Penyelesaian Deret Pangkat Sekitar TitikBiasa

Penyelesaian Deret Pangkat Sekitar Titik Biasa • Metode deret pangkat Bentuk dasar persamaan deret pangkat


  − 





=  +   −  +   − 



+⋯ 1

 adalah sebuah variabel dan  ,  ,  , … adalah konstanta2nya.  adalah konstanta

yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika  = 0 maka akan kita dapatkan deret pangkat .




   =  +   +   + ⋯ 2



Ide dari metode deret pangkat • Ide dari metode deret pangkat

PD:

   

+ ()

 

+   =0

Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut:

 =
   =  +   +   + ⋯ 3 

′ =
   =  +   +   + ⋯ 4 

′′ =
( − 1)   =  +   + "  + ⋯ 5 

Contoh1: •

Tentukan penyelesaian deret pangkat PD

PD:

  

+

 

+  + 2  = 0 , disekitar  .

Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh










( − 1)   + 
   +  + 2
   = 0 






( − 1)   +
   +
  $ + 2
   = 0 














( + 2)( + 1)$   +
   +
   + 2
   = 0





















2 + 6  +
( + 2)( + 1)$   +   +
   +
   + 2 + 2  + 2
   = 0 





2 + 2 + 6 + 3  +
 + 2  + 1 $ +  + 2  +    = 0 

Contoh1 (lanjutan): Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada 2 + 2 = 0& ………………………………………….. (6) 6 + 3 = 0 ………………………………………….. (7)  + 2  + 1 $ +  + 2  +  = 0& $ = −

 + 2  +  &&&,  ≥ 2& … … … … … … … … … … … (8) +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh 2 = −2 maka & = − Dari persamaan 7 diperoleh 6 + 3 = 0 1  = −  2

Contoh1 (lanjutan): Dari&persamaan 8&diperoleh 6768& = 2&&&9:8:&&&&" = −

1 4 +  &&&&&&&&&&&& =  &&&&& ⇔ " 4  12

6768& = 3&&&9:8:&&&&; = −

5; +  3 &&&&&&&&&&&&  &&&&& ⇔ ; = 20 40

Subtitusikan nilai dari  ,  ,&  , … , ; &ke dalam persamaan 3 sehingga

 =
   =  +   +   +   +"  " + ;  ; + & … 

1 3 1   ; + & …  =  +   −   −   +   " + 4 40 2 1 1 3 ;  =  1 −  +  " + & … +   −  +  +&… 4 2 40

Contoh2: Tentukan penyelesaian deret pangkat masalah nilai awal

•



PD:  − 1

   



+ 3  +  = 0 ,

 0 = 4 dan ′ 0 = 6

Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh











 − 1
( − 1)   + 3
   + 
   = 0




( − 1) 







−
( − 1)  





+ 3
 







+ 
   = 0 


































( − 1)   −
( − 1)   + 3
   +
  $ = 0


( − 1)   −
( + 2)( + 1)$   + 3
   +
   = 0
















( − 1)   − 2 − 6  −
( + 2)( + 1)$   + 3  + 3
   +   +
   = 0

Contoh 2 (Lanjutan):

2 +  + 3 − 6  +
−  + 2  + 1 $ +   + 2  +    = 0 

Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada −2 = 0& ………………………………………….. (6)

 + 3 − 6 = 0 ………………………………………….. (7) −  + 2  + 1 $ +   + 2  + 

$ =

  + 2  +  &&&,  ≥ 2& … … … … … … … … … … … (8) +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh −2 = 0

maka & = 0

Dari persamaan 7 diperoleh  =

1 1  +  2 6

Contoh 2 (lanjutan): Dari&persamaan 8&diperoleh 6768& = 2&&&9:8:&&&&" =

1 8 +  &&&&&&&&&&&& =  &&&&& ⇔ " 12 12

6768& = 3&&&9:8:&&&&; =

15 +  1 3 &&&&&&&&&&&& ⇔ ; =  +  &&&&& 20 8 8

Subtitusikan nilai dari  ,  ,&  , … , ; &ke dalam persamaan 3 sehingga 1 1 1 1 3  +   +   " +  +   ; + & …  =  +   + 6 8 2 12 8 1 1 ; 1 1 " 3 ;  =  1 +  +  + & … +   +  +  +  +⋯ 6 8 2 12 8 3 1 15 " 1 5 "  +  + & … +  1 +  +  +  +⋯ ′ =  8 2 3 8 2

Contoh 2 (lanjutan): Untuk& 0 = 4 maka 1 1 1 1 " 3 ;  +  + ⋯ &&&&&&&&&&  =  1 +  +  ; + & … +   +  + 6 8 2 12 8 4& = 

Untuk ′ 0 = 6 3 1 15 " 1 5 " ′ =   +  + & … +  1 +  +  +  +⋯ 8 2 3 8 2 6 =  Jadi penyelesaian masalah syarat awal dalam pangkat  (sampai suku 5) adalah 1 1 1 1 " 3 ;  = 4 1 +  + ; + & … + 6  +  +  +  + ⋯ &&&&&&&&&& 6 8 2 12 8  = 4 + 6 +

1 11 ; 11  + " +  +⋯ 2 4 3

Latihan: • Tentukan penyelesaian deret pangkat x persamaan-persamaan diferensial berikut: A A  + =0 1.&&&&&& +  A A A  A 2.&&&&&& +  + 2 + 1  = 0 A A A  A 3.&&&&&& +  + (3 + 2) = 0 A A A  A +  +  = 0 4.&&&&&&  − 1 A A

Penyelesaian: A  A 1.&&&& +  +  = 0&&&&&&&, disekitar  . A A Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh










( − 1)   + 
   +
   = 0




( + 2)( + 1)$   +
   +
   = 0









(2 +  ) +
( + 2)( + 1)$   +
( + 1)   = 0 



(2 +  ) +
 + 2  + 1 $ +  + 1    = 0 

Penyelesaian (lanjutan) Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada 2 +  = 0 ………………………………………….. (6)

 + 2  + 1 $ +  + 1  = 0&&&&&&&6768& ≥ 1

$ = −

 + 1  &&&,  ≥ 1&&&……………….. (7) +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh 1 2 +  = 0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = −  2

⇔

Dari persamaan 7 diperoleh 6768& = 1&&&9:8:&&&& = −

2 1 &&&&&&&&&&&& = −  &&&&& 6 3

⇔

3 1 &&&&&&&&&&&&" =  12 8 4 1 6768& = 3&&&9:8:&&&&; = − &&&&&&&&&&&&; =  20 15

6768& = 2&&&9:8:&&&&" = −

⇔ ⇔

Penyelesaian (lanjutan): Subtitusikan nilai dari  ,  ,&  , … , ; &ke dalam persamaan 3 sehingga

 =
   =  +   +   +   +"  " + ;  ; + & … 

1 1 1 1  =  +   −   −   +   " +   ; + & … 2 3 8 15 1 1 1 1 ;  −&…  =  1 −  +  " + ⋯ +   −  + 2 8 3 15

Penyelesaian: A A  + 2 + 1  = 0&&&&&, disekitar  . 2.&& +  A A Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh
















( − 1)   + 
   + 2
   +
   = 0




( − 1)   +
   + 2
  $ +
   = 0
















( + 2)( + 1)$   +
   + 2
   +
   = 0









2 +  + 6 + 2  +
 + 2  + 1 $ +  + 1  + 2   = 0 

Penyelesaian (lanjutan) Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada 2 +  = 0& ………………………………………….. (6) 6 + 2 = 0 ………………………………………... (7)  + 2  + 1 $ +  + 1  + 2 = 0&&&&&&&6768& ≥2  + 1  + 2 &&&,  ≥ 2&&&……………….. (8) $ = − +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh

1 2 = − &&&&&&&9:8:&&&&&& = −  2 Dari persamaan 7 diperoleh 1 = −  6 = −2 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ⇔ 3 Dari persamaan 8 untuk  = 2 maka " = −

3 + 2 1 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = −  ⇔ " 12 24 

Penyelesaian (lanjutan) Dari persamaan 8 untuk  = 3 maka ; = −

4 + 2 1 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = −  ⇔ ; 20 30

Subtitusikan nilai dari  ,  ,&  , … , ; &ke dalam persamaan 3 sehingga

 =
   =  +   +   +   +"  " + ;  ; + & … 

1 1 1 1  =  +   −   −   −   " −   ; + & … 2 3 24 30 1 1 " 1 1 ;  =  1 −  −  + ⋯ +   −  −  + & … 2 24 3 30

Penyelesaian: A  A 3.&&&&&& +  + (3 + 2) = 0, disekitar  . A A Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh












( − 1)   + 
   + 3
   + 2
   = 0








( − 1)   +
   + 3
  $ + 2
   = 0 














( + 2)( + 1)$   +
   + 3
   + 2
   = 0











2 + 2 +
 + 2  + 1 $ +  + 2  + 3   = 0 

Penyelesaian (lanjutan) Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada 2 + 2 = 0& ………………………………………….. (6)  + 2  + 1 $ +  + 2  + 3 = 0&&&&&&&6768& ≥ 1

$ = −

 + 2  + 3 &&&,  ≥ 1&&&……………….. (7) +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh 2 = −2 &&&&&&&9:8:&&&&&& = − Dari persamaan 7 untuk  = 1 maka 3 + 3 1 1 ⇔ &&&&&&&&&&&&&&&&& = −  −  6 2 2 Dari persamaan 7 untuk  = 2 maka

 =−

" = −

4 + 3 1 1 &&&&&&&&&&&&&&&&& =  −  ⇔ " 3  4 12

Penyelesaian (lanjutan) Subtitusikan nilai dari  ,  ,  ,& , " &ke dalam persamaan 3 sehingga

 =
   =  +   +   +   +"  " + ⋯ 

1 1 1 1  =  +   −   −   −   +   " −   " + & … 2 2 3 4 1 1 " 1 1 "  =  1 −  −  +  + ⋯ +   −  −  + & … 2 3 2 4

Penyelesaian: A  A 4.&&  − 1 +  +  = 0, disekitar  . A A Subtitusikan 3, 4 dan 5 ke PD maka diperoleh
















( − 1)   −
( − 1)   + 
   + 
   = 0
















( − 1)  $ −
( − 1)   +
  $ +
  $ = 0
















( − 1)( − 2)   −
( + 2)( + 1)$   +
( − 1)   +
   = 0

−2 + −6 +   + −12" + 2  +
( − 1)( − 2) −( + 2)( + 1)$ +    = 0 

Penyelesaian (lanjutan) Koofesien dalam setiap pangkat x dalam ruas kiri harus sama dengan nol. Ini akan membawa syarat pada −2 = 0& ………………………………………….. (6) −6 +  = 0 ………………………………….. (7) −12" + 2 = 0 …………….……………….. (8) ( − 1)( − 2) −( + 2)( + 1)$ +  = 0&&&&&&&6768& ≥ 3

$

( − 1)( − 2) + ( −2 + 2) = = &&,  ≥ 3&&&……………….. (9) +2 +1 +2 +1

Dari persamaan 6 diperoleh −2 = 0&&&&&&&&&&&&&&&&& ⇔ = 0& Dari persamaan 7 diperoleh −6 +  = 0

⇔

B

 = 

Dari persamaan 8 diperoleh

1 −12" + 2 = 0&&&&&&&&&&&&&&&& ⇔ " = 6 

Penyelesaian (lanjutan) Dari persamaan 9, untuk  = 3 maka ( −2 + 2) 5 ; = = =0 +2 +1 20 Dari persamaan 9, untuk  = 4 maka ( −2 + 2) 10 1 = =  B = +2 +1 30 18  Subtitusikan nilai dari  ,  ,  ,& , " &ke dalam persamaan 3 sehingga

 =
   =  +   +   +   +"  " + ⋯ 

1 1 1  =  +   +   +   " +   B + & … 6 6 18 1 1 B 1 "  =  1 +  +  + ⋯ +   +  + & … 6 18 6

Penyelesaian Deret Pangkat Sekitar Titik Singuler Untuk mengingatkan tentang titik singuler perhatikan PD Homogen orde 2 berikut: A  A :  + :  +:  =0 A A Untuk mengetahui titik singuler dari PD di atas maka kita tuliskan persamaan tersebut dalam bbentuk yang ekuivalen yaitu A  A :  :  + C  + D   = 0&&&&&&&&&&&&AE&&&&&C  = &&&&&&A:&&&&D  = A A :  :  Contoh 1 

  2  

+

  

+ −5  =0

⇔

   

C  &A:&D  keduanya analitik kecuali pada  = 0

Jadi  = 0 adalah titik singuler

+

  

+

;  

=0

Contoh 2  A A  − 3 +  + 2 + =0 A A

Persamaan diferensial di&atas diubah menjadi 1 A   + 2 A + +  = 0&&&&&&&&&  − 3 A  − 3 A  + 2 A A  1 + +  = 0&&& A   − 3 A   − 3

C  =

$  

D  =

 

tidak analitik di& = 0 dan  = 3 tidak&analitik di& = 0 dan  = 3

Jadi  = 0 dan  = 3 adalah titik singuler Selidiki lagi apakah dia titik singuler reguler ataukah dia titik singuler ireguler

Penyelesaian Deret Pangkat Sekitar Titik Singuler Secara umum kita buat persamaan diferensial A  A +C  +D   =0 A A 1.

Jika C dan D analitik di  maka& merupakan titik biasa (titik analitik)

2.

Jika C dan D salah satu atau keduanya tidak analitik di  maka& disebut titik singuler.

misal :&&&&&&C  =

N  O

dan D  =

P  O 

2.1&&&&jika p&dan q&keduanya analitik di& , maka& disebut titik singuler reguler. 2.2&&&&jika p&dan q&salah satu atau keduanya tidak analitik di& , maka& disebut titik singuler ireguler.

Contoh 2 (lanjutan) Untuk&&&S Untuk&&& = T +2 +2     C  = &&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  =  −3   −  −3 Maka   &::VW7W8&AW& = 0   1    ⇔ D  = &&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  =   −3  −3 Maka&q  &::VW7W8&AW& = 0 Jadi  = 0 adalah titik singuler reguler

⇔

⇔

⇔

Untuk &S = X     +2 +2 &&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  = C  =  −   −3 ( − 3)  Maka   &::VW7W8&AW& = 3   1   −3 &&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  = D  =  −  −3  −3  Maka&  &::VW7W8&AW& = 3 Jadi& = 3 adalah titik singuler reguler

⇔

⇔

⇔

⇔

Contoh 3  ; +  " − 6

A  A +  + −2  =0 A A

Persamaan diferensial di&atas diubah menjadi  A  + ;  +  " − 6 A

( − 2) A + ;  +  " − 6 A

 = 0&&&&&&&&&

A A  1 ( − 2) + +  = 0&&& A   +  − 6 A   +  − 6 1 1 A A  + +  = 0&&& A   − 2 ( + 3) A   + 3 Jadi  = 0,  =2&dan& = −3 adalah titik singuler Selidiki lagi apakah dia titik singuler reguler ataukah dia titik singuler ireguler

Contoh 3 (lanjutan) Untuk&&&S Untuk&&& = T   1   1 C  = &&&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  =   −   − 2 ( + 3)   − 2 ( + 3) Maka   &::VW7W8&AW& = 0   1   1 D  = &&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  = ⇔   + 3    +3 Maka&q  &7WA:8&::VW7W8&AW& = 0 Jadi  = 0 adalah titik singuler ireguler

⇔

⇔

⇔

Untuk &S = Y   1   1 &&&&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  = C  =   − 2 ( + 3) ( − 2) ( + 3)  −  Maka   &::VW7W8&AW& = 2   1   ( − 2) = &&&&&&&&&&&&&&&  = D  = &&&&&&&&&&&&&  +3  +3  ( − 2) Maka&  &::VW7W8&AW& = 2 Jadi& = 2 adalah titik singuler reguler

⇔

⇔

⇔

⇔

Contoh 3 (lanjutan) Untuk&&S Untuk& = −X   1   1 C  = &&&&&&&&&&&&&&& ⇔  = ( − 2) ⇔   − 2 ( + 3) = ( + 3) &&&&&&&&&&&&&&&  − 

Maka   &::VW7W8&AW& = −3 D  =

  1   +3 ⇔ &&&&&&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&  = ⇔  +3  ( + 3) 

Maka&  &::VW7W8&AW& = −3

Jadi& = −3 adalah titik singuler reguler

Latihan Tentukanlah&titik singuler pada PD&berikut dan selidiki apakah titik tersebut titik singuler reguler atau titik singuler ireguler

1.

 −  − [ + [

   

2.

   

+ +1  =0

+



 $" ;  

+ 2

 

+ −3  =0