PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear Pada Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2014 Salmun K. Nasib NIM G551120011
RINGKASAN SALMUN K. NASIB. Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di bank, dan sebagainya. Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut. Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan kernel umum, (2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, (3) Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) penduga, (4) Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas. Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Sehingga untuk sembarang titik kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut ( ( ( di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaannya dapat juga dituliskan menjadi ( ( ( ( ( ))( Karena ( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan ( ( ( ), maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut ( ( ( ( )( Karena diketahui maka masalah pendugaan ( dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut ( . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik yaitu dan
, di mana menjadi
(
merupakan himpunan bilangan bulat,
dapat dituliskan
( ( Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal ( dari proses Poisson yang diamati pada interval . Realisasi ( terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas ( dengan . ( Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen dari fungsi intensitas proses Poisson periodik yang dikaji adalah ̂
(
∑
∫
(
(
(
) (
Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut: ( merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi ( (i) Penduga ̂ ( dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga ̂ ( ) adalah penduga yang konsisten bagi ( dengan (̂ untuk . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah (̂
( )
( (
(
( )
(
∫
( untuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah ( ) (̂ ( (
( (
(
∫
(
(
)
untuk (iv) Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga adalah ( ) (̂ ( (
( ( (
(
( ) ( (
(∫ ∫
(
(
) (
)
( untuk (v) Berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan fungsi kernel seragam dan data bangkitan diperoleh bahwa perilaku penduga dipengaruhi oleh pilihan bandwidth yang meminimumkan MSE serta semakin besar interval pengamatan yang digunakan, maka semakin kecil nilai MSE penduga. Kata kunci: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses Poisson non-homogen.
SUMMARY SALMUN K. NASIB. Estimating the Intensity Obtained as Exponential of a Periodic Function Plus Linear Trend of a Non-homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. A stochastic process is related to a probability rule. This process is widely used to model an event that contains uncertainties or systems that run on an unpredictable environment. Periodic Poisson process is a special case of continuous time stochastic processes. As an example, it can be made a model for predicting the arrival of customers at a service center such as supermarket, or the arrival of customers queuing at the bank. In a periodic Poisson process, the rate of events or phenomena that occur at a given time is known as the intensity function. Suppose that, on the arrival process of customers to a service center (customer service) with a one-day period, the intensity function expressed the customer’s arrival rate at time s. However, if the customer’s arrival rate increases follow a trend, then the more appropriate model for this case is a periodic Poisson process with a trend. Therefore, in many applications it is required to estimate the intensity function of the periodic Poisson process. In this manuscript, estimation of intensity function obtained as exponential of a periodic function plus a linear trend is studied. The method used to estimate this intensity function is a non-parametric method using general function. This study has four objectives, namely: (1) To formulate estimators for the intensity function obtained as exponential of the sum of a periodic function and a linear trend of non-homogeneous Poisson process using general kernel, (2) To prove consistency of the proposed estimators, (3) To obtain asymptotic approximations to the bias, variance and the Mean Square Error (MSE) of the estimators, (4) To conduct computer simulations to observe the behavior of estimators in the case of finite length time interval. Suppose is a non-homogeneous Poisson process on the interval with unknown intensity function . It is assumed that this intensity function is locally integrable and exponential of a periodic function plus linear trend. Hence, for any point , we can write the intensity function λ as follows ( ( ( where ( is unknown periodic function with known period This equation can ( also be written as ( ( ( ( ))( Because ( ( ) is also a periodic function with period , let ( ( ( ) , then the intensity function can be written as follows ( ( ( ( )( Since known, the problem to estimate ( can be simplified by only estimating the periodic component ( of the intensity function Based on the properties of periodic function, for every point and where is ( the set of integers, can be written as ( (
Formulation of the kernel-type estimators only using a single realization of ( of the Poisson process which is observed in the interval . Realization ( of is defined in a probability space ( with . Kernel-type estimators for ( can be formulated as follows ̂
(
∑
∫
(
(
(
) (
From the results of studies conducted with a certain conditions, it is obtained the following results: ( are asymptotically unbiased estimators for ( (i) The estimators ̂ ( are and their variances converge to zero as so that ̂ ( ) consistent estimators for ( and (̂ as . (ii) The asymptotic approximation to the bias is given by (̂
( )
( (
(
( )
(
∫
( as . (iii) The asymptotic approximation to the variance is given by ( ) (̂ ( (
( (
(
∫
(
(
)
as (iv) The asymptotic approximation to the Mean Square Error (MSE) is given by ( ) (̂ ( (
( ( (
(
( ) ( (
(∫ ∫
(
(
) (
)
( as . (v) Based on the performed simulations using a uniform kernel function and generated data, it is obtained that the behavior of the estimator is influenced by the choice of the bandwidth that minimizes the MSE of the estimator and the larger is the observation interval, the smaller is the value of the MSE of the estimator. Keywords: bandwidth, consistency, exponential, kernel-type estimator, nonhomogeneous Poisson process.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Penguji luar komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson NonHomogen Nama : Salmun K. Nasib NIM : G551120011
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Ketua
Dr Ir Hadi Sumarno, MS Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 27 Agustus 2014
Tanggal Lulus: 3 September 2014
PRAKATA Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji syukur senantiasa tetap kita haturkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas rahmat dan kuasanya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan. Penelitian ini dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 sampai Agustus 2014 dengan mengambil judul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-homogen. Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat dibutuhkan untuk kesempurnaan penelitian ini, sehingga dapat menjadi masukan dalam penyusunan penelitian lainnya. Ucapan terima kasih kepada Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing atas semua ilmu, saran, kesabaran, dan motivasinya. Terimakasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan saran. Penghargaan penulis sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika FMIPA IPB yang telah membantu selesainya penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Unggulan 2012. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada ayah, ibu, suami serta seluruh keluarga, atas doa, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, September 2014
Salmun K. Nasib
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian
1 1 2
TINJAUAN PUSTAKA Proses Stokastik Proses Poisson Periodik Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson Periodik
2 2 2 3 4
METODE PENELITIAN
5
4
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA 6 Perumusan Penduga 6 Kekonsistenan Penduga 8 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE) Penduga 14 PEMBAHASAN Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga
19 19 20
SIMPULAN
25
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6
Grafik fungsi ( Grafik fungsi ( (—) beserta penduganya (-oo-) pada interval pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13] Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas ( Grafik MSE penduga fungsi intensitas ( (—) Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( . (a) titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439 Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( (oo). (a) titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
21 21 22 22 23 24
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4
Beberapa Definisi, Teorema, dan Lema teknis Bukti beberapa persamaan Program R untuk simulasi Hasil simulasi menggunakan kernel seragam
28 30 31 34
PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak fenomena atau kejadian yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson. Proses Poisson merupakan bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Misalkan, proses kedatangan pelanggan dalam suatu pusat layanan atau servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya), tingkat intensitas curah hujan di suatu daerah dalam selang waktu tertentu, dan banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan suatu perusahaan percetakan dalam selang waktu tertentu. Pada suatu proses Poisson, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Proses Poisson menurut fungsi intensitasnya dibagi menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan non-homogen. Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan fungsi intensitas konstan (homogen). Sedangkan proses Poisson non-homogen merupakan proses Poisson dengan fungsi intensitas yang tidak konstan. Proses Poisson non-homogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik disebut proses Poisson periodik. Beberapa fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik diantaranya adalah fenomena dalam bidang hidrologi, asuransi, dan seismologi (Helmers et al. 2003). Pada penelitian ini difokuskan pada proses Poisson non-homogen. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya belum diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Metode penduga yang digunakan dimaksudkan sebagai nilai pendekataan dari fungsi aslinya. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas dari proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang dapat digunakan, diantaranya adalah metode penduga non-parametrik tipe kernel. Jika laju kejadian meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren. Model fungsi intensitas pada proses Poisson periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu mengakomodasi kehadiran suatu tren baru. Misalkan saja, ada kejadian atau fenomena dalam selang waktu tertentu meningkat mengikuti suatu fungsi eksponensial maka harus ada model penduga yang tepat dari fungsi intensitas untuk dapat mengakomodasi adanya tren ini. Pada penelitian ini dikaji kasus khusus pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen.
2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson nonhomogen menggunakan kernel umum. 2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji. 3 Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) penduga. 4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas.
TINJAUAN PUSTAKA Proses Stokastik ( Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state ( . ( adalah suatu peubah acak, dengan adalah elemen dari . Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan (t sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu . Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika merupakan suatu interval (Ross 2010). Proses stokastik dengan waktu kontinu ( disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak ( ( ( ( ( ( adalah saling bebas (Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu (t t disebut memiliki inkremen stasioner jika (t (t memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t (Ross 2010). Suatu proses stokastik (t t disebut proses pencacahan jika (t menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan (t harus memenuhi syarat-syarat berikut (Ross 2010): 1 (t untuk setiap t . 2 Nilai (t adalah integer. 3 Jika t maka (t ( di mana t . 4 Untuk t maka (t ( sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang ( t .
Proses Poisson Periodik ( Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson homogen dengan laju , , jika dipenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010): 1 ( . 2 Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3 3 Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang , memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi untuk semua , , (
( ( ( . Dari syarat 3 bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner serta diperoleh bahwa ( ( ) . ( Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas ( , jika (Ross 2010): 1 ( . ( 2 memiliki inkremen bebas. ( ( ( . 3 ( ( ( 4 ( , dengan . ( Laju dari suatu proses Poisson non-homogen , yaitu ( disebut fungsi intensitas proses Poisson pada (Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah ( , yaitu nilai fungsi di (Cressie 1993). Suatu fungsi disebut periodik jika ( ( , untuk semua dan , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut (Browder 1996). Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Berdasarkan sifat keperiodikan dari fungsi intensitas , dapat disusun penduga konsisten bagi pada sembarang titik yang diberikan dengan hanya menggunakan realisasi tunggal. Hal ini dikarenakan dalam pendugaan pada sembarang titik , tidak hanya dapat menggunakan informasi di sekitar saja, tetapi juga dapat menggunakan informasi di sekitar , untuk sembarang , asalkan (Mangku 2001).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode non-parametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara konsisten fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui (Helmers dan Mangku 2000). Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibedakan menjadi 2, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di suatu titik dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik . Secara matematis dapat dituliskan sebagai hn hn hn dengan , dan ( adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu .
4 Dalam pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan tidak diketahui. Untuk menduga fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. (2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Dalam proses Poisson periodik, umumnya bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa sehingga memungkinkan kita untuk dapat memprediksi atau menduga suatu kejadian pada periode berikutnya. Jika laju kejadian antara periode sebelumnya dan berikutnya meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu, maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren. Sehingga dalam jangka waktu yang panjang model bagi proses Poisson periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi adanya suatu tren. Penelitian mengenai pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren terus berkembang. Pada beberapa penelitian sebelumnya telah dirumuskan suatu penduga bagi fungsi intensitas dari proses Poisson berupa fungsi periodik ditambah dengan tren linear (Helmers dan Mangku 2009). Kemudian Farida (2008) mengkaji penduga fungsi intensitas yang berupa fungsi periodik ditambah dengan tren fungsi pangkat. Selanjutnya berkembang lagi perumusan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik dengan tren linear (Mangku 2011). Taslim (2011) juga merumuskan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik. Penelitian terbaru, telah dikaji penduga bagi fungsi intensitas berupa perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat (Erliana et al. 2014).
Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson Periodik Kajian tentang perumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial, telah dikerjakan oleh Lewis (1972). Lewis mengkaji perumusan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson menggunakan asumsi bahwa model tersebut berbentuk eksponensial kuadratik dan periodik dengan melibatkan beberapa komponen parametrik. Untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan metode penduga maximum likelihood. selanjutnya Helmers dan Zikitis (1999) juga mengkaji hal yang serupa yang telah dikerjakan oleh Lewis dengan menggunakan rumusan fungsi intensitas yang sama. Namun, untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Vere-Jones
5 (1982) juga telah menggunakan rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dengan melibatkan komponen parametrik pada proses Poisson. Rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial ini diterapkan dalam ilmu seismologi seperti gempa bumi. Pada penerapannya, aplikasi model fungsi intensitas yang menyertakan komponen parametrik sangatlah terbatas. Komponen periodiknya bersifat implisit sehingga sulit untuk diterapkan dan kemungkinan model ini keliru dalam penerapan secara langsung. Karena tidak semua kasus atau fenomena sesuai dengan model fungsi intensitas tersebut. Oleh karena itu, diperlukan model fungsi intensitas tanpa mengasumsikan bentuk parametrik. Model fungsi intensitas yang dimaksudkan adalah model tanpa komponen parametrik dimana komponen periodiknya berupa fungsi yang belum diketahui, jadi bisa menggunakan fungsi apapun. Pada penelitian ini diperkenalkan model bagi fungsi intensitas tanpa mengasumsikan komponen parametrik, yaitu mengkaji penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen.
METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian yang berbentuk kajian teoritis tentang pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen. Metode yang digunakan dalam menduga fungsi periodik tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Adapun tahapan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Merumuskan penduga komponen periodik bagi fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji. 2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji yaitu dengan menunjukkan ketakbiasan asimtotik penduga dan kekonvergenan ragam penduga. 3 Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) penduga. 4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas menggunakan fungsi kernel seragam dengan tujuan sebagai berikut: a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE penduga. b) Menentukan panjang interval pengamatan yang dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga berdasarkan kajian teoritis yang telah dilakukan dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh dari poin a. c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.
6
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA Perumusan Penduga Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Dikaji kasus khusus, di mana fungsi intensitas ini merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear, sehingga untuk sembarang titik , fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut ( ( ( , (1) di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaan (1) dapat juga dituliskan menjadi ( ( . (2) ( ( ( ))( Karena ( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan ( ( ( ), maka persamaan (2) menjadi ( ( . (3) ( ( )( Dari persamaan (3), karena diketahui maka untuk menduga ( cukup diduga ( . Karena ( komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut, yaitu merupakan fungsi periodik dengan periode , maka untuk menduga ( pada cukup diduga ( pada . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik dan , di mana merupakan ( himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan menjadi ( ( . (4) Pada penelitian ini, untuk menduga fungsi tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Pada penelitian ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi ( pada dengan hanya menggunakan realisasi tunggal ( dari proses Poisson dengan fungsi intensitas ( seperti pada persamaan (3) yang diamati pada interval . Realisasi ( tersebut terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas ( dengan . Misalkan merupakan fungsi bernilai real. Fungsi disebut kernel jika memenuhi kondisi berikut (Helmers et al. 2003): (K1) merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) terbatas dan (K3) memiliki daerah definisi berupa himpunan tertutup pada . Misalkan pula adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu (5) untuk , maka rumusan penduga tipe kernel bagi ( pada suatu titik dengan menggunakan fungsi kernel K dapat disusun sebagai berikut ̂
(
∑
(
∫
(
(
) (
(6)
Selanjutnya dijelaskan ide di balik penyusunan penduga bagi ( yaitu ( pada dengan menggunakan data yang diamati pada interval . Penyusunan penduga pada persamaan (6) mengikuti alur penyusunan penduga tipe kernel yang telah dikerjakan Mangku (2011). Karena hanya tersedia ̂
7 sebuah realisasi dari suatu proses Poisson , maka untuk menduga pada sembarang titik harus mengumpulkan seluruh informasi yang diperlukan tentang nilai dari ( yang belum diketahui pada interval . Oleh karena itu, asumsi sifat keperiodikan pada persamaan (4) sangat diperlukan untuk menduga fungsi intensitas ini. Misalkan dengan # menyatakan banyaknya elemen, sehingga (
(
∑
(7)
Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh (
(
(
(8)
( sehingga persamaan (7) dapat dituliskan menjadi ( ( ∑ ( Nilai fungsi ( interval (
di titik dapat didekati dengan rata-rata nilai fungsi , sehingga persamaan (9) menjadi
∑
(
(
Dengan mengganti stokastiknya yaitu ( dapat ditulis
(10)
(
∑
dengan padanan , maka persamaan (10) (
(
∑
(
(
Dengan demikian, salah satu penduga bagi ̂
(
pada
(
∫
(
∑
(
(9)
∑
(
adalah sebagai berikut
(
(
(11)
Dalam penyusunan penduga pada persamaan (11), setiap data diberikan bobot yang sama dalam menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval , sehingga persamaan (11) dapat ditulis menjadi ̂
(
∑
(
Dengan mengganti fungsi
∫
(
(
dengan kernel umum yang memenuhi (K1), ( seperti pada persamaan (6) (K2) dan (K3), maka diperoleh penduga ̂ yaitu
8 ̂
(
∑
∫
(
(
(
) (
Kekonsistenan Penduga Teorema 1 (Kekonsistenan) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), dan maka ̂ (12) ( → ( untuk , asalkan adalah titik Lebesque dari λ. Dengan kata lain, ̂ ( adalah penduga konsisten bagi ( . Selain itu, Mean Squared Error ( konvergen ke 0, untuk n → yaitu (MSE) dari ̂ ( ) (13) (̂ Bukti: Untuk membuktikan Teorema di atas diperlukan ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam dari penduga, yang disajikan pada Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik) dan Lema 2 (Kekonvergenan ragam). Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3) dan , maka ̂ ( ( (14) untuk n → dengan syarat s adalah titik Lebesque dari . Dengan kata lain, ̂ ( adalah penduga tak bias asimtotik bagi λc ( . Bukti: Membuktikan (14) sama dengan memperlihatkan bahwa ̂ ( (
(15) Untuk memperlihatkan persamaan (15) dapat diperoleh dengan cara sebagai ( adalah berikut. Berdasarkan (6) maka nilai harapan dari ̂ ̂
(
( ∑
∑
∑
(
(
∫
( ∫
(
∫
(
Dengan mengganti peubah, misalkan kanan persamaan (16) dapat ditulis
(
(
(
(
)
) (
(
) ( (
)
( ,
(16)
, maka ruas
9 ∑
∫
(
Karena fungsi intensitas ̂
(
∑
) (
(
(17)
( memenuhi persamaan (3) maka ∫
(
) λc (
(
(
( Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4) dapat ditulis ̂
(
∑
∫
(
) λc (
(
(
( ∫
) λc (
(
(
∑
(
( ∫
) λc (
(
(
∑
(
(18)
Perhatikan bahwa ∑ untuk ̂
(
. Maka persamaan (18) dapat ditulis (
(
(
( ) ∫
( (
(
) ∫
) λc (
(
(
)( (
(
(
λc (
λc ( )
( (
)) ∫
(
)( (
λc ( )
(
( (19)
(
(
)) λc (
∫
(
)
(
Karena fungsi kernel K memenuhi (K2), misalkan
( ( )
( konstanta dan karena , maka ( sehingga suku pertama pada ruas kanan persamaan (19) menjadi
adalah untuk
10
(
(
)) ∫
(
(
(
( ))
(
)( (
))
(
λc ( )
(
(
(
(
∫( (
( )
∫| (
( |
)
(20)
Karena adalah titik Lebesque dari , maka untuk ruas kanan (20) adalah ( . Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (19). Dengan mengganti peubah, misalkan , , dapat ditulis (
(
)) λc (
∫ (
( (21)
(
( )) λc (
∫ (
(
Dengan deret Taylor (Lampiran 2), kita peroleh ( ( (22) untuk . Dengan menyubstitusikan persamaan (22) ke ruas kanan persamaan (21) dan K memenuhi (K1), maka ruas kanan persamaan (21) menjadi (
( )) (
(
)λc (
∫ (
(
( )λc (
∫ (
( )λc ( ( ( untuk n → . Dari (20) dan (23) maka ruas kanan persamaan (19) menjadi ̂ ( ( ( ( ( ( , untuk . Dengan demikian Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik) terbukti. (
(23)
(24)
Lema 2 (Kekonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), , terbatas di sekitar s , dan untuk maka ( ) (25) (̂ untuk .
11 Bukti: Ragam dari ( ̂ (̂
( ) dapat dihitung sebagai berikut
( ) ( ∑
∫
(
(∑
∫
(
(
(
) ( (
(
) (
)
)
(26)
Untuk n yang cukup besar, maka interval dan untuk tidak saling tumpang tindih (overlap). ( ( Sehingga ( ) ( dan ( ) ( adalah bebas untuk . Oleh karenanya ruas kanan dari persamaan (26) dapat dihitung sebagai berikut ∑
(
∫
(
(
(
( (
)
(
Karena N adalah peubah acak Poisson, maka ( ) dapat ditulis (̂ (̂
)
(27) sehingga
( ) ∑
∑
(
(
( Dengan mengganti peubah, persamaan (28) menjadi ( ) (̂ ∑
(
∫
(
∫
(
(
)
(
) ( (
misalkan
∫
(
) (
(
(28) maka
(29)
( Dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) maka persamaan (29) dapat ditulis ( ) (̂ ∑
(
∫
(
)
(
( (
∑
(
∫
(
)
(
12 (
( ∫
(
(
)
(
∑
(
( ∫
(
( (
(
)
∑
(
(30)
( Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak hingga (Lampiran 2) diperoleh ∑
(
(
(31)
untuk . Dari persamaan (31), maka persamaan (30) dapat dituliskan sebagai berikut ( ) (̂ ∫
(
(
∫
( (
)
) ∫
(
(
( (
(
(
)
(
)
Karena terbatas di sekitar s maka ( karena maka (32) dapat ditulis (̂
( )
(
(
Karena K memenuhi kondisi (K2),
(32)
( ( untuk
) (
(
(
∫
( )
adalah konstanta dan Sehingga persamaan
(
)
(33)
adalah konstanta, sehingga
diperoleh (̂
( )
(
)
(34)
Berdasarkan asumsi pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam) bahwa , untuk , maka ruas kanan persamaan (34) kovergen ke nol. Sehingga diperoleh ( ) (̂ untuk . Dengan demikian Lema 2 (Kekonvergenan ragam) terbukti.
13 ( ) Bukti Teorema 1 (kekonsistenan ̂ ( → ( , berdasarkan definisi kekonvergenan Untuk membuktikan ̂ dalam peluang, cukup ditunjukkan bahwa , ( ( | (35) (| ̂ ) ( ( | untuk Terlebih dahulu diuraikan (| ̂ ) yaitu ( ( | (| ̂ ) ̂ (36) ( ( ) ( ̂ ( ( )| (|( ̂ ) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh ̂ ( ( | |̂ ( ( | | ̂ ( ( | |̂ Sehingga ruas kanan persamaan (36) menjadi ̂ ( ( | | ̂ ( ( | (| ̂ ) ̂ ̂ ̂ ( ( | ( ( |) (| | (37) ̂ ( Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), diperoleh bahwa ( untuk , sehingga menurut definisi kekonvergenan barisan bilangan nyata untuk setiap terdapat sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga jika , maka ( ( | | ̂ Sehingga diperoleh ( ( | (| ̂
)
(| ̂
(
̂
( |
(| ̂
(
̂
( |
Jadi, untuk membuktikan (35), cukup ditunjukkan ̂ ( ( | (| ̂ untuk
) )
(38)
)
. Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh ( ) (̂ ̂ ̂ ( ( | (| )
Jadi tinggal dibuktikan bahwa (̂
( )
(39)
untuk Berdasarkan Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka (39) terbukti. ( merupakan penduga Dengan demikian (35) terbukti. Dengan kata lain, ̂ yang konsisten bagi ( Berdasarkan definisi Mean Square Error (̂
( )
( ) dengan (̂ cukup dibuktikan bahwa (
(̂
(̂
( ̂
( ( ))
(̂
( ))
( )
( . Berarti, untuk membuktikan (13) (̂
( )
14 untuk
(̂
Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), (̂
sehingga (
( ))
untuk (̂
2 (Kekonvergenan ragam), (̂
disimpulkan bahwa
Kemudian berdasarkan Lema
( )
( )
( )
. Dengan demikian dapat
. Sehingga Teorema 1 terbukti.
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE) Penduga Pada bagian ini disajikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) penduga, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. (2014b) Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga pada . Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), , dan untuk maka (̂ untuk
( )
( (
(
( )
∫
(
(
.
Bukti: Berdasarkan (18) pada bukti Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), maka nilai harapan ( dapat ditulis sebagai berikut dari ̂ ̂
(
∫
Misalkan ̂ (
(
) λc (
(
∑
(
maka
∫ ( λc (
(
(
∑
(40)
Perhatikan bahwa (
∑ jika ̂
. Sehingga persamaan (40) menjadi (
( (
( ) ∫ ( λc (
(
( )) ∫ ( λc (
(
(41)
15 ∫ ( λc (
(
( )
(42)
untuk . Perhatikan bahwa karena λc memiliki turunan kedua berhingga di sekitar , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh λc (
λc (
(
(
(
(
(
untuk . Sehingga diperoleh ( λc ( λc (
λc (
λc (
(
(
(
(
λc (
(λc (
( )
(λc (
(
( )
(43)
( Dengan menyubstitusikan (43) ke ruas kanan persamaan (42) diperoleh ̂
(
∫ (
(λc (
(λc (
(λc ( λc (
(
∫ (
(λc (
( ) ( )
(λc ( (
( )
( ( ) ∫
)
( ) (
∫ (
( (44)
( ) Karena kernel memenuhi (K1) yakni merupakan fungsi kepekatan peluang yang ( memiliki daerah definisi pada , maka ∫ . Karena simetrik, (
maka ∫ untuk ̂
(
(
λc (
( )
(λc (
(
(
∫
dan
(
λc (
(λc (
(
( )
∫
(
(
( )
(
. Maka diperoleh aproksimasi asimtotik bagi bias ̂
untuk ̂
Perhatikan bahwa . Sehingga diperoleh
( (
adalah (
16 (̂ untuk
( )
(λc (
(
( )
∫
(
(
. Teorema 2 terbukti.
Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), , adalah titik Lebesque bagi , maka (̂
(
( )
(
(
( (
(
∫
(
)
(45)
untuk Bukti: Berdasarkan bukti pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka ragam dari ̂ ( dapat ditulis sebagai berikut ( ) (̂ ∫
(
( (
(
)
∑
(46)
(
( Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak hingga (Lampiran 2) diperoleh ( ( (47) ∑ ( ( untuk . Dengan menyubstitusi persamaan (47) ke ruas kanan persamaan (46), diperoleh ( ) (̂ ∫
(
(
Karena ditulis (̂
( (
(
) (
(
(
(
( (
( )
(48)
( ) maka persamaan (48) dapat
( ) ( ∫
(
( ( (
)
(
(
( )
( (
(
(
( ) ∫
( )
(
)
(
(
(49) (
17 Karena kernel K memenuhi kondisi (K2) dan untuk ( ( jika , sehingga ∫
(
(
)
(
(
( (
∫ (
maka
( )
(
( )
∫| (
( |
(50)
Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan dari pertidaksamaan (50) adalah ( untuk . Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan persamaan (49) menjadi ( ( ) ( ( ( (
∫
(
(
)
(
(
( )
( untuk yaitu
(
(
(
) ( )
(
(
)
(51)
Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (49) ( (
(
(
( ) ∫
(
Dengan mengganti peubah, misalkan
(
,
(
)
(52)
dan karena fungsi kernel K
memenuhi kondisi (K3) maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) dapat ditulis (
(
(
(
( ) ∫
(
Dengan menggunakan deret Taylor diperoleh Sehingga kuantitas pada (53) menjadi ( (
(
(
( ) ∫
( ( (
( (
(
( ( ( (
(
(
(53)
(
(
( ( ) ∫
(
untuk
18 (
( ( ( (
(
(
( ( (
(
∫
( ) ∫
(
(
(
(54)
)
untuk Dengan menggabungkan persamaan (51) dan (54), maka persamaan (49) menjadi (̂
(
( )
untuk
(
( (
(
(
∫
(
)
. Dengan demikian, Teorema 3 terbukti.
Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal, dan memiliki turunan kedua berhingga pada Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), dan , maka (̂
( )
(λc (
(
( )
( (
( (
(
(
(∫ (
∫
) (
(55)
)
( untuk
.
Bukti: Menurut Casela dan Berger (1990), Mean Squared Error (MSE) dari ̂ dapat dihitung sebagai berikut (̂
( )
(
(̂
(̂
( ))
(
( )
Berdasarkan Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) yaitu (̂ (
( )
(̂
(λc (
(
( )
(
∫
(
( )) (λc (
(
( )
((λc (
(
( )
(
(∫ ∫
(
)
(56)
) (
( untuk Karena memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka ( . Akibatnya, persamaan (52) menjadi
(
19 (
(̂
( )) (λc (
(
( )
(
(∫
)
(
Berdasarkan Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) yaitu (̂
Sehingga MSE ( ̂ (̂
(
( )
(
( (
(
(
)
( ) diperoleh ( )
(λc (
( ( (
untuk
(
∫
(
( ) ( (
(∫ ∫
(
(
) (
)
( Dengan demikian, Teorema 4 terbukti.
PEMBAHASAN Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap suatu parameter. Pendugaan terhadap suatu parameter tertentu dilakukan untuk memperoleh nilai taksiran atau hampiran berdasarkan sampel statistik, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui. Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Parameter yang tidak diketahui adalah komponen periodik yang didefinisikan pada persamaan (3), yaitu ( , sehingga untuk menduga fungsi intensitas ( ) cukup dengan hanya menduga komponen periodiknya. Dalam menduga fungsi periodik ini digunakan metode non-parametrik, yaitu metode penduga tipe kernel. Metode ini merupakan metode penduga yang tidak mengasumsikan bentuk apapun dari fungsi ( kecuali fungsi tersebut merupakan fungsi periodik. Metode penduga tipe kernel yang dipilih adalah kernel umum, dimana untuk sembarang kernel dapat digunakan. Pada perumusan penduga telah dirumuskan penduga bagi ( yaitu ̂ ( yang dapat dilihat pada persamaan (6). Penduga yang baik apabila memenuhi sifat-sifat yaitu (i) tak bias, jika nilai harapan penduga sama dengan nilai yg diduga, (ii) efisien, jika penduga memiliki ragam yang konvergen ke nol, (iii) konsisten, jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Oleh karenanya telah dilakukan pengkajian dan ( sehingga penduga tersebut pembuktian bagi kekonsistenan penduga ̂ ̂ ( memiliki sifat penduga yang termasuk ke dalam dikatakan baik.
20 kategori sifat penduga asimtotik, yaitu sifat tersebut hanya dapat didekati ketika ukuran sampel semakin membesar. ( dibuktikan terlebih dahulu bahwa Dalam mengkaji kekonsistenan ̂ penduga tersebut memenuhi sifat ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam menuju nol. Pada saat membuktikan penduga tersebut tak bias asimtotik yakni dengan menunjukkan bahwa limit dari nilai harapan penduga sama dengan parameter yang diduga, hal ini telah dikaji dan ditunjukkan dalam Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik). Sedangkan untuk menunjukkan penduga tersebut memiliki ragam yang konvergen ke nol, telah dikaji pada Lema 2 (kekonvergenan ragam). Selain kekonsistenan penduga yang diperlukan dalam menunjukkan bahwa penduga tersebut adalah penduga yang baik yakni penduga tersebut tak bias dan memiliki ragam terkecil secara bersamaan maka diperlukan Mean Squared Error (MSE) yang konvergen ke nol. Hal ini telah dibuktikan dalam Teorema 1 (kekonsistenan penduga). Semakin kecil nilai MSE yang dihasilkan, maka semakin baik penduga tersebut. Oleh karenanya diperlukan asumsi dengan pada persamaan (20) dan (21) untuk bisa menunjukkan penduga tersebut tak bias asimtotik dan dengan pada persamaan (34) sehingga ragam penduga konvergen ke nol. Kemudian pada Teorema 2, Teorema 3 dan Teorema 4 dikaji aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan MSE penduga. Aproksimasi asimtotik tersebut merupakan nilai pendekatan bagi bias, ragam dan MSE penduga yang digunakan ketika interval pengamatan [0,n] tidak menuju tak hingga. Pada Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga), nilai suku pertama persamaan (55) akan meningkat jika nilai (bandwith) semakin diperbesar. Hal ini mengakibatkan nilai MSE penduga semakin besar. Sedangkan nilai suku kedua ( persamaan (55) semakin menurun jika . Agar penduga ̂ merupakan penduga yang baik yakni nilai MSE penduga konvergen ke nol, maka suku pertama dan suku kedua dari persamaan (55) harus bernilai kecil. Oleh karena itu, diperlukan asumsi dan untuk . Berdasarkan asumsi tersebut pemilihan bandwith menjadi hal yang penting.
Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga Pada bagian ini dilakukan simulasi kajian sifat-sifat statistik penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. (2014a). Simulasi dilakukan secara komputasi dengan bantuan perangkat lunak R. Program R untuk simulasi ini terdapat pada Lampiran 3. Data yang digunakan pada simulasi ini merupakan data bangkitan pada interval waktu pengamatan dengan yang terbatas. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo sebanyak 500 kali ulangan. Tujuan dari simulasi ini adalah menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE, menentukan ( nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik dari ̂ ( yang kurang dari (dalam hal ini nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂ 0.05), dan memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Berdasarkan tujuan tersebut, simulasi dilakukan dalam tiga tahap yaitu:
21
Gambar 1 Grafik fungsi 𝜆(𝑠 a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE ( kurang dari b) Menentukan nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂ 0.05 dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Sebagai ilustrasi, maka fungsi intensitas yang digunakan dalam simulasi ini adalah (
[
(
(
))] (
(
Gambar 2 Grafik fungsi 𝜆(𝑠 (—) beserta penduganya (-oo-) pada interval pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13]
(57)
22 dengan ( ( )) merupakan komponen periodik dari ( . Pada simulasi ini dipilih nilai ya ng merupakan periode, sehingga grafik fungsi ( pada persamaan (57) ditunjukkan dalam Gambar 1. Penduga bagi komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson non-homogen yang digunakan adalah penduga yang telah didefinisikan pada persamaan (6). Karena fungsi kernel pada persamaan (6) merupakan kernel umum, maka pada simulasi ini dipilih fungsi kernel seragam, yaitu dengan mengganti ( dengan . Selanjutnya dapat dilihat ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai dugaannya dengan menggunakan bandwidth 0.0125 dan realisasi pada interval waktu pengamatan [0,9] dan [0,13] yang ditampilkan pada Gambar 2a dan 2b.
Gambar 3 Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas 𝜆(𝑠
Gambar 4 Grafik MSE penduga fungsi intensitas 𝜆(𝑠 (—)
23 Berdasarkan ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai dugaannya yang disajikan pada Gambar 2a dan 2b, terlihat bahwa penduga bagi fungsi intensitas dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,13] jauh lebih baik dibandingkan dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,9]. Hal ini dikarenakan penduga pada ilustrasi Gambar 2a masih jauh dengan fungsi intensitas sebenarnya dibandingkan dengan ilustrasi penduga pada Gambar 2b. Oleh sebab itu, untuk nilai n yang lebih besar, penduga yang dihasilkan akan lebih mendekati fungsi intensitas sebenarnya. Selanjutnya untuk menunjukkan hasil yang maksimal dilakukan simulasi tahap pertama yaitu menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE. Pada tahapan ini, simulasi dilakukan dengan menganti-ganti nilai bandwidth. Penentuan bandwidth diambil secara sembarang sebanyak 15 yang berkisar antara 0.0115-0.0129 dengan panjang interval waktu [0,10] (hasil simulasi pada Lampiran 4). Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada kisaran 0.0115-0.0129 diperoleh nilai MSE minimum yaitu 0.06899192 pada bandwidth 0.0128. Hasil simulasi tahap pertama ini ditampilk an dalam Gambar 3. Tahapan selanjutnya, dilakukan simulasi untuk menentukan nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga, yaitu nilai n yang menghasilkan MSE penduga kurang dari 0.05 dengan menggunakan nilai bandwidth yang diperoleh dari simulasi tahap pertama yaitu 0.0128. Simulasi yang dilakukan sebanyak 26 kali dengan mengganti nilai n diperoleh MSE penduga yang kurang dari 0.05 yaitu 0,04934106 pada interval waktu pengamatan
Gambar 5 Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas 𝜆(𝑠 . (a) titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439
24 [0,13]. Hasil simulasi ini dapat dilihat dalam Lampiran 4. Dengan demikian, jika nilai n semakin diperbesar maka nilai MSE penduga semakin kecil. Pengaruh nilai n terhadap MSE penduga ditunjukkan pada Gambar 4. Simulasi pada tahap ketiga ini bertujuan untuk memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Maksud dari simulasi pada tahap ini, ingin mengetahui apakah distribusi dari penduga mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni distribusi dengan bentuk lonceng (bell shaped). Penduga yang baik adalah penduga yang mempunyai pola seperti distribusi normal, yaitu distribusi penduga tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Untuk memverifikasi kenormalan asimtotik penduga dilakukan pendugaan fungsi intensitas di suatu titik dengan menggunakan 3 titik yang mewakili nilai ( kecil, sedang, dan besar. Titik yang digunakan yaitu dengan ( mewakili ( yang kecil, dengan ( mewakili ( yang sedang, dan ( ( dengan mewakili yang besar. Simulasi dilakukan sebanyak 500 kali ulangan pada interval waktu pengamatan [0,10] dan bandwidth 0.0128. Selanjutnya 500 nilai dugaan yang diperoleh untuk masingmasing tiga titik tersebut, dianalisis menggunakan histogram untuk diperlihatkan bahwa nilai dugaan tersebut berdistribusi normal (Gambar 5). Terlihat bahwa penduga bagi ( dapat dikatakan mendekati distribusi
Gambar 6 Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas 𝜆(𝑠 (oo). (a) titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
25 normal. Hal ini dikarenakan bahwa pada Gambar 5, distribusi nilai dugaan di setiap titik membentuk lonceng (bell shaped) dan nilai dugaan tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Selanjutnya untuk lebih memperlihatkan kenormalan penduga, dilakukan simulasi dengan mengecek kenormalan di tiap titik menggunakan built in function qq-norm dan qq-line pada R. Hasil dari simulasi ini ditunjukkan pada Gambar 6. Pada grafik normalitas yang disajikan dalam Gambar 6, nilai dugaan bagi fungsi intensitas ( menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal. Dari grafik pula dapat dilihat bahwa ketika nilai dugaan semakin mendekati titik 0 maka semakin mendekati pula garis normal. Hal ini menunjukkan bahwa nilai dugaan tersebut mendekati distribusi normal.
SIMPULAN Berdasarkan hasil kajian terhadap penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan kernel umum, diperoleh rumusan penduga bagi ( yaitu ̂
(
∑
∫
(
(
(
) (
( merupakan penduga yang tak bias asimtotik dan ragamnya Penduga ̂ konvergen ke nol untuk , sehingga penduga tersebut merupakan penduga yang konsisten. Aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan MSE penduga diberikan berturut-turut yaitu Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga (̂
( )
(λc (
(
( )
(
∫
(
untuk Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga (̂
(
( )
(
( (
(
∫
(
(
)
untuk Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga (̂
( )
(λc (
( ( (
( untuk
(
( ) ( (
(∫ ∫
(
(
) (
)
26 Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan menggunakan fungsi kernel seragam dan data bangkitan dengan fungsi intensitas ( ( * ( ( ))+ ( serta periode yang dipilih diperoleh bahwa: Pada kisaran bandwidth 0.0115-0.0129 diperoleh bandwidth yang meminimumkan nilai MSE adalah 0.0128. Dengan kata lain, pemilihan bandwidth dapat mempengaruhi nilai MSE penduga. Dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya, diperoleh nilai yang menghasilkan MSE penduga kurang dari 0.05. Hasil tersebut dapat dimaknai bahwa jika merupakan periode terjadinya proses Poisson dalam kurun waktu satu hari dan n merupakan panjang interval suatu waktu, dimisalkan n dalam ukuran hari, maka untuk menduga fungsi intensitas dengan tren ini diperlukan data selama yaitu 96.296 hari atau sekitar 3 bulan. Oleh karenanya, untuk menghasilkan MSE penduga yang semakin kecil maka interval waktu pengamatan diperbesar.
DAFTAR PUSTAKA Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Second Edition. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Cressie, NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. Wiley, New York. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks. Erliana W, Mangku IW, Sumarno H. 2014. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the power function trend of a nonhomogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science (FJMS), Siap terbit. Farida T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Third Edition. New York: Oxford University Press, Inc. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84:19-39. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 61(3):599-628 Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM – GMU International Conference on Helmers R, Zitikis R. 1999. On estimation of Poisson intensity function. Annals Institute of Statistical Mathematics. 51(2):265-280.
27 Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Lewis PAW. 1972. Recent results in the statistical analysis of univariate point processes, Stochastic Point Processes (ed. P. A. W. Lewis), 1-54, Wiley, New York Mangku, IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). University of Amsterdam Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5:1-12. Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5: 13-22. Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150 Nasib SK, Mangku IW, Sumarno H. 2014a. Kajian numerik penduga fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear suatu proses poisson non-homogen. Journal of Mathematical Applications (JMA), siap terbit. Nasib SK, Mangku IW, Sumarno H. 2014b. Estimating the intensity obtained as exponential of a periodic function plus linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science (FJMS), submitted for publication. Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Tenth Edition. John Wiley & Sons. New York. Serflling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. Ed. Ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta Taslim. 2011. Kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada proses Poisson non-homogen [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Vere-Jones D. 1982. On the Estimation of Frequency in Point-Process Data. Journal of Applied Probability. 19A :383–394. Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York (US): Marcel Dekker, Inc.
28 Lampiran 1 Beberapa Definisi, Teorema, dan Lema teknis Definisi L.1 (Kekonvergenan barisan bilangan real) Barisan disebut mempunyai limit dan ditulis: atau jika , apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan | sedemikian rupa sehingga jika maka | . Jika ada, maka dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, maka barisan tersebut divergen (Stewart 1999). Definisi L.2 (Konvergen dalam peluang) Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang ( . Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke | dinotasikan → , jika untuk setiap , berlaku (| untuk (Grimmett dan Stirzaker 2001).
,
Definisi L.3 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik ( ( yang digunakan untuk menduga fungsi parameter ( disebut penduga bagi ( . Nilai amatan ( dari dengan nilai amatan disebut sebagai dugaan bagi ( (Hogg et al. 2005). Definisi L.4 (Penduga takbias) ( disebut penduga tak bias bagi ( , bila [ ( )] ( . Bila ( [ ( )] ( , maka ( disebut bias dari penduga ( ) . Bila [ ( )] ( maka ( ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi ( (Hogg et al. 2005). Definisi L.5 (Penduga konsisten) 1 Suatu statistik ( yang konvergen dalam peluang ke parameter ( , yaitu ( → ( , untuk , disebut penduga konsisten bagi ( . 2 Jika ( → ( untuk , maka ( disebut penduga konsisten kuat bagi ( . 3 Jika ( → ( untuk , maka ( disebut penduga konsisten dalam rataan ke-r bagi ( (Grimmett dan Stirzaker 2001). Definisi L.6 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh ( (Dudley 1989). ∫ ( d Definisi L.7 (Titik Lebesgue) Titik s dikatakan titik h ( |d lim h ∫ h| ( h
Lebesgue dari fungsi jika (Wheeden dan Zygmund 1977).
berlaku
29 Definisi L.8 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator A adalah suatu fungsi yang diberikan oleh jika ( { jika (Grimmett dan Stirzaker 2001). Teorema L.1 (Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi memiliki persamaan ( ( ( ( ∑ (
(
di
(atau di sekitar
(
(
atau yang berpusat di )
(
(Stewart 1999). Definisi L.9 ( ( , ( , dan ) Simbol big-oh, little-oh, dan twiddle ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi ( dan ( di mana menuju suatu limit ( L. Notasi ( ( ( , , menyatakan bahwa | ( | terbatas untuk , . Notasi (
o( (
, menyatakan lim
(
, menyatakan lim
,
(
dan notasi (
(
(Serfling 1980).
(
Lema L.1 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan untuk setiap k
, (|
( ,
|
k
k
dan ragam
, maka
(Ross 2007).
Definisi L.10 (Mean square error) Mean Square Error (MSE) dari penduga ̂ untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh ( ̂ ) . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga ̂ dan parameter (Casella dan Berger 1990), sehingga diperoleh (̂
)
(̂ ) (̂ )
(̂
( (
)) (̂ )
30 Lampiran 2 Bukti beberapa persamaan Bukti persamaan (22): Perhatikan bahwa menggunakan deret Taylor di titik . Deret Taylor di titik ( ( ( (
(
Misalkan (
, maka diperoleh
(
(
, dengan
(
(
dapat disederhanakan dengan
(
(
(
(
(
( untuk Terbukti.
Bukti persamaan (31) dan (47): Perhatikan bahwa (∑
)
( ∑
(
∑
( (
Karena
maka
( atau
(
( (
( (
(
(58) ) ( . Sehingga deret pada (58) adalah )
(
deret geometri yang konvergen dengan jumlah ( ( (
Dengan demikian (∑ atau ∑ untuk Terbukti.
)
( (
( ( (
31 Lampiran 3 Program R untuk simulasi Program membangkitkan realisasi proses Poisson periodik pada suatu interval tertentu Random<-function(wsize,tau) { maxlambda<-exp(1)*exp(wsize) LAB<-(maxlambda)*wsize N<-rpois(1,LAB) points<-runif(N,0,wsize) lambda<-exp(sin((2*pi*points)/tau))*exp(points) p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-0.000001 p[p>=1]<-0.999999 hold<-rbinom(N,1,p) selected<-points[hold==1] return(selected) } Program untuk membangkitkan penduga disuatu titik duga<-function(data,wsize,titik,band,tau) { K<-floor((wsize-titik)/tau) vdt<-1:K for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*exp(titik+k*tau)*band) } dugaan<-(sum(vdt)*tau*exp(titik))/wsize return(dugaan) } penduga1<-function(wsize,titik,band,tau,L) { estimator<-1:L for(l in 1:L) { data<-Random(wsize,tau) estimator[l]<-duga(data,wsize,titik,band,tau) } return(estimator) }
32 Program untuk membangkitkan penduga pada selang [a,b] penduga<-function(data,wsize,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.0005) lamdaduga<-seq(a,b,0.0005) K<-length(lamdaduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] lamdaduga[k]<-duga(data,wsize,titik1,band,tau) } return(lamdaduga) } Program untuk menampilkan grafik fungsi intensitas beserta penduganya pada selang [a,b] Gambar<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.0005) ytrue<-exp(sin((2*pi*x)/tau))*exp(x) plot(x,ytrue,xlim=c(0,0.5),ylim=c(0,5),type="l",col=9) par(new=T) plot(x,lamdaduga1,xlim=c(0,0.5),ylim=c(0,5),type="o",co l=2) } data<-Random(n,tau) lamdaduga1<-penduga(data,n,a,b,band,tau) gambar1<-Gambar(a,b,tau) Program untuk memeriksa kenormalan asimtotik disuatu titik mean(dugaanku) var(dugaanku) qqnorm(dugaanku,col=4) qqline(dugaanku) Contoh simulasi untuk n = 10 s<-0.0055 lambda<-exp(sin((2*pi*s)/0.135))*exp(s) lambda > lambda [1] 1.295239
33 dugaanku<-penduga1(n,s,band,0.135,500) bias<-mean(dugaanku)-lambda mse<-var(dugaanku)+bias^2 mean(dugaanku) var(dugaanku) bias mse > mean(dugaanku) [1] 1,174589 > var(dugaanku) [1] 0.05443546 > bias [1] -0.1206502 > mse [1] 0.06899192
34 Lampiran 4 Hasil simulasi menggunakan kernel seragam Menentukan nilai n yang meminimumkan MSE mean bias s lambda n simulasi simulasi 0,5 1,093115 -0,2021236 1 1,033462 -0,2617771 1,5 1,118302 -0,1769368 2 1,141425 -0,1538134 2,5 1,080896 -0,2143432 3 1,105238 -0,190001 3,5 1,120616 -0,1746229 4 1,173376 -0,1218633 4,5 1,134341 -0,1608976 5 1,106342 -0,1888974 5,5 1,16939 -0,1258484 6 1,130855 -0,1643834 6,5 1,19661 -0,0986287 0,0055 1,295239 7 1,145426 -0,1498133 7,5 1,164909 -0,1303301 8 1,184833 -0,1104054 8,5 1,16244 -0,132799 9 1,162635 -0,1326039 9,5 1,161125 -0,1341138 10 1,174589 -0,1206502 10,5 1,153622 -0,1416172 11 1,142031 -0,1532075 11,5 1,173607 -0,1216316 12 1,169875 -0,1253644 12,5 1,177621 -0,176178 13 1,168905 -0,126334 13,5 1,160209 -0,1350301
Var Simulasi 9,101789 3,315011 1,864069 1,159613 0,7666749 0,5189139 0,4554316 0,354845 0,2796369 0,2346906 0,1923152 0,1464427 0,1353612 0,109506 0,09645244 0,09323398 0,0857235 0,07730918 0,0641531 0,05443546 0,04774243 0,04403827 0,04173156 0,04065082 0,03751877 0,03338078 0,029692
mse simulasi 9,142643 3,383539 1,895375 1,183272 0,8126179 0,5550143 0,4859248 0,3696956 0,3055249 0,2703728 0,208153 0,1734646 0,1450888 0,13195 0,1134384 0,1054233 0,1033591 0,09489297 0,0821396 0,06899192 0,06779786 0,06751082 0,0565258 0,05636704 0,05135271 0,04934106 0,04792513
35 Menentukan bandwidth yang meminimumkan mean bias s lambda band simulasi simulasi 0,0115 1,160277 -0,1349615 0,0116 1,150511 -0,1447279 0,0117 1,148759 -0,1464799 0,0118 1,157424 -0,1378145 0,0119 1,168709 -0,1265301 0,012 1,176286 -0,1189525 0,0121 1,164056 -0,1311827 0,0055 1,295239 0,0122 1,163373 -0,1318659 0,0123 1,182137 -0,1131022 0,0124 1,158265 -0,136974 0,0125 1,154469 -0,14077 0,0126 1,19344 -0,1017992 0,0127 1,168365 -0,1268735 0,0128 1,174589 -0,1206502 0,0129 1,1769 -0,1183388
var simulasi 0,0600048 0,0571514 0,0560705 0,0573836 0,0621858 0,0676176 0,059256 0,0571571 0,0640599 0,0543155 0,0553751 0,0671601 0,0582402 0,0544355 0,0587631
mse simulasi 0,0782194 0,0780976 0,0775269 0,0763764 0,0781956 0,0817673 0,0764649 0,0745457 0,076852 0,0730774 0,0751913 0,0775232 0,0743371 0,0689919 0,0727672
Memverifikasi kenormalan asimtotik n 10
band 0,0128
s s1 s2 s3
0,412 0,425 0,441
mean var dugaan dugaan 1,377213 1,781212 0,0913685 2,230271 2,753093 0,1442535 2,718098 3,293666 0,1578987 lambda c
36
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kecamatan Tilamuta Provinsi Gorontalo pada tanggal 30 Maret 1989, sebagai anak ke-4 dari 6 bersaudara dari pasangan Abdul Aziz Karama Nasib dan Nurmiyati Hambali. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas MIPA Universitas Negeri Gorontalo, lulus pada tahun 2011. Kesempatan untuk melanjutkan ke program magister pada Program Studi Matematika Terapan IPB diperoleh pada tahun 2012 dengan sponsor beasiswa pascasarjana dari Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) melalui program Beasiswa Unggulan. Selama mengikuti perkuliahan, penulis juga aktif dalam berbagai kegiatan akademik maupun nonakademik, diantaranya: pengurus Himpunan Mahasiswa Muslim Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (HIMMPAS IPB) periode 20122014 sebagai Anggota Departemen Kaderisasi; peserta Seminar Nasional Aktuaria dan Asuransi dengan tema “ enerapan Matematika kt aria nt k Menjawab antangan di Era Globali a i” yang diselenggarakan oleh Gumatika FMIPA IPB bekerjasama dengan Persatuan Aktuaris Indonesia pada tanggal 13-14 Oktober 2012; peserta Seminar Nasional Sains V dengan tema “Sain ebagai anda an no a i dalam idang Energi ingk ngan dan ertanian erkelanj tan” yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA Institut Pertanian Bogor pada tanggal 10 November 2012; peserta Islamic Science Forum (ISF) V dengan tema “Food Di er ification in lamic er pecti e” yang diselenggarakan oleh HIMMPAS IPB pada tanggal 19 Oktober 2013. Sebuah artikel akan diterbitkan pada bulan Desember 2014 dengan judul Kajian Numerik Penduga Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen pada Journal of Mathematical Applications (JMA). Artikel tersebut merupakan bagian dari tesis penulis.
