SIFAT-SIFAT SIFAT SIFAT STATISTIKA ORDE-2 ORDE PENDUGA TIPE KERNEL BAGI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DAN MODIFIKASINYA
NENENG MILA MARLIANA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis .
Bogor, Juli 2008 Neneng Mila Marliana NIM G551060131
ABSTRACT NENENG MILA MARLIANA. Second Order Properties of a Kernel Type Estimator for Periodic Component of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend and Its Modification. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI This thesis studied second order statistical properties for periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend and its modification by using general kernel function. First, an estimator for the periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend is discussed. The worst case where only available single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a linear trend observed in [0,n] is considered. Next, the asymptotic bias, variance, and the mean-squared error of the estimator are computed. A modification of the original estimator to reduce its bias is constucted. Finally, asymptotic approximations to the bias, variance and MSE of the modified estimator are computed. Keyword: cyclic Poisson process, intensity function, linear trend, consistency, bias, variance, mean-squared error.
RINGKASAN NENENG MILA MARLIANA. Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Pada karya ilmiah ini ditentukan penentuan sifat-sifat statistika orde-2 penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dan modifikasinya untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru. Perumusan penduga bagi
dan
pada titik
secara berturut-
turut sebagai berikut: dan
Dari penduga di atas, diperoleh sifat-sifat statistika orde- 1dan orde-2. Selanjutnya dengan melihat hasil simulasi, diperlukan reduksi bias. Untuk mereduksi bias, di rumuskan penduga dari dan secara berurutan sebagai berikut:
dimana untuk
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu , dan
untuk bias, yaitu:
Sehingga diperoleh perumusan penduga bagi
dengan koreksi
Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengkajian yang dilakukan adalah sebagai berikut :
Aproksimasi asimtotik orde-2 bagi ragam penduga:
Aproksimasi asimtotik orde-2 bagi nilai harapan penduga:
Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga dengan koreksi bias:
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga dengan koreksi bias:
Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga dengan koreksi bias:
©Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
SIFAT-SIFAT STATISTIKA ORDE-2 PENDUGA TIPE KERNEL BAGI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DAN MODIFIKASINYA
NENENG MILA MARLIANA
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul Tesis : Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Nama : Neneng Mila Marliana NIM : G551060131
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua
Ir. Retno Budiarti, MS. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Tanggal Ujian : 21 Juli 2008
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.
Tanggal Lulus :
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2007 ini ialah Sifat-sifat Statistika Orde-2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear dan Modifikasinya. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc dan Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno,
MS selaku penguji yang banyak memberikan saran, Departemen
Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor. Permohonan maaf yang tak terhingga untuk ananda tercinta Aulia Syifa Andrian karena kurangnya perhatian dan kasih sayang. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu dan keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya, serta semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2008
Neneng Mila Marliana
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Purwakarta pada tanggal 25 Maret 1979 sebagai anak kedua dari lima bersaudara, dari Ayah Syamsudin dan Ibu Iis Horidah. Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri Plered Purwakarta. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan pendidikan matematika – FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia dan lulus tahun 2001. Kesempatan untuk melanjutkan ke program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2006. Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia. Penulis bekerja sebagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Bojong Kabupaten Purwakarta sejak tahun 2004.
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, di antaranya pada bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, dan seismologi. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu Proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Tetapi jika laju kedatangan pelanggan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih sesuai adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Pada karya ilmiah ini dipelajari penentuan sifat-sifat statistika penduga kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas (lokal) suatu proses Poisson periodik dengan tren linear dan modifikasinya untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru.
2
1.2. Tujuan Penelitian Dalam karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Adapun tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut : (i) Menentukan aproksimasi asimtotik orde-2 bagi bias penduga. (ii) Menentukan aproksimasi asimtotik orde-2 bagi ragam penduga. (iii) Menentukan modifikasi penduga untuk mereduksi bias dari penduga sebelumnya serta menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Proses Poisson Periodik
Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X ={X(t), t
T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu ruang state S. (Ross, 2003)
Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t
pada
himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya).
Definisi 2 (Proses Stokastik dengan Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross, 2003)
Definisi 3 (Inkremen Bebas) Suatu proses stokastik {X(t), t
T } dengan waktu kontinu disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua
, peubah acak adalah bebas. (Ross, 2003)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
4
Definisi 4 ( Inkremen Stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t
T } disebut memiliki
inkremen stasioner jika X (t + s) – X (t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2003) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, ).
Definisi 5 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {N (t), t
T } disebut proses pencacahan jika N(t)
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. N(t)
0 untuk semua t
[0, ).
b. Nilai N(t) adalah integer. c. Jika s < t maka N(s)
N(t)
d. Untuk s < t maka N(t) – N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s, t]. (Ross, 2003)
Definisi 6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { N(t), t
0} disebut proses Poisson dengan laju ,
0, jika dipenuhi tiga syarat berikut. a. N(0) = 0. b. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
>
5
c. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
t. Jadi untuk semua t, s >
0, P (N (t + s) – N (s) = n) = Dari syarat (c) bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa E (N(t)) = yang juga menjelaskan kenapa
t,
disebut laju dari proses tersebut. (Ross, 2003)
Definisi 7 (Proses Poisson Homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju
yang merupakan
konstanta untuk semua waktu t. (Ross, 2003)
Definisi 8 (Proses Poisson Tak Homogen) Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju
pada
sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu (t). (Ross, 2003)
Definisi 9 ( Fungsi Intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen { N(t), t
0}, yaitu (t) disebut
fungsi intensitas proses Poisson pada t.
Definisi 10 (Intensitas Lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen pada titik s
adalah (s), yaitu nilai fungsi
dengan fungsi intensitas
di s.
Definisi 11 ( Fungsi Intensitas Global) Misalkan global
adalah proses Poisson pada interval
dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
Fungsi intensitas
6
jika limit di atas ada. ( Mangku, 2001 )
Definisi 12 (Fungsi Periodik) Suatu fungsi
disebut periodik jika (s + k ) = (s)
untuk semua s
dan k
Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat.
Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut. (Browder, 1996)
Definisi 13 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. ( Mangku, 2001 )
7
2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri oleh Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global pada [0,n] dapat dinyatakan dengan Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik
(Helmers
dan
Zitikis
1999).
Dengan
pendugaan
tipe-kernel,
kekonsistenan penduga fungsi intensitas telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), sedangkan kekonsistenan penduga fungsi intensitas dengan tren linear telah dibuktikan pada Mangku et al (2007). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbour estimation) telah dikaji pada Mangku (1999). Pada proses Poisson periodik, pendugaan fungsi intensitas dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu : periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit dibandingkan jika periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat-sifat
8
statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan pada Helmers
et al (2005). Pendugaan fungsi intensitas global dari proses
Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Mangku (2005). Sifat- sifat statistika penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear untuk kernel seragam telah dibahas pada Nurrahmi (2005). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2007). Sedangkan penduga non parametric pada fungsi intensitas Poisson periodik ganda telah dikaji pada Helmers et al (2007).
BAB III SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Pada bab ini direview sifat-sifat statistika orde-1 penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear yang dikaji pada Mangku et al (2008).
3.1. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas
( tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua
komponen, yaitu komponen periodik dengan periode linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik
dan komponen tren
fungsi intensitas
dapat
ditulis sebagai berikut: (1) dengan
adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui)
menyatakan kemiringan tren linear. Karena untuk setiap
dan
, dengan
dan
adalah fungsi periodik maka adalah himpunan bilangan bulat,
maka (2) Kita juga asumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari , sehingga berlaku: (3) Syarat cukup agar merupakan titik Lebesgue dari Karena
adalah fungsi
adalah fungsi periodik dengan periode
pada
cukup diduga nilai
Misalkan
R
pada
kontinu di
maka untuk menduga .
merupakan fungsi bernilai real, yang disebut
kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut: ( 1)
merupakan fungsi kepekatan
peluang,
daerah definisi pada [-1,1]
(2)
terbatas, dan ( 3)
(Helmers et al. 2003). Misalkan juga
memiliki
merupakan barisan bilangan real positif
yang konvergen ke 0, yaitu: , jika
.
(4)
10
Penduga bagi
dan
pada titik
secara berturut-turut
dirumuskan sebagai berikut:
dan
Untuk mendapatkan penduga
jika
cukup diperhatikan bahwa
. Pada persamaan di atas,
intensitas global bagi stokastiknya
. Dengan mengganti
menyatakan fungsi dengan padanan
, diperoleh
atau
Dengan demikian kita peroleh
Ide di balik pembentukan penduga tipe kernel dapat digambarkan sebagai berikut. Dengan menggunakan (1) dan (2), kita peroleh: (8)
11
Misalkan
dengan
adalah fungsi indikator.
Sehingga persamaan (8) dapat ditulis menjadi
Perlu diingat bahwa
, maka persamaan (9)
dapat dituliskan sebagai berikut:
Dengan mengganti stokastiknya ditulis menjadi
dengan padanan persamaan (10) dapat
12
Dari Pendekatan ( dengan
pada (11) dan
dan kemiringan tren linear
dimana umum
(
setara asimtotik
diperoleh
dapat dipandang sebagai penduga bagi
ganti
jika
dengan
, dengan periode (diketahui)
diasumsikan diketahui. Jika
tidak diketahui, kita
sehingga diperoleh
Supaya penduga lebih umum, digunakan fungsi kernel sehingga diperoleh persamaan (6).
13
3.2. Sifat-Sifat Statistika Penduga
Lema1 Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal.
Maka
dan
, dengan
; yang menyatakan fungsi intensitas
global dari komponen periodik dari
. Hasil tersebut menyatakan bahwa
merupakan penduga konsisten bagi . MSE nya diberikan oleh persamaan
Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2007).
Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), kedua
maka
untuk
berhingga pada s, dan
,
memiliki turunan
14
Bukti :
Suku pertama pada ruas kanan persamaan (18) dapat ditulis menjadi
engan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (1) dan (2), persamaan (19) dapat ditulis menjadi
Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan persamaan (20) dapat ditulis menjadi
15
Karena
mempunyai turunan kedua pada , mengakibatkan
terbatas disekitar
. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu
dan fakta bahwa
untuk
, maka persamaan (21) menjadi
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
. Karena kernel
adalah simetrik, maka
Sehingga persamaan (23) menjadi sama dengan
untuk
Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (20) dapat
ditulis menjadi sama dengan
16
Dengan menggunakan (22) dan fakta bahwa
untuk
, ruas kanan persamaan (24) dapat ditulis menjadi
jika
.
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
. Karena kernel
adalah simetrik, maka
Sehingga suku pertama pada persamaan (25) sama dengan nol. Suku kedua persamaan (25) menjadi sama dengan
. Sedangkan suku ketiga persamaan (25) menjadi sama dengan
17
untuk
. Sehingga suku kedua pada ruas kanan persamaan (20) adalah
Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada persamaan (20), persamaan (19) akan sama dengan
untuk
. Kemudian untuk menyelesaikan suku kedua ruas kanan dari
persamaan (18) kita gunakan persamaan (13) dari Lema 1 sehingga diperoleh
Jika
.
Dengan mensubstitusi persamaan (26) dan (27) akan diperoleh persamaan (17). Berarti Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 ( Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
untuk
asalkan
,
terbatas di sekitar .
untuk
maka
18
Bukti: Kita ingat bahwa
Misalkan
Untuk memperoleh ragam dari
Dari asumsi (4), untuk
kita gunakan persamaan berikut
yang cukup besar, interval [
dan
tidak overlap untuk semua
. Hal ini
berimplikasi bahwa untuk semua
saling bebas. Karenanya ragam suku pertama pada ruas kanan persamaan (29) dapat dinyatakan sebagai berikut
Karena
adalah suatu proses Poisson maka ragamnya akan sama dengan nilai
harapannya, sehingga persamaan di atas sama dengan
Dengan mengganti variabel dan menggunakan (1) dan (2), persamaan (30) dapat ditulis menjadi
19
Perhatikan bahwa
Karena
terbatas di sekitar
dan dengan menggunakan persamaan (32), maka
suku pertama pada ruas kanan persamaan (31) menjadi sama dengan
untuk
. Nilai dari
untuk
sehingga suku pertama
persamaan (31) sama dengan Suku kedua pada persamaan (31) dapat ditulis sebagai berikut
20
Dengan menggunakan persamaan (32), suku pertama pada ruas kanan persamaan (33) menjadi
untuk
. Dengan menggunakan (22), suku kedua pada ruas kanan persamaan
(33) menjadi
untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (34) dan (35), suku pertama
pada persamaan (29) menjadi
Dengan menggunakan persamaan (14) pada Lema 1, suku kedua pada persamaan (29) dapat ditulis sebagai berikut
21
untuk
. Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada ruas kanan
persamaan (37) sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (29) adalah
untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (36), (37), dan (38) kita
peroleh
Dengan demikian Teorema 2 terbukti.
22
Akibat 3 (Aproksimasi Asimtotik MSE) Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3), dan
memiliki turunan kedua
,
berhingga pada , maka
untuk
Bukti:
Dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2 kita peroleh
dan
Sehingga persamaan (41) dapat ditulis menjadi
untuk Karena
memiliki turunan kedua
berhingga pada , maka
akibatnya suku kedua pada persamaan (42) menjadi Sehingga diperoleh persamaan (41).
, jika
BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal untuk memprediksikan ragam dan bias dalam sampel berhingga secara akurat. Untuk menambah ketepatan aproksimasi pada ragam dan bias, kita tambahkan bentuk orde kedua dalam pengembangan yang diberikan pada persamaan
sebelumnya.
menambahkan ,
Pengembangan
bentuk orde sedangkan
pada
ragam
dilakukan
dengan
pada aproksimasi semula dari orde pengembangan
menambahkan bentuk dari orde
pada
bias
dilakukan
dan juga bentuk orde
dengan
. Kita batasi
perhatian kita pada kasus diketahui.
Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
ntuk
asalkan s adalah titik Lebesgue dari
adalah konstanta Euler.
Bukti:
dan
, maka
, dimana
24
berdasarkan persamaan (31) pada bukti Teorema 2, suku pertama pada ruas kanan persamaan (44) dapat ditulis menjadi
(45) Suku pertama pada ruas kanan persamaan (45) adalah sama dengan
25
Kita perhatikan bahwa
untuk
. Karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1, 1],
dengan menggunakan persamaan (3) dan (47) suku pertama pada ruas kanan persamaan (46) sama dengan
, untuk
. Sedangkan suku
kedua pada ruas kanan persamaan (46) menjadi sama dengan
untuk
. Suku kedua pada persamaan (45) dapat ditulis sebagai berikut
26
Dengan menggunakan persamaan (47) suku pertama pada persamaan (49) menjadi
untuk
.
Dengan menggunakan fakta bahwa
suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) menjadi
27
(52) untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (48), (50) dan (52), suku
pertama pada persamaan (44) menjadi
Dengan asumsi (K.3), maka
Berdasarkan persamaan (37) pada bukti Teorema 2, suku kedua pada persamaan (44) adalah sama dengan
untuk
. Suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan diatas adalah
sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (44) adalah
28
untuk
. Dengan menggabungkan persamaan (53), (54), dan (55) kita
peroleh persamaan (43). Jadi terbukti Teorema 4.
Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), mempunyai turunan ke empat
ntuk
n
dan
,
pada s, maka
dimana
adalah konstanta Euler, dan dan
untuk semua
pada
dan Teorema
.
Bukti: Karena
mempunyai turunan ke empat
Taylor, kita peroleh
29
untuk
Berdasarkan persamaan (20) pada bukti Teorema 1, suku pertama pada ruas kanan persamaan (58) sama dengan
Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan peersamaan (59) dapat ditulis menjadi
Dengan menggunakan persamaan (51) dan (57), maka suku pertama pada persamaan di atas sama dengan
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
. Karena kernel
simetrik, maka
Sehingga persamaan di atas menjadi
Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (59) menjadi sama dengan
30
Karena kernel
simetrik, maka
Sehingga suku pertama pada
persamaan (61) sama dengan nol. Suku kedua pada persamaan (61) menjadi sama dengan
untuk
.
Sedangkan suku ketiga pada persamaan (61) dapat ditulis menjadi
dengan mengganti variabel, persamaan di atas menjadi
31
dengan Suku kedua pada ruas kanan persamaan (58) adalah sama dengan
Dengan menggabungkan persamaan (60), (62), (63),dan (64) maka diperoleh persamaan (56). Jadi terbukti Teorema 5.
32
4.2. Perumusan Penduga dengan Reduksi Bias dan Sifat-sifat Statistikanya Dari hasil simulasi pada Helmers dan mangku (2007) untuk kasus kernel seragam, terlihat bahwa aproksimasi orde kedua pada ragam dan bias dari Teorema 4 dan Teorema 5 cukup bagus mendekati ragam dan bias, tetapi biasnya masih cukup besar sehingga perlu direduksi. Dari hasil simulasi pada paper yang sama, dengan menggunakan penduga yang biasnya telah dikoreksi ternyata berhasil mereduksi bias penduga sebelumnya secara substansial. Hal serupa diharapkan terjadi untuk kasus kernel umum.
Reduksi Bias : Bias dari
pada Helmers dan mangku (2007) betul-betul
besar. Meskipun demikian kita dapat reduksi bias ini dengan mengurangi dan menambahkan secara berurutan penduga dari bentuk kedua dan ketiga pada ruas kanan persamaan (56) pada penduga dari
dimana untuk
dan
Untuk mereduksi bias, kita rumuskan
secara berurutan sebagai berikut:
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu , dan
Penduga bagi
telah didefinisikan pada persamaan (5). Selanjutnya ide dibalik
konstruksi penduga
dan nilai harapan
dapat dilihat pada Helmers dan
Mangku (2005).
untuk
Maka kita peroleh bias dikoreksi dari penduga
sebagai berikut:
Berdasarkan Teorema 5, kita dapat rumuskan bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut:
33
Teorema 6 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
,
untuk
, dimana
asalkan
maka
adalah konstanta
Euler.
Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan persamaan (69). Penduga bias dikoreksi yang diberikan pada (68) dapat ditulis sebagai berikut
Dengan menggunakan persamaan (67) diperoleh untuk
Helmers dan Mangku (2005)
dengan
menggunakan persamaan (13), (43), dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, ragam dari suku ketiga pada (70) dapat ditentukan sebagai berikut Misalkan
dan
,
34
untuk Sehingga ragam dari suku ketiga pada persamaan (67) menjadi sama dengan
dan
kovarian
dari
suku
tersebut
dengan
dua
suku
lainnya
adalah
untuk Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ragam jumlah dua suku pertama pada persamaan (70) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Misalkan merupakan suku pertama pada persamaan (6) dan
merupakan
suku kedua persamaan (6), dengan kata lain, Dengan aljabar sederhana dapat ditunjukkan bahwa jumlah suku pertama dan suku kedua pada (70) dapat ditulis sebagai berikut
35
Dari bukti Teorema 4, diperoleh bahwa
Dengan cara yang sama, dan fakta bahwa ,
kontinu pada , dapat dilihat bahwa dan
adalah sama
dengan
untuk
Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa ragam dari suku terakhir
persamaan (71) dan kovarian suku tersebut dengan suku lainnya adalah untuk
Dari adalah
bukti
Teorema
untuk
yang sama,
4
diperoleh
Dengan argumen
dan
sama dengan
untuk
Karenanya, ragam pada suku terakhir
(71) dan kovarian dari suku tersebut dengan suku lainnya pada (71) adalah untuk Dapat disimpulkan bahwa ragam jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Untuk mudah diperiksa bahwa dan juga
dan
yang cukup besar, dan
adalah saling bebas.
Karenanya, ragam dari jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan
36
jumlah ragam empat suku pertama pada (71) ditambah dua kali kovarian dari suku pertama dan ke empat. Dari persamaan (43), terlihat bahwa ragam dari suku pertama pada (71) adalah sama dengan
Dengan mensubstitusikan persamaan (73) pada persamaan diatas, maka diperoleh
Sedangkan dua kali kovarian dari suku pertama dan suku keempat pada persamaan (71) adalah sama dengan
Dari persamaan (71), jumlah ragam suku kedua, ketiga, dan keempat adalah sama dengan
Dengan menggabungkan persamaan (74), (75), dan (76), diperoleh ruas kanan persamaan (69). Jadi terbukti Teorema 6.
37
Teorema 7 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas adalah
simetrik
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel dan
memenuhi
sifat
( 1),
( 2),
mempunyai turunan ke empat
dan
( 3),
di sekitar s,
maka
untuk
Bukti : Karena
dan mempunyai turunan keempat berhingga dan Teorema Taylor, kita peroleh
Sehingga nilai harapan dari
dapat ditentukan sebagai berikut
disekitar ,
38
dengan mensubstitusi persamaan (78) – (83) ke persamaan (84), maka diperoleh
untuk Dengan menggunakan persamaan (66), diperoleh untuk
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (68), nilai harapan dapat ditentukan sebagai berikut
39
Jadi Teorema 7 terbukti.
Akibat 8 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas
memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3) , mempunyai turunan ke empat
ntuk
dimana
di sekitar s, maka
adalah konstanta Euler.
Bukti : Dari persamaan (77) pada Teorema 7, diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan (69) dan (87) ke persamaan (41), maka diperoleh persamaan (86).
BAB V KESIMPULAN
Untuk menduga komponen periodik titik
dari suatu fungsi intensitas
dari suatu proses Poisson periodik (dengan periode
diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval
pada yang
dapat digunakan
penduga tipe kernel, yang dirumuskan sebagai berikut:
dimana
merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yang
disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat-sifat statistika dari penduga
dan modifikasinya untuk mereduksi bias. Selain itu, ditentukan
aproksimasi asimtotik bagi bias dan ragam penduga yang baru. Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengkajian yang dilakukan adalah sebagai berikut: Andaikan
memenuhi persamaan
lokal. Jika kernel
dan terintegralkan
memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),
,
untuk
ntuk
asalkan s adalah titik Lebesgue dari
, dimana
adalah konstanta Euler. Andaikan
memenuhi persamaan
lokal. Jika kernel ( 3),
,
pada s, maka
dan terintegralkan
adalah simetrik adalah dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), untuk
mempunyai turunan ke empat
41
untuk
dimana
adalah konstanta Euler , dan dan
semua n
untuk
.
Andaikan fungsi intensitas
memenuhi memenuhi persamaan
dan terintegralkan lokal. Jika kernel ( 2), ( 3),
,
untuk
memenuhi sifat ( 1),
maka
asalkan
, dimana
adalah
konstanta Euler. Andaikan fungsi intensitas
memenuhi memenuhi persamaan
dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), turunan ke empat
untuk
di sekitar s, maka
,
adalah simetrik dan mempunyai
42
Jika syarat pada (iii) dan (iv) dipenuhi, maka sama dengan
adalah
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York. Casella, G. dan R. L. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Grimmett, G. R. and D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helmers, R. 1995. On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea. CWI Note BS-N9501. Helmers, R, and Mangku, I. W. 2007. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Accepted by Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Tokyo. Helmers, R, and Zitikis, R. 1999. On estimation of process Poisson intensity function. Annal Institute of Statistical Mathematics, 51,2,265-280. Helmers, R, Mangku, I. W. and Zitikis, R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis 84 19-39. Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R.2005 Statistical properties of a kerneltype estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis 92 1-23. Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R. 2007. A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology, 4, 481-892. Helms, L.L. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary aplications. New York: W.H. Freeman and Company. Hogg, R. V. and A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed.ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey. Mangku, I. W. 1999. Nearest neighbor estimation of the the intensity function of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914. Mangku, I. W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
44
Mangku, I. W. 2005. A note on estimaton of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Aplications, 4. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti. 2007. Consistency of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti. 2008. Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Nurrahmi. 2005. Sifat-Sifat Statistika Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Purcell, E.J dan D. Varberg. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Jakarta: Erlangga Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Models. Ed. ke-8. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York. Wheeden, R. L. and A. Zygmund. 1977. Measure and Integral : An Introduction to real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
45
LAMPIRAN
46
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui pengulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksikan dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan.
Definisi 14 (Ruang Contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dilambangkan dengan
. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
.
(Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 16 (Medan- ) Medan- adalah himpunan F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut : a. b. c. Medan-
F F maka F maka
F
F
terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (
,
disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 17 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada ( , F ) adalah suatu fungsi P : F memenuhi
[0, 1] yang
47
a. P ( ) = 0, P ( ) = 1 b. Jika
….. adalah himpunan anggota-anggota F
yaitu
untuk semua pasangan i, j dengan i
Pasangan ( , F , P) yang terdiri atas himpunan merupakan himpunan bagian dari
yang saling lepas, j maka :
, medan- F yang anggotanya
, dan suatu ukuran peluang P pada ( , F )
disebut ruang peluang. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 18 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : P (A B) = P (A) P(B). Secara umum, himpunan kejadian {
} dikatakan saling bebas jika :
untuk semua himpunan bagian berhingga J dari I. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 19 (Peubah Acak) Peubah acak adalah suatu fungsi X : x}
F untuk setiap x
R dengan sifat bahwa {
: X( )
R. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
48
Definisi 20 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari pebah acak X adalah fungsi
yang diberikan
oleh
(Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 21 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X disebut diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah {
} dari R. (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 22 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R
[0, 1]
yang diberikan oleh :
(Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 23 (Peubah Acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0, 1, 2, ….} dengan fungsi kerapatan peluang
dengan
> 0, maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter . (Grimmett and Stirzaker, 1992)
Nilai Harapan, Ragam, Momen
Definisi 24 (Nilai Harapan, Momen, Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah
49
Momen ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah
Misalkan momen ke-1, E(X) =
Maka momen pusat ke-k atau
dari peubah
acak X adalah
Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Variance) dari X, dan dilambangkan dengan Var(X) atau
adalah nilai
harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu :
(Hogg and Craig, 1995)
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi 25 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg and Craig, 1995)
Definisi 26 (Penduga) Misalkan
adalah contoh acak. Suatu statistik U = U(
)
= U(X) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ) dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ), yang dilambangkan oleh ) dari U dengan nilai amatan
( ). Nilai U( disebut
sebagai dugaan (estimate) bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995)
50
Definisi 27 (Penduga Tak Bias) a. Suatu statistik U(X) yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), dituliskan E[U(X)] = g( ), disebut penduga tak bias bagi g( ). Selainnya statistik dikatakan berbias. b. Jika
[U(X)] = g( ), maka penduga U(X) disebut penduga tak bias
asimtotik. (Hogg and Craig, 1995)
Definisi 28 (Penduga Konsisten) Suatu statistik U(X) yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter g( ), disebut penduga konsisten bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995) Definisi 29 (MSE suatu Penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga dari
yang didefinisikan oleh
harapan kuadrat dari selisih antara penduga
untuk parameter
adalah fungsi
Dengan kata lain MSE adalah nilai dan parameter .
Dari sini diperoleh
= Var (W) + (Cassela dan Berger, 1990) Definisi 30 (Fungsi Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas
dikatakan terintegralkan lokal, jika untuk sembarang
himpunan Borel terbatas B kita peroleh
51
(Dudley, 1989) Definisi 31 [(
(.))]
Simbol ‘big-oh’ ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u (x) = menyatakan bahwa
(v(x)), x
terbatas, untuk x
L,
L. (Serfling, 1980)
Definisi 32 [o(h)] Suatu fungsi f disebut o(h), h lebih cepat dari h
0, jika
Hal ini berarti f(h)
0
0. (Ross, 2003)
Dengan menggunakan definisi 31 dan 32 kita peroleh hal berikut. a. Suatu barisan bilangan nyata
disebut terbatas dan ditulis
, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga B <
untuk < A untuk semua
bilangan asli n. b. Suatu barisan
yang konvergen ke nol, untuk n
, dapat ditulis
untuk (Purcell and Varberg, 1998)
Definisi 33 (Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi I : [0, 1], yang diberikan oleh :
52
(Grimmett and Stirzaker, 1992)
Definisi 35 (Titik Lebesgue) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi
jika
(Wheeden and Zygmund, 1977)
Lema 2 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
dan akan bernilai ‘sama dengan’ jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau P(Y =aX)=1 untuk suatu konstanta a. (Helms, 1996) Bukti : Lihat Lampiran 2
Lema 3 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka g (y) = g (x) + untuk y
+o
x.
Bukti : Lihat Serfling (1980)
Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
dari ragam
, maka untuk
setiap k > 0,
(Helms, 1996) Bukti : Lihat Lampiran 3
53
Lampiran 2. Lema 2 ( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
Dan akan bernilai ‘sama dengan’ jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau untuk suatu konstanta a.
Bukti: Pilihlah salah satu dari P(X =0) =1 atau P(X =0) 1. Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan P(X =0) <1, yang berarti bahwa X mempunyai suatu nilai
dengan peluang positif, sehingga .
Definisikan fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat
Sehingga
Untuk
yang real ganti
dengan
Sehingga
Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa
.
54
dan di sisi lain jika sama akan
Jika
menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan
didapatkan . Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah P Jadi terbukti
55
Lampiran 3 Lema 5 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan terbatas dan
maka
(Ross, 2003)
Bukti: Misalkan {
adalah nilai dari peubah acak
konvergen mutlak,
maka
Sehingga diperoleh
Jadi Lema 5 terbukti.
Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan setiap k > 0,
Bukti :
dan ragam
, maka untuk
56
Karena
adalah peubah acak tak negatif, kita dapat menggunakan
pertidaksamaan Markov di atas, dengan
Sehingga diperoleh
Jadi Lema 3 terbukti.
, sehingga kita peroleh
