SOLUSI DERET PANGKAT TETAP DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT

SOLUSI DERET PANGKAT TETAP DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT Alexander A S Gunawan Jurusan Matematika dan Statistika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara Jln. K. H. Syahdan No. 9, Kemanggisan/Palmerah, Jakarta Barat 11480 [email protected]

ABSTRACT n

∑i

a

This article discusses about the sum of powers i =1 , which closed solutions empirically have been discovered by Jacob Bernoulli in 1731 in The Art of Conjecture. In this paper, we will find a closed solution of the sum of powers by using the Generating Function. By learning how to derive the closed solution of the sum of powers, the Generating Function can be used to solve the more general series forms.

Keywords: the sum of powers, generating function

ABSTRAK n

Makalah ini membahas mengenai Deret Pangkat Tetap

∑i

a

, yang secara empiris solusi tertutupnya

i =1

telah ditemukan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1731 dalam The Art of Conjecture. Dalam paper ini, akan dicari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap ini dengan menggunakan Fungsi Pembangkit. Dengan mempelajari cara penurunan solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap, Fungsi Pembangkit ini dapat digunakan untuk memecahkan bentuk-bentuk Deret lain yang lebih umum. Kata kunci: deret pangkat tetap, fungsi pembangkit

522

ComTech Vol.1 No.2 Desember 2010: 522-527

PENDAHULUAN Permasalahan mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap S α ( n) =

n

∑i

a

sudah mulai

i =1

dicari sejak 1631 oleh Johan Faulhaber (1580-1635) [Pascal, 2002]. Beliau telah memberikan solusi tertutup sampai dengan nilai α=17, antara lain sebagai berikut:

n( n + 1) 2 i =1 n n( n + 1)( 2n + 1) S 2 ( n) = ∑ i 2 = 6 i =1 2 n n ( n + 1) 2 S 3 (n) = ∑ i 3 = 4 i =1 n

S1 (n) = ∑ i 1 =

…

Selanjutnya Johan Bernoulli yang mempelajari hasil ini [Chen, 2001], mampu menghasilkan bentuk umum dari solusi tertutup secara empiris sebagai berikut:

S α (n) =

1 α ∑ α + 1 k =0

⎛ α + 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ Bk n α +1− k ⎝ k ⎠

Dengan Bk adalah Bilangan Bernoulli sebagai berikut: k Bk

0 1

1 -1/2

2 1/6

4 -1/30

6 1/42

8 -1/30

10 5/66

12 -691/2730

yang dapat dihitung dari persamaan eksplisit berikut ini:

( −1) k k Bk = k 2 −1

k

i −1

∑ 2 ∑ (−1) i =1

−i

j =0

j

⎛ i − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟( j + 1) k −1 ⎝ j ⎠

Formula eksplisit dari J Worpitsky di atas dipublikasikan 170 tahun setelah The Art of Conjectur dari Johan Bernoulli diterbitkan pada tahun 1731 [Silva, 2006]. Secara umum untuk menemukan solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap masih didapatkan secara empiris saja, sehingga tidak dapat diketahui secara pasti bagaimana caranya menurunkan solusi tertutup tersebut. Akibatnya pengetahuan yang didapatkan tidak dapat diterapkan untuk memecahkan bentuk masalah deret yang lain. Dalam makalah ini akan dibahas, penurunan solusi tertutup Deret Pangkat Tetap tersebut dengan Fungsi Pembangkit, sehingga pengetahuan yang didapat dapat digunakan untuk memecahkan bentuk masalah deret yang lain.

PEMBAHASAN Persamaan Beda Akan digunakan Fungsi Pembangkit (Generating Function) untuk mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap [Wilf, 1994]. Untuk maksud ini, Deret Bertingkat tersebut perlu diubah ke dalam bentuk persamaan beda (difference equation) seperti berikut ini:

Solusi Deret Pangkat… (Alexander A S Gunawan)

523

Misalkan: n

∑ i =1

i a = S α ( n) dan

n −1

∑i

a

i =1

= S α (n − 1)

maka Deret Pangkat Tetap dalam bentuk persamaan beda (difference equation) dapat ditulis sebagai: n

n −1

i =1

i =1

S α ( n) = ∑ i a = ∑ i a + n α = S α ( n − 1) + n a Fungsi Pembangkit Untuk memecahkannya Persamaan Beda ini, didefinisikan Fungsi Pembangkit G(x) terlebih dahulu sebagai berikut: ∞

G ( x) = ∑ S α (i ) x i i =0

dan kemudian mencari solusi persamaan beda S α (n) = S α (n − 1) + n [South, 1993] sebagai berikut: ∞

∞

i =0 ∞

i =0

a

(1) dengan fungsi pembangkit

∞

∑ Sα (i) x i = ∑ Sα (i − 1) x i + ∑ i a x i ∑ Sα (i) x i =0

i

i =0

∞

∞

i =1

i =0

= S α (0) + x ∑ S α (i − 1) x i −1 + ∑ i a x i dengan Sα (0) = 0

Dengan menggunakan definisi Fungsi Pembangkit (1) di atas maka diperoleh: ∞

G ( x) = xG ( x) + ∑ i a x i i =0

Selanjutnya dihasilkan Fungsi Pembangkit dari Deret Pangkat Tetap sebagai berikut: ∞

G ( x) =

∑i

a

xi

i =0

(1 − x ) (2)

Bentuk Tanpa Deret Tak Hingga Dari Fungsi Pembangkit ∞

Perhatikan dalam hasil (2) di atas, pada bagian numerator terdapat deret

∑i

a

x i dan untuk

i =0

mendapatkan bentuk tanpa deret hingga dari Fungsi Pembangkit ini perlu dicari solusi tertutupnya ∞

dengan memperhatikan dulu hasil ekspansi Taylor dari deret

∑i

0

x i , yaitu:

i =0

∞ 1 = 1 + x + x 2 + x3 + … = ∑ i0 xi 1− x i =0 ∞

Selanjutnya untuk mendapatkan bentuk fungsi dari deret

∑i

a

x i dengan α=1, dapat mengenakan

i =0

operator turunan

524

d dan kemudian mengalikan hasilnya dengan variable x kembali, sehingga: dx


•

∞

Untuk α=1 maka didapat

∞

∑i x = ∑i x 1

i

i =0

=

i =0

∞


i

∑i

∞

(1 − x )2

xi = ∑ i2 xi =

2

x

x2 + x

(1 − x ) i =0 i =0 • Dan bentuk umum dari fungsi pembangkit dari deret ini adalah: ∞

∑ i a xi = i =0

3

bα x α + bα −1 x α −1 + … + b1 x 1 (1 − x) α +1

(3) dengan konstanta bα bα-1 … b1 dalam persamaan (3) yang pada prinsipnya dapat dicari dengan program

1 ⎛ d ⎞ secara berulang-ulang. ⎟ pada fungsi 1− x ⎝ dx ⎠

komputer dari pengenaan operator ⎜ x

Di bawah ini adalah Tabel Konstanta bi dengan nilai i=1 sampai dengan i=10. orde 1 orde 2 orde 3 orde 4 orde 5 orde 6 orde 7 orde 8 orde 9 orde 10

x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

1 4 11 26 57 120 247 502 1013

1 11 66 302 1191 4293 14608 47840

1 26 302 2416 15619 88234 455192

1 57 1191 15619 156190 1310354

1 120 4293 88234 1310354

1 247 14608 455192

1 502 47840

1 1013

1

Mendapatkan Solusi Tertutup Selanjutnya untuk mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap, perlu dicari konstanta dari suku ke xn pada Fungsi Pembangkit dari Deret Pangkat Tetap. Dengan menggunakan formula Binomial Umum maka konstanta dari suku ke xn dari (1 − x) − k adalah;

⎛ k + n − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ k −1 ⎠ Contoh Kasus Untuk α=1 maka didapat

∞

∞

i =0

i =0

∑ i1 x i = ∑ i x i =

x

(1 − x )2

Maka Fungsi Pembangkit yang didapat adalah:

G ( x) =

x

(1 − x )3

Dengan menggunakan formula Binomial Umum didapat konstanta dari suku xn adalah:

⎛ n + 1⎞ (n + 1) n ⎜⎜ ⎟⎟ = 2! ⎝ 2 ⎠


525


∞

∞

i =0

i =0

∑ i 2 xi = ∑ i2 xi =

x2 + x

(1 − x )3


G ( x) =

x2 + x

(1 − x )

4

=

x2

(1 − x )

4

+

x

(1 − x )4


⎛ n + 2 ⎞ ⎛ n + 1⎞ (n + 2) (n + 1) n (n + 1) n (n − 1) (n + 1) n (2n + 1) (n + 1) n ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = + = (n − 1 + n + 2) = 3! 3! 6 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠


∞

∞

i =0

i =0

∑ i3 xi = ∑ i3 xi =

x 3 + 4x 2 + x

(1 − x )4


G ( x) =

x3 + 4x 2 + x

(1 − x )

5

=

x3

(1 − x )

5

+

4x 2

(1 − x )

5

+

x

(1 − x )5


⎛ n + 3 ⎞ ⎛ n + 2 ⎞ ⎛ n + 1⎞ (n + 3)(n + 2 )(n + 1)n (n + 2)(n + 1)n (n − 1) + (n + 1)n (n − 1)(n − 2) ⎟⎟ = ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜⎜ ⎜⎜ +4 4! 4! 4! ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ (n + 1)n ((n + 3)(n + 2) + 4(n + 2)(n − 1) + (n − 1)(n − 2)) = 4! ( n + 1)n n 2 ( n + 1) 2 (6n(n + 1) ) = = 4! 4

PENUTUP Dengan mempelajari bagaimana solusi tertutup Deret Pangkat Tetap dapat diselesaikan dengan Fungsi Pembangkit, maka pengetahuan yang didapat bisa digunakan untuk memecahkan permasalahan deret yang lain misalnya Deret Bertingkat yang didefinisikan sebagai n

∑ i =1

n

j2

j1

j1

i =1

i = ∑ … ∑∑ i a

m a

jm

m

DAFTAR PUSTAKA Chen, K. W., & Eie, M. (2001). A Note on Generalized Bernoulli Numbers, Pacific Journal of Mathematics, Volume 199 No 1, 2001. Gourdon, X., & Pascal, S. (2002). “Introduction to Bernoulli’s Number”, diakses dari http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html

526


Silva,

J., (2006). Bernoulli Numbers and http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics

Their

Applications,

diakses

dari

South, K. A. (1993). Solving Recurrence with Generating Function, Baltimore: University of Maryland. Wilf, H. S. (1994), Generatingfunctionology. Philadelphia: Academic Press Inc.


527

SOLUSI DERET PANGKAT TETAP DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT

Recommend Documents