K-13
matematika IRISAN DUA LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menentukan persamaan dan panjang tali busur dua lingkaran yang berpotongan. 2. Dapat menentukan garis kuasa dua lingkaran yang tidak berpotongan. 3. Dapat menentukan titik kuasa dari tiga lingkaran yang saling lepas. 4. Dapat menentukan berkas suatu lingkaran. 5. Dapat mengaplikasikan konsep irisan dua lingkaran dalam kehidupan sehari-hari.
A. Tali Busur Dua Lingkaran yang Berpotongan Lingkaran L1 berpotongan dengan lingkaran L2 di titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C1C2 di titik M seperti gambar berikut.
P(x1, y1) r1
r2 C2
tali busur
C1
M Q(x2, y2)
K e l a s
XI
Persamaan dan panjang tali busur PQ dapat ditentukan dengan rumus berikut. Persamaan tali busur
L1 – L2 = 0
Panjang tali busur
PQ = 2 r22 − ( C2M )
atau PQ = 2 r12 − ( C1M )
2
2
Contoh Soal 1 Tentukan persamaan tali busur, panjang tali busur, dan titik potong lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + 4x – 6y – 16 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 6x – 12y + 20 = 0. Pembahasan: Persamaan tali busur dapat ditentukan dengan rumus berikut. L1 – L2 = 0 ⇔ x2 + y2 + 4x – 6y – 16 – (x2 + y2 – 6x – 12y + 20) = 0 ⇔ 10x + 6y – 36 = 0 ⇔ 5x + 3y – 18 = 0 Jika persamaan lingkaran dan persamaan garis tersebut digambarkan dalam 1 bidang Cartesius, diperoleh: 12
Y
11 10
L1 ≡ x2 + y2 + 4x – 6y – 16 = 0
9 8 7 tal usu
ib
6
x+
r5
5
3y
4
–1 8=
3
0
2 1 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 –1 –2 –3 –4
2
X 0
1
2
3
4
5
6
L2 ≡ x2 + y2 – 6x – 12y + 20 = 0
7
8
Jadi, persamaan tali busurnya adalah 5x + 3y = 18. Untuk menentukan panjang tali busur, perhatikan gambar berikut. 12
Y
11 10
L1 ≡ x2 + y2 + 4x – 6y – 16 = 0
9 P
8 7 6 5
M
4 3
C1(–2, 3)
2 1 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 –1
X 0
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
L2 ≡ x2 + y2 – 6x – 12y + 20 = 0
–3 –4
Mula-mula, hitung panjang C1M. C1M adalah jarak titik C1(–2, 3) terhadap garis PQ: 5x + 3y – 18 = 0. Dengan menggunakan rumus jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0, diperoleh: d=
ax1 + by1 + C
C1M =
a2 + b 2 5 ( −2 ) + 3 ( 3 ) − 18 2
2
5 +3
=
19 34
1 1 ( 4 )2 + ( −6 )2 +16 = 29 . Dengan 4 4 demikian, panjang tali busur PQ dapat ditentukan sebagai berikut.
C1Q adalah jari-jari lingkaran L1, dengan C1Q =
PQ = 2
( C1Q )2 − ( C1M )2
⇔ PQ = 2
(
29
)
2
19 − 34
2
3
⇔ PQ = 2 29 −
361 34
⇔ PQ ≈ 8, 6 Jadi, panjang tali busurnya adalah 8,6. Selanjutnya, tentukan titik potong kedua lingkaran. Titik potong kedua lingkaran dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan tali busur ke dalam salah satu persamaan lingkaran. Persamaan tali busur 5x + 3y = 18 dapat dinyatakan dengan −5 x +18 . Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke salah satu persamaan y= 3 lingkaran, misal L1, diperoleh: 2
−5 x +18 −5 x +18 x2 + + 4x − 6 − 16 = 0 3 3 25 x 2 − 180 x + 324 + 14 x − 52 = 0 9 ⇔ 9 x 2 + 25 x 2 − 180 x + 324 +126 x − 468 = 0 ⇔ x2 +
⇔ 34 x 2 − 54 x − 144 = 0 ⇔ 17 x 2 − 27 x − 72 = 0 ⇔ (17 x + 24 )( x − 3 ) = 0 Dengan demikian, absis titik potongnya adalah x = − Dengan mensubstitusikan nilai x ke persamaan y =
24 dan x = 3. 17
−5 x +18 , diperoleh: 3
24 −5 − +18 24 142 17 x=− →y= = 17 3 17 −5 ( 3 ) +18 x =3→ y = =1 3 24 142 Jadi, koordinat titik potongnya adalah − , dan (3, 1). 17 17
4
B. Garis Kuasa Dua Lingkaran yang Tidak Berpotongan Perhatikan gambar berikut.
L1 L2
garis kuasa
Gambar tersebut menunjukkan garis kuasa lingkaran L1 dan L2. Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap lingkaran L1 dan L2. Kuasa suatu titik (x1, y1) terhadap suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dapat dirumuskan sebagai berikut. T ( x1 , y1 ) = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C Diketahui lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 4x + 10y + 28 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 4x – 6y – 4 = 0. Jika kedua lingkaran tersebut digambar dengan garis kuasanya, akan diperoleh hasil berikut. 7
Y
6 5
L2 ≡ x2 + y2 + 4x – 6y – 4 = 0
4 3 2 1 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 –1
X 0
1
2
3
4
5
6
7
–2 is gar
sa
kua
–3 –4 –5 –6 L1 ≡ x2 + y2 – 4x + 10y + 28 = 0
–7 –8 –9
5
8
Garis kuasa tersebut memiliki persamaan 8x – 16y – 32 = 0 atau x – 2y – 4 = 0. Misal kita ambil titik (4, 0) pada garis kuasa, kemudian kita uji nilai kuasanya pada kedua lingkaran. Untuk lingkaran L1, diperoleh: T1(4, 0) = 42 + 02 – 4 ∙ 4 + 10 ∙ 0 + 28 = 28 Untuk lingkaran L2, diperoleh: T2(4, 0) = 42 + 02 + 4 ∙ 4 – 6 ∙ 0 + 4 = 28 Dari hasil tersebut, terlihat jelas bahwa T1(4, 0) = T2(4, 0). Hal ini berlaku untuk semua titik di sepanjang garis kuasa x – 2y – 4 = 0. Rumus untuk menentukan garis kuasa lingkaran L1 dan L2 sama dengan rumus untuk menentukan persamaan tali busur lingkaran, yaitu sebagai berikut. L1 – L2 = 0
Contoh Soal 2 Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + 4x – 8y + 16 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 8x + 10y + 32 = 0, kemudian gambarlah. Pembahasan: Persamaan garis kuasa dari kedua lingkaran tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. L1 − L2 = 0
(
)
⇔ x 2 + y 2 + 4 x − 8 y +16 − x 2 + y 2 − 8 x +10 y + 32 = 0 ⇔ 12 x − 18 y − 16 = 0 ⇔ 6x − 9y − 8 = 0 Dengan demikian, persamaan garis kuasanya adalah 6x – 9y – 8 = 0.
6
Jika digambarkan dalam koordinat Cartesius, akan diperoleh hasil sebagai berikut. Y
7 L1 ≡ x + y + 4x – 8y + 16 = 0 2
2
6 5 4 3 2 1
–8
–7
–6
–5
–4
ris
ga
–3
–2
–1 –1
asa
y–
9 x–
6
0
1
2
8=
0
X 3
4
5
6
7
8
–2
ku
–3 –4 –5 –6 –7 –8
L2 ≡ x2 + y2 – 8x + 10y + 32 = 0
–9
C. Garis Kuasa Tiga Lingkaran yang Saling Lepas Diketahui tiga buah lingkaran L1, L2, dan L3 saling lepas. Garis kuasa dari L1L2, L1L3, dan L2L3 akan selalu berpotongan di satu titik yang dinamakan sebagai titik kuasa. Perhatikan gambar berikut. L1
garis kuasa L1L2
L2 titik kuasa garis kuasa L1L3
garis kuasa L2L3
L3
Untuk menentukan koordinat titik kuasanya, lakukan eliminasi atau substitusi dua garis kuasa yang diketahui. Perhatikan contoh soal berikut.
7
Contoh Soal 3 Tentukan titik kuasa dari persamaan lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + 6x – 4y + 12 = 0, L2 ≡ x2 + y2 + 4x + 10y + 25 = 0, dan L3 ≡ x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0. Kemudian, tentukan gambarnya. Pembahasan: Mula-mula, tentukan dua garis kuasa dari ketiga lingkaran tersebut. Misalnya garis kuasa antara L1 dan L2, serta garis kuasa antara L2 dan L3. Garis kuasa antara L1 dan L2: L1 − L2 = 0
⇔ x 2 + y 2 + 6 x − 4 y +12 − ( x 2 + y 2 + 4 x +10 y + 25 ) = 0 ⇔ 2 x − 14y − 13 = 0 ...(1)
Garis kuasa antara L2 dan L3: L2 − L3 = 0
⇔ x 2 + y 2 + 4 x +10y + 25 − ( x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 7 ) = 0 ⇔ 12 x +12 y +18 = 0 ⇔ 2 x + 2 y + 3 = 0 ...(2)
Titik kuasa dapat diperoleh dengan melakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2). (1)
2x – 14y – 13 = 0
(2)
2x + 2y + 3 = 0 –16y – 16 = 0 ⇔ y = –1
Substitusi balik nilai y = –1 pada salah satu persamaan, misal persamaan (2). 2x + 2y + 3 = 0 ⇔ 2x + 2(–1) + 3 = 0 ⇔x= −
1 2
1 Jadi, titik kuasanya adalah − , −1 . 2
8
Jika digambarkan dalam koordinat Cartesius, akan diperoleh hasil sebagai berikut. 7
Y
6 5 L1 ≡ x2 + y2 + 6x – 4y + 12 = 0
L3 ≡ x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0
4 3 2 1
–8 2x
–7
–6
–5
–4
–3
=0 – 14y – 13
–2
–1 –1
X 0
1
2
3
4
5
6
7
8
–2
1 − , −1 2
–3 2x
–4 –5
+
2y
+
3=
0
–6 L2 ≡ x2 + y2 + 4x + 10y + 25 = 0
–7 –8 –9
D. Berkas Suatu Lingkaran Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua buah lingkaran. Misalkan terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran L1 dan lingkaran L2. Jika L1 – L2 = 0, akan diperoleh persamaan tali busur. Namun, bagaimana jika L1 + L2 = 0 atau mL1 + nL2 = 0 dengan m dan n bilangan bulat? Untuk mengetahui jawabannya, perhatikan gambar lingkaran L1: x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0 dan L2: x2 + y2 + 2x – 6y – 36 = 0 yang memiliki persamaan garis kuasa –6x – 2y + 31 = 0 berikut.
9
14
Y
12 L2: x2 + y2 + 2x – 6y – 36 = 0
10
L1: x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
8 6 4 2 –16 –14 –12 –10 –8
–6
–4
–2 –2
X 0
–4
2
4
6
8
10
12
14
16
–6x – 2y + 31 = 0
–6 –8 –10 –12 –14 –16 –18
Selanjutnya, kita akan menggambar persamaan mL1 + nL2 = 0. Untuk m =1 dan n = 1, diperoleh persamaan lingkaran berikut. L3 : ( x 2 + y 2 − 4 x − 8 y − 5 ) + ( x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 36 ) = 0 L3 : 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 14 y − 41= 0 Jika ketiga lingkaran tersebut digambarkan dalam satu koordinat Cartesius, akan diperoleh hasil sebagai berikut.
10
Y 12 11 L2: x2 + y2 + 2x – 6y – 36 = 0
10 9
L1: x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
X 0 1
2
3
4
5
–2
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
–6x – 2y + 31 = 0
–3 –4 –5 –6
L: 2x2 + 2y2 – 2x – 14y – 14 = 0
–7
melalui titik potong kedua lingkaran sebelumnya
–8 –9 –10 –11 –12 –13 –14 –15 –16 –17 –18
Berdasarkan gambar tersebut, tampak bahwa lingkaran yang baru melalui titik potong kedua lingkaran sebelumnya. Untuk m = 3 dan n = –2, diperoleh persamaan lingkaran berikut. L4 ≡ 3 ( x 2 + y 2 − 4 x − 8 y − 5 ) − 2 ( x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 36 ) = 0 L4 ≡ 3 x 2 + 3 y 2 − 12 x − 24 y − 15 − 2 x 2 − 2 y 2 − 4 x +12 y + 72 = 0 L4 ≡ x 2 + y 2 − 16 x − 12 y + 57 = 0 Jika ketiga lingkaran tersebut digambarkan dalam satu koordinat Cartesius, akan diperoleh hasil sebagai berikut.
11
14
Y
12 L2: x2 + y2 + 2x – 6y – 36 = 0
10
L1: x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
8 6 4 2 –16 –14 –12 –10 –8
–6
–4
–2 –2
X 0
–4
2
4
6
8
10
12
14
16
–6x – 2y + 31 = 0
–6 –8
x2 + y2 – 16x – 12y + 57 = 0
–10 –12 –14 –16 –18
Berdasarkan gambar tersebut, tampak bahwa lingkaran baru yang diperoleh juga melalui titik potong kedua lingkaran L1 dan L2. Oleh karena itu, persamaan lingkaran ketiga dan keempat dinamakan sebagai berkas lingkaran L1 dan L2. Agar lebih mudah dalam menentukan persamaan berkas suatu lingkaran, perhatikan penjabaran berikut. Bentuk 1: mL1 + nL2 = 0 n L2 = 0 m ⇔ L1 + λ L2 = 0 ⇔ L1 +
Bentuk 2: mL1 + nL2 = 0 m L1 + L2 = 0 n ⇔ α L1 + L2 = 0 ⇔
Selain itu, terdapat pula bentuk persamaan berkas lingkaran yang melibatkan persamaan busur lingkaran. Perhatikan penjabaran berikut.
12
mL1 + nL2 = 0 n L2 = 0 m n n n ⇔ L1 + L2 + L1 − L1 = 0 m m m n n ⇔ 1+ L1 + ( L2 − L1 ) = 0 m m n ⇔ L1 + ( L2 − L1 ) = 0 m+n ⇔ L1 +
L2 – L1 = 0 adalah persamaan busur lingkaran. Misalkan k = L2 – L1 = 0 dan λ = Dengan demikian, diperoleh:
n . m+n
L1 + λ k = 0 Jadi, untuk menentukan persamaan berkas lingkaran, dapat digunakan rumus berikut. L1 + λL2 = 0 atau L2 + λL1 = 0 atau L1 + λk = 0 atau L2 + λk = 0
Contoh Soal 4 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 6x – 8y = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 4x + 6y – 4 = 0, serta melalui titik (1, 2). Pembahasan: Mula-mula, tentukan persamaan busur lingkarannya. k = L2 – L1 = 0 ⇔ k = x2 + y2 + 4x + 6y – 4 – (x2 + y2 – 6x – 8y) = 0 ⇔ k = 10x + 14y – 4 = 0 Kemudian, tentukan persamaan lingkarannya dengan rumus persamaan berkas lingkaran berikut. L1 + λk = 0 ⇔ x2 + y2 – 6x – 8y + λ(10x + 14y – 4) = 0 Oleh karena lingkaran melalui titik (1, 2), maka: ⇔ (1) + ( 2 ) − 6 (1) − 8 ( 2 ) + λ (10 (1) +14 ( 2 ) − 4 ) = 0 2
2
⇔ −17 + λ ( 34 ) = 0 ⇔λ=
1 2
13
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut. 1 (10 x +14 y − 4 ) = 0 2 ⇔ x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + (5 x + 7 y − 2) = 0 x2 + y2 − 6x − 8y +
⇔ x2 + y2 − x − y − 2 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 – x – y – 2 = 0.
Contoh Soal 5 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 8x + 4y – 5 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 4x + 8y – 4 = 0, serta memiliki pusat (–14, –8). Pembahasan: Mula-mula, tentukan persamaan busur lingkarannya. k = L2 − L1 = 0
⇔ k = x 2 + y 2 + 4 x + 8 y − 4 − ( x 2 + y 2 − 8 x + 4 y − 5) = 0 ⇔ k = 12 x + 4 y +1= 0
Kemudian, tentukan persamaan lingkarannya dengan rumus persamaan berkas lingkaran berikut. L2 + λ k = 0 ⇔ x 2 + y 2 + 4 x + 8 y − 4 + λ (12 x + 4 y +1) = 0 ⇔ x 2 + y 2 + ( 4 +12λ ) x + ( 8 + 4 λ ) y − 4 + λ = 0 Dari persamaan tersebut, diketahui A = 4 + 12λ dan B = 8 + 4λ. Oleh karena pusat lingkaran yang ditanyakan adalah (a, b) = (–14, –8), maka: 1 a=− A 2 1 ( 4 +12λ ) 2 ⇔ 28 = 4 +12λ ⇔ 24 = 12λ ⇔λ=2 ⇔ −14 = −
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut. x2 + y2 + (4 + 12(2)) x + (8 + 4(2)) y – 4 + (2) = 0 ⇔ x2 + y2 + 28x + 16y – 2 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + 28x + 16y – 2 = 0.
14
E.
Aplikasi Irisan Lingkaran Untuk memahami aplikasi irisan lingkaran, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 6 Perhatikan gambar kolam ikan berikut. pemisah
Diketahui lingkaran kecil berjari-jari 4 m dan lingkaran besar berjari-jari 10 m, serta jarak antara titik pusatnya adalah 8 m. Jika hendak dibuat pemisah antara kolam kecil dan kolam besar, panjang minimal pemisahnya adalah .... Pembahasan: Misal kita tempatkan gambar kolam tersebut ke dalam koordinat Cartesius dengan pusat kolam kecil sebagai pusat koordinatnya. Ini berarti, kolam kecil memiliki kedudukan pusat di C1(0, 0) dengan jari-jari 4 m. Dengan demikian, persamaan kolam kecil adalah sebagai berikut. L1 : x2 + y2 = 42 atau x2 + y2 – 16 = 0 Oleh karena jarak antara titik pusatnya adalah 8 m, maka kolam besar memiliki kedudukan pusat di C2(8, 0) dengan jari-jari 10 m. Dengan demikian, persamaan kolam besar adalah sebagai berikut. L2 : (x – 8)2 + y2 = 102 atau x2 + y2 – 16x – 36 = 0 Pemisah kolam adalah panjang tali busur yang melewati perpotongan antarkolam. Untuk itu, kita tentukan dahulu persamaan tali busurnya. L1 – L2 = 0 ⇔ x2 + y2 – 16 – (x2 + y2 – 16x – 36) = 0 ⇔ 16x + 20 = 0 ⇔ x = –1,25
15
Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4
jari-jari 4 m
3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
X 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
–1,25
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
–10 –11 –12 –13 –14 –15 –16 –17 –18
Dengan demikian, panjang pemisah kolamnya adalah sebagai berikut. Panjang pemisah = 2 4 2 − 1,252 ≈ 7, 6 meter Jadi, panjang minimal pemisahnya adalah 7,6 m.
16
