PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR BARAT 2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2016 Bonno Andri Wibowo NIM G551140536

Ringkasan BONNO ANDRI WIBOWO. Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi. Pengembangan model proses Poisson majemuk telah dimulai dengan menggunakan model proses Poisson periodik majemuk. Penelitian terakhir dengan menambahkan tren linear pada model tersebut. Hasil terakhirnya diperoleh penduga yang konsisten (lemah) bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Penelitian lanjutan ini memiliki dua tujuan, yaitu: (1) Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear; (2) Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan. Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) 𝜆. Kita asumsikan 𝜆 mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik 𝜆𝑐 dengan periode (diketahui) 𝜏 > 0 dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap 𝑠 > 0, fungsi intensitas 𝜆 dapat dituliskan sebagai berikut: 𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠, dengan 𝜆𝑐 (𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan 𝑎 > 0. Kita tidak mengasumsikan bentuk parametrik apapun dari 𝜆𝑐 kecuali bentuk periodik yang dapat ditulis sebagai berikut: 𝜆𝑐 (𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠 + 𝑘𝜏) untuk setiap 𝑠 ≥ 0 dan 𝑘 ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑁(𝑡) 𝑌(𝑡)=∑𝑖= 1 𝑋𝑖 di mana {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎 2 < ∞, yang juga bebas terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Nilai harapan dari 𝑌(𝑡) adalah 𝑡2

𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) 𝜇 dengan 𝑡

𝑘𝑡,𝜏 = ⌊𝜏⌋, 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑘𝑡,𝜏 𝜏, 𝑡

𝛬𝑐 (𝑡) = ∫0 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠, dan

1

𝜃 = 𝜏 𝛬𝑐 (𝜏) dimana untuk setiap bilangan real x, ⌊𝑥⌋ melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. 𝜃 merupakan fungsi intensitas dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0}. Diasumsikan 𝜃 > 0. Misalkan untuk suatu 𝜔 ∈ Ω, suatu realisasi tunggal 𝑁(𝜔) dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ,P) diamati pada suatu interval terbatas [0, 𝑛]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛] yang diamati, misalkan titik data ke-𝑖, 𝑖 =1, 2, ..., 𝑁[0, 𝑛], peubah acak 𝑋𝑖 yang bersesuaian juga diamati. 𝑛 Misalkan 𝑘𝑛,𝜏 = ⌊ 𝜏 ⌋, penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝑡2 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 ) 𝜇̂ 𝑛 , 2

dengan 2𝑁[0,𝑛]

𝑎̂𝑛 = 1 𝜃̂𝑛 = ln(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

1 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = ln(𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛2

,

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

dan

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (ln(𝑘

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (ln(𝑘

− 2),

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

+ )

),

1

𝜇̂ 𝑛 = 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 , 𝑖= 1 dengan 𝜇̂ 𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Bias asimtotik penduga adalah 2

𝑘 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) 1 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑡,𝜏 + 𝑜 (ln(𝑘 2 ln(𝑘 )

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏

)

dan ragam asimtotik penduga adalah 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] =

𝜇2

2

ln(𝑘𝑛,𝜏 )

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

2𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

) + 2𝑡 2 (

2 1

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ))) + 𝑜 (ln(𝑘

𝑛,𝜏 )

)−

𝜓(𝑡) 𝜇

)+

(𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) +

)

untuk 𝑛 → ∞. Simulasi model memberikan visualisasi mengenai proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Bias dan ragam penduga akan semakin menuju 0 seiring memanjangnya interval pengamatan. Kata kunci: Bias dan ragam penduga, fungsi nilai harapan, pendekatan asimtotik, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.

Summary BONNO ANDRI WIBOWO. Asymptotic Approximations to the Bias and Variance of an Estimator for the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI. A stochastic process has an important role in modeling various real phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson process model have been extended by using compound cyclic Poisson process model. The last research is adding linear trend to the model, and the result is getting formula for an estimator of the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend and it has been proved (weakly) consistent. This further reseacrh has two objectives as follows: (1) to determine asymptotic approximations to the bias and variance of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend; (2) to study asymptotic approximations in the case of bounded observation time interval, using simulation with generated data. Let {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} be a cyclic Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function 𝜆. We assume 𝜆 has two components, a cyclic compunent 𝜆𝑐 with (known) period 𝜏 > 0 and a linear trend. In other words, for any 𝑠 > 0, the intensity function 𝜆 can be written as: 𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠, with 𝜆𝑐 (𝑠) be a periodic function with period 𝜏 and 𝑎 be the slope of the linear trend with 𝑎 > 0. We do not assume any (parametric) form of 𝜆𝑐 except that it is periodic, that is, the equality 𝜆𝑐 (𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠 + 𝑘𝜏) holds for all 𝑠 ≥ 0 and 𝑘 ∈ ℕ, with ℕ be the set of natural numbers. Let {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} be process where 𝑁(𝑡) 𝑌(𝑡) = ∑𝑖= 1 𝑋𝑖 with {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} is a sequence of independent and identically distributed random variables having mean 𝜇 < ∞ and variance 𝜎 2 < ∞, which is also independet of the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. The mean function of 𝑌(𝑡) is given by 𝑡2

𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) 𝜇 where 𝑡

𝑘𝑡,𝜏 = ⌊𝜏⌋, 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑘𝑡,𝜏 𝜏, 𝑡

𝛬𝑐 (𝑡) = ∫0 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠, and

1

𝜃 = 𝜏 𝛬𝑐 (𝜏)

where for any real numbers 𝑥, ⌊𝑥⌋ denotes the biggest integer which is less than or equal to 𝑥. 𝜃 is the global intensity of the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. We also assume that 𝜃 > 0. Suppose that, for some 𝜔 ∈ Ω, a single realization 𝑁(𝜔) of the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} defined on a probability space (Ω, ℱ,P) is observed, though only within a bounded interval [0, 𝑛]. Futhermore, suppose that for each data point in the observed realization 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛], say 𝑖-th data point, 𝑖 =1, 2, ..., 𝑁[0, 𝑛], its corresponding random variable 𝑋𝑖 is also observed. 𝑛 Let 𝑘𝑛,𝜏 = ⌊ 𝜏 ⌋, the estimator of the mean function is given by 2

𝑡 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 2 ) 𝜇̂ 𝑛 ,

where 2𝑁[0,𝑛]

𝑎̂𝑛 = 1 𝜃̂𝑛 = ln(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

1 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = ln(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛2

,

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

and

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (ln(𝑘

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (ln(𝑘

− 2),

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

+ )

),

1

𝜇̂ 𝑛 = 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 , 𝑖= 1

with the understanding that 𝜇̂ 𝑛 = 0 when 𝑁([0, 𝑛]) = 0, implies 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0 when 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Asymptotic approximation to the bias of the estimator is 2

𝑘 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) 1 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑡,𝜏 + 𝑜 (ln(𝑘 2 ln(𝑘 )

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏

)

and asymptotic approximation to the variance of the estimator is 2

𝜇 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = ln(𝑘

2

𝑛,𝜏

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + ) 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

2𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

) + 2𝑡 2 (

2 1

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ))) + 𝑜 (ln(𝑘

𝑛,𝜏 )

)−

𝜓(𝑡) 𝜇

)+

(𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) +

)

as 𝑛 → ∞. Simulation provides visualization about compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Bias and variance of the estimator will to zero as the length of observation interval goes to infinity. Key word: Asymptotic approximation, compound cyclic Poisson process, linear trend, the bias and variance of estimator, the mean function

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang – Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR BARAT 2016

Penguji pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MAppSc selaku Ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc. selaku Anggota Komisi Pembimbing atas semua perhatian, ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu (you are my superwomen in my life), Lukman, Adi, Widi atas segala doa dan kasih sayangnya. Serta taklupa, saya ucapkan terima kasih kepada Dikti atas beasiswa fresh graduate yang penulis terima selama perkuliahan. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman–teman Matematika 47, Gumapastika, dan Matematika Terapan angkatan 50 serta rekan–rekan di PT Asuransi Jiwa Manulife Indonesia yang telah memberikan kesempatan saya belajar banyak hal selama masa internship. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Bogor, Februari 2016 Bonno Andri Wibowo

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitan Manfaat Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Proses Stokastik Proses Poisson Proses Poisson Majemuk Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk Kekonsistenan Penduga Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear PERUMUSAN PENDUGA Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan Ide Penduga Modifikasi BEBERAPA LEMA TEKNIS PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA SIMULASI MODEL SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN RIWAYAT HIDUP

vi vi 1 1 2 2 2 2 3 3 3 5 7 7 8 10 15 22 25 26 27 50

DAFTAR TABEL 1

Bias dan Ragam 𝜓̂𝑛 (𝑡)

24

DAFTAR GAMBAR 1 2

Grafik 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡) Grafik selisih (%) antara 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡)

23 24

DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4

Beberapa Lema dan Teorema Teknis Bukti beberapa Lema teknis Bukti beberapa persamaan Program Scilab untuk Simulasi

28 30 41 48

PENDAHULUAN Latar Belakang Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini dapat digunakan untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh karena itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan. Peramalan tersebut berguna untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang. Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk. Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat terhadap suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan tersebut dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel 2011) dan biologi (Puig dan Barquinero 2011). Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi tak konstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Mangku et al. 2014). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti jumlah klaim agregat dari suatu produk asuransi. Peubah acak Poisson periodik majemuk merupakan peubah acak yang bergantung dari waktu maka nilai harapan dari peubah acak tersebut disebut fungsi nilai harapan. Penduga pada pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sudah terbukti merupakan penduga yang konsisten lemah dan sudah ditentukan laju kekonverganan bagi bias, ragam dan mean sequare error penduga tersebut pada Wibowo (2014). Pada penelitian

2

lanjutan ini dilakukan penentuan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga tersebut dan mempelajari perilaku penduga tersebut melalui simulasi menggunakan bangkitan data bangkitan. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan sebagai berikut: 1. Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. 2. Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi mengenai bias dan ragam penduga dan penggunaan model pada data yang diperoleh sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi pengguna model matematika yang berkaitan dengan proses Poisson.

TINJAUAN PUSTAKA Proses Stokastik Proses stokastik 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak. Indeks t sering kali diinterpretasikan sebagai waktu dan 𝑋(𝑡) sebagai state dari proses di waktu t. Himpunan T himpunan indeks dari proses. Ketika T merupakan himpunan terhitung maka proses stokastiknya disebut dengan proses dengan waktu diskret, sedangkan jika T merupakan interval dari rentang waktu tertentu, proses stokastik disebut proses dengan waktu kontinu (Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 , peubah acak 𝑋(𝑡1 ) − 𝑋(𝑡0 ), 𝑋(𝑡2 ) − 𝑋(𝑡1 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 ) − 𝑋(𝑡𝑛−1 ) adalah saling bebas (Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut memiliki inkremen stasioner jika 𝑋(𝑡 + 𝑠) − 𝑋(𝑡) memiliki sebaran yang sama untuk semua 𝑡 (Ross 2010). Suatu proses stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan jika 𝑋(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan 𝑋(𝑡) harus memenuhi syarat-syarat berikut (Ross 2010): 1. 𝑋(𝑡) ≥ 0 untuk setiap 𝑡 ∈ [0, ∞) . 2. Nilai 𝑋(𝑡) adalah integer. 3. Jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑋(𝑠) ≤ 𝑋(𝑡)di mana 𝑠, 𝑡 ∈ [0, ∞). 4. Untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑋(𝑡) − 𝑋(𝑠) sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada (𝑠, 𝑡].

3

Proses Poisson Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson homogen dengan laju 𝜆, 𝜆 > 0, jika memenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010): 1. 𝑁(0) = 0. 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡. Jadi, untuk semua t,s ≥ 0, 𝑒 −𝜆𝑡 (𝜆𝑡)𝑘 , 𝑘 = 0,1,2 … 𝑘! Dari syarat 3 bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner serta diperoleh bahwa 𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝜆𝑡. Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡), 𝑡 > 0, jika (Ross 2010): 𝑃(𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =

1. 2. 3. 4.

𝑁(0) = 0. {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} memiliki inkremen bebas. P{𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑡) ≥ 2} = 𝑜(𝑠) P{𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑡) = 1} = 𝜆(𝑡)𝑠 + 𝑜(𝑠), untuk 𝑠 → 0.

Laju dari suatu proses Poisson non-homogen {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0}, yaitu 𝜆(𝑡) disebut fungsi intensitas proses tersebut (Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu proses Poisson non-homogen 𝑁 dengan fungsi intensitas 𝜆 pada titik 𝑠 ∈ 𝑃 adalah 𝜆(𝑠), yaitu nilai fungsi 𝜆 di 𝑠 (Cressie 1993). Proses Poisson Majemuk Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑁(𝑡)

𝑌(𝑡) = ∑𝑖= 1 𝑋𝑖 di mana {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎 2 < ∞, yang juga bebas terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson majemuk. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk Misalkan {𝑁𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas 𝜆𝑐 terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas 𝜆𝑐 (s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi 𝜆𝑐 (𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠 + 𝑘𝜏), untuk setiap 𝑠 ≥ 0 dan 𝑘 ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses {𝑁𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah t E[Nc (t)] = ∫0 λc (s) ds = k t,τ τθ + Λ c (t r ). dengan

4

t k t,τ = ⌊ ⌋, τ di mana untuk setiap bilangan real 𝑥, ⌊𝑥⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan 𝑥, 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑘𝑡,𝜏 𝜏, 𝑡𝑟

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) = ∫ 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠, 0

dan

1 𝜃 = 𝛬𝑐 (𝜏), 𝜏 yaitu fungsi intensitas global dari proses {𝑁𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0}. Diasumsikan bahwa 𝜃 > 0. Selanjutnya, misalkan {𝑌𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑁 (𝑡)

𝑌𝑐 (𝑡) = ∑𝑖=𝑐 1 𝑋𝑖 , di mana {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎 2 < ∞, yang juga bebas terhadap proses {𝑁𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌𝑐 (𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk. Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dapat dituliskan sebagai berikut: 𝜓𝑐 (𝑡) = 𝐸[𝑌𝑐 (𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) 𝜇. Penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓𝑐 (𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑐,𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑐,𝑛 + 𝛬̂∗∗ 𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) 𝜇̂ 𝑐,𝑛 , dengan 𝑁 ([0,𝑛]) 𝜃̂𝑐,𝑛 = 𝑐 𝑛 , 𝜏 ∞ 𝛬̂∗∗ 𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = 𝑛 ∑𝑘= 1 𝑁𝑐 ([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟 ] ∩ [0, 𝑛]), 1 𝑐 ([0,𝑛]) ∑𝑁 𝑋𝑖 𝑖= 1 𝑐 ([0,𝑛])

𝜇̂ 𝑐,𝑛 = 𝑁

,

dengan 𝜓̂𝑐,𝑛 (𝑡) = 0 saat 𝑁𝑐 ([0, 𝑛]) = 0. Penduga nilai harapan tersebut telah dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Ruhiyat (2013) telah menentukan laju kekonvergenan bias dan ragam serta mean square error (MSE) dari 𝜓̂𝑐,𝑛 (𝑡) 1

sebesar 𝑂 (𝑛), untuk 𝑛 → ∞.

Mangku et al. (2014) melakukan modifikasi terhadap penduga 𝜃̂𝑐,𝑛 dan 𝛬̂∗∗ 𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) berturut-turut sebagai berikut: 1 𝑘𝑛,𝜏 −1 ([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝜏]), 𝜃̂𝑐,𝑛 = 𝑘 𝜏 ∑𝑘= 0 𝑁𝑐 𝑛,𝜏

1 𝑘𝑛,𝜏 −1 𝛬̂∗∗ 𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = 𝑘 ∑𝑘= 0 𝑁𝑐 ([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟 ]). 𝑛,𝜏

Hasil modifikasi tersebut yaitu nilai bias dan ragam asimtotik bagi 𝜓̂𝑐,𝑛 (𝑡) berturut-turut sebagai berikut

5

𝜓𝑐 (𝑡) + 𝑜(𝑒 −𝑛 ), 𝑒 𝜃𝑛 2 𝜇2𝜏 2 𝜎2 ̂ 𝑣𝑎𝑟[𝜓𝑐,𝑛 (𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏 𝜃𝜏 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(1 + 2𝑘𝑡,𝜏 )) + (𝑘𝑡,𝜏 𝜃𝜏 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) 𝑛 𝜃𝑛 1 + 𝑂 ( 2) 𝑛 untuk 𝑛 → ∞. 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑐,𝑛 (𝑡)] = −

Kekonsistenan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) 𝜆. Kita asumsikan 𝜆 mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik 𝜆𝑐 dengan periode (diketahui) 𝜏 > 0 dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap 𝑠 > 0, fungsi intensitas 𝜆 dapat dituliskan sebagai berikut: 𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠, dengan 𝜆𝑐 (𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan 𝑎 > 0. Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑁(𝑡)

𝑌(𝑡) = ∑𝑖= 1 𝑋𝑖 di mana {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎 2 < ∞, yang juga bebas terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari 𝑌(𝑡), dinotasikan dengan 𝜓(𝑡), sebagai berikut: 𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑁(𝑡)]𝐸[𝑋1 ] = 𝛬(𝑡)𝜇 𝑡

dengan 𝛬(𝑡) = ∫0 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠.

𝑡

Misalkan 𝑡𝑟 = 𝑡 − ⌊ ⌋ 𝜏, dimana untuk setiap bilangan real x, ⌊𝑥⌋ 𝜏 melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, dan 𝑡 misalkan pula 𝑘𝑡,𝜏 = ⌊𝜏⌋. Kemudian, untuk setiap bilangan positif 𝑡, 𝑡 = 𝑘𝑡,𝜏 𝜏 + 𝑡𝑟 , dengan 0 ≤ 𝑡𝑟 < 𝑡. Misalkan 𝑡

𝛬𝑐 (𝑡) = ∫ 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠 0

serta

1 𝜃 = 𝛬𝑐 (𝜏) 𝜏 yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Kita asumsikan bahwa 𝜃 > 0. Kemudian untuk setiap 𝑡 ≥ 0 yang diberikan, kita mempunyai

6

𝑡2 . 2 Akhirnya, fungsi nilai harapan dari 𝑌(𝑡) dapat dituliskan menjadi 𝛬(𝑡) = 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝜓(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝑡2 ) 𝜇. 2

Pendugaan fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) pada persamaan tersebut dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan 𝜇, pendugaan 𝑎 yang merupakan slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global 𝜃, dan pendugaan 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0, 𝑡𝑟 ]. Penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛∗ + 𝛬̂∗𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 dimana 𝑎̂𝑛 =

𝑡2 ) 𝜇̂ , 2 𝑛

2𝑁([0, 𝑛]) , 𝑛2

1 𝑁([𝑘𝜏,(𝑘+1)𝜏]∩[0,𝑛]) 𝜏 𝑛 𝜃̂𝑛∗ = 𝑙𝑛(𝑛⁄𝜏) ∑∞ − 𝑎̂𝑛 (2 + 𝑙𝑛(𝑛⁄𝜏)), 𝑘= 1 𝑘𝜏

𝛬̂∗𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = dan

1 𝑁([𝑘𝜏,𝑘𝜏+𝑡𝑟 ]∩[0,𝑛]) ∑∞ 𝑙𝑛(𝑛⁄𝜏) 𝑘= 1 𝑘

𝑡𝑟 2

− 𝑎̂𝑛 (

2

+

𝑛𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑛⁄𝜏)

),

1

𝜇̂ 𝑛 = 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 , 𝑖= 1 dengan 𝜇̂ 𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Penduga bagi tingkat kemiringan 𝑎 telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global 𝜃 telah dikaji pada Mangku (2005) untuk tujuan berbeda dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) telah dikaji pada Mangku (2010) untuk tujuan berbeda. Wibowo (2014) telah membuktikan bahwa penduga nilai harapan tersebut kekonsistenan lemah, yakni 𝑃 𝜓̂𝑛 (𝑡) → 𝜓(𝑡) untuk 𝑛 → ∞. Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga ialah 1 𝑂 (ln(𝑛⁄𝜏)) untuk 𝑛 → ∞.

PERUMUSAN PENDUGA

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses Poisson takhomogen. Fungsi intensitas 𝜆(𝑠) diasumsikan berbentuk 𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠, (1) dengan 𝜆𝑐 (𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan 𝑎 > 0. (2) Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear jika 𝑁(𝑡) 𝑌(𝑡) = ∑𝑖= 1 𝑋𝑖 (3) di mana {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎 2 < ∞, yang juga bebas terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Misalkan untuk suatu 𝜔 ∈ Ω, suatu realisasi tunggal 𝑁(𝜔) dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ, 𝐏) diamati pada suatu interval terbatas [0, 𝑛]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛] yang diamati, misalkan titik data ke-i, i= 1, 2, ... , 𝑁([0, 𝑛]), peubah acak 𝑋𝑖 yang bersesuaian juga diamati. Fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear: 𝑡2

𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) 𝜇. dengan

𝑡 𝑘𝑡,𝜏 = ⌊ ⌋, 𝜏 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑘𝑡,𝜏 𝜏, 𝑡

𝛬𝑐 (𝑡) = ∫0 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠 serta

(4)

(5)

1

𝜃 = 𝜏 𝛬𝑐 (𝜏) (6) yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Kita asumsikan bahwa 𝜃 > 0. (7) 𝑛 Misalkan 𝑘𝑛,𝜏 = ⌊ 𝜏 ⌋, penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝑡2 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 ) 𝜇̂ 𝑛 (8) 2

dengan 𝑎̂𝑛 =

2N[0,n] n2

,

(9)

8

1 θ̂n = ln(k

k

n,τ )τ

1 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = ln(k

n,τ )

k

n,τ ∑k=1

n,τ ∑k=1

N([(k−1)τ,kτ]) k

kn,τ τ

− 𝑎̂ 𝑛 (ln(k

N([(k−1)τ,(k−1)τ+tr ]) k

dan 𝜇̂ 𝑛 =

n,τ )

k

(10)

τ

− 2),

τtr

(t2r −2tr τ)

n,τ

2

n,τ − 𝑎̂𝑛 (ln(k

+ )

1 ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 , 𝑁([0,𝑛]) 𝑖= 1

),

(11)

(12)

dengan 𝜇̂ 𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Penduga bagi tingkat kemiringan 𝑎 telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global 𝜃 merupakan modifikasi dari 𝜃̂𝑛 pada Mangku (2005) dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) merupakan modifikasi dari 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) pada Mangku (2010). Ide Penduga Modifikasi Penduga 𝜽 Penduga 𝜃 diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut: kn,τ 1 Misalkan Ln = ∑k=1 . k 𝐿

𝜃 = 𝐿𝑛 𝜃 𝑛

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 𝜃 𝑘 𝑛

1

𝑘

11

𝜏

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆 (𝑠) 𝑑𝑠. 𝑘𝜏 0 𝑐 𝑛

Karena 𝜆𝑐 merupakan fungsi periodik, maka 𝜆𝑐 (𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) sehingga 1

𝑘

𝐿𝑛

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

11 𝜏 ∫ 𝜆 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑘𝜏 0 𝑐

𝑘

11

𝜏

𝑘

11

𝜏

1

𝜏

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆 (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠 𝑘𝜏 0 𝑐 𝑛

1

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) − 𝑎(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠 𝑘𝜏 0 𝑛

1

𝑘

𝑎

𝑘

𝜏

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 = 𝐿 𝜏 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 − 𝐿 𝜏 ∑𝑘=1 𝑘 ∫0 (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠. 𝑘 0 𝑛

𝑛

Misalkan 𝑦 = 𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏 maka 1 𝐿𝑛

=

𝑘

1

𝑎

𝑘

𝜏

1

𝑛

𝑘𝑛,𝜏 1 𝑘𝜏 ∑𝑘=1 𝜆(𝑦)𝑑𝑦 ∫ 𝐿𝑛 𝜏 𝑘 (𝑘−1)𝜏 1

1

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐿 𝜏 ∑𝑘=1 𝑛

1

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐿 𝜏 ∑𝑘=1 𝑛

=

𝜏

∑ 𝑛,𝜏 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 − ∑ 𝑛,𝜏 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠 𝜏 𝑘=1 𝑘 0 𝐿 𝜏 𝑘=1 𝑘 0

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘

−

𝑘𝑛,𝜏 1 𝑘𝜏 ∑𝑘=1 𝑦 𝑑𝑦 ∫ 𝐿𝑛 𝜏 𝑘 (𝑘−1)𝜏

𝑎

𝑎

𝑘

2

𝑛

𝑎𝜏

𝑘

𝑎𝜏

𝑘

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 − 𝐿 ∑𝑘=1 1 + 2𝐿 ∑𝑘=1 𝑘 𝑛

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑘𝑛,𝜏 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] ∑𝑘=1 − 𝐿𝑛 𝜏 𝑘 𝐿𝑛 1

1 (2𝑘−1)𝜏2

𝑛,𝜏 − 𝐿 𝜏 ∑𝑘=1 𝑘

𝑛

+

𝑎𝜏 2

.

9

𝑘

1

𝑛,𝜏 Karena 𝐿𝑛 = ∑𝑘=1 ≈ ln(𝑘𝑛,𝜏 ) dan 𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏])] diganti dengan 𝑘 padanan stokastiknya yaitu 𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) sehingga diperoleh

1 𝜃̂𝑛 = 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏

𝜏

− 2). )

Penduga 𝜦𝒄 (𝒕𝒓 ) Penduga 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut: 𝑘𝑛,𝜏 1 Misalkan 𝐿𝑛 = ∑𝑘=1 𝑘 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) =

𝐿𝑛 𝐿𝑛

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )

1

𝑘

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=0 𝛬 (𝑡 ) 𝑘 𝑐 𝑟 𝑛

1

𝑡

𝑟 𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠. 𝑘 0 𝑛

Karena 𝜆𝑐 merupakan fungsi periodik, maka 𝜆𝑐 (𝑠) = 𝜆𝑐 (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) sehingga 1

𝑘

𝐿𝑛

𝑡

1

𝑟 𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑘 0

1

𝑘

1

𝑡

𝑘

1

𝑡

𝑘

1

𝑡

𝑟 𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆𝑐 (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠 𝑘 0 𝑛

=

1 𝐿𝑛

𝑟 𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) − 𝑎(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑑𝑠 𝑘 0

1

𝑎

𝑘

𝑡

1

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 − 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠. 𝑘 0 𝑘 0 𝑛

𝑛

Misalkan y = 𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏 maka 1

𝑘

𝐿𝑛

=

1

𝑡

𝑎

𝑘

1

𝑡

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 − 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝑘 0 𝑘 0 𝑛

𝑘𝑛,𝜏 1 (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ∑𝑘=1 𝜆(𝑦)𝑑𝑦 ∫ 𝐿𝑛 𝑘 (𝑘−1)𝜏 1 1

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1

1

𝑘

1

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1

𝑎

𝑘

𝑎

𝑦𝑑𝑦

1 (2𝑘𝜏𝑡𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 +𝑡𝑟2 ) 2

𝑘

1

𝑛,𝜏 (2𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ) − 2𝐿 ∑𝑘=1 𝑘 𝑛

𝐸[𝑁([𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])])] 𝑘 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝐿 ∑𝑘=1 𝑘 𝑛

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])]

𝑛

(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

1

𝑛

𝑘

𝑛

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝐿 ∑𝑘=1 ∫ 𝑘 (𝑘−1)𝜏

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])]

𝑛

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1

𝑎

𝑎

𝑘

𝑎

𝑘

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 − 𝐿 ∑𝑘=1 𝜏𝑡𝑟 − 2𝐿 ∑𝑘=1 𝑛

(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑛

1

𝑛,𝜏 Karena 𝐿𝑛 = ∑𝑘=1 , maka 𝑘

1

𝑘

𝐿𝑛

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])]

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐿 ∑𝑘=1 𝑛

=

1 𝐿𝑛

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

𝑎

𝑘

𝑎

𝑛

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])] 𝑘 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])] 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 − 𝐿 ∑𝑘=1 𝜏𝑡𝑟 − 2𝐿 ∑𝑘=1

−

(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑛

𝑎 𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝐿𝑛

−

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

−𝑎(

𝐿𝑛

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

+

2 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2

).

𝑘

𝑘

.

10

𝑘

1

𝑛,𝜏 Karena 𝐿𝑛 = ∑𝑘=1 ≈ ln(𝑘𝑛,𝜏 ) dan 𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])] diganti 𝑘 dengan padanan stokastiknya yaitu 𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]) sehingga diperoleh (𝑡 2 −2𝑡 𝜏) 𝑘 𝜏𝑡 1 k N([(k−1)τ,(k−1)τ+tr ]) ∑ n,τ 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = − 𝑎̂𝑛 ( 𝑛,𝜏 𝑟 + 𝑟 𝑟 ).

k=1

ln(kn,τ )

ln(𝑘𝑛,𝜏 )

k

2

BEBERAPA LEMA TEKNIS Bagian ini memuat beberapa Lema teknis yang digunakan dalam penentuan pendekatan bias dan ragam asimtotik penduga. Lema 1: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾 1 𝐸[𝜃̂𝑛 ] = 𝜃 + +𝑜( ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Dengan kata lain 𝜃̂𝑛 merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝜃. Bukti: 𝐸[𝜃̂𝑛 ] 1

= 𝐸 [𝑙𝑛(𝑘 1

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])]

𝑘

𝑛,𝜏 − (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝜏

− 2)]

− 2) 𝐸[𝑎̂𝑛 ].

(13)

Perhatikan bahwa 𝐸[𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]] 𝑘𝜏

= ∫(𝑘−1)𝜏 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝑘𝜏

= ∫(𝑘−1)𝜏(𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠) 𝑑𝑠 𝑘𝜏

𝑘𝜏

= ∫(𝑘−1)𝜏 𝜆𝑐 (𝑠) 𝑑𝑠 + ∫(𝑘−1)𝜏 𝑎𝑠 𝑑𝑠 1

𝑠2

𝜏

𝑘𝜏

= 𝜏 𝜏 ∫0 𝜆𝑐 (𝑠)𝑑𝑠 + 𝑎 2 |

(𝑘−1)𝜏

= 𝜃𝜏 +

𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2

.

(14)

Berdasarkan persamaan (14) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (13) menjadi 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

𝑘

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝜃𝜏 + )𝜏 𝑘=1 𝑘

𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2

)

11

1

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝜃𝜏 − )𝜏 𝑘=1 𝑘

𝑎𝜏2 2

1

) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2 .

Berdasarkan Lema L.1 maka 1

𝑘

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

1

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

=𝜃−

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝜃𝜏 − )𝜏 𝑘=1 𝑘 (𝜃𝜏 − )𝜏

𝑎𝜏

2

2

1

) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑎𝑘

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑎𝛾𝜏 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏+𝜃𝛾− 2

+

2

𝑎𝜏2

𝑎𝜏2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

(15)

untuk 𝑛 → ∞. Substitusi persamaan (15) dan Lema L.2 pada persamaan (13) sehingga diperoleh 1

𝑘

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

=𝜃−

𝑎𝜏

=𝜃−

𝑎𝜏

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏+𝜃𝛾−

𝑎𝛾𝜏 2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾

= 𝜃 + 2 𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑘

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 𝑎𝑘

𝜏

− 2) 𝐸[𝑎̂𝑛 ] )

𝑛,𝜏 )

𝜏

𝑛,𝜏 ) − (𝑙𝑛(𝑘

2𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) − 𝑛 𝑙𝑛(𝑘

1 𝑛,𝜏 )

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 − (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

2

𝑘

𝑎𝛾𝜏 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏+𝜃𝛾− 2

+

2

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])]

𝜏𝜃 𝑛,𝜏 )

− 2) (𝑎 +

𝑎𝜏

+

2𝜃 𝑛

𝜃

1

+ 𝑂 (𝑛2 )) 1

+ 𝑛 + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏 )

)

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Lema 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝜃𝜋 2 +𝑎(12𝜏𝛾−𝜏𝜋 2 ) 𝑎 1 𝑉𝑎𝑟[𝜃̂𝑛 ] = + +𝑜( 2 2) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

12𝜏(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Lema 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ) 1 𝐸[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] = 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + +𝑜( ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) untuk 𝑛 → ∞,dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Dengan kata lain 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ). Bukti: 𝐸[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] 1

= 𝐸 [𝑙𝑛(𝑘 =

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])]

Perhatikan bahwa

𝑘

𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

+ )

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

−(

+ )

)]

) 𝐸[𝑎̂𝑛 ].

(16)

12

𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])] (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

𝜆(𝑠)𝑑𝑠

= ∫(𝑘−1)𝜏

(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

(𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠)𝑑𝑠

(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

𝜆𝑐 (𝑠)𝑑𝑠 + 𝑎 ∫(𝑘−1)𝜏

= ∫(𝑘−1)𝜏 = ∫(𝑘−1)𝜏

(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

𝑠 𝑑𝑠.

Karena 𝜆𝑐 (𝑠) periodik maka (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 (𝑘−1)𝜏+𝑡 𝜆𝑐 (𝑠)𝑑𝑠 + 𝑎 ∫(𝑘−1)𝜏 𝑟 𝑠 𝑑𝑠 ∫(𝑘−1)𝜏 (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟

𝑠2

𝑡

= ∫0 𝑟 𝜆𝑐 (𝑠)𝑑𝑠 + 𝑎 2 |

(𝑘−1)𝜏

= 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

.

(17)

Berdasarkan persamaan (17) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (16) menjadi 1 𝑘𝑛,𝜏 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])] ∑𝑘=1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘

1

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏

1

= 𝑙𝑛(𝑘

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎 ) 𝑘=1 𝑘 𝑘

𝑛,𝜏

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘=1 𝑘

2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)

1

) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 .

Berdasarkan Lema L.1 maka 1

𝑘

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 1

= 𝑙𝑛(𝑘

1

∑ 𝑛,𝜏 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘=1 𝑘

𝑛,𝜏

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

= 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

+

1

) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟

𝑎𝑘

𝑛,𝜏 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑙𝑛(𝑘

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 )

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

𝑡2 −2𝜏𝑡𝑟 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾 𝑟 2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

(18)

untuk 𝑛 → ∞. Substitusi persamaan (18) dan Lema L.2 pada persamaan (16) sehingga diperoleh 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])]

= 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2

𝑘 𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

) (𝑎 +

2 2𝜃 𝑛 𝑘

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝜃𝑘

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

+ )

) 𝐸[𝑎̂𝑛 ]

2

+

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 1

+

𝑡 −2𝜏𝑡𝑟 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾 𝑟 2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2 𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏 − 𝑛 𝑙𝑛(𝑘

= 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝜏𝑡𝑟

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 ) − (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

+ 𝑂 (𝑛2 ))

𝑛,𝜏 = 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 (𝑙𝑛(𝑘

𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑘

𝑛,𝜏 − (𝑙𝑛(𝑘

+ )

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 )

−

𝑛

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 ) − 𝑎 (𝑙𝑛(𝑘

+ )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 )

),

)

𝛾𝛬 (𝑡𝑟 )

) + 𝑙𝑛(𝑘𝑐

𝑛,𝜏 )

+

+

13

Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝜋 2 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝜋 2 (𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )+12𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 𝑎𝜏𝑡𝑟 1 𝑉𝑎𝑟[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] = + +𝑜( 2 2) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

12(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Lema 5: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾 1 𝐸(𝜃̂𝑛 𝑎̂𝑛 ) = 𝑎𝜃 + +𝑜( ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝑎̂𝑛 ) = 𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Lema 7: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝐸 (𝜃̂𝑛 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) = 𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝜏𝑡𝑟 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti: Misalkan: (𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑘 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 1 𝑘 𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏]) ∑ 𝑛,𝜏 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 = − 𝑎̂𝑛 ( 𝑛,𝜏 − ). 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘=1

𝑘

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

Perhatikan bahwa:

1 𝜃̂𝑛 = (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 ). 𝜏 Berdasarkan Lampiran 3, diperoleh: 1 𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) = O ( 2 ), untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

(ln(kn,τ ))

𝐸 (𝜃̂𝑛 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) = 𝐶𝑜𝑣 (𝜃̂𝑛 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝜃̂𝑛 )𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) 1 = 𝐶𝑜𝑣 (𝜏 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 ), 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝜃̂𝑛 )𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ))

(19)

14

1 1 = 𝜏 𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ), 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝜏 𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝜃̂𝑛 )𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) 1

1

= 𝜏 𝑉𝑎𝑟 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝜏 𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝜃̂𝑛 )𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )).

(20)

Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 4 serta persamaan (19) maka persamaan (20) menjadi 1 𝜏

1 𝑉𝑎𝑟 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝜏 𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝜃̂𝑛 )𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) 1

𝑎𝜏𝑡

= 𝜏 (𝑙𝑛(𝑘 𝑟 ) +

2𝜋 2 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝜋 2 (𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )+12𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 12(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏

2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾

(𝜃 + 2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

= 𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 )

𝑛,𝜏

2

)) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + )

+𝑜(

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

)) + 𝑂 (

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝜏𝑡𝑟 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2

)+

))

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Lema 8: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kondisi (2) dan (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1, N([0, n]) → ∞ (21) untuk 𝑛 → ∞. Bukti: 𝐸[𝑁([0, 𝑛])] 𝑛

= ∫0 𝜆(𝑠)𝑑𝑠 𝑛

= ∫0 (𝜆𝑐 (𝑠) + 𝑎𝑠) 𝑑𝑠 = 𝜃𝑛 +

𝑎𝑛2 2

+ 𝑂(1),

(22)

untuk 𝑛 → ∞. Kemudian, berdasarkan Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh (21). Bukti lengkap. Berdasarkan Lema 1 dan 2, diperoleh Akibat berikut Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2

2 𝑎+2𝜃 𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾 1 𝐸 ((𝜃̂𝑛 ) ) = 𝜃 2 + 𝑙𝑛(𝑘 ) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏

)

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Berdasarkan Lema 3 dan 4, diperoleh Akibat berikut Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2

2

𝐸 ((𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) ) = (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) +

2

𝑎𝜏𝑡𝑟 +2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) +𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)

15

Berdasarkan Lema L.2 dan Lema L.3 diperoleh Akibat berikut Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝐸((𝑎̂𝑛 )2 ) = 𝑎2 +

4𝑎𝜃 1 + 𝑂 ( 2) 𝑛 𝑛

untuk 𝑛 → ∞.

PENDEKATAN ASIMTOTIK BIAS DAN RAGAM PENDUGA Pendekatan asimtotik bias dan ragam penduga disajikan ke dalam dua teorema, yakni Teorema 1 tentang bias asimtotik penduga dan Teorema 2 tentang ragam asimtotik penduga. Teorema 1 (Bias Asimtotik Penduga): Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika 𝑌(𝑡) memenuhi persamaan (3), maka 𝑘 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 1 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑡,𝜏 + 𝑜 ( ) (23) 2 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝑛,𝜏

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti: Perhatikan

𝑛,𝜏

𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝐸 [𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)|𝑁([0, 𝑛])]] ̂ = ∑∞ 𝑚= 0 𝐸[𝜓𝑛 (𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚]𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = 𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 0]𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0) + ̂ ∑∞ 𝑚= 1 𝐸[𝜓𝑛 (𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚). Untuk 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0. Sedangkan 𝑁([0, 𝑛]) ≥ 1 2

𝑡 1 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 2 ) 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 . 𝑖= 1

Sehingga diperoleh untuk 𝑚 ≥ 1 𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)] 2

𝑡 1 ̂ ̂ = ∑∞ ̂ 𝑛 2 ) 𝐸 (𝑚 ∑𝑚 𝑚= 1 𝐸 (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃𝑛 + 𝛬𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 𝑖=1 𝑋𝑖 ) 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) 2

𝑡 1 ̂ ̂ = ∑∞ ̂𝑛 ) 2 ) 𝐸 (𝑚 ∑𝑚 𝑚= 1 (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝐸(𝜃𝑛 ) + 𝐸 (𝛬𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) + 𝐸(𝑎 𝑖=1 𝑋𝑖 ) 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚).

Berdasarkan Lema 1, Lema 3, Lema L.2, diperoleh

16

∑∞ 𝑚= 1 (𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (𝜃 + 1

𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

) + (𝑎 + )

2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 2𝜃 𝑛

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 )

𝑛,𝜏

)) + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + )

𝑎𝑡 2 2

) 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) +

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 𝑎𝑡 2 2

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1 𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

= 𝜓(𝑡)(1 − 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0)) + ( 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)) 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)

) 𝜇 ∑∞ 𝑚=1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) +

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

(

+

𝑡2

1

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

= (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+ 𝑂 (𝑛2 )) 2 ) 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)

= ∑∞ 𝑚= 1 (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + ∑∞ 𝑚= 1 (

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑛,𝜏 )

)) 𝜇 ∑∞ 𝑚=1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

)) 𝜇(1 − 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0)) 𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

= (𝜓(𝑡) + (

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)) 𝜇) (1 − 𝑒 −𝛬(𝑛) ).

untuk 𝑛 → ∞. Dengan perhitungan sederhana, diperoleh 𝛬(𝑛) = 𝐸[𝑁(0, 𝑛)] = 𝜃𝑛 +

𝑎𝑛2 2

+ 𝑂(1)

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh (𝜓(𝑡) + (

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

= (𝜓(𝑡) + ( (1 − 𝑒

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

−(𝜃𝑛+

= 𝜓(𝑡) +

𝑎𝑛2 +𝑂(1)) 2

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)) 𝜇) (1 − 𝑒 −𝛬(𝑛) )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)) 𝜇)

)

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

(24)

untuk 𝑛 → ∞. Dengan persamaan (24) diperoleh 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)] − 𝜓(𝑡) = 𝜓(𝑡) + =

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)

𝑛,𝜏 )

) − 𝜓(𝑡)

17

Teorema 2 (Ragam Asimtotik Penduga) Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika 𝑌(𝑡) memenuhi persamaan (3), maka 2

𝜇 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏 )

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

) + 𝑡2 (

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2 1

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ))) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)−

𝜓(𝑡) 𝜇

)+

(𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) +

),

(25)

untuk 𝑛 → ∞. Bukti: Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut: 2 2 (26) 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝐸 [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) ] − (𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)]) . Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (26) telah diperoleh pada persamaan (24), sehingga diperoleh tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut: 2

𝐸 [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) ] 2

= 𝐸 [𝐸 [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) |𝑁([0, 𝑛])]] 2

̂ = ∑∞ 𝑚= 0 𝐸 [(𝜓𝑛 (𝑡)) |𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) 2

= [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) |𝑁([0, 𝑛]) = 0] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0) + 2

̂ ∑∞ 𝑚= 1 𝐸 [(𝜓𝑛 (𝑡)) |𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚). Untuk 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0. Sedangkan untuk 𝑁([0, 𝑛]) ≥ 1 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛

𝑡2 2

1

) 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑁([0,𝑛]) 𝑋𝑖 . 𝑖= 1

Sehingga diperoleh untuk 𝑚 ≥ 1 2

2

2

2 𝑡 1 ̂ ̂ 𝐸 [(𝜓̂𝑛 ) ] = ∑∞ ̂𝑛 2 ) ] 𝐸 (𝑚 ∑𝑚 𝑚= 1 𝐸 [(𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃𝑛 + 𝛬𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 𝑖= 1 𝑋𝑖 )

𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚).

Pertama, dihitung 2 𝐸 [(𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 𝑡 2 ) ]

(27)

18

2

2

2

= (𝑘𝑡,𝜏 𝜏) 𝐸 ((𝜃̂𝑛 ) ) + 𝐸 ((𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) ) +

𝑡4 4

𝐸((𝑎̂𝑛 )2 ) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝐸 (𝜃̂𝑛 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) +

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 𝐸(𝜃̂𝑛 𝑎̂𝑛 ) + 𝑡 2 𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝑎̂𝑛 ) Berdasarkan Akibat 1 – Akibat 3 dan Lema 5 – Lema 7 maka diperoleh 2

4

2 2 𝑡 (𝑘𝑡,𝜏 𝜏) 𝐸 ((𝜃̂𝑛 ) ) + 𝐸 ((𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) ) + 4 𝐸((𝑎̂𝑛 )2 ) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝐸 (𝜃̂𝑛 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )) +

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 𝐸(𝜃̂𝑛 𝑎̂𝑛 ) + 𝑡 2 𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝑎̂𝑛 ) 2

= (𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝜃 2 +

𝑎+2𝜃 2 𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

𝑎𝜏𝑡𝑟 +2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) +𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (𝑎𝜃 +

2

1

+𝑜(

)) + ((𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

𝑡4

)) + )

4

(𝑎2 +

4𝑎𝜃 𝑛

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 2

= (𝑘𝑡,𝜏 𝜏) 𝜃 2 + (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎2

𝑛,𝜏 )

𝑡4 4

𝑛,𝜏 )

)) +

)) + 𝑡 2 (𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

))

+ 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 𝜃𝑎 + 𝑡 2 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝑎 +

2

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

1

+ 𝑂 (𝑛2 )) +

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

2

) + 𝑡2 (

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2

2 2

= (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) + 2

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

)+ 1

)) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +

2

(𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟 2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2 (

2

untuk 𝑛 → ∞. Kedua, dihitung 1

2

𝐸 [(𝑚 ∑𝑚 𝑖= 1 𝑋𝑖 ) ] 1

2 = 𝑚2 𝐸[(∑𝑚 𝑖= 1 𝑋𝑖 ) ]

1

)) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾 2

)+ (28)

19

1

2 𝑚 𝑚 = 𝑚2 𝐸[∑𝑚 𝑖= 1 𝑋𝑖 + ∑𝑖= 1 ∑𝑗= 1,𝑗≠𝑖 𝑋𝑖 𝑋𝑗 ] 1

2 𝑚 𝑚 = 𝑚2 (∑𝑚 𝑖= 1 𝐸(𝑋𝑖 ) + ∑𝑖= 1 ∑𝑗= 1,𝑗≠𝑖 𝐸(𝑋𝑖 )𝐸(𝑋𝑗 )) 1

= 𝑚2 (𝑚𝐸(𝑋𝑖 2 ) + (𝑚2 − 𝑚)𝐸(𝑋𝑖 )𝐸(𝑋𝑗 )) 1

1

= 𝑚 (𝜇 2 + 𝜎 2 ) + (1 − 𝑚) 𝜇 2 = 𝜇2 +

𝜎2 𝑚

.

(29)

Berdasarkan persamaan (28), dan persamaan (29) maka untuk 𝑚 ≥ 1 persamaan (27) menjadi 2

2

2

𝑡 1 𝐸 [(𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 2 ) ] 𝐸 (𝑚 ∑𝑚 𝑖= 1 𝑋𝑖 ) 𝑡2

2

2

1

= ((𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + )

2

(𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟 2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2 (

2

𝜎2

))) (𝜇 2 + 2

𝑡2

𝑚

2

)+

)

𝜇2

= ((𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) 𝜇) + 𝑙𝑛(𝑘

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

𝑛,𝜏

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + )

2

(𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟 2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2 ( 1

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 ( 𝑡2

2

)+

2

)) + ((𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) +

2

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

2

) + 𝑡2 (

untuk 𝑛 → ∞. Jadi diperoleh

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2

𝜎2

)+ 1

))) 𝑚 + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

20

2

𝐸 [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) ] 2

𝑡2

𝜇2

= (((𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) 𝜇) + 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏 )

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +

2

(𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟 2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2 (

2 𝑡2

2

1

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 2 ) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾 2

)+

))) (∑∞ 𝑚= 1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)) + ((𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃 + 2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + )

2

2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟 2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑡2 (

2 1

𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝜎2

) + 𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾 2

)+

1

))) 𝑚 (∑∞ 𝑚= 1 𝑚 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)) + 1

𝑛,𝜏

∞ ) (∑∞ 𝑚= 1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) + ∑𝑚= 1 𝑚 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)), )

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan bukti dalam Teorema 1, diperoleh −𝑛 ) ∑∞ 𝑚= 1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = 1 + 𝑂(𝑒

untuk 𝑛 → ∞. Terakhir berdasarkan Lampiran 3, diperoleh 1 1 1 ∑∞ + O (n2 ) m= 1 m P(N([0, n]) = m) = an2 θn+

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

(30)

2

2

𝐸 [(𝜓̂𝑛 (𝑡)) ] 𝜇2

2

= ((𝜓(𝑡)) + 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + ) 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

2

) + 𝑡2 (

1

((𝜓(𝑡)) + 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2

2

)+

))) (1 + 𝑂(𝑒 −𝑛 )) + 2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) +

21

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

1

𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

) + 𝑡2 (

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2

) (1 + 𝑂(𝑒 −𝑛 ) + 𝜇2

2

= (𝜓(𝑡)) + 𝑙𝑛(𝑘

2

1

))) 𝜎 2 (

1

1

𝑎𝑛2 𝜃𝑛+ 2

+ 𝑂 (𝑛2 )) +

1

𝑎𝑛2 𝜃𝑛+ 2

+ 𝑂 (𝑛2 ))

2

𝑛,𝜏

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + ) 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

)+

) + 𝑡2 (

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2

1

)) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)+

),

(31)

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan persamaan (24) maka 2 (𝐸[𝜓̂𝑛 (𝑡)]) 𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

= (𝜓(𝑡) + (

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

= (𝜓(𝑡)) + 𝜓(𝑡)𝜇 (

) 𝜇 + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

1 𝑛,𝜏 )

)) 1

) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

(32)

untuk 𝑛 → ∞. Jadi dengan substitusi persamaan (31) dan persamaan (32) pada persamaan (26) maka diperoleh 𝑉𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] 𝜇2

2

= (𝜓(𝑡)) +

2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

) + 𝑡2 (

2

((𝜓(𝑡)) + 𝜓(𝑡)𝜇 ( 𝜇2

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2

2𝛾+2𝜃−𝑎𝜏𝛾+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )−4𝜃𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

)) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)− 1

) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

2

2

)+

𝑛,𝜏 )

))

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − ) 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 (

2

)+

22

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

) + 𝑡2 (

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2 1

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 ))) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)−

𝜓(𝑡) 𝜇

(𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) +

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

SIMULASI MODEL

Simulasi model dilakukan dengan membuat program pada perangkat lunak Scilab. Simulasi model ini dilakukan dalam dua tahapan, yaitu tahapan pembuatan program dan tahapan analisis data bangkitan. A. Tahapan pembuatan program: 1. Mendefinisikan variabel input dan variabel ouput. Variabel inputnya, yaitu u (banyaknya pengulangan), 𝑛 (banyaknya barisan), 𝜏 (periode), dan 𝑡 (panjang titik waktu). Variabel outputnya, yaitu P, S, dan T. Variabel P berbentuk matriks berukuran 2 X 5. Baris matriks P menyatakan nilai sebenarnya dari suatu parameter dan pendugaannya, sedangkan kolom matriks P terdiri dari nilai 𝜓(𝑡), 𝜃, 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ), 𝑎, dan 𝜇. Variabel S berbentuk matriks berukuran 2 X 5. Baris matriks S terdiri dari bias dan ragam penduga, sedangkan kolom matriks S menyatakan nilai bias dan ragam dari tiap penduga parameter (𝜓̂𝑛 (𝑡), 𝜃̂𝑛 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ), 𝑎̂𝑛 , dan 𝜇̂ 𝑛 ). Variabel T berbentuk matriks berukuran 301 X 5. Baris matriks T terdiri dari partisi 0 sampai t dengan interval 0.1, sedangkan kolom matriks T menyatakan hasil partisi t, nilai 𝜓(𝑡), nilai rataan dari ulangan 𝜓̂𝑛 (𝑡), nilai 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) dan nilai rataan dari ulangan 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ). 2. Membangkitkan data proses Poisson 𝑁. Pembangkitan data tersebut menggunakan distribusi Poisson dengan parameternya adalah E(N). 3. Membangkitan data 𝑋𝑖 sebanyak 𝑁(𝑛) kali. Pembangkitan data tersebut menggunakan distribusi eksponen dengan nilai rata-rata 5. 4. Menghitung nilai dari 𝑎̂𝑛 , 𝜃̂𝑛 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ), dan 𝜇̂ 𝑛 menggunakan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (9), (10), (11), dan (12). 5. Menghitung nilai 𝜓̂𝑛 (𝑡) menggunakan rumusan pada persamaan (8). 6. Ulangi langkah 2-5 sebanyak 500 kali. 7. Nilai 𝜓̂𝑛 (𝑡), 𝑎̂𝑛 , 𝜃̂𝑛 , 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) dan 𝜇̂ 𝑛 ditentukan dari perhitungan rataan ulangan u kali. 8. Menghitung nilai dari 𝜃, 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) menggunakan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (6), dan (5). Sementara itu nilai 𝑎 = 0.001 dan 𝜇 = 5. 9. Menghitung nilai 𝜓(𝑡) menggunakan rumusan pada persamaan (4). 10. Menghitung bias dan ragam 𝜓̂𝑛 (𝑡) teori berturut – turut menggunakan rumusan pada persamaan (23) dan (25), sedangkan bias dan ragam 𝜓̂𝑛 (𝑡) simulasi berturut – turut dengan menggunakan definisi bias dan definisi ragam.

23

B. Tahapan analisis data bangkitan: 1. Menjalankan program yang telah diperoleh pada tahapan A secara berulang kali sesuai dengan banyaknya nilai n yang di-update. Nilai 𝑛 yang digunakan pada penelitian ini ialah 𝑛 ={1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000}. 2. Membandingkan hasil dari tiap 𝑛 yang digunakan. Perbandingan yang dilakukan terbagi menjadi 2 grafik, yaitu perbandingan grafik 𝜓(𝑡) dengan 𝜓̂𝑛 (𝑡) dan perbandingan grafik % selisih antara 𝜓(𝑡) dengan 𝜓̂𝑛 (𝑡) untuk tiap 𝑛. 3. Membandingkan bias dan ragam tiap penduga secara teori dengan simulasi. Simulasi ini dilakukan untuk mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang interval waktu pengamatan yang terbatas. Simulasi ini menggunakan proses Poisson periodik dengan rumusan fungsi intensitas 2𝜋𝑠 𝜆(𝑠) = cos ( ) + 1 + 0.001𝑠. 7 Proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas demikian memiliki periode 𝜏 = 7 dan nilai tren linear 𝑎 = 0.001 . Berdasarkan tahapan pembuatan program nomer 3, diperoleh nilai 𝜇 yang digunakan adalah 𝜇=5. Adapun fungsi intensitas globalnya (𝜃) dan fungsi intensitas sebagian (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) dihitung dalam program menggunakan perangkat lunak Scilab. Hasil simulasi model dengan data bangkitan disajikan dalam bentuk perbandingan grafik 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡). Perbandingan tersebut disajikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Grafik 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡)

24

Gambar 1 menunjukkan perbandingan grafik antara 𝜓(𝑡) dengan 𝜓̂𝑛 (𝑡) untuk setiap nilai 𝑛 yang digunakan. Sumbu x menyatakan panjang waktu (𝑡) pengamatan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sedangkan sumbu y menyatakan nilai harapan dari proses tersebut pada saat 𝑡. Pada Gambar 1 terlihat pada grafik 𝜓̂𝑛 (𝑡) yang paling jauh dengan grafik 𝜓(𝑡) saat n = 1000 sedangkan grafik 𝜓̂𝑛 (𝑡) yang paling dekat dengan grafik 𝜓(𝑡) saat n = 7000. Secara umum, grafik 𝜓̂𝑛 (𝑡) akan semakin mendekati grafik 𝜓(𝑡) seiring meningkatnya nilai 𝑛. Perbedaan persentase selisih antara 𝜓̂𝑛 (𝑡) dengan 𝜓(𝑡) disajikan pada Gambar 2.

Gambar 2. Grafik selisih (%) antara 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡) Gambar 2 menunjukkan persentase selisih antara 𝜓(𝑡) dengan 𝜓̂𝑛 (𝑡). Sumbu x menyatakan panjang waktu (𝑡) pengamatan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sedangkan sumbu y menyatakan persentase selisih nilai antara 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛 (𝑡) pada saat t untuk setiap n yang digunakan. Pada Gambar 2 terlihat pada grafik yang memiliki persentase paling besar saat n = 1000 sedangkan grafik yang memiliki persentase paling kecil saat n = 7000. Secara umum, grafik memiliki nilai yang cukup kecil untuk setiap panjang waktu 𝑡 dan grafik akan memiki persentase yang makin mengecil seiring meningkatnya nilai 𝑛. Perbandingan nilai bias dan ragam asimtotik penduga secara simulasi dengan teori disajikan pada Tabel 1. Tabel 1. Bias dan Ragam Asimtotik Penduga Bias Teori Bias Simulasi Absolut Error Bias Ragam Teori Ragam Simulasi Absolut Error Ragam

1000 5.90 -55.73 61.63 381.66 635.34 253.68

2000 5.18 -54.68 59.86 334.62 458.29 123.67

Interval waktu pengamatan n 3000 4000 5000 4.83 4.61 4.45 -53.74 -51.81 -49.97 58.57 56.42 54.42 312.17 297.99 287.85 369.60 348.49 346.16 57.43 50.50 58.31

6000 4.33 -49.84 54.17 280.07 326.38 46.31

7000 4.24 -49.70 53.94 273.82 303.37 29.55

25

Tabel 1 menunjukkan bahwa 𝜓̂𝑛 (𝑡) memiliki error bias dan ragam penduga yang semakin mengecil. Perbedaan nilai teori dan simulasi dikarenakan perlunya kajian teori yang lebih mendalam, yaitu dengan menghitung bias dan ragam sampai second order.

SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk adalah 𝑡2 𝜓̂𝑛 (𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝜃̂𝑛 + 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) + 𝑎̂𝑛 ) 𝜇̂ 𝑛 2 dengan 𝑎̂𝑛 = 1 𝜃̂𝑛 = 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

1 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ) = 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

,

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

dan

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

1

𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝑁([0,𝑛])

𝜇̂ 𝑛 = 𝑁([0,𝑛]) ∑𝑖= 1

− 2) + )

),

𝑋𝑖 ,

dengan 𝜇̂ 𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Kemudian, 𝜓̂𝑛 (𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Bias asimtotik penduga adalah 2

𝑘 𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) 1 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑡,𝜏 + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘 2 𝑙𝑛(𝑘 )

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏

)

dan ragam asimtotik penduga adalah 2

𝜇 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛 (𝑡)] = 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2

2

((𝑘𝑡,𝜏 𝜏) (𝑎 + 2𝜃 2 𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡𝑟 + 2𝛾(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )) + 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))+2𝑎𝑡𝑟

𝑎𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 2𝑘𝑡,𝜏 𝜏 ( 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

𝑘𝑡,𝜏 𝜏𝑡 2 (

2

) + 𝑡2 (

2

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )) 2 1

2𝛾𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟 )) + 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

)−

𝜓(𝑡) 𝜇

)+

𝑘𝑡,𝜏 𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) +

),

untuk 𝑛 → ∞. Simulasi model dengan data bangkitan memberikan visualisasi mengenai model fungsi nilai harapan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Semakin panjang interval pengamatan maka penduga akan semakin mendekati nilai yang sebenarnya. Perbedaan nilai teori dan simulasi dikarenakan perlunya kajian teori yang lebih mendalam, yaitu dengan menghitung bias dan ragam sampai second order.

DAFTAR PUSTAKA Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica. 41:575-587. Capiński M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2𝑛𝑑 Ed. New York (US): Springer. Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Rev Ed. New York (US): John Wiley & Sons. DasGupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer. Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability. 3𝑟𝑑 Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 61:599-628. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6𝑡ℎ Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations. 4(1):1-9. Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. 4(2):1-12 Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91 Mangku IW, Ruhiyat, Purnaba IGP. 2014. Statistical properties of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of Mathematical Sciences. 82(2):227-237. Özel G. 2011. On certain properties of a class of bivariate compound Poisson distribution and an application to earthquake data. Revista Columbiana de Estad𝑖́stica. 34(3):545-566. Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(2127):897-910. Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. 10th Ed. New York (US): John Wiley & Sons. Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press. Wibowo BA. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

LAMPIRAN

28

Lampiran 1: Beberapa Lema dan Teorema teknis Lema L.1 Misalkan k, 𝜏 adalah konstanta maka berlaku 𝑘𝑛,𝜏

1.

∑ 1 = 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 𝑘𝑛,𝜏

2.

∑ 𝑘=1

1 = 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏

3.

∑ 𝑘=1

1 𝜋2 = + 𝑜(1) 𝑘2 6

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960). Lema L.2: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝜃 1 + 𝑂 ( 2) 𝑛 𝑛 untuk 𝑛 → ∞. Dengan kata lain 𝑎̂𝑛 merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝑎. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). 𝐸[𝑎̂𝑛 ] = 𝑎 +

Lema L.3: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 2𝑎 4𝜃 1 + + 𝑂 ( ) 𝑛2 𝑛3 𝑛4 untuk 𝑛 → ∞. Dengan kata lain 𝑎̂𝑛 merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝑎. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ] =

Teorema L.1 (Hukum Lemah bilangan besar) Misalkan {𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1} adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan 𝜇 dan ragam 𝜎 2 < ∞, maka 1 𝑛

𝑃

∑𝑛𝑖= 1 𝑋𝑖 → 𝜇

untuk 𝑛 → ∞. Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).

29

Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli) Misalkan {𝐾𝑛 } adalah barisan kejadian pada ruang contoh Ω. Jika ∑∞ 𝑛=1 𝑷(𝐾𝑛 ) < ∞, maka

∞ 𝑷(⋂∞ 𝑚=1 ⋃𝑛=𝑚 𝐾𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑷(𝐾𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑚) = 0. 𝑚→∞

Jika {𝐾𝑛 } adalah barisan kejadian yang saling bebas dan ∑∞ 𝑛=1 𝑷(𝐾𝑛 ) = ∞, maka

∞ 𝑷(⋂∞ 𝑚=1 ⋃𝑛=𝑚 𝐾𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑷(𝐾𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑚) = 1. 𝑚→∞

untuk 𝑛 → ∞. Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011).

30

Lampiran 2: Bukti beberapa Lema teknis Bukti Lema 2: Perhatikan bahwa 1 𝑉𝑎𝑟[𝜃̂𝑛 ] = 𝑉𝑎𝑟 [𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛,𝜏 )𝜏

1

Misalkan 𝐴𝑛 = ln(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 dan 𝐵𝑛 = 𝑎̂𝑛 (ln(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏

𝜏

− 2)]. 𝜏

− 2). )

Sehingga diperoleh 𝑉𝑎𝑟[𝜃̂𝑛 ] = 𝑉𝑎𝑟[𝐴𝑛 ] + 𝑉𝑎𝑟[𝐵𝑛 ] − 2𝐶𝑜𝑣(𝐴𝑛 , 𝐵𝑛 ).

(33)

Perhatikan bahwa, untuk setiap 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑘 =1,2,..., maka ([𝑗𝜏, (𝑗 + 1)𝜏]) dan ([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏]) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga diperoleh 𝑁([𝑗𝜏, (𝑗 + 1)𝜏]) dan 𝑁([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏]) adalah bebas, untuk 𝑗 ≠ 𝑘. Pertama, kita hitung 𝑉𝑎𝑟[𝐴𝑛 ] 1

= 𝑉𝑎𝑟 [𝑙𝑛(𝑘 =

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘2

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

]

𝑘

𝑣𝑎𝑟[𝑁([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏])].

Karena 𝑁 Poisson maka 𝑣𝑎𝑟[𝑁] = 𝐸[𝑁] sehingga diperoleh 1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

=

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

2

𝑣𝑎𝑟[𝑁([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏])]

𝑘2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘2

𝐸[𝑁([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏])].

Berdasarkan persamaan (14) maka 1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

= =

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

1

(𝜃𝜏 + 𝑘2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

𝐸[𝑁([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏])]

𝑘2

1 𝑘2

(𝜃𝜏 −

𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2 𝑎𝜏2 2

)+

) 𝑎𝜏2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

2

1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 . 𝑘

Berdasarkan Lema L.1 maka 1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

=

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏) 𝑎

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

+

2

1 𝑘2

(𝜃𝜏 −

(𝜃𝜏 − 𝑎𝜏2 2

2

)+

𝑎𝜏2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

𝜋2

) ( 6 + 𝑜(1)) +

𝑎𝜏 𝜋2 ) +𝑎𝜏𝛾 2 6 2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

(𝜃−

𝑎𝜏2

+𝑜(

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

2

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘

𝑎𝜏2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏)

),

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1))

31

𝑎

Var[𝐴𝑛 ] = ln(k

n,τ )

aτ π2 +aτγ 2 6 2 (ln(kn,τ )) τ

(θ− )

+

1

+ o(

(ln(kn,τ ))

2

),

(34)

untuk 𝑛 → ∞. Kemudian, kita hitung 𝑉𝑎𝑟[𝐵𝑛 ] 𝑘

𝑛,𝜏 = 𝑉𝑎𝑟 [𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝜏

− 2)]

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 = (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏

2

𝜏

− 2) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ]. )

Berdasarkan Lema L.3 maka 𝑘

𝑛,𝜏 (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏

=(

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

=

2

𝜏

− 2) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ] ) 𝑛,𝜏 − 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏

2

(𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝜏2

+

2

𝜏2

2𝑎

4𝜃

1

+ 4 ) (𝑛2 + 𝑛3 + 𝑂 (𝑛4 )) )

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘

2

𝜏2

2𝑎𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

𝑛,𝜏 − 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

4𝜃𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘 )

𝜏2

𝑛,𝜏

𝑎𝜏2

+ 2𝑛2 + )

𝜃𝜏2 𝑛3

1

+ 𝑂 (𝑛4 ),

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh 𝑉𝑎𝑟[𝐵𝑛 ] =

2

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

2 +

(𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘

2𝑎𝑘

2

𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏 − 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝜏2

4𝜃𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝜏2

𝑛,𝜏 )

𝑎𝜏2

+ 2𝑛2 +

untuk 𝑛 → ∞. Terakhir, kita hitung

𝜃𝜏2 𝑛3

1

+ 𝑂 (𝑛4),

(35)

2𝐶𝑜𝑣(𝐴𝑛 , 𝐵𝑛 ) 1

= 2𝐶𝑜𝑣 (𝑙𝑛(𝑘 =( =( =(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

1

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

− 𝑙𝑛(𝑘

2

− 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

2

𝑛,𝜏 ))

2

𝜏

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 , 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1 )

𝜏

− 2))

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑘

𝑛,𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

1

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏 2𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

, 𝑎̂𝑛 ) 2

, 𝑛2 𝑁[0, 𝑛])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

, 𝑁[0, 𝑛]).

Perhatikan bahwa, untuk setiap 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑘 =1,2,..., maka ([𝑗𝜏, (𝑗 + 1)𝜏]) dan ([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏]) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga diperoleh N([𝑗𝜏, (𝑗 + 1)𝜏]) dan N([𝑘𝜏, (𝑘 + 1)𝜏]) adalah bebas, untuk 𝑗 ≠ 𝑘. (

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

2

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

=(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

2

2

𝜏

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

, 𝑁[0, 𝑛])

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])) 𝑘

32

=(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏 ))

2

𝜏

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1

𝐸(𝑁([𝑘𝜏,(𝑘+1)𝜏]))

.

𝑘

Berdasarkan persamaan (14) maka 4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

(

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

=( =(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑛,𝜏

2

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏 4𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 )

𝜏

𝑘

𝑘

𝑎(2𝑘−1)𝜏2

1

𝑛,𝜏

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 (𝜃𝜏 + ) 𝑘

𝑛,𝜏

𝑛,𝜏 ) (∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − ) 𝑘

2

𝑛,𝜏 ))

𝐸(𝑁([𝑘𝜏,(𝑘+1)𝜏]))

𝑘

2

1

𝑎𝜏2

) 𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2 )

2

Berdasarkan Lema L.1 maka 4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

(

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

= (

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

4𝑘

𝑛,𝜏 = (𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

=

𝜏

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2

−

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛2

𝑛,𝜏 − 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2

2

2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2 )

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) +

2

)+(

2

+

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏 2𝑎𝑘

2

2

2

𝑛,𝜏 − 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝜏2

𝑛,𝜏 )

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃𝛾−2𝑎𝛾𝜏) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

) (𝜃𝛾𝜏 − )

𝑎𝛾𝜏2 2

)+

) −

(2𝜃𝛾𝜏−𝑎𝛾𝜏2 ) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

+𝑜(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

)+

𝜏2

𝑛,𝜏 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(2𝜃𝜏−𝑎𝜏2 )

2𝑎𝑘

2

𝑎𝜏2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃−2𝑎𝜏)

𝑎𝜏2

𝑎𝜏2

) 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏 2

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

)+(

1

) (𝜃𝜏 − )

𝑛,𝜏 )

− 𝑛2 ) (𝜃𝜏 − )𝜏

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

𝑛,𝜏

2

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

=

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 2

𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏

𝑜(

2

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

(

𝑘

𝑛,𝜏 ) (∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − ) 𝑘

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃−4𝑎𝜏−2𝑎𝜏)

+

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃𝛾−2𝑎𝛾𝜏) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+𝑜(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

)

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh 2Cov(𝐴𝑛 , 𝐵𝑛 ) =

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

2 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 4kn,τ τ

o(

+

n2 (ln(kn,τ ))

2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃−4𝑎𝜏−2𝑎𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃𝛾−2𝑎𝛾𝜏) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

),

(36)

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan persamaan (34)-(36) maka persamaan (33) 𝑉𝑎𝑟[𝜃̂𝑛 ] = 𝑉𝑎𝑟[𝐴𝑛 ] + 𝑉𝑎𝑟[𝐵𝑛 ] − 2𝐶𝑜𝑣(𝐴𝑛 , 𝐵𝑛 ) 𝑎

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

+ )

𝑎𝜏 𝜋2 ) +𝑎𝜏𝛾 2 6 2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜏

(𝜃−

+𝑜(

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2) +

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

2

(𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2 +

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

2

𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

−

33

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏2 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

4𝜃𝑘

𝑛,𝜏 − 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘 )

𝑛,𝜏

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃𝛾−2𝑎𝛾𝜏) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘 𝑎

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

𝜏2

𝑛,𝜏 ))

2

+𝑜(

𝑎𝜏2

+ 2𝑛2 + )

𝑛3

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2𝜃𝜋 2 +𝑎(12𝜏𝛾−𝜏𝜋 2 )

+ )

𝜃𝜏2

12𝜏(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

2

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏)

1

+ 𝑂 (𝑛4 ) − (

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

2

𝑛,𝜏 ))

2

+

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(4𝜃−4𝑎𝜏−2𝑎𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

)) 1

+𝑜(

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Bukti Lema 4: Perhatikan bahwa 1 𝑉𝑎𝑟[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] = 𝑉𝑎𝑟 [𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 − 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

+ )

)]

Misalkan: 1

𝐶𝑛 = ln(k

k

n,τ )

n,τ ∑k=1

N([(k−1)τ,(k−1)τ+tr ]) k

k

τtr

(t2r −2tr τ)

n,τ

2

n,τ dan 𝐷𝑛 = 𝑎̂𝑛 (ln(k

+ )

).

Sehingga diperoleh (37) 𝑉𝑎𝑟[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] = 𝑉𝑎𝑟[𝐶𝑛 ] + 𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑛 ] − 2𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐷𝑛 ). Perhatikan bahwa, untuk setiap 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑘 =1,2,..., maka ([𝑗𝜏, 𝑘𝜏+𝑡𝑟 ]) dan ([𝑘𝜏, 𝑘𝜏+𝑡𝑟 ]) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga diperoleh 𝑁([𝑗𝜏, 𝑘𝜏+𝑡𝑟 ]) dan 𝑁([𝑘𝜏, 𝑘𝜏+𝑡𝑟 ]) adalah bebas, untuk 𝑗 ≠ 𝑘. Pertama, kita hitung 𝑉𝑎𝑟[𝐶𝑛 ] 1

= 𝑉𝑎𝑟 [𝑙𝑛(𝑘 =

1

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘2

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

]

𝑘

𝑉𝑎𝑟[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])].

Karena 𝑁 Poisson maka 𝑉𝑎𝑟[𝑁] = 𝐸[𝑁] sehingga diperoleh 1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

1 𝑘2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑉𝑎𝑟[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])] 1

𝑘2

𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])].

Berdasarkan persamaan (17) maka 1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

= =

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

1 𝑘2

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ])] 1

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎 𝑘2 1

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 𝑘2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)+

)

𝑎𝜏𝑡𝑟

𝑘

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 . 𝑘

Berdasarkan Lema L.1 maka 1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘2

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)+

𝑎𝜏𝑡𝑟 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

1 𝑘

34

1

=

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

2

2

𝜋2

𝑎𝜏𝑡𝑟

) ( 6 + 𝑜(1)) +

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1))

2

𝑡 −2𝜏𝑡𝑟 𝜋 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎 𝑟 ) 2

=

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

6

2

1

+𝑜(

𝑎𝜏𝑡

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

) + 𝑙𝑛(𝑘 𝑟 ) + 𝑛,𝜏

𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh 2

𝑎𝜏𝑡𝑟

𝑉𝑎𝑟[𝐶𝑛 ] = 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

+

2

𝑡 −2𝜏𝑡𝑟 𝜋 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎 𝑟 ) +𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

6 2

1

+𝑜(

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

),

(38)

untuk 𝑛 → ∞. Kemudian, kita hitung 𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑛 ] 𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 = 𝑉𝑎𝑟 [𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

=(

𝑛,𝜏

+ )

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ]

2

2

+

2

)]

2

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 = (𝑙𝑛(𝑘

+ )

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2

4

) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ].

Berdasarkan Lema L.3 maka (

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=( =

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2 +

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2 +

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2 2

2

+

+

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

2

+

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 4

+

) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ]

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2

2𝑎

4𝜃

1

) (𝑛2 + 𝑛3 + 𝑂 (𝑛4 ))

4

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

4𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2𝑛2

2

+

1

+ 𝑂 (𝑛4 ),

𝑛3

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh 𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑛 ] =

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2𝑛2

2

2

+

+

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2

2

+

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

+

4𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

+ 𝑂 (𝑛4 ),

𝑛3

(39)

untuk 𝑛 → ∞. Terakhir, kita hitung 2𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐷𝑛 ) 1

= 2𝐶𝑜𝑣 (𝑙𝑛(𝑘 =(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑘

𝑛,𝜏 )

+

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘 𝑘

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

+

𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 , 𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

+ )

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

, 𝑎̂𝑛 )

))

35

=( =(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

+

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 2𝑁[0,𝑛]

,

𝑘

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1 )

𝑛2

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

𝑛,𝜏

)

, 𝑁[0, 𝑛]).

Perhatikan bahwa, untuk setiap 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑘 =1,2,..., maka [𝑗𝜏, 𝑗𝜏 + 𝑡𝑟 ] dan [𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟 ] tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga diperoleh N([𝑗𝜏, 𝑗𝜏 + 𝑡𝑟 ]) dan N([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟 ]) adalah bebas, untuk 𝑗 ≠ 𝑘. 2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=(

𝑛,𝜏 ))

2

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛,𝜏 ))

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 2 + 2 𝑛 𝑙𝑛(𝑘 )

, 𝑁[0, 𝑛])

𝑘

𝑛,𝜏

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1 )

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

𝑛,𝜏

.

Karena 𝑁 Poisson maka 𝑉𝑎𝑟(𝑁) = 𝐸(𝑁) sehingga diperoleh 2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=(

2

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

𝑛,𝜏

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 )

𝑛,𝜏 ))

2

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 )

𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

𝑛,𝜏

.

Berdasarkan persamaan (17) maka 2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=(

𝑛,𝜏 ))

𝑘

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛,𝜏 ))

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

1

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎 ) 𝑘

2

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑛,𝜏

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

2(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑘

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]))

𝑛,𝜏

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

=(

𝑘

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 2 + 2 𝑛 𝑙𝑛(𝑘 )

𝑘

1

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑛,𝜏

)

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

)+(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

+

𝑘

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 .

Berdasarkan Lema L.1 maka (

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=(

2

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 )

(

𝑛,𝜏 ))

𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏

)+

𝑘

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2

𝑟 𝑟 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

2

𝑟 𝑟 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 4𝑘

2

𝑛,𝜏

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 = (𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

1

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 ) ∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛,𝜏 ))

𝑘

2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑛,𝜏

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) +

2(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

+ )

𝑛,𝜏

2(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2

) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

2(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾 + 𝑎𝛾 )

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

)

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)+𝑜(

)+(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏 ))

2) + (

2

+

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

36

=

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

(2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏))(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑜( =

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2 2

(2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏))(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

+

2

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏))

+

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑜(

2) +

+

𝑛2

𝑛,𝜏 )

+

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

),

untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh 2𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐷𝑛 ) =

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛2 (ln(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)) 𝑛2 ln(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)) 𝑛2 (ln(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+𝑜(

+

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (ln(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

),

(40)

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan persamaan (38)-(40) maka persamaan (37) 𝑉𝑎𝑟[𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )] = 𝑉𝑎𝑟[𝐶𝑛 ] + 𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑛 ] − 2𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐷𝑛 ) 2

𝑎𝜏𝑡𝑟

= 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

+

2

𝑡 −2𝜏𝑡𝑟 𝜋 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎 𝑟 ) +𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 2

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 1

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑂 (𝑛4 ) − (

+

6 2

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2 +

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝑎𝜏𝑡

+

)+

4𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+𝑜(

4𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2𝜋 2 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝜋 2 (𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )+12𝑎𝜏𝑡𝑟 𝛾 12(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏

2

2

2

+𝑜(

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

+

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏))

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏))

= 𝑙𝑛(𝑘 𝑟 ) +

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

4𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 )

+𝑜(

1

2

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2𝑛2

+

2

+

𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3

2

+

+

)) 1

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Bukti Lema 5: Untuk menghitung 𝐸(𝜃̂𝑛 𝑎̂𝑛 ), kita gunakan pemisalan 𝐴𝑛 dan 𝐵𝑛 sama seperti pada pembuktian Lema 2. Perhatikan 𝐸(𝜃̂𝑛 𝑎̂𝑛 ) = 𝐸 ((𝐴𝑛 − 𝐵𝑛 ) = 𝐸 (𝐴𝑛

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

)

) − 𝐸 (𝐵𝑛

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

)

37

2

= 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏 ) (𝑁[0, 𝑛])) − (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝑘

− 2) 𝐸(𝑎̂𝑛 2 ).

(41)

Perhatikan bahwa 𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

) (𝑁[0, 𝑛]))

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 𝐶𝑜𝑣 (

𝑘

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 , 𝑁[0, 𝑛]) + 𝐸 (∑𝑘=1

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏 , 𝑁[0, 𝑛]) + (∑𝑘=1 𝐸(

1

𝑘

) 𝐸(𝑁[0, 𝑛])

𝑘

)) 𝐸(𝑁[0, 𝑛])

𝑘

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 𝑣𝑎𝑟(𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) + (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])). 𝑘 𝑘

Karena 𝑁 poisson maka 𝑣𝑎𝑟(𝑁) = 𝐸(𝑁) sehingga diperoleh 𝑘

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝑣𝑎𝑟(𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) + (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘 𝑘

𝑘

1

𝑘

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 𝐸(𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) + (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘 𝑘 𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 𝐸(𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) (1 + 𝐸(𝑁[0, 𝑛])). 𝑘

Berdasarkan persamaaan (14) maka 𝑘

1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 𝐸(𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) (1 + 𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘

𝑘

1

𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 (𝜃𝜏 + 𝑘

𝑘

1

𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2

𝑛,𝜏 = (∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − 𝑘

𝑎𝜏2 2

) (𝜃𝑛 +

𝑎𝑛2

+ 𝑂(1))

2

𝑎𝑛2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2 ) (

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1)).

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan Lema L.1 maka 𝑘

1

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − 𝑘

= ((𝜃𝜏 −

𝑎𝜏2 2

𝑎𝜏2 2

=

𝑎𝜏2 2

2

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1)) 𝑎𝑛2

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏 2 ) (

= (𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏 2 + (𝜃𝜏 − 𝑎2 𝑛2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏2

𝑎𝑛2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏 2 ) (

+ (𝜃𝜏 −

𝑎𝜏2 2

) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (𝜃𝜏 −

𝑎𝜏2 𝑎𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2

)

) 𝜃𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (𝜃𝜏 −

2 𝑎𝜏2 2

+

𝑎𝜏2 2

𝑎𝑛2 (𝜃𝜏− 2

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1)) 𝑎𝑛2

) 𝛾 + 𝑜(1)) (

𝑎𝜏2 )𝛾 2

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1))

+ 𝑎𝜃𝑛𝑘𝑛,𝜏 𝜏 2 + (𝜃𝜏 −

) 𝜃𝑛𝛾 + 𝑂(1)

(42)

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan persamaan (42) dan Akibat 3 maka persamaan (41) menjadi 2 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝜏

𝑘

𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 ) (𝑁[0, 𝑛])) − (𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏 )

𝜏

− 2) 𝐸(𝑎̂𝑛 2 )

38

𝑎2 𝑛2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏2

2

= 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑎𝜏2

(𝜃𝜏 − 𝑘

𝑛,𝜏 (𝑙𝑛(𝑘

2

𝜏

− 2) (𝑎2 + 𝑎2 𝜏

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

+ 𝑎𝜃 − ) 2

𝑂 (𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )𝜏

4𝑎𝜃 𝑛

+

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

)

𝑎𝜏2 2

2

+

𝑎𝑛2 (𝜃𝜏−

𝑎𝜏2 )𝛾 2

2

+ 𝑎𝜃𝑛𝑘𝑛,𝜏 𝜏 2 +

) 𝜃𝑛𝛾 + 𝑂(1)) −

1

+ 𝑂 (𝑛2 ))

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

+

2𝑎𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏

+ )

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 𝑎2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏 4𝑎𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑎2 𝜏

) − 𝑙𝑛(𝑘

2𝑎𝜃𝛾−𝑎2 𝜏𝛾

= 𝑎𝜃 +

2

) 𝜃𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (𝜃𝜏 −

𝑎2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏

= 𝑎𝜃 +

+ (𝜃𝜏 −

2

𝜏

𝑛,𝜏 )

=

(

𝑛,𝜏 )𝜏

𝑎𝜏2 𝑎𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

− 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2𝑎𝜃𝑘

𝜏

− 𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 1 𝑛,𝜏 )

+

2𝜃2 +𝑎𝜏𝜃 𝑛

𝑛,𝜏

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )𝑛

2

+

+

2𝜃 2 −𝑎𝜏𝜃 𝑛 2𝑎𝜃𝜏 𝑛

2𝜃2 𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛 2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏

+ 𝑂 (𝑙𝑛(𝑘

2𝜃2 𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛

+

𝑛,𝜏 )𝑛

2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏

+ 𝑙𝑛(𝑘

2 𝑛,𝜏 )𝑛

2

+

) 2𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏

+ 𝑂 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )𝑛

2

)

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Bukti Lema 6: Untuk menghitung 𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝑎̂𝑛 ), kita gunakan pemisalan 𝐶𝑛 dan 𝐷𝑛 sama seperti pada pembuktian Lema 4. Perhatikan 𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝑎̂𝑛 ) = 𝐸 ((𝐶𝑛 − 𝐷𝑛 ) = 𝐸 (𝐶𝑛

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

2

= 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

) − 𝐸 (𝐷𝑛 𝑘

𝑛,𝜏 )

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2

)

𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

2𝑁[0,𝑛] 𝑛2

)

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

𝑘

) 𝐸(𝑎̂𝑛 2 ).

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

) (𝑁[0, 𝑛]))

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

𝑘

𝑛,𝜏 = 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

, 𝑁[0, 𝑛]) +

𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝐸 (∑𝑘=1 ) 𝐸(𝑁[0, 𝑛]) 𝑘 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

𝑘

𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 𝐶𝑜𝑣 (

, 𝑁[0, 𝑛]) +

𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) (∑𝑘=1 𝐸 ( )) 𝐸(𝑁[0, 𝑛]) 𝑘 𝑘

1

𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 (𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) +

𝑘

𝑘

1

𝑛,𝜏 )

+ (43)

Perhatikan bahwa 𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 ) (𝑁[0, 𝑛])) − (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])). 𝑘

39

Karena 𝑁 poisson maka 𝑣𝑎𝑟(𝑁) = 𝐸(𝑁) sehingga diperoleh 𝑘

1

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1 (𝑣𝑎𝑟(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) + 𝑘

𝑘

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘 𝑛,𝜏 = ∑𝑘=1 (𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) + 𝑘

𝑘

1

𝑘

1

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) (𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘 𝑛,𝜏 = (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) (1 + 𝐸(𝑁[0, 𝑛])). 𝑘

Berdasarkan persamaan (17) maka 𝑘

1

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 𝐸(𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) (1 + 𝐸(𝑁[0, 𝑛])) 𝑘

𝑘

1

𝑛,𝜏 = (∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎 𝑘

𝑘

1

𝑛,𝜏 = (∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑘

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)) (𝜃𝑛 +

𝑎𝑛2 2

𝑎𝑛2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 ) (

2

+ 𝑂(1))

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1)),

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan Lema L.1 maka 𝑘

1

𝑛,𝜏 (∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑘

𝑘

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2

1

𝑛,𝜏 = (∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑘

= ((𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + =

𝑎2 𝑛2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 2

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2

𝑎𝑛2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 ) (

2

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1))

𝑎𝑛2

𝑘

𝑛,𝜏 ) + ∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 ) (

2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1))

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 ) (

+ (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑎𝜃𝑛𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 + (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑂(1),

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑎𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2 𝑎(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2

)

2

+ (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾 +

𝑎𝑛2 2

+ 𝜃𝑛 + 𝑂(1))

𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑎𝑛2

) 𝜃𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾 +

)

2

𝑎𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 2

2

+

) 𝜃𝑛 + (44)

untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan persamaan (44) dan Akibat 3 maka persamaan (43) menjadi 2

𝑘

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛2 𝑘

𝑛,𝜏 𝐸 ((∑𝑘=1

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 (𝑙𝑛(𝑘

+ )

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

) 𝐸(𝑎̂𝑛 2 )

) (𝑁[0, 𝑛])) −

40

=

=

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

𝑎2 𝑛2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 2

( )𝑛2

+ (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑎(𝑡2𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑎𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + ) 2 2

𝑎𝛾(𝑡2𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑎𝑛2 ) 2 2

+ 𝑎𝜃𝑛𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 + (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑎𝛾(𝑡2𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) ) 𝜃𝑛 2

+ 𝑂(1)) − (𝑙𝑛𝑛,𝜏 (𝑘

𝑎2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑘

+ (𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛 𝑎2 𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

−

= 𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑛 𝑎2 (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 2

−

𝑛,𝜏

2

+

)+

−

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛

𝑘

−

𝑛,𝜏 )

(2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ))

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

4𝑎𝜃 + 𝑛

𝑛 2𝑎𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛

+

) 1

+ 𝑜 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

),

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾 +

1

𝑂 (𝑛2))

2𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾+𝑎2 𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )𝑛 2𝑎𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝜏

𝑛,𝜏 + 𝑂 (𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

) (𝑎2 +

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝜃𝛾+𝑎𝜃𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

4𝑎𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝜃𝛾+𝑎𝜃𝛾(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

= 𝑎𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

(𝑡2𝑟 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑎2 (𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) 2 2𝑎𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 2𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )+𝑎𝜃(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 )

𝑎(𝑡2𝑟 −2𝜏𝑡𝑟 ) ) 𝜃𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 2

𝜏𝑡𝑟

+ )

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )𝛾 +

+

+ 𝑂 (𝑙𝑛(𝑘 𝑘

1 𝑛,𝜏 )𝑛

𝜏

𝑛,𝜏 + 𝑂 (𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2

)−

)

2𝜃𝛬𝑐 (𝑡𝑟 )−𝑎𝜃(𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 ) 𝑛

+

41

Lampiran 3: Bukti beberapa persamaan Bukti persamaan (30): Dari pembuktian Lema 8, diketahui bahwa 𝛬(𝑛) = 𝐸[𝑁(0, 𝑛)] → ∞ untuk 𝑛 → ∞. Dari persamaan (22), dapat diperoleh 𝑎𝑛2 2 untuk 𝑛 → ∞. Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (30) seperti berikut 𝛬(𝑛) = 𝐸[𝑁(0, 𝑛)] ≈ 𝜃𝑛 +

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

1

∞ ∑∞ 𝑚= 1 𝑚 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = ∑𝑚= 1 𝑚

cukup dibuktikan bahwa 1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) ∑∞ 𝑚= 1 𝑚 𝑚!

𝑚

=

𝑚!

1

1 1 1 𝑚

𝑚(1+ ) 1

1 1−(− )

1

1

1 𝑚

1

1

= 𝑚 (1 − 𝑚 + 𝑚2 − 𝑚3 + ⋯ ) 1

1

1

1

= 𝑚 − 𝑚2 + 𝑚3 − 𝑚4 + ⋯ sehingga diperoleh 1 𝑚

=

1

1

𝑚+1

1

1

+ 𝑚2 − 𝑚3 + 𝑚4 − ⋯

dan ∑∞ 𝑚= 1 =

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 𝑚

1

= ∑∞ 𝑚= 1 𝑚+1 ∑∞ 𝑚= 1

𝑚

𝑚!

1 ∑∞ 𝑚= 1 (𝑚+1

1

1

+ 𝑚2 − 𝑚3 + 𝑚4 − ⋯ )

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

𝑚

𝑚!

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 𝑚3

1

𝑚

𝑚!

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

𝑚

𝑚!

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

+ ∑∞ 𝑚= 1 𝑚2

𝑚

𝑚!

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

+ ∑∞ 𝑚= 1 𝑚4

−

𝑚

𝑚!

−⋯

Selanjutnya, 1 e−Λ(n) (Λ(n)) ∑∞ m= 1 m+1 m!

m

=

−Λ(n) (Λ(n))m+1

e ∑∞ Λ(n) m= 1

Misalkan 𝑘 = 𝑚 + 1, maka

1

(m+1)!

1 𝑎𝑛2 𝜃𝑛+ 2

+ 𝑜 (𝛬(𝑛)2 )

𝑚+1

=𝑚

= 1

𝛬(𝑛)

untuk 𝑛 → ∞, jika 𝜆𝑛 → ∞. Pertama, perhatikan bahwa

=

𝑚

.

1

+ 𝑜 (𝑛2 )

42

∑∞ 𝑚= 1

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

1 𝑚+1

1

𝑚!

= 𝛬(𝑛) ∑∞ 𝑘= 2

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

1

1

=

1 𝛬(𝑛)

𝑘

𝑘!

= 𝛬(𝑛) (1 − ∑1𝑘= 0 = 𝛬(𝑛) (1 −

𝑚

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 𝑘!

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

0

0!

−

𝑘

)

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

1

1!

)

(1 − 𝑒 −𝛬(𝑛) − 𝑒 −𝛬(𝑛) 𝛬(𝑛))

1

= 𝛬(𝑛) −

𝑒 −𝛬(𝑛) 𝛬(𝑛)

− 𝑒 −𝛬(𝑛)

1

= 𝛬(𝑛) + 𝑂(𝑒 −𝛬(𝑛) ) untuk 𝑛 → ∞. Kemudian, karena ∀𝑘 ≥ 2, ∀𝑚 ≥ 1, 1

1

≤ 𝑚2 ,

𝑚𝑘

maka ∀𝑘 ≥ 2, 1 e−Λ(n) (Λ(n))

∑∞ m= 1 mk m! Perhatikan juga bahwa ∀𝑚 ≥ 1,

1 𝑚2

m

1 e−Λ(n) (Λ(n))

≤ ∑∞ m= 1 m2

m!

6

≤ (𝑚+2)(𝑚+1)

sehingga diperoleh ∑∞ 𝑚= 1

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 𝑚2

𝑚

𝑚! 6

≤ ∑∞ 𝑚= 1 (𝑚+2)(𝑚+1) 6

= 𝛬(𝑛)2 ∑∞ 𝑚= 1

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

𝑚

𝑚!

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

𝑚

.

(𝑚+2)!

Misalkan 𝑘 = 𝑚 + 2, maka 1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) ∑∞ 𝑚= 1 𝑚2 𝑚! 6

≤ 𝛬(𝑛)

∑∞ 𝑘= 3 2

6

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

= 𝛬(𝑛)2 (1 − 6

= 𝛬(𝑛)2 (1 −

𝑘

𝑘!

= 𝛬(𝑛)2 (1 − ∑2𝑘= 0 6

𝑚

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

𝑒 ∑2𝑘= 0

𝑘! −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))𝑘

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 0!

𝑘

𝑘! 0

−

) )

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 1!

1

−

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 2!

2

)

m

.

43

6

= 𝛬(𝑛)2 (1 − 𝑒 −𝛬(𝑛) − 𝑒 −𝛬(𝑛) 𝛬(𝑛) − 6

= 𝛬(𝑛)2 −

6𝑒 −𝛬(𝑛) 𝛬(𝑛)2

6𝑒 −𝛬(𝑛)

−

𝛬(𝑛)

𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛))

2

)

2

− 3𝑒 −𝛬(𝑛)

1

= 𝑂 (𝛬(𝑛)2 ) untuk 𝑛 → ∞. Jadi, ∑∞ 𝑚= 1

1 𝑒 −𝛬(𝑛) (𝛬(𝑛)) 𝑚

𝑚

𝑚!

1

1

= 𝛬(𝑛) + 𝑂(𝑒 −𝛬(𝑛) ) + 𝑂 (𝛬(𝑛)2 ) 1

1

= 𝛬(𝑛) + 𝑂 (𝛬(𝑛)2 ) untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap. Bukti persamaan (19): Untuk membuktikan 𝐶𝑜𝑣(𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 ), 𝛬̂𝑐,𝑛 (𝑡𝑟 )𝐶 ), gunakan pemisalan 𝐶𝑛 dan 𝐷𝑛 sama seperti pada pembuktian Lema 4 serta 1

𝐸𝑛 = ln(k

k

n,τ )

n,τ ∑k=1

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

N([(k−1)τ+tr ,kτ])

dan 𝐹𝑛 = 𝑎̂𝑛 (

k

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

−

(𝜏−𝑡𝑟 )2 2

).

Sehingga diperoleh: 𝐶𝑜𝑣(𝛬̂𝑐 (𝑡𝑟 ), 𝛬̂𝑐 (𝑡𝑟 )𝐶 ) = 𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐸𝑛 ) − 𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐹𝑛 ) − 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐸𝑛 ) + 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐹𝑛 ).

(45)

Pertama hitung: 𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐸𝑛 ) 1

= 𝐶𝑜𝑣 (𝑙𝑛(𝑘 = =

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏 )

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

1

, 𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑘

2

𝑛,𝜏 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

2

(0)

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑛,𝜏 , ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

)

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

)

𝑘

= 0.

(46) Kedua hitung:

𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐹𝑛 ) 1

= 𝐶𝑜𝑣 (𝑙𝑛(𝑘 =( =(

𝑛,𝜏 )

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

2

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

(𝜏−𝑡 )2

− 2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

𝑛,𝜏 )

2

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑛,𝜏

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

, 𝑎̂𝑛 (

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

−

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

𝑘

𝑛,𝜏 ) 𝐶𝑜𝑣 (∑𝑘=1 )

𝑘

(𝜏−𝑡𝑟 )2

))

, 𝑎̂𝑛 )

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]) 𝑘

2

, 𝑁[0, 𝑛])

44

=(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 𝐶𝑜𝑣 (

𝑘

, 𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 −

1)𝜏+𝑡𝑟 ])) =(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

.

Karena 𝑁 Poisson maka 𝑉𝑎𝑟(𝑁) = 𝐸(𝑁) sehingga diperoleh (

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=(

𝑛,𝜏 ))

2

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑘

𝑛,𝜏

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 )

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1 )

𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])) 𝑘

.

Berdasarkan persamaan (17) maka (

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=( =(

𝑛,𝜏 ))

2

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑘

𝑘

𝑛,𝜏

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]))

1

𝑛,𝜏 ) (∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 + 𝑎 ) 𝑘

𝑘

𝑛,𝜏

𝑘

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 ) (∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 + ∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘

))

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)).

Berdasarkan Lema L.1 maka (

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=(

2

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

𝑘

𝑛,𝜏

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑘

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 ) (∑𝑘=1 𝑎𝜏𝑡𝑟 + ∑𝑘=1 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 ) 𝑘

𝑛,𝜏

) (𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 + (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

))

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 +

𝑜(1))) =(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑎

(𝜏−𝑡 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

𝑘𝑛,𝜏 𝜏 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘 (𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛2

𝑛,𝜏 ))

2

−

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘 𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

untuk 𝑛 → ∞. Lalu hitung: 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐸𝑛 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )2

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝜏−𝑡𝑟 )2

) 𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 + ( ) 2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) (𝜏−𝑡𝑟 )2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

(𝜏−𝑡 )2

2

− 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑟

) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) +

𝑛,𝜏 ) 𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

) (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

2

)𝛾 +

)

2

=

𝑛,𝜏

) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (

2

𝑜(

2

2

𝑛,𝜏 )

)+

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

+

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

)𝛾 + 𝑜(

2

𝑛,𝜏 )

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

),

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

2

)−

)𝛾 − (47)

45

𝑘

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 = 𝐶𝑜𝑣 (𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

=( =(

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

1

) , 𝑙𝑛(𝑘

2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

=(

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑘

𝑛,𝜏 ∑𝑘=1

)

𝑘

)

𝑘

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

2

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) 𝐶𝑜𝑣 (𝑁[0, 𝑛], ∑𝑘=1

2

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) ∑𝑘=1 𝐶𝑜𝑣 (𝑁([(𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟 , 𝑘𝜏]),

𝑛,𝜏 ))

2

)

𝑘

𝑛,𝜏

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛,𝜏 ))

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=(

𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑟 𝑟 𝑛,𝜏 + 2 𝑙𝑛(𝑘 ) 𝐶𝑜𝑣 (𝑎̂𝑛 , ∑𝑘=1 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

+ )

𝑘

𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])

𝑛,𝜏

+

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑘

𝑛,𝜏 ) ∑𝑘=1

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])) 𝑘

)

𝑘

.

Karena 𝑁 Poisson maka 𝑉𝑎𝑟(𝑁) = 𝐸(𝑁) sehingga diperoleh (𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

=( =(

2

𝑉𝑎𝑟(𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏])) 𝑘

𝑛,𝜏

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) ∑𝑘=1

𝑛,𝜏 ))

𝑘

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) ∑𝑘=1

2

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (∑𝑘=1

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑘

𝑛,𝜏

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ,𝑘𝜏]))

2

𝑘

(𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]))−𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ]))) 𝑘

𝑛,𝜏

).

Berdasarkan persamaan (14) dan (17) maka (𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑎

2

2

𝑘

1

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (∑𝑘=1 (𝜃𝜏 + 𝑘 𝑛,𝜏

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

𝑛,𝜏 ))

(𝜏−𝑡𝑟 )2

𝑘 𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2

)

− (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟 +

)))

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

=(

(𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]))−𝐸(𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 ])))

𝑛,𝜏

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

=(

𝑘

𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (∑𝑘=1

2

𝑘

𝑘

1

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (∑𝑘=1 𝑎(𝜏 2 − 𝜏𝑡𝑟 ) + ∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑘 𝑛,𝜏

)).

Berdasarkan Lema L.1 maka (𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑎 =(

𝑛,𝜏 )) (𝜏−𝑡𝑟 )2

2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 2

𝑘

1

𝑛,𝜏

))

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎

𝑘

𝑛,𝜏 𝑛,𝜏 + 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (∑𝑘=1 𝑎𝑘𝑛,𝜏 (𝜏 2 − 𝜏𝑡𝑟 ) + ∑𝑘=1 (𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑘

)2

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2

+ 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (𝑎𝑘𝑛,𝜏 (𝜏 2 − 𝜏𝑡𝑟 ) + (𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑛,𝜏

) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + 𝛾 + 𝑜(1)))

46

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

=(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝜏−𝑡𝑟 )2 2

𝑛,𝜏

(𝜏−𝑡𝑟

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 𝑎

+ 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) 𝑎𝑘𝑛,𝜏 (𝜏 2 − 𝜏𝑡𝑟 ) + (

2

)2

2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

)𝛾 + 𝑜(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

2

=

) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) + (

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) (𝜏−𝑡𝑟 )𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

2

+

𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏

+ 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

2𝑘

2

)+

(𝜏−𝑡𝑟 )2 2

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

(𝜏−𝑡𝑟 )2

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 )

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛,𝜏 )

2

+ 𝑛2𝑟𝑙𝑛(𝑘𝑟 )) (𝜃𝜏 − 𝑛,𝜏

) (𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) −

)

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

𝑛2

2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(𝑡 2 −2𝑡 𝜏)

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

)𝛾 + 𝑜(

(𝜏−𝑡𝑟 )2

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

2 (𝜏−𝑡𝑟 )2 2

)+

)𝛾 +

),

(48)

untuk 𝑛 → ∞. Terakhir hitung: 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐹𝑛 ) 𝑘

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑛,𝜏

2

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 = 𝐶𝑜𝑣 (𝑎̂𝑛 (𝑙𝑛(𝑘

𝑘

+ )

𝜏𝑡𝑟

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑛,𝜏

2

𝑛,𝜏 = (𝑙𝑛(𝑘

+ )

2

=(

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

−

2

2

=(

(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

+

2

)(

= 𝑛2 (

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

2

=

2

+

2

−

𝑛,𝜏 )

) 𝐶𝑜𝑣(𝑎̂𝑛 , 𝑎̂𝑛 )

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

−

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

4

𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛3

2𝑎

) 𝑉𝑎𝑟[𝑎̂𝑛 ]

4𝜃

1

) (𝑛2 + 𝑛3 + 𝑂 (𝑛4 ))

4

−

−

4

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

−

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

))

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

−

2

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

(𝜏−𝑡𝑟 )2

−

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 2𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘

+

(𝜏−𝑡𝑟 )2

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

−

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

2

(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

4𝜃 (𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

( 𝑛3

𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )2

2

2𝑎 (𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

) , 𝑎̂𝑛 (

)+

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2 4

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2 2𝑛2

1

) + 𝑂 (𝑛4 ) 2

+

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

1

+ 𝑂 (𝑛 4 )

2

(49)

untuk 𝑛 → ∞. Substitusi persamaan (46)–(49) pada persamaan (45) sehingga diperoleh 𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐸𝑛 ) − 𝐶𝑜𝑣(𝐶𝑛 , 𝐹𝑛 ) − 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐸𝑛 ) + 𝐶𝑜𝑣(𝐷𝑛 , 𝐹𝑛 ) 2

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

=0−(

(𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

−

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )2

)+

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2 2𝑘

+

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

)𝛾 + 𝑜(

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝜏𝑡𝑟

𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

)−

)𝛾 − 2

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) (𝜏−𝑡𝑟 )𝑡𝑟

2 )) − (

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 )

+

(𝜏−𝑡𝑟 )2 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

)+

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2

2

+

(𝜃𝜏 −

47

𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

(𝜏−𝑡𝑟 )2 2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

)+

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏

2

(

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

+

2

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

2

+

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) (𝜏−𝑡𝑟 )2 (𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

+𝑎

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )2 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ) (𝜏−𝑡 )2 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 2𝑟 )

−

)−

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟 2 2𝑘

𝑛,𝜏 )

𝑛,𝜏 ))

2

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏

2

2𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏) 𝑛3 𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 )

2

=−

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝛾

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

=𝑂(

𝑛,𝜏 ))

2

2𝑛2

2

𝑛3

2𝑘

𝑛,𝜏 + 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

𝜏

𝑛,𝜏

),

untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

2

2

)−

2

)+

)𝛾 +

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) (𝜏−𝑡𝑟 )𝑡𝑟 2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 2 (𝜏−𝑡𝑟 ) (𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

)−

2 (𝜏−𝑡𝑟 )2 2

𝑛2

−

(𝜃𝜏 −

)𝛾 − 2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

2) +

4𝜃(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 ) 𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛3 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )) 1

2

+

2

+ 𝑂 (𝑛 4 )

((𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎 )

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

2

𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

((𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

2

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

+

1

+ 𝑂 (𝑛4 ))

2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

)𝛾 + 𝑜(

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

−

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

(𝜏−𝑡𝑟 )2

+

(𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) + 𝑎

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏𝑡𝑟

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 )

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

2

)𝛾 + 𝑜(

𝜏𝑡𝑟

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

−

𝑛3

𝑛2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

𝜃(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

2𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )

)) +

2𝑛2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑛,𝜏 − 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

−

−

2

)𝛾 +

𝑎(𝑡𝑟2 −2𝑡𝑟 𝜏)(𝜏−𝑡𝑟 )2

−

𝑛,𝜏 )

𝑛3 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 )

+

2

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏 ))

𝑎𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏) 𝑛2 𝑙𝑛(𝑘

(𝜏−𝑡𝑟 )2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

)𝛾 + 𝑜(

2𝜃𝑘𝑛,𝜏 𝜏(𝜏−𝑡𝑟 )(2𝑡𝑟2 −3𝑡𝑟 𝜏)

2

=−

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎

(𝜏−𝑡𝑟 )2

(𝜃𝜏 − 𝛬𝑐 (𝑡𝑟 ) − 𝑎 )

2𝑎(𝑘𝑛,𝜏 𝜏) 𝑡𝑟 (𝜏−𝑡𝑟 )

2

𝑡𝑟2 −2𝜏𝑡𝑟

− 𝜃𝑡𝑟 ) 𝜏 + 𝑎

2 𝜏2 𝑡𝑟 2

− 𝜃𝑡𝑟 ) 𝜏 + 𝑎

)+𝑜(

𝜏2 𝑡𝑟 2

𝑘𝑛,𝜏 𝜏

𝑛2 (𝑙𝑛(𝑘

𝑛,𝜏 ))

)+

2

)

+

48

Lampiran 4: Program Scilab untuk simulasi function [P, S, T]=Penduga(u, n, tau, t) EN = integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1+0.001*s','s',0,n); po = grand(u,1,"poi",EN); hbn=floor(n/tau); Trn= n-(hbn*tau); Nt(1,1) = integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1+0.001*s','s',0,tau); pot(1,:) = grand(1,u,"poi",Nt(1,1)); pots(1,:)=pot(1,:); potk(1,:)=pot(1,:); for k=2:hbn Nt(k,1) = integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1+0.001*s','s',(k-1)*tau,k*tau); pot(k,:) = grand(1,u,"poi",Nt(k,1)); potk(k,:)=pot(k,:)/k; pots(k,:)=pots(k-1,:)+potk(k,:); end for iu=1:u xn = grand(po(iu,1), 1, "exp", 5); MiuDU(iu,1)=sum(xn)/po(iu,1); ADU(iu,1) = (2*po(iu,1))/(n^2); Teki(iu,1)=(pots(hbn,iu))/(tau*log(hbn)); Teka(iu,1)= ADU(iu,1)*((hbn*tau/log(hbn)) - (tau/2)); TetaDU(iu,1)=Teki(iu,1)-Teka(iu,1); end T=(0:0.1:t)'; nT=length(T); for it=1:nT hbt(it,1)=floor(T(it,1)/tau); Tr(it,1)=T(it,1)-(hbt(it,1)*tau); Nl(1,1) = integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1+0.001*s','s',0,Tr(it,1)); pol(1,:)= grand(1,u,"poi",Nl(1,1));pols(1,:)=pol(1,:);polk(1,:)=pol(1,:); for k=2:hbn Nl(k,1) = integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1+0.001*s','s',(k-1)*tau,(k1)*tau+Tr(it,1)); pol(k,:)= grand(1,u,"poi",Nl(k,1)); polk(k,:)=pol(k,:)/k; pols(k,:)=pols(k-1,:)+polk(k,:); end for iu=1:u Laki(it,iu)=pols(hbn,iu)/(log(hbn)); Laka(it,iu)= ADU(iu,1)*((hbn*tau*Tr(it,1)/(log(hbn)))+ ((Tr(it,1)*Tr(it,1))(2*tau*Tr(it,1)))/2); LamdaDtu(it,iu)=Laki(it,iu)-Laka(it,iu); PsiDtu(it,iu)=((hbt(it,1)*tau*TetaDU(iu,1))+LamdaDtu(it,iu)+(ADU(iu,1)*(T( it,1)^2)/2))*MiuDU(iu,1); end end Teta=integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1','s',0,tau)/tau;A=0.001;Miu=5; for it=1:nT Lakit(it,1)=mean(Laki(it,:)); Lakat(it,1)=mean(Laka(it,:)); LamdaDut(it,1)=mean(LamdaDtu(it,:)); PsiDut(it,1)=mean(PsiDtu(it,:));

49

Lamdat(it,1)=integrate('cos(2*%pi*s/tau)+1','s',0,Tr(it,1)); Psit(it,1)=(hbt(it,1)*tau*Teta+Lamdat(it,1)+(A*(T(it,1)^2)/2))*Miu; BiPt(it,1)=PsiDut(it,1)-Psit(it,1); BiLt(it,1)=LamdaDut(it,1)-Lamdat(it,1); RaPt(it,1)=variance(PsiDtu(it,:)); RaLt(it,1)=variance(LamdaDtu(it,:)); end MiuD=mean(MiuDU); AD=mean(ADU); TetaD=mean(TetaDU); LamdaDU=LamdaDtu(nT,:); Lamda=Lamdat(nT,1);LamdaD=mean(LamdaDU); PsiDU=PsiDtu(nT,:); Psi=Psit(nT,1); PsiD=mean(PsiDU); BiP=PsiD-Psi; BiT=TetaD-Teta; BiL=LamdaD-Lamda; BiA=AD-A; RaP=variance(PsiDU);RaT=variance(TetaDU);RaL=variance(LamdaDU); RaA=variance(ADU); Bi=[BiP BiT BiL BiA]; Ra=[RaP RaT RaL RaA]; P=[Psi Teta Lamda A Miu;PsiD TetaD LamdaD AD MiuD]; S=[Bi; Ra]; T=[T Psit PsiDut Lamdat LamdaDut BiPt RaPt BiLt RaLt]; endfunction

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak (alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2014 penulis lulus sebagai sarjana sains dari Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama secara resmi diterima di Program Studi S-2 Matematika Terapan (MAT), namun telah mengikuti kegiatan perkuliahan di S-2 MAT sejak September 2013 melalui program sinergi S-2 IPB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S-1) pada semester ganjil 2013-2014, asisten mata kuliah Pemodelan Matematika (S-1) pada semester genap 2013-2014 dan asisten mata kuliah Kalkulus 2 (S-1) pada semester ganjil 2014-2015. Penulis mendapatkan beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014 dan mendapatkan beasiswa fresh graduate dari DIKTI pada semester ganjil tahun akademik 2014-2015 sampai penulis lulus di SPs IPB. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Staf Departemen Akademik Gugus Mahasiswa Pascasarjana Matematika (Gumapastika) tahun 2015. Penulis aktif di kegiatan kepanitian, Ketua Panitia Latihan Kepemimpinan Mahasiswa Matematika dan Musyawarah Tahunan IKAHIMATIKA 2013. Kegiatan yang pernah yang penulis ikuti adalah Seminar Aktuaris: “Rise Up Actuaries” yang diselenggarakan oleh Persatuan Aktuaris Indonesia pada tanggal 18 September 2014 di Universitas Brawijaya Malang, IPB Mathematics Challenge: ”Be Successful in Financial Mathematics” pada tanggal 28 September 2014 dan IPB Mathematics Challenge: “Face this sophisticated world world with mathematics” pada tanggal 5–6 Oktober 2013 yang diadakan oleh Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB. Penulis berkesempatan mengikuti Actuaries Internship Program (AIP) di tim Aktuaris Syariah pada tanggal 25 Mei – 28 Agustus 2015 yang diselenggarakan oleh PT Asuransi Jiwa Manulife Indonesia. Sebagian hasil penelitian ini sedang dalam proses review di jurnal internasional, Arab Journal of Mathematical Science (AJMS).