4. TURUNAN
1
4.1 Konsep Turunan 4.1.1 Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
f ( x ) f (c ) xc
f(x)
Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan
f(c)
mPQ
f(x) f(c) m lim x c xc
Q f(x)-f(c) P x-c c
x
2
b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu
Perubahan posisi
c
f(c)
c+h
f(c+h)
s
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah vrata rata
f (c h ) f (c ) h 3
Jika h
0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : v lim v rata rata lim h 0
h 0
f (c h ) f (c ) h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
f(x) f(c) v lim x c xc Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c ) didefinisikan
f(x) f(c) f ' (c) lim x c xc bila limit diatas ada sebagai berikut:
4
Notasi lain : df ( c ) , y' (c ) dx
Contoh : Diketahui f ( x ) 1 tentukan f ' (3) x
f'( 3 ) lim
x 3
f(x) f( 3 ) x3
lim
x
3
1 1 x 3 x 3
( x 3) 3 x lim lim x 3 3 x(x 3 ) x 3 3 x(x 3 )
1 1 lim x 3 3 x 9 5
4.1.2 Turunan Sepihak Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ( x ) f (c ) f ( c ) lim xc xc '
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f(x) f(c) f (c) lim xc xc '
bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika f ' ( c ) f ' ( c ) dan f ' ( c ) f _' ( c ) f ' ( c )
f ' (c )
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c. 6
Contoh : Diketahui
x2 x 3 , x 1 f ( x) 1 2 x , x 1
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab : a.
2 x x 3 (1 2 1) f ( x ) f ( 1 ) f ' (1) lim lim x 1 x 1 x 1 x1
x2 x x( x 1) lim lim 1 x 1 x1 x 1 x 1 1 2 x (1 2 1) f ( x ) f (1) f ' (1) lim lim x 1 x 1 x1 x 1 x 1 2 x 2 2 lim 1 lim x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1
b.
Jadi, f diferensiabel di x=1.
dan f ' (1) 1 . 7
Contoh : Diketahui
x2 x 3 , x 1 f ( x) 2 x 2 , x 1
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab : a.
f ( x ) f (1) f ' (1) lim x 1 x1
x 2 x 3 (1 2) lim x 1 x 1
x2 x x( x 1) lim lim 1 x 1 x1 x 1 x 1 2 x 2 (1 2) f ( x ) f (1) ' f (1) lim lim x 1 x 1 x1 x 1 x 2 1 lim(x 1)(x 1) 2 lim x1 x 1 x1 x 1
b.
karena f ' (1) f ' (1) f tidak diferensiabel di x=1 8
Soal Latihan 1. Apakah fungsi
x2 x 3 , x 1 f ( x) 2 x x 2 , x 1
2. Apakah fungsi
f ( x ) x (| x | 1)
3. Apakah fungsi
x2 1 , x 2 f ( x) 2 x 1 , x 2
4. Apakah fungsi
diferensiabel di x = 1?
diferensiabel di setiap bilangan real x ? diferensiabel di x = 2?
f ( x ) x 2 (| x 1 | 3) diferensiabel di setiap bilangan real x ?
9
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
lim f ( x ) f ( c )
x c
Perhatikan bahwa
Maka
f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) .( x c ) , x c xc
f ( x ) f (c ) lim f ( x ) lim f ( c ) ( x c) xc xc xc f ( x ) f (c ) lim f ( c ) lim . lim ( x c ) xc xc xc xc f ( c ) f ' ( c ). 0
= f(c).
Terbukti.
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
10
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
x , x0 f ( x) | x | x , x 0
f(0) = 0
lim f ( x ) lim x 0
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x) 0
x 0
lim f ( x) 0 x 0
x 0
lim f ( x ) f ( 0 ) x 0
f kontinu di x=0 11
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
f ' ( 0 ) lim
x0
f ' ( 0 )
f ( x ) f (0) x0
f ( x ) f (0) lim x0 x0
x0 x lim lim 1 x 0 x 0 x x x 0 x lim lim 1 . x 0 x 0 x x
Karena 1 f ' ( 0 ) f ' ( 0 ) 1 maka f tidak diferensiabel di 0.
12
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Fungsi Turunan Pertama Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis f ' ( x ), didefinisikan sebagai f (t ) f ( x ) f '( x ) lim , x t x tx atau jika h=t-x f ( x h) f ( x) f '( x ) lim , x h0 h bila limitnya ada.
dy df ( x ) , D x y , D x f ( x ) , bentuk dy dikenal Notasi lain y ' , , dx dx dx sebagai notasi Leibniz. 13
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. Jika f (x)=k, maka
f ' ( x) 0
r d x 2. r x r 1 ; r R dx 3. d f(x) g(x) f ' (x) g ' (x) dx
4.
d f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) dx
5.
d f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) dengan g(x) 0. 2 dx g ( x) 14
Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari Jawab :
f ( x) x 3 3x 2 4
f ' ( x ) 3 x 2 3 .2 x 0 3 x 2 6 x 2. Tentukan turunan pertama dari Jawab :
f ( x) ( x 3 1)( x 2 2 x 3)
f ' ( x) 3 x 2 ( x 2 2 x 3) ( x 3 1)(2 x 2)
3x 4 6 x 3 9 x 2 2 x 4 2 x 3 2 x 2
5x 4 8x3 9 x 2 2 x 2 x3
3.Tentukan turunan pertama dari f ( x ) 2 x 1 Jawab : f'( x )
1 .( x 2 1 ) 2 x( x 3 ) ( x 1) 2
2
x2 1 6x 2x2 ( x 1) 2
2
x 2 6x 1 ( x 1) 2
2
.
15
Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1. 2.
f ( x) x1 / 2 3 x 2 1 f ( x) ( x 1) ( x 3 2 x 1)
3.
x 1 f ( x) x 1
4.
x f ( x) 2 x 1
5.
x2 1 f ( x) 2 x 1 16
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus a . f ( x ) sin x f ' ( x ) cos x b. f ( x ) cos x f ' ( x ) sin x Bukti: a. Misal f(x) = sin x maka
f ' ( x ) lim
t x
sin t sin x t x
lim cos( t x
tx ). lim tx 2 0 2
t x t x 2 cos sin 2 2 lim t x tx
tx ) 2 tx ( ) 2
sin(
cos x.1 cos x.
MA1114 Kalkulus I
17
b. Misal f(x) = cos x maka
cos( x h ) cos x f ' ( x ) lim h 0 h cos x(cosh 1) sin x sinh h 0 h
lim
h cos x ( sin 2 )h 2 sin x sinh ) lim( h 0 h (h / 2) 2 4
cos x cosh sin x sinh cos x lim h 0 h h cos x( sin 2 ) 2 sin x sinh lim h 0 h h 2
sinh sin(h / 2) h cos x lim sin x lim ( h / 2 ) 0 h 0 h h/2 4
cos x .0 sin x sin x
18
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
d tan x d sin x cos x cos 2 x sin 2 x c. 2 cos x dx dx
d cot x d cos x sin x sin 2 x cos 2 x d. dx dx sin 2 x
d sec x d 1cos x sin x e. 2 cos x dx dx
1 cos 2 x
1 sin 2 x
sin x 1 cos x cos x
d csc x d 1sin x cos x cos x 1 2 f. sin x sin x sin x dx dx
sec 2 x
csc 2 x
tan x sec x
csc x cot x
19
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka du dx dy dy du dx
du dx
dy 2 Contoh : Tentukan dari y sin( x 1) dx Jawab : Misal u x 2 1sehingga bentuk diatas menjadi
y sin u
Karena
dy cos u dan du
du 2x dx
maka
dy cos( x 2 1) 2 x 2 x cos( x 2 1) dx
MA1114 Kalkulus I
20
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dy du dv , , ada, maka du dv dx
dy dy du dv dx du dv dx
Contoh : Tentukan Jawab : Misal
dy dx
4 3 dari y Sin ( x 5)
v x 5 3
u = Sin v
y u4 sehingga
dv 3 x2 dx du cos v cos( x 3 5) dv dy 4 u 3 4 Sin 3 ( x 3 5) du
dy dy du dv . . 12 x 2 Sin 3 ( x 3 5) Cos ( x 3 5) dx du dv dx 21
Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari
1. 2. 3. 4. 5.
x2 y x 1
y 2 x 310 y sin 3 x
y cos 4 4 x 2 x x 1 y x 1
2
22
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f
(n)
d ( x) f dx
Turunan kedua Turunan ketiga
Turunan ke-n
( x)
df x f ' (x ) dx
Turunan pertama
( n 1)
d 2 f x f " ( x) dx 2
d 3 f x f " ' ( x) dxn 3
d f x f ( x) dx n Contoh : Tentukan y ' ' dari y 4 x 3 sin x n
Jawab :
y ' 12 x 2 cos x
maka y' ' 24 x sin x 23
Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari 1. 2.
2 y x 1 y 2 x 3 4
3.
x y x 1
4.
y cos2 x
5.
y sin 2x 1
24
4.6 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Contoh :
1. x 3 y 2 x 2 y 10
2. sin( xy ) x 2 y 2 1
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
25
Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut 1. x 3 y 2 x 2 y 10
2. y sin x x 2 y 2 1
Jawab: 1. Dx ( x 3 y 2 x 2 y ) Dx (10) D x ( x 3 y 2 ) D x ( x 2 ) D x ( y ) D x (10)
(3 x 2 y 2 2 x 3 y y ' ) 2 x y ' 0 (2 x 3 y 1) y ' 2 x 3x 2 y 2 2 x 3x 2 y 2 y' 2x3 y 1 2. Dx ( y sin x x 2 ) Dx ( y 2 1)
y ' sin x y cos x 2 x 2 yy '0 y ' (sin x 2 y ) 2 x y cos x y'
2 x y cos x sin x 2 y
26
Soal Latihan ' Tentukan turunan pertama ( y ) dari bentuk implisit 1.
x 3 3x 2 y y 2 0
2.
y sin xy 1
3. tan ( x y ) - 2 y = 0 4.
x 2 sin y y 2 x
27
4.7 Garis singgung dan garis normal
Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah y – y0 = m( x – x0 ).
Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
1 y y 0 ( x x 0 ). m 28
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi Jawab :
y x3 2 x 2 6
di (2,6).
y ' 3 x 2 4 x y ' ( 2,6 ) 3 .2 2 4 .2 4
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
y 6 4( x 2) y 4x 2 Persamaan garis normal dititik (2,6) :
1 1 1 y 6 ( x 2) y 6 x 4 4 2 y
1 13 x . 4 2
29
Soal Latihan 1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
x 2 y xy 3 2 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,1)
2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
x 2 y 2 2 xy y 10 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,2)
30
