4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4. TURUNAN

1

4.1 Konsep Turunan 4.1.1 Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : mPQ 

f ( x )  f (c ) xc

Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

Q f(x) f(x)-f(c) f(c)

P x-c c

x

f(x)  f(c) m  lim x c xc 2

•

b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu

Perubahan posisi

c

f(c)

c+h

f(c+h)

s

•

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah vrata  rata 

f (c  h )  f (c ) h 3

Jika h

0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : v  lim v rata  rata  lim h0

h 0

f (c  h)  f (c ) h

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

f(x)  f(c) v  lim x c xc Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c ) didefinisikan sebagai berikut: bila limit diatas ada

f(x)  f(c) f ' (c)  lim x c xc 4

Notasi lain :

df (c) , y' (c) dx Contoh : Diketahui

f'( 3 )  lim x 3

f( x)

1 x

tentukan f ' (3)

f(x)  f( 3 )  x3

lim

x 

3

1 1  x 3 x  3

 ( x  3) 3 x  lim  lim x  3 3 x(x  3 ) x  3 3 x(x  3 )

1 1  lim   x 3 3 x 9 5

4.1.2 Turunan Sepihak Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ' ( c )  lim xc

f ( x )  f (c ) xc

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ' (c)  lim x c

f(x)  f(c) xc

bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika f ' ( c )  f ' ( c ) dan f ' ( c )  f _' ( c )  f ' ( c )

f ' (c )

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c. 6

Contoh : Diketahui

x2  x  3 , x  1 f ( x)   1  2 x , x  1

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab : a.

f ' (1) 

f ( x )  f (1) lim x 1 x1

x2  x  lim x1 x  1 b.

f ( x )  f (1) x 1 x1

f ' (1)  lim

 lim

2

x1

Jadi, f diferensiabel di x=1.

x 2  x  3  (1  2 1 )  lim x 1 x 1

x( x  1 ) 1 x 1 x1

 lim

1  2 x  (1  2 1 ) x 1 x 1

 lim

x 1 x  2  2 lim 1 x1 ( x 1)( x 1) x 1

dan f ' (1)  1 . 7

– Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. – Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

lim f ( x )  f ( c )

xc

– Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

8

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

x , x0 f ( x) | x |   x , x  0  

f(0) = 0

lim f ( x )  lim x  0

x 0

x 0

lim f ( x )  lim (  x )  0

x 0



lim f ( x)  0 x 0

x 0

lim f ( x )  f ( 0 ) x 0

f kontinu di x=0 9

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

f ' ( 0 ) 

f ( x) f (0) x  0 x lim  lim  lim  1  x0 x x 0 x 0 x x0

f ' ( 0 )  lim

x 0

x 0 x f ( x ) f (0)  lim  lim  1. x 0 x x 0 x x0

Karena  1  f ' ( 0 )  f ' ( 0 )  1 maka f tidak diferensiabel di 0.

10

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;

x2  b , x  1 f ( x)    ax , x  1 Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

f (1)  lim f ( x)  lim f ( x). x 1

x 1

lim x 2  b  lim ax  1  b  a  b  a  1 x 1

x 1

11

2 x  b  a f (x)  f (1)  lim ' f(1)  lim x 1 x1 x1 x 1

x2  ( a 1) a  lim x 1 x1

x2 1  lim x 1 x  1

( x  1 )( x  1 )  lim x  1  2 x 1 x 1 x 1

 lim

f (x)  f (1) f (1)  lim x1 x1 ' 

ax  a x1 x  1

 lim

x 1  a x1 x  1

 a lim

f ' (1)  f ' (1)  a  2 Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1. 12

Soal Latihan Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.

 ax  b ; x  2 f (x)   2 2 x  1 ; x  2

,

 x 2  1 ; x  3 2. f ( x )   2 ax  b ; x  3

,

1.

3.

a x  3 ;0  x  1 f (x)   2  x  bx ; x  1

x=2

x=3

,x=1

13

4.2 Aturan Pencarian Turunan •

aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. Jika f (x)=k, maka 2.

f ' ( x)  0

 

d xr r 1  r x ; r R 3. dx d  f(x)  g(x)   f ' (x)  g ' (x) dx 4.

d  f ( x) g ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x) dx

5.

d f ( x) g ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)  dx g 2 ( x)

dengan g(x)  0.

14

Contoh 1. Tentukan turunan pertama dari Jawab :

f ( x)  x 3  3 x 2  4

f ' ( x)  3 x 2  3.2 x  0  3 x 2  6 x f ( x)  ( x 3  1)( x 2  2 x  3)

2. Tentukan turunan pertama dari Jawab :

f ' ( x)  3x 2 ( x 2  2 x  3)  ( x 3  1)(2 x  2)

 3x 4  6 x 3  9 x 2  2 x 4  2 x 3  2 x  2

 5x 4  8x3  9 x 2  2 x  2 3.Tentukan turunan pertama dari Jawab : f' ( x ) 

1.( x 2  1 )  2 x( x  3 ) ( x 2 1)2

f ( x) 



x3 x2  1

x 2  1  6x  2x 2 ( x 2  1 )2



 x2  6x 1 . ( x 2  1) 2

15

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1.

2.

f ( x)  x 1 / 2  3 x 2  1 f ( x)  ( x  1) ( x 3  2 x  1)

3.

f ( x) 

x 1 x 1

4.

f ( x) 

x x2 1

5.

x2 1 f ( x)  2 x 1 16

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus a. f ( x )  sin x  f ' ( x )  cos x b. f ( x )  cos x  f ' ( x )   sin x

17

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

d tan x  d sin x cos x   cos 2 x  sin 2 x c.  2 cos x dx dx



d cot x  d cos x sin x   sin 2 x  cos 2 x  d.  dx dx sin 2 x

1  sin 2 x

d sec x  d  1cos x   sin x e.  cos 2 x dx dx



sin x 1 cos x cos x

d csc x  d  1sin x    cos x   cos x 1 f.  2 sin x sin x sin x dx dx

1 cos 2 x

 sec 2 x

  csc 2 x

 tan x sec x

 csc x cot x

18

4.4 Aturan Rantai • Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka du dx dy dy du dx



du dx

dy dx

2

Contoh : Tentukan dari y  sin( x  1) Jawab : Misal u  x 2  1 sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dy  cos u du

dan

y  sin u

du  2x dx

maka

dy  cos( x 2  1) 2 x  2 x cos( x 2  1) dx 19

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dy du dv , , Ada, maka du dv dx

dy dy du dv  dx du dv dx

Contoh : Tentukan Jawab : Misal

dy dx

4 3 dari y  Sin ( x  5)

3

v  x 5 u = Sin v

y  u4 sehingga

  

dv  3x2 dx du  cos v  cos( x 3  5) dv dy  4 u 3  4 Sin 3 ( x 3  5) du

dy dy du dv  . .  12 x 2 Sin 3 ( x 3  5) Cos ( x 3  5) dx du dv dx 20

4.5 Turunan Tingkat Tinggi •

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

f •

(n)

d ( x)  f dx



( n  1)

Turunan kedua

•

Turunan ketiga

•

Turunan ke-n

•

Contoh : Tentukan

•

Jawab :



df  x  f ' (x )  dx

Turunan pertama

•

( x)

d 2 f x  f " ( x)  dx 2

d 3 f x f " ' ( x)  3 dx n

f

d f x  dx n 3 dari y  4 x  sin x y' '

n 

( x) 

y '  12 x 2  cos x

maka y' '  24 x  sin x 21

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama menggunakan aturan rantai dari 1.

2. 3. 4. 5.



y  cos 4 4 x 2  x



y   2 x  310 y  sin 3 x  x  1 y   x 1

2

y = sin x tan [ x2 + 1 ]

22

Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari 1.

y  sin  2 x  1

2.

y   2 x  3 4

3.

x y x 1

2 B. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x )  ax  b x  c bila g (1) = 5,

g ' (1)  3 dan g ' ' (1)  4

23