Telkom University
Ekstremum relatif dan absolut Titik kritis Uji turunan pertama Uji turunan kedua
RELATIF
ABSOLUT
Jk suatu fungsi y=f(x) didefinisikan pd interval (b,c) yg memuat x=x0, a. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif (lokal) pd x=x0 jk f(x0)≥f(x) utk semua x dlm interval (b,c) b. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai minimum relatif (lokal) pd x=x0 jk f(x0)≤f(x) utk semua x dlm interval (b,c)
Jk suatu fungsi y=f(x) didefinisikan pd interval [b,c] yg memuat x=x0, a. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai maksimum absolut (global) pd x=x0 jk f(x0)>f(x) utk semua x dlm interval [b,c] b. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai minimum absolut (global) pd x=x0 jk f(x0)
Jenis titik kritis 1.
Titik ujung selang tertutup
2.
Titik stasioner f ’(x)=0
3.
Titik singular f ’(x) tidak terdefinisi
Tentukan titik kritis dari 1. f(x)=2x2–4x+5 dimana 2≤x ≤8 2. f(x)=ln x
Langkah-langkah pengujian: 1. Cari nilai x=x0 yang memenuhi f ’(x)=0 2. Selidiki perubahan nilai di sekitar x0 a. Jk f ’(x) berubah dari positif (sebelah kanan x0)
menjadi negatif (sebelah kiri x0) mk x0 titik maksimum relatif b. Jk f ’(x) berubah dari negatif (sebelah kanan x0) menjadi positif (sebelah kiri x0) mk x0 titik minimum relatif c. Jk f ’(x) mempunyai tanda yg sama (sebelah kanan dan sebelah kiri x0) mk x0 bukan titik maksimum/maksimum relatif
Tentukan nilai ekstrim relatif dari f(x)=x3–12x2+36x+8
Langkah-langkah pengujian: 1. Cari nilai x=x0 yang memenuhi f ’(x)=0 2. Substitusikan nilai x0 ke dalam turunan kedua: a. Jk f ’’(x)<0 mk x0 titik maksimum relatif b. Jk f ’’(x)>0 mk x0 titik minimum relatif c. Jk f ’’(x)=0 mk tidak dapat disimpulkan apa-apa
Tentukan nilai ekstrim relatif dari f(x)=-x2+12x+2
1.
Tentukan titik kritis dan nilai maksimum/minimum absolut dari a. f(x)=-x2+8x–100 b.
c. d. e.
dmn -2≤x ≤4 f(x)=x3+10 dmn 1≤x ≤5 f(x)=-4x2+6x dmn 0≤x ≤10 f(x)=-2x3–15x2+10 dmn -6≤x ≤2 f(x)=x3/3–x2/2–6x dmn 0≤x ≤5
2.
Gunakanlah Uji Turunan Kedua utk menyelidiki apakah fungsi berikut mempunyai maksimum/minimum relatif a. f(x)=x2–4x+3 b. f(x)=x3–6x2+9x+5 c. f(x)=x4–2x2 +6 d. f(x)=3x2–6x+10
e. f(x)=x4–4x3+4x2
Elastisitas permintaan dan penawaran Analisis keuntungan maksimum Pendekatan marjinal
Definisi: koefisien yg menjelaskan besarnya perubahan jml brg yg diminta akibat adanya perubahan harga Misalkan fungsi permintaan Qd=f(P) maka elastisitas permintaannya:
ηd = Q’d.P/Qd
Jenis elastisitas permintaan:
|ηd|>1 |ηd|=1 |ηd|<1 |ηd|=∞ |ηd|=0 harga
permintaan di titik itu elastis thd harga permintaan di titik itu uniter thd harga permintaan di titik itu tdk elastis thd harga permintaan di titik itu elastis sempurna thd harga permintaan di titik itu tdk elastis sempurna thd
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=253P2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P=5!
Jawab ηd = Q’d.P/Qd = (-6P).P/(25-3P2) = -6P2/(25-3P2) Pada P=5 maka
ηd
= -6(5)2/(25-3(5)2) =3
Karena |ηd|=3>1, maka permintaan pd P=5 elastik (jk harga naik/turun sebesar 1% mk jml brg yg diminta akan berkurang/bertambah sebanyak 3%)
Definisi: koefisien yg menjelaskan besarnya perubahan jml brg yg ditawarkan akibat adanya perubahan harga Misalkan fungsi permintaan Qs=f(P) maka elastisitas permintaannya:
ηs = Q’s.P/Qs
Jenis elastisitas permintaan:
|ηs|>1 |ηs|=1 |ηs|<1 |ηs|=∞ |ηs|=0 harga
penawaran di titik itu elastis thd harga penawaran di titik itu uniter thd harga penawaran di titik itu tdk elastis thd harga penawaran di titik itu elastis sempurna thd harga penawaran di titik itu tdk elastis sempurna thd
Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs=-200+7P2. Tentukan elastisitas penawarannya pada tingkat harga P=10 dan P=15! Jawab ηs = Q’s.P/Qs = (14P).P/(-200+7P2) = 14P2/(-200+7P2) Pada P=10 maka Pada P=15 maka
ηs = 14(10)2/(-200+7(10)2) = 2,8 ηs = 14(15)2/(-200+7(15)2) = 2,3
Definisi: biaya tambahan yg dikeluarkan utk menghasilkan satu unit tambahan produk Fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total MC=TC’ Keterangan: MC biaya marjinal TC biaya total
Jk suatu perusahaan manufaktur ingin menghasilkan suatu produk, dimana fungsi biaya totalnya TC=0.1Q3–18Q2+1700Q+34000 a. Tentukan fungsi biaya marjinal! b. Berapakah jml produk yg dihasilkan agar biaya marjinal minimum? c. Berapakah nilai biaya marjinal minimum tsb?
Definisi: penerimaan tambahan yg dikeluarkan utk satu unit tambahan produk yg terjual Fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total MR=R’ Keterangan: MR penerimaan marjinal R penerimaan total
Analisis keuntungan: π = R – C
π optimum jk π’ (R – C)’ R’ – C’ MR – MC
=0 =0 =0 =0
Jk π’’<0 mk π maksimum (keuntungan maksimum) Jk π’’>0 mk π minimum (kerugian maksimum)
Jk diketahui fungsi permintaan dr suatu perusahaan P=557–0.2Q dan TC=0.05Q3–0.2Q2+17Q+7000, maka a. Berapakah jml output yg hrs dijual spy produsen memperoleh laba yg maksimum? b. Berapakah laba maksimum tersebut? c. Berapakah harga jual per unit? d. Berapakah biaya total yg dikeluarkan oleh perusahaan? e. Berapakah penerimaan total yg diperoleh dr perusahaan?
