9
BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
Misalkan
adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan fungsi intensitas
yang tidak diketahui. Fungsi
diasumsikan
terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode (diketahui)
dan suatu komponen tren yang berupa
fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik
, fungsi intensitas
dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan
adalah fungsi periodik dengan periode ,
tren dimana
dan
menyatakan kemiringan
(diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik , dengan
kecuali
dan seluruh
adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat
Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu terdapat sebuah realisasi ruang peluang
dari proses Poisson
periode
yang terdefinisi pada suatu
dengan fungsi intensitas seperti pada
pada interval terbatas
. Karena
, maka masalah menduga
direduksi menjadi masalah menduga
, hanya
yang diamati
adalah fungsi periodik dengan
pada titik
dengan
pada titik
dengan
dapat .
10
Diasumsikan fungsi intensitas global bagi pada
yaitu
merupakan nilai rata-rata dari
.
Misalkan
adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol,
yaitu
untuk
dan misalkan pula
adalah suatu fungsi bernilai real,
disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut : (K.1)
merupakan fungsi kepekatan peluang.
(K.2)
terbatas.
(K.3)
memiliki daerah definisi pada
.
3.1.1 Pendugaan
Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh penduga untuk
seperti berikut :
untuk
. Untuk mendapatkan penduga
Karena
memenuhi
, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
Perhatikan suku pertama intensitas global dari
, cukup diperlihatkan bahwa
, dengan menggunakan asumsi maka
adalah fungsi
. Sedangkan suku kedua dari
11
adalah
. Langkah berikutnya, mengganti
dengan padanan stokastiknya yaitu
Jika kedua ruas dikalikan dengan
maka diperoleh
diperoleh
sehingga
Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
, sehingga
. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
maka diperoleh penduga dari , yaitu
seperti pada
.
Lema 3.1 Misalkan fungsi intensitas
untuk
, dengan
seperti
dan terintegralkan lokal, maka
Dengan kata lain,
penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah
untuk
.
Bukti : Berdasarkan
dapat dihitung sebagai berikut :
merupakan
12
untuk
. Ruas kanan
Karena fungsi intensitas
adalah
seperti
, maka
untuk Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
dan
.
. Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai
Sehingga
untuk Dengan mensubstitusikan Ragam dari
Karena
ke
seperti pada
.
diperoleh dengan cara serupa, yaitu :
adalah proses Poisson, maka
atas dapat ditulis
, diperoleh
sehingga persamaan di
13
Karena fungsi intensitas
seperti
, maka
untuk Perhatikan bahwa
konvergen ke 0 jika
, dan
. Sehingga
untuk Dengan mensubstitusikan pada
pada
, maka diperoleh
seperti
. Didefinisikan
berikut :
dimana
.
Berikutnya, substitusikan
dan
pada
, maka diperoleh
untuk Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil pada
maka diperoleh
seperti pada
Telah dibuktikan
Teorema 3.1 (Kekonsistenan Penduga
dan
.
, sehingga Lema 3.1 terbukti.
)
merupakan penduga konsisten bagi , yaitu
14
untuk
.
Bukti : Untuk membuktikan
untuk
, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh
, berarti
Sehingga
, ada
sehingga
. Jadi untuk membuktikan
bahwa
, digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga
diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh
untuk
sehingga diperoleh
. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.1 terbukti.
3.1.2 Pendugaan
Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi penduga dari
pada titik
dengan
sebagai berikut :
,
,
adalah suatu kernel dan
bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu serta
adalah penduga bagi
seperti
adalah barisan untuk
.
Lema 3.2 Jika fungsi intensitas
seperti
dan terintegralkan lokal, serta kernel
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan
untuk
, maka
,
15
untuk
, asalkan
adalah titik Lebesgue dari
kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan
untuk
. Jika kernel , untuk
.
Bukti : Berdasarkan
Dari
maka
,
dapat dihitung sebagai berikut :
dapat dimisalkan
dapat dinyatakan sebagai
Suku pertama pada ruas kanan
diperoleh sebagai berikut
untuk (Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Selanjutnya, suku kedua dari ruas kanan
adalah
memenuhi , maka
16
Dengan menggunakan
untuk
pada persamaan di atas, maka diperoleh
. Dengan mensubstitusikan
diperoleh persamaan seperti Ragam dari
pada
, maka
. diperoleh dengan menggunakan
Dengan memisalkan seperti menjadi
dan
sehingga
maka persamaan di atas dapat ditulis
17
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas
kanan
dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan menggunakan
untuk
. Dari
pada persamaan di atas, maka diperoleh
dan
, dengan menggunakan ketaksamaan
Chauchy Schwarz, dapat diperoleh suku ketiga ruas kanan persamaan
yaitu
18
untuk
. Karena
dan
untuk
maka
untuk
sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
untuk
. Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil pada
maka diperoleh
dan
seperti pada
.
Teorema 3.2 (Kekonsistenan
)
Jika fungsi intensitas
dan terintegralkan lokal, serta kernel
seperti
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3),
untuk
dan
, asalkan adalah titik Lebesgue dari
maka
.
Bukti : Untuk setiap
berlaku jika
.
Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut :
Berdasarkan
, diperoleh
kemudian untuk setiap
, ada
sehingga
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh bahwa
19
dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh
Menggunakan hasil pada
untuk
, maka
dapat dituliskan sebagai berikut
. Melihat hubungan antara persamaan di atas dan
terbukti bahwa
jika
, maka
.
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.2 terbukti.
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat
Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada dengan
. Secara
dapat dinyatakan
. Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode
diketahui, tetapi fungsi
pada
tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk
sebagai berikut
dengan yaitu
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan dan
seperti
Teorema 3.3 (Kekonsistenan Jika fungsi intensitas
.
)
memenuhi
dan terintegralkan lokal, maka , untuk
,
20
Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.
Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari Jika fungsi intensitas
untuk
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
.
Bukti : Pertama, akan dibuktikan
sebagai nilai harapan dari
Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan
yaitu
, yaitu
dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi
Jika fungsi intensitas
memenuhi
di atas dituliskan sebagai berikut
dan terintegralkan lokal, maka persamaan
21
Berdasarkan
, suku pertama ruas kanan
menjadi
Diketahui bahwa
jika
(Lihat Titchmarsh 1960). Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan
pada
diperoleh
jika Kemudian perhatikan suku kedua pada ruas kanan
berikut
, maka
22
Perhatikan salah satu komponen
berikut,
jika Dengan mensubstitusikan
pada
jika
, diperoleh
23
Selanjutnya, dengan menggabungkan ruas kanan pada
dan
, maka diperoleh
seperti berikut :
jika Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan
Dengan menggunakan
untuk
yaitu
maka kuantitas di atas menjadi
.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari dan
ke
, maka diperoleh
seperti pada
.
Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.
Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari Jika fungsi intensitas
untuk
untuk
dan
memenuhi
)
dan terintegralkan lokal, maka
24
untuk
jika
Bukti : Akan dibuktikan
dan
j,k = 1,2,…, maka tumpang
tindih
. Catatan, untuk setiap dan
(tidak
overlap).
tidak saling
Sehingga
adalah bebas, untuk Telah didefinisikan penduga bagi
dimana
dan
. yaitu
pada
sehingga
dapat dihitung sebagai
dengan memisalkan
Perhatikan suku pertama ruas kanan dari yang diperlukan, dan Untuk kasus
jika
jika
dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu . diperoleh
.
Untuk kasus
.
Berdasarkan kuantitas
diperoleh
25
Untuk kasus
jika
diperoleh
.
(Lihat Yuliawati, 2008).
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan
sehingga
dapat
diperoleh sebagai berikut
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan
pada persamaan di
atas, diperoleh persamaan berikut
untuk
.
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas kanan
diperoleh
sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam dan
tiga kasus, yaitu Untuk kasus
dan untuk
. sehingga
26
untuk Dengan kata lain, diperoleh
untuk
, sehingga
,
untuk
, sehingga
,
.
untuk
untuk Dengan kata lain, diperoleh untuk
.
Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh , untuk
.
Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu untuk kasus
dan kasus , untuk
. Diperoleh
, akibatnya , untuk
sehingga
dan
dan
,
.
Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas ke
sehingga diperoleh
yang dibedakan menjadi tiga kasus
berikut, yaitu Untuk kasus
untuk Untuk kasus
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
27
untuk
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
. Dengan kata lain diperoleh
seperti pada
.
Untuk kasus
untuk
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.5 terbukti.
Bukti Teorema 3.3 : Berdasarkan
diperoleh
atau dapat ditulis sebagai jika
Sedangkan dari
dan
diperoleh
atau dapat ditulis juga sebagai jika
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa yaitu bahwa untuk setiap
adalah penduga konsisten bagi ,
berlaku jika
Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
.
28
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka
Berdasarkan
untuk setiap
, ada
menjadi
sehingga
.
Dengan mensubstitusikan
ke
, diperoleh
Kemudian dengan melihat hubungan antara
dan
diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan menggunakan hubungan bahwa
pada jika
dapat ditunjukkan .
Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.3 terbukti.
