PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WENTI ISMAYULIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK WENTI ISMAYULIA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI. Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Penduga yang disusun hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut adalah diketahui. Telah dibuktikan kekonvergenan Mean Square Error (MSE) bagi penduga yang dikaji. Selain itu juga telah dibuktikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) dari penduga tersebut serta diperoleh pula bandwidth optimal asimtotiknya.
ABSTRACT WENTI ISMAYULIA. Estimation of the Periodic Component of an Intensity Function with a Form of Periodic Function Multiplied by a Linear Trend of a Non Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI. In this manuscript, estimation of the periodic component of an intensity function with a form of periodic function multiplied by a linear trend of a non homogeneous Poisson process is discussed. The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval It is assumed that the period of the periodic component is known. The convergence of the mean square error (MSE) of the estimator has been proved. In addition, asymptotic approximations to the bias, variance, and mean square error of the estimator have been established. An asymptotic optimal bandwidth has also been found.
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WENTI ISMAYULIA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Judul Sripsi
Nama NIM
: Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen. : Wenti Ismayulia : G54070024
Menyetujui, Pembimbing II
Pembimbing I
Drs. Siswandi, M.Si. NIP. 19640629 199103 1 001
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP. 19620305 198703 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc, selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Drs. Siswandi, M.Si, selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran dan motivasinya). 3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS, selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi dan Mas Deni (terima kasih atas bantuan dan motivasinya). 6. Keluargaku tercinta: Bapak, mama, mas yadi, om, tante, kakek, nenek (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya). 7. Agus Umriadi (terima kasih atas bantuan, doa dan dukungannya). 8. Teman-teman satu bimbingan : Anis, Nadiroh, Tita dan Pepi (terima kasih atas bantuan dan dukungannya). 9. Sahabat terdekat : Deva, Quro, Ndep, Titi, Lilis, Gigi, Didi, Echa, Fia, Iche, Evita (terima kasih atas bantuan, doa dan motivasinya). 10. Kakak-kakak Math 41, 42 dan 43 : Ka Nidya, Ka Destya, Ka Aini, Ka Putri, Ka Chopy, Ka Resti, Ka Apri, Ka Tami, Ka Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Cumi dan lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, doa dan dukungannya). 11. Teman-teman Math 44: Ruhiyat, Sri, Ayung, Rachma, Melon, Dian, Fajar, Tyas, Rofi, Della, Denda, Pandi, Abe, Ipul, Cita, Yanti, Ucu, Fani, Kodok, Wahyu, Ayum, Ririh, Imam, Aswin, Tanti, Arina, Lingga, Masay, Diana, Yogie, Lugina, Ncel, Iresa, Sari, Aqil, Iam, Fikri, Eka, Aje, Ali, Vianey, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Indin, Sholih, Siska, Lili, Lina, Endro, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas dukungan, bantuan, doa dan kebersamaannya). 12. Teman-teman Math 45: Isna, Icha, Santi, Vivi, Gita, Bolo, Feni, Mega, Yunda, Anisa, Ade, Wulan, Aci, Fuka, Dono, Ari, Irwan, Beni, Ijun, Haryanto, Arbi, Heru, Bram, Kunedi, Ito, Khafidz, Herlan, Fikri, Prama dan lainnya (terima kasih atas dukungan, bantuan dan doanya). 13. Temen-temen 362 : Norvi, Uji dan Tania (terima kasih atas doa, dukungan dan kebersamaannya). 14. Temen-temen A24 TPB : Gita, Pristy, Teguh, Pingkan, Andini, Dame, Ayu, Diki, Santi, Eko, Puji, Dati, Indra, Okti dan lainnya (terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya). 15. Temen-temen kosan Puri Fikriyah : Icha, Dita, Vintya, Paul, Irma, Dewi, Yaya, Ka nita, Ka Sars, Ka Sadek, Ka Pewe, Ka Aci, Ka Cici, Riena, Metha, Marcha, Indri, Yulia, Yuni, Izha, Iis dan lainnya (terima kasih atas motivasi, doa dan kebersamaannya). 16. Teman-teman lain : Amboii, Pipit, Ranum, Dina, Ka Muad, Ara, Medya, Mba Tya, Mba Retno, Mas Dimas, Diki, Ka Iyo dan lainnya (terima kasih atas doa dan dukungannya). 17. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2011
Wenti Ismayulia
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 1 Juli 1989 sebagai anak kedua dari dua bersaudara. Anak dari pasangan Endy Rachmat dan Jamilah. Tahun 2001 penulias lulus dari SDN Pulo Gebang 20 Pagi. Tahun 2004 penulis lulus dari SLTPN 138 Penggilingan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 12 Jakarta Timur dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen Permrogaraman Tak Linear pada tahun ajaran 2010/2011. Selain itu penulis terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain : panitia TRY OUT kalkulus 2007 dan panitia Masa Perkenalan Departemen (MPD) 2009 dan 2010.
vii
DAFTAR ISI Halaman I. PENDAHULUAN ........................................................................................................................ 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................................................ 1 1.2 Tujuan ..................................................................................................................................... 1 II. LANDASAN TEORI .................................................................................................................. 2 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .................................................................................... 2 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ........................................................................................... 2 2.3 Nilai Harapan dan Ragam ....................................................................................................... 3 2.5 Penduga................................................................................................................................... 3 2.6 Proses Stokastik ..................................................................................................................... 4 2.7 Proses Poisson ....................................................................................................................... 4 2.8 Beberapa Definisi dan Lema .................................................................................................. 5 III. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................... 7 3.1 Perumusan Masalah ............................................................................................................... 7 3.2 Perumusan Penduga ............................................................................................................... 7 3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE ........................................................... 11 3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik ............................................................................ 13 IV. SIMPULAN .............................................................................................................................. 15 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 16 LAMPIRAN .................................................................................................................................... 17
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Terdapat banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Permasalahan tersebut misalnya proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (bank, kantor, supermarket, dan sebagainya), proses kedatangan pengguna line telepon dengan periode satu hari atau juga banyaknya kendaraan yang melewati suatu jalan raya pada suatu interval waktu tertentu yang hanya bisa diamati sekali. Untuk itu, proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari. Proses stokastik ada dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Contoh dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik misalnya proses kedatangan nasabah ke suatu bank dalam periode satu hari. Fungsi intensitas lokal pada proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Pada umumnya fungsi intensitas tidak diketahui tetapi banyak yang periodenya diketahui yaitu . Untuk menyusun penduga yang konsisten, diperlukan banyak data. Diasumsikan fungsi intensitas tersebut adalah fungsi periodik agar data pengamatan di berbagai selang waktu yang berbeda dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s. Fungsi intensitas pada hari berikutnya dapat diprediksi dengan menggunakan proses Poisson periodik.
Pada umumnya bentuk fungsi intensitas pada hari ini dan hari berikutnya hampir sama. Sedangkan jika pada hari berikutnya jumlah nasabahnya bertambah, maka fungsi intensitas akan lebih besar dibanding hari sebelumnya. Ada beberapa fenomena yang kurang cocok dimodelkan dengan proses Poisson periodik tanpa memperhitungkan suatu tren. Untuk itu, fungsi intensitasnya perlu mengakomodasi adanya suatu tren. Pada kajian ini dibatasi pada fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear. Sehingga karya ilmiah ini mengkaji penduga fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk: (i) Menentukan perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen serta membuktikan kekonsistenan penduganya. (ii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga. (iii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga. (iv) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga. (v) Menentukan bandwidth optimal asimtotik untuk penduga yang dikaji.
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu peubah acak dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian saling lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong . (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan - ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1.
2. Jika
Ai
, maka i 1
3. Jika
, maka (Hogg et al. 2005)
Jika , maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi 5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan- pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap
2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan maka P An = P An . n 1 n 1 3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1. Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika: Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:
untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa untuk setiap (Grimmett & Stirzaker 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 9 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak adalah yang didefinisikan oleh Fungsi acak X.
disebut fungsi sebaran dari peubah (Grimmett & Stirzaker 1992)
3
Definisi 10 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai
untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh
Definisi 14 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari X, dinotasikan dengan atau , adalah
(Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Fungsi indikator) Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari adalah suatu fungsi yang diberikan oleh
(Grimmett & Stirzaker 1992)
(Hogg et al. 2005) Definisi 12 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
untuk k=0,1,… (Ross 2007) Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter (Taylor & Karlin 1984) Bukti : lihat Lampiran 1. 2.3 Nilai Harapan dan Ragam
2.4 Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak. Definisi 16 (Konvergen dalam peluang) Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang . Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap berlaku , untuk (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis , untuk
Definisi 13 (Nilai harapan) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah
jika
untuk , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran adalah kontinu. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.5 Penduga
2.
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah
asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)
Definisi 18 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005)
4
Definisi 19 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 20 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu
Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika berupa suatu interval. (Ross 2007) Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua peubah acak adalah bebas. (Ross 2007)
disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 22 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter , yang dapat dihitung sebagai berikut:
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai . (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. 2.7 Proses Poisson
dengan (Cassela & Berger 1990) 2.6 Proses Stokastik Definisi 23 (Proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (Ross 2007) Jadi untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks adalah interval bilangan real tak negatif yaitu Definisi 27 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) untuk semua (ii) Nilai adalah integer.
5
(iii) Jika maka untuk (iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (Ross 2007) Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i) . (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan Jadi untuk semua ,
dengan k=0,1,… (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu , maka disebut proses Poisson tak homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas harus memenuhi syarat untuk semua Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika adalah proses Poisson homogen, maka dengan adalah panjang selang , sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang Jika adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas , maka
Dengan kata lain, jika Poisson tak homogen maka
adalah proses memiliki sifat
(i)
k=0,1,…
untuk setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif dan adalah selangselang yang disjoint dengan proses merupakan peubah acak yang saling bebas. Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah yaitu nilai fungsi di . (Cressie 1993) Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika berlaku untuk semua dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut. (Browder 1996) Definisi 31 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001) 2.8 Beberapa Definisi dan Lema Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas kita peroleh B s ds . B
(Dudley 1989) Definisi 33 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit . (i) Notasi menyatakan bahwa
terbatas, untuk
6
(ii) Notasi menyatakan bahwa
untuk (Serfling 1980)
Definisi 34 (Titik Lebesque) Kita katakan adalah titik Lebesque dari jika berlaku
(Wheeden & Zygmund 1977) Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik , maka
untuk (Serfling 1980) Bukti : lihat Serfling 1980. Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk setiap
(Ross 2007) Bukti: lihat Lampiran 2.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) dikalikan komponen tren linear . Konstanta merupakan kemiringan dari tren linear dimana Dengan demikian, untuk sebarang titik fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan dengan periode ditulis menjadi
adalah fungsi periodik Persamaan (1) juga dapat
dengan adalah fungsi periodik. Misalkan maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi Karena adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah konstanta, maka adalah fungsi periodik dengan periode sehingga persamaan berlaku untuk setiap dan , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Berdasarkan persamaan (3), untuk menduga cukup diduga Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka untuk menduga pada cukup diduga nilai pada Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi untuk dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari , yang secara otomatis berarti bahwa adalah titik Lebesque dari
3.2 Perumusan Penduga Penduga bagi pada titik dapat dirumuskan sebagai berikut
dengan menyatakan banyak kejadian pada interval , k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol yaitu untuk Pada penduga di atas disebut bandwidth. Penduga pada (5) adalah bentuk khusus dari penduga yang dibahas pada Mangku (2011). Penduga pada (5) menggunakan kernel seragam, sedangkan penduga pada Mangku (2011) menggunakan fungsi kernel umum. Berikut diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga bagi . Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh
Maka rata-rata nilai yang diduga
dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan Dari persamaan (8) diperoleh
8
Untuk melakukan pendekatan terhadap persamaan (9) diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi dan asumsi (6) terpenuhi, sehingga persamaan (9) menjadi
Bukti: Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam. Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi maka untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi . Dengan kata lain adalah penduga tak bias asimtotik bagi
Bukti: Untuk membuktikan persamaan (11) akan diperlihatkan bahwa Dengan mengganti Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut
dengan yang merupakan padanan maka dapat diaproksimasi
stokastiknya,
Karena
tidak mengandung indeks k,
maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi Sehingga diperoleh penduga bagi adalah Nilai harapan pada persamaan (14) dapat diuraikan menjadi seperti pada persamaan (5). Teorema 1 (Kekonvergenan MSE penduga)
Kita misalkan :
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi dan maka untuk Lebesgue bagi
asalkan
s
adalah
titik
Maka pada persamaan (15) dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh
9
Dengan berpedoman pada persamaan (7), maka persamaan (16) dapat diubah menjadi Suku pertama pada ruas kanan persamaan (22) dapat ditulis menjadi
dari
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), maka persamaan (17) dapat ditulis menjadi
Kemudian persamaan (18) disubstitusikan kembali ke persamaan (14) sehingga diperoleh
Lalu unsur yang memiliki indeks dikelompokkan sehingga diperoleh
Karena
jika
k
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (23) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada persamaan (24) konvergen ke nol, jika atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (23) adalah
maka Dengan menggabungkan diperoleh, maka
hasil
yang
untuk semua Dari persamaan (20), maka persamaan (19) dapat ditulis sebagai
Dengan melakukan operasi perkalian pada ruas kanan, maka diperoleh
jika Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama pada ruas kanan persamaan (22) adalah
untuk
10
Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) menjadi
Karena ~ Poisson, maka sehingga persamaan (28) menjadi
(29) Dari persamaan (18) untuk sebarang k, kita bisa tuliskan untuk Dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan suku kedua di atas maka diperoleh untuk terbukti.
Dengan demikian Lema 4
Dengan demikian persamaan (29) dapat ditulis menjadi
Lema 5 (Kekonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan , maka untuk Bukti : Karena jika maka untuk nilai n yang cukup besar, interval dan untuk tidak tumpang tindih atau tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson (Definisi (25), diperoleh bahwa dan untuk adalah peubah acak bebas. Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan mengelompokan unsur yang memiliki indeks k, persamaan (30) dapat ditulis menjadi
Perhatikan bahwa, karena
maka persamaan (31) menjadi
Karena terbatas di sekitar , maka ada konstanta K sehingga untuk semua Maka ruas kanan persamaan (33) tidak melebihi
11
jika terbukti.
Dengan demikian Lema 5
Diperlukan asumsi memiliki turunan yang terhingga di s maka ada dan kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas di sekitar s. Dengan Formula Young (Lema 2), maka diperoleh
Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu (i) Lema 4 (ketakbiasan asimtotik) , jika
untuk
atau bila diuraikan menjadi
maka (ii) Lema 5 (kekonvergenan ragam) jika maka definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh, yaitu sebagai berikut
untuk Dengan Teorema 1 terbukti.
demikian untuk
3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
untuk Bukti : Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari dapat dituliskan sebagai berikut
Berdasarkan diperoleh
persamaan
untuk Misalkan maka persamaan (36) dapat ditulis menjadi
(19),
maka
Sehingga dapat dinyatakan
12
Perhatikan persamaan (32)
untuk n . Karena menurut persamaan (20) Maka persamaan (31) menjadi
maka persamaan (35) akan menjadi Dari persamaan (33) kita mempunyai
untuk terbukti.
Dengan demikian Teorema 2
Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan maka
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (38) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada (39) akan menuju nol jika , atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (38) adalah
untuk Bukti: Berdasarkan bukti dari Lema 5 (kekonvergenan ragam), maka ragam dari dapat ditulis seperti pada persamaan (31)
Dengan menggabungkan diperoleh, maka
hasil
yang
13
Dengan demikian menurut persamaan (25) maka persamaan (33) dapat ditulis menjadi untuk Karena
mempunyai turunan kedua
berhingga pada s, maka sehingga diperoleh persamaan (37). Dengan demikian Teorema 4 terbukti. untuk terbukti.
Dengan demikian Terorema 3
Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi bagi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka untuk Bukti : Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), maka
3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan yang merupakan fungsi dari , menyatakan suku utama dari yaitu
Dapat diperoleh nilai yang meminimumkan untuk n tetap, dengan membuat turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh
dengan Pada persamaan (34) diperoleh
Berdasarkan Teorema 3 diperoleh
Sehingga ruas kanan (42) dapat ditulis menjadi
Selanjutnya akan diperiksa apakah yang diperoleh meminimumkan dengan memeriksa turunan kedua , yaitu
Telah kita ketahui bahwa nilai dari dan adalah bandwidth yang bernilai positif, sehingga
14
Dengan demikian yang diperoleh meminimumkan . Sehingga nilai bandwidth yang optimal adalah
turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik.
turunan
pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik.
IV. SIMPULAN Pada tulisan ini dikaji masalah pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear dari suatu proses Poisson non-homogen. Untuk sebarang titik dan merupakan kemiringan dari tren linear, maka fungsi intensitasnya dapat dinyatakan sebagai berikut Pada kajian ini ditentukan penduga bagi komponen periodik fungsi intensitas pada titik dari proses Poisson periodik dengan periode yang diamati pada interval . Dari hasil pengkajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: (i) Penduga komponen periodiknya adalah sebagai berikut
dimana menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n], k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real yang konvergen menuju nol yang disebut bandwidth. adalah penduga yang tak bias asimtotik bagi , untuk sehingga diperoleh untuk
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias adalah sebagai berikut
untuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi adalah sebagai berikut
untuk (iv) Aproksimasi
asimtotik
ragam
bagi
adalah sebagai berikut
untuk (v) Bandwidth optimal asimtotik yang meminimumkan aproksimasi untuk adalah sebagai berikut
DAFTAR PUSTAKA Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York. Casella G, Berger. 1990. Statistical Inference. First Edition. Wadsworth & Brooks/Cole. Pasivic Grove. California.
(Ph.D.Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. Wiley. New York.
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a nonhomogeneous Poisson process. Accepted by Far East Journal of Mathematical Science (FJMS).
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.
Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models. Ninth Edition. Academic Press Inc. Orlando. Florida.
Grimmett GR. and Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Second Edition. Clarendon Press. Oxford.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York.
Hogg RV, Graig AT and MacKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Edition. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey. Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
Taylor HM. dan Karlin. 1984. An Introduction to Stochastics Modelling. Academic Press Inc. Orlando. Florida. Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
LAMPIRAN
18
Lampiran 1. Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter beturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter
Bukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), kita dapat nyatakan
Ingat, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan untuk setiap integer positif n,
Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke (1) diperoleh ruas kanan dari persamaan (1) adalah sebagai berikut
Persamaan (3) di atas adalah fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter Maka Lema 1 terbukti.
19
Lampiran 2. Pembuktian Lema 3 Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ dan ragam
, maka untuk setiap
Bukti : Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan E(X) terbatas, untuk setiap
Bukiti : Misalkan
maka
dengan IA adalah fungsi indikator dari A, yaitu : jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh
Sehingga diperoleh Jadi Lema 4 terbukti. Selanjutnya dengan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktikan Lema 3.
Jadi Lema 3 terbukti.
