SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI

SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009

ABSTRAK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Sifat – Sifat Statistika Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Diperhatikan keadaan terburuk dimana hanya terdapat sebuah realisasi dari suatu proses Poisson periodik yang diamati pada interval [0,n]. Diasumsikan bahwa periode dari fungsi intensitas proses tersebut adalah diketahui. Masalah utama yang dikaji adalah perumusan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam turunan pertama dan turunan kedua yang telah dirumuskan. Kemudian, simulasi komputer diselesaikan untuk mempelajari perilaku dari pendekatan asimtotik dengan ukuran contoh terbatas.

ABSTRACT RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Statistical Properties of Estimators for The First and Second Order Derivatives of The Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. This manuscript is concerned with estimation of the first and second derivatives of intensity function of a periodic Poisson process. It is considered the worst condition if there is only available one realization of periodic Poisson process observed in interval [0, n ]. It is assumed that the period of this process is known. The main problem discussed in this manuscript is the formulation of asymptotic approximations to the bias and variance of the estimators for the first and second derivatives of the intensity of the process considered. In addition, computer simulations were carried out to study the behaviour of these asymptotic approximations for finite sample size.

SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Oleh : RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI G54051493

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

Judul Nama NRP

: Sifat – Sifat Statistika Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik : Ratna Galuh Niken Pramarani : G54051493

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP. 131 663 020

Ir. Retno Budiarti, M.S. NIP. 131 842 409

Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806

Tanggal Lulus :

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Magelang pada tanggal 14 Maret 1987 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Hartono dan Eni Kustiati. Tahun 1999 penulis lulus dari SDN Pucang Secang. Tahun 2002 penulis lulus dari SMPN 3 Magelang. Tahun 2005 penulis lulus dari SMAN 2 Magelang dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II pada tahun ajaran 2007/2008. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departemen Sosinkom pada periode 2007 – 2008 dan staf Biro Kesekretariatan periode 2008 – 2009.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Ir. Retno Budiarti, M. S. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri. 6. Keluargaku tercinta: bapak dan ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya), kakak, ade, kakek dan nenek (terima kasih atas doanya). 7. Bima (terima kasih atas waktu, doa, dukungan, saran, dan segala bantuannya). 8. Teman sebimbingan : Vera dan Ilyas (makasih atas bantuannya). 9. Teman-teman Math 42: Diedie, Erlin, Jane, Idha, Eyyi, Oby, Lisda, Achy, Vino, Hapsari, Octa, Ryu, Vita, Luri, Hikmah, Ricken, Ocoy, Nyoman, Agnes, Ayu, Fachri, Djawa, Ayeep, Septian, Warno, Sapto, Dendy, Siti, Zil dan teman-teman Math 42 lainnya (selamat berjuang teman-temanku…). 10. Teman-teman Math 43: Nia, Suci, Supri, Apri, Copy, Lia, Destya, Nene, Vera, Margi, Kabil, Peli, Rizky, Arum, Fitria, Andrew, dan teman-teman Math 43 lainnya (makasih buat dukungan, bantuan dan doanya). 11. Adik-adik TPB 45 : Dewi, Tyas, Vita, Erma, Hafiza, Isya, Irma, Icha, Marlina, Dea, Ocha, Mery (makasih atas doa dan dukungannya). 12. Para Pengajar Ellips: K’Lia, K’Wal, Cici, Irma (makasih atas semangat dan motivasinya). 13. Teman-teman Wisma Ayu : Mb Nidia, Mb Encah, Mb Zahroh, Mb Titin, Mb Rini, Nita, Rita, Anggi, Ika, Kiki, Mb Wida, Veni, Nur, Nisa, Tyas, Nene, Fatima, Rina, Sinta (terima kasih atas doanya). Yu’ni, teteh (makasih atas doanya). Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2009

Ratna Galuh Niken Pramarani

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI ..................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................................... viii PENDAHULUAN Latar Belakang ............................................................................................................ Tujuan .........................................................................................................................

1 1

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .......................................................................... Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ................................................................................ Momen, Nilai Harapan dan Ragam .............................................................................. Kekonvergenan Peubah Acak ...................................................................................... Penduga ...................................................................................................................... Proses Stokastik .......................................................................................................... Proses Poisson ............................................................................................................ Beberapa Definisi dan Lema Teknis ............................................................................

1 2 2 3 3 4 4 5

HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Bagi (s) dan Sifat-Sifat Statistikanya ......................................... 6 ' Perumusan Penduga Bagi   s  dan Sifat-Sifat Statistikanya ......................................... 8 '' Perumusan Penduga Bagi   s  dan Sifat-Sifat Statistikanya ........................................ 10 Simulasi .............................................................................................................................. 13 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Pertama ......................................... 13 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Kedua ............................................ 15 KESIMPULAN ................................................................................................................. 18 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 19 LAMPIRAN ...................................................................................................................... 20

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Gambar 1. Grafik (s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.8 ................................................... 13 Gambar 2. Grafik ’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.3053 .......................................... 14 Gambar 3. Grafik ’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.4220 ........................................ 15 Gambar 4. Grafik ’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.2612 ..........................................15 Gambar 5. Grafik ’’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.3065 .........................................16 Gambar 6. Grafik ’’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.5589 ........................................ 17 Gambar 7. Grafik ’’(s) pada [0,5] dengan bandwidth 0.2747 .........................................17

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Pembuktian Lema 1 ........................................................................................................... Pembuktian Lema 3 ........................................................................................................... Program Penentuan Gambar (s) ........................................................................................ Program Penentuan Gambar ’(s) ....................................................................................... Program Penentuan Gambar ’’(s) ...................................................................................... Program Penentuan Nilai Harapan dan Ragam Turunan Pertama dan Kedua .......................

21 22 23 25 26 27

PENDAHULUAN Latar Belakang Banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Model semacam ini menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di masa yang akan datang. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, dalam fenomena nyata misalnya, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses

kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal (λ(s)) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga penduga bagi turunan fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Kemudian ditentukan sifatsifat statistikanya. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk : (i) Mempelajari perumusan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. (ii) Membuktikan perumusan pendekatan asimtotik bagi bias untuk penduga turunan pertama dan turunan kedua. (iii) Membuktikan perumusan pendekatan asimtotik bagi ragam untuk penduga turunan pertama dan turunan kedua.

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ф). (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan - ) Medan – σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut. 1.    . 2. Jika A   , maka Ac   . 

3. Jika A1 , A2 ,...   , maka  Ai   . i 1

(Hogg et al. 2005)

Definisi 5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan ℱ adalah medan - pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ℱ ke himpunan bilangan nyata ℝ, atau P :    disebut ukuran peluang jika : 1. tak negatif, yaitu untuk setiap A   , ( ) ≥ 0. 2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1 , A2 ,...   dengan A j  Ak   , j  k ,

3.

   maka P   An    P  An .  n1  n 1 P bernorma satu, yaitu P     1.

Pasangan (Ω, ℱ, ) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P  A  B   P  A P  B . Secara umum, himpunan kejadian  Ai ; i  I  dikatakan saling bebas jika :   P   Ai    P  Ai   iJ  iJ untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett and Stirzaker 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur    ke satu dan hanya satu bilangan real ( ) = disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real    x : x  X   ,    . (Hogg et al. 2005) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005)

Definisi 9 (Fungsi sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang  . Misalkan kejadian A   , x  , maka peluang dari kejadian A adalah P  X  x   FX  x  .

Fungsi acak X.

disebut fungsi sebaran dari peubah (Hogg et al. 2005)

Definisi 10 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p :    0,1 yang diberikan oleh : pX  x   P  X  x .

(Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter ,   0 jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh k pX  k   e , k! untuk k = 0, 1, … (Ross 2007) Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut 1 dan 2. Maka X + Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter 1 + 2 . (Taylor and Karlin 1984) Bukti : lihat Lampiran 1. Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 12 (Nilai harapan) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X  x  . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah E  X    xp X  x ,

jika jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005) Definisi 13 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X  x  dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau  X2 , adalah



2



2

 X2  E  X  E  X      x  E  X   pX  x . x

(Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau mk dari peubah acak X adalah mk  E X k .

 

(Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau  k dari peubah acak X adalah



k

jika untuk setiap  > 0 P  X n  X     0 , untuk n   .

(Grimmett and Stirzaker 1992) Penduga Definisi 18 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005) Definisi 19 (Penduga) Misalkan X 1 , X 2 , ..., X n adalah contoh acak.

U  X 1 , X 2 ,..., X n  yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g   , dikatakan sebagai penduga (estimator) Suatu



 k  E  X  m1  . (Hogg et al. 2005)

berlaku

statistik

Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X.

bagi g   dilambangkan dengan gˆ n   . Bilamana nilai X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X n  xn ,

Definisi 16 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi I A :   0,1 , yang diberikan oleh :

Definisi 20 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g   , yaitu E U  X 1 , X 2 ,..., X n   g  

 1, jika   A I A     0, jika   A. (Grimmett and Stirzaker 1992) Dengan fungsi indikator menyatakan hal berikut : EI A  P  A  .

kita

dapat

Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, X n  X untuk

maka nilai U  X 1 , X 2 ,..., X n  disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g   . (Hogg et al. 2005)

disebut penduga tak bias bagi g   . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim E U  X 1 , X 2 ,..., X n    g   ,   n 

maka U  X 1 , X 2 ,..., X n  disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi g   . (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g  , disebut penduga konsisten bagi g   . (Hogg et al. 2005)

⟶ ∞.

Definisi 17 (Kekonvergenan dalam peluang) Misalkan X , X 1 , X 2 ,... adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ, ). Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen p dalam peluang ke X, dinotasikan X n  X,

Definisi 22 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g   didefinisikan sebagai 2

MSE U   E U  g    . 2

  Bias U    Var U  .

dengan Bias U   E U  g   .

Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses stokastik) Proses stokastik X   X  t  , t  T  adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. (Ross 2007) Jadi untuk setiap t pada himpunan indeks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan X(t) sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 2007) Definisi 25 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu  X  t  , t  T  disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0  t1  t2  ...  tn , peubah acak X  t1   X  t0  , X  t 2   X  t1  , ..., X  t n   X  t n 1 

adalah bebas. (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 26 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X   X  t  , t  T  disebut memiliki inkremen stasioner jika X  t  s   X t  memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisson Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan

indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu  0,   .

Definisi 27 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik  N  t  , t  0 disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut : (i) N  t   0 untuk semua t   0,   . (ii) Nilai N(t) adalah integer. (iii) Jika s  t maka N  s   N  t  , s, t  0,   . (iv) Untuk s  t maka sama N t   N  s dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang  s, t  . (Ross 2007) Definisi 28 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan  N  t  , t  0 disebut proses Poisson dengan laju  ,   0 , jika dipenuhi tiga syarat berikut. (i) N  t   0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t. Jadi untuk semua t , s  0, k e t   t  P  N t  s  N  s   k   , k! k  0,1,... (Ross 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: E  N  t     t. Definisi 29 (Proses Poisson tak homogen) Suatu proses Poisson  N  t  , t  0 disebut proses Poisson tak homogen jika laju λ pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ(t). Definisi 30 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas λ pada titik s   adalah λ(s) yaitu nilai fungsi (s) di s. (Cressie 1993)

Definisi 31 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika untuk

  s  k     s  semua s   dan k . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. (Browder 1996)

Definisi 32 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001)

menyatakan bahwa xL

(Serfling 1980) Definisi 35 (Titik Lebesque) Kita katakan s adalah titik Lebesque dari λ jika berlaku h 1 lim   s  x     s  dx  0. h  0 2h  h (Wheeden and Zygmund 1977)

Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh  ( B)    (s)ds  . B

(Dudley 1989) Definisi 34 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. (i) Notasi u  x   O  v  x   , x  L, menyatakan bahwa

u  x v  x

untuk .x  L . (ii) Notasi u  x   o  v  x   , x  L,

terbatas,

u x  0, untuk v  x

Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka n g (k )  x  n k g  y  g  x    y  x  o y  x , k! k 1





untuk y  x. (Serfling 1980) Bukti : lihat Serfling 1980. Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan µ dan ragam  2 , maka untuk setiap k  0, 2 P X    k   2 . k (Ross 2007) Bukti : lihat Lampiran 2

HASIL PEMBAHASAN Perumusan Penduga Bagi (s) dan SifatSifat Statistikanya Diasumsikan bahwa N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas  yang diamati pada suatu interval [0, ]. Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus periode  yang diketahui dari fungsi intensitas . Misalkan hn adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu



 0, n  .

(1) Teorema 1 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ( )) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal jika hn  0 . a) Jika λ memiliki turunan ketiga berhingga di s dan nhn3   , maka 1 Eˆn  s     s    ''  s  hn2  o  hn3  6 (2) jika n  . b) Jika λ memiliki turunan keempat berhingga di s dan nhn4   , maka 1 1  4 Eˆn  s     s    ''  s  hn2    s  hn4 6 120  o  hn4  (3) jika n  . Bukti : Dari persamaan (1) maka nilai harapannya dapat dinyatakan sebagai berikut:   1 Eˆn  s   E   N  s  k  hn , s  k  hn   n k  2hn



 EN  s  k  h , s  k  h  n

n

k 

  0, n  

 2nhn



s  k  hn

  x  I  x   0, n  dx

 

k  s  k  hn

(4) Misalkan y  x  s  k  x  s  y  k, maka dy  dx . Batas integralnya adalah jika x  s  k  hn maka y   hn jika x  s  k  hn maka y  hn

hn  0

jika n   . Penduga bagi (s) dapat dirumuskan sebagai :   1 ˆn  s    N  s  k  hn , s  k  hn  n k  2hn

 0, n



 2nhn

Eˆn  s  

Sehingga persamaan (4) menjadi  hn  Eˆn  s     s  y  k   2 nhn k  hn I  s  y  k   0, n  dy

(5) Karena  periodik (dengan periode ) diperoleh bahwa   s  y  k     s  y  (6) Dengan mensubstitusi (6) ke (5) maka Eˆn  s  

 2nhn



hn

   s  y

k   hn

I  s  y  k  0, n  dy 

 2nhn

hn





  s  y   I  s  y  k   0, n   dy k 

 hn

(7) Perhatikan bahwa 

n

 I  s  y  k  0, n =   O 1

k 

(8) jika n  . Dengan mensubstitusikan (8) ke (7) maka h

Eˆn  s   Eˆn  s  

n  n   O 1    s  y  dy  2nhn    hn

1 2hn

hn

1

   s  y  dy  O  n 

 hn

(9) jika n  .

a)

Jika λ memiliki turunan ketiga berhingga di s dan nhn3   maka ' s  ''  s  2   s  y    s  y y  1! 2!  '''  s  3 y  o  hn3  3! (10) Dengan mensubstitusikan (10) ke (9) diperoleh   s  hn  '  s  hn Eˆn  s   dy  y dy  2hn hn 2hn hn h

h

 ''  s  n 2  '''  s  n 3 y dy  y dy   4hn  hn 12hn hn 1 O    o  hn3  n  ''  s  3 1    s  2hn  O    o hn3 12hn n

 

Teorema 2 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ( )) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal serta hn  0 , maka a)



' s  ''  s  2 y y  1! 2!  '''  s  3   4  s  4 y  y  o  hn4  3! 4! (11) Dengan mensubstitusikan (11) ke (9) diperoleh  s  y   s 

  s  hn  '  s  hn Eˆn  s   dy  y dy  2hn hn 2hn hn  ''  s  hn 2  '''  s  hn 3 y dy  y dy  4hn hn 12hn hn   4  s  hn 4 1 y dy  O    o  hn4  48hn hn n  ''  s  3   4   s  5    s  2hn  2 hn 12hn 240 hn 1  O    o  hn4  n 1 1  4 Eˆn  s     s    ''  s  hn2    s  hn4 6 120  o  hn4 

jika n  . Maka Teorema 1 terbukti.



(12) jika n  . b) Jika  memiliki turunan keempat berhingga pada s , maka   s   ''  s  hn Var ˆn  s     2nhn 12n





  4  s  hn3  h3   o n  240 n  n

1    s    ''  s  hn2  o  hn3  6 jika n  .

b) Jika λ memiliki turunan keempat berhingga di s dan nhn4   , maka

Jika  memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka   s   ''  s  hn  h2  Var ˆn  s    o n  2nhn 12n  n

(13) jika n  . Bukti : Ragam dari

( ) adalah

  1 Var ˆn  s   Var   N  s  k  hn ,  n k  2hn





s  k  hn    0, n 2 Var ˆn  s   2 2 4n hn









 Var  N  s  k  h , n

k 

s  k  hn   0, n  



(14) Karena untuk sebaran Poisson nilai harapan sama dengan ragam maka persamaan (14) menjadi 2  Var ˆn  s   2 2  E N  s  k  hn , 4n hn k 







s  k  hn   0, n  



    1 Var ˆn  s   N  s  k  hn , E   2nhn   n k  2 hn







s  k  hn    0, n  



  ˆ En  s   2nhn  (15)

a)

Jika  memiliki turunan ketiga berhingga pada s, dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke (15), maka   1 Var ˆn  s     s    ''  s  hn2 2nhn  6





 o  hn3  

memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka 1 Eˆn'  s    '  s    '''  s  hn2  o  hn2  3 (18) jika n  .

  s   ''  s  hn  h2    o n  2nhn 12 n  n jika n  . 

b) Jika  memiliki turunan keempat berhingga pada s, dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke (15), maka   1 Var ˆn  s     s    ''  s  hn2   2nhn  6





1  4    s  hn4  o  hn4   120 



Teorema 3 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ′( )) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn  0 , nhn3   untuk n   dan 

  s   ''  s  hn   4  s  hn3   2nhn 12n 240n

Bukti : Nilai harapan di ruas kiri (18) dapat dinyatakan sebagai berikut :  ˆ  s  hn   ˆn  s  hn   Eˆn '  s   E  n    2hn   1  ˆ  En  s  hn   Eˆn  s  hn  2hn  (19)

Maka Teorema 2 terbukti.

Kita ingat kembali persamaan (2), yaitu 1 Eˆn  s     s    ''  s  hn2  o  hn3  6 maka 1 E ˆn  s  hn     s  hn    ''  s  hn  hn2 6 3  o  hn 

Perumusan Penduga bagi  '  s  dan Sifat-

jika n  . dan

 h3   o n   n jika n  .

(20)

Sifat Statistikanya Jika ˆn  s  adalah penduga bagi   s  , maka penduga bagi  '  s  dapat dirumuskan sebagai berikut :

ˆ  s  hn   ˆn  s  hn  ˆn '  s   n 2hn

(16)

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka

' s 

  s  h    s  h  2h

(17)

1 E ˆn  s  hn     s  hn    ''  s  hn  hn2 6 3  o  hn 

(21) jika n  . Dengan menggunakan Deret Taylor maka diperoleh bahwa ' s  ''  s  2   s  hn     s   hn  hn  1! 2!  '''  s  3 hn  o  hn3  (22) 3! '''  s    ''  s  hn    ''  s   hn  o  hn  1! (23) ' s  ''  s  2   s  hn     s   hn  hn  1! 2!  '''  s  3 hn  o  hn3  (24) 3!

 ''  s  hn    ''  s  

 '''  s  hn  o  hn  1!

(25)

Dengan mensubstitusikan persamaan (22) dan (23) ke persamaan (20) maka didapatkan 2 Eˆn  s  hn     s    '  s  hn   ''  s  hn2 3 1 ''' 3    s  hn  o  hn3  3 (26) jika n  . Dan dengan mensubstitusikan persamaan (24) dan (25) ke persamaan (21) maka didapatkan 2 Eˆn  s  hn     s    '  s  hn   ''  s  hn2 3 1 ''' 3    s  hn  o  hn3  3 (27) jika n  . Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (27) ke persamaan (19) maka didapatkan 1 Eˆn'  s    '  s    '''  s  hn2  o  hn2  3 jika n  .

1 Var ˆn'  s  2 Var ˆn  s  hn  Var ˆn  s  hn  4hn 

















2Cov ˆn  s  hn  , ˆn  s  hn   

(29) Dari persamaan (1) yaitu   1 ˆn  s    N  s  k  hn , s  k  hn  n k  2hn 



 0, n  

Sehingga mengakibatkan:   1 ˆn  s  hn    N  s  k , s  k  2hn  n k  2hn 



 0, n 

dan

  1 ˆn  s  hn    N  s  k  2hn , s  k  n k  2 hn



 0, n 

Dari hn  0 jika n   maka untuk nilai n

yang

cukup

besar

selang

 s  k , s  k  2hn  dan  s  k  2hn , s  k  tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga dan N  s  k , s  k  2 hn  N  s  k  2 hn , s  k  adalah peubah acak

Maka Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ′( )) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn  0 , nhn3   untuk n   , dan  memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka   s   ''  s  1 Var ˆn '  s     o  4nhn 3 6 nhn n





(28)

bebas. Dengan demikian sehingga Cov ˆn  s  hn  , ˆn  s  hn   0 , persamaan (29) menjadi 1 Var ˆn '  s   2 Var ˆn  s  hn  4hn 

















 Var ˆn  s  hn    (30) Ingat kembali pernyataan (12), bahwa

  s   ''  s  hn  h2  Var ˆn  s    o n  2nhn 12n  n





jika n  .

jika n  . Sehingga menyebabkan :

Bukti : Var ˆn '  s  dapat ditentukan sebagai berikut.  ˆ  s  hn   ˆn  s  hn   Var ˆn'  s   Var  n    2hn  

  s  hn   ''  s  hn  hn Var ˆn  s  hn    2nhn 12n











 h2   o n   n 



(31)

jika n  . dan

  s  hn   ''  s  hn  hn Var ˆn  s  hn    2nhn 12n





 h2   o n   n 

Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn  0 , nhn4   untuk n   , dan  (32) jika n  . dengan mensubstitusikan (22) dan (23) ke (31) maka diperoleh

  s   '  s   ''  s  hn Var ˆn  s  hn     2 nhn 2n 3n







 '''  s  hn2  h2   o n  6n  n 

(33) jika n  . dengan mensubstitusikan (24) dan (25) ke (32) maka diperoleh   s   '  s   ''  s  hn Var ˆn  s  hn     2nhn 2n 3n







 '''  s  hn2  h2   o n  6n  n 

(34)

jika n  . dengan mensubstitusikan (33) dan (34) ke (30) maka   s   ''  s   1  Var ˆn '  s     o  4nhn 3 6nhn n jika n  .





Maka Teorema 4 terbukti.

Perumusan Penduga Bagi Sifat Statistikanya

′′

( ) dan Sifat-

Jika ˆn  s  adalah penduga bagi   s  , maka penduga bagi  ''  s  dapat dirumuskan sebagai berikut : ˆ  s  2hn   ˆn  s  2hn   2ˆn  s  ˆn ''  s   n 4hn2 (35) Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka  '  s  h   '  s  h  ''  s   2h   s  2 h     s  2 h   2  s   ''  s   4h 2 (36) Teorema 5 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆn ''  s  )

memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka 1 Eˆn''  s    ''  s     4  s  hn2  o  hn2  2 (37) jika n  . Bukti : Nilai harapan di ruas kiri (37) dapat dinyatakan sebagai berikut :  ˆ  s  2hn   ˆn  s  2hn   2ˆn  s   Eˆn''  s   E  n  4hn2   Eˆn ''  s  

1  ˆ En  s  2hn   Eˆn  s  2hn  4hn2   2Eˆn  s  

(38) Kita ingat kembali persamaan (3), yaitu 1 1  4 Eˆn  s     s    ''  s  hn2    s  hn4 6 120  o  hn4  jika n  . maka 1 Eˆn  s  2hn     s  2hn    ''  s  2 hn  hn2 6 1 4    s  2hn  hn4  o  hn4  120

(39) jika n  . dan 1 Eˆn  s  2hn     s  2hn    ''  s  2hn  hn2 6 1 4    s  2hn  hn4  o  hn4  120

(40) jika n  .

Dengan menggunakan Deret Taylor maka diperoleh bahwa

'  s  ''  s  2 2hn  4hn  1! 2!  '''  s  3   4  s  8hn  16hn 4  o  hn4  3! 4! (41) '''  4  s  s      ''  s  2hn    ''  s   2hn  4hn 2   s  2hn     s  

1!

2!

 o  hn2 

  4   s  2hn     4  s   o 1

(42) (43)

' s  ''  s  2 2hn  4hn  1! 2!  '''  s  3   4  s  8hn  16hn 4  o  hn4  3! 4! (44)

  s  2hn     s  

 ''  s  2hn    ''  s  

⟶ ∞.

jika

Maka Teorema 5 terbukti.

Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆn ''  s  ) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn  0 , nhn4   untuk n   , dan  memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka 3  s  15 ''  s  123  4  s  Var ˆn ''  s     16nhn5 96nhn3 1920nhn





 '''  s    4  s  2 2hn  4hn 1! 2!

 o  hn2 

  4   s  2hn     4  s   o 1

(45) (46)

Dengan mensubstitusikan persamaan (41), (42), dan (43) ke persamaan (39) maka didapatkan 13 Eˆn  s  2hn     s   2 '  s  hn   ''  s  hn2 6 5 ''' 121    s  hn3    4  s  hn4 3 120  o  hn4  (47) jika n  .

(49) jika n  . Bukti : Var ˆn ''  s  berikut.





dapat

(48) jika n  . Dengan mensubstitusikan persamaan (3), (47) dan (48) ke persamaan (38) maka didapatkan

ditentukan

sebagai

 ˆ  s  2h  ˆn  s  2h  2ˆn  s   Var ˆn''  s   Var  n  4hn2  







1  Var ˆn  s  2 hn   Var ˆn  s  2hn  16hn4 



    4Var  ˆ  s    2Cov  ˆ  s  2h  , ˆ  s  2h    4Cov  ˆ  s  2h  , ˆ  s    4Cov  ˆ  s  2h  , ˆ  s     n

n

Dengan mensubstitusikan persamaan (44), (45), dan (46) ke persamaan (40) maka didapatkan 13 Eˆn  s  2 hn     s   2 '  s  hn   ''  s  hn2 6 5 ''' 121    s  hn3    4   s  hn4 3 120  o  hn4 

1 4 Eˆn''  s    ''  s       s  hn2  o  hn2  2

 1   o   nhn 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

(50) Dari persamaan (1) yaitu   1 ˆn  s    N  s  k  hn , s  k  hn  n k  2 hn 



  0, n 

Sehingga menyebabkan   1 ˆn  s  2hn    N  s  k  hn , s  k  3hn  n k  2hn 



 0, n 

dan

  1 ˆn  s  2hn    N  s  k  3hn , s  k  hn  n k  2hn



  0, n 

dengan mensubstitusikan (41), (42), dan (43) ke (52) maka   s   '  s  13 ''  s  hn Var ˆn  s  2hn    





Dari hn  0 , jika n   maka untuk



nilai n yang cukup besar selang  s  k  hn , s  k  hn  ,

 s  k  hn , s  k  3hn   s  k  3hn , s  k  hn 

, dan







n

n

n

(50)

menjadi











Var ˆn  s  2hn   4Var ˆn  s   

(51) Ingat kembali pernyataan (13), bahwa   s   ''  s  hn Var ˆn  s     2 nhn 12 n





  4  s  hn3  h3   o n  240n  n jika n  . Sehingga menyebabkan:   s  2hn   ''  s  2 hn  hn Var ˆn  s  2hn   





2nhn





 4

12 n

3 n

 s  2hn  h 240n

 h3   o n  n 

(52) jika n  . dan   s  2hn   ''  s  2hn  hn Var ˆn  s  2hn    2nhn 12n







jika n  .

12 n

2 n

 4

5  s  h



121

 s  hn3

240n

(55) dengan mensubstitusikan (54), (55) dan (13) ke (51) maka







240 n

3  s  15 ''  s  123  4   s  Var ˆn ''  s     16nhn5 96nhn3 1920nhn

1  Var ˆn ''  s   Var ˆn  s  2hn   16 hn4 





n

6n  hn3   o  n 

Dengan demikian Cov ˆn  s  2hn  , ˆn  s  2hn   0 , n

2nhn

'''

N  s  k  3hn , s  k  hn  adalah bebas.

  Cov  ˆ  s  2h  , ˆ  s    0 , dan Cov  ˆ  s  2h  , ˆ  s    0 , sehingga

12 n

121  4   s  hn3

(54) dengan mensubstitusikan (44), (45), dan (46) ke (53) maka   s   '  s  13 ''  s  hn Var ˆn  s  2hn    

tidak saling

N  s  k  hn , s  k  3hn  , dan

n

n

5 '''  s  hn2

6n  hn3   o   n

tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N  s  k  hn , s  k  hn 

n

2nhn

  4  s  2hn  hn3  h3   o n  240n  n (53)



 1   o   nhn 

jika n  . Sehingga Teorema 6 terbukti.

Simulasi

memiliki nilai  '  s  yang besar. Selain itu,

Untuk mengecek kebenaran teori yang telah dikaji serta untuk melihat perilaku penduga-penduga yang dikaji untuk ukuran sampel yang terbatas, dilakukan simulasi komputer dengan menggunakan pemrograman-R. Dalam simulasi ini mengambil fungsi intensitas lokal   2 s     s   2exp  cos    5  

(56) Data realisasi proses Poisson periodik dibangkitkan pada interval 0, n  , untuk n  1000 . Grafik fungsi (56) dapat dilihat pada Gambar 1.

dipilih n = 1000 dan menggunakan MSE yang bandwidth hn optimal dari n'  s diperoleh  minimum. Dengan menggunakan penduga fungsi intensitas yang didefinisikan pada persamaan (1) dan berdasarkan Teorema 3 dan 4, aproksimasi asimtotik dari bias dan ragam pendugaan turunan pertama bagi fungsi intensitas adalah sebagai berikut : 1 Bias ˆn'  s    '''  s  hn2  o  hn2  3 (58) dan





  s   ''  s  1 Var ˆn '  s     o  4nhn 3 6nhn n





(59) jika ⟶ ∞. sehingga



 



MSE ˆn '  s   Bias ˆn '  s 



2

2



 Var ˆn '  s 



''

1    s    s     '''  s  hn    3 6nhn 3  4nhn

(60)

Gambar 1. Grafik (s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.8

Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Pertama Turunan pertama dari fungsi (56) yaitu 4   2 s    2 s   '  s     exp  cos    sin   5  5   5  

(57) '  s Fungsi intensitas   periodik dengan periode 5, maka untuk menduga  '  s  pada s   0,   , kita cukup memperhatikan nilainilai  '  s  pada s   0,5 . Pada simulasi untuk bias dan ragam turunan pertama digunakan 3 titik s, yaitu s = 0.8 yang memiliki nilai

 '  s  yang kecil, s = 2 yang memiliki nilai  '  s  yang sedang dan s = 4.1 yang

Untuk memperoleh nilai hn optimum maka dilakukan minimisasi persamaan (60) terhadap hn, kemudian dievaluasi saat turunan pertama bernilai nol. Sehingga diperoleh 2  ''  s  2 3  s  4 '''   s   hn7  hn  0  9 6n 4n (61) Hasil Simulasi : (i). Untuk s = 0.8, maka   s   3.4177  '''  s   10.8322

 '  s   3.6243  (4)  s   27.5414  ''  s   0.9546 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (61) diperoleh hn=0.3053 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (58) dan (59) diperoleh aproksimasi bias dan ragam dari penduga turunan pertama, yaitu :





ragam dari penduga turunan pertama, yaitu : Bias ˆn '  s   0.1091

Bias ˆn '  s   0.3366 dan







Var ˆn '  s   0.1527

dan

Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ '  s   0.3544





n

dan















Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ '  s   0.1024



n

dan

Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut : ˆ Bias ˆ '  s   Bias ˆ '  s   0.0178 n



Var ˆn'  s   0.0180





ˆ ˆ '  s   0.1516 Var n







n



ˆ ˆ '  s   0.0011 Var ˆn '  s   Var n

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 4) dapat dilihat pada Gambar 2.





ˆ ˆ '  s   0.0177 Var n

Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut : ˆ Bias ˆ '  s   Bias ˆ '  s   0.0067







n









n



ˆ ˆ '  s   0.0003 Var ˆn '  s   Var n

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 4) dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 2. Grafik ’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.3053

(ii). Untuk s = 2, maka   s   0.8906  '''  s   1.8385

 '  s   0.6575  ( 4)  s   3.4773  ''  s   1.62199 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (61) diperoleh hn=0.4220 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (58) dan (59) diperoleh aproksimasi bias dan

Gambar 3. Grafik ’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.4220

(iii).Untuk s = 4.1, maka

  s   3.0616

 '''  s   8.0061

 '  s   3.4794

 ( 4)  s   28.3922

 ''  s   1.8978 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (61) diperoleh hn=0.2612 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (58)

dan (59) diperoleh aproksimasi bias dan ragam dari penduga turunan pertama, yaitu : Bias ˆ '  s   0.2872

Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Kedua

dan

 ''  s  





n



Turunan kedua dari fungsi (56) yaitu



Var ˆn '  s   0.1132

Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ '  s   0.2829





n

dan



Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut : ˆ Bias ˆ '  s   Bias ˆ '  s   0.0043





n









n



ˆ ˆ  s   0.0068 Var ˆn  s   Var n '

 2 s   cos    5 

(62) '' Fungsi intensitas   s  periodik dengan '' periode 5, maka untuk menduga   s  pada s   0,   , kita cukup memperhatikan nilai-

nilai  ''  s  pada s   0,5 . Pada simulasi untuk bias dan ragam turunan kedua digunakan 3 titik s, yaitu s = 3.9 yang memiliki nilai  ''  s  yang besar, s = 4.5 yang memiliki nilai  ''  s  yang sedang dan s = 4.9 yang



ˆ ˆ '  s   0.1064 Var n



8 2   2 s    2  2 s   exp  cos    sin   25  5    5  

'

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 4) dapat dilihat pada Gambar 4.

memiliki nilai  ''  s  yang kecil. Selain itu, dipilih n = 1000 dan menggunakan bandwidth hn optimal yang diperoleh dari MSE  n ''  s   minimum Dengan menggunakan penduga fungsi intensitas yang didefinisikan pada persamaan (1) dan berdasarkan Teorema 3 dan 4, aproksimasi asimtotik dari bias dan ragam pendugaan turunan kedua bagi fungsi intensitas adalah sebagai berikut : 1 Bias ˆn ''  s     4  s  hn 2  o  hn 2  (63) 2 dan





3  s  15 ''  s  123    s  Var ˆn''  s     16nhn5 96nhn3 1920nhn 4





 1   o   nhn 

(64)

jika n  .



 



MSE ˆn''  s   Bias ˆn''  s  Gambar 4. Grafik ’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.2612

Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik untuk bias dan ragam penduga turunan pertama fungsi intensitas Poisson periodik relatif dekat dengan hasil simulasi komputer.



2



 Var ˆn ''  s 



2

1  3  s      4  s  hn2   5 2  16nhn 

15 ''  s  123  4  s   96nhn3 1920nhn

(65)

Untuk memperoleh nilai hn optimum maka dilakukan minimisasi persamaan (60) terhadap hn , kemudian dievaluasi saat turunan pertama bernilai nol. Sehingga diperoleh

     s 4



2

hn9 

123  4  s  1920n

hn4 

45 ''  s  96n

hn2

15  s  0 16n

(66) Hasil Simulasi : (i) Untuk s = 3.9, maka   s   2.4122  '''  s   2.8040

 '  s   2.9760

 (4)  s   22.3349

 ''  s   2.9586 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (66) diperoleh hn=0.3065 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (63) dan (64) diperoleh aproksimasi bias dan ragam dari penduga turunan kedua, yaitu: Bias ˆ ''  s   1.0491





n

dan





Var ˆn ''  s   0.893

Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ ''  s   0.9486





n

dan





ˆ ˆ ''  s   0.8664 Var n

Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut : ˆ Bias ˆ ''  s   Bias ˆ ''  s   0.1003







n









n



ˆ ˆ ''  s   0.027 Var ˆn ''  s   Var n

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 5) dapat dilihat pada Gambar 5.

Gambar 5. Grafik ’’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.3065

(ii) Untuk s = 4.5, maka   s   4.4914  '''  s   16.1191

 '  s   3.3158

 ( 4)  s   1.8679

 ''  s   3.2842 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (66) diperoleh hn=0.5589 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (63) dan (64) diperoleh aproksimasi bias dan ragam dari penduga turunan kedua, yaitu: Bias ˆ ''  s   0.2917





n

dan





Var ˆn ''  s   0.0614

Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ ''  s   0.6881





n

dan





ˆ ˆ ''  s   0.0635 Var n

Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut : ˆ Bias ˆ ''  s   Bias ˆ ''  s   0.9799







n









n



ˆ ˆ  s   0.0021 Var ˆn  s   Var n ''

''

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 5) dapat dilihat pada Gambar 6.

Perbandingan hasil aproksimasi asimtotik dengan hasil simulasi sebagai berikut: ˆ Bias ˆ ''  s   Bias ˆ ''  s   0.3762







n









n



ˆ ˆ ''  s   0.2312 Var ˆn''  s   Var n

Dengan menggunakan pemrograman - R (Lampiran 5) dapat dilihat pada Gambar 7.

Gambar 6. Grafik ’’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.5589

(iii) Untuk s = 4.9, maka

  s   5.3939

 '''  s   5.3052

 '  s   0.8491

 (4)  s   50.8594

''

  s   8.3083 Dengan n = 1000 dan  = 5 serta mensubstitusi ke (66) diperoleh hn=0.2747 sebagai bandwidth optimal. Dengan menggunakan persamaan (63) dan (64) diperoleh aproksimasi bias dan ragam dari penduga turunan kedua, yaitu: Bias ˆ ''  s   1.9189





n

dan





Var ˆn ''  s   3.2608

Dengan pemrograman-R dilakukan simulasi untuk membangkitkan M =1000 kali proses Poisson periodik yang saling bebas yang diamati pada interval [0,1000] dan menggunakan persamaan (56) sebagai fungsi intensitas. Hasil yang diperoleh yaitu ˆ Bias ˆ ''  s   1.5786





n

dan





ˆ ˆ ''  s   2.7489 Var n

Gambar 7. Grafik ’’(s) dan penduganya pada [0,5] dengan bandwidth 0.2747

Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik untuk ragam penduga turunan kedua fungsi intensitas Poisson periodik relatif dekat dengan hasil simulasi. Namun secara umum hasil aproksimasi asimtotik untuk biasnya relatif jauh dengan hasil simulasi.

KESIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk merumuskan penduga turunan pertama dan turunan kedua suatu fungsi intensitas proses Poisson periodik. Untuk tujuan ini terlebih dahulu ditentukan penduga bagi fungsi intensitas lokal  pada titik s   dari proses Poisson periodik dengan periode  (diketahui) yang diamati pada interval [0,n] yang dirumuskan sebagai berikut :   1 ˆn  s    N  s  k  hn , s  k  hn  n k  2hn 



 0, n 

Dari penduga di atas, kemudian diturunkan penduga bagi ′( ) yang dirumuskan sebagai: ˆ  s  hn   ˆn  s  hn  ˆn '  s   n 2hn Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan ( ) yang dirumuskan lagi penduga bagi sebagai : ˆ  s  2hn   ˆn  s  2hn   2ˆn  s  ˆn ''  s   n 4hn2 Pada ketiga penduga di atas, ℎ disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat-sifat statistika penduga turunan pertama dan turunan kedua.

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa : (i). Penduga ′ ( ) merupakan penduga tak bias asimtotik bagi ′( ). (ii). (iii). (iv).

1 Eˆn'  s    '  s    '''  s  hn2  o  hn2  3   s    ''  s   o  1  Var ˆn '  s     4nhn 3 6nhn n





( ) merupakan penduga Penduga tak bias asimtotik bagi ( ).

1 Eˆn''  s    ''  s     4   s  hn2  o  hn2  2 3  s  15 ''  s  '' ˆ (vi). Var n  s     16nhn5 96nhn3

(v).





123    s   1   o  1920nhn  nhn  (vii). Hasil aproksimasi asimtotik untuk bias dan ragam penduga turunan pertama fungsi intensitas Poisson periodik relatif dekat dengan hasil simulasi komputer. 4

(viii). Hasil aproksimasi asimtotik untuk ragam penduga turunan kedua fungsi intensitas Poisson periodik relatif dekat dengan hasil simulasi. Namun secara umum hasil aproksimasi asimtotik untuk biasnya relatif jauh dengan hasil simulasi.

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Cressie NAC. 1993. Statistic for Spatial Data. Revised Edition. Wiley. New York. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret R. 1996. Probability : Theory and Examples. Ed. Ke-2. Duxbury Press. New York. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Hogg RV, Graig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph. D. Thesis). University of Amsterdam, Amsterdam. Ross SM. 2007. Introduction to Probability Model. Ed. Ke-9. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John Wiley & Sons. New York. Taylor HM, Karlin S. 1984. An Introduction to Stochastic Modelling. Academic Press, Inc. Orlando, Florida. Wheeden RL, Zygmund A. 1997. Measure and Integral : An Introduction to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.

LAMPIRAN

Lampiran 1. Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2. Maka X + Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ1 + λ2. (Taylor and Karlin 1984) Bukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan 

P  X  Y  n   P  X  k ,Y  n  k  k 0 

  P  X  k  P Y  n  k 

(X dan Y saling bebas)

k 0    k e   1   2n k e   2    1   k !   (n  k )!  k 0  e  1 e 2  n!  1k 2n  k  n ! k 0 k !( n  k )!

(1) Ingat, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan, untuk setiap integer positif n,  n n  1  2     1k 2nk k 0  k   n!  1k 2n  k k 0 k !(n  k )! (2) Sehingga dengan mensubstitusikan (2) ke (1) kita peroleh ruas kanan (1) adalah

e  ( 1 2 ) n  1  2  . n! (3) Bentuk (3) di atas adalah fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter (λ1 + λ2). Maka Lema 1 terbukti.

Lampiran 2. Pembuktian Lema 3 Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ dan ragam σ2, maka untuk setiap k > 0, P X    k  

2 . k2 (1) (Ross 2007)

Bukti : Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan E(X) terbatas, maka untuk setiap a > 0, P  X  a 

E X a

. (2)

Bukti : Misalkan A   X  a maka | | ≥ ,  1, jika X  a dengan adalah fungsi indicator dari A, yaitu : I A   . 0, jika X  a Jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh E X  E  aI A   aEI A  aP  X  a  .

Sehingga diperoleh P  X  a  

E X a

.

Jadi Lema 4 terbukti. Selanjutnya dengan Pertidaksaman Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktikan Lema 3.

 X     k  E  X      2

P X    k   P

2

k2

2



Jadi Lema 3 terbukti.

 . k2

2

Lampiran 3. Program Penentuan Gambar (s) Random<-function(n,tau) { maxlambda<-5.5 LAB<-(maxlambda)*n N<-rpois(1,LAB) points<-runif(N,0,n) lambda<-2*exp(cos((2*pi*points)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-0.00001 p[p>=1]<-0.99999 hold<-rbinom(N,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) } # Membangkitkan proses Poisson tak homogen dengan n = 1000 dan tau = 5

Lampiran 3. (Lanjutan) Duga<-function(Data,n,titik,band,tau) { K<-floor((n-titik)/tau) vdt<-1:K for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-Data[Data>=bawah&Data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*band) } Dugaan<-(sum(vdt)*tau)/n return(Dugaan) } Penduga<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] yduga[k]<-Duga(Data,n,titik1,band,tau) } return(yduga) } Gambar<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue<-2*exp(cos((2*pi*x)/tau)) plot(x,ytrue,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="o",col=6) } # Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth 0.8. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga<-Penduga(Data,n,a,b,band,tau) Gambar1<-Gambar(a,b,tau)

Lampiran 4. Program Penentuan Gambar ’(s) Penduga_tp<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga_tp<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tp) for(k in 1:K) { titik2<-x[k]+band titik3<-x[k]-band duga1<-Duga(Data,n,titik2,band,tau) duga2<-Duga(Data,n,titik3,band,tau) yduga_tp[k]<-((duga1-duga2)/(2*band)) } return(yduga_tp) } Grafik<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue_tp<-(-4*exp(cos((2*pi*x)/tau))*pi*sin((2*pi*x)/tau))/tau plot(x,ytrue_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="o",col=6) }

# Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas dan bandwidth 0.3053, 0.4220, dan 0.2612. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tp<-Penduga_tp(Data,n,a,b,band,tau) Gambar2<-Grafik(a,b,tau)

Lampiran 5. Program Penentuan Gambar ’’(s) Penduga_tk<-function(Data,n,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga_tk<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga_tk) for(k in 1:K) { titik4<-x[k]+(2*band) titik5<-x[k]-(2*band) titik6<-x[k] duga3<-Duga(Data,n,titik4,band,tau) duga4<-Duga(Data,n,titik5,band,tau) duga5<-Duga(Data,n,titik6,band,tau) yduga_tk[k]<-((duga3+duga4-(2*duga5))/(4*(band)^2)) } return(yduga_tk) } Kurva<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue_tk<-((8*pi^2* exp(cos((2*pi*x)/tau))* sin((2*pi*x)/tau)^2)/(tau^2))-( 8*pi^2* exp(cos((2*pi*x)/tau))* cos((2*pi*x)/tau))/(tau^2) plot(x,ytrue_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="o",col=6) }

# Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya vs fungsi dugaan dengan a,b adalah batas bawah dan batas atas serta bandwidth 0.3065, 0.5589, dan 0.2747. # Untuk me-run program: Data<-Random(n,tau) yduga_tk<-Penduga_tk(Data,n,a,b,band,tau) Gambar3<-Kurva(a,b,tau)

Lampiran 6. Program Penentuan Nilai Harapan dan Ragam Turunan Pertama dan Kedua Penduga<-function(n,titik,band,tau,M) { Dugaan<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Random(n,tau) Dugaan[m]<-Duga(Data,n,titik,band,tau) } return(Dugaan) } Penduga1<-function(n,titik,band,tau,M) { titik1<-titik+band titik2<-titik-band Dugaan_Turunan1<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan1<-Duga(Data,n,titik1,band,tau) Dugaan2<-Duga(Data,n,titik2,band,tau) Dugaan_Turunan1[m]<-((Dugaan1-Dugaan2)/(2*band)) } return(Dugaan_Turunan1) } Penduga2<-function(n,titik,band,tau,M) { titik3<-titik+(2*band) titik4<-titik-(2*band) Dugaan_Turunan2<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Rpnh(n,tau) Dugaan<-Duga(Data,n,titik,band,tau) Dugaan3<-Duga(Data,n,titik3,band,tau) Dugaan4<-Duga(Data,n,titik4,band,tau) Dugaan_Turunan2[m]<-((Dugaan3+Dugaan4-(2*Dugaan))/(4*(band)^2)) } return(Dugaan_Turunan2) }

# Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan pertama dengan nilai s = 0.8, s = 2 dan s = 4.1 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan1<-Penduga1(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan1<-mean(Dugaan_Turunan1) Ragam1<-(sd(Dugaan_Turunan1))^2 # Untuk mencari nilai harapan dan ragam turunan kedua dengan nilai s = 3.9, s = 4.1 dan s = 4.9 dengan nilai bandwidth-nya masing-masing. Dugaan_Turunan2<-Penduga2(n,titik,band,tau,M) Nilai_Harapan2<-mean(Dugaan_Turunan2) Ragam2<-(sd(Dugaan_Turunan2))^2