PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
LIA YULIAWATI G54104004
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ABSTRACT LIA YULIAWATI. Estimation of Global Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of a Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. This manuscript discusses a method for estimating global intensity function θ of the periodic component of a periodic Poisson process in the presence of a power function trend, which is observed at interval [0,n]. We assumed that the period of the periodic component is known (such as: one day, one week, etc.), the coefficient of the power function trend is also assumed to be known but the periodic component of the intensity function is unknown. So, it is needed an estimator for θ. From the research that has been done, it has been proven that our estimator for θ is consistent if the length of interval observation of the process goes to infinity. It is also has been formulated asymptotic approximations to the bias, variance, and Mean Square Error (MSE) of the estimator. Finally, it is also given the asymptotic normality of the estimator when properly normalized.
ABSTRAK LIA YULIAWATI. Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Pada karya ilmiah ini dibahas suatu metode untuk menduga fungsi intensitas global θ dari komponen periodik suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat yang diamati pada interval [0,n]. Kita asumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut adalah diketahui (seperti: satu hari, satu minggu, dan lain-lain), koefisien pada tren fungsi pangkat juga diasumsikan diketahui tetapi kita tidak mengetahui komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut. Sehingga diperlukan suatu penduga bagi θ. Dari hasil pengkajian yang dilakukan, telah dibuktikan bahwa penduga bagi θ yang dikaji adalah konsisten jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga. Selain itu juga dihasilkan pendekatan asimtotik untuk bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) dari penduga. Akhirnya juga dibahas sebaran normal asimtotik bagi penduga yang dikaji.
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : LIA YULIAWATI G54104004
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul Nama NRP
: Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat : Lia Yuliawati : G54104004
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP. 131 663 020
Ir. Retno Budiarti, M.S. NIP. 131 842 409
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 3 Juli 1987 sebagai anak sulung dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Wasmana Hendrayana dan Wanah. Tahun 1998 penulis lulus dari SDN Puncak Mulya Bandung. Tahun 2001 penulis lulus dari SMPN 1 Tanjungsari Sumedang. Tahun 2004 penulis lulus dari SMAN 1 Tanjungsari Sumedang dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II pada tahun ajaran 2006/2007, asisten mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa pada tahun ajaran 2006/2007, asisten mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial pada tahun ajaran 2007/2008, dan asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang pada tahun ajaran 2007/2008. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departemen Keilmuan periode 2006/2007. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain mengikuti Program Guru Tambahan Tingkat Sekolah Dasar 2004/2005, Anggota Tim Khusus Matematika Ria 2006, Koordinator Tim Khusus Matematika Ria 2007, Anggota Tim Acara Sains Expo 2007, Pelatihan Penyegaran Materi Matematika Universitas 2007, dan Peserta Olimpiade Matematika Nasional Tingkat Mahasiswa 2007.
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 3. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, dan Mas Ari. 6. Keluargaku tercinta: bapak (terima kasih atas kerja kerasnya menyekolahkan anakmu ini hingga sekarang), ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya. Ibu selalu menjadi ibu terbaik sedunia), Deli Diana, Nabilah Syafawani, Nek Erum, Nek Isah, Aki Karna, Wa Cacih, Wa Tohir, Bi Acah, Teh Ae, Teh Ani, Teh Awang, Irma, Rumi, Hojah, Yani, dan lainnya (makasih atas doanya). 7. Teman-teman Math 41: Mukti, Diah, Ani, Dian, Armi, Ayu, Janah, Febrina, Ika, Titis, Fitrie, Intan, Niken, Liam, Eli, Tia, Nidia, Mahar, Ro’fah, Eva, Uwie, Endit, Sita, Sifa, Maryam, Peny, Roma, Eny, Kurenz, Echie, Ria, Rita, Darwisah, Rina, Fariz, Iboy, Aji, Zali, Great, Udin, Mazid, Mora, Fred, Chubby, Deni, Amin, Yaya, Idris, Dika, Mahnuri, Mimin, Racil, Cumi, Triyadi, dan lainnya (terima kasih atas doanya. Ayo cepat menyusul). 8. Teman-teman Math 42: Hapsari, Niken, Ilyas, Vera, Jane, Hikmah, Achi, Lisda, Gita, Riken, Ocoy, Wiwi, Bayu, Eyyi, Iput, Ridwan, Nyoman, Ayu, Agnes, Mukhtar, Fachri, Lela, Rima, Herry, Mocco, Okta, Hesti, Yuni, Didi, Warno, Adi, Obby, Zil, Mega, Djawa, Carwidah, Yudi, Danu, Nofita, Dendy, Dwi, Titi, Acuy, Tia dan lainnya (makasih buat dukungannya). 9. Teman-teman Math 43: Arum, Cici, Wira, dan lainnya (makasih dukungannya). 10. Adik-adik 44: Saski, Tari, Aomi, Tya, Tia, Siska, Ery, Emil, Nufi, Yanti, Dina, Devy, Nadia, Icha, Lina, Dinar, Ririn, Fikrin, Bio, Pram, Feby, Indi, Riri, Ninit, Asti, Chabe, Sista, Marcha, Rany, Putri, Rifah, Karti, Risma, Tita, Zulmy, Anggit, Wita, Hari, dan lainnya (makasih atas semangat dan dukungannya). 11. Teh Walidah (makasih atas bantuan, saran, dan motivasinya). 12. Para Pengajar MSC: K’Syam, K’Hepy, K’Taufik, K’Jae, K’Indra, K’Yudi, Dewi, Poppy, Ipul, Elis, Dita, Deri, Arum, Fifi, Engkus, Ikang, Basir, dan lainnya (makasih atas semangat dan motivasinya). 13. Keluarga Buls: Indri, Tika, dan Adin (makasih atas bantuan dan doanya). 14. Noneng, Merry, Teh Ani, Melcy, Bayu, Diki, Deni, dan Novi (makasih atas persahabatan dan doanya). 15. Teman-teman Kostan Istana 200: Ifah, Rizka, K’Nino, Imah, Nera, Cira, Ema, K’Nana, Dinda, Tika, K’Dian, Mira, Tia, Ula, Ayu, Fitri, Indri, Riza, Nida, K’Indah, dan K’Iie(makasih atas semangat dan dukungannya). Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2008
Lia Yuliawati
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ........................................................................................................................... vii DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................... viii PENDAHULUAN Latar Belakang ................................................................................................................. 1 Tujuan ............................................................................................................................... 1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .............................................................................. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran .................................................................................... Momen, Nilai Harapan dan Ragam .................................................................................. Penduga dan Sifat-sifatnya ............................................................................................... Proses Poisson .................................................................................................................. Beberapa Definisi dan Lema Teknis ................................................................................
1 2 2 3 4 5
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Bagi θ .............................................................................................. 6 Kekonsistenan θˆn ............................................................................................................ 7 Pendekatan Asimtotik untuk MSE dari θˆn ...................................................................... 7 Sebaran Normal Asimtotik dari θˆn .................................................................................... 11 KESIMPULAN ....................................................................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 14 LAMPIRAN ............................................................................................................................ 15
vii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Pembuktian Lema 2 ................................................................................................................. 16 Pembuktian Lema 4 ................................................................................................................. 17 Pembuktian Lema 5 ................................................................................................................. 18
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak masalah yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu antrian di pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya). Proses kedatangan pengguna line telepon juga merupakan suatu proses stokastik. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik. Proses ini adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat membentuk fungsi pangkat terhadap waktu, maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat, fungsi intensitas dari proses tersebut
umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada banyak kasus, kita hanya memerlukan informasi tentang rata-rata dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Rata-rata dari fungsi intensitas ini pada selang waktu satu periode disebut fungsi intensitas global. Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi intensitas global dari komponen periodik suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk : (i) Mempelajari perumusan penduga intensitas global pada proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat . (ii) Menentukan syarat minimal agar penduga yang diperoleh adalah konsisten. (iii) Menentukan pendekatan asimtotik dari bias, ragam dan MSE dari penduga yang dikaji. Menentukan sebaran normal asimtotik dari penduga yang dikaji.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian Lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong ∅. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. ∅ ∈ F. 2.
Jika A ∈ F, maka Ac ∈ F.
3.
Jika A1, A2, … ∈ F, maka
∞
∪ A ∈ F. i
i =1
Medan-σ di atas disebut medan Borel jika Ω= dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett and Stirzaker 1992)
2
Definisi 5 (Ukuran Peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan F adalah medan-σ pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur F ke himpunan bilangan nyata , atau
Definisi 9 (Fungsi Sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian A=(-∞,x] ⊂ A, maka peluang dari kejadian A adalah p X ( A ) = Ρ ( X ≤ x ) = FX ( x ) .
P:F →
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg and Craig 1995)
1. 2.
3.
disebut ukuran peluang jika:
P tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ F, P(A) ≥ 0. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1, A2, … ∈ F dengan Aj ∩ Ak = ∅ , j≠k, maka ⎛ ∞ ⎞ ∞ Ρ ⎜ ∪ An ⎟ = ∑ Ρ ( An ) . ⎝ n =1 ⎠ n =1 P bernorma satu, yaitu P(Ω) = 1.
Pasangan (Ω, F, P ) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg and Craig 1995) Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: Ρ ( A ∩ B ) = Ρ ( A) Ρ ( B ) . Secara umum, himpunan kejadian {Ai; i ∈ I} dikatakan saling bebas jika: ⎛ ⎞ Ρ ⎜ ∩ Ai ⎟ = ∏ Ρ ( Ai ) ⎝ i∈J ⎠ i∈J untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah Acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X(ω) = x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}. (Hogg and Craig 1995) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Definisi 8 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg and Craig 1995)
Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu) Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai:
FX ( x ) =
x
∫
f X ( u )du, x ∈
−∞
untuk suatu fungsi yang terintegralkan f : → [0, ∞) . (Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 11 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak → [0,1] yang diskret X adalah fungsi p : diberikan oleh: pX ( x ) = Ρ ( X = x ) . (Hogg and Craig 1995) Definisi 12 (Peubah Acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ > 0, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh
pX ( k ) = Ρ ( X = k ) = e−λ .
λk k!
,
untuk k = 0, 1, … (Ross 2003) Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2. Maka X+Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ1 + λ2. Bukti: lihat Taylor and Karlin 1984.
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 13 (Nilai Harapan) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x ) = Ρ ( X = x ) . Nilai harapan dari X,
dinotasikan dengan E(X), adalah Ε ( X ) = ∑ xΡ ( X = x ) = ∑ x pX ( x ) , x
x
3
jika jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg and Craig 1995) Definisi 14 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x ) dan
nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Var ( X ) atau σ X2 , adalah
(
)
σ X2 =Ε ( X −Ε ( X ) ) = ∑( x −Ε ( X ) ) pX ( x) . 2
2
x
(Hogg and Craig 1995) Definisi 15 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif , maka momen ke-k atau mk dari peubah acak X adalah mk = Ε ( X k ) .
(Hogg and Craig 1995) Definisi 16 (Momen Pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif , maka momen pusat ke-k atau σ k dari peubah acak X adalah
(
σ k = Ε ( X − m1 )
k
).
(Hogg and Craig 1995) Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan rataan atau momen pertama dari X. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Definisi 17 (Nilai Harapan Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ι A : Ω → [ 0,1] , yang diberikan oleh:
⎧ 1, Ι A (ω ) = ⎨ ⎩0,
jika ω ∈ A jika ω ∉ A .
Dengan fungsi indikator menyatakan hal berikut : Ε Ι A = Ρ ( A) .
kita
dapat
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 18 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada
satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg and Craig 1995) Definisi 19 (Penduga) Misalkan X1, X2, …, Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …, Xn) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g(θ), dilambangkan oleh gˆ (θ ) .
Bilamana nilai X1 = x1, X2 = x2, …, Xn = xn, maka nilai U(X1, X2, …, Xn) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g(θ). (Hogg and Craig 1995) Definisi 20 (Penduga Tak Bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X1, X2, …, Xn)] = g(θ) disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim Ε ⎡⎣U ( X 1 , X 2 ,… , X n ) ⎤⎦ = g (θ ) n →∞
untuk n→∞, maka U(X1, X2, …, Xn) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi parameter g(θ). (Hogg and Craig 1995) Definisi 21 (Kekonvergenan Dalam Peluang) Misalkan X1, X2, …, Xn adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω, F, P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan p X n ⎯⎯ → X , jika untuk setiap ε > 0 berlaku Ρ ( X n − X > ε ) → 0 , untuk n →∞.
(Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 22 (Penduga Konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ). (Hogg and Craig 1995) Definisi 23 (MSE suatu Penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(θ) didefinisikan sebagai MSE(U) = E(U-g(θ))2 = (Bias(U))2 + Var(U), dengan Bias(U) = EU - g(θ).
4
Proses Poisson Definisi 24 (Proses Stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t ∈ T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. (Ross 2003) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan X(t) sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Definisi 25 (Proses Stokastik Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 2003) Definisi 26 (Inkremen Bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t ∈ T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < … < tn, peubah acak X(t1) – X(t0), X(t2) – X(t1), …, X(tn) – X(tn-1) adalah bebas. (Ross 2003)
banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut: (i) N(t) ≥ 0 untuk semua t ∈ [0,∞). (ii) Nilai N(t) adalah integer. (iii) Jika s < t maka N(s) ≤ N(t), s, t ∈ [0,∞). (iv) Untuk s < t maka N(t) – N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t]. (Ross 2003) Definisi 29 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ>0, jika dipenuhi tiga syarat berikut. (i) N(0) = 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi untuk semua t, s > 0,
Ρ( N( t + s) −N( s) =k) =
e−λt ( λt ) k!
k
,k = 0, 1, … (Ross 2003)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: E (N(t)) = λt .
Definisi 27 (Inkremen Stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t ∈ T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross 2003)
Definisi 30 (Proses Poisson Tak Homogen) Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson tak homogen jika laju λ pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ(t). Selanjutnya λ(t) disebut fungsi intensitas dari proses tersebut. (Ross 2003)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu [0,∞). Definisi 28 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan
Definisi 31 (Fungsi Periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ ( s + kτ ) = λ ( s )
untuk semua s ∈ dan k ∈ , dengan menyatakan himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. (Browder 1996) Definisi 32 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001)
5
Definisi 33 (Fungsi Intensitas Global) Misalkan N ([ 0, n ]) adalah proses Poisson
pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai θ = lim n →∞
ΕN
([0, n ])
τ
∫ λ ( s ) ds .
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 34 (Fungsi Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh μ ( B ) = ∫ λ ( s ) ds < ∞ . B
(Dudley 1989) Definisi 35 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. u ( x ) = O ( v ( x )) , x → L , (i) Notasi u (x )
bahwa
v (x )
terbatas,
Ε( XY ) ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) .
u v
(x ) (x )
→ 0
, untuk
x → L. (Serfling 1980) Lema 3 (Teorema Fubini) Misalkan (X, A, μ1) dan (Y, B, μ2) adalah dua ruang ukuran σ-finit. Jika f ≥ 0 atau ∫ f d μ < ∞ maka
∫ ∫ f ( x, y ) μ ( dy ) μ ( dx ) = ∫ 1
X Y
XxY
= ∫ ∫ f ( x, y ) μ1 ( dx ) μ2 ( dy ) . Y X
Bukti: lihat Durret 1996.
f dμ
Lema 6 (Teorema Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) memenuhi persamaan ∞ f (n) (a) f (x) = ∑ (x − a)n n! n=0 = f (a) +
f (1) (a) f (2) (a) (x − a)1 + (x − a)2 + .... 1! 2!
Bukti: lihat Stewart 1999. Lema 7 (Teorema Limit Pusat(CLT)) Misalkan { X i } adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan {μi } dan ragamnya bernilai n
terhingga {σ i2 } . Jika Bn2 = ∑ σ i2 dan untuk i −1
suatu v > 2 ,
n
∑E X i =1
u ( x ) = o ( v ( x )) , x → L ,
menyatakan bahwa
2
Lema 5 (Pertaksamaan Cauchy-Schwarz) Untuk setiap X dan Y berlaku
Bukti: lihat Lampiran 3.
c
0
untuk x → L. (ii) Notasi
.
τ
Bukti: lihat Lampiran 1.
menyatakan
k2
Bukti: lihat Lampiran 2.
Lema 2 (Fungsi Intensitas Global) Jika N([0,n]) adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas λc, maka limit di atas ada dan 1
σ2
Ρ { X − μ ≥ k} ≤
n
jika limit di atas ada.
θ =
Lema 4 (Pertaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam σ2, maka untuk setiap k > 0,
maka
1 n ∑ Xi n i −1
− μi = o ( Bnv ) , n → ∞ , v
i
adalah normal asimtotik
dengan nilai harapan
1 n ∑ μi n i −1
dan ragam
1 2 Bn , dinotasikan n2 1 n 1 ⎛1 n ⎞ D X i ⎯⎯ → AN ⎜ ∑ μi , 2 Bn2 ⎟ . ∑ n n i −1 ⎝ n i −1 ⎠
Bukti: lihat Serfling 1980.
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Bagi θ
Misalkan N adalah proses Poisson pada interval [0, ∞ ) dengan rataan μ yang kontinu mutlak, dan fungsi intensitas λ yang terintegralkan lokal. Untuk setiap himpunan Borel terbatas B, maka μ ( B ) = ΕN ( B ) = ∫ λ ( s ) ds < ∞ .
minggu, dan lain-lain), tetapi fungsi λc pada [0,τ ) tidak diketahui. Kita asumsikan koefisien a adalah diketahui. Pada situasi ini kita definisikan penduga θ sebagai berikut (1−b) nτ 1 N([s + kτ −τ /2, s +kτ +τ /2]) θˆn = 1−b ∑ b nτ k=1 k τ
−(1−b)aτbnτ b
B
Fungsi λ diasumsikan terdiri atas dua komponen yaitu komponen periodik λc , dengan periode τ>0 (diketahui) dan komponen tren yang berupa fungsi pangkat asb, dengan koefisien a diketahui dan 0 ≤ b ≤ 1 (b sembarang bilangan nyata dan diasumsikan diketahui). Dengan kata lain, untuk setiap s ∈ [0, ∞ ) , fungsi intensitas λ dapat dituliskan sebagai (1) λ ( s ) = λc ( s ) + as b dengan λc ( s ) adalah fungsi periodik dengan periode τ . Dalam tulisan ini, dibahas perumusan pendugaan fungsi intensitas global θ untuk sembarang nilai b dimana 0 < b < 1 . Untuk kasus b = 0 telah dikaji pada jurnal Helmers dan Mangku (2000). Sedangkan untuk b = 1 telah dikaji pada Mangku (2005). Sebelumnya kita asumsikan λc adalah periodik sehingga persamaan λc ( s + kτ ) = λc ( s) (2) berlaku untuk setiap s ∈ [0, ∞) dan k ∈ , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Di sini kita perhatikan proses Poisson pada [0, ∞ ) karena λ harus memenuhi (1) dan harus tak-negatif. Dengan alasan yang sama, kita hanya perhatikan untuk kasus a>0. Misalkan untuk suatu ω ∈ Ω , kita hanya memiliki sebuah realisasi N (ω ) dari proses Poisson N yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω,F,P) dengan fungsi intensitas λ seperti pada (1), yang diamati pada interval terbatas [0,n]. Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah untuk mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi intensitas global τ 1 1 (3) θ = μ ([ 0,τ ]) = ∫ λc ( s ) ds τ τ 0 dari komponen periodik λc dari fungsi intensitas λ pada (1). Pada tulisan ini, kita asumsikan bahwa periode τ diketahui (seperti: satu hari, satu
(4) nτ adalah bilangan bulat terbesar
dengan
yang lebih kecil atau sama dengan n
yaitu nτ =
τ
n
τ
,
.
Penduga dari θ yaitu θˆn diperoleh dari
θ=
1
τ
s + kτ +τ / 2
∫
λc ( x ) dx
(5)
s + kτ −τ / 2
untuk setiap x ∈ [0, ∞ ) dan setiap bilangan bulat positif k. nτ 1 Misalkan Ln ,b = ∑ b , maka dengan (5) k =1 k diperoleh 1 nτ 1 θ= ∑ θ Ln ,b k =1 k b =
1 Ln ,b
nτ
1 ∑ b τ k k =1
s + kτ +τ / 2
∫
λc ( x)dx .
s + kτ −τ / 2
Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) maka kuantitas di atas sama dengan s + kτ +τ / 2 1 nτ 1 θ= (λ ( x) − ax b ) dx ∑ Ln ,b k =1 k bτ s + kτ∫−τ / 2 =
1 Ln ,b −
nτ
1 ∑ b k τ k =1
1 Ln ,b
nτ
s + kτ +τ / 2
∫
λ ( x)dx
s + kτ −τ / 2
1 ∑ b τ k k =1
s + kτ +τ / 2
∫ τ τ
ax b dx .
s+k − / 2
Dengan perubahan batas integral pada suku kedua ruas kanan persamaan di atas, maka diperoleh s + kτ +τ / 2 1 nτ 1 θ= λ ( x)dx ∑ Ln ,b k =1 k bτ s + kτ∫−τ / 2 −
a Ln ,b
1 = Ln,b
nτ
1
τ /2
∑k τ ∫ τ k =1
b
( x + s + kτ )b dx
− /2
1 EN ([ x + s − kτ , x + s + kτ ]) ∑ b τ k =1 k nτ
7
−
a Ln ,b
τ /2
nτ
1 ∑ b k τ k =1
∫ τ
Pendekatan Asimtotik untuk MSE dari θˆn
( x + s + kτ )b dx.
− /2
(6) Perhatikan bahwa ( x + s + kτ ) b = ( kτ ) b + O (1). (7) Suku kedua pada ruas kanan persamaan (6) menjadi τ /2 a nτ 1 ( x + s + kτ )b dx ∑ b Ln ,b k =1 k τ −τ∫/ 2 = = =
nτ
τ /2
a Ln ,b
∑k τ ∫ τ
a Ln ,b
∑k
a Ln ,b
∑τ
1 b
k =1 nτ
Bukti: Pertama, akan dibuktikan persamaan (11). Nilai harapan dari persamaan (4) adalah (1−b) nτ 1 ΕN([s + kτ −τ /2, s + kτ +τ / 2]) Εθˆn = 1−b ∑ b τ nτ k=1 k
− /2
1
k =1 nτ
((kτ )b + O(1))dx
b
b
((kτ )b + O(1)) + O (1)
− (1 − b) aτ b nτ b .
k =1
=
a nτ τ b + O (1) Ln ,b
≈
aτ b nτ . Ln ,b
Dengan mengganti EN menjadi N, persamaan (6) dapat dituliskan sebagai berikut 1 nτ 1 N ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) θ≈ ∑ Ln ,b k =1 k b τ −
aτ b nτ . Ln ,b
Karena Ln ,b
Teorema 2: (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari θˆn ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka abs(1− b)ln(n) ⎛ 1 ⎞ Ε(θˆn ) = θ + + O⎜ 1−b ⎟ n1−b ⎝n ⎠ (11) jika n → ∞ .
(8) 1 1− b untuk n → ∞ , maka nτ ∼ 1− b
diperoleh: (1− b) nτ 1 N([s + kτ −τ / 2, s + kτ +τ / 2]) θ ≈ 1−b ∑ b τ nτ k =1 k −(1 − b) aτ b nτ b .
(12) Suku pertama pada ruas kanan persamaan (12) sama dengan s + kτ +τ / 2 (1− b) nτ 1 1−b ∑ b ∫ λ(x)dx. nτ k =1 k τ s + kτ −τ / 2 Dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi τ /2 (1 − b) nτ 1 = 1− b ∑ b ∫ λ ( x + s + kτ )dx. nτ k =1 k τ −τ / 2 Dengan persamaan (1) diperoleh τ /2 (1− b) nτ 1 = 1−b ∑ b ∫ λc (x + s + kτ ) + a(x + s + kτ )bdx nτ k =1 k τ −τ / 2 τ /2
=
(1− b) nτ 1 λc (x + s + kτ )dx ∑ nτ1−b k =1 kbτ −τ∫/ 2 τ /2
+
(9)
Kekonsistenan θˆn Teorema 1: (Kekonsistenan θˆn ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka P θˆn ⎯⎯ →θ jika n → ∞. (10) ˆ Dengan kata lain, θ merupakan penduga n
yang konsisten bagi θ . MSE dari θˆn konvergen ke 0 jika n → ∞ . Bukti:Teorema 1 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4.
(1−b) nτ 1 a(x + s + kτ )b dx. ∑ nτ1−b k =1 kbτ −τ∫/ 2
(13) Dengan persamaan (2), suku pertama ruas kanan persamaan (13) menjadi τ /2 (1 − b ) nτ 1 1− b ∑ b ∫ λc ( x + s)dx nτ k =1 k τ −τ / 2 τ /2
=
nτ (1 − b) 1 1 ( ) x + s dx λ . ∑ c b nτ 1− b τ −τ∫/ 2 k k =1
(14) Diketahui bahwa nτ 1 nτ 1− b = + O (1) ∑ b 1− b k =1 k (15) jika n → ∞ (Lihat Titchmarsh 1960). Dengan mensubstitusikan persamaan (15) pada ruas kanan persamaan (14) diperoleh
8
τ /2
nτ (1− b) 1 1 λc (x + s)dx∑ b 1−b ∫ nτ τ −τ / 2 k k =1
τ /2 ⎛ n 1−b ⎞ (1− b) 1 λc (x + s)dx ⎜ τ + O(1) ⎟ 1−b ∫ 1 − b nτ τ −τ / 2 ⎝ ⎠
= = =
1
τ /2
τ − /2 1
(1− b) 1
∫ λ (x + s)dx + nτ τ
τ /2
τ −τ∫/ 2
c
1−b
τ /2
τ −τ∫/ 2
λc (x + s)dxO(1)
⎛ 1 ⎞ 1−b ⎟ ⎝n ⎠
λc (x + s)dx + O⎜
jika n → ∞ . (16) Dengan perubahan batas integral, maka ruas kanan persamaan (16) menjadi 1
s +τ / 2
τ s −∫τ / 2
⎛ 1 ⎞ 1−b ⎟ ⎝n ⎠
λc ( x)dx + O ⎜
⎛ 1 ⎞ = θ + O ⎜ 1−b ⎟ ⎝n ⎠ (17) jika n → ∞ . Suku kedua pada ruas kanan persamaan (13) menjadi τ /2 (1 − b) nτ 1 a( x + s + kτ )b dx 1− b ∑ b ∫ τ nτ k k =1 −τ / 2 b
τ /2
nτ (1 − b)a ⎛ x + s + kτ ⎞ = 1−b ∑ ⎜ ⎟ dx. ∫ nτ τ −τ / 2 k =1 ⎝ k ⎠
(18) Perhatikan b
b
τ ⎛ x + s + kτ ⎞ ⎛ x+s ⎞ +τ ⎟ ⎟ =∑ ⎜ k ⎠ k =1 ⎝ k ⎠ k =1 nτ ⎛ ( x + s) ( x + s)2 ⎞ = ∑ ⎜τ b + bτ b −1 + b(b − 1)τ b − 2 ⎟ k 2k 2 ⎠ k =1 ⎝ = nτ τ b + bτ b −1 (ln nτ )( x + s) + O(1) jika n → ∞ . (19) Dengan mensubstitusikan persamaan (19) pada ruas kanan persamaan (18) dapat diperoleh a(1 − b)bτ b −1 s ln(nτ ) ⎛ 1 ⎞ = a(1 − b)nτ bτ b + + O ⎜ 1−b ⎟ 1− b nτ ⎝n ⎠ jika n → ∞ . (20) Dengan menggabungkan persamaan(17) dan persamaan (20), maka persamaan (13) terbukti sebagai berikut absτ b−1 (1− b)ln(nτ ) ⎛ 1 ⎞ Ε(θˆn ) = θ + + O⎜ 1−b ⎟ nτ1−b ⎝n ⎠ abs(1− b)ln(n) ⎛ 1 ⎞ =θ + + O⎜ 1−b ⎟ 1−b n ⎝n ⎠ jika n → ∞ . Maka Teorema 2 terbukti.
nτ
∑ ⎜⎝
n
Teorema 3: (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari θˆn ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka a(1 − b) (1 − b)2 θ ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 2(1−b) ⎟ Var (θˆn ) = 1−b + (1 − 2b)n n ⎝n ⎠ 1 untuk 0 < b < , (21) 2 a(1− b) ⎛ ln n ⎞ Var(θˆn ) = 1−b + O⎜ 2(1−b) ⎟. n ⎝n ⎠ 1 untuk b = , dan (22) 2 a (1 − b) ⎛ 1 ⎞ Var (θˆn ) = 1−b + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ n ⎝n ⎠ 1 untuk < b < 1 , (23) 2 jika n → ∞ . Bukti: Akan dibuktikan persamaan (21), (22), dan (23). Catatan, untuk setiap j ≠ k , j , k = 1, 2,...,
([ s + jτ − τ / 2, s + jτ + τ / 2]) ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) tidak
maka
dan saling
tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N([ s+ jτ −τ /2, s+ jτ +τ /2]) dan
N ([ s + kτ −τ /2, s + kτ +τ /2])
adalah
bebas,
untuk k ≠ j . Telah didefinisikan penduga bagi θ yaitu ˆ θ n pada persamaan (4). Sehingga Var (θˆ ) dapat dihitung sebagai n
berikut: Var(θˆn ) =
(1− b)2 nτ 1 ∑ Var(N ([s + kτ −τ / 2, s + kτ +τ / 2])) nτ 2(1−b) k =1 k 2bτ 2
=
(1− b)2 nτ 1 λ(x)dx. ∑ nτ 2(1−b) k =1 k 2bτ 2 s+kτ∫−τ / 2
s+kτ +τ / 2
Dengan menggunakan persamaan (1), maka Var (θˆn ) =
(1 − b) 2 nτ 2(1−b )
nτ
∑k k =1
τ /2
1
τ 2 −τ∫/ 2
2b
λc ( x + s + kτ )
+ a ( x + s + kτ )b dx =
(1 − b) 2 nτ 2(1− b )
nτ
∑k k =1
τ /2
1
τ2
2b
∫
λc ( x + s + kτ ) dx
−τ / 2
τ /2
(1−b)2 nτ 1 a(x + s + kτ )b dx. 2(1−b) ∑ 2b 2 ∫ nτ k =1 k τ −τ / 2 Kemudian, dengan persamaan (2) diperoleh +
9
Var(θˆn )
+
τ /2
(1− b)2 nτ 1 = 2(1−b) ∑ 2b 2 ∫ λc (x + s)dx nτ k =1 k τ −τ / 2 (1− b)2 nτ 1 a(x + s + kτ )b dx ∑ nτ 2(1−b) k =1 k 2bτ 2 −τ∫/ 2 τ /2
=
nτ (1− b)2 1 1 λc (x + s)dx∑ 2b 2(1−b) 2 ∫ nτ τ −τ / 2 k =1 k
τ /2
+
(1− b)2 nτ 1 a(x + s + kτ )b dx. ∑ nτ 2(1−b) k =1 k 2bτ 2 −τ∫/ 2
(24) Perhatikan bahwa nτ n 1− 2b 1 1 i ) ∑ 2b = τ +O(1) untuk 0 < b < b 1 2 2 − k k =1 ii )
nτ
1
∑k k =1 nτ
= ln(nτ )+O (1)
2b
1
untuk b =
1 2
1 < b <1 2 jika n → ∞ (Lihat Titchmarsh 1960). iii)
∑k k =1
= O(1)
2b
untuk
(25) Dengan menggunakan persamaan (25), kita bagi menjadi 3 kasus. Terlebih dahulu kita uraikan untuk kasus 1 pertama 0 < b < . Suku pertama pada ruas 2 kanan persamaan (24) menjadi τ /2
(1 − b) 2 nτ 2(1−b )τ 2 = = =
∫ τ
nτ
− /2
(1 − b) nτ 2(1− b )τ 2 2
1 2b k =1 k
λc ( x + s)dx ∑
τ /2
∫
⎛ nτ 1− 2b ⎞ +O(1) ⎟ − 1 2 b ⎝ ⎠
τ /2
∫
−τ / 2
⎛ 1 ⎞ 2 (1− b ) ⎟ ⎝n ⎠
λc ( x + s)dx + O ⎜
(1 − b) 2 θ ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ (1 − 2b)nτ τ ⎝n ⎠
(26) Substitusikan persamaan (7) pada suku kedua ruas kanan persamaan (24) menjadi τ /2 (1 − b) 2 nτ 1 a ( x + s + kτ )b dx 2(1− b ) ∑ 2 b 2 ∫ nτ k =1 k τ −τ / 2 (1 − b) 2 nτ 2(1− b )
(1 − b) = 2(1−b ) nτ
nτ
∑k k =1
2 nτ
∑k k =1
∑k τ ∫ τ k =1
b
2
O (1) dx
− /2
a (1 − b) 2 nτ 1 ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ 2(1− b ) 1− b ∑ b τ k =1 k nτ ⎝n ⎠ jika n → ∞ . Substitusikan persamaan (15) pada persamaan diatas maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (24) sama dengan a(1 − b) ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ 1− b n ⎝n ⎠ jika n → ∞ . (27) 1 Sehingga diperoleh, untuk 0 < b < , 2 2 a(1 − b) (1 − b) θ ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 2(1−b) ⎟ Var (θˆn ) = 1−b + (1 − 2b)nτ n ⎝n ⎠ jika n → ∞ . Dengan cara yang sama untuk kasus kedua 1 b= sebagai berikut 2 a(1− b) ⎛ ln n ⎞ Var(θˆn ) = 1−b + O⎜ 2(1−b) ⎟ n ⎝n ⎠ 1 jika n → ∞ , dan untuk kasus ketiga < b < 1 2 sebagai berikut a (1 − b) ⎛ 1 ⎞ Var (θˆn ) = 1−b + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ n ⎝n ⎠ jika n → ∞ .
Maka Teorema 3 terbukti.
τ /2
a
τ
2b
2
τ
(kτ )b + O(1)dx
− /2
τ /2
a 2b
∫ τ
2
∫ τ
− /2
Teorema 4: (Pendekatan Asimtotik untuk MSE dari θˆn ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka MSE(θˆn )
(1 − b) 2 θ ⎛ 1 ⎞ = + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ (1 − 2b)n ⎝n ⎠ jika n → ∞ .
=
τ /2
a
λc ( x + s)dx ⎜
−τ / 2
(1 − b) 2 (1 − 2b)nτ τ 2
nτ
=
τ /2
+
(1 − b) 2 nτ 2(1− b )
(kτ ) dx b
⎛ an1−b θ n1−2b 2⎞ + + ( abs ln(n) ) ⎟ (1 − b)2 ⎜ ⎝ (1 − b) (1 − 2b) ⎠ + O ⎛ ln n ⎞ = ⎜ 2(1−b) ⎟ n2(1−b) ⎝n ⎠
untuk 0 < b <
1 , 2
(28)
MSE (θˆn ) ⎛ an1− b 2 ⎞ + ( abs ln( n) ) ⎟ (1 − b) 2 ⎜ − (1 ) b ⎝ ⎠ +O ⎛ ln n ⎞ = ⎜ 2(1− b ) ⎟ n 2(1− b ) ⎝n ⎠
untuk b =
1 , dan 2
(29)
10
MSE(θˆn )
MSE(θˆn ) =
a(1− b)n1−b + ( abs(1− b)ln(n))
2
2(1−b)
n
⎛ ln n ⎞ + O⎜ 2(1−b) ⎟ ⎝n ⎠
1 untuk < b < 1 , 2 jika n → ∞ .
=
2
⎛ abs(1− b)ln(n) ⎛ 1 ⎞⎞ +⎜ + O⎜ 1−b ⎟ ⎟ 1−b n ⎝ n ⎠⎠ ⎝
(30)
Bukti Berdasarkan Definisi 23 maka 2 MSE (θˆn ) = Var (θˆn ) + Bias(θˆn ) .
(
)
(31)
Dari Teorema 2 dan Teorema 3 maka 1 MSE (θˆn ) untuk kasus 0 < b < diperoleh 2 MSE (θˆn ) a (1 − b) (1 − b) 2 θ ⎛ 1 ⎞ + + O ⎜ 2 (1− b ) ⎟ (1 − 2b)n n1− b ⎝n ⎠ ⎛ abs (1 − b) ln(n) ⎛ 1 ⎞⎞ +⎜ + O ⎜ 1− b ⎟ ⎟ 1− b n ⎝ n ⎠⎠ ⎝ =
2
+
2
n 2(1− b )
=
n
1 diperoleh 2
(33) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa θˆn adalah penduga konsisten bagi θ, yaitu bahwa untuk setiap ε > 0 berlaku Ρ θˆ − θ > ε → 0 , jika n → ∞ .
(
)
nn
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut Ρ θˆ − θ > ε = Ρ θˆ − Εθˆ + Εθˆ − θ > ε .
(
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠
) (
nn
nn
nn
n
2
⎞ ( abs (1 − b) ln(n) ) ⎟+ n 2(1− b ) ⎠
2
⎛ ln n ⎞ + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ ⎝n ⎠
⎛ an 2⎞ + ( abs ln(n) ) ⎟ (1 − b)2 ⎜ ⎝ (1 − b) ⎠ +O ⎛ ln n ⎞ = ⎜ 2(1−b) ⎟ 2(1−b ) n ⎝n ⎠ 1 < b <1 jika n → ∞ dan untuk kasus 2 diperoleh 1−b
Bukti Teorema 1: Dengan menggunakan persamaan (11), diperoleh ⎛ abs(1− b)ln(n) ⎛ 1 ⎞⎞ limΕ(θˆn ) = lim⎜θ + + O⎜ 1−b ⎟ ⎟ 1−b n→∞ n→∞ n ⎝ n ⎠⎠ ⎝
n→∞
a(1 − b) ⎛ ln n ⎞ + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ 1− b n ⎝n ⎠
a(1 − b) ⎛ ln n + O ⎜ 2(1− b ) n1− b ⎝n
n jika n → ∞ . Maka Teorema 4 terbukti.
⎛ ln n ⎞ + O⎜ 2(1−b) ⎟ ⎝n ⎠
Dapat ditulis juga sebagai Var (θˆ ) = o(1) , jika n → ∞ .
MSE (θˆn )
⎛ abs(1 − b) ln(n) ⎛ 1 +⎜ + O ⎜ 1−b 1− b n ⎝n ⎝
2(1−b)
lim Var (θˆn ) = 0.
1− 2 b
⎛ ln n ⎞ + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ ⎝n ⎠ jika n → ∞ .
=
2
(32) Sedangkan dari persamaan (21) , (22) dan (23)
⎛ ln n ⎞ + O ⎜ 2(1− b ) ⎟ ⎝n ⎠
Sedangkan untuk kasus b =
a(1− b)n1−b + ( abs(1− b)ln(n))
n
⎛ an θn 2 ⎞ + + ( abs ln( n ) ) ⎟ (1 − b ) 2 ⎜ (1 − b ) (1 − 2b ) ⎝ ⎠ = n 2(1− b ) 1− b
=
=θ . Atau dapat ditulis sebagai Ε(θˆ ) = θ + o(1), jika n → ∞ .
a (1 − b) (1 − b) 2 θ ⎛ 1 ⎞ + + O ⎜ 2 (1− b ) ⎟ n1− b (1 − 2b) n ⎝n ⎠
( abs(1 − b) ln(n) )
a(1− b) ( abs(1− b)ln(n)) ⎛ ln n ⎞ + + O⎜ 2(1−b) ⎟ 1−b 2(1−b) n n ⎝n ⎠ 2
=
=
a(1− b) ⎛ 1 ⎞ + O⎜ 2(1−b) ⎟ n1−b ⎝n ⎠
Dengan ketaksamaan segitiga persamaan (34) menjadi ≤ Ρ θˆ − Εθˆ + Εθˆ − θ > ε
( = Ρ ( θˆ
nn
n
nn
− Εθˆn
)
(34) maka
) > ε − Εθˆ − θ ) . nn
n
(35) Berdasarkan persamaan (32), maka ada no sehingga
ε Εθˆn − θ ≤ , 2 untuk setiap n > no .
(36)
11
Dengan mensubstitusikan persamaan (36) pada persamaan (35), maka ruas kanan persamaan (35) menjadi ε⎞ ⎛ = Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ . 2⎠ ⎝ Kemudian diperoleh ε⎞ ⎛ Ρ θˆn − θ > ε ≤ Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ . 2⎠ ⎝ Dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, maka ε ⎞ 4 Var (θˆn ) ⎛ Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ ≤ . 2⎠ ε2 ⎝ (37) Dengan (33), maka ruas kanan persamaan (37) konvergen ke 0 jika n → ∞ . Mean Squared Error-nya adalah MSE (θˆ ) = Bias 2 (θˆ ) + Var (θˆ ) .
(
)
n
n
n
Dengan menggunakan persamaan (28), (29), dan (30) diperoleh MSE (θˆ ) = o(1) , jika n → ∞ ,
Kita akan menerapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 7 untuk membuktikan bentuk (41) konvergen ke ruas kanan bentuk (39). Misalkan N([s + kτ −τ /2, s + kτ +τ /2]) Xk = − aτ b+1. kb Untuk setiap j ≠ k , j , k = 1, 2,..., maka
([ s + jτ − τ / 2, s + jτ + τ / 2]) ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) N ([ s + kτ −τ /2, s + kτ +τ /2])
1
n2
(1−b )
D (θˆn − θ ) ⎯⎯ → Normal ( 0, a(1 − b) )
(38) jika n → ∞ .
EXk =
1
n2
(1−b )
(θˆn − θ )
1
n
1 (1−b ) 2
(39) 1
(1−b )
τ /2
=
1 a λ (x + s + kτ )dx + b ∫ (x + s + kτ )b dx − aτ b+1 b ∫ c k −τ /2 k −τ /2
=
1 a λ (x + s)dx + b ∫ (kτ)b +O(1)dx −aτb+1 b ∫ c k −τ /2 k −τ /2
(40) Pertama akan dibuktikan bentuk (39) di atas. Perhatikan ruas kiri (39) dapat ditulis ⎛ (θˆ − Eθˆ ) ⎞ 1 (1−b ) n ⎟ n2 Var (θˆn ) ⎜ n . (41) ⎜ Var (θˆ ) ⎟ n ⎝ ⎠
τ /2
τ /2
τ /2
τθ
⎛1⎞ + aτb+1 −aτ b+1 +O⎜ b ⎟ ⎝k ⎠ ⎛1⎞ = O⎜ b ⎟ ⎝k ⎠ jika n → ∞ , sedangkan ragam peubah acak X k diperoleh =
kb
1 k 2b
ΕN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) k 2b
τ /2
∫ τ
λc ( x + s + kτ ) + a ( x + s + kτ )b dx
− /2
τ /2
τ /2
1 a = 2b ∫ λc (x + s + kτ)dx + 2b ∫ (x + s + kτ )b dx k −τ /2 k −τ /2 τ /2
τ /2
a 1 λ (x + s)dx + 2b ∫ (kτ)b +O(1)dx 2b ∫ c k −τ /2 k −τ /2
τθ aτ b+1
⎛1⎞ +O⎜ 2b ⎟ k k ⎝k ⎠ b+1 aτ ⎛1⎞ = b +O⎜ 2b ⎟ k ⎝k ⎠ jika n → ∞ . =
(Eθˆn − θ ) → 0.
−aτ b+1
1 λc (x + s + kτ ) + a(x + s + kτ )b dx −aτ b+1 kb −τ∫/2
=
D (θˆn − Eθˆnn ) ⎯⎯ → Normal ( 0, a(1 − b) )
bebas,
=
1
dan n2
kb
=
(1−b ) (1−b ) = n 2 (θˆn − Eθˆn ) + n 2 (Eθˆn − θ ). Sehingga untuk membuktikan Teorema 5 di atas, cukup dibuktikan
adalah
ΕN([s + kτ −τ /2, s + kτ +τ /2])
Var ( X k ) =
Bukti : Terlebih dahulu kita tulis ruas kiri (38)
saling
untuk k ≠ j . Untuk sembarang k, nilai harapan peubah acak X k diperoleh
τ /2
Sebaran Normal Asimtotik Penduga θˆn Teorema 5 : (Sebaran Normal Asimtotik Penduga θˆn ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka
tidak
tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N([ s+ jτ −τ /2, s+ jτ +τ /2]) dan
n
dengan kata lain MSE (θˆn ) → 0, jika n → ∞ . Maka Teorema 1 terbukti.
dan
2b
Misalkan diperoleh
+
b
⎛ nτ ⎞ B = ⎜ ∑ Var ( X k ) ⎟ ⎝ k =1 ⎠ 4 n
2
maka
12
⎛ nτ aτ b +1 ⎛ 1 Bn4 = ⎜ ∑ b + O ⎜ 2b ⎝k ⎝ k =1 k
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠
nτ ⎛ aτ b +1 ⎛ 1 = ∑ ⎜ 3b + O ⎜ 4 b ⎝k k =1 ⎜ k ⎝
2
2
nτ nτ ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ aτ b +1 ∑ b + O(1)∑ 2b ⎟ . k =1 k k =1 k ⎝ ⎠
Untuk
kasus
yang
pertama,
0
1 2
nτ
k =1
k
− EX k )
nτ 1 ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 3b ⎟ ∑ 2b ⎝k ⎠ k =1 k k =1
4
4
nτ
1 N ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) 4b ( k =1 k − EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) ) . 4
Karena N menyebar Poisson, maka persamaan diatas menjadi nτ 1 EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) ∑ 4b ( k =1 k 2
)
nτ
1 EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) 4b ( k =1 k
=∑
)
+ 3 ( EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) ) . 2
(42) Perhatikan bahwa ΕN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) Var ( X k ) = . k 2b (43) Dengan mensubstitusikan persamaan (43) pada ruas kanan persamaan (42) diperoleh k =1
k
− EX k )
4
nτ 2⎞ ⎛ 1 = ∑ ⎜ 2b Var ( X k ) + 3 (Var ( X k ) ) ⎟ k ⎠ k =1 ⎝
a2τ 4b
2
k =1
=∑
∑E(X
2
nτ
EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) ⎞ ⎟ kb ⎠
nτ
(1− b)
∑E( X
⎛ N ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) = ∑⎜ kb k =1 ⎝
+ 3 ( EN ([ s + kτ − τ / 2, s + kτ + τ / 2]) )
3a 2τ 4b 1− 2b + O ( n1− 3b ) n 1 − 2b
1 n2−2b + O( n2−3b ) n(1− 2b) (1− b) n jika n → ∞ . 1 Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika n 1 n → ∞ , sehingga = o(1) . Persamaan diatas n dapat kita tuliskan sebagai
nτ
−
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
nτ
=
⎛ aτ n ⎞ =⎜ + O ( n1− 2b ) ⎟ 1 b − ⎝ ⎠ 2 4 b 2(1− b ) aτ n = + O ( n 2 − 3b ) ) (1 − b) 2 jika n → ∞ . Selanjutnya kita tentukan
∑E(X
2
= 3a 2τ 2(b +1) ∑ =
2
2
2 b 1− b
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠
nτ ⎛ 3a 2τ 2(b +1) ⎛ 1 ⎞⎞ = ∑⎜ + O ⎜ 3b ⎟ ⎟ 2b k ⎝ k ⎠⎠ k =1 ⎝
diperoleh ⎛ ⎞ n 1−b Bn4 = ⎜ aτ b +1 τ + O ( n1− 2b ) ⎟ 1− b ⎝ ⎠
b +1 ⎞ ⎛ aτ ⎛ 1 + 3 ⎟ ⎜ b + O ⎜ 2b ⎠ ⎝ k ⎝k
− EX k ) = o(1) Bn4 = o ( Bn4 ) 4
k
jika n → ∞ . Akhirnya diperoleh barisan Xk merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapannya bernilai terhingga dan ragamnya bernilai terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Dengan demikian penduga θˆn dapat dipandang sebagai jumlah dari peubah acak yang bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu (1− b) nτ θˆn = 1−b ∑ Xk nτ τ k =1 yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E(θˆn ) dan ragam Var (θˆn ) , maka diperoleh (θˆn − Eθˆn ) D ⎯⎯ → Normal (0,1) (44) Var (θˆ ) n
jika n → ∞ . Maka untuk membuktikan (39), tinggal dibuktikan 1
n2
(1−b )
Var (θˆn ) → a (1 − b)
jika n → ∞ . Berdasarkan Teorema 3 diperoleh 1
n2
(1−b )
1
= n2
Var (θˆn )
(1−b )
(1 − b) 2 θ a(1 − b) ⎛ 1 ⎞ + + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ 1−b (1 − 2b)n n ⎝n ⎠
⎛ (1 − b) 2 θ a(1 − b) ⎛ 1 ⎞⎞ = n(1−b ) ⎜ + + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ ⎟ 1−b n ⎝n ⎠⎠ ⎝ (1 − 2b)n
13
= n (1−b )
jika
a (1 − b) ⎛ 1 ⎞ + O ⎜ 1−b ⎟ n1−b ⎝n ⎠
⎛ 1 ⎞ 1−b ⎟ ⎝n ⎠ n → ∞ , sehingga
n → ∞ . Perhatikan bahwa O ⎜
konvergen ke 0 jika ⎛ 1 ⎞ O ⎜ 1−b ⎟ = o(1) . Misal x = a (1 − b) + o(1) , ⎝n ⎠ f ( x) = x . Berdasarkan Teorema Deret Taylor, maka f '(a(1− b)) f (x) = f (a(1− b)) + ( x − a(1− b)) 1! f '(a(1− b)) + ( x − a(1− b))2 + ... 2! o(1) (o(1))2 = a(1− b) + − + ... 2 a(1− b) 4.2 a3 (1− b)3
Dengan cara yang sama diperoleh hasil yang 1 1 sama untuk b = dan < b < 1 . 2 2 Sehingga (39) terbukti. Untuk membuktikan (40) kita gunakan Teorema 2 sehingga diperoleh 1
n2
(1−b )
=n
(Eθˆn − θ )
1 (1−b ) 2
⎛ abs (1 − b) ln(n) ⎛ 1 + O ⎜ 1−b ⎜ 1−b n ⎝n ⎝
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠
= o(1) jika n → ∞ . 1
(1−b )
Dengan kata lain n 2 (Eθˆn − θ ) → 0 jika n → ∞ maka (40) terbukti. Jadi Teorema 5 lengkap terbukti.
= a(1− b) + o(1).
KESIMPULAN Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi intensitas global dari komponen periodik suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat asb . Diasumsikan bahwa periode τ diketahui, koefisien a diketahui tetapi fungsi λc pada [0,τ ) tidak diketahui. Pada situasi ini kita gunakan penduga θ sebagai berikut (1−b) nτ 1 N([s + kτ −τ /2, s + kτ +τ /2]) θˆn = 1−b ∑ b nτ k=1 k τ
−(1−b)aτ bnτ b , nτ adalah bilangan bulat terbesar yang lebih n
. τ Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa: (i) Kuantitas θˆn merupakan penduga konsisten bagi θ, serta MSE (θˆ ) → 0 , kecil atau sama dengan
n
jika n → ∞ . (ii) Bias dari θˆn adalah abs(1− b)ln(nτ ) ⎛ 1 ⎞ Bias(θˆn ) = + O⎜ 1−b ⎟ n1−b ⎝n ⎠ jika n → ∞ . (iii) Ragam dari θˆn adalah
Var(θˆn ) a(1− b) (1 − b)2θ ⎛ 1 ⎞ + + O ⎜ 2(1−b) ⎟ 1−b − b n (1 2 ) n ⎝n ⎠ 1 untuk 0 < b < , 2 Var (θˆn ) =
=
a(1 − b) ⎛ ln n ⎞ + O ⎜ 2(1−b) ⎟ . 1− b n ⎝n ⎠
1 , dan 2 a(1 − b) ⎛ 1 ⎞ Var (θˆn ) = 1−b + O ⎜ 2(1−b ) ⎟ n ⎝n ⎠ 1 untuk < b < 1 , 2
untuk b =
jika n → ∞ . (iv) Sebaran Normal Asimtotik dari θˆn 1
n2
(1−b )
D (θˆn − θ ) ⎯⎯ → Normal ( 0, a(1 − b) )
jika n → ∞ .
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability : Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York. Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Ghahramani, S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed. ke-3. Pearson Prentice Hall. New Jersey. Helmers, R. dan I W. Mangku. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAMS-GMU International Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-27, 1999, p. 9-21. Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.
Mangku, I W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam. Mangku, I W. 2005. A Note on Estimation of The Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in The Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and Its Applications. Vol. 4. No. 2. 1 – 12. Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Model. Ed. ke-8. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York. Stewart,J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. Ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta. Taylor, H. M. and S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press, Inc. Orlando, Florida. Titchmarsh, E. C. 1960. The Theory of Functions. Oxford University Press. London.
LAMPIRAN
16
Lampiran 1. Pembuktian Lema 2 Lema 2 (Fungsi Intensitas Global)
Jika N([0,n]) adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas λc, maka lim n→∞ pada Definisi 33 ada dan θ =
1
τ
ΕN ([ 0, n ])
n
τ
∫ λ (s) ds . c
0
Bukti: Berdasarkan Definisi 29, diketahui bahwa N ([ 0, n ]) memiliki sebaran Poisson dengan parameter n
n
0
0
μ ([ 0, n ]) = ∫ λc ( s ) ds , sehingga Ε ([ 0, n ]) = ∫ λc ( s ) ds . Oleh karena itu, maka ΕN ([ 0, n ]) 1n λc ( s) ds. lim = lim n→∞ n→∞ n n ∫0 n
Misalkan nτ = τ
τ
(45)
dan rn = n − nτ . Maka rn < τ . Sehingga ruas kanan (45) sama dengan
n n n ⎤ 1⎡τ 1 τ 1n (46) lim ⎢ ∫ λc ( s ) ds + ∫ λc ( s ) ds ⎥ = lim ∫ λc ( s ) ds + lim ∫ λc ( s ) ds . n→∞ n→∞ n⎢0 nn ⎥⎦ n→∞ n 0 n τ τ ⎣ Perhatikan bahwa limit pada suku kedua pada (46) bernilai nol. Maka tinggal menunjukkan bahwa
n
1 τ 1τ λ s ds = λc ( s) ds . lim ( ) c n→∞ n ∫0 τ ∫0 Untuk memperoleh hal di atas, kita tulis ruas kiri (47) sebagai berikut ⎛ n ⎞ ⎛ nτ ⎞ ⎜ 1 τ ⎟. lim ⎜ ⎟ ( ) λ s ds ∫ c ⎟ n →∞ ⎝ n ⎠ ⎜ ⎜ nτ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Perhatikan bahwa n
τ
1 nτ
∫ λc (s) ds = 0
τ
1 n
τ
τ
⎛ n ⎜ ⎜ τ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∫ λc (s) ds ⎟ = 0
1
τ
(47)
(48)
τ
∫ λc (s) ds . 0
Maka limit pada (48) dapat dihitung sebagai berikut 1
τ
⎛ nτ ⎞
1
τ
⎛ n − rn ⎞ n ⎟⎠
λc ( s ) ds lim ⎜ ⎟ = ∫ λc ( s ) ds lim ⎜ n →∞ ⎝ n ⎠ τ n →∞ ⎝ τ∫ 0
0
=
1
τ
⎛
rn ⎞
λ ( s ) ds lim ⎜ 1 − ⎟ n →∞ ⎝ τ∫ c n⎠ 0
=
(
Jadi, untuk kasus N [ 0, n ]
)
Lema 2 terbukti.
∫ 0
τ
∫ λc (s) ds . 0
adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas λc yang
periodik dengan periode τ, maka τ 1 θ= λc ( s ) ds .
τ
1
τ
17
Lampiran 2. Pembuktian Lema 4
Lema 4 (Pertaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan rataan μ dan ragam σ2, maka untuk setiap k > 0,
Ρ { X − μ ≥ k} ≤
σ2 k2
. (Ross 2003)
Bukti : Untuk membuktikan pertaksamaan Chebyshev diperlukan Pertaksamaan Markov (Lema 8) berikut:
Lema 8 (Pertaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak yang taknegatif, maka untuk setiap a > 0, Ε( X ) . Ρ { X ≥ a} ≤ a Bukti : Jika X kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f , maka ∞
Ε( X ) = ∫ x f ( x) dx 0
a
∞
0
a
= ∫ x f ( x) dx + ∫ x f ( x) dx ∞
≥ ∫ x f ( x) dx a
∞
≥ ∫ a f ( x) dx a
∞
=a
∫ f ( x) dx a
= a Ρ{ X ≥ a}. Untuk kasus X diskret, dapat dibuktikan dengan cara serupa, yaitu dengan mengganti integral dengan notasi penjumlahan serta fungsi kepekatan peluang dengan fungsi kerapatan peluang. Jadi Ε( X ) ≥ a Ρ{ X ≥ a} .
Sehingga dapat ditulis Ρ ( X ≥ a ) ≤
ΕX a
.
Jadi Lema 8 terbukti. Selanjutnya dengan Pertaksamaan Markov (Lema 8), maka kita dapat membuktikan Lema 4.
(
Ρ( X − μ ≥ k)=Ρ ( X − μ) ≥ k2 2
Ε ⎡( X − μ ) ⎤ ⎦ ⎣ k2 2
≤ = Jadi Lema 4 terbukti.
σ2 k2
.
)
18
Lampiran 3. Pembuktian Lema 5
Lema 5 (Pertaksamaan Cauchy-Schwarz) Untuk setiap peubah acak X dan Y berlaku Ε( XY ) ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) .
(Ghahramani 2005) Bukti: Untuk setiap bilangan real a, ( X − aY ) 2 ≥ 0 . Sehingga X 2 − 2aXY + Y 2 ≥ 0 . Karena peubah acak taknegatif memiliki nilai harapan taknegatif, maka Ε( X 2 − 2aXY + a 2Y 2 ) ≥ 0 Ε( X 2 ) − 2aΕ( XY ) + a 2 Ε(Y 2 ) ≥ 0 .
Misalkan A = Ε(Y 2 ) , B = −2Ε( XY ) , dan C = Ε( X 2 ) . Perhatikan bahwa jika polinom derajat dua memiliki paling banyak sebuah akar real maka diskriminannya takpositif. Sehingga B 2 − 4 AC ≤ 0 4 [ Ε( XY ) ] − 4Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) ≤ 0 2
[Ε( XY )]2 ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) . Kemudian jika kedua ruas diakarkan maka
Ε( XY ) ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) Ε( XY ) ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) . Jadi, Lema 5 terbukti.
