A. KONSEP DASAR TURUNAN

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2

MODUL DERIVATIF

A. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x  0. y Jika y = f ( x ), maka y = f x

( xo +

∆x ) - f ( xo )

x

y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y = f (x) = limy/x = lim x  0

x  0

f (x + x) – f (x) x

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0 Contoh : y = 5 maka y’ = 0 2. Diferensiasi fungsi linier Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b Contoh : y = 29 + 15x maka y’ = 15 3. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a xn –1 Contoh : y = 8x7 maka y’ = 8.7x7-1 =54x6 4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi Jika y = u  v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u  v Contoh : y = 8x3 – 8x2 u = 8x3  u’ = 8.3x3-1 = 24x2 v = – 8x2  v’ = -8.2x2-1 = -16x1 karena y = u  v maka y’ = 24x2 – 16x 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u Contoh : y = 8.7x2 u = 7x2  u’ = 7.2x1 = 14x karena y = k.u maka y’ = 8.14x = 112x b. Perkalian fungsi Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 ) u = ( 2x6 – 2 )  u’ = 2.6x6-1 = 12x5 v = ( 3x3 – 7 )  u’ = 3.3x3-1 = 9x2 karena y = u.v + u.v maka y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2) = 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2 y’ = 54x8 – 84x5 – 18x2 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y =u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v – u.v v v2 2 3 2 Contoh : y = (9x – 5) maka y’ = (18x)(4x – 6) – (9x – 5)(12x3) (4x3 – 6) (4x3 – 6)2 y’ = 72x4 – 108x – 108x5 + 60x3 (4x3 – 6)2 5 y’ = -108x – 72x4 – 60x3 -108x (16x6 – 48x3 + 36) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai ) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy = dy . du dx du . dx contoh : y = ( 6x2 + 4 )2 misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2 du / dx = 12x dy / du = 2u maka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x dx du dx contoh: y = √3x2 + 4x – 5 y = (3x2 + 4x - 5)1/2 misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2 du/dx = 6x + 4 dy/du = ½ u-1/2 maka dy = dy . du dx du dx = ½ u-1/2 . (6x + 4) = ½ (3x2 + 4x -5) -1/2 . (6x + 4) =1. 1_____ . (6x + 4) 2 √3x2 + 4x – 5 = 6x + 4__ 2√3x2 + 4x – 5 8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali. dny atau fn (x) atau dn (y) dxn dx 5 4 3 2 Contoh : y = 5x + 4x + 3x + 2x +x maka y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1 y’’atau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst Derivatif ke-n dilambangkan :

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


9. Diferensiasi implisif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx . Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0 ( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x dy/dx = - y2 + 2x 2xy + 1 10. Derivatif fungsi logaritmik  y = ln x  dy/dx = 1/x y = ln u , dimana u = g (x) dy = du . 1 = u dx dx u u a  y = log x  dy/dx = 1/ aln a Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x2 du / dx = u’ = -6x dy = u’ = -6x__ dx u 3 – 3x2 11. Derivatif fungsi eksponensial  y = ex  dy/dx = ex x  y = a  dy/dx = ax ln a 12. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :  y = sin x  dy/dx = cos x  y = cos x  dy/dx = - sin x  y = tg x  dy/dx = sec2 x  y = ctg x  dy/dx = - cosec2 x  y = sec x  dy/dx = sec x . tg x  y = cosec x  dy/dx = - cosec x . ctg x  Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin x B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo ) 2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x – xo ) m  Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0 3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :  Jika f  (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum  Jika f  (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum  Jika f  (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tsb ! Jawab : Karena Tr’ = 0 Maka TR’ = 100 – 10Q = 0 10Q = 100 jadi Q = 10 TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2 = 100(10) - (10)2 = 900 C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. ELASTISITAS a. Elastisitas Harga Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu : 1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity )  = Q/Q = Q . P/P P

P Q

2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity ) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.  = P1 . Q Q1 P  = P2 . Q Q2 P  = P1 + P2 . Q Q1 + Q2 P Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif) b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Dari hasil          

perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : > 1  Elastis < 1 atau 0
b. Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya d = Qd. P Qd Contoh :

Maka

Fs. permintaan Qd = 100 – 5P2. tentukan elastisitas pada P = 10 Qd’ = -10P

d = Qd . P = (-10P ) . P = Qd ( 100 – 5P2 ) P = 10 maka d = -10(10)2_ = 10 100-2(10)2

-10P2 ( 100 – 5P2 )

c. Elastisitas Penawaran Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya : s = Qs. P Qs Contoh :

Fs Penawaran Qs = 5P2 – 100. Hitunglah elastisitas pada P = 15 Qs’ = 10P s = Qs . P_ = 10P . P = 10P2 _ Qs 5P2 – 100 5P2 – 100 2 P = 15 maka, s = 10(15) = 2,4 2 5(15) – 100

d. Elastisitas Produksi Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output ) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya : p = P. X P

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh :

Fs Produksi P = 4x2 – 2x3. Hitunglah elastisitas pada x = 10 P’ = 8x – 6x2 p = P . X = ( 8x – 6x2 ) . X = 8x2 – 6x3 P 4x2 – 2x3 4x2 – 2x3 2 3 X = 10 maka p = 8(10) – 6(10) = 3,25 2 3 4(10) – 2(10)

2. BIAYA o Biaya Total ( TC ) Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

TC = f (Q) atau TC = FC + VC

o

Dimana : (Q) TC = Total cost VC = Variabel cost FC = Fixed cost Q = Kuantitas Biaya Rata – rata ( AC ) Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.

AC = TC / Q o

Biaya Marginal ( MC ) Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.

MC = TC = dTC / dQ Contoh : Diketahui TC = 400 + 50Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 80 ? AC = TC / Q = (400+50Q2) / Q = (400+50(80)2) / 80 = 4005 MC = TC = 100Q = 100(80) = 8000 3. PENERIMAAN o Penerimaan Total ( TR ) Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

TR = f (Q) = P . Q o

Penerimaan Rata - rata ( AR ) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang / jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


o

Penerimaan Marginal ( MR ) Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.

MR = TR = dTR / dQ Contoh : Diketahui TR = 6Q2 + 15Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 ! Jawaban : AR = TR / Q = 6Q + 15 + 1000 / Q = 6(50) + 15 + 1000 / 50 = 335 MR = TR = 12Q + 15 = 12(50) + 14 = 614

Contoh Soal : 1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 20 - 7P2 . Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 3 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah ! Dik : Qd = 20 - 7P2  Qd = -14P P = Rp 3 / unit Jawab : d = Qd . P Qd = -14P . P_ 20 - 7P2 = -14 (3) . 3_ 20 - 7 (3)2 = -126 = 2,93  Elastis -43 Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,93 pada saat harga produk sebesar Rp 3 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 2,93 %

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 45 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 5 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah ! Dik : P2 = 45 + Qs  Qs = P2 - 45  Qs = 2P P = Rp 5 / unit Jawab : s = Qs . P Qs = 2P . P P2 - 45 = 2 (5) . 5 (5)2 - 45 = 50 = - 2,5  Inelastis - 20 Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 2,5 pada saat harga produk sebesar Rp 5 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2,5 %. 3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 4P = 80 - Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 15 unit, analisislah ! Dik : 4P = 80 - Qd  P = 20 - 0,25 Qd Jawab : TR = P . Q = (20 – 0,25Q) . Q = 20Q - 0,25Q2 TR max, TR = 0 20 – 0,5Q = 0 0,5Q = 20 unit TR jika Q = 40 unit TR max = 20Q - 0,25Q2 = 20(40) - 0,25(40)2 = 800 – 400 = Rp. 400,* P max

= TRmax Qmax = 400 = Rp. 10,40 * TR jika Q = 15 unit TR = 20Q - 0,25Q2 = 20(15) - 0,25(15)2 = 300 – 56,25 = Rp. 243,75 Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 40 unit dan diperoleh penerimaan maksimal sebesar Rp.400,- dengan harga maksimal Rp.10,-, jika barang yang dijual sebanyak 15 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.243,75.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh kasus 1 : Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 100 - 5P2 . Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 11 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah ! LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2 1. Buka aplikasi Matek 2

Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2 2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi

Gambar 1.2 Tampilan menu awal

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


3. Pilih Elastis Permintaan

Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif 4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

Gambar 1.4 Tampilan untuk Input

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang diketahui: Koefisien Q^2 = -5 Koefisien Q^1 = 0 Konstanta = 100 P = 11 Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear 6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.5 Tampilan input dan output Kasus 1 Hasilnya elastis permintaan = 2,396 = 2,4 bersifat elastis (Ed > 1). Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,4 pada saat harga produk sebesar Rp 11 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 2,4 %.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh Kasus 2 : Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 35 - Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marjinal, analisislah ! LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2 1. Buka aplikasi Matek 2

Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2 2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi

Gambar 1.2 Tampilan menu awal

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


3. Pilih Fungsi Penerimaan

Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif Karena P = 35 –Q , maka TR = P . Q = (35 – Q) . Q = 35Q – Q2 4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang diketahui: Koefisien Q^2 = -1 Koefisien Q^1 = 35 Konstanta =0 Q = 10 Kemudian tekan Enter, Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1. 4 Tampilan hasil Output Kasus 2 MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Hasilnya total penerimaan TR = 250 Penerimaan rata-rata AR = 25 Penerimaan marjinal MR = 15 Analisis : Jadi penerimaan total pada saat perusahaan menjual 10 unit adalah 250, penerimaan rata-rata sebesar 25, dan penerimaan marjinal sebesar 15 yang berarti terjadi penambahan penerimaan sebesar 15 setiap penambahan penjualan. 4. LABA MAKSIMUM Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (totality approach) 2. Pendekatan Rata-rata (average approach) 3. Pendekatan Marginal (marginal approach) Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan Pendekatan Marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan biaya marginal (MC) dan pendapatan marginal (MR). Laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC. Laba() = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (δ π /δQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TR (δTR/ δQ atau MR) dikurangi nilai turunan pertama TC (δTC/ δQ atau MC). Sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC. Contoh: Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -150Q + 10000 dengan biaya variabel yang berupa persamaan VC = 20

– 3000Q +1000. Biaya tetap

yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp. 25.000, serta besarnya penerimaaan marginal dicerminkan oleh persamaan : MR = -5000Q + 15.000. Tentukanlah : A. Pada tingkat penjualan berapa laba perusahaaan maks dan berapa besarnya laba tersebut B. Analisis Dik : P = -150Q + 10000 VC = 20 - 3000Q + 1000 FC = 25.000 MR = -5000Q + 15000 Dit : Q pada saat laba maks? Analisis? Jawab: TR = P x Q = (-150Q + 10000). Q = -150 + 10000Q TC = VC + FC = (20 - 3000Q + 1000) + 25.000 = 20 - 3000Q + 26000 Laba = TR – TC = (-150 + 10000Q) – (20 - 3000Q + 26000) = -170 + 13000Q – 26000

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Laba maks = laba’ = -340Q + 13000 340Q = 13000 Q = 38,23  38 Q = 38 → Laba = -170 + 13000Q – 26000 = -170 (382) + 13000 (38) – 26000 = - 245.480 + 494.000 – 26000 = 222.520 Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 38 unit, diperoleh laba sebesar Rp. 222.520,-.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


INTEGRAL TAK TENTU

KONSEP DASAR INTEGRAL Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ). A. INTEGRAL TAK TENTU Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya. Bentuk umum :

∫ f(x) dx

= F(x) + c

∫ un. du

= Un+1 + c, n +1

n ≠ -1

Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu. Contoh : ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ f(x) dx = F(x) + c 3 2 ∫ 12x + 9x – 2x + 2 dx = 12x3+1 + 9x2+1 - 2x1+1 – 2x +c 3+1 2+1 1+1 = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + c Bila c = 4, maka F(x) = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + 4 PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total). Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : Fungsi Biaya Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :

F(Q) = ∫ f (Q) dQ TC = ∫ MC dQ Dan Biaya rata-rata (AC) :

AC = TC / Q

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh: Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TC = ∫ MC dQ = ∫ 12Q - 9Q2 dQ = 6Q2 – 3Q3 + c Jika c = 4 TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biaya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q. Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan awal matek 2, pilih materi lalu integral tak tentu seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini

Akan tampil pilihan dari menu integral tak tentu kemudian pilih fungsi biaya

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Di Output Fungsi Biaya akan terlihat fungsi biaya total dan fungsi biaya rata – rata, jika kita ingin mengetahui total biaya dan rata – rata biaya maka masukkan nilai Q setelah itu klik calculate

Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR). F(Q) = ∫ f(Q) dQ TR = ∫ MR dQ

Contoh : Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TR = ∫ MR dQ = ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c jika c = 0 TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi penerimaan seperti gambar di bawah ini


MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Di Output Fungsi Penerimaan akan terlihat fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Fungsi Produksi Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q) Produk Total adalah integral dari produk marginal.

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ Contoh : Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q2 + 4 = 2/3 Q3 + 4Q + c jika c = 0, P = 2/3 Q3 + 4Q Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi produksi seperti gambar di bawah ini


MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Di Output Fungsi Produksi akan terlihat fungsi produksi total dan fungsi produksi rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + bY MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C S = g(Y) = -a + (1-b)Y MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S

Y=C+S Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ] MPC + MPS = 1

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c S = ∫ MPS dY = G(Y) + c a. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0). c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. d. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

1 > MPC > ½ Keterangan : MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik. Contoh : Dimana C = ∫ MPC dY = 0.7 dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut C = ∫ MPC dY = ∫0.7 dY + c = 0.7Y + 50 S = Y – ( 0.7 Y + 50 ) = Y – 50 – 0.7Y S = 0.3 Y – 50 Atau S = Y – C S = ∫ MPS dY = ∫ 0.3 dY – c = 0.3Y – 50 Y=C+S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ) Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ). MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi konsumsi seperti gambar dibawah ini


MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Di Output Fungsi konsumsi akan terlihat fungsi konsumsi dan fungsi tabungan, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Contoh : Dimana S = ∫ MPS dY = 0.3 dY – c, bila pendapatan = 0 dan tabungan autonomosnya adalah 50, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut S = ∫ MPS dY = ∫0.3 dY = 0.3Y – 50 Mencari fungsi konsumsi C= Y – S = Y – (0.3Y – 50) = Y – 0.3Y + 50 = 0.7Y + 50 Jadi pendapatan nasional adalah Y=C+S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ). Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi tabungan seperti gambar dibawah ini


MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Di Output Fungsi Tabungan akan terlihat fungsi tabungan dan fungsi konsumsi, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


MODUL INTEGRAL TERTENTU

KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan. Rumus Integral tertentu : b

 f x  dx  F  x 

b a

 F b   F a 

a

Keterangan : a = x = batas minimum b = x = batas maksimum dimana a < b Contoh : Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 ! Jawab 2 5

 2 x  5 dx  [ x

 5 x ]2

 [5 2  5(5)]  [ 2 2  5( 2)]  36 PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU DALAM EKONOMI 1. Surplus Konsumen Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan ( P=f ( Q ) ) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe). 

Qe

Cs 

P

 f (Q) dQ  Qe  Pe   f ( P) dP 0

Pe

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar 

P = Tingkat harga pada saat Q=0

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh : 1. Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 38 – Q dan fungsi penawaran Ps = 10Q + 5, berapakah surplus Mr. Edward sebagai konsumen cabe rawit ? analisis dan grafik ! Dik : Pd = 38 – Q , Ps = 10Q + 5 Dit : Cs ? Jawab : Pd = Ps Qe = 3 Pe = 38 - Q 38 - Q = 10Q + 5 Pe = 38 - 3 11Q=33 Pe = 35 Qe = 3 

Pd = 38 – Q Cara 1 :

Qd = 38 – P

Cs

Q=0 P=0

P = 38 Q = 38

=

=

Cara 2:

= 2 = ]– = 109,5 – 0 – 105 = 4,5 Cs =

2

] – 105

= = = = 722 – 717,5 = 4,5 Analisis : Mr. Edward memperoleh surplus sebesar Rp 4,5 karena Mr.Edward dapat membelicabe rawit dengan harga Rp 35,-. Padahal Mr.Edward sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus konsumen  Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus konsumen (rumus 1)

Gambar 3.3 Aplikasi Materi Intergral Tertentu 

Input Data Sesuai Soal :

Gambar 3.4 Output Integral Tertentu

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh : 2. Hitunglah surplus konsumen yang didapatkan Tn.Putra disaat fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 550 – 5P dan tingkat harga keseimbangan pasarnya Rp 100,- ! analisis dan grafik ! Dik : Q = 550 – 5P, Pe = 10 Dit : Cs ?

Analisis : Tn.Putra memperoleh surplus sebesar Rp 250,- karena konsumen dapat Membeli barang tersebut dengan harga Rp 100,- , padahal Tn.Putra sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


2. Surplus Produsen Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen Tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe), rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Qe

Pe

Ps  Qe  Pe   f (Q) dQ   f ( P ) dP 

0

P

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar = Tingkat harga pada saat Q=0

Contoh : 1. Bila diketahui fungsi penawaran Ps = 4Q + 1 dan fungsi permintaan Pd = 16 - Q. Carilah surplus PT.Harapan Jaya sebagai produsen dengan dua cara, analisislah dan gambarkan grafik ! Cara 1 :

=1

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus produsen.  Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus produsen (rumus 1)



MATEK 2

Input data sesuai soal,seperti tampilan pada software :

Hal.

Periode ATA


Cara 2 :

Analisa : PT.Harapan Jaya sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp.18,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 13,- padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan

Contoh : 2. Bila diketahui fungsi penawaran P = 6Q + 3 dan tingkat kuantitas keseimbangan pasar adalah 8. Carilah surplus PT.The Reds sebagai produsen ! analisislah dan gambarkan grafik ! Dik : Dit : Jawab :

Analisa : PT.The Reds sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp192,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 51,padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL  Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan.  Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.  Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional.  Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. A. Fungsi Eksponensial Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.  Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : di mana n > 0 x

y=n

 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : di mana n  0 y = ne kx + c e = 2,71828 k , c merupakan konstanta Contoh Soal : Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1 , pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (2) ! Jawab :  Pada sumbu x ; y = 0 e 0,5x = 1 Ln e 0,5x = Ln 1 0,5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0 x = 0 Titik potongnya (0 ; 0)  Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (0) - 1 y = e0 - 1 y=1 -1 y=0 Titik potongnya (0 ; 0)  Untuk x = 2 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (2) - 1 y = e1 – 1 y = 2,72 – 1 y = 1,72 Titik potongnya ( 2 ; 1,72 )

MATEK 2

Hal.

Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Grafik 1 Kurva Eksponensial pada y

= e 0.5x - 1

B. Fungsi Logaritmik Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.  Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :

y = n log x

di mana

n > 0 n  1

 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana x > -1

y = a ln (1 + x) + b

Contoh soal : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masingmasing sumbu dan hitunglah f (3) ! Jawab :  Pada sumbu x ; y = 0 -0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -2 1 + x = e –2 1 + x = 0,14 x = - 0,86 Titik potongnya (-0,86 ; 0 )  Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 0) –1 y = -0,5 Ln 1 –1 y = -0,5 .0 – 1 y = –1 Titik potongnya ( 0 ; -1 )  Untuk x = 3 y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 3) –1 y = -0,5 Ln 4 –1 y = -0,69 –1 y = -1,69 Titik potongnya ( 3 ; -1,69 )

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Grafik 2 Kurva Logaritmik pada y = - 0,5 Ln (1 + x) = 1

C. Penerapan Ekonomi Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain : 1. Model Bunga Majemuk Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.

Fn = P(1 + i)n

atau

Fn = P(1 +

i m

) m.n

di mana : Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini. Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara :

Fn ≈ Pei.n

di mana

e = 2,71828

Contoh Soal : Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Jawab: A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1). Tanpa Menggunakan Logaritma F5 F5 F5 F5

= = = =

10.000.000 (1 + 0.10/12 ) 10.000.000 (1,008) 60 10.000.000 (1,613) 16.130.000,-

12.5

i

Fn = P(1 +

m)

m.n

2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 = 10.000.000 (1,008) 60 Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1,613 Log F5 = 7 + 0,208 Log F5 = 7,208 F5 = 16.130.000,B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma

Fn ≈ Pe i.n F5 ≈ 10.000.000. e 0,10 . 5 F5 ≈ 10.000.000 (e 0.5) ≈ 10.000.000 (1,65) ≈ 16.500.000,2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 ≈ 10.000.000 (e 0,50) Ln F5 ≈ Ln 10.000.000 + 0,5 Ln e Ln F5 ≈16,12 + 0,5 Ln F5 ≈16,52 ≈ 16.500.000,-

Ln e = 1

Analisis : “Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.

2. Pilih model bunga majemuk pada Fungsi Transdental.

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. 2. Model Pertumbuhan Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :

Pt = P1. R t-1

R=1+r

di mana : Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun. P1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi :

Nt = N1.R t-1

R=1+r

di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = Indeks waktu.

Contoh Soal : Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah ! Jawab :  Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun R = 1 + 0,15 r = 0,15  Ditanya : N8 = ….. ?  Jawab : Nt = N1.R t-1 N8 = 100 (1,15) 8 -1 N8 = 100 (2,66) N8 = 266 orang Analisis : “ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales) akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang. Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.” MATEK 2

Hal.

Periode ATA



2. Pilih model pertumbuhan majemuk pada Fungsi Transdental.

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. 3. Kurva Gompertz Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.

N= ca

r

t

di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1). t = Indeks waktu. Contoh Soal : Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu yang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500 buah, terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20 %, dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlah produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah ! Jawab : Diketahui : C = 30.000 buah r = 0,20 A = X = 7.500 = 0,25 t=3 C 30.000 Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N3 = …….? Jawab : Untuk t = 3 N = 30.000. ( 0,25 ) 0,20 ^ 3 Log N = log log 30.000 + 0,20 3 log 0,25 Log N = 4,477 + 0,008 . ( - 0,602 ) Log N = 4,477 – 0,0048 Log N = 4,4722 N = 29.661 buah Analisis : Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar 20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlah produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000 buah”.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA



2. Pilih Kurva Gomvertz pada Fungsi Transdental.

3. Pilih pertanyaan yang akan dicari, dalam kasus ini adalah “Cari N” . Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. 4. Kurva Belajar ( Learning Curve) Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu.  Bentuk dasar : k, m, s > 0 -kx

y = m - se

Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai.  Prilaku Produksi :

P = Pm - Ps . e - r. t

di mana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi.  Perilaku Biaya :

C = Cm - Cs . e - r. t di mana : C = Biaya total persatuan waktu. Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran persatuan waktu. Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.

yang

disediakan)

Contoh Soal : Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 % setiap bulannya. Maka : a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut ! b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya ! c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) ! d. Analisislah !

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


 



Diketahui : Pm = 10.000 r = 0,05 Ps = 40 % (10.000) = 4.000 t = 1 tahun (12 bulan) Jawab : a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = Pm - Ps . e - r. t P = 10.000 – 4.000 . e – 0,05. t b. Jumlah perdana cetakan / produksi. 60 % x 10.000 = 6.000 cetakan c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan). P = 10.000 – 4.000 . e – 0,05. t = 10.000 – 4.000 . e – 0,05. 12 = 10.000 – 4.000 . ( 0,549 ) = 10.000 – 2196 P = 7.804 cetakan. Analisis : “Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak 7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804 cetakan.”


2. Pilih Kurva Belajar pada Fungsi Transdental.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


3. Pilih pertanyaan yang akan dicari, dalam kasus ini adalah “Cari N” . Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.

Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


MODUL BREAK EVEN POINT A. FUNGSI BIAYA Biaya dalam pengertian ekonomi adalah segala sesuatu yang harus dibayar produsen untuk menghasilkan barang atau jasa, sampai barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi konsumen. Oleh karena itu, besar kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung pada besar kecilnya barang atau jasa yang dihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi. Secara rumus dapat ditulis :

TC = a + f (Q) Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi. Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlah barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yang dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan titik – titik kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Elemen – elemen fungsi biaya Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu : TC = Total Cost ( Jumlah biaya keseluruhan ) TFC = Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap ) TVC = Total Variable Cost ( Jumlah biaya variabel) VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan ) AC = Average Cost ( Biaya Rata – rata ) MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi per unit) Bentuk umum rumus fungsi biaya dan kurva biaya : 

TC

= =

TFC TFC

+ +

TVC VC ( Q )

  

TVC MC AC

= = =

VC per unit X Q  TC /  Q TC / Q

P TC TVC

TFC

Q MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh : Diketahui suatu perusahaan “CLAYSTATION” yang bergerak dalam bidang penjualan aksesoris wanita mempunyai biaya tetap 500.000, biaya variabel 20.000 dengan Quantitas 20 unit. Berapa TC dan AC ? Diketahui : FC = 500.000 VC = 20.000 Q = 20 Unit Ditanya : TC serta AC? Jawab : TC = TFC + VC ( Q ) = 500.000 + 20.000 ( 20 ) = 900.000 AC = TC / Q = 900.000 / 20 = 45.000 P

TC TVC

500.000

TFC

Q

Klik ini

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. Analisis : jadi, total biaya dan biaya rata-rata yang dikeluarkan “CLAYSTATION” masing-masing sebesar Rp 900.000 dan Rp 45.000

B. FUNGSI PENERIMAAN Apabila barang hasil produksi telah dijual kepada konsumen, maka uang hasil penjualan barang tersebut dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut “Total Revenue”. Oleh karena itu, besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan jumlah unit yang terjual. Secara matematika dapat dirumuskan :

TR

=

P

X

Q

Elemen – elemen fungsi penerimaan : TR = Total Revenue (Jumlah pendapatan yang diterima secara keseluruhan) AR = Average Revenue (Rata – rata penerimaan) P = Price ( Harga per unit barang ) MR= Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya perubahan produksi perunit ) P TR

Q

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Contoh Soal : Perusahaan “UMMI” menjual 50 unit produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa besarnya TR dan AR ? Diketahui : Q = 50 unit P = 40.000 Ditanya : TR serta AR ? Jawab : TR = P X Q = 40.000 X 50 = 2.000.000 AR = TR / Q = 2.000.000 / 50 = 40.000

P

TR

40.000

Klik ini

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. Analisis : Jadi, perusahaan “UMMI” memiliki total penerimaan Rp 2.000.000 dengan penerimaan rata-rata Rp 40.000

C. BREAK EVEN POINT Berdasarkan TR dan TC diatas, dapat ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan berada disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini, yaitu : TR < TC -------------Rugi TR = TC -------------BEP TR > TC -------------Laba Bentuk umum BEP

P

X

TR Q

= =

TC TFC + TVC

BEP Dalam unit : FC Q

= P –

VC

BEP Dalam rupiah : FC P

= 1 – VC / P

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


TR TC

P

TVC

TFC

Q Contoh : Lely House memproduksi sepatu batik dengan harga jual Rp 80.000,- per pasang. Diketahui biaya tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 2.000.000,- dan Rp 40.000,- per pasang sepatu. Hitunglah : a) Berapa unit dan rupiah agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi! b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per pasang sepatu sebesar Rp 30.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM ! c) analisa ! Dik

:

P FC VC

Dit

:

a) BEP dalam Unit, BEP dalam rupiah? b) BEP dalam Unit & BEP rupiah, setelah adanya kenaikan VC sebesar Rp. 30.000? a) BEP dalam Unit 2.000.000 Q = = 50 unit

Jawab :

= Rp 80.000,- per pasang = Rp 2.000.000,= Rp 40.000,- per pasang

80.000-40.000 BEP dalam Rupiah P

=

2.000.000

= 4.000.000

1- 40.000/80.000

b) BEP Unit setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000 2.000.000 Q

=

=

200 unit

80.000-70.000 MATEK 2

Hal.

Periode ATA


BEP Rupiah setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000 P = 2.000.000 = 16.000.000 1- 70.000/80.000 Analisis : agar tidak untung/tidak rugi, Lely House harus memproduksi 50 pasang sepatu dengan BEP dalam rupiah sebesar Rp 4.000.000. Sementara kenaikan biaya variabel sebesar 30.000 menyebabkan perubahan BEP unit dan BEP rupiah masing-masing menjadi 200 unit dan Rp 16.000.000

Klik ini

Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Klik change value, Kemudian pilih VC dan P dimana VC sudah ditambahkan 30.000 menjadi 70.000 dan P tetap. Dan pilih OK. D. PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES ) Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jika perusahaan mentargetkan laba yang harus dicapai. Bentuk umum untuk penjualan minimal :

FC Q

+

laba

= P

–

VC

Contoh : Jika “CLAYSTATION” menargetkan laba sebesar 100.000 dimana biaya tetap dan biaya variabel masing-masing sebesar 400.000 dan 20.000 dengan harga 40.000, maka berapakah penjualan minimal perusahaan tersebut ? Diketahui : FC = 400.000 P = 40.000 VC = 20.000 Laba = 100.000 Ditanya : Berapa penjualan minimal . . . . . . . . . . . ? Jawab : FC + Laba Q = P – VC 400.000 + Q

100.000

=

=

25 unit

40.000 – 20.000 Analisis : Jika perusahaan “CLAYSTATION” ingin mencapai target maka penjualan minimal adalah 25 unit.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Klik ini

Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA


Kemudian isi Laba yang diinginkan sesuai dengan soal di atas sebesar 100.000

Kemudian Enter dan hasilnya seperti di bawah ini,

Daftar Pustaka : Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.

MATEK 2

Hal.

Periode ATA

A. KONSEP DASAR TURUNAN

Recommend Documents