x sin 6 x c 2 3
e.
1 2 sin 8 x sin 6 x c 2 3
a.
1 2 c. sin 8 x sin 6 x c 2 3
12. sin 6 x cos xdx, adalah a.
1 sin 7 x c 8
b.
1 sin 7 x c 6
c.
1 cos 7 x c 7
d.
1 sin 7 x c 7
e.
1 sin 7 x c 5
13. (2 x 1)2/ 3 dx, adalah...
14.
a.
3 (2 x 1)3 2 x 1 c 10
d.
2 (2 x 1)3 2 x 1 c 10
b.
2 (2 x 1)3 2 x 1 c 10
e.
2 (2 x 1)3 2 x 1 c 10
c.
3 (2 x 1)3 2 x 1 c 10
x sin xdx ... a. –x cos x + sin x + c
d. –x tg x - sin x + c
b. x sin x - sin x + c
e. –x cos x + tg x + c
c. –x cos x + sin x + c 15.
x a. b. c. d. e.
x 1dx ...
2 4 x( x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 c 3 15 3 4 x( x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 c 2 15 2 4 x( x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 c 3 15 2 4 x( x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 c 3 15 2 4 x( x 1) x 1 ( x 1) 2 x 1 c 3 15
Matematika SMA
83
Soal – soal Integral Ujian Nasional Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan 3
1. Diketahui
(3x
2
2 x 1)dx 25. Nilai
a
d. – 2 e. – 4
1 a 2
=…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2
7. Hasil dari sin 3x. cos 5 xdx .... 2
0
a. b.
c.
2. Nilai sin 2 x. cos x dx .... 0
a. b. c. d. e.
d.
4 3 1 3 1 3 2 3 4 3
e. 0
8.
a. b. c.
1
d. e.
0
b. c. d. e.
7 2 8 3 7 3 4 3 2 3
4. Hasil dari
9. Nilai
1 2
2 x sin x.dx .... 0
a. b.
cos
5
xdx ....
c.
1 cos 6 x. sin x C 6 1 b. cos 6 x. sin x C 6 2 1 c. sin x sin 3 x sin 5 x C 3 5 2 3 1 5 d. sin x sin x sin x C 3 5 2 3 1 e. sin x sin x sin 5 x C 3 5 2 5. Hasil dari ( x 1). cos xdx ....
d. e. 10. Nilai a. b. c. d. e.
11.
x2 sin x + 2x cos x + C ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C 2x2 cos x + 2x2 sin x + C 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C
6. Diketahui
4 3 2 3 2
a.
a. b. c. d. e.
x.sin xdx .... 0
3. Hasil dari 3x. 3x 2 1 dx .... a.
10 16 8 16 5 16 4 16
3
(3x p
=…. a. 2 b. 1 c. – 1 Matematika SMA
2
2 x 2)dx 40. Nilai
x.sin( x
2
1)dx ....
– cos ( x2 + 1 ) + C cos ( x2 + 1 ) + C –½ cos ( x2 + 1 ) + C ½ cos ( x2 + 1 ) + C – 2cos ( x2 + 1 ) + C
x.sin 2 xdx .... a. b. c.
1 p 2
1 2 1 4 1 2 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2
d. e.
1 1 sin 2 x x cos 2 x C 4 2 1 1 sin 2 x x cos 2 x C 4 2 1 1 sin 2 x cos 2 x C 4 2 1 1 cos 2 x x sin 2 x C 4 2 1 1 cos 2 x x sin 2 x C 4 2
84
2
12.
(sin
2
x cos 2 x)dx ....
d. 18 e. 10 2 3
18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
0
a. –½ b. 1 2
c. 0 d. ½ e. 1 2
13. Hasil a. b. c. d. e.
4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
14. Hasil a. b. c. d. e.
1
2 x. cos 2 xdx ....
x
9 x 2 dx ....
1 (9 x 2 ) 9 x 2 C 3 2 (9 x 2 ) 9 x 2 C 3 2 (9 x 2 ) 9 x 2 C 3 2 2 (9 x 2 ) 9 x 2 (9 x 2 ) 9 x 2 C 3 9 1 1 2 2 (9 x ) 9 x 9 x2 C 3 9
a. 2/3 b. 3 c. 5 1 d.
3 2 6 3
e. 9 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
1
15. Nilai 5 x(1 x) 6 dx .... 0
a. b. c. d. e.
75 56 10 56 5 56 7 56 10 56
16. Hasil dari a. b. c. d. e.
a. b. c.
cos x. cos 4x.dx ....
1 1 sin 5 x sin 3x C 5 3 1 1 sin 5 x sin 3x C 10 6 2 2 sin 5 x sin 3x C 5 3 1 1 cos 5 x cos 3x C 2 2 1 1 sin 5 x sin 3x C 2 2
d. e.
1 2 1 5 6 5 5 6 1 13 6 1 30 6 4
20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.
Materi pokok : Luas Daerah
17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32 c. 20 5
a. 5
6
Matematika SMA
90
b.
7
2 3
c. 8 d. 9 1 e.
3 1 10 3
21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas. a. 10 2 b. c. d. e.
3 1 21 3 2 22 3 2 42 3 1 45 3
22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas a. 4 1 6
b. 5 c. 6 d. 6 1 e.
6 1 7 2
23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 3 4
b. 2 c. 2 3 d. e.
4 1 3 4 3 4 4
Materi pokok : Volume Benda Putar
24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. a. 8 b. 13 2
c. 4 d. 8 e.
3 5 4
25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum. a. 67 b.
5 107 5
Matematika SMA
c. d. e.
117 5 133 5 183 5
26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah 1
yang dibatasi oleh kurva y = 2x 2 , garis y = 1 dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap x 2
sumbu x adalah ….satuan volume. a. 23 1 b. c. d. e.
3 2 24 3 2 26 3 1 27 3 2 27 3
27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum. a. 15 2 3
b. 15 2 c. d. e.
5 3 14 5 2 14 5 3 10 5
28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum. a. b. c. d. e.
12 15 2 27 15 47 15 4
29. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah …. a. b. c. d. e.
4 16 3 8 16 92 3
91
30. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 – 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah …. a. b. c. d. e.
4 15 8 15 16 15 24 15 32 15
31. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang 2 dibatasi oleh kurva y 1 x , sumbu x, 4
sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume. a. b. c. d. e.
52 15 16 12 16 15
12 15
Kunci Jawaban Integral 1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A 13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D 25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C
Matematika SMA
92
1.
3x
3
Diketahui
2
1 a 2
2 x 1 dx 25 , nilai
a 3
3 3 2 2 3 x 2 x x =25 a 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 a 2 a a 25
27 9 3 a 3 a 2 a 25
39 a 3 a 2 a 25
a 3 a 2 a 14 a 3 a 2 a 14 0
2
2.
1
1 2
1 6
-14 14
1
3
7
0
a 2 1 a 1 2 (D)
2
Nilai sin 2 x. cos x dx= 0
1 = sin 3x sin x dx 20
1 1 cos 3x cos x 2 6 0 1 1 1 1 cos 3 cos cos 30 cos0 6 2 6 2 1 1 1 1 cos 540 0 cos 180 0 cos 0 0 cos 0 0 6 2 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 6 2 6 2
1 1 1 1 6 2 6 2
1 3 1 3 8 4 (E) 6 6 3 5 Hasil cos x dx
3.
= cos x. cos 4 dx
x
= cos x. cos 2 x dx
= cos x. 1 sin 2
2
2
dx
= cos x 1 2 sin 2 x sin x dx
= cos x 2 cos x sin 2 x cos x sin 4 x = sin x
Matematika SMA
2 3 1 sin x sin 5 x C 3 5
90
2 3 1 sin x sin 5 x C ( D ) 3 5 2 x 1 cos x dx
= sin x 4.
x 2 1( )
cos x
2 x sin x cos x 2(+) 0 sin x 2 = x sin x sin x 2 x cos x 2 sin x +C = x 2 sin x sin x 2 x cos x C = x 2 1 sin x 2 x cos x C ( B )
5.
3x 2 x 2dx 40 3
2
p
3x
2
3
2 x 2 p dx 40 3
3
3
3 3 2 2 3 x 2 x 2 x dx 40 p
3 23 p p 2 p 40 2
3
2
27 9 6 p 3 p 2 2 p 40 24 p 3 p 2 2 p 40
-2
-1
1 2 3
-1
p 3 p 2 2 p 16 0 p 2 -2 -16 -6 16 1 -8 0 p 1 2
(C) 6.
2
Hasil dari sin 3x. cos 5 xdx … o 2
1 sin 3 5 sin 3 5dx 2 0
2
1 sin 8x sin 2 xdx 2 0
2
1 1 sin 8 x sin 2 xdx 2 2 0 90
1 1 cos 8 x cos 2 x 4 16 0
1 1 1 1 cos 720 cos 180 cos 0 cos 0 4 4 16 16
1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 16 16 1 4 1 4 16 16 55 16 Matematika SMA
91
7.
10 (A) 16
1 2
Nilai 2 x sin xdx ... 0
1 2
1 2
0
0
2 xdx sin xdx
x 2 cos x
0
1 2
1 2 cos 90 0 2 cos 0 2 1 2 1 ( C ) 4
8.
Nilai
x sinx
2
1dx ...
x 2 x 1
x sin x 2 1 d
2
1 sin x 2 1 d x 2 1 2 1 cos x 2 1 c ( C ) 2 x sin 2 xdx ...
9.
x
sin 2 x 1 1 cos 2 x 2 1 0 sin 2 x 4 1 1 jadi sin 2 x x cos 2 x c ( C ) 4 2
10.
2
sin
2
x cos 2 x dx ...
0 2
cos 2 xdx 0 2
cos 2 x 0
d (2 x) 2
2
1 cos 2 xd (2 x) 2 0 90
1 sin 2 x 2 0 1 1 sin 2.90 sin 2.0 2 2 1 1 .0 .0 2 2 (C) 0
Matematika SMA
92
11.
Hasil
1
2 x cos 2 xdx ... 1 cos x 2 1 2 sin x 2 1 4 cos x 2
2 x
2 0 4 x sin
12.
Hasil
1 1 x 8 cos x c ( A ) 2 2
x
9 x 2 dx ...
1
x 9 x 2 2 dx
92xx
2
1
x 9 x2 2 d
1 1 9 x2 2 d 9 x2 2 3 1 2 . 9 x2 2 2 3 1 9 x2 9 x2 c ( A ) 3
13.
1
Nilai 5 x1 x dx ... 6
0
1 x 6
5x 5
0
1 1 x 7 7 1 1 x 8 56
1
5 5 7 1 x 8 x1 x 56 7 0 5 5 5 5 7 8 7 8 11 1 1 1 01 0 1 0 56 56 7 7
14.
5 0 0 0 6 5 (C) 56 Hasil dari cos x cos 4 xdx ... 1 cos 5x cos 3x dx 2 1 1 cos 5 x cos 3xdx 2 2 1 1 sin 5 x sin 3x c ( B ) 10 6 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 dan garis x y 6 adalah . . satuan luas. Jawab:
15.
Matematika SMA
93
x y 6 y 6 x
y x2 6 x x2 0 x2 x 6
a 1, b 1, c 6 D b 2 4ac D 12 4.1. 6 D 25 D D 6a 2 25 25 L 6 .1 25.5 L 6 125 L 6 5 L 20 6 (C) Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas. x=3 y x 2 4 x 3 L
16.
y x 2 6 x 5
Jawab: 3
x 2 6 x 5 x 2 4 x 3dx 1 3
2 x 2 10 x 8dx 1
2 x 3 5 x 2 8 x 31 3 2 2 .(27) 5(9) 24 5(1) 8 3 3 2 18 45 24 5 8 3 2 3 3 3 2 6 (D) 3 Matematika SMA
94
17.
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas. Jawab: y 2 x y x2 2 y x
0 x2 x 2 0 x 2x 1 x 2ataux 1 1
2
L 4 (2 x)dx 4 x 2 dx 0
1 1
18.
1 1 L 2 x x 2 4 2 0 3 1 8 1 L 2 0 8 4 2 3 3 1 8 1 L 2 8 4 2 3 2 6 (3 16 2) L 6 11 L 6 6 25 L 6 1 L4 6 (A) Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu y adalah….satuan volume. Jawab: y = -x2 + 4 y = -2x + 4 x2 = 4 – y 2x = 4 – y x = 2 – ½y 4 y 2 4 y (16 - 8y y 2 ) 4-y 2 16 8 y y 2 16 4 y 2
y2 4y 0 y ( y 4) 0 y 0atauy 4
Matematika SMA
95
2
1 V 4 y 2 y dy 2 0 4
1 V 4 y 4 2 y y 2 dy 4 0 4
4
V 4 y 4 2 y 0 4
V y 0
1 2 y dy 4
1 2 y dy 4 4
19.
1 1 V y 2 y3 12 0 2 64 V 8 12 16 V 8 3 8 V 3 (D) Volume benda putar yang terjadi jika 1
daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x 2 , 1 garis y x dan garis x = 4 diputar 360o 2 terhadap sumbu x adalah …satuan volume. Jawab: 1 y2 x y x 2 1 2 x x 2 1 4x x 4 1 0 x 2 4x 4 1 0 x x 4 4 x 0ataux 16 4
V 2 x 0 4
V 4x 0
2
2
1 x dx 2
1 2 x dx 4 4
1 V 2 x 2 x 3 12 0 16 V 32 12 2 V 26 3 Matematika SMA
96
20.
(C) Volume benda putar yang terjadi bila darah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah… Jawab: 1
V x 2 1 dx 2
1 1
V x 4 2 x 2 1dx 1
1
2 1 V x 5 x 3 x 3 5 1 1 2 1 2 V 1 1 5 3 5 3 1 2 1 2 V 1 1 5 3 5 3 16 V 15 (C)
Matematika SMA
97
