rurunan I II1 3.1Dua Masalah dengan Satu Tema 3.7 Turunan Tingkat Tinggi 3.6 Pendiferensialan lmplisit 3.9 Laju yang Berkaitan 3

i,l

f3

rurunan 3.1 DuaMasalahdenganSatuTema 3.2 Turunan 3.3 AttrranPencarianTurunan 3.4 TurunanSinusdanKorinus 3.5 Aturan Rantai 3.6 NotasiLeibniz

3.7 TurunanTingkatTinggi lmplisit 3.6 Pendiferensialan 3.9 Laju yang Berkaitan

I I

I

1 i

I

i

i

3.r0Diferensialdan Aproksimasi 3.l l Soal-soal UlanganBab

PenemuanLeibniz letaknya dalam arah di mana semua perkembangan modem dalam ilmu terletak, dalam mem banguit ketrampilan, simeti, dan harmoni, yaitu, sifat mencakupi dan ketaiaman - ketimbang menaganimasalah-maalah tunggal,yang penyelesaiannyapara pengikut segeramenccpai ketrarnpilan yang lebih besar daipada dirinya sendii. J.T.Men

/

Kalkulus dan Geometri Analitis

106

Jilid I

3.1 Dua Masalah Dengn Satu Tema sejakilmuwan besarYunani Masalahpertama kita sangattua: ia zudahdimasalahkan garis singgung. masalah adalah lrchirneOes()87-212 SM). Yang dimalsud Masalahkita yang kedua lebih baru. Masalahini muncul dari percobaanoleh Kepler (1571-1630),Galileo (15f/.-1642),Newton (1642'1727)dan lainnya uituk melukiskan kecepatansebuahbendabergerak.Ini adalahmasalahkecepatansevat. Dua masalahitu, satu geometri dan lainrryamekanis,kelihatannyatidak ada hubungitu merupakan annya. Dalam hal ini, kelihatannya memperdayakur. Kedua masalah yang identik. kembaran

G a r i s s i n g g u n gd i P Garis singgungdi P GAMBAR 2

GAT{BAR,I

I Talibusur I J Qaris singgung

GarissinggungadalahPosisi pembatasgarb talibusur 9AMBAR

3

GARIS SINGGUNG Gagasangarissinggung dari Euclides sebagaisuatu garis yang memo tong suatu kurva pada satu titik, benar untuk lingkaran-lingkaran(Gambar l) tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva-kurva lain (Gaurbar 2). Gagasanbahwa di P addah garis garissinggungpadasuatulo.-rrva yurg paling menghampirikurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap terlalu samarsamar untuk ketaksamaanmatematis'Konsep limit menyediakan suatu cara mendapatkan uraian terbaik. Andaikan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kurva dan andaikan Q adalahsebuah titik berdekatanyang dapat difindah'pindahkan pada kurva tersebut. Garis yang melalui P dan O, disebut talibusur' Garis singguttg di P adalah posisi pembatas (iika ada) dari talibusur itu bila Q bergerak ke arah P sepanjangkurv'a(Gambar 3).

I

t07

Bab 3 Turunan

Andaikan kurva tersebut adalatrgrafik dari p€rsamaany = f(x). Maka P nrmpunyai koordinat (c,f(c)), Utik 0 di dekatnyamempunyai koordinat (c + h, flc + })), dan talibusuryang melaluiP danQ,mempunyaikemiringanrmr." yang diberikanoleh (Gambar4) flc+hl-flcl

rr".c:{!aP GAMBAR4

Akibatnya, garis singgung- Jika tidak tegaklurus- adalah garisyang melaluiP dengan kemiringanm dn y aur.tg memenuhi

CONTOH I Cari kemiringangarissinggungpadakurvay = f (v) = 7s2di titik (2, 4). Penyelevian Garis yang kemiringannyakita cari diperlihatkan pada Gambar 5. Jelasia mempunyaisuatukemiringanpositif yang besar. .1

ttt

mr"n :

lim

f(2+h)-f(2) h

'JU

4

12,41

-- lim

3

(2+h)2-22 -=F-

t-O

2

: Iim

1

4+4h+h2-4

r-o

h

: l l .. mi- o

h(4 + h) '{t

:4\

GAMEAR5

I

I

-f(x)= -x2 +2s +2padatrtftCONTOH2 Ca;i kemiringangarissinggungpadakurvay titik yangkoordinat-x-nya-1,+,2, dan3. Penycbuln Ketimbang membuat empat perhitungan terpisah, kelihatannya lebih bijaksanauntuk menghitungkemiringanitu di titik yang koordinat.r-nyadi titik c dan kemudian mendapatkan empat jawab yang diinginkan dengancara (zubstitusi). t)

Di rini k€midngan menerjcmahkan pongFtirn "slope"; para pcnulis lain ad, ysng menggunakan"tanjakan",'lereng.

.1

108

Kalkulus dan GeometriAnalitis

frrun: tim &

Jilid 1

+ h) - f(c)

,r- O

: lim

-(c + h)z+ 2(c+ h) +'Z * (-c' + 2c + 2) h

h-O

: lim

-c2 - 2ch - h2 + 2c + 2h + 2 + c2 - 2c - 2

tr- 0

4(-2c-h+2) : tim t-O

:

-2c*2

Y=-x2+2x+2 GAIITBAR 6 - Keempatkemiringanyang diinginkan(diperolehdenganmenetapkanc = -1,+,2,3) lah 4, l, -2, dan-4. Jawabanini memangbersezuaian dengangrafik padaGambar6. pada kurva y = ll(b) CONTOH 3 Cari persamaangaris singgr.rng Gambar7). Penyelevian n,.n :

lim

di dtik$,

h l

: lim

1

4Tp-6 h

i-O

l :

l

,. r+2h-I

llID --------;n ,r-O

- l l ,m.

l_(r+2hl :

h-o h(l + 2h) -2h ..

:llID-

,-o h(l + 2h) 1

GAMBAR 7

tygitt.t

f(t+h)-fG)

t-O

: lim ---1 - 6 l l l h

:

-2

ad,aI

Bab 3 Turunan

109

Denganmengetahui kemiringangaris(z = -2) dan titik (+, I ) padagarisitu, secaramudah kita dapat menuliskanpersamaafflyadenganmemakaib'entukkemiringan titk y * yo = m@ - xo). Hasilnyaadalahy- 1= -2(x ). I KECEPATAN SESAAT Jika kita mengendaraisebuahmobil dari satu kota ke kota lain yang berjarak 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatanrata-ratakita adalah40 km tiap jam. Artinya, kecepatanrata-rata adalahjarak antaraposisi pertamake posisi kedua dibagidenganwaktu ternpuh.

Detik pertama -16

-32 s = 1612

Detik kedua

-48

-64

GAMBAR 8

Tetapi selama perjalanan penunjuk laju (speedometer)seringtidak menunjukkanangka 40 km. Waktu baru berangkat,0 km; kadangkala kecepatannaik sampai 57 km; akhimya jatuh ke angka 0 lagi. Jadi apa yang diukur oleh pengukurlaju? Tentu sajabukan kecepatan rata-rata. Ambil contoh yang lebih penis, yaitu sebuah benda P yang jatuh dalam ruang hampa udara. Percobaanmenunjukkan bahwa apabila mulai jatuh dari keadaandiam, P jatuh sejiuh l6t2 meter dalam r detik. Jadi bendaini jatuh sejauh 16 meter dalam &tik pertama dan 64 meter dalamdua detik yang kedua (Gamhr 8); jelaslah bahwa P jatuh makin cepat denganberlalunyawaktu. Selamadetik kedua 6/akni, dalam selang waktu mulai r = I sampait= 2),Pjatuhsejauh (64 - 16) meter.Kecepatanrata-ratanyaadalah 64-t6 : : 48 meter/detrk urata_rata 2_ |

Selamaselangwaklu dari t= l sampait= 1,5,P jatuhsejauh16(1,5),_16 = 20meter. Kecepatanrata-ratanyaadalah 16(l'5)' - 16 20 urats-r^'^ 'ata-: --15 :: 40 meter/detik _ 1 0J Demikianpula,padaselangwaktu/=lsampaif=l,ldant=lsampai/=l,0l,kitahitung masing-masin g kecepatanrata-ratanyaadalah

1 6 ( 1 , 1-) 21 6 3 , 3 6 : -lj : : 33,6meter/detik urata-rata - I 0J Urata*ata:

l 6 ( 1 , 0 1 ) 2- 1 6 l,0l - I

qq4q :32,16

meter/detik

Apa yang telah kita lakukan adalahmenghitung kecepatanrata-rataselamaselang waktu yang semakin singkat, masing-masingmulai pada t = l. semakin pendek selang waktu, semakin baik kita menghampirikecepatanyang ,benar, pada saat r - l.

/

r KalkulusdanGeometriAnalitis Jilid' I

ll0

Dengan memperhatikanbilangan'bilangan48; 4O;33,6; dan 32,16; anda mungkin menerka adalah32. kecepatansesaatnya Tetapi marilahkita lebih tepat. Andaikan bahwa sebuah benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehinggaposisinya pada saat t diberikan oleh s = /(r). Padasaatc bendaberada di /(c); pada saatyurg berdekat^ c + h, ia berada di (c + ,t) (lihat Gambar 9). Jadi kecepatan rata-ratz pada selang ini adalah

I

P e r u b a h a nw a k t u

c+h

flcl Perubahan posisi

-.f (c) f (c + h) artt{.lt

flc + hl

h

Dan sekarangkita de{inisikankecepatansesaat r/ di c ohn

GAMBAR 9

= Dalam hal di mana {r) = 1612,kecepatansesaatpada r I adalah

. . f ( l + h)- f(r)

l-):llm[-O

: lim

t6(l+D2-16 h

,r- O

: lim

t6+32h+16h2-16

,r- O

:

lqf"

+ r6h):32

lni membenarkanperkiraankita sebelumnya. Sekaranqanda dapat melihat mengapakita menyebut kemiringandari garissinggung dur kecepatansesat ^d^l^h kembaranidentik. Uhatlah dua rumus dalamkotak padapasal ini. Merekamemberikannama berlainanuntuk konsepyang satna. CONTOH 4 Hitunglah kecepatansesaatdari sebuahbendajatuh, beranjak dari posisi diam pada r = 3,8 detik dan padar = 5,4 detik. Penyelesian Kita hitung kecepatanpada t = c detik.

u:lim ,t- O

: lim ,r-O

: lim

f(c+h)-1k) h 16(c+h)2-16c2 h l6c2+32ch+16h2-16c2

tr-O

: lim.(32c* l6h):329 ,r-O

I

L

Bab3 Turunan

nl

Dengan demikian, kecepatanpada 3,8 detik adalatr 32(3,8) = 121,6 meter/detik; pada5,4 detik, adalah32(5,4)= 172,8meter/detik.

I

CONTOH 5 Berapalama wakh.ryang diperlukan oleh bendajatuh padaContoh 4 gntuk mencapaikecepatansebesarll2 meter/detik? Penyelevian Kita pelajad dalam Contoh 4 bahwa kecepatansetelah c detik adalah 32c. Jadi kita harus menyelesaikan penamaan32c= l12. penyelesaiannya adalahc= +*= 3.5
: lY--1 6 + 5 h - 4 Untuk menghitung limit ini, kita tasionalkan penyebut (denganmengalikanpembilang dan penyebutdengan1/T+ 5n + 4). Kita perohh

+ 5h- +. =.r4o + sl + e\ .. -=---, u :_,:f t m l lJr6 , rr-o\

n

Jl6+5h+41

t6+5h-16

: lim -=--Lr-o./16+5h+4 Kita simpulkanbahwakecepatanpadaakhir 3 detik pertamaadalah$ cm/detik.

I

LArU PERUBAHAN Kecepatanadalahsatu-satunyadari sekian banyak laju perubahan yang amat penting dalam pelajaranini; kecepatanmerupakanlaju perubahanjarak terhadap waktu. Iaju perubahanlainnya yang penting bagi kita adalahkepadatandari suatu

/

tt2

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

kawat (laju perubahanmassaterhadapjarak), pendapatanmarjinal (laju perubahanpendapatan terhadap beberapajenis produk) dan arus hstrik (laju perubahanmuatan listrik terhadapwaktu). Contoh-contohlainnya akan kita temui pada kelompok soal dan di setiap soal akan.kita bahaslaju perubahanrata-ratadan laju perubahansesat. lstllah laiu perubahan tanpa ada keteranganapa-apaakan diartikan sebagailaju perubahans€saat.

soAL-soAL3.1 Dalam Soal+oal t-2, digambar suatu garis singgung pada kurva. Taksir kemiringannya (kemiringan = naik/jarak). Perhatikan perbedaan skala pada kedua sumbunya.

:j_frl \i--j,-j-; i r

/4. i-l* r -r'i---t i-'i

_i:] \ l

r\ i f-

r

2

3

4

r

i i

5

f*

'

5.

l_1: t l t**-t

t--'i

1

2

3

4

5

6

Dalam Soal-soal 3-6, gambar garis singgung pada kurva melalui titik yang ditunjuk dan taksir kemiringannya.

T.PandangY=4-x2. (a) Sketsakan grafiknya seteliti mungkin. (b) Gambar garis singgung di titik (3,_5). . /-,4

l 1-

r1,

Bab 3 Turunan

E

(c) Taksir kemiringan garis singgung ini. tdl Hitung kemiringan talibusur yang melalui titik (3, -5) dan (3, 0l; 4 - 3,012\. (e) Cari kemiringan sebenamya dari garis singgung di titik (3, -5) dengan memakai proses limit (lihat Contoh l). 8. PandangY=x3+ l' (a) Sketsakangrafiknya. (b) Gambar garis singgung di titik

(2' e)' (c) Taksir kemiringan garis singgung ini. tdl Hitung kemiringan talibusur yang melalui titik (2, 9) dan (1, 999; 1 , 9 9 9 3+ l ) . (e) Gunakan proses limit untuk mencari kemiringan yang sebenamya dari garis singgung di titik (2, 9).

E

e. Cari kemiringan garis singgung pada kwva | = xz - 3x *' 2 di titik-titik d e n g a nx = - 2 ; 1 , 5 ; 2 , 5 ( i i h a tC o n t o h2 ) .

r'>-\

kemiringan garis singgung UA l|)Cari = x3 - 2x di titik-titik denganx = kwEj -3; I ,5.0 ; ,3. ll. Sketsakangrafik y = ll'G + l) dan kemudian cari persamaan garis singgung di titik (1, l) qihat Contoh 3).

E

ttl

Berapa kecepatan rata-rata pada s e l a n g 2< t < 2 , 0 0 1 ?

(c) Berapa kecepatan rata-rata pada selang2
tu) Seberapa banyak kultur ini berkembang selama selang 2 < t< 2.0|' ! (b) Berapa laju perkembangan ratarata selamaselang2 < r < 2,01? (c) Berapa laju perkembangan pada l -

an

, - + l

V

( n)curi pemamaan garis singgung Padli!= 2l@ - 2) di titik (0, -l ). l\ Anggap sebuah benda jatuh akan jatuh l6t" meter dalam / detik. (a) Seberapajauh ia akan jatuh antara t=3dant=4? (b) Berapa kecepatan nta-ratz selang3
(.)

pada

Berapa kecepatan rata-rata pada selang3(r(3,02?

(d) Cari kecepatansesaatpada r = 3 llihat contoh 4). 14. Sebuah benda menjelajahi^garis sehingga posisi s nya adalah t = )1" 4 2 meter setelah r detik. (a) Berapa kecePatan padaselang2
rata-rata

18. Sebuah bisnis berhasil baik sedemikian sehingga keuntungan total (terakumulasi)setelah r tahun adalah 100012 rupiah. (a) Berapa besar keuntungan selama tahun ketiga (yaitu, antara t = 2 dan t = 3)? (b) Berapa laju rata-rata keuntungan (ratt-rata keuntungan mariinal) selama tengah tahun pertama dari tahun ketiga (yaitu, antara t = 2 dan t = 2,5)? (c) Berapa laju keuntungan sesaat (/ceunfitngan marjinal) pada t = 2'! i9. Kawat sepanjang 8 sentimeter mempunyai massaantara ujung kiri dengan sebuah tifik sejauh x sentimeter ke kanan seberatx3 gram.

I

Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I

tl4 cm-----

l--x

{

Berat massaadalah x3 I

GAMBAR 10

c 600 9 o o c

€ €

4fi)

J

(a) Berapa kepadatan rata-rata dari pert ngahan ruas 2-sentimeter kawat ini?. Catdtan: Kepadatan rata-rata sama dengan massa/panjang.

tE 200

(b) Berapa kepadatan sebenarnya di titik berjarak 3 cm dari ujung kiri?

GATBAT, IT

20. Andaikan PendaPatan dalam r* piah dari produksi x kilogram suatu barang diberikan oleh R(x) = 0,5x - 0,00212. Cari laju perubahan sesaatdari pendapatan bilamanax = l0;bilamanax = 100. (Laju perubahan pendapatan sesaat disebut pandapatan maiinal). 21. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan Pada saat t adalah I/(r) = 0,2t2 - 0,09t, dengan / diukur dalam minggu. Cari laju pettumbuhan tumor bilamana r = 10.

4 E 1 2 , t 6 2 0 2 4 Waktudalamiam

kc dalrm tangti Berapakah laju perubahan eir rata-rata selama I hari? Seberapa ccpatkeh eir dipergunakan pada pukul 8? 2tl. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan orus listrik. Apabila * tt + / coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam f detik, tentukan besarnya arus listrik'dalam ampere (coulomb per detik) setelah 3 detik. Kapankah suatu sekering 20 ampere yang dipasang pada saluran itu akan putus?

22. Sebuah kota dijangkiti oleh epidemi influenza. Petugas menaksir bahwa t hari setelah mulainya epidemi, banyaknya orang yang sakit flu diberikan oleh p(r) = l2ot2 - 2r3, asalkan bahwa 0 < t< 40. Dengan laju berapa flu menular pada saat t=lO;t=20;t=40?

25. Jari-jari suatu tumpahan minyak yang berbentuk lingkaran berkembang pada laju yang tetap 2 kilometer per hari. Pada laju berapakah daerah tumpahan itu berkembang 3 hari setelah tumpahan itu teqiadi?

23. Grafik pada Gambar I I menunjukkan jumlah air yang tersedia di dalam tangki air di suatu kota selama 24 jam, di mana tidak ada air yang dipompakan lagi

perubahan luas {. Tentukan laju suatu lingkaran terhadap kelilingnya pada saat panjang garis kelilingnya 6 cm.

3.2 Turunan Kita telah melihat bahwa kemiringangarissinggungdankecepatanesaat adalahmanifestasidari pemikirandasaryangsama.laju pertumbuhanorganisme(biolo$), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatankawat (fisika), dan laju pemisahan(kimia) adalah veni versi lain dari konrp yang $rma. Pengertianmatematis yang baik menyorankanagar kita menelaahkonsep ini terlepasdui kosa kata yang khususdan terapanyang beraneka 'turutwn (derivatif). Ini merupakankata kunci dalam ragamini. Kita memilih narnanetral ' kalkulus selainkata /un ssi d^n limit.

_____)

Bab 3 Turunon

l15

Jika limit ini memangada, maka ditatakan bahwa / tcrdiferensialkan(terturunkan) di e Pencarian turunan disebut pendifernshlen; bagian kalkulus yang berhubungan denganturunan disebut kalkulur diferemhl.

coNToH-coNTGt YANG MEMBANTTiMEN' EUASKAN CONTOHI

Andaikan/'(x): l3x - 6.Canf'(4).

Penyeleuion

+h)-6l-I3(4)-6l '.

t-o

= tim h-o

cONTOH2 ltka

r' 1 "t : h

h-o

I

lim13: 13 t-o

l'(x) : x3 + 7x. canf k).

Penyelesoian

f(c+h)-f(c) /'(c): lim ft-O

_ ,,_ [(c + ir)3+ 7(c + ft)] [c3 + 7c] h

l-0

: lim

3c2h+3ch2+h3+7h

l-o

: lim(3c2 + 3ch + h2 + 7) :3c2 + 7

I

CONTOH3 Jika f(x)= llx, cari/'(.x). Penyelevian Perhatikanperubahanhalus dalam cara contoh ini dinyatakan.Sedemikian jauh kita telah memakaihuruf c untuk menyatakansuatu bilangantetap padamana turunan harus dihitung. Sesuaidenganitu, kita telah menghitungl'(c). Untuk menghitung /'1x), cukup kita bayangkanr sebagaisebuahbilangantetap, tetapi sebarang dan meneruskansepertisebelumnyal

Kalkulus dan GeometriArulitis

116

lim

/'(x):

f(x+h)-f(x)

:

t-O

..

.t*h

--------;llfll n i+o

iilid 1

x

:H[#i] :st.#',1 :

: -1 l'$ tr * ,r> .-= -l

= -l lx2 'Daerahasalnyaadalahsemua Jadi /' atlalahfungri yang diberikan oleh"f'(x) I bilangan riil kecuali x = 0.

CONTOH4 CariturunandariFjikaf(x):.[,x Penyelewian

F'(x):11.

> 0.

F(x+h)-F(x)

,r-O

:t:\Fuor-6 Sejauh ini anda telah memperhatikanbahwa pencarianturunan selalu menyangkut pengambilanlimit sr.ratuhasilbagidi mana pembilangdan penyebut keduanyamehasilbagiini sehinggakita daPatmennuju nol. Tugaskita adalah menyederhanakan coret faktor /r dari pembilang dan petryebut,jadi memungkinkankita untuk meng' hitung limit. Dalam contoh yang sekaran$,'inidapat dilalaanakandenganmera$ionalkan pembilang.

F,(x): y\l:E=-$ : lim

x * h - x

i:iA1tr*+Jil

: lim

i:i, y1r,e;7+ ,f*)

r

--_---------_ fub 3 Turunan

tt7 : lim --l r''-0.,/x+h+Jx - - - -1. - - : \/x + Jx

l _ 2J,

Jadi,F'-turunan dari F- diberikanoleh F'(x) : ll2uG. Daerahasalnyaadalah (0, cc).

I

I

i

1

BENTUK-BENTUKYANG SETARA UNTUK TURUNAN Tidak adayang keramat ten_ tangpemakaianhuruf tr dalammendefinisikan/'(c).Misallen, perhatikanbahwa

f(c + h) - f(c) f,(c) : ,.^ h

,r-O

_rr^f(c+p)-f(c) p-o - l l ,. m"

P

f (c + s) -/(c) s

s-o

y lc+h,f(c+hll

/ l

-n,

I

_: ) , , " . 0 ,

GAMBAR I

GAMBAR 2

Perubahan yang lebih radikal, tetapi masih tetap hanya suatu perubatran cara p€nulisan, mungkin dipahami dengan membandingkan Gambar I dan bambar 2. perhatikan bagriimanax mengambiltempat c * tr, sehinggax - c menggantikanh. Jadi,

)

1 ' * I

t-

Dalamnadayang serupa,kita boleh menuliskan

f

'(x): "^f (t) - f(x) t-x

t-x

,,__f(p) - f(x) p'x

P-x

Perhatikan bahwa dalam semua kasus,.bilangan pada mana aihitung dipegangtetap / clama operasilimit,

/

n8 CONTOH 5

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

Gunakanhasil dalamkotak di atasuntuk mencarig'(c), jika s{x)= 2l@ + 3). )

)

x + 3 - c + 3

knyelesoion

r-('

:ltI ( x + 3 X c ++ 3 ) -.L] :lTI-2(x - c) r l 2(c+3)-2(x

3)

x-c

(x+3[c+3) x - c l -2

1

: lim

,-l (x + 3Xc+ 3)

Di sini kta memanipulasikanhasil bagisampaikita dapatmenooretsuatu faktor x - c dari pembilangdan penyebut.Kemudiankita dapatmenghitunglimit tsrsebut. I yangberikut adalahsuatu turunan, tetapi dari fungsi 4pa dan CONTOH6 Masing-masing di titik mana?

(u) I'I

(4+h\2-16

h

-2 _ ; 2

&) rmlj 1 - 3 X - J

Penyelewian (a) Ini adalahturunan dari /(x) : x2 di x = 4. (b) Ini adalahturunan dari 7(x) :2lx di x = 3.

I

Jika sebuahkurva KETERDIFERENSIALANMENUNJUKKAN KEKONTINUAN mempunyai sebuah garis singgungdi sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangatberayundi titik tersebut.Perumusanyangpersisdari kenyataanini merupakan sebuahteoremapenting.

B,tkti Kit^ perlu menunjukkanbahwa lim /(x) : f (c). Sekarang

Karenanva

r+c

x-c

x-c

:f(c)+f'(c).0 : f (c)'

I

fub 3 Turunan

l19 Kebdikan teorema ini tidak benar. Jika frnSr / kontinu di c, maka tidak berarti bahwa .f mempunyai turuhan di c. Ini dengan mudah dapat dilihat dengan memandang /(x) = lxl di titik asal (Gambar 3). Fungsi ini pasti kontinu di nol, tetad tidak mempunyai turunan di sana. Untuk melihat yang belakangan, amati bahwa

flll

= lal

,,* /(x)

GAMBAR3

x-o

-lr(o) _

x-U

,.. lxl lol : nmE

r*o

x

*-j

x

limit ini tidak ada karena

timE: 1-9+

X

limI: r+O+ X

1

sedangkan

nm l:l : lim x-O-

X

r-O-

Argumentasi yang baru disajikan memperlihatkan bahwa di sebarangtitik di mana fungi mempunyai sebuahsudut yang tajam, maka fungsi tencbut kontinu tetapi tidak terdiferensialkan.Grafik dalam Gambar4 menunjukkan sejumlahkemungkinan.

Tidak kontinu, oleh Kontinu tstapi tak tordiferenEialkan karena itu tak terdifergnsialkan

I

Kontinu dsn terdifsr€mialkan

GAIIIBAR I

Kita tegaskan dalam Gambar 4 bahwa turunan tidak ada di titik c di mrna garis singgungnya tegak(vertikal). Ini discbabkan

f(c+h)-f(c) h bertambahtanpa batasbila ft '+ 0. Hal ini berkaitan dengankenyataanbahwakemiringan suatugarisvertikal tak terdefinisi.

I i

/

r I

Kalkulus dan GeometriAnalitis

120

Jilid I

j

SOAL.SOAL3.2 Dalam Soal-soal 14, gunakan definisi " f(c+h't- fk) f'(c):lim"f,

re.g(x): $' I fr. sG)= ,-

VJX

3

2r.,H(x\ untuk mencari turunan (lihat Contoh I dan 2)'

yang ditunjuk

r- f'(1) jika/(x) : x2 - x 2. f'(-2)jika/(x) 3.f'(-r)

: x3

Jr-2 22.H(x): lF * = 23-26', gunakan f'(r) Dalam Soal*el untuk mencari lim[/(| - J'G\llt - x) .f'(x) (lihat Contoh 5).

jika/(x) - xr +2x'

3 t. f'(4) jika /(x) = , + t

x2 - 3x

23. f(x):

A. f(x\ = x3 + 5x = Dalam Soal-svL 5-22, gunakan /'e; (x)]lh mencari untuk lim[/(x + h) f

x

x. f(r):

x_ 5

turunan di x (libat Contoh 3 dan 4). 5' ,r(t) : 5x - 4 6. f(t):

ax t b

7. f(x):

8x2 - I

8."f(t):x2+3x+4 9' f(x):

ax2 + bx + c

'2s. (x): x * 3 f , Dalam Soal-soal 27-36, limit yang diberikan adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana? (lihat Contoh 6).

tl.lim t-O

10./(x):2x3 ll. /(x) : x3 - 2x

28. lim t-0

12. f(x) = xa

1 3 .9 ( x ) : ;

r-z

2 u. g(x):, + 6 6 +r

x - l 1 6 .F ( x ) : r + t 17. G(x)

(3 + h)' + 2(3+ l) - 15 h

. x'-4 Zr. lim - - ^-

J

1 5 .F ( x ) : 7

2(5+ft)3-2(5)' h

2x-l x-.+

2x r8. G(x)=.7 _ x

Z

X

x3+x-30 30. lim ----------;x - J

r j 3

t2-x2 31. lim t', t-x D3-x3 32. lim P"

33. lim

P-X

2 x

2 r

,-tx-t 34. liln ,+,

s i n x - s i n vx-y

.-------:)

i t

r2l

Bab 3 Turunan

7

35. lim

cos(x * h) - cos x

,t+O

3d. lim

tqn(t + lr) - tan r h

i-o

(a) Taksir f(2>,f'(2), ^0,5), dan.f'(0,5). (b) Taksir laju perubahan rata-rata dalam /pada selang0,5 (x { 2,5. (c) Pada selang -l tidak ada?

(

x (

?, di mana

jrln /tu) 37. Dari gambar 5, taksir/(0),/(2), f'(5), danf'('t).

(d) Pada selang -l ( gagal untuk kontinu?

x (

7, di mana f J

(e) Pada selang -l ( x ( 1, di mana f gagal mernpunyai suatu turunan? (f)

Pada selang -l

(

f'8) = ot

G) Pada selang-l f'(") = t?

GAII{BAR5 38. Darigambar 6,taksirg'(-l),y'(l),

y'1+), 0""y'10).

x (

7, di mana

( .r ( 7, di mana

42. Diketahui /(x * y) = flx) * f(y) untuk setiapx dany. Tunjukkanbahwa bila.,/(o) ada, makaf @) aaa danf 1a1= f@)f @\ 43. Diketahui (mx+bjika.r<2

/txr:{

,

t ..'

. . , .x 2 jika 2

Tentukan m dan ! sedemikian nrpa sehingga / dapat didiferensialkan di mana saja.

GAIIEAR,6

-l

39. Sketsakan grafik y =1'1x; pada ( x ( 7 untuk fungsi / dari Soal 37.

44. Turunan simctris /r(x) didefinisikan dengan

"/Jx): lim i-O

-l

40. Sketsakan grafik y = gi(x) pada (x ( 7 untuk fungsi gdari Soal 38.

41. Pandang fungsi y = flx), 'yang Sr{iknya disketsakan pada gambar 7.

Jg+h)-l'1o-h) 2h

Tunjukkan bahwa bila ./(x) ada, maka ,fs(x) ada, tetapi tidak demikian sebaliknya.

45. Diketahui / terdiferensialkan dan m. Tentukan f Gt,) bila (a) / f @i= adalah fungsi ganjil; (b) / adalah fungsi genap.

46. Buktikan bahwa turunan dari suatu fungsi ganjil adalah zuatu fungsi genap dan turunan suatu fungsi genap adalahfungsiganjil.

/

I

-.:T-

t22

Kalkulus dan GeometriAnalitts

lil*t

I

3.3 AturanPencarian Turunan Prosespengarianturunan suatu fungi langsungdari'definisi turunan, yakni dengan menyusunhasilbagiselisih

f(x+h)-f(x) h dan menghitung limitnya, memakan-waktudan memboaankan.Kita akan mengembangkan alat yang akan memungkinkankita untuk mcmperpendekprosesyang berkcpanjan!an ini yang nyatanya alon memungkinkankita unfuk mencariturlnran dari fungsi-fungsi yang tampakrumit dengansegcra. Ingat kembali bahwa turunan suatu.fungsi adalah fungsi lain / /'. Misarnya,jika /(r): x2 adalahrumus untuk f, matlo, f'(r) = Zx adalah,u-u, untli/,.p;r;;;b]; turunan dari / (pendiferensiaran adalah pengoperasianpada fl /untuk menghasilkan;' Sering kali kita memakaihuruf D untuk nrnunjukkan opensi ini. Jadi kita menuliskan Df : f ', Df (x) : f '(x), atau(dalamcontoh yang disebutkandi atas)D(x2y :2". a;;;; teorema di bawah dinyatakan dalam cara penulisanfungsionaldan dalam carapenulisan operatorD. KONSTANTA DAN ATURAN PANGKAT Grafik fungsi konstanta JV) = * merupakan ybuah garishorisontal (Gambar l), sehinggamempunyai kemiringannol di mana-mana. Ini adalahsatucarauntuk memahamiteoremapertamakita.

/'(x):

lim

f(x+h)-f(x)

:in?:l*o:o

I

t-O

lx+h,x+hl

tlxl : k

GAMBARI

llxl=Y' GAMBAR 2

Grafik 4r; = t merupakansebuahgarisyang melalui titikasaldengankemrringan I (Gambar 2); sehinggakita dapat menilugaturunan fungsi ini adalah I untuk semua-x.

r

||,

; xir"-l!t)

-'rrrYn'r:i''rb

h,kti

r,(x):Hrqlj:/(:t:llrts:lif :,

r

kembali sosuatudari sebelum menyatakan teorema kita berikutnya, kita ingptkan omial' bin suatu aljabar: bqgaimanamemangkatkan (a+b)2:a2*2ab+b2 (c + b)3 : a3 I 3azb + 3ab2 + bt (a + b)a : a4 * 4q3b + 6a2b2+ 4abt + b4

(a + b) : an *

ar-2b2+ "' + nabn-t + bn

na'-tb *Y+

Bukti fk+h)-f(x)

"

f'(x):rim"ff:l'i-l+o

(x+hY-x'

h-

rr

x o + n x o - r O* n ( n :

l)

- x' x r - 2 h 2+ . . . + n x h n - r * h '

: ti^ h-O

nx,-t+ry

+ hn- l x,-2 h+ ... * nxh' - 2

: lim ,t-0

Didalamkurungsiltu,semuasulrukecualiyangpertamamempunyai,tsebsgaifalctor, Jadi suku ini mempunyailimit nol bila ft mendekatinol' sehinggamasing'masing

I

f'(x) : nx^-1 Sebagaiilustrasidari TeoremaC, perhatikanbahwa D ( x ! 1: 3 r 2 ,

D(xe;:.9te,

D(xtoo): lOoxee

/

Kalkulusdan GeometriA

124

D ADALAH SEBUAHOpeRAfOn LINEAR OperatorD berfungsisangatbaik bilamana diterapkanpadakelipatankonstantafungsiatau padajumlah fungsi'

Dengn kata-kata, ini nrengatakanbahwa suatu konstanta k dtpat disefurangkan melewotioryrator D. tukti

Atdukan F(x) : k'/(x)'

Maka

F' (x):H{el]:J!r:ynuvtff :

ltmk' t+o

f(x + h\ - f(x) : h

:

l('llm n-o

f(x + h) - f(x) n

: k 'f '(x) lanskah sebelumyang terakhir adalahkitis. Kita dapat menggeserk melewati tanda I lirnit karenaTeoremaLimit Utama (Bagian3). hasil'hasilini adalah Contoh-contohyangmengilustrasikan p1-7x3):

-lD(x3) -- -7 .3x2 :

D(3r) : iqxe)

dan

: t'9x8 :

-21x2 l2x8

Dengankata-kata,ini mengatakanbahwaturutan dai suatuiumlah adalahiumlah dori frirufun-turunan. tukn A\datkan F(x) : f (x)ls@)' Maka

F'(x):

lX : l ,,_ ' i l l .f(, + h, ), f(x),t

sG + h)- s( x) ]

h

r

s(x + h) - -s@) -,,- /(x + t) -f(x) *.' r,. tl-" i-o

n

: f,(x) + 0,@) I

, <'l

l

F

125

tub 3 Turunan

IagiJagi, langkah sebelum yang terakhir addah yang kritis. Ini dibenarkandenganmeI lihat padaTeoremaLimit Utama(Bagian4). Sebarangoperator tr dengansifat-sifat yang dinyatakandalamTeoremaD dan E disebutlinear, yakni, ^Ladalahlinearjika: l'

L(V)= kLt ), k konstanta;

2.

L(f + il:

L(f) + L(s).

Operatorlinearakanmuncul berulang-ulangdalam buku ini; D merupakansebuahcontoh - L(S)yng khas.Sebuahoperatorlinearselalumemenuhiaturanselisihl(f - il : L(f) dinyatakanberikutnya untuk D.

&.tkti

Dlf(x) - s(x)l : Dlf(x) + (- l)g(x)l = Df (x) + Dt(- l)s(x)l

(Teorema E)

/

r Kalkulus dan GeometriAnalitis

t26

: Df(x) + (-l)Ds$)

Jilid I

(TeoremaD)

: Df(x) - Ds@)

I

CONTOHI Cariturunandari 5x2 * 7x - 6 dan 4 x 6 - 3 x 5 -

10x2+5x*16.

Penyelevian D(5xz+ 7x - 6): D(5xz+ 7x) - D{6)

(TeoremaF)

: D(5x2)+ D(7x'1- D(6)

(Teorema E)

: 5D(x2)+ 1D(x) - D(6)

(Teorcma D)

=5.2x+7.1+0

(Tcorema C, B, A)

:10x*7

padajumUntrrk mencrri t.rrun.u bcrilutnya, kita perhatikanbahwateorema-teorema Jadi, urku. terhintga lah dan selisih meluassernpri *jumlsh D(4x6 - 3x5 - l0x2 + 5x + 16) : D(4x6)- D(3xs) - D(10x2)+ D(5x) + D(16) : 4D(x6) - 3D(x5) - loD(x' ) + 5D(x) + D(16) : 416xs)- 3(5xa)- l0(2x) + 5(l) + 0 = 2 4 x s- l 5 x a - 2 0 x * 5

I

Metode pada Curtoh I memungkinkankita untuk mencariturunan sebarangpolinom. Jika anda mengetahuiAturan Pangkatdan melakukan aPa yang datangsecaraalamiah, hampir pasti bahwa anda akan memperolehhasil yang benar. Jika anda dapat menulis jawabantanpalangkahlanjutan,itu pun baik. ATURAN HASILKALI DAN HASILBAGI Sekarangkita siap untuk suatu kejutan. Turunan hadlkali fungsi-fungsitidak samadenganhasilkali turunan fungsi-fungsi.

Bab 3 Turunan

127

I

lni harus dihafalkan dalam kata-kata rbagai berikut: Turanot hasillcalidua fung$ dalah turuwn kcdua yottg pertons dilcqlikan ditotnMr denga tururun pertomo yqtg lccdta dikalikon.

Bukti

Andatk"n,f(

x) =/(x)g(x). Maka

F'(x):

F(x+h)-F(x) h

li6 ,t-0

h)s(x + h) - f(x)g(x) : tim f(x + h r-b : lim f(x + h)g(x + h) f(x + hb(x) +/(x

:

n ko +h)ry

:

f1rr*+n)lii ry

+ h)s(x) - f(x)s(x)

+h)- f(x)f + s').f(x r-J

: f (x)s'$) + g(x)f'(x)

+s@) }nMFp

Pertama, turunan yang baru saja diberikan mengandalkanpada teknik penambahan dan penguran&nyang sama,yaitu /(x + lt)g(x). Kedua,padaakhirnyakita gunakankenyataanbahwa

+ h): f(x) lT /G Ini hanya merupakan terapan Teorema3.2A,ymgmengatakan bahnraketerdiferensialpadasuatu titik menunjukkankekontinuandi titik tersebut. I , an

CONTOH 2 GunakanAturan Hasilkali untrk mencariturunan (3x' - 5)(2xa - x). Periksajawab denganmengerjakansoalitu secaralain.

/

rKalkulusdanGeometriAnalitis Iilid I

128 Pehyelevian

D [ ( 3 x 2 - 5 X 2 x a - x ) ] : (3x2 - 5)D(2xa x) + (2xn x)D(3x2 5) : (3x2 - 5)(8x3 - l) + (2xa - xX6x) : 24x5 - 3x2 -40x3 + 5 + l2xs - 6x2 : 36x5 - 40x3 - 9xz + 5 Untuk memeriksa,pertamakita kalikan dan kemudianambil turunan' 5 ) ( 2 x a- x ) : 6 x 6

(3x'-

- loxa - 3x3+ 5x

Jadi, Dl(3x2 - 5\2xa - x)l : D(6x5) - D(l0xa) - D(3x3) + D(5x) : 36xs - 40x3 - 9x2 + 5

berikut:Turunan ini dalamkata-katasebagai Kami tekankanagarandamenghafalkan pembilang pembilung dikurangi penyebut kali Urunst dengan vma hasilbqi adolah satu kolirurunanpenyebut,vfuruhnyadibasidengn kuodmtpenyebutnyc' lgrLdank€n f(x)=f(x)/9(x). Maka -. F(x + ft) - r(x) F'(x): lim Otuloi

: lim ,!-O

f ( x + h ' t_ f Q ) g(x + h) sQ) h

: lim s F ) f @ + h ) - f ( x ) s ( x + t t ) ,rr O

h

g(x)s(x+ h)

'"] Bab 3 Turunan

129

_,,^lo$)f(x - urrr I

+ h) - s6)f(x) +f(x)g(x)-f(x\s(x + h)

h

;L

6*1') (r

t f6 + h)- f(x) - ..(x, ----;-,g(x+ h) s(x)'l l f h + h)) I'i tlr(') )g(x)g(x : ls$)f '(x)- .f(x)s' $)l #6

:

J

T

(3x - 5) (x2 + 7)'

coNToH 3 Cariturunan*n Penyelesian

Q2 + 7)D(3x- 5) - (3x - 5)D(x2+ 7)

-

'^ftx E ' + jsll :

:@ :

(x2 + 7)2

-3x2+lOx+21

@47

CONTOH 4 C u i D yi b y :

j

2 3 *1*;.

Penyelevion

* r/1\ Dr: - D(--Z .) r/ \x* +

:

CONTOH 5 yaitu,

\x/

x (x" + l) (x4 + lXo) - (2[4x3), (x)(o)- (3Xl) --TqT

i'-

tF--r

-8x3

3

I

@T-tr- V

hrktikan bahwa Aturan Pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif;

Penyelcsian i

[

, ( x _ "^)/ :l \r (:*Tx.n/:._0 -]l ."n:x , - r

-nxn-r -nx-n-l

I

I l

It--

-

/

l3O

Kalkulusdan GeometriAnalitis Jilid t

Kita lihat sebagaimana bagiandari Contoh 4 bahwa H3lx\ =_3lxz. Sekarangkita telah memiliki caralain untuk memperlihatkanhal yang sama.

, ( : ) : D ( 3 " - ' ) : 3 D' ( . r - ' ) :3 ( - l ) . r - ' : - 1 \-t /

.r2

soAL-sOAL3.3 Dalam Soal*oal 144, cari Dy kan aturan-aturan dari pasal ini. l' Y :2x'

menssuna,r(Ur:2r-6

+ x-,

1 9y. : ? - :

x x '

2. Y :3xn

4. y:

_:

a. y:*

3.Y:nx2 uhxs

I 21. t : - 1 2 x

'

5. -v: -3"

zx

) ) ' 3 x 3

6' Y :4'-' t

t

,, - ---;,. -/

2 3 .y : . r ( x 2 + l ) E.r:

-n --j (Jr:

- t) 3-r(.r3

25.y:(2x+t)2

S "., : 15,t"

26.y:(-3x+2)2

' 1 0 . r : *)

2 7 .y :

JX-

( x , + 2 ) ( x 3+ l )

i z 8 \ r : ( - x n- l X x 2 + l )

ll. y -- -x3 + 2x 12.y:2xn-3x

2 9 .y : ( x 2 + l 7 ) ( . r 3- 3 x + t )

13.y:-xa+3x2-6x*l

30. -y : (,ro + 2-t)(x3+ 2x2 + l)

1 4 .Y :

llx4-3-r+

19

15. y = 5x6 - 3xs + llx - 9 1 6 .y : 3 x 1

- 9 x 2+ 2 l

1 7 .Y : 3 x - s + 2 x - 3

31. i' : (5x2- Tex2 _ 2.r + l) /=: (3.rr+ 2x)(.ra- lx + t) Q)r 33. -r, : A , 'v =

3-r.+l Sxr_l

-

-

'

.

-

fub 3 Turunan

13l ( St.) Cari semua titik Pada $afik - x' di *an" garis singgung men=)f u datar. .

I 35' '3, : ;-'-------.--4x'-Jx+9 4 36. Y =;--i--- . zx- - 5x

52. Cari semua titik Pada grafik - x di mana garis singgung y = lrt + x2 mempunyai kemiringan l.

x - l x * l

3 ' 1 .-v :

53. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat r detik diberik a n o l e h s = - 1 6 1 2+ 4 0 r + l O 0 . (a) Berapa kecepatan sesaatnyapada r =

2x - |

/^1 | 3EJ t' \-/

x-r

z'! (b) Bihmana kecepatan sesaatnya0?

2x2-l

39. 'v:-..."..--'-...._ 3x+5

'V

54. Scbuah bola menggelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik awal setelah r detik adalah s = 4,5t2 + 2r kaki. Kapankah kecepatan sesaatiya akan sebesar30 kaki/detik?

5x-4 3x'+l

40. '

4t. 'V

I

: -

: -

2x2-3x+| 2x+l

/-^

5x2+2x-6 3x-l

-k+YX-l 43. 'y : -

4 4 .v :

x2-x+l x'*l

z ^ - txz)L#(

x2-2x+5

x2+2x-3

45. Jika/(0) = +, f'(O) = - 1 , g ( o ) = -3, dan c'(0) = 5, cari (a) U . s)'(o ); (b) (J+ c)'(o);(c) (fld'@). '(3) = 46. Jika f(3) = 7, f 2, s13\= 6, = -10, (a) (f g'(3) c.ari dan . d'G); (b) (,r. g)'(3); (c) Gl D' Q). 47. Gunakan Aturan Hasilkali untuk bahwa Dll\x)|2 menunjukkan 2 .l\x).f'(x). 48. Kembangkan suatu aturan untuk D[/(r)g(r)ft(x)] . 49. Cai persamaan garis singgung pada y = 3x2 - 6x + I di titik (1, -2). 50. Cari persamaan garis singgung pa-

d a y =1 ' r * z+ l ) d i t i t i k ( 1 , + ) .

\

\SS. ffraapat dua garis singgungpada kurvX-r/= 4x - x2 yang melalui titik (2, 5). Cari persamaan garis-garis tersebut. Peunjulc: Andaikan ({o, yo)adalah titik singgungnya. Cari dua syarat yang hanrs dipenuhi oleh (x6, 7e). ( 56J Seorang penjelajah angkasa bergerhr:{ari kiri ke kanan sepanjang kurva y = y2. Bilamana ia mematikan mesinnya, ia akan bergerak sepanjanggaris singgung pada titik di mana ia saat itu berada. ' Pada titik mana ia harus mematikan mesin agar mencapaititik (4, 15)? 57. Seekor lalat merayap dari kiri ke kanan di sepanjangpuncak kurvs y=l-a'' Seekor laba-laba menunggunya pada titik (4,0). Tentukan jarak antara kedua serangga itu pada saat mereka pertama kali saling melihat. D) suatu titik 58. Diketahui (4, pada kurva y = llx di kuadran pertama, dan garis singgung pada P memotong sumbu x di ,4 . Tu4iukkan bahwa segitiga r{ OP samakaki dan tentukan luasnYa.

I 591 Jari-jari suatu buah semangka bulat, tumbuh padatingftat yang konstan 2 cm tiap minggu. Ketebalankulitnya selalu sepersepuluhdari jari-jarinya..Berapa laju pertumbuhanvolume kulit semangka tersebutpadaakhir mingguke lima?

/

132

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jitid I

3.4 Turunan Sinus dan Kosinus tentang roda yang Dunia modern kita berjalan di atas roda. Pertanyaan-pertanyaan berputar dan kecepatantitik padanyasecaratak terelakkanmenuju ke pengkajiansinus dan kosinus dan turunan-turunannya.Agar siap untuk pengkajianini akan sangatbaik untuk menelaahulang Pasal 2.3. Gambar I mengingatkankita pada definisi fungsi-fungsi sinus dan kosinus. Dalam yang berikut ini, r harus dibayangkansebagaibilanganyang mengukur panjangbusur pada lingkaran satuan,atau sama saia, sebagaibilangan radian dalamsudut yang berpadanan.Jadi, flr) = sin r dan g(r) = cos t adalahfungsifungsiyang mempunyai daerah asal dan daerahhasil berupa himpunan bilanganriil. Kita dapat mea. mikirkan masalahpencarian tur unan-turunanny RUMUS-RUMUSTURUNAN Kita memilih untuk memakaix ketimbangt sebagai variabel dasar kita. Untuk mencariD(sin x), kita bersandarpada definisi turunan dan menggunakanidentitaspenambahanuntuk sin(x + l).

D(sin x) : lim ,r- O

: lim

sin(x + h) - sin x h sin x cos h + cos x sin h - sin x

,t-O

h

sinft\ , .\ -/s t n x l - c o s f t :lT +cosx h ,r /

: (- sin, [n#]

GAMBAR,T

* t.o,,[nY]

GAMBAR,2

Untuk mengakhiriturunan kita, kami berikandua buah limit untuk Anda evaluasi.Sebuah kalkulator menyediakantabel dalam Gambar2. Ini menunjukkan,dan kelak dalam

133

Bab 3 Turunan pasal ini, kita akan membuktikan bahwa

t -;"'l: o :TY: t ,l1T Jadi,

D(sinx) : 1- sin x).0 + (cosx). 1 : cos x J

Demikianpula, D(cos x) : li6 i-O

cos(x * h) - cos x h

. . c o s x c o s h:iTT

sinxsinh - cosx

- stnI s i n f i \ fr / -(-cosx).0-(sinx)'1 -.

:IT

/

|\-

l-cosh

cosx-J-

: - sinx

Kita ringkaskanhasil-hasilini dalamsebuahteoremaPenting.

CONTOH I Penyelevian

Cari D(3 sinx - 2 cosx). D(3 sin x - 2 cos x) : 3 D(sin x) - 2 D(cos x)

:3cosx*2sinx

I

/

t34

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

COINTOi|2 CatrD(tanx) Penyelevian

t\ D(tanx) : ,/ll \cos x/ cosx D(sinx) - sin x D(cosx) cos'x cosxcosx+slnxsln.x

cos-x I : s@2x cos'x

t

:-....T

OONTOII 3 Cari persamaangaris singgungpada gralik.p = 3 sin 2r di ritik (r/2, 0) 0ihat ; Crambu3). Penyeleuior Kita memerlukan turunan dari sin 2x;saymgrrya, kita hanya tahu bagaimanal mencari turunan dari sin x, Tetapi, sin 2x = 2 sin r cos.r. Jadi,

D(3 sin 2x) : q6 sin x cos x) : 6 D(sin x cos x) : 6[sin x D(cosx) + cosx D(sinx)] : 6[(sin x[- sin x) + cosx cosx] : 6[cos2x- sin2x] :6cos2x

GA}IEAR,3 Padar = rl2, turunan ini bernilai - 6, yang karenaitu merupakankemifiganr saris sinsgungyans diinginkan. Perssnaangaris ini adalah

/-o:

-.(r-;) T

CONTOH 4 Perhatftan kincir ferrisyangjarijarinya 30 kaki, berputar berlewanan arah pcrputaranjarumjam dengankecepatansudut 2 radian/detik.Seberapacepatdudukan pada pelek naik (dalam arahtegak)padasaatia beradal5 kaki di atasgarismendatar (horisontal) yangmelalui pusat kincir?

tDi dni kcmiringen mcnorJomdrkan pcogctitn 'tanjrkrn", 'Icrcn!". edr yrng maglunaku

"rlopc"; p@dil

lrin

._:

)_

kb 3 Tuntun

135

Payclcmiu Kita dapat mcmisalkan batrwa kincir bcrpuret di dtik asd dan baftwe dudukan P bcrada di (30, 0) pada saat r = 0 (Gambar4), Jadi pada raat r, P telah ber. gerak melahi ndut 2f tadian, sehinggamempunyai koordinat (30 cos 2r, 30 dn 2r). Laju P naik adalahturunan koordinat vertikal 30 sin 2t diukur padasuatunilai / yang resusi.Monurut Contoh 3,

D(30sin2t'l:69*"r, Nilai t yang sesuai untuk penghitungan turunan ini adalah t = rll2 3O sin(2rI 12\ = I 5. Kita simpulkan bahwapadar/ l 2, dudukanP naik pada

karena

P(3Ocos2r, 30 3in 2rl

oo"o.(z

#)

: a{Uzr

51,e6 tcakVdetik

t

GA}IBAR 4

PEMBUKTIAN DUA PERNYATAAN LIMIT Segalaseuenr yrat tdrh tits lal$kan dalam pasalini tergantung pada fua pernyataanlimit,

Mereka memerlukan bukti. Bttkti Andaikan bahwa r ) 0 dan pandang diagram (yang rckrrang sudah dikenal) pada 9ambu 5. Pedratikanbahwabila t -i 0, titik P bergerakkc areh(1,0), sehingga

limcost:1

limsinr:0

r-O

r-O

o

.d''''^" I

An,0)

x

GAI{BAR 5

Selanjutnya,untuk -rl2 I t 1 rl2, I * 0, gambarkanlahpotongangarisvertikal EP dan busur .8C seperti tampak dalam Gambar 6. (Bila f ( 0, daerahyang terpotong akan l'

/

Kalkulus dan Geometri Analitis

136

Jilid I

Jelasnya' merupak'anpencerminanterhadapsumbu'x)' (sektor OAP) Ilas (sektor OBC)
\tr (luas suatu sektor; lihat Soal 30 Bagian

r <(t)' lrt |(cosr)' irl{} cosrlsin ti positif irl cost dan menya' atau setelahmengalikandengan2 dan dibagi denganbilangan takan (sin r)/t adalahPositif. I sint c o s t < . - < -- c o s t t DenganmenggtrnakanTeoremaApit, dari ketidaksamaangandaini akan diperoleh:

limstnt:1 f - o t hasil YangPertama. sebagai -Hasil keiua, dapatkita perolehdenganmudah dari hasil yang pertama. l - c o- -s-t : l i .m. - l - c o s t l + c o s l : l l ,m, -: . -l -- -c o s 2 t limt+cosf t '-o(1 +cost) I r-o ,-o lim sin t s t n f 'tr , - o sin" . . :: lim--;- ------ ^ -: hm -

:1r(t + ""t t) o :1.;:0

,:;

r

lim(l + cosr)

t

untuk membuktikan walaupun penggunaanutama dua Pernyataanlimit ini adalah lirnit'limit lain' menghitung untuk rumus-rumusturunan, kita juga dapat memakainya CONTOII 5 Carilimit'limit berikut

(b) sin3,5x I'i

1-cosr (a) lim----. ---" t-o

Sln t

knyekvbn I -cost

(")riT,=#l -,* _,i- : f : o t

,0, 1i=::l*; -::iHu*:i

'

5 J

Bab 3 Turunan

t37

Padalangkahsebelumyang terakhir,kita gunakankenyataanbahwabila x -+ 0,.5x+ 0. Jadi, ,.

lrfll r-o

sin5x )X

-

.. I sin5x - .. sint : l lltTlf llm.-

s,-l

)x

r-o

t

I

I

{

SOAL.SOAL 3.4 Dalam Soal-soal l-12, cari.Dy. l. y:3sinx-5cosx "/'t:sinxcosx 3 . -v : c o tx :

cos x srnx

4 . -v : s e cx :

I cosx

I 5 . -Y : c s c x : _ : stnx K v:

sin2x

"o

putaran jarum jam pada kecepatan sudut sebesar I radian/d*ik. Satu dudukan pada pelck berada di (20, 0), pada saat f=0. (a) Berapa koordinatnya pada saat t = r 16? (b) Seberapa cepat ia naik (secarategak) padasaat t=nl6? (c) Seberapa ccpat ie naik (sccara tegak) pada waktu ia naik pada hju yang tercepat? Dalam Soal l'l-22, ik\ti prosedur dari Contoh 5 untuk mencari tiap limit.

sin x

17. lim r-o

7.v: srnx+cosx tan x sln x - cos.I

9. y:

@sx l l . 'v : - x

Jl9,::# E tS. Cari persamaan garis singgung paday=sinxdi.x=1. 14. Cari persamaan garis singgung paday=tanx dix=n14. 15. Pandang kincir ferris dari Contoh 4. Pada laju berapadudukanpada pelek bergerak secaia mendatar pada waktu t = nl4 detik (yaitu, pada waktu dudukan mencapai puncak kincir)? S"U*tt kincir.ferris dengan jari\. 1an 20 kaki berput4l-b_erlawananarah pcr-

sin 2x 3x

,r-af

O{'1$

r

tinb lg. li,-6 tltr x

sin2x * cos2x

l0' Y:x2sinx

;

-,.-- \ ( \.r{a

c'rr

\/Xr-ocscx21. lim r-o

I

tan r -,sin x .I @S.X

) ^ ( zzJi^*u \/

s-o tan 3x

X. Perlitratkan bahwa kurva y = 1ft sin x dan y = 1E cos x saling berpotongan tegak lurus pada sebuah titik, tertentu denganO 1x Lnl2. 24. Pada saat t detik, Pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t sentimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapa kecepatan pelampung pada nat t = O,r 12, n?

.

:

1 I __.j

/

Kalkulusdtn GeameffiArulitis Jilid I

138 25. Gunakan definisi tutunan untuk memperlihatkan bahwa D(sn x2) = 2t 2. cosx

q

(c) Guaaka kalkulator untuk mendapatkan taksiran yang akurat dari tim (D/E). t*0*

25. Gunakan definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa D(sin 5x) = 5 cos 5x. 27. Brla x6 adalah harga positif ter' kecil dari x di mana kurva-kurva / = sin x dan y = sin 2x berpotongan, tentukanxo dan juga sudut lancip yang dibentuk dari perpotongan kedua kurva pada x6 (lihat Soalo28pada Bagian 2.3). Z\. n"ti luas (O8P) { luas (O,'{P) { has(OlP) * luas(ABPQ) dalam Gambar 7, tunjukkanlah bahwa t cost<-(2-cost stn f dan dapatkan pembuktian lainnya bahwa lim (sin t)lt = l. t-0

P(cosr, sin r)

h

,(' I

0

4(1,0)

GAJ{BAN,E

C.atatan: Jawaban yang pasti pada (c) akan ditemukan pada Soal 27 dari Pasal 9.1. iO Sebuah segitiga samakaki ditu' tup oleh setengah lingkaran sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 9. Apabila D adalah luas segitiga AOB dan E adalah r luas daerah yang melingkupnya. Tentukan rumus untuk D/f, sebagai fungsi f dan kemudian hitunglah

tim I

,-o* E

)9. P"A. Gambar 8, diketahui D adahh luN scgitiga ABP d*r f adalah luas daerah yang menaunginYa. (a) Taksirtah nilai dari 1i4. (D/E) dengan mempethatikan gambarnYa' (b) Tentukan suatu rumus untuk DIE *bagflr fungsi r'

3.5 Aturan Ranai usahauntukmencariturunandari Bayangkan F(x): (2x' - 4x + 1)60

w o

GAMBAR9

fub 3 Turunon

139

Pertamaanda harus mengalilon bersamake 60faktor-faktor kuadrat b2 _4x + I dan kemudian mendift rensialkanpolinom derajat l2O yangdihasilkan. Untimg saja terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari aturan rantai, anda akan nrampu menuliskanjawaban. F(x):

6A(2x, - 4x t l)5s(4x - 4)

secepatanda menggerakkanpensil anda. Sebenamyaaturan rantai demikian pentingrya sehinggaandajarang lagi mendiferensialkansuatu fungsi tanpa memakainya.ietapi agar dapat menyatakan aturan tersebut sebagaimanamestinya, kita perlu memperkenalkan suatuterobosanpadanotasiD kita. NoTAsl D' Jika suatu masalahmenyangkut lebih dari satu variabel,akan sangatmembantu untuk mempunyai saranapenulisan (notasi) untuk menunjukkan variabel mana yang sedangditinjau pada suatu saat tertentu. Jadi,jika y = sin s2xi dan kita ingin mem_ perlakukan x sebagaivariabel bebas dan s sebagaiLonsten, maka dengan menulisDr,;r akan memperoleh D,! : D,(s2x3): s2D,(x3): s2. 3x2 LambmgDry ini dapatdibacasebagaiturunany tcrh@ x. Lrbih pentingadalahcontoh berikut. Andaikan| = u5o dan z = ?*2 - 4x + l.Maka Dul =-6ouse dan D,u = 4x - 4. Tetapi perhatiken bahwa bilamanakita menggantikan u = 2x2 * 4x + | dalamy = 160, kita peroleh ,:(2x2-4x+l)60 dengandemikian, adalah beralasanuntuk rnenanyakanapa dan bagaimanaDry ini dikaitkan terhadapDult danD"r? Secaralebih umum, bagaimanaandamendiferensialkan suatu fungsi komposit? PENDIFERENSIALANFUNGSI KOMFOSIT Jika Tina dapat mengetikdua kali lebih cepat daripadaMona dan Mona dapat mengetik tiga kali lebih cepat daripadaDono maka Tina dap*t mengetik 2.3=6 kalilebih cepatdaripadaDono. Kedualaju tenebut dikali. kan. Andaikan bahwa y=flu) danu=g(.x) menentukan fungsi komposit y = /(g(r)). I(arena suatu turunan menuniukkanlaju perubahan,kita dapatmengatakanbahwa y berubahD;lkili

secepatu

a berubahD ru kalisecepatr Kelihatannyaberalasanuntuk menyimpulkanbahwa y berubahD;.

Dru kali secepat.x

ini memangbernr dan kita akan memberikanbukti formal dalampasalberikutnya. Hasilnya disebutAturan Rantri.

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

140

Jilid I

Mungkin akanmenolongandauntuk mengingatnyabegini' variabel kanan

variabel tengah

variabel kid

II

II

I

y:f

/

(u'l

I

\

u : 9(.Y)

dan

/1"#T\= /;umt /i:ilH\ l [ , n " u . o f [ t e r h a d a{p[ fl f i ] - l \;x:1"'/ \;:#ff'l' \;xl'/ D,u

D,Y

D,y

bahwa memahaminya kesukaran Dengancarasepertiini, andatidak akanmengalami jika w:/(s)

dan s:9(t)

maka Drw : D"w Drs PENERAPANATURAN RANTAI Kita mulai dengancontoh (?t' - 4x + l)6o yangdi' perkenalkanpadapermulaanpasalini. CONTOH I Penyelesbn

Jika y = (2xz - 4x + I )6o, ca:J.D,l. Kita pikirkan ini sebagai ! :

u60 dan

u:2x2

- 4x * |

Jadi, Drl : DuY'Dru

: 160u5e[4x- 4) :6a(2x2 - 4x f'l)5e(4x - 4)

I

CONTOH2 likl. y = ll(2xs - I)3,'cariDry. /

-.--

'

-

Bab3 Turunan Penyekvion

l4t

Pikirkan begini ! :

Jadi,

I ;l:

_" u-"

dan u:2x5 - 7

D'! : Duy'D,u : (-3u-a[lOxa) -1

:;i'toxa

:

- 30xa

1z;r=ry

CONTOH 3 Jiliaay = sin(r3 - 3x), cai, D;t. Penyelevion dan u:x3-3x

./:sina Jadi,

D'! : DnY'D'u : (cosu).(3x2 - 3) : [cos(x3 - 3x)] .(3x, - 3)

:1a-1\" coNroH4 cari o./t''\ to+3 I Peyelevian Pikirkan secaraini dalammerrcari Dllt,dimana ! : ,tt3 dan u:!t

-

t+ - 7 +2 3

|

Maka, Dry : Duy-Dru : t3ut2t4 + 3)(3t2 2) (t3 2t + l)(4t!)

r

-t6 + 6t4- 4it + 9t2_ 6 + 1\t2 -. ,rlr'" \ - 7 2r J3 l

E

r

Segeraanda akan mempelajariuntuk membuat pengenalandalam hati tentangvariabel antara tanpa menuliskannya.Jadi, seorangpaku segeramenuliskan: D,(cos3x) : (- sin 3x). 3 :

_3 sin 3x

D,(x3 + sin x)6 : 6(x3 + sin x)5(3x2 * cos x)

D,/-!)' '\cos

3rl

cos3t - t(-sin 3r)3 : o/-Lf 3r/ cos23r \cos 4r3(cos 3r + 3r sin 3r) _ " cos53t

/

r

Kakulus dan GeometriAnalitis

t42

Jilid I

ATURAN RANTAI BERSUSUNAndaikan y=f(u) dan a=g(v) dan v=h(x) Maka Dry Dou Dru

Dr!:

CONTOH5 Cari Dxtsin3(.b}. Penyehvbn

Pikirkan ini untuk mencariDT, di mana /=ul

dan l=sinY dan Y=4r

Malta, D'! :

D n Y 'D u u ' D ' t s

: 3 u 2' c o su ' 4 : 3 sin2(4x)'cos(4x)'4 = 12 sin2(4x)cos(4x)

I

Disinijuga,andaakansegeramelakukanPensSantianinidalamkepaladanmenulis. pen' kan jawabnya aeog* segera.Mungkin membantu jika anda perhatikan bahwa, dalam ke paling luar difeiensialan fungsi komposit bersrsun, anda bekerja mulai Anda lurung uah dalam,sepertimengrpasbawangMarilah kita kerjakanContoh 5 sekalilagi, denganmembuatgamblangapa yang baru kita katakan D,[sin(4x)]3 : 3 sin2(4x)D'sin(4x) : 3 sin2(4x)cos(4x)D,(4x) : 3 sin2(4x)cos(4x)'4

-.

: l2 sin2(4x)cos(4i)

CONTOH5 Cari Dx {sinlcos(r2)l }. Penyelevian D*{sin[cos(xt)]] : cos[cos(x2)]'[- sin(x2)]'2x

soAL-soAL3.5 4.y=(3x3-llx)?

Dalah Soal+oall-26,cari DtY t. y: (2- 9x)"

5.y=(x3-3x2+llx)e 6. y:

2.y:(4x+1)23 3. ,,: 15x'+ 2x 8)s

l

\

(2xa - l2x2 + llx - 9)to

- 8)-l Y : ( 3 x a+ x

I

Bab 3 Turunan

143

\a,ffi'

t. y = (4x3 - 3x2 + llx - l;-s r

l

sY:oF+r-eF lo. y -

31. Dlsin3 0)

1

32. Dr(cosa 0)

*rT,"tt

Iq

y:

t

b.\ D-ljg'\' -\cos

1 1 . Y : s i n ( 3 x 2+ l l x )

2xl

cos(4x5- ll.x)

I

34. D,[sin r tan(r2 + l)]

\

13.Y:5inrt 14.Y=6s5st 1 5 . -v :

- '\'

/t' \x + 4/

/3x - l\6 16.y:(rr.5_/

Drlam Soal-soal 35-38, hitung turunen yut ditujuktm. \ /r, + t\t 3\ /13) rita /(x) : (;;l 35. C(l)

t1.y=,'''(,=)

\.r:".'(#) 19. y:

(4x - 7)2(2x+ 3)

N.y:(5x+6)2(x-13)l 2l.y:(2x-l)3(7'2-12 22. y =(3x2 + 5)2(xr- ll)4

2 3 .v :

(x + l)2 3x-4

\:ffi E.v:W

Dalam Soal-soaI 27-34, cari turunan yang. ditunjukkan.

n. u(-J)' ,s.r"('j-l)

,.r(H)

G(r) = (r2 * 9)3$2 - 2)1

E sz. F'(l) Jika F(r):5;a1rz+ 3r + l) Jika g(s): cos,tssin2,rs \ e'Gl Dalam Soal-soal 39-46, gunakan Aturan Rantai Bersusun (Contoh 5) untuk mencari turunan yang ditunjukkan. 3l. D,[sin4(x2 + 3r)] {0. D,[coss(4r - l9)] 41. D,[sin3(cosr)]

\.- -f

./u+l\l {<.,,.Lcos-(, L/l

43. D6[cos'(sin 02)] t|l. D,lxsinr(2x)l \

26.Y:#

Jika

D,{sinfcodsin 2x)]]

46. D,{cos2[cos(cos0]] 47. C^i pcrsamaan garis singgung pada y =.-(x2 + l)3(r' + l)2 di titik (1, 32). Sebuah titik p bcrgerak di bidang -.\ schinggh koordinatnya sctelah r dctik adal lah (4 cos 2t,7 sin 2r), diukur dalam kaki. (a) Perlihatkan bahwa p mengikuti jalur bcrberrtuk erlps. peuniuk..Tuqiukku @lqoz + 0fi)2 : l, yang merupakan pcrsamaansebuah elips. (b) Dapatkan eksprosi untuk Z, jarak dari titik asal gada s.at t

/

tu

Kalkulus dan GeometriAnalitis

(c), Seberapa cepat P bergerak menjauhi titik asal pada t = r/8? Anda akan memer= lukan _ kenyataan bahwa D"dil ll(2\/i) (lihat Contoh 4 dari Paid 3.2). 49. Sebuah bola berpusat di titik asal dan berjari-jari l0 scntimetcr bcrputar berlawanan arah pcrputann ianrm jam pada laju 4 putaran/dctik. Sebuah titik P pada pelek berada di (10, 0) pada t=0. (a) Berapa koordinat P pada saat f detik? (b) Pada laju berapa P naik (atau turun) padasaatr=l? alat roda-Piston. da\Perhatikan lam Gambar l. Roda mempunyar Jan-Jan I kaki dan berputar berlawanan arah perputaran jarum jam pada 2 radian/detik' Batang penghubung panjangrya 5 kaki' Titik P berada di (1, 0) pada saat t = 0.

Jilid I

(c) Cari kecepatan Q gada saat f. Anda memerlukan akan kenyataan bahwa

Du(Jb=rlz\fi).

51. Kerjakan Soal 50 dengan menganggap roda berputar pada 6O putaran/ menit. S,rt,ilran bahwa Drwl =-lxVx, \ x * O. Petuniuk: Tulis ;x; = Vx2 dan gunakan Aturan Rantai dengan u = x2. 53. Terapkan hasil dalam Soal 52 untuk mencari masing-masingturunan (a) D,lx2 - 11 (b) D,lsin xl

Nanti dalam buku ini (Pasal 7), \. kita akln pelajari suatu fungsi L yang memenuhi L'1x1 = l/x. Selesaikanlah setiap turunan berikut:.

/

l

x

\\

ht D-Lt | ^ _ \x+l/ (b) D,/,(cosax)

55. Pada setiap soal berikut, tentutan /(r) dan tuliskan jawabannya dalam bentuk sesederhana mungkin sebagai fungsi sjn 2x. (a) "f(-x): -cos 2x + I cos32x (b) "f(x) : 3x - .rl sin 4x - { sin32x cos 2r

56. Tunjukkan bahwa apabila suatu suku banyak p(x) dapat dibagi dengan (ax * b)2, maka p'(r) dapat dibagi dengan ax * b.

GAMBAR, I,

(a) Cari koordinat P g^da sr'at t. (b) Cari koordinat-y dan Q pada saat r (koordinat-x selalu nol).

57. DiketahuiflO) = 0 dan/(9;= 2. Tentukanlah turunan dari /(/(.(/(x)))) padax = Q. 58. Gunakanlah Aturan Rantai untuk menunjukkan bahwa turunan suatu fungsi ganjil adalah genap dan turunan fungsi genap adalah ganjil.

a

lls

Bab 3 Turunan

3.6

Notasi Leibniz

Gottfried Wilhelm t€ibniz adalah salah seorangdari dua penemu utama kalkulus (yang lainnya adalahIsaacNewton). Carapenulisannya (notasinya)untuk turunanmasih dipakaisecaraluas,khususnyadalambidangterapansepertlhalnyafisika, kimia, danekonomi. Daya tariknya terletakdalambentuknya, sebuahbentuk yang seringmengemukakan hasil-hasilyangbenardan kadang-kadang menunjukkanbagaimana membuktikannya. Setelahkita menguasainotasi kibniz, kita akan menggunakannya untuk menyatakan kembaliAturan Rantaidan kemudianbenar-benar membuktikanaturantersebut. PERTAMBAHAN Jika nilai sebuahvariabeli bergantidarix1 ke x2 rnakax2 - x 1, perubahan dalamx, disebutsuahrpcrtembehendarix,dan biasanyadinyatalon oleh Ax (dibaca "delta x"). Perhatikan segerabatrwa Ax tidok benrti A kali x. Jika x1 = 4, I dan x2 = 5,7 maka, L,x : xz- xl : 5,7 - 4,1 : 1,6 Jikax1 = c danx2= c I h, maka L,x: xz - xr : c * h - c:

h

Berikutnya andailianbahway = /(x) menentukansebuahfungsi.Jika x berubahdari x 1 ke.r2, makay 1 berubahdarjy 1 = f(x 1) ke yz = f(x). Jadi, bersesuaian denganpertambahm Ax = x2 -xr dalamx, terdapatpertambahan dalamy yangdiberikanoleh

Lv:vr-vt:fQ)-"f(x') coNToH I Andaikany = f(x)= 2 - x2.ca'j ay bilamanax berubahdari 0,4l.e 1,3 QihatGambarl). Penyeleuion

- 12- (0,4)'1 :"f(r,3) - f(09 : 12- (1,3)21 : wl - 1,84:-1,53 I

Y=2-x2

I GAII{DAR, LAMBANG dyldx UNTUK TURUNAN Sekarang andaikanbahwavariabelbebasberalih dari x ke x + Ax. Perubahan yangbersesuaian dalamvariabeltak bebasy,akanberupa

A,y:'f(x + Ax) -J'(x)

/

r

Kalkulus dan GeometriAnalitis

t6 dar pcrhndingen

Jilid I

a"?-J$).

^v :[el

Ax

Ax

mengambarkan kemiringan talibusqr yang melalui (r, /(x), seperti diperlihatkan dalam Gambar2. Jil,g Ax -+ 0, kemiringantalibusurini mendekatikemiringangarissinggung,dan untuk kemiringan yang belakaqan ini lribniz mcoggunakanlambangdyldx. *hfiryg1,

(x + At, f(r + Ar)l

GAMDAR2 Lcibniz menyebut dyle watu hasilbagi dari dua bilangan yang sangat kecil. futi per' k^t^an sntat kecil ndak jelas, dan kita tidak akan memakainya' Tetapi, dyl& mercpa' kan lambang baku untuk turunan; kita ahn sering memakainya sejak saat ini. Untuk lambang op€rator dengan pengertian yang saru s€Perti selcarang,pikirkan dyldx reba;gan "turunin terhadapr". Dy, dan m€mbacanya

CONTOH2 Cui ttyldx jikz | = xs - 3x2 * 7x. Penyelesbn

+7x)

*ax: ! eax '-3i2 d(rt)

.d(x')

.d(x)

dx

4x

:__j____;_at__-

dx

:3x2-3(2x)+7(l) :3x2-6x+7 CONTOH 3 Cari

t

*(;h)

Petryelevian Menurut Aturan Hasilbagi

d | 3t \

at\-t,+ l:

(r' + 1X3)- (3rX24 -3t2 + 3 --lF :4t1ry +lF--

I

/........----....------..-----------.........._-^-

Bab 3 Turunan

t47

ATURAN RANTAI LAGI Andaikanbahway = f(u) dana =g(x). DalamnotasiLeibniz. Aturan Rantaimengambilbentukyangsangatanggun

I

Bentuk ini dikatakan anggun karena mudah untuk diingat. cukup mencoret dz di ruas kanan dan anda mempunyai ruas kiri. Jangrn mcncobc untuk memahami alasanmatematis dari pencoretanini, tetapi gunrken rbrgai bantuen ingetanjika memangmenolong. CONTOH4 Cari dy/dx jikz y - (x3 - b)t, knyelevian

Pikirkanx3 - 2x sebagaiz. Maka y = ur2 dan

Q:Qd, dx.

du dx : (l2utt){3x2 - 2) -- t2(x3 - 2x)rt(3x2 - 2)

I

y - flu), u o g(v), dan y = ft(x), rnaka JiY,a dy dx

dy dudv dudu dx

CONTOH5 Cari dylttx lika / =.cost(x2 + l). Penyeleskn Kitadapatmemikrkaninisebagaiy =tt!,u =cos y, dany=x2 * l.

dy 'dx

dy dudu dududx : (3u2X- sin u{2x) : (3 cos2u)[- sin(x2+ l)](2x) : -6xcos2(.x2+ l)sin(x2+ l)

I

BUKTISEBAGIANDARI ATURAN RANTAI Baldi Kita andaikanbahway = flz) dan u = g(x), bahwag terdiferensialkandi r, dan bahwa / terdiferensialkandi u = g(x). Bilamanax menerimasuatu pertambahanAx, maka pertambdran yurg bersesraiandalamu dany akan diberikan oleh

Lu:g(x+Ax)-g(x) L,y:f(s(x + Ax))-f@(x)) : f(u * Au)- f(u)

/

i

KalkulusdanGeometriAnalitis Jilid I

148 Jadi,

dy _: dx

Ay ,,_um 6,,e Ax

,. Ly Lu a,-o Au Ax

: lim9.ttrn I

6s-q Au a"-o Ax

Karena g terdiferensialkandi x, maka ia kontinu di sana (Teorema 3.2A), sehingga & -+ 0 memaksaAz '+ 0. Ikrenanya dy

:

,.

Ay ,.

Au

dy du

a, ^'ji ^, Ji Lr: n' d* Bukti ini sangatcerdik,.tetapi sayangnyamengandungsuatu cacathalus.Denganadanya fungsi u = g(x')yng bersifatbahwaAu = 0 unhrk beberapatitik di setiaplingkunganx (fungii konstantae(*) = t adalahiebuatrcontoh yangbaik). lni berarti pembagianoleh Au pada langkah pertamamungkin tidak berlaku. Namun, tidak ada carayang muddr untuk mengatasikesulitan ini, meskipunAturan Rantai tetap sahihdalamkasusitu. Kami akan menyajikanbukti lengkapdari Aturan Rantai tersebutdalam Apendiks(PasalA.l. Teorema B). I

SoAL-SOAL3.6 Dalam Soal-soal 1-4, cari Ay untuk nilainilai .x1 dan x2 yang diberikan (lihat Contoh I ). *

y : x t - 2 x * 4 , x , : 1 , x 2: 1 , 5

2 .y : 2 t

1

x, :2,3!.y,

9. y:

u' danr:

I 1 0 .y : 7 : u - '

: ),!l

4. ,y : "ot 2x, xt :0,5'll, xz: O,573

x2+l

Dalam Soal-soal 9-20, gunakan Aturan Rantai untuk mencai dy/dx.

I *1,x,:2,x2:2,2 x

L 9 J 3 . 'y : - ' - , x * l E]

8.y

x2 + 3x danu:sinx

'll. y:5in(y' ) 12.y:5i1121

Dalam Soal-soal 5-8, mula-mula cari dan sederhanakan .

Ay _ f(x + Lx) - f(x) Ax Ax

Kemudian cari dy/dx dengan mengambil limit dari jawab anda untuk Ax -+ 0.

/

A . 'v : E ! \ '

\cosx/

14.y:[(xr+l)sinx]3 15. Y:cos(x2)sin2x

5'Y:"-3x 6' Y: x' .2, v:-

lO.

4.

-1 t : -

(x3 + 2x)a

x*+l

y: sin4(x2+ 3) (Lihat contoh 5)

x x + l

.''Id Y: sin(x2 + 3)al

l

----"r Bab 3 Turunan

19.

149

,: *r?r=)

m. y

: sin2[cos2(x2)]

Dalam Soal+oal 2l-26, cari turunan yang ditunjuk. n 21.;(sin3r+cos.r.1

GAMBAR 4

,1 22. ; -l(s' ' +.3)3 - (s' + 3)-3] ds ./.

o,1o1, + 3)2 - 3n4r + 2)2J

29. C^n hampiran.

masing-masing nilai

secara

(a) (l'+ g)'(a)

(b) ("f "sX6)

' A . D , f u 3+ 3 u l J i k a u : 1 2

Ls. ./''(2)Jika

rr.r:(. * 1)"

30. Cari masing-masing nilai secara hampiran. (a) (l ls)'Q) (b) (g../)'(3)

3r ,Za. n'p1 Jika F(r) : cos(r:)sin lrnaa*an bahwa f(3) = 2, f '(l) = .Zf -1, g(3) = 3, dan g'tgl = *4. Hitung masing-masingnilai. (a) (/ + g)'(3)

(c) (f ls)'Q) f

(b) (.f's)'(3) (d) (.f " s)'(3)

= 4, f'(4) = 6, dan , 28. Jika fl2) '(21 = -2, hitung masing-masing nilai. ,] (a) [l(x)]3 di x: 2 ; . . d [ 3 I (' b' ) . l - l dix:2 dx l/(x)_J (c) (/. ./)'(2)

Soal-soal29 dan 30 mengacuke grafikgrafik padaGambar3 dan 4. ,

--f{. Siti sebuah kubus bertambah de6gan laju tetap sebesar I 6 sentimeter/ anenit. (a) Cari laju pada mana volume kubus bertambah pada saat sisi sebesar20 cm. (b) Cari laju pada mana total luas permukaan kubus bertambah di sdat sisi sebesar l5 sentimeter. 3?* Kapal A dan B bertolak dari titik asal paita waktu yang bersamaan.Kapal A berlayar ke arah timur dengan laju 20 mil/ jam dan kapal I berlayar ke arah utara dengan laju 12 milfiam. Seberapa cepat mereka berpisah setelah 3 jam? Setelah 6 jam?

3), Di manakah garis singgung kurva y = x2 cos21t;' pada x = 116 akan memotong sumbu-x? 34. Permukaan dari suatu jam dinding berjari-jari l0 cm. Seutas tali elastis diikatkan salah satu ujungnya pada tepi angla 12 dan ujung lainnya diikatkan pada ujung jarum menit yang panjangrrya l0 cm. Tentukanlah tin8kat ketegangan tali pada waktu pukul 12.15 (dengan

/

7

,f*/rr;ulllsdan GeometriAnalitis

r50 asumsi bahwa penunjukan waktu tidak menjadi lambat dengan menegangnya tati).

\

Jilid I

Dikc{ahui Letf(x):{r"":

jikax#0 jikar:0

35. Diketahui / dapat dideferensial' 'dan x2 kan dan ada beberapatitik xr = x2 dan sedemikianrupa sehinggr/(rr) = Diketahui flfO{f(x))))' flx z) x r, Buktikang'(r1) = g'(xz)'

.(a) Tentukanf(t) untuk x * 0 dengan dalil yang ada. (b) Tentukan ,/(O) aati definisi turunrn' bahwa /'(x) tak-kontinu i"i ro"jurtpadar = 0.

3.7 Turunan Tingkat Tinggi 'tungsi mcngsmbilschldr fungri,.f'tbn'nsldtm[llt*rntBbdh -Jihi'pendiferensialan Operasi malih'm€n['turcl]lanltuqri'llirytlicyat+ kita lrita difcrcnsialk8n, sekarang b,1";5. "id- "krn')
-''8x + 7 f'(x) : 6x2 f"(t)

-j l2x - I

f"'(x) : 12

f""(x) -- o Ikrenaturunandarifungsinoladalahnol,malrasemuatunrnantingkntfrnglebihtingd akan nol. (sekarangdisebutjuga turanon Kita telah memperkenalkantiga notasiuntuk turunan

=flx).Mereka ^ffi pertama)dariy

^, 't (-f-'-(- -*- )- - -D - _ - - - - .f r l u '

notasi Leibniz. Terdapat sebuah masing.masingdisebut, notasi aksen, noto,i d3^ - f "mi,r' - yang kadangkala akan kita pakaijuga' Semua variasi dari cara notasi J;; n o t a s i i n i m e m p u n y a i p e r l u a s a n u n t u k t u r u n a n t i n g k a t t i n g g i , s e p e r t i d i p e ryang lihatkan berikutnya' Khususnya perhatikSn notasi bibniz' dalam bagan pua, U"rn* Yang, menurutnya, lebih walaupun nrwet - kelihatannya palini cocok untuk lribniz. wajardari Padamenuliskan d2v sebagar I7

*(3)

t'..

'.f

r

Bab3 Turunan

,

t

^

1e d

?n 'n'r

J Lo"h."al C \ ^

{ }^i' t.ou.,1lr.,-^rv (notasi)untukturunanddriy,=l(x) Carapenulisan

JC

.

l

l5l i t. }r'f, ti}./ I

I

CONTOHI

Jikay = sin 2x, cai dtyl&t,

f ylara, dtndr2yl&r2

Penyeleuian

rcos2x

!: dx

l:

-z'sinzx

f):

fr: -zrcosz, !ol): rn,rnr, drt!, :

2'"o" 2t

dx'

:

#:2t2sin

2x

I

KECEPATANDAN PERCEPATAN DalamPasal3.1, kita memakaipcnprtian keccpatur scsaatuntuk memotirasi definisi turunan. Kitr akn mengkaji ulang pcngertianini dcngan memakai sebuah contoh..Juga, sejak saat ini kita alcan memakai kata tunggal kecepatan sbagar gnnti istilah kuepan sevat ymgbbih tidak praktis.

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

t52

Jilid I

CONTOH 2 Sebuahbenda bergeraksepanjanggpriskoordinat sehinggaposisis-nya memenuhi, s = 2t2 - l2t + 8, dengans diukur dalamsentimeterdan t dalamdetik. Tentukan kecepatanbenda bilamana t = I dan t= 6,Y:apan kecepatannya0? Kapan ia positi{? uian Jika kita memakailambangr(r) untuk kecepatanpadasaat.r,maka Penyele

, \ t ):

ds

i:

4t- 12

Jadi. u(l) : 4(l) - 12:

-8 cm/detik

u(6) : (6) - 12:

l2cmldetik

positif bilamana Kecepatan0 bilamana4t - 12 = 0, yaitu, padasaatr = 3. KecePatan 4t - 12 ) 0, ataupadasaat r ) 3. Semuaini dipedihatkansecaraskemadalamGambar l.

r-0,s=8,v:-12 t t

Tentu saja, benda tersebutbergeraksepanjangsumbus, bukan padajalur di atasnya. = = Tetapijalur kita memperlihatkanapa yang terjadi pada bendaitu. Jika | 0 dan t 3, ke"diperlambat" ke kece' = 3 ia Pada (mundur). saat t cepatannegatif:bendabergerakke kiri patan nol, kemudian mulai bergerakke kanan bila kecepatannyapositif' Jadi, kecepatan negatif bersesuaiandengangerakanbenda itu ke arah berkurangnyas; kecepatanpositif yang menda' beisesuaiandengangerakanbendaitu ke arah bertambahnyas. Pembahasan I lam mengenaibutir-butir ini akandiberikandalamPasal4.8. Terdapatperbedaanteknis antaraperkataankecepatan(velocity) denganJaTu(speed). Kecepatan(velocity) mempunyai sebuahtanda yang dihubungkandengannya;mungkin nflai mutlak kecepatan.Jadi, dalamcontoh positif atau negatif. Iaju didefinisikan.sebagai = = 8 cm/detik. Pengukurdalam kebanyakanken' dr atas,laju pada saat f I adalahl-81 daraanadalahpengukur laju (speedometer);ia selalu memberikannilai-nilai tak negatif. Sekarangkita ingin memberikantafsiranfisik mengenaiturunan kedvad2sldt2. Tentu saja,ini hanya turunan p€rtarnadari kecepatan.Jadi,ia mengukurlaju perubahankecepat' Jjka dinyatakan.olehr, maka an terhadapwaktu, yang dinamakanP€rcePatan.

Bab 3

Turunan

153

DalamContoh2, s = 2t2 - l2t + 8. Jadi, ds u--:4t-12 dt

o:*:

ctt'

c

Ini berarti bahwakecepatanbertambahdengansuatu tingkat yang tetap sebesar4 cm/de. I tik setiapdetik, yangkita tuliskansebagai4 cm/detik/detik. CONTOH 3 Sebuahtitik bergeraksepanjanggariskoordinat mendatarsedemikiansehinggaposisinyapadasaatr dinyatakanoleh s:

13- l2t2 + 36r - 30

Di sini s diukur dalammeter dan r dalantdetik. (a) Ikpan kecepatan0? (b) Kapankecepatanpositif? (c) IGpan titik bergerakmundur (yaitu, ke kiri), (d) IGpan percepatannyapositif? Penyelesoian ( a ) u = d s l d l = 3 t 2- 2 4 t + 3 6 = 3 ( r _ f 2 ) ( t - 6 ) . J a d i r = 0 p a d ta= 2 d a n t = 6 . (b) , > 0 bilamana(t - 2)(t - 6) > 0. Kita pelajaribagaimanamemecahkanpersamaan kuadratdalamPasal1.3.Penyelesaiannya adalah {t: t<-2atau t )6}atau dalamnotasiselang,( - crr,2) w (6, .o): lihat Gambar2. (+) (0) l l 2

l

(-) t

t

(0) ( + ) l I

GAMBAR 2

(c) Titik bergerakke kiri bilamanay ( 0 - yaitu, bilamana(t _ Z)(t _ 6) <0. Ketaksamaanini mempunyaipenyelesaian berupaselang(2,6). '(d) o = dvldt= 6t - 24= 6(t - a). Jadia ) 0 bilamanar)4. Gerakantitiksecara skematisdiperlihatlan dalamGambar3.

G.{,MBAR3

I

MASALAH BENDA ,ATUH Jika sebuahbendadilempar ke atas(atau ke bawah)dari suatu ketinggianawalso meter dengankecepatanawalus meter/detikdan jika s adalah tingginyadi atastanahdalammetersetelahr detik. maka s=-16f2+uot+so F

I

/

tv

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jiltd I

Ini menganggapbahwa percobaanberlangsungdekat piimukaan laut dan bahua tahman udua dapat diabaikan.Diagramdalam Gambar4 melukiskansituasiyang kita bayangkan.

GAMBAR4 CONTOH 4 Andaikan sebuah bola dilemper ke atas dari puncak sebuah gedungyang tinggnya I 60 kald dengankecegatanawal 64 loki/detik. (a) (b) (c) (d) (e)

Kapan ia mencaEaiketinggian maksimum? Berapaketinggianmaksimumnya? Ibpan ia membenhrr tanah? Dengan laju berapa ia rnembcntrr bnah? hrapa p€rcepatanrya pxda t = 22

Penyeleuion Di sini s6 = 160 dan vs = 64, sehingga

-16t2 + gt + 160

s:

ds

u:]:

tlt

o:

do *:

- 3 2 t+ 6 4 _sz

(a) Bola rncncapaikctinggian maksimum peda mlcu kccepatannya 0 - yakni, pede wakU -32r+ &= 0,atau pada*aktu r= 2detik (b) Ptdz t = 2, s = -16(2)2 : 64(2)+ 160= 22A ka}j. (c) Bola membentu tanah pada uaktu r = 0 - yakni, pada *altu

-16t2+64r+160:0

Babi Tfurunan

155

Jika kita bagi dengan-15 dan gunalqn rwrus aDc,kita perdeh I

t2-4t-10:0

.

4+!116+n qxzJu : 2 + \ F

Hanyajawab positif yang berarti. Jadi, bola membentur tatrahpada t = 2 + lf14 ^s 5,74 detik. (d) P a d ar = 2 + \ f l 4 , v = - 3 2 ( 2 + t F u l + 6 4 - - l l g , T 3 . J a d i , b o l a m e m b e n t utra . nah padalaju I I 9,73 kaki/detik. G) Percepatanselalu -32 kaki/detilddctik. Ini adalah perceparangravitasi dekat permuloanlaut. I

I

PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIS Galileo memang benar dalam menyatakan bahwa buku tentang alam ditulis dalam bahasamatematika. Tentu saja,lembagaJembaga ilmiah telah membuktikankebenarannya.Pekerjaanmengungkapkansuatukdjadianfisika dan menyajikannya dalam lambang-lambangmatematika dinamakanpcmbcntuken model metcmetis. Salah satu unsur pokoknya adalah menerjemahkan uraian-uraian kata ke dalam bahasamatematika. melakukan hal ini, khususnya yang menyangkut tingkat perubahan akan menjadi semakin penting sejalan dengan pembahasankita. Beriku.t adalah beberapagambaranscderhana.

trto&I lfatenotilct

Ur&nlkta Air tiris keluar dari sebuahtangki berbentuk silinder pada nratu tingfat yang sebanding dengankedalamanairnya.

Suatu roda bcrputar rcara konstan 6 putaran per menit. Kepadatan (dalam gram per cm) suatu kawat pada suatu titik adalah dua kali jaraknya dari ujung kirl Tinggi nratu pohon bertambah secara kontinu, ekan tetapi denEanting*at yang makin lama makin lambat.

ffit

@ F,-{

q

Brla V menyatakan volume air padasaatf maka d V = -*o'

7;

=a t = 6(2tr)

dt

Bila m menyatakan massa x cm bagian kiri kawat, . d m = rrlirxa tx. 7;

#, o, # ' o

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis' IilA

156

I

fisika Penggunaanbahasamatematika tidak .terbatashanya untuk besaran-besaran saja;akan tetapi juga sesuaiuntuk ilmu-ilmu sosial,terutamaekonomi. berCONTOH 5 Kantor &rita Antara melaporlon bulanMei 1980,bahwapengangguran tambah dengantingkat yang semakintinggi. Di sampingitu, hargamakanannaik tetapi dengan tingkat yang lebih lambat dari pada sebelumnya.Tafsirkan pemyataan-pernyataanini dalambahasakalkulus. Penyelexbn Andaikan u = ^t) menyatakanjumlah orang yang menganggurpadawaktu r. Walaupunrsebenunya meloncat dalam besaransatuan,kita ilnrti kebiasaanbaku dalammenyatalzn u deh sebuahlorva mulus manis,sepertidalamGambar5. Untuk bertambahadalahmengalo.kuul duldt ) 0; untuk mengataspnFtakan pengangguran kan bahwa ia bertambah pada tingkat yang semakin tinggi adalah mengatakan a2u1dt2)0. Serupa,jika p = s(r) mewakili hargamakanan(misalnya"baya lhas toko makan. an safir hari untuk satu orang)padawaktrr f, maka dpldt ) 0 tetapi d2pldt2 ( 0; lihat Gambar6.

GAMBAR5

I

GA}IBAR6

3.7 soAL-soAL DalamSoalsoal1-8,cari dsYldrt 1.Y:xt+3x2-2x-8 2. Y:2xs - xn

Dalam Soal*oal 9-16, cai1"(21. 9. f(x) :2x3 - 7 10. /(x) = 5x3 + I I

3. y: (2x + 5)a

rr.f(t):1

4 . y : ( 3 x- 2 ) s

12.f(u):

2u-5

5' Y: sin(3x) 6. Y: cos(x2) 7. v:

I x -

J

t. Y: --I-

13./(x):

x(x2+ l)3

2x+l A. f(x):;r+l 15. /(x) = sin2(u) 16. /(x) = xcos(1tx) I

t57

Bab 3 Turunot 17. Andaikan nl = n(n - lXz - 2) . . . 3 . 2 ' l . J a d 4i l = 4 ' 3 ' 2 ' l = 2 4 d a n 5 ! = 5 ' 4 : 3 ' 2 . l . K i t a b e r in ! bahwa faktorial. Buktikan nama z D!(xD)=n! 18. Dengn memakai lambang faktorial dari Soal l?. cari sebuah rumus untuk D n ( a n x*" 4 , - r x n - r + " ' + a f i + a o ) 19. Tanpa melakukan apapun, cari tiaP turunan (a) D1(3x3 + 2x - 19) o) Dl2(100xtr 79x'o) (c) Dlr(x' - 3)s

Perhitungan

20. Cari sebuahrumus untuk D2 1..llx). 21. Jika .f(x) = x3 * 3xz - 45x -.6, " cari nilai f" padasetiap titik nol dari /' = 0' yakni, pada setiap titik c di mana /'(c) = at2 22. Andaikan g(t) .+ bt + c = -+' = = g ' ( l ) 3 , d a n 5, S"(l) dan 3(l) C-zi a, b, dan c, Dalam Soal*oal 23-28, sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat mendatar sesuai dengan rumus s = flf), dimana s, jarak berarah dari titik asal, adalah dalam kaki dan r dalaln detik. Dalam tiap kasus, jawab pertanyaan-pertanyaan berikut (lihat.Contoh 2 dan 3). (a) Berapa v(r) dan a(t), kecepatan dan percepatanpada waktu t? (b) Kapan benda bergerak ke kanan? (c) tkpan ia bergerak ke kiri? (d) Kapan perc€Patan negatif? (e) Gambarkan sebuah diagram skematis, yang memperlihatkan gerakan benda.

13.s:rlt-212 A.s:t3-6t2

25.s:tt-9P+24t 26.s:2t3-6t+5 l6

27.s=12+-_].?>0 t

4 2 8 .s : f + - , f > 0 t - 5r3 + l2f ,cai^ 29. Jika t=ij, kecepatan dari benda yang bergerak bilamana percepatannya nol.

30. Jikar= -a(ro -14t3 +6ot2), cari kecepatan dari benda yang bergerak bilamana percepatannya nol. 31. Dua partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada akhir r detik jarakjarak berarah mereka dari titik asal, dalam meter, masing-masing diberikan oleh sr = 4t - 3tz dan sz = t2 - 2t. (a) Kapan mereka mempunyai kccepatan sama? (b) Kapan mereka mempunyai laju sama? (Laju sebuah partikel adalah nilai mutlak keccpatannya). (c) Kapan mcreka mempunyai posisi sama? 32. Posisi dua partikel P1 d,an Pr, pada sebuah garis koordinat pada akhir f detik masing-mdsing diberikan oleh sr = 3 f - l 2 f * l 8 r * 5 d a ns 2 = - t 3 + 9 t 2 ' _ l2t. Kapan dua partikel itu mempunyai kecepatansama? 33. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggians = -1612 * 48r + 256 kaki setelah r detik (lihat Contoh 4).

El E

(a) Berapa kecepatan awalnYa? (b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? (c) Bprapa ketinggian maksimumnya? tal Kapan ia membentur tanah? (") Dengan laju bcrapa ia membentur tanah?

34. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48 kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian r = 48t - 1612 kaki pada akhir r detik. (a) .Berapa ketinggian maksimum yang dicapai? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah mana, pada akhir I detik? (c) Berapa lama yang diperlukan untuk kembali ke posisi semula? E fs. Sebuah peluru kendali ditembakkan langsung ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 16 kaki/detik. Ketinggiannya setelah t detik diberikan oleh s = yof 1612 kaki. Berapa seharusnya kecepatsn awal peluru kenddi itu agar mencapai ketinggian maksimum I mil? 36. Sebuah benda dilempar langsung ke bawah dari puncak sebuah karang de-

/

15t ngan kaccpatan awal vq kaki/detik kira= ki.ra jatuh sejauh s vot I 16r" kaki setemembentur permukaia Jika lah t detik. an laut di bawah setelah 3 detik dengan keccpatan l4O kaki/detik, berapa tinggi karang tersebut? 37. Sebuah titik bcrgcrak scPar\iang garis koordinat mcndatar sedemikisn se hingga posisinya pada saat t dirinci oleh s = f - gf - z+t - 6. Disinirdiukur dalam scntimctcr dan t dalam detik. Kapan titik itu bcrtambah lambat, yakni' kapan lajunYa bcrkurang? 38. Yatinkan diri anda bahwr sebuah titik yang bergerak sepanjang sebuah garis adalah semakin lambat bilamana kecepatan dan percepatannya mem' punyai tanda berlawanan (lihat Soal 39). 39. Terjemahkanlah yang berikut ini ke dalam bahasa turunan pert'ma, ketlua, dan ketiga darijarak terhadap waktu' (a) Laju mobil tersebut sebanding dengan jarak yang telah ditempuhnya' (b) Mobil itu bertambah cePat' (c) Saya tidak mengatakan bahwa mobl itu makin lambat; Saya katakan tingkat pertambahan kecepatannyi yang berkurang. (d) Kecepatan mobil itu bertambah dengan l0 mil Per jam setiaP menit' (e) Mobil itu makin lambat secara teratur samPai akhirnYa berhenti (O Mobil itu selalu menempuh jarak yang sama dalam interval waktu yang sama. 40. Terjemahkanlah yang berikut ini ke dalam bahasa turunan' (a) Air menguap dari tangki itu dengan suatu tingkat Yang konstan' (b) Air dituangkan ke dalam tangki itu 3 galon per menit akan tetapi juga ada kebocoran I sabn Per menit. (c) Oleh- krrena air yang dituangkan ke dalarn tangki kerucut pada tingXat yang konstan, permukaan air meninggi pada tingkat yang makin lama makin lambat' (d) Inflasi dijaga tetap pada tahun ini akan tetapi diperkirakan akan naik semakin cepat dalam tahun dePan.

Kalkulusdan GeometriAnalitis IilA t t.. (e) Pada saat ini harga minyak sedang merosot tajam, akan tetapi kecenderungan ini diperkirakan akan berkurang dan kemudian akan berbalik dalaro tempo 2 tahun. (f) Suhu badan David masih tetap naik, akan tetapi kiranya penicillin akan segera menawarkannYa.

41. Terjemahkanlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bahasa matematika seperti Pada Contoh 5. (a) Harga sebuah mobil terus bertambah dalam tingkat yang makin lama makin tinggi. (b) Dalam 2 tahun terakhir ini, Amerika Serikat melanjutkan pengurangan konsumsi minyaknya, akan tetapi dalam tingkat yang makin lama makin rendah. (c) Populasi di dunia terus berkembang, akan tetapi dalam tingkat yang makin Iama makin rendah. (d) Mobil itu makin lama makin cepat pada tingkat Perubahan Yang tetap' (e) Sudut Menara Miring di Pisa terhadap garis vertikal bertgmbah lebih cepat. UPPer (O Keuntungan Perusahaan lambat. dengan bertambah Midwest (g) Perusahaan XYZ telah merugi' akan tetapi dalam waktu dekat nanti situasi ini akan berubah.

42. Terjemahkanlah setiap pernyata-, an berikut yang berasal dari surat-surat kabar ke dalam bentuk pernyataan turunan. (a) Di Amerika Serikat, rasio R hutang pemerintah terhadap pendapatan nasionalnya tetap tidak berubah di sekitar 28Vo sampai dengan tahun l98l akan tetapi, (b) kemudian rasio ini mulai meningkat dan terus meningkat secara tajam, mencapai 36% pada tahun 1983. (c) IMF menerbitkan daftar yang menunjukkan bahwa laju pertumbuhan R lebih besar di Amerika Serikat dari pada di Jepang' 43. Leibniz mendaPat suatu rumus di mana u: dan u umum untuk \(u") adalah sama-sama fungsi r. Dapatkah' Anda menemukannYa? Peuniuk: Mulai' = 3' lah dengan mencoba n = l, n = 2, n

Bab 3 Turunan

3.8 Pendiferensialan lmplisit Dengansedikit usalu, kebanyakanmalusiswa akan mampu melihat batrwa grafik dui lt+7Y:"t tampak sepertiapa yang diperlihatkandalam Gambar l. Partilah titik (2, 1)terletakpadr grahk, dan tampaknya terdapat sebuahgaris ringgung yang terumuskan dengenbaik pade titft tersebut. Bagaimanakita nrcncari kemiringan garisdnggurUini? Mudah.anda.dapatmenjawab: hihrng sajadyldx padatitik itu. Tetapi itlah kesukarannya, kita tidak tahu bagaimana moncari dyldx dalemsituasi inl. Elomcn baru dalam masalah ini adalah batrwa kita menghadapi sebuah penamaan yang secara gamblang (cxplisit) tidak tcrselesaikan udtuk y. Apakatr mungkin untuk mencari dyldx dzlan keadaan scperti ini, Ya, y3+7y=x3 diferensialkankedua ruas persirmairn GAMBAR T

y3+7y-xt

tcdradrapx dan samakan hasil-hasiilnya.Ddam melakukan ini, kita antgaP bahwa pcr' sanaan yang dibcrikan memant mcncntukan / sebgal suahr funpi r (hanya saja kita tidak tahu bagpimanam€ncarinya secaraeksplisit), Jadi, setelahmemakai Anran Ranai pada suku pcrtama, kita peroleh ^,dy 3 y ' . f t +-l fdtY: 3 r z

untuk dyldtcsebaguberikut. dapatdisclesaikan Yangbelakangan :i Gv' * 7\ :3x2 dx' ' dy _ 3x2 dx 3 v 2+ 7 Perhatikan bahwa ungkapan kita unnrk dyl& mencakup x dan y, nratu kenyataan yang rcring menyusahkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran.Di (2, l),

d y: dx Kemiringan artahh

3?)' :12 :g

3(l)'+ 7

10

5

f

Mctode yang baru saja digembarkan unttrk mencan dy/e tanpa terletrdh dahulu mcnyelesaikan pcrsamaan yang diberikan untuk y secaragamblang dalam bentuk x discbut pcnffereodalsn implbit. Tetapi apakah metode tersebut masuk akal - apakah ia memberikanjawaban yarg benar?

.

'

t=--J

/

danGeometfiAmfi'. Katkulus

160

kebenaranmotodc sEBt AH CONTOII YANG DAPAT DIPERIKSA untukmcmbuktikan cara' dua dengan dikerjakan yang dapat ai"to, lihatlah contoh b€riku!,

PenYelctrion penamaan yang dibedksn secaragamblanguntuk lDroDE 1 Kitr $pet menyelesaikdn / lcb.ti bcilot. Y{4*'-3):xt-1 x3-1

t:

s,

t

o;;

- lx89 - 4x4-.9x2 + 8x ttv (4x2- 3{3x2) (xt

fi:ffi:-1a;-gMETODE 2 ri

Implisit). Kita samakanturunan'turunankeduaruasda' (Pcndiferensialan 4*'Y - 3Y: xt - |

S€telahmemakaiAuran HasilkalipadasukuPertama,kita dapatlon 4 ' z . d *l v . 8 x - 3 ! : 3 r ' d

x

"

d

dv .. .

f;{+*'-

x

3 ): 3 x 2- 8 x Y dY a":

- 8xY -3x2 q;t - I

diperoleh terdahulu, tetapi walaupun jawab ini kelihatan berlainan dari jawab yang = (x3 l)l(4x2 - 3) dalam ungkapan keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan y wfiik dyl dx yangbaru sajadiperolch' dy

d*:

3x2 - 8xY --

a;t -7

3x2_8x# 4xz-3

l2xa - 9x2 - 8x4 + 8x (4x2 - 3)2

4 x 4- 9 x 2 + 8 x (4x2- 3)2

I

BEBEMPAKESUKARANYANGTAKKENTARAJikasebuahpenamaandalam = dan fungsiini terdiferensialkan,makametode .x dan y menentukansebuahfungsi y /(x) untuk dvldx. implisit akan menghasilkansebuahungkapanyang benar ;;idr;;;idan 'Terdapat 'Jika" besardalampemyataanini' dua PertamaPerhatikan Persamaan xz+yz:-l i

iltrn'-' 16l

BabS-Turunan b tidak mempunyai penyelesaisndan karcna itu ti&k mcnenhrkan suatu fungpi. Sebalikrya, x , + v 2: 2 5

fungsiv =g(x)=-J25 - xz.Gta'

y:f(x): fungsi-fungsi menentukan Jr|:7dan fikgrafik merekadiperlihatkanddamGambar2.

'

I 1

ckl = -y'25 -x2

r1a1 :y6=V

GA,ITIBAR2

unhrngnya, fungsrini keduanya terdiferensialkanpada (-5, 5). Rrtama perhatikan _ I Ia memenuhi x2 + lf(x)12 :25 Bilamanakita diferensialkansecaraimplisit dan menyelesaikanuntuk r1x;, kita peroleh /

2x + 2f(x)f'(x) : 0

f'(.x):-+:

--j:

J25 - x2

J$)

Perlakuanserupasecaralengkap terhadapg(r) menghasilkan

g ' ( x )-:# :

I

J25 - x2

unfi* kcpeduaa praktis,kita dapatmemwforehkodw hail ini scua setemps*]

denganpendiferernidansecaraimplisit dari x2 I-y, :ZS. tni memborikan

zx+ zyfi:o

t

d v -- . l P . ' j i k a Y : / ( x ) d': '-l-5:-jika Y: s(x) Secarawajar, hasilnya identik denganyang diperoleh di atas.

F

/

-

Kalhthtsdst Geofrtri Analitis Jilid

t62

'1

= -xly 8lgt daPat mc' Pcrhatikan bohVra adalah culruP untrk s3ngCtshui dylbc garis dnggug pada kemiringan narlgetahui ingln Ut" Andaiken n€ra;k n hadl-h$il lcita. = adalah4 fui -4 yang berpadanur : 3. t{ilai-nilai r yz bilamrnt 25 .y xz + U.g.-* rliperoleh dari penggantbt -xlv '6'alah di (3, 4) dan (3, -4), mrtrt-mdng firiringan -i a""l (lihat Gambar 2)' Untuk mcryulitkrn kcrdro, kitr tnfufu

bhn

x2+ Y2:25 otch tnsnentukan baoyak fungi lainnya. Pandangfuilgsi h yang didefinisitan

I Jx-, h(x)=l-","=*

jil€-s<x<3 ifta 3<x<5

la iura mernenutri x' + yz = 25, karena = E. Tetapi ia battlqn ddak r''iU,(t)12 kontinu di x = 3, schirrygatetrtu 38ja tidak mcmpunyai tuunan di sana Qihat Gambar 3)' Scmontara subyck fungpi tt4pltsit mcnuiu kc masdah teknis yang sukar (ditangani dalaml kalkulus lanjut), masalah-masalahyang kita pclajui mcm$myai penyelcsaian langsuttg,

Y = hlxl

GAIIBAR 3

anggapbahwr pcrsunt' I_EBIHBANYAK coNTOH Dalamcontoh+ontohberikut, kita yang Urun- y*g dibcrikantnencntukansatu ataulebih fungri'fungsiterdifcrcnsidkan implisit. pen
5Y3=1 4 9'

Penyeledot

: +st *r* *5v')fte ?sc + rlyzfl: r l-Zx d - -y= l5Y' dx

I

Bob3 Turunan

163 l0ya : g.

CONTOH3 CariDtY ilrl- f + fyknyelcvian.

D,(tt + t2y - l}ya):

D(0)

3t2 + t2D,;' + y(2t) - 40y3D,y: g D,y{t' -'lOYt) :

-3t2 - 2tY

3t2 + 2tv ' un ,t rt -- 4 O y ! _ f

I

CONTOII 4 Cari penamaan garissinggungpadr kurva Yt-xYz+cosxY:2 di titik (0, l). Penyelevian untuk menyederhanakan,kita gunakannotasi 7' unttk dyfdx. Bilamana kita mendiferensialkan keduaruasdan menyamakan hasilnya,kita peroleh

3y'y' - x(2yy')'- y2 - (sinxy[xy' + y) : 0 y'(3y'- 2xy - xsinxy) : y2 +ysinxy , v:Tf

y2*Ysin'xY -2xy-xsinxy

pe$atnaan garissinggung Di (0, l), v : :. sehingga, di (0, l) adalatt

y-r:i(x-0)

I

ATURAN PANGKAT LAGI Kita telahmempelajaribahwa D,(x') : nxo- 1, di maoan adalah sebarang bilangan bulst. Sekarangini kita perluas pada kasus di mana n adalatr tilangan rasionalsebarang,

Btkti Ibrena r rasional,maka r dapat dituliskan sebagpip/q,dr manap dan 4 adalah bilangan-bilangarbulat dengana ) 0. Andaikan l:

Yr :

YPle

LJ-

/

t54

Kalkulus dan Geomefii Analitis

Jilid I

Maka f:xo dan,denganpendiferensialan irnplisit, qf-tD'Y:

PxP-r

Jadi, ^

),t :

pxP-r

sF-

:

p

xl-r

:

p xP-r

a@iiiF- i r,=;n

: l x r - r - p + p l c - P * o l e - r- r r r - r q q Kita telah memperolehhasil yang dikehendaki,tetapi - secarajujur - kita harusmenunjukkan kekurangan dalam argumentasi kita. Dalam langkah pendiferensidan irnplisit, kita anggapbahwaDry ada - yaitu, bahway = xPR terdiferensialkan.Kita dapat meng. bi kekosongan ini tetapi karena sukar; maka kita pindahkan pembuktiar ke Apendiks @asdA.l, TeorennC). I CONTOHS Cari D*lW

|

- 2xttrt * 4x3ta - 6fy,ztt

Penyelewian Pertamakita tulis D"! : 2D,(xt rt31+ 4D,1x3t4)_ 6D,(x- 2r3) Kemudian, mcrnakai aturan yang baru saja dibukdkan. D*! :2.ltyart

+ 4.f,x-tt4 - 6(-z)x-il3

: + x 8 t 3 + 3 x - r t 4+ 4 x - 5 t 3

I

CONTOH6 Jikay : !/F - lt + n,cai dyldt. Penyeleviwt Pikirkanini sebagai y:urlz

dan u:ta-3t+17

dan terapkan Atuan Rantai.

d y : dy du dt d " d t lr

\

-3)

\i"-'''){+t'

:&)n" -3) 4t3-3

2rAr-it + n .. \'-

I

Bab 3 Turunan

165

soAL-soAL3.8 Dengan menganggap bahwa tiap pennmaan dalam Soal*oal l-12 mendefinisikan sebuah fungsi r yang terdiferensialkan, cari Dry memakai pendiferemialan irnplisit. l. x2- Y2:9 2. 4x2 + 9y2 :36 3. xY:4 4. b2x2 + a2y2- a2b2,

2r.y:Jr+ir

1

\7x t2.y=(rr+l 23.y: JtF - 4x A

(xt - 2v1trt

y:

E. y:@

3

+AE

% . y : ( 3 x- t ; - s r r

di mana c,b konstanta 5.ty'-x+16:0

tl. Y:ft+ttttt

6. x3 - 3x2y + lgxy = 0

8.y:v4t*.t

7. 4x3 + llxyz - 2yt :0

T ) .'v : :

S. '6, + 3y: 1gt

30.y:.u/t+srn5x

9.6x-JXy+xyt-y2 ,'2

10.+-l-rtrz x'

I ./x2 sin x

31.y: J4 +;Gt+

rx)

32.y: V'tantx.+ sinL

ll. xy+siny:12 12. cos(xy) : y2 + 2x

Dalam Soal-ood 13-18, cari peramaan gris singgurg di titik yang ditunjuk (lihat Contoh 4).

33. Jika s2t * f = l, cari ds/dt dan dtl&. 34. Jika / e/dv.

= sin(t2) *

2x3, cari

35. Sketsakangrafik lingkaran x2-4x+y2+3:o

13. x3y * y3x = l0; (1,2) 14. x2f * 3xY: l0y; (4 l) 15. sin(xy): y; (nl2,l) 16. y + cos(xy2) * 3x2:4: (1,0) 17. xztt - ftt - 2y :2: (1, -l)

rt. 'fr + xf :5; (41) Dalam Soal*orl 19-32, qn dy/tlx (bhat Contoh 5 dan 6).

dan kemudian cari persamaan-peflnmaan untuk dua garis singguns y{nS melalui ) titik asal. 36. Cad penramaangrris normal (garis tegak lurus pada garis singgunt) pade kurva 8(r2 + y")' = 100(x2 - y\ di (3, l). 3?. Andaikan xy I Y3 = 2. Maka pcndiferensialan implisit dua kali terhadap r masingmasingmenghasilkan: (a) xy'+ y + 3y2y'=O; G) x/ + y' + t' + 3y2y"+ 6,$/)2 : 0.

19.Y:3x't'*'Jx fr.y=!1Q-Ytn

Selcsaikan(a) untuk y' dan gantikan dalam (b), kemudian selesiikan untuk y".

/

i i

166

Kalkulus dan GeometriAnalitis

38. Cari y" (lihat Soal 37).

jik^ xi

-

4y2 * 3 = o

jika 2t'y ^ 39. Cari y" di (2, l) 4y' : 4 (lihat Soal 37).

-

40. Gunakan pendiferensialrn implisit dua kali untuk mencari .y" di (3, 4) jika xz+y2-2s.

41. Perlihatkan bahwa garis normal pada .r3 * .yt = axy ai G, *) melalui titik asal. 42. Perlihatkan bahwa hiperbol-hiperbol xy = I dani2 - y2 : I berpotongan saling tegak lurus. 43. Buktikan bahwa ?52 + y2 : 6 dan y2 :4x saling tegak lurus.

tano:

Cari sudut-sudut dari lingkaran x2 + y2 I ke lingkaran (x - l)2 + y2 : I pada kedua titik potongnya. 45. Cari sudut dari garis .y = b gada kurva x2 - xy 1 2/2 = 28 pada titiktitik potongnya di kuadran pertama (lihat Soal 44). 46. Sebuah partikel dengan m:rss:l nt bcrgerak sepanjang sumb*r schingga posisi x dan kccepatan v = dxldt memenuhi

,r{u' - ut): k(xt - xz) di mana ro, xo, dan k adalah konstantakgnstanta. Buktikan dengan memakai pendiferensialan implisit bahwa

grafik dari berpotongan

44. Andaikan kurva-kurva Cr dan C2 berpotongan di (.ro, ys)dengan kemiringan masing-masing m1 dan m2. Mallxa Qihat Sod 28 dari Pasal 2.3) sudut positif 0 dari C1 (yaitq dari garis singgung ke C1 di (re, /o)) ke C, memenuhi ilz-ilr | * m1m2

Jilid I

m

tlu

-kx

*:

bilamana y * 0. 47. Kurva x2 -xy * y' = 16 merupakan sebuah ellips yang berpusat di titik asal dan garis y = x sebagai sumbu utamanya. Tentukanlah persamaan garis.garis singgung pada dua titik di mana ellips tersebut memotong sumbu-x. 48. Tentulian titik-titik pada kurva = 2 yang garis singgungnya x2y-*y2 vertikal, laitu di manadx/dy = g.

3.9 Laju yang Berkaitan Jika variabel/ tergantungkepadawaktu /, maka turunannyadyldt disebutlaju se- , ' ini juga di' saatperubohan.Tentu saja,jika y mengukurjarak, maka laju sesaatperubahan sbut kecepatan.Kita tertruik pada beranekalaju sesaat,lajuair mengalirke dalamember, lalu membesamyaluas pencemaranmiqfak, laju bertambahnyanilai lopling tanah, dan lain-lainnya. Jika y diberikan s@aragamblang(elsptsit) dalam bentuk r, maka masalah. nya scderhana; kita cukup mendiferensialkan dan kemudian menghitung urrunan pada saatyulg diminta. Mungkin saja, sebagaiganti diketattuinya y secaragamblangdalam bentuk t, kita mengetahuihubunganyangmengaitkanydanvariabellainx dan kita juga mengetahuisesuatu tentang eldt Kita masih tetap rnampu mencari dy/dt, kareaa dy/dt dm e/dt adalah biu{sjn yang berkaitan. Biasanyaini akan memerlukan pendiferersialan implisit. DUA CONTOH SEDERHANA Sebagi peniapan menyusunpro*Ou, yang sistematis untuk menyelesaikanmasdah laju-laju yang berkaitan, kita bahasdua contoh, CONTOH I Sebuahbalon dilepaspadaprak 150 kaki dari seorangp€ngarnatyang berdid di tanah. Jika balon naik secaralurus ke atas denganlaju 8 metey'detik, seberapa cepat jarak antara pongarmt dan balon bertambatrEada waktu balon pada ketinggian 50 kaki?

-'

Bab3 Turunan

167

Andaikan r menyatakan banyaknya detik setelatrbalon dilepas. Andaik n Pcnyebsim /z menyatakanketinggianbalondansjaraknyadari pengamat(lihat Gambarl). Variabel ll dan s keduanyatergantungkepada/; tetapi alassegitiga(iarak dari pengamat ke titik pelepasan)tetry tidak bsrubah dengan bertambatmya r. Kita telsnkan bahwa gambar n y^Bkita buat sahihuntuk scmuar ) 0. Selanjutnya kita bertanya (dar mcnjaurab) dua portuyaen dsu tentang ft dan s. GAMBAR1 (a) .Apa yang diketahui?Jatwb: dhl dt = 8. (b) Apa yang ingin kita ketahui? Iovab: Kits irrtln mengctahui ds/dt padasaat h = 50. Variabels dan ft berubahdenganwaktu (merekaadalahfungsi-fungsiimplisit dari t), tetapi merekaselalu dihubrurgkandengrn pcnannsn Pythagoras s2=h2+(150)' Jika kita diferensialkan sccara implisit tcrhadap r dan mcmatai Atunn Rantai, kita peroleh

N*: zn* dt

dt

atau ds

tn:

n, d h dt

Hubunganini juga bedakuuntuk semuar ) 0. Sekarang,dan htlun sebelumrgu,kita berpalingpada situasi brilamanah = 5O Dari persamaanPythagoras,kita lihat bahwa,bilamanaft = 50

s: v(Or +-(tsof:50/lo Denganmenggantikans(ds/ dt) = h(dh/ dt) rmnghasilkan

atdu

so/10a4: 5oG)

+: + x2.53 dt JlO

I

/

, Kalkulus dan Geometri Analitis

168

Jilid

I

I +.r. '

Pada saat i = 50, jarak antara bqlon dan pengumt bertamboh dcngan kecepatan 2,53 kaki/dctik. I 1 CONTOH 2 Nr dituangkan ke dalam bak bentrk kerucut denganlaju 8 dnfrmenil Jika tinsg bak adalah 12 dm dan F i.tsd pcrmukaur atas adalah 6 &n, seberapaccpat permukaan air naik bilamena tinggf permukeanadalatr4 dm? Penyelewion Nyatakan tinggi permukaanair dalam bak pada saat f sebarangadalahh dan andaikanr jari-jari permukaanair yang berpadananQihatGambar2). Dikeuhui bahwa Z volume air dalam bak naik dengan laju 8 dm/menit yaitu dV/dt = 8. Kita ingin mengetahui seberapa cepat air naik - yakni, dh/dt - pada saat h- 4. Kita perlu mencari sebuah persarnaan yang mengaitkan Iz dan h. Rumus untuk volume air dalam bak, V = +fi r2ft, mengandung variabel r yang tidak diinginkan, tidak di inginkan karena kita tidak mengetahuilajunya 'drldt Tetapi, memakai segitiga*egitigayang serupa (ihat Gambar 2), lr;.ta mempunyai r/h = 6112, sehinggar = hl2. Denganpenggartian ini dalam V = +fi r2ft memberikan

T

I

GAMBAR2

v:nh' t2

sebuahhubunganyang bedakuuntuksemua r ) 0. 'Sekarang kita diferensialkansecaraimplisit, dengan tetap P men$r€at bahwa ,r tergantungkepadar. Kita peroleh

,-;\.

dv dt

3nh2dh 12 dt

dV

nh2 dh

ht

N

w ,v,' v4 w,

dt: 4 A Pada saat ini, bukanny,alebih dini, kita tinjau sitrrasibilama^a h= 4. Denganpenggantiur h = 4 dandVl dt = 8, kita perdeh dh R " \ _4n ( 4d) 2 t dari mana

o!:?=0.637 d

t

n

lllamana ketinggianair 4 dm, permukaanair naik denganlaju 0,637 dm/menit. Jika anda piki*an sejenak,anda menyadaribatrva permukaanair akan naik semakin lambat dengurbedalunyawaknr. Minlnya, bilamanaft = l0 7t(lD)2 dh "a - _ 4 dt

I

rF t..

Bab 3 Turunan

t59

sehingga dhldt = 321l00tt r 0,102dm/menit. Apa yang sebenarnya kita katakanialah bahwapercepatand2hldf negatif.Kita dapatmenghitungsebuahungkapanuntuknya. padasebarangwaktr r, nh2 dh ^ x- : - 4 d t sehingga

I

\

32

;:

h. , 'dah

Jika kita diferensialkan secaraimplisit lagi, kita peroleh

0: F*

dt'

dari mana

d2h dt"

Ini jelasnegatif.

.#("#)

_H h

I

PROSEDURSISTEMATIS Contoh I dan 2 mengemukakan metodeberikut untuk menyelesailon masalahlaju-lajuyang berkaitan. Langl@h1 Andaikan t menyatakanwaktu. Gambarlahdiagramyang berlakuuntuk yang nilainya tidak berubahbila r bertambah, semuat ) 0. Beri pengend besaran-besaran dengannilainilai konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaranyang beryang sesuaidari gambardenganvariabelubah sesuaiwaktu, dan bubuhkangaris-garis variabelini. langlah 2 Nyatakanapa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkantentang variabel-variabel. Informasiini akanberbentukturunan-turunan terhadapr. Itngkalr 3 Tulislahsebuahpersamaan yang yang menghubungkan variabel-variabel sahihuntuk semuawaktu r ) 0, bukanhanyapadabeberap saatbrtentu. Langlah 4 Diferensialkanpersamaanyang ditemukandalamlangkah 3 secaraimplisit terhadap f. Persamaanyang dihasilkan, memuat turunan-turunanterhadap I, sahih untuksemuar)0. Langlah 5 Gantikanpersamaanyang ditemukandalamLangkah4 untuk semuadata yang sahihpada saat tertentu untuk manajawab masalahdisyaratkan.Selesaikairturunan yang diinginkan. CONTOH 3 Sebuahpesawatudara terbangke utara dengankecepatan640 km/jam melintasi sebuahkota tertentu pada tengahhari, dan sebuahpesawatkedua terbangke timur denganlaju 600 km/jam secaralangsungmelewatikota yangsamal5 menit kemudian. Jika pesawat-pesawat itu terbangpada ketinggianyang sama,seberapacepat merekaberpisahpadapukul I 3.15? "

/

Kalkulus dan Geometri Analitis

tilid

I

Penyehwian Andaikdt r menyatakanbaLongloh / nyaknya jam setelah pukul l2.l 5. Gambar 3 mernpertihatkansituasi unfirk semua r ) 0. Juak dalam kn dari kota ke pesswatterbang yang ke utara pada saat t = 0 fuulorl 12.15) diberi pengenaldengankonstanta # = 150. Untuk r > 0, kita andaikan y menyatakan jarak dalam km yang diterbangi oleh pesawat arah utara (setelahpukul 12.15),x jarak yang diterbangioleh pesawatarah timur, dan .rjarak antarapesawat-pesawat. Langlah 2 Untuk semuar ) 0, diketahui bahwa, dyl dt = 640 dan &ldt = 6Cl0-Kita ingin mengetahvidsldt pada saat t = 1, yaitu p u k u l1 3 . 1 5 .

GAMBAR,3

Langlah -l Menurut TeoremaPythaSoras, s2:x2+(y.+l6o)' Langtoh 4 Denganmendiferensialkansecaraimy'lisit terhadap t dan memakaiAhrran Rantai,kita mempunyai .-^.dY ^ ds ^ d, ^, x;:2xj+2(Y+160) * atau ds

dx

.-. dv

';:,i+O+rffi)A

sedangkan Eadasaat Langluh 5 Untuk semuat > O, ala@, = = = + 1000. Illarnanakita too)2 =600, (0frJft+o = y 640, dan r llrusus r t, x menggantikandatadataini dalampenamaanLangkah4, kita peroleh

t*f shingga

= (6mx6oo) + (640+ l6ox64o)

!: ",

.dt

itu berpisabdengar kecepatan872la'nfiamPadaputul l3.l 5, pesawat?esawat

I

CONTOH 4 Seorangwanita berdiri pada karangmemandangsebuahperahu motor yang bergorak ke arah paotai tePat di bawalrnyadenganrnenpergunakanteropong. Jika teropong berada'250 kah di ataspermulean laut dan jika perahu npndekat dengan laju 20 kaki/detik, berapalaju perubahansudut teropongpada waktu perahu berada 250 lsld dui pantai?

r

7 Bab 3 Turunan

t7l

Penyeleviur

Itnglsh 1 Kita buat sebuah pmbar (Gambar 4) dan perkenalkanvariabel-variabel x dand, sepertiditunjukkan.

Teropong

bngbh 2 Diketahui bahwadx/dt= -20; tanda adalah negatif karena r berkurang dengan bcrlalunya waktu. Kita ingin mengetahui d0/dtprdzsaatr = 20. Ltntbh

J lhri ilmu ukur segtiga,

GAMBAR 4

t a n e :a 2v) Longlah 4 Kit^ diferemialkansecaraimplisit memakai kenyataan batrwa Dg tan 0 = sec2d(Contoh 2 dari Pasal3J). rcL puioier,

w, e(: dt Itngbh

5

I dt 2fidt

Padasaat.x= 250,0 adalahnl4ndiandansec 0 = *c.Qrl4)= 2. Jadi,

zff:fit-nt de

-l

a: E:

-q04

Sudut berubah denganlaju -Q (X radianidetik.Tandaadalahnegatif karenad berkurang denganberlalunya waktu. I

MASALAH LAf u YANG BERKAITAN SECARA GRAFTK s€ringkali dalamsituasikehidupan yang nyata, kita tidak mengetahuirumus untuk suahr fungpi tertentu, tetapi hanya mempunyai grafik yang ditentukan secaraempiris. Kita masih tetap mampu menjawab pertanyaan-pertanyaantentang laju. CONTOH 5 Kota Bogor memantau ketinggian air dalam tangki air berbentuk tabung dengartalat pencatat otomatis. Secaratetap air dipompa ke dalam tangki denganlaju 2400 dmijam. seperti diperlihatkan dalam Gambar 5. Selamasuatu periode 12 jain tertentu (dimulai pada tengatr malam), permukaan air naik dan turun sesuaidengan gnfik dalam Gambar 6. Jika lrri-Fri tangki adalah 20 dm, berapalaju air yang sedang digunakanpada pulnrl 7.00?

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

t72

Jilid I

2400dm/iam

1 2 3 4

lz+oo-'{ GAMBAR 5

5 6 7 8 9 1 0

1 1 t ( j a m )

GAMBAR6

Penyelevian Andaikan / menyatakanbanyaknyajam setelahtengahmalam,/r ketinggian air dalam tangki pada saat t, dan Z volume air dalam tangki padasaatitu (lihat Gambar 5). Maka 2400 - dvldt adalahlaju padamanaair sedangdigunakanpadasebarang waktu t Karenakemiringangarissinggungdi t =7 kira-kira -3 (lihat Gambar6), kita simpulkanbahwadhldt = -3 Padasaatitu. Untuk sebuahtabung, V = nr2h, sehingga V : n(20)2h dari mana

dv

E

: ^r#

Prda t = 7,

tv 1=4002(-3)x

-3770

dt

Jadi penduduk Kota Bogormenggunakanair denganlaju 240o+377O=6170dm/jam I padapukul 7.00.

T t i 'qli

tambah panjang dengan laju 3 cm/detik. Berapa kecepatan pertambahan volume 'kubus pada saat panjang rusuk l0 cm?

Oengan anggaPan bahwa bola sabun bentuknya tidak berubah selama bola itu berkembang, berapa cepat jari-jarinya bertambah pada saat panjangrya 2 cm, jika

t o , t ru *n @

r73

udara ditiupkan ke dalam bola dengan laju 4 cm/detik? 4

Sebuah pesawat udara, terbang / mentlatar pada ketinggian l. km, melintasi seorang pengamat. Jika laju pesawat itu tetap sebesar 240 kmljam, berapa cepat jank dari pengamat bertambah 30 detik kemudian? Petuniuk: Gunakan Gambar 7 dan perhatikan bahwa dalam 30 detik (rlo jam), pesawatmenemPuh 2 km. Pesawat

8. Minyak dari kapal tangki yang pecah menyebar dalam pola melingkar.. Jika jari-jari lingkaran bertambah pada laju tetap sebesar 1,5 dm/detik, seberapa cepat meluasnya daerah yang cukup se. telah 2 jarn? o^; sebuah pipa menglir-paiir / deng6n laju 16 dm/detik. Jika pasir yang keluar membentuk tumpukan berupa kerucut pada tanah yang tingginya selalu Y: ga'ris targah atas, seberapa copat tingginya bertambah pada saat tinggi tumpukan 4 dm? Petunjuk: Gunakan Gambar 8 dan grmakan kenyataan bahwa Z = txr2h.

I

Pengamat GAMBAR.7 I Seorang mahasiswa memakai sebuah sedotan untuk minum dari gelas kertas berbentuk kerucut, yang sumbunya tegak, dengan laju 3 cm/detik. Jika tinggi gelas l0 cm dan garis tengah mulut gelas 6 cm, berapa cepat menurunnya permukaan cairan pada saat kedalaman cairan 5 cm? 5. Sebuah Pesawat udara, terbang ke barat dengan kecepatan 400 km/jam, melintasi sebuah kota tertentu pada pukul 11.30, dan sebuah pesawat kedua, pada ketinggian yang sama, terbang ke selatan dengan kecepatan 500 km/jam, molintasi kota itu pada tengah hari. Seberapa cepat mcreka berpisah pada pukul 13.00? Petuniuk: Uhat Contoh 3. ,4-\/

/ f Seorang di dermaga menarik tali pada sebuah sampan. Jika. lranf[iikatkan Itangan orang tersebut 12 dm lebih tinggi V daripaAa titik tempat tali diikatkan pada sampan dan jika ia menarik tali dengan kecepatan 3 dm/detik, seberapa cepat pcrahu mendekati dermaga pada waktu panjang tali masih 20 dm?

GAMBARS

10. Seorang anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di atas tingkat tangan anak itu dan angn mcniupnya pada arah mendatar dengan laju 5 dm/detik, seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm? (Anggap bcnang membentuk sebuah garis, wal,aupun sebenarnya anggapsn ini tidak realistis). kolam renang panjangs.u.r"tt 16 lcbar 20 dm, kedalaman 8 dm ny"\ddtn, pqda ujung yang dalam da:r kedalaman 3 dm pada ujung dangkal; alasnya berupa siku empat (lihat Gambar 9). Jika kolam diisi dengan memompak4n air ke dalamnya dengan laju 40 dnf/menit, scberapa 'cepat permukaan air naik pada saat delamnya pada ujung yang dalam adahh 3 dm?

y'. Seauan tangga Panjang 20 dm bersand6r di dinding. Jika ujung bawah tangga ditorik sepanjang lantai menjauhi dinding dengan kecepatan 2 dm/dctik, seberapa cepat ujung atas tangga bergeser me nuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga sejauh 4 dm dari dinding?

/

-Kalkulusdan Geomefti Analitis JilA I

174 P bergerak sepan12. Sebuah partikel '-

=

- 4,

2 2, sehingga

x idnggafik y t/ xt -koordinat-x ' titik P bertambah dengan Seberapa cepat kolaju 5 satuan/detik. ' ordinat-y titik P bertambah pada saat x=3?

13. Sebuah cakram baja memuai se lama dipanaskan. Jika jari'jarinya bertambah dengan laju 0,02 cm/detik, seborapa cepat luas salah satu mukanya bertambah pada saat jari-jarinya adalah 8,1 cm? dari pe14. Dua buah kapal berlayar labuhan pulau yang sama' satu ke utara dcngan laiu 24 knot (24 mil laut/jam) dan yang lain ke timur dengan laju 30 pada knot. Kapal arah utara berangkat pukul 9.00 dan yang arah timur berangkat putul 11.00. Seberapacepat jarak antara mercka bertambah Pada Pukul l4'00? Petuniuk: Andaikan r = 0 Pada Pukul I1.00. i5. LamPu di mercu suar I km di lepas pantai berputar dengan 2 pttatari/menit. Seberapa cepat sorotan ca' haya bergerak sepanjang garis pantai pada saat ia melewati titik I km dari titik yang berseberangn dengan mercu suar.

dengan sisi yang sama panjangrrya l0O cm bertambah besar dengan laju radial/mpnit. Seberapa cepat bertambahnya luas segitiga pada saat sudut puncak sebesar n/6 radian?.Petuniuk: Luas = taD sin 1. 19. Jembatan layang jalan raya melintasi rel kereta api yang berada tegak lurus 100 kaki di bawahnya. Jika sebuah mobil (66 kaki/ berjalau dengan 45 milfam detik) berada tepat di atas kereta api yang melaju dengan kecePatan 60 milfiam (88 kaki/detik), seberapa cepat mereka berpisah l0 detik kemudian? Nt dipompa dengan laju seragam It. 2 liter/menit (l liter = 1000 sentimeter kubik) ke dalam sebuahtangki membentuk sebagiandari kerucut lingkaran tegak' Tinggi tangki 80 cm dan jari-jari bawah dan atas masing-masing sepanjang 20 cm dan 40 cm (Gambar l0). Seberapacepat permukaan air naik pada saat kedalaman air 30 cm? Catatan: Volume Iz, sebagiandari kerucut lingkaran tegak dengan tinggi ft' jari-jari bawah a, dan jari-jari atas b adalah V:\nh.(a2+ab+b2).

pesawat pengintai ts 16. Seorang udara mengamati sebuah pesawat yang terbang ke arahnya pada ketinggian 4000 kaki. Ia mengamati bahwa Pada waktu sudut elevasi sebesar j radial, kecepatan pesawat tersebut bertambah dengan laju ,o! radian/detik. Berapa kecepatanPesawatitu? I ?. Andi, Yang tingginYa 6 dm, berjalan menjauhi sebuah lampu jalan yang tingginya 30 dm dengan laju 2 dm/detik. (a) Seberapa cepat panjang bayangannya bertambah pada saat Andi sejauh 24 dm dari tiang lamPu? 30 dm? (b) Seberapa cepat ujung bayangannya bergPrak? (c) Untuk mengikuti ujung bayangannya, pada kecepatan sudut berapa ia harus mengangkat kepalanya pada saat panjalg bayangannYa6 dm? OAJ Soa,rt Puncak Yang berhadaPan dengii' alas sebuah segitiga sama kaki

GAMBAR IO

21. Air keluar;dqi bawah tangki berbentuk setengah/ bola yang jarijarinya 8 dm dengan latu 2 dm/jam. Pada suatu saat tertentu tarlgki tenebut penuh. Seberapa cepat permukaan air berubah pada saat tingginya /r adalah 3 dm2 Catatan: Volume segJnen bola dengan jari-jari r dan tinggi /r adalahrhzlr - (/r/3)1. (Lihat Gambar I I ).

I

175

Bab 3 Turunan

24. Kerjakan Contoh 5 dalam teks dengan menganggap tangki air berbentuk bola yang jari-jarinya 20 kaki (Lihat Soal 2l untuk volume sebuahsegmenbola).

GAMBARIT 22. Jarum-jarum sebuah jam panjangnya 5 cm (arum menit) dan 4 cm (jarum jam). Seberapa cepat jarak antara ujungujung jarum berubah pada pukul 3.00? 23. Sebuah tabung lingkaran tegak dengan sebuah piston pada salah satu ujung, diisi dengan gas. Volumenya berubah secara kontinu karena gerakan piston. Jika suhu gas dipegang tetap, maka - menurut Hukum Boyle - PV = k, dengan P adalah tekanan (pon per inci kuadrat), V adalah volume (inci kubik), dan /c konstanta. Tekanan dimonitor memakai alat pencatat selama satu periode lO-menit. Hasil-hasilnya diperlihatkan dalam Gambar 12. Kira-kira seberapa cepat volume berubah pada saat r = 6,5 jika volumenya adalah 300 incikubik pada saat itu? (Lihat Contoh 5)

1

2 3

4

GAMBAR12

3.10

25. Sebuah tangga yang panjangnya l8 kakibersandar pada dindingvertikal l2 kaki sehingga bagian atasnya molewati dindin& Kemudian ujung bawah tangga itu ditarik mendatar menjauhi dinding dengan 2 kaki per detik. (a) Tcntukan kecepatan vertikal dari ujung atunya pada saat tangga tersebut membcntuk srdut 60" terhadap tanah. (b) Tentukan perccpatan vertikal pada saat yang sama.

I

26. Sebuah bola b4ia berada di dasar tangki dari Soal 21. Jawablah pertanyaan yang dikemukakan di sana apabila bolanya berjari-jari (a) 6 inci, (b) 2 kaki. 7'/. S"Au^n boh salju meleleh pada surfu linekat yang sebanding dengan luas permukaannya. (a) Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan. (b) Apabila bola itu meleleh menjadi $ dari volume semula dalam waktu satu jam, berapa lamakah bola itu akan habis meleleh? 28. Sebuah bola baja' akan jatuh 16 12 kaki dalam r detik. Bola scperti itu diiatuhkan dari ketinggian 64 kaki pada suatu jarak horisontal l0 kaki terhadap sebuah lampu jalan ]an! tingdrlys {g kaki. Seberapa cepatkah bayangan bola itu bergerak pada saat bolanya menyentuh taneh?

Diferensial dan Aproksimasi

Kita telah menggunakan notasiLeibnizdyldx untuk turunany terhadapx. Sampai sekarang,kita telah memperlakukandyldx sebagailambangbelakadan tidak mencoba memberikan arti tersendiri padady d,andx. Itulah yang kita usulkan untuk dilakukan sekarang. Untuk memberi motivasi definisi kita, andaikan P(xo, yi adalah titik tetap pada gralik y = flx ), sepertidiperlihatlan dalamGambarI . DenganP sebagaititik asal,perkenalkan sumbu-sumbukoordinat baru (sumbu*umbu ck dan dy) sejajardengansumburumbu

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

176

Jilid I

x dany yang lama. Dalam sistemkoordinat yang baru ini, garissinggungdi P secarakhas mempunyaipersamaansederhana,yakni dy = m dx, di manam adalahkemumgannya.Tetapi kemiringanrn terhadapsistemkoordinatbarusamasajasepertiterhadapsistemxy lama. Jadi,m = f'(x o), sehinggapersamaangarissinggungboleh dituliskan dv: f'(x)dx Kegunaangagasanini terletak pada kenyataandasar bahwa garissinggungtersebut sangatdekat pada kurva y = f(x) di sekitarP@o,yi (lihat Gambar2). Jadijikar mendapatkanpertambahankecil Ax = dx, Pertambahanyang berpadanandalathy padakurva ' adalah Ay = f (xo + Ax) - /(x6), sedangkanpada garissinggungadalahdv = f (x s)Axkali konstanta Tetapi dy merupakansuatu aproksimasiterhadap A,y dan hanya berupa ini kenyataan percabangan Ar, yang secaranormal lebih mudah dihitung. Kita selidiki nanti dalampasalini.

GAMBAR 2

cArBAn I

D IFERENSIALTERDEFINISI Bcrikut addah definisi formal dari diferensial.

C O N T O HI C u i d y j i k a ( a )t = x 3 - 3 x + l . ( b ) y = \ F

+ l t . ( c ) v = s i n ( x a- 3 t 2 + l l ) .

penyelevian Jika kita mengptahui bagaimanamenghitung turunan, maka kita tahu bagaimana mengbitungdiferensial. Kita hanya menghitung turunan dan mengalikannya dengandx. @) dy : (3x2 - 3) dx (b) dy:

i { r ' + 3 x \ - t t 2 ( 2 x+ 3 ) d x :

2x*3

:AX

2n/x2 + 3x

(c) dy : cos(xa - 3x2 + 11)'(4x3 - 6x) dx Sekaranganda perlu memperhatikanbctrerapahal. Pertama,karena dy = f pembagiankeduaruasoleh dr menghasilkan

I '@)

ar,

Bab 3 Turunan

177 dy f'(x) : d,

anda dapat melakukannya;menafsirkanturunan sebagaisuatu hasilbagidua diferensial. Kedua, berpadananterhadapsetiap aturan turunan, terdapataturan diferensialyang diperoleh dari yang lebih dahulu denganmemperkalikandengandx. Kita gambarkan at0ran-aturanutama dalamtabel di bawah.

':&= "-,'

.,.q1!,r'j

I

*r#dffiru.*

^al,

"d'$*u*r$*

*u "-

,''1ffi*o'j

*&

i

-:l

',&=W ' " . :

Ketiga, meskipun definisi dy menganggapbahwaxy adalahsebuahvariabelbebas. anggapan tersebuttidak penting.Andaikany = l(x), denganx=3(r). Makar adalahvariabel bebasdanx dany keduanyatergantungpadanya.Sekarang 7y : g'(t) dt dan karena

v: f@(t)) dy: f'@(t))s'(t)dt : f '(x) dx

Perhatikan bahwa dy ternyataadalah jika x adalah variabel f'(x)dx, samahalnyaseperti bebas. Akhimya,kamiserukansatuperingatan. Hati-hotilohmembedalan turunandar diferensial.Merekatidak sama.BilamanaandamenulisDry ataudy/dx, andamemakailam_ bang untuk turunan, bilamanaandamenuliskan dy, anda menyatakan diferensial. Jangan ceroboh dan menuliskandy bilamanaanda bermaksudmemberilabel suatuturunan.Itu akan menimbulkankebingunganyangberlarutJarut.

GAMBAR 3

flx+Axl=flxl+dl

APROKSIMASI Diferensialakan memainkan beberapaperanandalam bulqr ini, tetapi untuk sekarangpenggunaanutamanya adalah dalarn penyediaanaproksimasi.Kami telah menunjuk hal ini sebelumnya. Andaikan y = f(x), sepe{i diperlihatkan dalam Gambar 3. Bilamanax diberikan tambahan &, maka .y menerimatambahanyang 1

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

178 Ay, yangdapat berpadanan

dihampiri deh dy. ladi,flx

Jilid 1

+ Ax) diaproksimasi oleh

Ini merupakandasarunt rk rmu! @ntoh ylnt mcnyu$ul. CONTOH 2 Andaikanandamemerlukanaproksimasiyang baik terhadaptFS a^"/52, tetapi kalhrlator rnde rusak. Apa yary mungkin anda kcrjaken? Pcnyeteviot Prndmg gafik d{i y = 1E-,yang disketsalcandalam Gambar 4. Bilamanax berubahdari 4 ke 4;6 makar,Eberubah dari f-= 2ke lG + dy (secan aproksimasi)' Sekarang

dy:tx-,t2 dx:

+d.

rdangkm dix = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai

:9r9:o,tt dy: +(06) Jadi

u E px , f i + a y : 2 + Q 1 5: 2 , 1 5 Serupa,dix = 9 dan & = - 0,8;

-9,8 dt: !=(-0,8) : : -0,133 4 e 6 Kscnaitu

,fr2 = rF * ay: 3 - Qt33: 2,867 Pcrhatikan bdtwa dr dan dy dua-duanyanegatif dalam kasusini. Nilai-nilai aproksimasi2,15 dan 2,867 boleh dibandingkanterhadapnilai-nilai sebenunya GampetemFt rngks desimal):2,148 daul.2#f5,36.

I

T t /4^_--

i l

Bab 3 Twunan

t79

pertambahanluas sebuahgelemCONTOH3 Guna&andiferensialuntuk mengaproksimasi bung sabunpada saetjari,jrrinya bertarnbahdari 3 cm ncnjadi 3,025 cm. Penyelesoion Luas gelembungbola sabun diberikan oleh A = 4rr2. Kita boleh mengaproksimasinilai'sebenarnya,AA dengandiferensialdA, di mana dA :8nr dr Padar= 3 dan c?= Lr- 0925,

I

dA = 8r(3)(0,O25)x 1,885cm

I

PENAKSIRAN KESALAHAN (ERROR) Beritut adalahmasalahkhas dalamsains.Seorang peneliti mengukur variabel r tertentu yang bemilai x6 dengankesalahanyang mungkin berukuran+Ax. Nilai x6 kemudiandipakaimenghitungnilai ye unruk y yang tergantungpada x. Nilai 7e tercemaroleh kesalahandalamx, tetapi seberapaburuk? Prosedurstandaradalahmenaksirkesalahan ini denganmemakaisaranadiferensial. coNToH 4 Rusuk kubus diukur denganpanjangI 1,4 cm dengarrkemungkinankesalahan 10,05 cm. Hitung volume kubus dan berikansuatu taksirankesalahandalamnilai ini. Vblume kubus Z yang rusuhye r adalah ll = xt . Jadi dV = gxz doc..Dle.r = ll,4.dsr d ='q05, makz V= (11,4)3x 1482 dan

knyefuian

dv :3(ll^)2(ops) ry tg. Jadi,kibdapatmelaporkanvolumgkubussebagai 1482t19crn3.

t

COI\ITOH5 Diketahui bahway = 3 sin 2t + 4 cos2t. Jika r diulur sebagi l,l3 I 0,005, hitungy dan berikan taksiranuntuk kesalahan. Penyelwian y : 3 sin(2X1,13)+ 4 cos2(1,13)x 3P43 dy : f(3)(2pos 2t - (4X2Fos t sin tl dt : [6 cos(2{1,13) - 8 cos(I,13)sin(1,13)](0,005)

= -Q035 Jadi,y= 3,04310,035.

I

soAL-soAL3.10 Dalam Soal-soal l-6, crri dy. l. y :2t'-

3x* 5

2.y:7*t-3x2+4 3. y:

(3 + 2x')-,

\:#= 5.y:J4x5+2x'-5 6.y:(6xt-llxs+x2l-zrt

7. Jikas = XFIT,, \ lita cari dF. \

caridr.

F(x): (5x' + l)2(x - 7)5.

9. Andaikan Y = ^x) = 13 . Cari nilai dy dalam tiap kesus. (a)x=0,5,dr= I (b).r= -l,dx=0,75 Buatlah sebuah gambar yang scksama dari grafik / untuk -1,5 < x { 1,5 dan garis singgung-gris singgung pada kurva di x = 0,5 dan l = -l; pada gambar ini bu-

/

r

r80

Kalkulus dan GeometriAnalitis

buhkan dy dar clx untuk setiap pasangan data yang diketahui dalam (a) dan (b). 10. Andaikan / = llx. Cari nilai dY dalam setiap kasus. (a)x=l,dx =0,5 (b)x:-Z,ilx:O,75 tsuat sebuah gambar skala besar, scperti dalam Soal 9. untuk -3 {x( 0 dan 3. 0(x( E f t. Untuk data dalam Soril 9, czri perubahan yang sebenarnya dalam y,.yakni Ay g

12. Untuk data dalam Soal 10. cari perubahan dalam y, yakni Ay. 13. Jika ! = xz - 3, cari nilai-nilai y dan dy dalam setiap kasus. (") x=2dandx=Ax=0,5 _ rcj (b) x =3 dan dx = Lx = -0,12 14. Jika ! = x4 * 2x, cai nilai-nilai Ay dan dy dalam setiap kasus. (a)x=2dandx=&=l _ q [ Q ( b ) x = 2 d a n d x= A x = 0 , 0 0 5 Dalam Soal-soal l5-18, gunakan diferensial untuk mengaproksimasi bilangan yang diberikan (lihat Contoh 2). Bandingkan dengan nilai-nilai kalkulator.

rs: tr@ \_yt6,et

16.J3s,s rs. j&;05

19. Aproksimasi nilai volume matetr rial dalam tempurung bola yang jari-jari dalamnya 5 cm dan jari-jari luarnya 5.125 cm (lihat Contoh 3). E Zg. Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 40 inci kubik. Gunakan diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan membuat kotak itu. tlD.tc".it tengah luar sebuah tempu. rung bola tipis adalah 12, dm. Jika tebal tempurung 0,3 dm, gunakan diferensial untuk mengaproksimasi volume daerah sebelah dalam tempurung. 22. Bo'g.an dalam sebuah tangki berbentuk tabung terbuka mempunyai garis tengah 12 kaki dan kedalaman 8 kaki. Alasnya terbuat dari tembaga dan sisinya dari baja. Gunakan diferensial untuk secara aproksimasi menaksir berapa galon

\ - - '

Jilid I

cat tahan air yang diperlukan untuk melapis setebal 0,05 inci bagian baja dari bagian dalam tangki (l Balon ez 231 inci kubik). 23. Dengan anggapan bahwa katulistiwa berbentuk lingkaran yang jari-jarin'ya kira-kira 4000 mil, seberapakah akan lebih panjang dari katulistiwa sebuah lingkaran lain yang sebidangdan sepusat,jika setiap titiknya berada 2 kaki di atas katulistiwa? Gunakan diferensial. 24. Periode sebuah pendulum sederhana yang panjangnya .[ kaki diberikan oleh 2rtEIE detik. Kita anggap bahwa g, percepatan yang diakibatkan oleh gravitasi pada (atau sangat dekat) permukaan bumi adalah 32 kaki tiap detik. Jika pendulum itu adalah pada lonceng yang waktunya tepat pada saat L = 4 kaki, seberapa jalannya jam lebih cepat dalam 24jam apabila panjang pendulum diperpendek menjadi 3,97 kaki? ^\Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 t 0,1 cm. Hitung volumenya dengan suatu taksiran untuk kesalahan (lihat Contoh 4 dan 5). 26. Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat 12 inci dan garis tengahnya diukur sebagai 6 t 0,005 inci. Hitung iolumenya dengan suatu taksiran untuk kesalahan. @ zz. Sudut antara dua sisi yang s:lma dari sebuah segitiga sama kaki diukur 0,53 +0,005 radian. Kedua sisi yang sama itu panjangnya tepat 151 cm. Hitung panjang sisi yang ketiga dengan suatu taksiran untuk kesalahan. E 28. Hitung luas segitiga dari Soal 27 dengan suatu taksiran untuk kesalahan. Petuniuk: a = lab sin.f . 29. Dapat diperlihatkan bahwa jika la2y/ax2l 4 M pada suatu selang ten tutup dengan c dan c * & sebagaititiktitik ujung, maka lLy-dyl
Bab 3 Turunan l8l

30. Tentukanlah nilai dari fl0,02) apabila

yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan I milimjer?

./(x) = sin [sin (sin 2x)l lcos(sin r).

32. Sebuah piala berbentuk kerucut dengan tinggi l0 crn dan lebarnya g cm di bagian atas, diisi air sampai kedalaman 9 cm. Sebongkah es berbenfuk kubus dengan itu. pergunakanlah diferensial untuk menentukan apakah air dalam piala akan meluap.

31. Sebuahtangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnyaberupa setengah bola. Apabila bagianyang berbentuksilinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya l0 cm, kira-kira berapa banyak cat-kah

3.11

I

Soal-Soal Ulangan Bab KUIS BENAR.SALAH

Jawablah dengan benar atau salah setiap pernyataan berikut. Bersiaplah untuk mempertahankanjawaban anda. l

Garis singgungpada kurva di suatu titik tidak dapat memotong kurva pada titik itu. 2' Kemiringan garis singgung pada kwva y :xa berlainan pada setiap titik dari kurva. 3' Adalah mungkin bahwa kecepatan sebuah benda bertambah sementara lajunya ber_ kurang. 4' J"f^,garis singgung pada grafik dari y = '(c) = /(x) adalah mendatar pad,ax = c, maka o. f s. Jka f (x) =.g'(x) untuk semua x, maka /(.r) : g(.r) untuk sem,," x. 5. Jika.Y = 25, maka D)' : sno. 7. Jika 1'(c)ad,a,maka/kontinu di c " y = W mempunyai sebuah garis singgung di x = 0 dan Dry tetap tidak S.:ti#:l 9. Turunan suatu lrasilkali adalah hasilkali ,turunan-turunan. l0' Jika percepatansebuahbenda negatif, maka kecepatannya berkurang. ll' Jika x3 adarah suatu faktor dari fungsi f(x) yang terdiferensialkan, m a k a x 2 a d a l a h suatu faltor dari turunannya.

t 2 . Persamaangarissinggungpada grafik dari y = x3 pada( I ,l ) adalah I _ ,'(x). 1 3 . Jika y = /(x)c6), maka Dlt = * flx)c,'(x) t4. Jika y = 1x3 + x)E, maka Dls y = g

l=3x2(x-1).

s@)f

1 5 . Turunan polinom adalah polinom. 1 6 . Turunan fungsi rasional adalah fungsi rasional. t 7 . Jika/'(c) = y'1c1=0 dan /r(x) = f(x)sl),maka 1 8 . Ungkapan

/r,(c; = g.

sihx- I x - itl, adalah turunan flx) = sin x di x = n 1 2 . 1 9 . Operator D2 adalah linear. 20. Jika h(x) : lig(x)) di mana dan g dua-duanya f terdiferensial,maka g'(c) = 0 mem_ bawakann'(c) = 6.

21. Jrkaf'(2) : s'(2): se) : 2, maka' (/.

d'Q) = a.

/

I

182

Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I

22. Jika /terdiferensial dan naik dan jika dx = Ax ) 0, maka.Ly 23. Jika jari-jari sebuah lingkaran bertambah pada 3 kaki/detik,

) dy. maka volumenya bertam-

bah pada 27 kakr kubik tiap detik. r) = D} (sin x) untuk sctiap bilangan bulat positif n.

24. Af{1sin tanx

..

I

25. u m - - _ .

J

Jf

r-o

s = 5f + 6t - 3(X) membcrikan posisi scbuah benda pada garis koordinat mendatar pada saat t, mrka bcnda itu sclalu bcrgerak kc kanan (ke arah pertambahan .r).

26. Jika

27. Iitrra udara dipompa kc dalam balon bundar daritarct pada laju tetap sebesar 3 inci kubik tlap dotit maka jari-jarinya akan bcrtarnboh tctapi dengan laju yang makin lama makin lambat. 28. Jika air dipompa ke dalam tangki bundar yang jari-jarirya tctap pada laju 3 galon/ dctik, ketinggian air dalam tangki akan bertambah makin lama makin cepat dengan semakin hampir penuhnYa tangki. 29. Jika galat Ar dibuat dalam pengukuran jari-jari sebuah bola, maka kesalahan yang berpadanan dalam volume yang terhitung kira-kira akan sebesarS. Ar di mana S adalah luas permukaan bola. 3O. Jika / = xs, maka dy VO.

SOAL.SOAL ANEKA RAGAM t. Gunakan

"f'(x):

untuk mencari f(x))lh setiap yang berikut ini.

liql/(r

+ tr) -

tr:runan

dari

(a) "f(x) : x2 - 5x (b) ,f(x) :

I

: x - J

(c) "f(x): Je - x ? Gunakan

g'(x):

lim t-x

^t) - g(x) t-x

untuk mcncari y'(x) Oatamtiap kasus. (a) e(x):13

(a) f'(2)

O)c('): \6 3. Limit yang diberikan adalah suatu turunan, tetapi dari fungsifmana dan pada titik mana?

3{2+h)2-X2)'

(a) lim

h

l*O

tan(n/4 + Ax) - I

(b) lirt Ar{

Ax

O

(c) lim r'8

3lP - 3lx P-x

Gunakan sketsa dalam gambar untuk mengaproksimasisetiap yang berikut.

(b) .f'(6)

(c) urrta-ratepada[3,7]. @

*

f(t\

di t : 2

I

@

;u'(t)ldit:2

Dalam Soal-soal 5-14, cari tiap turunan dengan memakai atwan yang telah kita kcmbangkan. 5. D,(x3 - 3x2 + x-2)

..r'(=;

/-

'-1-

'

Bab4 Penggunaan Turunan 7. D1(3x+ 2)2t3

s. D,QJi + 6)

'*(#=) 10.

d _ .

[sin(r') - sin'(t)l

;

183 21. Sebuah benda bergerak pada garis koordinat mendatar. Jarak berarah .r dari titik asal setelah r detik adalah r = 1 3- 6 t 2 + 9 1 y ^ g . (a) Kapan benda bergerak ke kiri? (b) Berapa percepatannya pada saat kecepatan nol? (c) Kapan percepatannya positif? I

22. CAn D2roI dalam tiap kasus. u

ll.

-

. (cos'5x) ax

(a) y:

/,

(b)v::

12. : lsin2(cos4l)l dt13. f'(2) jlkxf(x) = (x2 - l)2(3x3 - 4x) 14. g"(O)jika S(x): sin 3x + sin23x 15. Cari koordinat-koordinat titik pada kurva y = (x - 2)z pada mana garis pada garis lurus tegak singgung 2t-y+2=Q. 16. Sebuah baloh bundar memuai akibat panas matahari. Cari laju perubahan volume balon terhadap jari-jarinya pada saat jari-jari 5 meter. 17. Gunakan diferensial untuk menghampiri perubahan dalam volume balon dari Soal 16 pada saat jari-jari bertambah dari 5 ke 5,1 meter. 18. Jika volume balon dari Soal 16 bertambah pada laju tetap sebesar l0 meter kubik tiap jam, seberapa cepat jarijarinya bertambah pada saat jari-jari 5 meter? 19. Palung panjang 12 kaki mempunyai irisan berupa segitiga samakaki depgan dalam 4 kaki dan jarak lintas 6 kaki pada puncak. Jika air diisikan ke palung pada laju 9 kaki kubik tiap menit, seberapa cepat permukaan air naik patta saat kedalaman air 3 kaki? 20. Sebuah benda diluncurkan langsung ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 128 kaki/detik. Ketinggian s setelah t detik kira-kira ^r= l28r - l612 kaki. (a) Kapan ia mencapai ketinlgian maksimum dan berapa tinggi ini? (b) Kapan ia membentur tanah dan dergan kecepatanberapa?

t3xre - 2xt2 - 6x5 + lB I

Zl. l"A dy/dx dalamtiap kasus. (a) x3 + y3 : xtyt (b)xsin(xy):x2+l 24. Perlihatkan bahwa garis singgung Pada kurva y2 = 4x3 d,an 2x2 I 3y2 14 di (1, 2) saling tegak lurus. Petuniuk: Gunakan p endiferensialan implisit. 25. Andaikan / = sin(trr) +.x2. Jika x berubah dari 2 ke 2,01, kira-kira berapa banyak y berubah? '(2) = 4, ,, 26. Andaikan f(2) = 3, f = -1, = (2) f 2, d,ang'(2) = 5. cari cQ) tiap nilai. ,1 (a) + g 3 ( x ) ld i x : 2 ;lf'(x) (b)

d art"f

Q)e(x)l di x : 2

rI i

i

,| (c) lt,fCc('))ldix:2

x=2 ldt 27. Sebuah tangga yang panjangrrya l3 kaki bersandarpada dindingtegak. Jika alas tangga ditarik scpanjang tanah dengan laju tetap sebesar 2 kaki/detik, seberapa ccpat ujung atas tangga bergerak turun pada dinding di saat ia berada 5 kaki di atas tanah? 28. Sebuah pesawat udara mengudara pada sudut 15" terhadap arah mendatar. Seberapa cepat ketinggiannya bcrtambah jika lajunya adatah 400 milfiam? : 29. Diberikan bahwa D'lrl x * 0, cari rumus untuk D" lsin x l.

El/x,

/