GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR SUNARSIH

GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR

SUNARSIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

ABSTRACT SUNARSIH. Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations. Supervised by SISWANDI and BERLIAN SETIAWATY.

This manuscript discusses a method for determining nonlinear equations roots from function having (k  1)th derivative which are continuous on an open interval containing the roots. The method used in this manuscript is a generalization of the Secant method. This generalization is by substituting the linear interpolation equation in the iteration equation by Secant method for the (k  1)th derivative polynomial interpolation equations. Convergence analyzing of the approximation roots sequence resulting in a degree of convergence which is greater than that of the Secant method and relatively similar to that of the Newton-Raphson method.

Key Words: Nonlinear Equation Roots, Generalization of the Secant Method.

ABSTRAK SUNARSIH. Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear. Dibimbing oleh SISWANDI dan BERLIAN SETIAWATY.

Karya ilmiah ini membahas metode penentuan akar persamaan tak linear dari fungsi yang memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada interval terbuka yang mengandung akar. Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan generalisasi dari metode Tali Busur. Generalisasi ini dilakukan dengan mengganti persamaan interpolasi linear pada persamaan iterasi metode Tali Busur dengan turunan interpolasi polinomial ke-𝑘 + 1. Analisis kekonvergenan barisan hampiran akar menghasilkan derajat kekonvergenannya lebih besar daripada menggunakan metode Tali Busur, dan relatif sama jika menggunakan metode Newton-Raphson.

Kata Kunci: Akar Persamaan Tak Linear, Generalisasi Metode Tali Busur.

Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear

SUNARSIH G54061230

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sains Pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Judul Linear Nama NIM

: Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak : Sunarsih : G54061230

Mengetahui Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si. NIP. 19640629 199103 1 001

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP.19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus

:

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia dan hidayah-Nya kepada saya sebagai penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear” tepat pada waktunya. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan untuk memeroleh gelar Sarjana Sains pada program sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai pihak yang telah membantu, 1. Keluargaku tercinta: Bapak dan ibu (terima kasih atas semua doa, dukungan dan kasih sayangnya), Kang Wito, Muji dan Riani (terima kasih atas doa dan dukungannya). 2. Bapak Dr. Siswandi, M.Si. dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, Ms. Selaku Pembimbing I dan Pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. Selaku dosen penguji, (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang diberikan). 5. Semua staf dan karyawan di Departemen Matematika(terimakasih atas segala bantuannya). 6. Teman-temanku (Inang, Ken dedes, Kimel, Ndut, Rhe, Tha, Yus). 7. Teman-teman angkatan 43: Emta, Putri, Rias, Erni, Fitria, Dandi, Copi, Slamet, Lina, Ady, Vera, Abi, NS, Leo, Nobo, Cupit, Adam, Aji, Tami, Sendi, Albrian, Ratna, Fardan, Resti, Apri, Margi, Fajar, Wira, David, Arif, Arum, Aini, Ace, Zul, Diah, sabar, Dwi, Faizal, Nurmalina, Suci, Faizul, Syahrul, Nanu, Destya, Ecka, Kabil, Nia, Razon, Peli, Irsyad, Hendra, Andrew, Nidya, Subro, Agung, Gandi, Elly, SN, dan Bertrand(terima kasih atas kebersamaan kalian). 8. Kakak-kakak kelasku angkatan 41 dan 42 (terima kasih atas doa dan dukungannya). 9. Adik-adik kelasku angkatan 44 dan 45 (terima kasih atas doa dan dukungannya). Akhir kata, semoga skripsi ini memberikan manfaat untuk kita semua. Penulis juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-Nya untuk kita semua. Amin. Bogor, November 2011 Sunarsih

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Pekanbaru pada tanggal 10 November 1987 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Sonimin dan Siyam. Tahun 2000 penulis lulus dari SD N 036 Siak, Pekanbaru. Tahun 2003 penulis lulus MTs-Hidayatullah Sialang baru, Pekanbaru. Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam, Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur ujian Beasiswa Utusan Daerah (BUD), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2007, penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis pernah aktif di IKPMR (Ikatan Keluarga Pelajar dan Mahasiswa Riau) Bogor di bagian divisi kerohanian islam 2008/2009. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara lain Pesta Sains Nasional 2009, Dies Natalis IKPMR 2008, 2009 dan 2010, Masa Perkenalan Departemen 2008, dan Try Out Kalkulus dan Pengantar Matematika 2008, 2009 dan 2010.

vii

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ……………………………………………………………………………………….... vii DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………………...… viii DAFTAR TABEL …………………………………………………………………………….………. ix DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………………………………...……… x I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ………………………………….…………….…………………………….. 1 1.2 Tujuan ……………………………..……………………………………………………...… 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Akar persamaan Tak Linear …………………………………………………………...…… 1 2.2 Interpolasi …………………………………………………………………………….…….. 3 2.3 Barisan dan kekonvergenan ………………………………………….…………..…………. 8 2.4 Sifat Akar Persamaan Polinomial ………………………………………………...………… 9 III PEMBAHASAN 3.1 Rumusan Masalah 3.1.1 Metode Newton-Raphson …………………………………………………………... 11 3.1.2 Metode Tali Busur ………………………………………………………………….. 12 3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………………………………. 13 3.2 Analisis Kekonvergenan 3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-Raphson ……………………………………...…. 16 3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur ………………………………………………... 17 3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur ………….………………………. 19 3.3 Contoh Numerik 3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-Raphson …………………………………………. 19 3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur ……………………………………………….... 20 3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………..……. 21 IV SIMPULAN …………………………..………………………………………...…………..…….. 23 V DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………..…………………………….. 24 LAMPIRAN ………………………………………………………………………………….………. 25

vii vii

viii

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-Raphson …………….……….…………………………… 11 Gambar 2 Grafik Iterasi Metode Tali Busur ………………………………………………….……… 12

viii viii

ix

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Selisih Terbagi ...…………………...………………...……………………………………… 15 Tabel 2 Ilustrasi Metode Newton-Raphson ………..………………………………………………… 19 Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MNR ………………………………. 20 Tabel 4 Ilustrasi Metode Tali Busur ………………………..………………………………...………. 20 Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MTB …………………….…………. 21 Tabel 6 Ilustrasi Generalisasi Metode Tali Busur ………………..……………………………...…… 21 Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB …………………..…………. 22 2 Tabel 8Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2 𝑒 𝑥 −2 − 1 dengan metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur ……………………..……………..... 23

ix ix

x

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12 ………………………………………………………………… 26 Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Rapshon ………………………...…………………… 37 Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur …………………………………………………..… 38 Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur ………………………………………. 39 Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 …….……………...…. 40 Lampiran 6Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 …….……………...…. 41 Lampiran 7Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 …….……………...…. 42 Lampiran 8Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 …….……………...…. 43 Lampiran 9Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 ………….………...…. 44 Lampiran 10Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7…………………...…. 45 Lampiran 11Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.8 ……………..…....…. 46 Lampiran 12Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.…….…....…. 47 Lampiran 13Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4.……….....…. 48 Lampiran 14Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5.……….....…. 49 Lampiran 15Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6.………….…. 50 Lampiran 16Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7….………..…. 51 Lampiran 17Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 …....……..…. 52 Lampiran 18Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.. ..53 Lampiran 19Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 ... 54 Lampiran 20Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 ... 55 Lampiran 21Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6… 56 Lampiran 22Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7… 57 Lampiran 23Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8… 58

x x

xi

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam bidang matematika, teknik dan beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akarakar persamaan. Terutama akar dari persamaan tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Persamaan tersebut lebih efektif diselesaikan dengan metode iteratif (Sahid 2005). Metode iteratif yang banyak digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga metode lain yaitu generalisasi metode Tali Busur. Secara umum semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) adalah metode pencarian akar yang akar-akarnya berada dalam interval 𝑎, 𝑏 , dalam interval ini dipastikan berisi minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen (menuju) ke akar, sehingga metode ini selalu menemukan akar. Contoh metode ini adalah metode Bagi Dua dan metode Regular Falsi (Munir 2003). Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin saja mendekati akar sebenarnya (konvergen) atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode

Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur (Munir 2003). Untuk selanjutnya pembahasan pada karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka, yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson merupakan metode pencarian akar yang paling cepat konvergen di antara metode-metode pencarian akar yang lain, namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya. Sedangkan metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang memiliki kekonvergenan yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja (Sahid 2005). Pada karya ilmiah ini akan dibahas generalisasi dari metode Tali Busur, di mana metode ini merupakan metode pencarian akar yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan kekonvergenannya relatif cepat. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Menentukan akar persamaan dengan generalisasi metode Tali Busur dan menganalisis kekonvergenan barisan hampiran akar yang diperoleh (Sidi 2007). 2. Membandingkan kecepatan dalam memperoleh akar dengan menggunakan generalisasi metode Tali Busur dengan metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada aplikasi numeriknya.

II LANDASAN TEORI 2.1 Akar Persamaan Tak Linear Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan 𝛼 pada domain 𝑓 yang memenuhi 𝑓 𝛼 = 0 disebut akar persamaan 𝑓 𝑥 = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi 𝑓. Secara singkat, 𝛼 sering disebut akar 𝑓(𝑥). Definisi 1 (Derajat Akar) Misalkan 𝑓 dan 𝑕 merupakan fungsi kontinu dengan 𝑕(𝑥) ≠ 0, sedemikian sehingga 𝑓 𝑥 dapat dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑚𝑕 𝑥 ,

maka 𝛼 disebut akar berderajat 𝑚. Dari persamaan di atas terlihat bahwa jika 𝛼 pembuat nol fungsi 𝑓 berderajat 𝑚, maka 𝑓 𝛼 = 0, 𝑓 ′ 𝛼 = 0, ⋯ , 𝑓 (𝑚 −1) 𝛼 = 0, 𝑓 (𝑚 ) (𝛼) ≠ 0. Jika 𝑚 = 1, maka 𝛼 disebut akar sederhana. Jika 𝑚 > 1, maka 𝛼 disebut akar ganda. Jika 𝑚 = 2, maka 𝛼 disebut akar dobel, dan seterusnya. (Sahid 2005)

xi

2

Definisi 2 (Galat Hampiran) Misalkan 𝑥 adalah suatu nilai hampiran yang diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk nilai eksak (nilai sebenarnya) 𝑥 yang tidak diketahui. Nilai 𝜖𝑥 = 𝑥 − 𝑥 disebut selisih atau galat, 𝜖𝑥 disebut galat mutlak. (Atkinson & Han 2003) Definisi 3 (Derajat Kekonvergenan) Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ merupakan barisan yang konvergen ke 𝛼 dan misalkan 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 menyatakan persamaan galat hampiran ke-𝑛, yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan 𝑛 = 0, 1, 2, ⋯. Jika terdapat sebuah bilangan 𝑠𝑘 dan konstanta 𝑄 ≠ 0 yang mengakibatkan 𝜖𝑛+1 lim = 𝑄, 𝑛 →∞ 𝜖𝑛 𝑠𝑘 maka 𝑠𝑘 disebut derajat kekonvergenan barisan tersebut dan 𝑄 disebut konstanta galat asimptotik. Untuk 𝑠𝑘 = 1 disebut kekonvergenan linear. Untuk 𝑠𝑘 = 2 disebut kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya. (Atkinson & Han 2003) Definisi 4 (Metode Iteratif) Metode iteratif adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi suatu persamaan tak linear yang dimulai dengan memilih nilai awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran ke-𝑛 yang menuju tak hingga, tetapi setiap langkahnya tetap konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu. (Atkinson & Han 2003) Definisi 5 (Metode Terbuka) Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin mendekati akar (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). (Munir 2003) Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur.

Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar yang hampiran akarnya diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥, dengan nilai awal 𝑥0 diberikan. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke-𝑛 + 1 adalah 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′ ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯. (1) 𝑓 𝑥𝑛 (Atkinson & Han 2003) Metode Tali Busur Metode Tali Busur (secant method) adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar yang dicari diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥. Kemudian dimodifikasi pada metode Tali Busur di mana hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson yang menggunakan turunan 𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke-𝑛 + 1 adalah 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ; 𝑛 = 1,2, ⋯. 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 (Atkinson & Han 2003) Definisi 6 (Deret Taylor) Misalkan fungsi 𝑓 memunyai turunan ke 𝑛 + 1 yang kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Misalkan juga untuk setiap 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]. Deret 𝑛 𝑓 (𝑘 ) 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 𝑘! 𝑘=0

disebut deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar 𝑥0 , dan dapat dituliskan 𝑛 𝑓 (𝑘) 𝑥0 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 . 𝑘! 𝑘=0

Dengan memisalkan 𝑥 = 𝑥0 + 𝑕, diperoleh 𝑛 𝑓 (𝑘 ) 𝑥0 𝑘 𝑓 𝑥0 + 𝑕 = 𝑕 . 𝑘! 𝑘 =0

(Cheney & Kincaid 1994)

2

3

Definisi 7 𝐶 𝑘+1 (𝐼) adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada 𝐼, di mana 𝐼 adalah interval terbuka. (Burden & Faires 1993) Teorema 1 (Teorema Rolle) Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan fungsi 𝑓 terturunkan pada (𝑎, 𝑏). Jika 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0, maka terdapat sebuah bilangan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0. (Burden & Faires 1993) Bukti: Terdapat tiga kasus, yaitu Kasus 1: 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstan. Dari sini diperoleh 𝑓 ′ 𝑥 = 0, sehingga bilangan 𝑐 dapat diambil sembarang bilangan dalam interval (𝑎, 𝑏). Kasus 2: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎), untuk suatu 𝑥 pada (𝑎, 𝑏). Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓 memunyai nilai maksimum pada suatu titik dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai maksimum pada 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓 memunyai maksimum lokal pada 𝑐 dan karena 𝑓 terturunkan pada 𝑐, maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0. Kasus 3: 𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑎) untuk suatu 𝑥 dalam interval terbuka (𝑎, 𝑏). Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓 memunyai nilai minimum pada suatu titik dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai minimum pada 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓 memunyai minimum lokal pada 𝑐 dan karena 𝑓 terturunkan pada 𝑐, maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0. Dengan demikian Teorema 1 terbukti. 2.2 Interpolasi Definisi 8 (Interpolasi) Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi

yang paling banyak dipakai adalah fungsi polinomial. (Atkinson & Han 2003) Definisi 9 (Interpolasi Polinomial Linear) Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal diberikan dua buah titik 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑥2 , 𝑦2 , maka polinomial yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk 𝑦2 − 𝑦1 𝑝1 𝑥 = 𝑦1 + 𝑥 − 𝑥1 . 𝑥2 − 𝑥1 (Cheney & Kincaid 1994) Definisi 10 (Selisih Terbagi) Selisih terbagi (divided difference) atau kadang disebut daftar selisih adalah metode untuk mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit suatu interpolasi polinomial Newton dari data yang tertabulasi dan ditulis sebagai 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 . Selisih terbagi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑚 didefinisikan sebagai berikut 1. Selisih terbagi ke-nol terhadap 𝑥𝑘 adalah 𝑓 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 . 2. Selisih terbagi pertama terhadap 𝑥𝑘 dan 𝑥𝑘+1 adalah 𝑓 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 = . 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 3. Selisih terbagi kedua terhadap 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘 +1 dan 𝑥𝑘+2 adalah 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘 +1 , 𝑥𝑘+2 = 𝑓 𝑥𝑘+2 , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘 . 𝑥𝑘 +2 − 𝑥𝑘 4. ⋯. 5. Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif sebagai berikut 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 , … , 𝑥𝑘+𝑛−1 , 𝑥𝑘+𝑛 𝑓 𝑥𝑘+𝑛 , 𝑥𝑘+𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘 = ; 𝑥𝑘+𝑛 − 𝑥𝑘

𝑥𝑘 ≠ 𝑥𝑘+𝑛 . (Cheney & Kincaid 1994) Teorema 2 (Sifat Simetris Selisih Terbagi) Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘 +1 menyatakan permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku 𝑓 𝑥𝑠1 , 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1 , ⋯ , 𝑥𝑠2 , 𝑥𝑠1 . (Atkinson & Han 2003) Bukti: (dengan induksi pada 𝑘 + 1) 1. Basis induksi

3

4

Untuk 𝑘 = 1, maka berlaku 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = − 𝑥2 − 𝑥1 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑥2 = 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 . 2. Hipotesis induksi Anggap benar, untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 𝑓 𝑥𝑠1 , 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘 , ⋯ 𝑥𝑠2 , 𝑥𝑠1 . 3. Langkah induksi Akan dibuktikan: untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘 +1 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 berlaku 𝑓 𝑥𝑠1 , 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1 , ⋯ 𝑥𝑠2 , 𝑥𝑠1 . Bukti: 𝑓 𝑥𝑠1 , 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1 , 𝑥𝑠𝑘 , ⋯ , 𝑥𝑠2 − 𝑓 𝑥𝑠𝑘 , ⋯ , 𝑥𝑠1

=

𝑓 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑠1 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1 , 𝑥𝑠𝑘 𝑥𝑠𝑘+1 − 𝑥𝑠1

=

− 𝑓 𝑥𝑠1 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘 −1 , 𝑥𝑠𝑘 − 𝑓 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘 +1 −(𝑥𝑠1 − 𝑥𝑠𝑘 +1 )

𝑓 𝑥𝑠1 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1 , 𝑥𝑠𝑘 − 𝑓 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 𝑥𝑠1 − 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1 , 𝑥𝑠𝑘 , ⋯ , 𝑥𝑠1 . Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka Teorema 2 terbukti. =

Teorema 3 (Hubungan Selisih Terbagi dengan Turunan untuk Simpul Sama) Jika didefinisikan 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim𝑥 2 →𝑥 1 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 dan limitnya ada, maka berlaku 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑓 ′ 𝑥1 . (Atkinson & Han 2003) Bukti: Karena diketahui 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 𝑥 2 →𝑥 1

𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = lim (karena Definisi 10) 𝑥 2 →𝑥 1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 ′ 𝑥1 . (menurut Definisi turunan) Dengan demikian Teorema 3 terbukti.

𝑥𝑠𝑘+1 − 𝑥𝑠1 Teorema 4 (Interpolasi Polinomial Newton) Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka 𝐼, dan misalkan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛 −𝑘 adalah 𝑘 + 1 bilangan yang berlainan pada interval terbuka 𝐼, maka terdapat sebuah polinomial tunggal 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 berderajat paling tinggi 𝑘 yang memenuhi 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘. Interpolasi polinomial Newton ini adalah 𝑘

𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 +

𝑖−1

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=1

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 .

(2)

𝑗 =0

(Sahid 2005) Bukti: Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat 𝑘 perlu menghitung nilai-nilai polinomial berderajat 1,2, … , 𝑘. Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 +2 + 𝑎𝑘+1 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 , dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑘 . Di sini berlaku 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘. Jika 𝑥 = 𝑥𝑛 disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh 𝑝𝑛,0 𝑥𝑛 = 𝑎1 = 𝑓 𝑥𝑛 . Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−1 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh 𝑝𝑛,1 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑎2 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛

4

5

atau 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 = = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 . 𝑥𝑛 −1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−2 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥𝑛 −2 = 𝑝𝑛,2 𝑥𝑛−2 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 −2 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 atau 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑎3 = 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 −1 𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 = . 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 Untuk memermudah perhitungan bentuk 𝑎3 dapat diubah menjadi 𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 −1 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 𝑎3 = 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 = (menurut Definisi 10) 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 = (karena Teorema 2) 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 −2 (menurut Definisi 10) ⋮ dan seterusnya. Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−𝑘 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh 𝑓 𝑥𝑛 −𝑘 = 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛−𝑘 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑎2 =

+ 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2 + 𝑎𝑘+1 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,

dengan 𝑎𝑘 +1 = 𝑓 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑓 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛

𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 − 𝑎3 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 − ⋯ − 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2 .

𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1

Jika diuraikan akan diperoleh bentuk 𝑎𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 . Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan seterusnya sampai 𝑎𝑘 +1 . Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi 𝑓. Berdasarkan Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 −2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 … 𝑥 − 𝑥𝑛 −𝑘+1 , atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut 𝑝𝑛,0 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 𝑝𝑛,1 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑝𝑛,2 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 ⋮

5

6

𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 −2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 … 𝑥 − 𝑥𝑛 −𝑘+1 . Sehingga dapat dituliskan 𝑘

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 +

𝑖−1

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=1

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 .

(2)

𝑗 =0

Dengan demikian Teorema 4 terbukti. Akibat (Hampiran Newton) Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah interpolasi polinomial Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan digunakan untuk menginterpolasikan fungsi 𝑓, yaitu 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Karena 𝑓 𝑥 ≠ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 , maka ada galat di antara keduanya, misalkan 𝐸𝑛,𝑘 𝑥 yang akan memenuhi persamaan berikut 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝐸𝑛,𝑘 𝑥 . 3 (Sahid 2005) Lema 1 (Polinomial Bersifat Tunggal) Misal diberikan himpunan titik-titik yang memunyai absis berlainan yaitu 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥𝑛 ) , 𝑥𝑛−1 , 𝑓(𝑥𝑛−1 ) , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑓(𝑥𝑛−𝑘 ) ,

maka terdapat tepat sebuah polinomial berderajat paling tinggi 𝑘 yang melalui 𝑘 + 1 titik tersebut. (Cheney & Kincaid 1994) Bukti: Misalkan 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 dan memenuhi 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Untuk menunjukkan bahwa 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 tunggal, misalkan terdapat polinomial lain, 𝑇𝑛 ,𝑘 (𝑥) berderajat paling tinggi 𝑘 dan memenuhi 𝑇𝑛,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Sekarang definisikan 𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛,𝑘 𝑥 . Karena 𝑝𝑛,𝑘 dan 𝑇𝑛 ,𝑘 keduanya berderajat ≤ 𝑘, maka 𝐿𝑛,𝑘 berderajat ≤ 𝑘. Selanjutnya berlaku 𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖 = 0 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Ini menunjukkan bahwa 𝐿𝑛 ,𝑘 (𝑥) memunyai 𝑘+1 akar berlainan, yakni 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , padahal 𝐿𝑛,𝑘 berderajat ≤ 𝑘. Hal ini tidak mungkin, karena berdasarkan sifat akar polinomial,

polinomial berderajat ≤ 𝑘 hanya memunyai paling banyak 𝑘 akar, kecuali 𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 0, yakni 𝐿𝑛 ,𝑘 berupa polinomial nol. Dari sini diperoleh 0 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛,𝑘 𝑥 𝑝𝑛𝑘 𝑥 = 𝑇𝑛,𝑘 𝑥 , atau 𝑝𝑛,𝑘 bersifat tunggal. Dengan demikian Lema 1 terbukti. Lema 2 (Galat Interpolasi pada Selisih Terbagi) Jika 𝑝𝑛,𝑘 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka untuk 𝑥 yang merupakan titik lain pada interval terbuka 𝐼, berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑘

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . (4) 𝑖=0

(Cheney & Kincaid 1994) Bukti: Misalkan 𝑡 titik selain 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 pada interval 𝐼, di mana 𝑓 𝑡 terdefinisi. Misal didefinisikan 𝑞𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡, sehingga polinomial 𝑞𝑛,𝑘 dapat dibentuk dari persamaan (2), yaitu 𝑞𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑘

𝑓 𝑥𝑛 +

𝑖−1

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=1

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 𝑗 =0

𝑘−1

+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘

𝑗 =0 𝑘

= 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . (5) 𝑖=0

Karena 𝑞𝑛,𝑘 merupakan polinomial berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡, maka menurut Teorema 4 berlaku 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑞𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘, 𝑡,

6

7

dan 𝑓 𝑡 = 𝑞𝑛,𝑘 𝑡 . Oleh karena itu, dari persamaan (5) diperoleh 𝑓 𝑡 = 𝑘

𝑝𝑛,𝑘 𝑡 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡

polinomial, polinomial berderajat ≤ 𝑘, jika diturunkan sebanyak 𝑘 + 1 maka hasilnya nol. Perhatikan juga bahwa 𝑘

𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖 . 𝑖=1

𝑤 𝜉 =

Untuk 𝑡 = 𝑥, maka Lema 2 terbukti. Lema 3 (Galat Interpolasi) Jika 𝑝 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik berlainan, misal 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 dan 𝑓 (𝑘+1) kontinu, maka ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , terdapat bilangan 𝜉 = 𝜉 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , yang mengakibatkan 𝑘 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . 7 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑘+1 ! 𝑖=0 (Cheney & Kincaid 1994) Bukti: Definisikan untuk 𝑡 ≠ 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘 𝑘

𝑤 𝑡 =

𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖 ; 𝑖=0

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 ; 𝑤 𝑥 𝜙 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑡 − 𝑐𝑤 𝑡 , 𝑐 terdefinisi karena 𝑤 𝑡 ≠ 0 karena 𝑡 ≠ 𝑥𝑛−𝑖 . Fungsi 𝜙 memunyai 𝑘 + 2 pembuat nol, yaitu 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , dan 𝑡, karena 𝑐(𝑥) =

𝜙 𝑥𝑛 = 𝜙 𝑥𝑛−1 = ⋯ = 𝜙 𝑥𝑛−𝑘 = 𝜙 𝑡 = 0.

Fungsi 𝜙 terdiri dari fungsi-fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan memunyai turunan ke-𝑘 + 1. Karena ada 𝑘 + 2 pembuat nol, maka terdapat 𝑘 + 1 interval yang nilai 𝜙 di titiktitik ujungnya sama dengan nol, maka menurut Teorema 1 pada setiap interval terdapat 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 + 1 sehingga 𝜙 ′ 𝑐𝑖 = 0. Dengan alasan yang sama, maka 𝜙 ′′ memunyai 𝑘 pembuat nol, 𝜙 ′′′ memunyai 𝑘 − 1 pembuat nol, dan seterusnya. Akhirnya, dapat dikatakan 𝜙 (𝑘+1) 𝑡 memunyai paling sedikit 1 pembuat nol. Misalkan 𝑡 = 𝜉 merupakan pembuat nol 𝜙 (𝑘+1) 𝑡 , maka diperoleh 𝜙 𝑘+1 𝜉 = 0 𝑘+1 = 𝑓 𝑘 +1 𝜉 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝜉 − 𝑐𝑤 𝑘+1 𝜉 . 6 (𝑘+1)

Pada persamaan di atas, 𝑝𝑛 ,𝑘 𝜉 = 0 karena 𝑝𝑛,𝑘 merupakan polinomial berderajat ≤ 𝑘. Berdasarkan sifat akar

𝜉 − 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=0 𝑘 +1

=𝜉 + (𝜉 berderajat < 𝑘 + 1) 𝑤 ′ 𝜉 = 𝑘 + 1 𝜉(𝑘 ) + (𝜉 berderajat < 𝑘) 𝑤 (2) 𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝜉(𝑘−1) + (𝜉 berderajat < 𝑘 − 1)

⋮ 𝑤

𝑘 +1

𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝑘 − 1 ⋯ 2 (1) = 𝑘 + 1 !.

Akhirnya dari persamaan (6) diperoleh 𝑓

𝑘+1

𝜉 −𝑐 𝑘+1 ! =0 𝑘+1 ! 𝑓 𝜉 − 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 0 𝑤 𝑥 𝑘+1 ! 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑘+1 𝜉 𝑤 𝑥 𝑘 𝑓 𝑘+1 𝜉 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . (7) 𝑘+1 ! 𝑘+1

𝑖=0

Dengan demikian Lema 3 terbukti. Lema 4 (Hubungan Selisih Terbagi dan Turunan) Jika 𝑓 (𝑘 +1) kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 adalah 𝑘 + 2 titik pada 𝑎, 𝑏 , maka ada 𝜉 pada (𝑎, 𝑏), yang mengakibatkan 1 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 = 𝑓 (𝑘 +1) 𝜉 . (𝑘 + 1)! (Cheney & Kincaid 1994) Bukti: Misalkan 𝑝𝑛,𝑘 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 . Dari Lema 2 diketahui untuk 𝑥 yang merupakan titik lain pada interval terbuka (𝑎, 𝑏), berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑘

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . 𝑖=0

Dari Lema 3 diketahui ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), terdapat bilangan 𝜉 di mana 𝜉 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), yang mengakibatkan 𝑘

𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . 𝑘+1 ! 𝑖=0 Dari persamaan di atas diperoleh

7

8

𝑘

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑖=0

𝑓

𝑘+1

(Goldberg 1976) 𝑥 − 𝑥𝑛 −𝑖 =

𝜉 𝑘+1 !

𝑘

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 ; 𝑖=0

𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 = . 𝑘+1 ! Dengan demikian Lema 4 terbukti. 2.3 Barisan dan Kekonvergenan Definisi 11 (Barisan Konvergen) Misalkan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan bilangan real. Barisan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke 𝛼, jika barisan tersebut memunyai limit 𝛼. (Goldberg 1976) Definisi 12 (Barisan Terbatas) Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan bilangan real. Barisan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 terbatas di atas, jika wilayah 𝑋 terbatas di atas dan terbatas di bawah, jika wilayah 𝑋 terbatas di bawah. Jika wilayah 𝑋 terbatas, maka barisan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 barisan terbatas. Barisan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 terbatas jika dan hanya jika terdapat 𝑀 > 0, sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁. (Goldberg 1976) Teorema 5 (Hubungan Barisan Konvergen dengan Barisan Terbatas) Jika barisan bilangan real 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen, maka 𝑥𝑛 ∞ terbatas. 𝑛=0 (Goldberg 1976) Bukti: Misalkan 𝑥𝑛 ∞ adalah barisan 𝑛=0 konvergen dan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Untuk 𝜀 = 1, terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑥𝑛 − 𝛼 < 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . 𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝑥𝑛 − 𝛼 (sifat nilai mutlak) 𝑥𝑛 < 𝛼 + 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Misalkan 𝑀 = max 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 0 , 𝛼 + 1 , maka 𝑥𝑛 < 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁. Jadi 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 terbatas. Dengan demikian Teorema 5 terbukti. Definisi 13 (Barisan Monoton) Misalkan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 adalah barisan bilangan real, barisan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 tak turun, jika 𝑠𝑘 ≤ 𝑠𝑘 +1 , ∀𝑘 ∈ 𝑁 dan tak naik, jika 𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘 +1 , ∀𝑘 ∈ 𝑁. Barisan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 barisan monoton, jika barisan 𝑠𝑘 ∞ tak turun atau tak naik. 𝑘=1

Teorema 6 (Hubungan Barisan Tak Naik dan Terbatas dengan Kekonvergenan) Misalkan 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan bilangan real. Jika 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka barisan 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen. (Goldberg 1976) Bukti: Misalkan 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah. Misalkan 𝐴 = 𝜖0 , 𝜖1 , … terbatas di bawah dan 𝑎 = inf 𝐴. Akan dibuktikan bahwa 𝜖𝑛 → 𝑎, bila 𝑛 → ∞, yaitu ∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝜖𝑛 − 𝑎 < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Misalkan diberikan 𝜀 > 0, maka 𝑎 + 𝜀 bukan batas bawah dari 𝐴. Jadi terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝜖𝑛 0 < 𝑎 + 𝜀 ∞ Karena 𝜖𝑛 𝑛=0 adalah barisan tak naik, maka dari persamaan di atas diperoleh 𝜖𝑛 ≤ 𝜖𝑛 0 < 𝑎 + 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (8) Karena 𝑎 adalah batas bawah terbesar dari 𝐴, maka 𝑎 ≤ 𝜖𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 (9) Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh 𝑎 < 𝜖𝑛 ≤ 𝑎 + 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ; 𝜖𝑛 − 𝑎 < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Jadi, lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 𝑎 atau 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 6 terbukti. Teorema 7 (Hubungan Barisan Tak Turun dan Terbatas dengan Kekonvergenan) Misalkan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 adalah barisan bilangan real. Jika 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 barisan tak turun dan terbatas di atas, maka barisan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 konvergen. (Goldberg 1976) Bukti: Misalkan 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 adalah barisan tak turun dan terbatas di atas. Misalkan 𝐴 = 𝑠1 , 𝑠2 , … terbatas di atas dan 𝑎 = sup 𝐴. Akan dibuktikan bahwa 𝑠𝑘 → 𝑎, bila 𝑘 → ∞, yaitu ∀𝜀 > 0, ∃𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑠𝑘 − 𝑎 < 𝜀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 . Misalkan diberikan 𝜀 > 0, maka 𝑎 − 𝜀 bukan batas atas dari 𝐴. Jadi terdapat 𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑠𝑘 0 > 𝑎 − 𝜀

8

9

Karena 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 adalah barisan tak turun, maka dari persamaan di atas diperoleh 𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘 0 > 𝑎 − 𝜀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 (10) Karena 𝑎 adalah batas atas terkecil dari 𝐴, maka 𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ∈ 𝑁 (11) Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh 𝑎 − 𝜀 < 𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ; 𝑠𝑘 − 𝑎 < 𝜀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 . Jadi, lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 𝑎 atau 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=1 konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 7 terbukti. Teorema 8 (Hubungan Kekontinuan dan Kekonvergenan Barisan) Misalkan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan bilangan real. Jika fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼 dan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 adalah barisan yang konvergen ke 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke 𝑓 𝛼 . (Goldberg 1976) Bukti: Diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Karena fungsi 𝑓 kontinu, maka ∃𝛿 > 0 sehingga 0 < 𝑥 − 𝛼 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝛼 < 𝜀. Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka 𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝜂, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari dua pernyataan di atas, diperoleh 𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝜂 ⟹ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 < 𝜀. Dengan demikian Teorema 8 terbukti. Definisi 14 (Barisan Bagian) Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 adalah barisan bilangan real, dan 𝑟1 < 𝑟2 < ⋯ < 𝑟𝑛 < ⋯ adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real yang diberikan oleh 𝑥𝑟1 , 𝑥𝑟2 , ⋯ , 𝑥𝑟𝑛 , ⋯ disebut barisan bagian dari 𝑋. (Goldberg 1976)

𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Pilih indeks 𝑘 terkecil sehingga 𝑛𝑘 ≥ 𝑛0 , maka dari persamaan di atas diperoleh ∀𝑖 ≥ 𝑘. 𝑥𝑛 𝑖 − 𝛼 < 𝜀, ∞

konvergen ke 𝛼. Jadi, barisan 𝑥𝑛 𝑖 𝑛 =0 Dengan demikian Teorema 9 terbukti. Teorema 10 (Hubungan Perkalian Barisan yang Konvergen dan Terbatas) ∞ Misalkan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 dan 𝑦𝑛 𝑛=0 adalah barisan bilangan real. Jika barisan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0, dan barisan 𝑦𝑛 ∞ 𝑛=0 terbatas, maka lim 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0. 𝑛→∞ (Goldberg 1976) Bukti: Diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Karena 𝑦𝑛 ∞ 𝑛=0 terbatas, maka terdapat 𝑀 > 0 sehingga 𝑦𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁. Karena 𝑥𝑛 ∞ konvergen, maka terdapat 𝑛=0 ∃𝑛0 ∈ 𝑁 sehingga 𝜀 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . 𝑥𝑛 − 0 ≤ , 𝑀 Akibatnya 𝑥𝑛 𝑦𝑛 − 0 = 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝜀 ≤ 𝑀 𝑀 = 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari sini terbukti bahwa lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0. Dengan demikian Teorema 10 terbukti. Definisi 15 (𝑶 . dan 𝒐 . ) Simbol 𝑂 . dan 𝑜 . merupakan cara yang digunakan untuk membandingkan besarnya dua buah barisan, misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 dan 𝑌 = 𝑦𝑛 merupakan barisan bilangan real. Notasi 𝑋 = 𝑂 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑂 𝑦𝑛 , dengan 𝑥 𝑛 → ∞, menyatakan bahwa 𝑦𝑛 terbatas, 𝑛

Teorema 9 (Hubungan Kekonvergenan Barisan dan Barisan Bagian) Jika barisan 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke 𝛼, maka setiap barisan bagian dari 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 juga konvergen ke 𝛼. (Goldberg 1976) Bukti: ∞ Misalkan 𝑥𝑛 𝑖 adalah barisan bagian 𝑛=0 ∞ dari 𝑥𝑛 𝑛=0 . Diberikan 𝜀 > 0 sebarang. Karena 𝑥𝑛 ⟶ 𝛼, maka terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga

atau ∃𝑀 > 0 sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 𝑦𝑛 . Notasi 𝑋 = 𝑜 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑜 𝑦𝑛 , dengan 𝑥 𝑛 → ∞, menyatakan bahwa lim𝑛→∞ 𝑦𝑛 = 0. 𝑛 Hal ini berarti 𝑥𝑛 → 0 lebih cepat dari 𝑦𝑛 → 0. (Bartle 1964) 2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial Lema 5 (Sifat Akar Polinomial) Didefinisikan persamaan polinomial sebagai berikut

9

10

𝑘

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠

𝑘+1

𝑠 𝑖 = 0,

−𝑎 𝑖=0

maka persamaan tersebut memunyai sebuah akar real misal 𝑠𝑘 dan max 1, 𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1. (Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964) Lema 6 (Akar Polinomial Bersifat Naik) Didefinisikan persamaan polinomial sebagai berikut 𝑘

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠 𝑘+1 − 𝑎

𝑠 𝑖 = 0. 𝑖=0

Persamaan tersebut memunyai sebuah akar real misal 𝑠𝑘 , maka 𝑠𝑘−1 < 𝑠𝑘 , ∀𝑘. (Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964) Lema 7 (Kekonvergenan Akar Polinomial) Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan 𝑘

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠

𝑘 +1

𝑘

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠

𝑘 +1

𝑠𝑖 ;

−𝑎 𝑘

𝑖=0

dan diberikan 𝑣 = 𝑎 + 1 𝑘 +1, maka berlaku 𝑎+1 −

𝑒𝑎 𝑎+1

𝑘

< 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1 −

𝑎 𝑎+1

𝑘

di mana 𝑒 basis logaritma natural. (Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964) Teorema 11 Misalkan persamaan galat didefinisikan sebagai berikut 𝑘 𝑠 𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝑖=0

di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, bila 𝑛 → ∞. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan 𝑘

𝑠𝑖

−𝑎

Lema 8 (Batas Akar Polinomial) Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan polinomial berikut

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠

𝑘 +1

dan 𝑘𝑎 > 1, maka berlaku 𝑘 𝑎 + 1 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1 𝑘+1 dan lim 𝑠𝑘 = 𝑎 + 1. 𝑘 →∞ (Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

𝑠𝑖 = 0

−𝑎

𝑖=0

𝑖=0

dan 𝐿 ≠ 0, maka 𝜖𝑛+1 lim = 𝐿 𝑛→∞ 𝜖𝑛 𝑠𝑘

𝑠𝑘 −1 /𝑘

.

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

III PEMBAHASAN 3.1 Rumusan Masalah Dalam tulisan ini akan dicari akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0, (12) yaitu nilai 𝑥 = 𝛼 yang menyebabkan 𝑓 𝛼 = 0, dengan 𝛼 merupakan akar dari persamaan tersebut. Fungsi 𝑓 dari persamaan (12) yang akan ditentukan akarnya merupakan fungsi tak linear dan memenuhi syarat 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 dan 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0 (Sidi 2007). Untuk menentukan akar persamaan (12) dapat digunakan metode analitik atau metode iteratif. Metode analitik adalah metode penyelesaian persamaan dengan menggunakan rumus-rumus yang sudah lazim digunakan,

seperti rumus “abc” untuk mencari akar persamaan kuadrat. Tidak semua fungsi dapat ditentukan akar persamaannya secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan metode iteratif di dalam memberikan hampiran penyelesaian. Pada metode iteratif pencarian akar dilakukan dengan prosedur-prosedur tertentu. Secara umum prosedurnya sebagai berikut. Prosedur Metode Iteratif i. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Biasanya setiap metode tidak selalu sama banyaknya nilai awal yang harus dipilih, misalnya metode Newton-Raphson

10

11

ii.

memerlukan satu nilai awal 𝑥0 , dan metode Tali Busur memerlukan dua nilai awal, 𝑥0 dan 𝑥1 . Semakin dekat nilai awal yang dipilih dengan akar sebenarnya, maka iterasi akan semakin cepat konvergen (Atkinson & Han 2003). Untuk memilih batas toleransi agar hampiran akar yang diperoleh sangat dekat dengan akar sebenarnya, maka batas toleransi yang dipilih harus sangat kecil. Melakukan proses iterasi. Proses iterasi dilakukan untuk menghasilkan barisan akar, barisan akar yang dimaksud adalah hampiran-hampiran akar yang konvergen ke akar sebenarnya. Selanjutnya proses iterasi dihentikan jika

Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari titik potong garis singgung di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar kedua 𝑥2 diperoleh dari titik potong garis singgung di titik 𝑥1 , 𝑓 𝑥1 dengan sumbu-𝑥. Demikian seterusnya, sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar berikut.

𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 𝑇.

iii.

Analisis kekonvergenan. Barisan akar yang diperoleh kemudian dianalisis kekonvergenannya, untuk mengetahui derajat kekonvergenannya. Derajat kekonvergenan menunjukkan kecepatan dalam menemukan akar. Jika derajat kekonvergenan semakin besar, maka kecepatan dalam menemukan akar akan semakin baik (Burden & Faires 1993). Adapun metode-metode iteratif yang akan dibahas antara lain: metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur. 3.1.1 Metode Newton-Raphson Salah satu metode pencarian akar yang paling populer dalam menentukan akar-akar persamaan tak linear adalah metode NewtonRaphson. Metode ini paling disukai karena kekonvergenannya paling cepat di antara metode lainnya (Cheney & Kincaid 1994). Metode Newton-Raphson merupakan metode pencarian akar yang hampiran akarnya diperoleh dengan mencari titik potong garis dengan singgung kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 sumbu-𝑥. Biasanya nilai awal 𝑥0 selalu diberikan. Jika tidak diberikan nilai awal bisa dipilih dengan syarat, nilai 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0. Hal ini disebabkan karena metode Newton-Raphson menggunakan fungsi turunan untuk setiap iterasinya dan tidak melakukan pengapitan akar. Hampiran selanjutnya 𝑥𝑛+1 diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥. Ilustrasi penjelasan tersebut sebagai berikut.

Gambar 1

Grafik Iterasi Metode NewtonRaphson. Selanjutnya akan dibahas prosedur pencarian akar dengan metode NewtonRaphson. Berdasarkan prosedur pencarian akar dengan metode iteratif, diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Dalam memilih nilai awal pada metode ini sudah dijelaskan yaitu dengan syarat untuk setiap nilai awal 𝑥0 , maka nilai 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0. Misalkan 𝑥0 adalah nilai awal yang diberikan. Gradien garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 adalah 𝑓 ′ 𝑥0 , maka persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 . Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari persamaan garis singgung pada saat 𝑦 = 0. Artinya titik 𝑥1 , 0 memenuhi persamaan garis singgung, yakni 0 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0 𝑓 𝑥0 − ′ = 𝑥1 − 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥1 = 𝑥0 − ′ . 𝑓 𝑥0 Secara umum dengan cara yang sama, akhirnya diperoleh persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson. Persamaan iterasi yang digunakan pada metode Newton-Raphson adalah 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′ ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯. 𝑓 𝑥𝑛

11

12

Berikut ini algoritme yang akan digunakan untuk menentukan program dengan metode Newton-Raphson. Algoritme 1: Metode Newton-Raphson Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 , batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah: i. Set penghitung iterasi 𝑖 = 1, ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO a. Menghitung 𝑓 𝑥0 𝑥 = 𝑥0 − ′ . 𝑓 𝑥0 b. IF 𝑥 − 𝑥0 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1 d. Set 𝑥0 = 𝑥 dan 𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥 . iii. STOP. 3.1.2 Metode Tali Busur Metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥. Pada metode Tali Busur hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x (Atkinson & Han 2003). Persamaan iterasi metode NewtonRaphson yang menggunakan fungsi turunan 𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi turunannya. Metode Tali Busur di atas menggambarkan pencarian akar jika dilihat dari grafik iterasinya, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Langkah pertama adalah memilih dua nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1 . Dari sini tarik tali busur yang melewati dua titik awal 𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ) dan 𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ) , sehingga diperoleh hampiran akar pertama, misal 𝑥2 yang merupakan titik potong kedua titik dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar kedua, misal 𝑥3 diperoleh dengan cara menarik tali busur yang melewati dua titik 𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ) dan 𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ) . Demikian seterusnya sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 Grafik iterasi metode Tali Busur. Untuk memeroleh persamaan iterasi dengan interpolasi linear gunakan absis titik potong tali busur dari garis lurus yang melalui titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dan (𝑥𝑛 −1 , 𝑓(𝑥𝑛 −1 )) dengan sumbu-𝑥. Karena gradien garis busur yang 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 ) melalui titik tersebut adalah 𝑥𝑛 −𝑥 𝑛 −1 , maka 𝑛

𝑛 −1

dengan interpolasi linear diperoleh persamaan tali busurnya 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1 ) 𝑦 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥 − 𝑥𝑛 . 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 Hampiran akar diperoleh dengan mencari titik potong kurva dengan sumbu-𝑥, artinya titik (𝑥𝑛 +1 , 0) yang memenuhi persamaan di atas, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛 −1 ) 0 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1 ) 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑥𝑛 − . 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur. Cara lain untuk memeroleh persamaan iterasi metode tali busur adalah melalui modifikasi persamaan iterasi metode NewtonRaphson. Menurut definisi turunan, 𝑓 ′ 𝑥 dapat dituliskan 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 = lim , 𝑕 →0 𝑕 untuk 𝑕 yang sangat kecil, 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥) 𝑓′ 𝑥 ≈ , 𝑕

12

13

misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 dan 𝑕 = 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 , diperoleh 𝑓 𝑥𝑛 −1 − 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ 𝑥𝑛 ≈ 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 −1 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 . Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur. Persamaan iterasi metode Tali Busur adalah 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − . 13 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 ] Persamaan di atas diperoleh melalui dua cara, yaitu melalui interpolasi linear dan modifikasi metode Newton-Raphson. Berdasarkan prosedur pencarian akar dengan metode iteratif, untuk menentukan akar dengan metode ini diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Metode Tali Busur memerlukan dua nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1 . Persamaan iterasi yang digunakan adalah persamaan (13). Berikut ini algoritme yang akan digunakan untuk menentukan program dengan metode Tali Busur. Algoritme 2: Metode Tali Busur Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1 , batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah: i. Set 𝑖 = 2, 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 , ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO a. Menghitung 𝑞1 𝑥 = 𝑥1 − 𝑥 − 𝑥0 . 𝑞1 − 𝑞0 1 b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1 d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1 , dan 𝑞1 = 𝑞, iii. STOP. 3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur Pada subbab 3.1.1 dan 3.1.2 telah dibahas metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson memunyai kekonvergenen yang relatif cepat untuk menentukan akar, namun memerlukan iterasi turunan fungsi (Sahid 2005). Dengan

memodifikasi persamaan iterasi metode Newton-Raphson diperoleh metode Tali Busur yang tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥), namun metode Tali Busur ini memunyai kekonvergenan yang relatif lebih lambat dibandingkan metode Newton-Raphson (Sahid 2005). Oleh karena itu, diperlukan metode lain untuk menentukan akar yang memunyai kekonvergenan mendekati metode NewtonRaphson tetapi tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥) seperti metode Tali Busur (Sidi 2007). Persamaan iterasi metode Tali Busur diperoleh dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton untuk 𝑘 = 1. Pada bagian ini akan dibahas generalisasi metode Tali Busur, yaitu metode pencarian akar dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat 𝑘 dengan 𝑘 > 1. Generalisasi metode Tali Busur ini tidak memerlukan turunan 𝑓(𝑥), tetapi memerlukan nilai awal sebanyak 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2, dan samasama tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥) per iterasi. Selanjutnya akan dibahas penurunan persamaan iterasi metode ini. Persamaan iterasi generalisasi metode Tali Busur adalah 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′ ; 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, ⋯ . (14) 𝑝𝑛 ,𝑘 (𝑥𝑛 ) Persamaan di atas diperoleh melalui modifikasi metode Tali Busur yaitu dengan mengganti selisih terbagi pertama 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 dengan selisih terbagi ke-𝑘 dari turunan interpolasi polinomial Newton 𝑝𝑛 ,𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2. Lema 9 (Turunan Polinomial) Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik, yaitu 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka turunan polinomial tersebut adalah ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑘

+

𝑖−1

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=2

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 . 𝑗 =1

Pada karya ilmiah ini hanya dibatasi sampai 𝑘 = 2 yaitu ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 .

Bukti: Adapun penurunan persamaan (14) adalah sebagai berikut.

13

14

Dari Teorema 4 diketahui persamaan interpolasi polinomial Newton yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘

𝑖−1

𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 +

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=1

𝑥 − 𝑥𝑛 −𝑗 . 𝑗 =0

Untuk menurunkan 𝑝𝑛 ,𝑘 (𝑥), akan dijabarkan terlebih dulu, yaitu 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 +1 . Jika penjabaran persamaan tersebut diturunkan akan diperoleh 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥 = 0 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 −2 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛 −3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛 −3 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯ +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯ +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 −2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 +2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 . Misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 , sehingga diperoleh persamaan ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯ +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2

+ ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,

atau 𝑘 ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 +

𝑖−1

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛 −𝑖 𝑖=2

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 . 𝑗 =1

Untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 yaitu merupakan selisih terbagi pertama yang digunakan dalam metode Tali Busur. Sedangkan untuk 𝑘 ≥ 2 metode yang digunakan adalah generalisasi metode Tali Busur. Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat selisih terbagi. Adapun sifat-sifatnya antara lain: i. Dapat ditentukan secara rekursif. (berdasarkan Definisi 10) ii. Simetris. Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 menyatakan permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku 𝑓 𝑥𝑠1 , 𝑥𝑠2 , ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1 , ⋯ , 𝑥𝑠2 , 𝑥𝑠1 . (bukti disajikan pada Teorema 2) iii. Dapat dinyatakan dalam turunan. Jika 𝑓𝑘 kontinu pada 𝐼 dan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘 + 1 titik pada 𝐼, maka ada 𝜉 pada 𝐼, yang mengakibatkan 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =

(bukti disajikan pada Lema 4) Selanjutnya akan dibahas penyajian selisih terbagi. Selisih terbagi yang diperoleh pada proses iterasi ke-nol, disimpan dalam tabel selisih terbagi, dapat yang kemudian akan digunakan untuk menentukan selisih terbagi pertama. Selisih terbagi pertama disimpan dalam tabel selisih terbagi yang kemudian digunakan untuk menentukan selisih terbagi kedua, dan seterusnya sampai diperoleh selisih terbagi ke-𝑘 yang diperlukan. Dengan menggunakan Definisi 10, maka dapat dibuat tabel selisih terbagi. Untuk 𝑘 = 0 dapat dilihat pada tabel berikut.

1 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 . (𝑘 + 1)!

14

15

Tabel 1 Selisih terbagi 𝑥0

𝑓0 𝑓01

𝑥1

𝑓1

𝑥2

𝑓2

𝑥3

𝑓3

𝑥4

𝑓4

𝑥5

𝑓5

𝑥6

𝑓6

𝑥7

𝑓7

𝑓012 𝑓12

𝑓0123 𝑓123

𝑓23

𝑓1234 𝑓234

𝑓34

𝑓2345 𝑓345

𝑓45

𝑓3456 𝑓456

𝑓56

𝑓4567 𝑓567

𝑓67

Keterangan: 𝑓𝑖,𝑖+1,…,𝑚 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , . . . , 𝑥𝑚 . Tabel di atas berisi nilai-nilai selisih terbagi {𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥7 }, nilai-nilai tersebut akan digunakan untuk menghitung 𝑥8 . Selain itu, pada Tabel 1 tidak perlu lagi dihitung berulang-ulang dari awal setiap iterasi, yang diperlukan adalah menambahkan diagonal baru di bagian bawah tabel yang ada. Untuk melihat hal ini, akan diberikan contoh sebagai berikut: misalkan 𝑘 = 3 dan hampiran 𝑥𝑖 , dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 7 telah dihitung. Untuk menghitung 𝑥8 akan digunakan nilai-nilai yang telah diperoleh pada Tabel 1 dan dengan menggunakan persamaan (14), akhirnya diperoleh 𝑓 𝑥7 𝑥8 = 𝑥7 − ′ 𝑝7,3 𝑥7 = 𝑥7 −

𝑓567 − 𝑓678 , 𝑥5 − 𝑥8 dan ditambahkan ke bagian bawah Tabel 3. Untuk menghitung 𝑥8 , perlu menyimpan nilai diagonal ini, dan memasukkan 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 , 𝑓4567 . Nilai 𝑥8 dan 𝑓8 dihitung dengan menggunakan nilai-nilai 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 , 𝑓4567 sehingga diperoleh nilai-nilai 𝑓8 , 𝑓78 , 𝑓678 , 𝑓5678 . Dengan demikian, secara umum untuk menghitung 𝑥𝑛 +1 harus dihitung nilai 𝑥𝑛 dan perlu menyimpan hasil perhitungan 𝑓𝑛 , 𝑓𝑛 −1,𝑛 ,⋯, , 𝑓𝑛 −𝑘 ,𝑛−𝑘 +1,...,𝑛−1,𝑛 dan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , . . . , 𝑥𝑛−𝑘 . Selanjutnya pembahasan akan dimulai dengan prosedur pencarian akar. Prosedurnya adalah sebagai berikut. 𝑓5678 =

𝑓7 . 𝑓67 + 𝑓567 𝑥7 − 𝑥6 + 𝑓4567 𝑥7 − 𝑥6 𝑥7 − 𝑥5

Untuk menghitung 𝑥9 diperlukan selisih terbagi dari 𝑓8 , 𝑓78 , 𝑓678 , 𝑓5678 . Komputasi pertama 𝑓8 dengan menggunakan 𝑥8 , selisih terbagi ini dapat dihitung dari Tabel 1 melalui hubungan rekursif 𝑓7 − 𝑓8 𝑓78 = , 𝑥7 − 𝑥8 𝑓67 − 𝑓78 𝑓678 = , 𝑥6 − 𝑥8

Prosedur Generalisasi Metode tali Busur 1. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 adalah nilai awal dengan 𝑘 ≥ 2, dimulai dengan memisalkan 𝑥0 dan 𝑥1 adalah dua nilai awal yang diberikan. Selanjutnya melakukan proses iterasi untuk 𝑘 = 1, dengan menggunakan persamaan (13) untuk menghitung 𝑥𝑘 dengan 𝑘 mulai dari 2, yang akan digunakan sebagai nilai awal. Pada karya ilmiah ini nilai awal hanya dibatasi untuk 𝑘 = 2 menggunakan tiga nilai awal, 𝑥0 , 𝑥1 dan 𝑥2 . 2. Melakukan proses iterasi dengan persamaan (14). Iterasi dilakukan sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Untuk melihat hampiran akar yang diperoleh telah konvergen, maka dengan menggunakan batas toleransi 𝑇 untuk menghentikan iterasi. Misalkan dengan memilih batas toleransi 𝑇 = 0.001, maka iterasi akan berhenti jika 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 𝑇. Dari sini diperoleh hampiran 𝑥𝑛 merupakan akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0. Berikut ini algoritme yang akan digunakan untuk menentukan program dengan metode Tali Busur.

Algoritme 3: Generalisasi Metode Tali Busur Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1 , batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:

15

16

1. Misalkan 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 . Menghitung 𝑥2 = 𝑥1 − 2. Set 𝑖 = 2, 𝑞2 = 𝑓 𝑥2 . 3. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO a. Menghitung

𝑞1 𝑥 − 𝑥0 . 𝑞1 − 𝑞0 1

𝑞2 . 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1. d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑥2 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1 , 𝑞1 = 𝑞2 dan 𝑞1 = 𝑞, 4. STOP. 𝑥 = 𝑥2 −

3.2 Analisis Kekonvergenan Analisis kekonvergenan suatu metode pencarian akar dilakukan untuk menentukan derajat kekonvergenannya. Hal ini dilakukan karena derajat kekonvergenan menunjukkan kecepatan dalam menemukan akar, jika derajat kekonvergenan semakin besar, maka kecepatannya dalam menemukan akar akan semakin cepat (Burden & Faires 1993). Untuk menganalisis kekonvergenan dapat dilihat dari persamaan galat hampirannya. Hal ini disebabkan karena galat berhubungan dengan seberapa dekat akar hampiran terhadap akar sebenarnya. Semakin kecil galatnya, maka semakin teliti solusi yang diperoleh (Atkinson & Han 2003). 3.2.1 Kekonvergenan Metode NewtonRaphson Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 merupakan hampiran-hampiran akar yang diperoleh melalui iterasi berturut-turut dengan menggunakan persamaan iterasi. Misalkan 𝛼 adalah akar sebenarnya dan 𝜖𝑛 merupakan galat hampiran pada iterasi ke-𝑛, maka menurut Definisi 2, 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan 𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − ′ −𝛼 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 = 𝜖𝑛 − ′ 𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 = . (15) 𝑓 ′ 𝑥𝑛 Berdasarkan Definisi 6, 𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 dapat diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu 𝑓 ′′ 𝜉𝑛 2 𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛 2 ′′ 𝑓 𝜉𝑛 2 𝑓 𝛼 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛 2

𝑓 ′′ 𝜉𝑛 2 𝜖𝑛 2 ′′ 𝑓 𝜉𝑛 2 𝜖𝑛 0 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 + 2 ′′ 𝑓 𝜉𝑛 2 𝜖𝑛 , 𝜖𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 = 2 di mana 𝜉𝑛 di antara 𝛼 dan 𝑥𝑛 . Selanjutnya substitusikan persamaan di atas pada persamaan (15) diperoleh persamaan galat hampiran ke-𝑛 + 1, yaitu 1 𝑓 ′′ 𝜉𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝜖𝑛2 . 2 𝑓 ′ 𝑥𝑛 0 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +

1 𝑓 ′′ 𝜉 𝑛

Misal didefinisikan 𝐶 = 2

𝑓 ′ 𝑥𝑛

𝜖𝑛 , maka

persamaan di atas dapat dituliskan 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 . (16) Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan 𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0, sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼 |𝑓 ′ (𝑥)| > 0. Hal ini dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0. 𝑓 2 𝑥

Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 2! , dan pilih interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2 𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 , untuk 𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka 1 𝑓 ′′ 𝜉𝑛 𝐶 = 𝜖𝑛 < 𝐶 < 1, 2 𝑓 ′ 𝑥𝑛 di mana 𝑀2 𝑡/2 𝐶= . 𝑚1 Karena 𝑥𝑛 , 𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka 𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2 −𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 𝑡 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ , ∀𝑛. 2 Sehingga 𝐶 dapat dituliskan

16

17

1 𝑓 ′′ 𝜉𝑛 𝑀2 𝑡/2 𝜖𝑛 < . ′ 2 𝑓 𝑥𝑛 𝑚1 Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku 𝑚1 > 𝑀2 𝑡/2, maka diperoleh 𝑀2 𝑡/2 𝑚1 𝐶≤ < = 1. 𝑚1 𝑚1 Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 ∞ 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 barisan turun. Karena 𝑛=0 barisan turun dan terbatas di bawah, maka 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen. Dari persamaan (16) diketahui 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 . Untuk 𝑛 = 1, diperoleh 𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 2, diperoleh 𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 3, diperoleh 𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim 0 ≤ lim 𝜖𝑛 ≤ lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . 𝐶 =

𝑛 →∞

𝑛 →∞

𝑛 →∞

Karena lim𝑛→∞ 0 = lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka 𝑛 →∞

menurut Teorema Apit lim 𝜖𝑛 = 0. Diketahui 𝑛 →∞

lim 𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim 𝜖𝑛 = 0, maka dari sini

𝑛→∞

𝑛 →∞

diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Karena 𝜉𝑛 di antara 𝛼 dan 𝑥𝑛 , maka diperoleh 𝛼 < 𝜉𝑛 < 𝑥𝑛 lim 𝛼 < lim 𝜉𝑛 < lim 𝑥𝑛 . 𝑛→∞ 𝑛 →∞ 𝑛 →∞ Menurut Teorema Apit, karena lim𝑛→∞ 𝛼 = lim 𝑥𝑛 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 𝜉𝑛 = 𝛼. 𝑛→∞

Dari sini diperoleh 𝑓 ′′ 𝛼 𝜖𝑛+1 lim = . 2 𝑛→∞ 𝜖𝑛 2𝑓 ′ 𝛼 Menurut Definisi 3, jika 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0, dan 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑓 ′′ 𝑥 kontinu pada interval yang memuat semua 𝑥𝑛 , maka metode NewtonRaphson akan konvergen ke akar secara kuadratik (konvergen relatif cepat). 3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 adalah hampiran-hampiran akar yang diperoleh melalui iterasi berturut-turut dengan persamaan (13). Misalkan juga 𝛼 adalah akar sebenarnya dan 𝜖𝑛 merupakan galat hampiran pada iterasi ke-𝑛, maka 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan

𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼, 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝛼 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 − −𝛼 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 −𝛼 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 𝛼𝑓 𝑥𝑛 − 𝛼𝑓 𝑥𝑛−1 = − 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝛼 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 =

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1

=

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 . (17)

Berdasarkan Definisi 6, fungsi 𝑓 𝑥𝑛 dapat diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝜖𝑛 𝑓 ′′ 𝛼 2 𝜖𝑛 ≈ 𝑓 𝛼 + 𝑓 ′ 𝛼 𝜖𝑛 + 2 atau dapat dituliskan 𝑓 ′′ 𝛼 2 𝜖𝑛 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝑓 ′ 𝛼 𝜖𝑛 + 2 1 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝛼 + 𝜖𝑛 𝑓′′ 𝛼 . 2 𝜖𝑛 Untuk indeks 𝑛 − 1 diperoleh 𝑓 𝑥𝑛−1 1 = 𝑓 ′ 𝛼 + 𝜖𝑛−1 𝑓 ′′ 𝛼 . 𝜖𝑛−1 2 Hasil pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 1 − = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 𝑓 ′′ 𝛼 ; 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 2 karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, dengan membagi sisi kiri persamaan di atas dengan 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 dan sisi kanan dengan 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 , maka diperoleh persamaan 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛−1 1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 = 𝑓 ′′ 𝛼 . (18) 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 2

17

18

Selanjutnya berdasarkan Definisi 10, maka tanda kurung pertama pada persamaan (17) dapat dituliskan sebagai 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 1 = . (19) 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 −1 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 Dengan menyubstitusikan persamaan (18) dan (19) pada persamaan (17) diperoleh 1 1 ′′ 𝜖𝑛 +1 = 𝑓 𝛼 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 2 1 1 ′′ = ′ 𝑓 𝛼 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 (20) 𝑓 𝜁𝑛 2 di mana 𝜁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝑥𝑛−1 . Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan 𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0, sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼 |𝑓 ′ (𝑥)| > 0. Hal ini dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0. 𝑓 2 𝑥

dan pilih Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 2! interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2 𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 , 𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka 1 𝑓 ′′ 𝛼 𝜖𝑛−1 < 𝐶 < 1, 𝐷 = 2 𝑓 ′ 𝜁𝑛 di mana 𝑀2 𝑡/2 . 𝐶= 𝑚1 Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka 𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2 −𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 𝑡 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ , ∀𝑛. 2 Sehingga 𝐷 dapat dituliskan 1 𝑓 ′′ 𝛼 𝑀2 𝑡/2 𝜖𝑛−1 < . 𝐷 = 2 𝑓 ′ 𝜁𝑛 𝑚1 Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku 𝑚1 > 𝑀2 𝑡/2, maka diperoleh 𝑀2 𝑡/2 𝑚1 𝐶= < = 1. 𝑚1 𝑚1 Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 ∞ 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 barisan tak naik. Karena 𝑛=0 barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka menurut Teorema 6 𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen. Dari persamaan (16) diketahui 𝜖𝑛+1 = 𝐷𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐷 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 . Untuk 𝑛 = 1, diperoleh 𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh

𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh 𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim 0 ≤ lim 𝜖𝑛 ≤ lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . 𝑛 →∞

𝑛 →∞

𝑛 →∞

lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0,

Karena

𝑛→∞

Teorema

Apit

maka

lim 𝜖𝑛 = 0,

𝑛→∞

dan

menurut karena

lim 𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim 𝜖𝑛 = 0, sehingga dari sini

𝑛→∞

𝑛 →∞

diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Akibatnya karena 𝜁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝑥𝑛−1 , maka diperoleh 𝑥𝑛 < 𝜁𝑛 < 𝑥𝑛 −1 lim 𝑥𝑛 < lim 𝜁𝑛 < lim 𝑥𝑛−1 . 𝑛 →∞

Menurut

𝑛 →∞

Teorema

𝑛→∞

Apit,

karena

lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = lim 𝑥𝑛−1 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 𝜁𝑛 = 𝛼. 𝑛→∞

Dari sini diperoleh 1 1 ′′ 𝜖𝑛 +1 = 𝑓 𝛼 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1. ′ 𝑓 𝛼 2 Selanjutnya akan ditentukan derajat kekonvergenannya. Misalkan 𝜖𝑛+1 =𝐶 𝜖𝑛 𝑠1 di mana 𝑠1 adalah derajat kekonvergenan dan 𝐶 konstanta galat asimptotik, atau dapat juga dituliskan 𝑥𝑛+1 − 𝛼 = 𝐶 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑠1 . Persamaan di atas akan digunakan untuk menentukan derajat kekonvergenan metode ini. 3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur Selanjutnya akan dibahas analisis barisan akar 𝑥𝑛 ∞𝑛=0 yang dihasilkan melalui persamaan iterasi generalisasi metode tali Busur. Kekonvergenan ini dapat dilihat pada Teorema 12 berikut. Teorema 12 (Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur) Diberikan 𝛼 merupakan solusi dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0 dan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran ke-𝑛. Asumsikan 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 (𝐼), di mana 𝐼 interval terbuka yang mengandung 𝛼 dan asumsikan juga 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 merupakan nilai awal, dan menghasilkan 𝑥𝑛 , 𝑛 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, …, dengan persamaan iterasi

18

19

𝑓 𝑥𝑛 ; 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 di mana 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . .., maka barisan 𝑥𝑛 ∞𝑛=0 yang dihasilkan konvergen ke 𝛼, dan −1 𝑘+1 𝑓 𝑘 +1 𝛼 𝜖𝑛+1 = ≡ 𝐿; lim 𝑘 𝑛→∞ 𝑘 + 1 ! 𝑓′ 𝛼 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, ∀𝑛 . Misalkan 𝑠𝑘 adalah derajat kekonvergenan, dan 1 < 𝑠𝑘 < 2, di mana 𝑠𝑘 merupakan akar positif dari 𝑠 𝑘 +1 = 𝑘𝑖=0 𝑠 𝑖 dan sesuai persamaan 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 ; lim 𝑠𝑘 = 2, 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑘 →∞

di mana e adalah basis logaritma natural dan 𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝑠𝑘 −1 ∕𝑘 . lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛 𝑠𝑘 (Sidi 2007) Bukti: (disajikan pada Lampiran 1) Dari Teorema 12 diketahui bahwa kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur relatif lebih cepat dibandingkan dengan metode Tali Busur dan relatif sama dengan metode Newton-Raphson. Derajat kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur ini bergantung pada 𝑘 nilai awal yang ditentukan. Semakin besar 𝑘, maka derajat kekonvergenan metode ini semakin mendekati kuadratik (Sidi 2007). Hal ini tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada pemilihan nilai awal. 3.3 Contoh Numerik Pada subbab ini akan diterapkan generalisasi metode Tali Busur, di mana metode ini hanya menggunakan nilai awal sampai 𝑘 = 2 atau penggunaan selisih terbagi hanya sampai yang kedua. Hal ini dilakukan untuk memermudah analisis kekonvergenannya. Sebagai pembanding untuk melihat kecepatan kekonvergenannya akan digunakan metode lain, yaitu metode NewtonRaphson dan metode Tali Busur. Dengan menggunakan algoritme pencarian akar yang telah ditentukan sebelumnya, diperoleh program pencarian akar dengan metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Ketiga program ini digunakan untuk menentukan akar 𝑓(𝑥). Contohnya untuk 2 menentukan akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑥 −2 − 1, yang solusinya adalah 𝛼 = 0.866873543487685.

3.3.1 Contoh dengan Metode NewtonRaphson Algoritme 1 akan diimplementasikan dalam program pencarian akar dengan menggunakan software Matlab. Program disajikan pada Lampiran 2 untuk menentukan 2 akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑥 −2 − 1 dengan solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai awal 𝑥0 = 0.1, maksimum iterasi 𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 2 Ilustrasi metode Newton-Raphson Iterasi Ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

𝟐 −𝟐

Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒆𝒙 Hampiran akar 2.600218575884343 2.426600259970995 2.242991672103380 2.047916317598964 1.840004601601038 1.618989165091132 1.388668006975518 1.164100012889030 0.981747018725197 0.886763397414741 0.867518289880120 0.866874231824007 0.866873543488470 0.866873543487685

−𝟏

Selisih mutlak hampiran 2.500218575884343 0.173618315913348 0.183608587867615 0.195075354504416 0.207911715997926 0.221015436509906 0.230321158115614 0.224567994086488 0.182352994163833 0.094983621310456 0.019245107534621 0.000644058056113 0.000000688335537 0.000000000000785

Akar sebenarnya adalah 𝛼= 0.866873543487685. Hampiran akar yang diperoleh dari proses iterasi konvergen ke 0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0. Selanjutnya dari contoh di atas akan dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih ke akar sebenarnya dengan kecepatan kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini dilihat dari semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya. Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut.

19

20

Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada metode Newton-Raphson No 1 2 3 4 5 6 7 8

Nilai awal 𝒙𝟎 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Banyaknya iterasi 14 11 10 8 7 6 6 5

Dari tabel di atas, diketahui bahwa semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan semakin sedikit atau hampiran akar yang diperoleh semakin cepat konvergen ke akar sebenarnya. 3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur Dengan menggunakan Algoritme 2 dapat diperoleh program metode Tali Busur. Program disajikan pada Lampiran 3 untuk menentukan 2 akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑥 −2 − 1 dengan solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi 𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 4 Ilustrasi metode Tali Busur Iterasi Ke-

𝟐 −𝟐

Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒆𝒙 Hampiran akar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

2.329480661498825 0.204979952966205 0.209935202802368 2.068405703134396 0.226008365937093 0.241802415334364 1.954771393830092 0.266632050737302 0.290734393114400 1.777893597293117 0.336743183019225 0.379866446228140 1.509250575181494 0.478826798989551 0.560289104098675 1.128268818527795 0.739670411338161 0.816297150429572 0.878330886413819 0.865898622003941 0.866855118153935 0.866873573260298 0.866873543486776 0.866873543487685

−𝟏

Selisih mutlak hampiran 2.129480661498825 2.124500708532620 0.004955249836163 1.858470500332028 1.842397337197304 0.015794049397271 1.712968978495728 1.688139343092790 0.024102342377099 1.487159204178716 1.441150414273891 0.043123263208915 1.129384128953354 1.030423776191944 0.081462305109124 0.567979714429120 0.388598407189634 0.076626739091411 0.062033735984248 0.012432264409878 0.000956496149994 0.000018455106364 0.000000029773523 0.000000000000909

Akar sebenarnya adalah 𝛼= 0.866873543487685. Hampiran akar yang diperoleh dari proses iterasi konvergen ke 0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0. Untuk menentukan derajat kekonvergenan, gunakan contoh yang telah diperoleh pada Tabel 4 dengan 𝛼 = 0.866873543487685. Dari kolom kedua pada Tabel 2 diperoleh 0.011457342926134 = 𝐶 0.050576393058113 0.050576393058113 = 𝐶 0.127203132149524

𝑠1 𝑠1

untuk 𝑛 = 18 dan 𝑛 = 17 berturut-turut. Dengan membagi kedua persamaan di atas diperoleh 0.226535389998440 = 0.397603362460146 𝑠1 Dari sini diperoleh derajat kekonvergenan metode Tali Busur, yaitu log 0.226535389998440 = 𝑠1 log 0.397603362460146 = 1.609946373008582 ⋯.

20

21

Nilai ini hampir sama dengan nilai eksak 𝑠1 = 1.618 ⋯ (Sahid 2005). Kecepatan dalam mencapai kekonvergenan pada metode Tali Busur ini, secara umum berada di antara metode Bagi Dua (linear) dan metode NewtonRaphson (kuadratik). Dari analisis kekonvergenan metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur, diketahui bahwa metode Newton-Raphson memunyai derajat kekonvergenan yang lebih besar atau lebih cepat konvergen ke akar. Dari ilustrasi di atas menunjukkan bahwa metode Tali Busur tidak lebih cepat konvergen ke akar dibandingkan dengan metode Newton-Raphson. Akan tetapi, hal ini tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada pemilihan nilai awal. Selanjutnya dari contoh di atas akan dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih ke akar sebenarnya dengan kecepatan kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini dilihat dari semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya. Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada metode Tali Busur No 1 2 3 4 5 6 7

Nilai Awal 𝑥0 𝑥1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8

Banyaknya Iterasi 24 16 12 10 9 8 6

Dari tabel di atas, diketahui bahwa semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan semakin sedikit atau hampiran akar yang diperoleh semakin cepat konvergen ke akar sebenarnya. 3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur Dengan menggunakan Algoritme 3 dapat diperoleh program generalisasi metode Tali Busur. Program disajikan pada Lampiran 4

untuk menentukan akar dari 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑥 −2 − 1, yang solusinya adalah 𝛼 = 0.866873543487685, dengan nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi 𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasi metode ini dapat dilihat dalam tabel berikut. Tabel 6 Ilustrasi generalisasi metode Tali Busur Iterasi ke-

𝟐 −𝟐

Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒆𝒙 Hampiran akar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1.241618118582198 1.222380906028619 1.091121603581428 0.976234727891453 0.908803572894221 0.875828727133999 0.867664390677719 0.866888736538335 0.866873569065500 0.866873543488509 0.866873543487685

−𝟏

Selisih mutlak hampiran 1.087862542916627 0.019237212553579 0.131259302447191 0.114886875689975 0.067431154997232 0.032974845760222 0.008164336456280 0.000775654139384 0.000015167472835 0.000000025576992 0.000000000000824

sebenarnya adalah 𝛼= Hampiran akar yang diperoleh dari proses iterasi konvergen ke 0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0. Langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut. Langkah pertama adalah memilih dua nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, kemudian menghitung 𝑥2 menggunakan metode Tali Busur, yaitu 𝑓 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 − . 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 Dari sini diperoleh tiga nilai awal, yaitu 𝑥0 = 0.1, 𝑥1 = 0.2 dan 𝑥2 = 2.329480661498825 yang akan digunakan untuk menentukan hampiran akar selanjutnya. Hampiran selanjutnya 𝑥3 , 𝑥4 , ⋯ diperoleh dengan persamaan Akar

0.866873543487685.

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

untuk 𝑛 = 2,3, …. Hasil perhitungan ini dapat dikonfirmasi pada Tabel 6, untuk memverifikasi hasil teoritis tentang metode iteratif dengan ketelitian yang lebih besar, perlu menggunakan komputer

21

22

aritmatika presisi yang tinggi (lebih baik, presisi variabel, jika tersedia). Beralih pada analisis kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur, dari Lampiran 4 diketahui bahwa generalisasi metode Tali Busur hanya memerlukan 11 iterasi untuk mencapai kekonvergenan. Pada Lampiran 2, yaitu menggunakan metode Newton–Raphson memerlukan 14 iterasi. Dari sini terlihat bahwa generalisasi metode Tali Busur memiliki derajat kekonvergenan yang relatif hampir sama dengan metode Newton-Raphson. Dari Teorema 12 diperoleh 𝜖𝑛+1 −1 3 𝑓 (3) 0.8669. lim = 𝑛 →∞ 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 3! 𝑓 ′ 0.8669. = −0.010308 ⋯ dan log 𝜖𝑛+1 /𝜖𝑛 lim = 𝑠2 𝑛→∞ log 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−1 = 1.628536084576705 ⋯. Nilai ini tidak jauh berbeda dengan nilai eksak 𝑠2 ≈ 1.63 ⋯ (Sidi 2007). Derajat kekonvergenan ini di antara metode Tali Busur (𝑠1 ≈ 1.60 ⋯) dan metode Newton-Raphson (kuadratik). Program yang digunakan diperoleh dengan menggunakan software Matlab. Perhitungan dengan menggunakan program memiliki keakuratan yang baik. Karena hampiran akar yang diperoleh sama dengan akar sebenarnya, maka generalisasi metode Tali Busur ini memiliki galat hampiran yang hampir nol, atau persentase tingkat kesalahannya nol persen.

Selanjutnya dari contoh di atas akan dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih ke akar sebenarnya dengan kecepatan kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini dilihat dari semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya. Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB No 1 2 3 4 5 6 7

Nilai Awal 𝑥0 𝑥1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8

Banyaknya Iterasi 11 10 8 7 7 6 5

Dari tabel di atas, diketahui bahwa semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan semakin sedikit atau hampiran akar yang diperoleh semakin cepat konvergen ke akar sebenarnya. Selanjutnya akan dibahas perbandingan antara metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Perbandingan ketiga metode ini dapat dilihat dalam tabel berikut.

22

23

2

Tabel 8 Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2 𝑒 𝑥 −2 − 1 dengan metode NewtonRaphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur . Iterasi ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Metode Newton-Raphson

Metode Tali Busur

2.600218575884343 2.426600259970995 2.242991672103380 2.047916317598964 1.840004601601038 1.618989165091132 1.388668006975518 1.164100012889030 0.981747018725197 0.886763397414741 0.867518289880120 0.866874231824007 0.866873543488470 0.866873543487685

2.329480661498825 0.204979952966205 0.209935202802368 2.068405703134396 0.226008365937093 0.241802415334364 1.954771393830092 0.266632050737302 0.290734393114400 1.777893597293117 0.336743183019225 0.379866446228140 1.509250575181494 0.478826798989551 0.560289104098675 1.128268818527795 0.739670411338161 0.816297150429572 0.878330886413819 0.865898622003941 0.866855118153935 0.866873573260298 0.866873543486776 0.866873543487685

Dari Tabel 8 terlihat bahwa generalisasi metode Tali Busur memiliki kekonvergenan yang relatif lebih cepat dibandingkan dengan

Generalisasi Metode Tali Busur 1.241618118582198 1.222380906028619 1.091121603581428 0.976234727891453 0.908803572894221 0.875828727133999 0.867664390677719 0.866888736538335 0.866873569065500 0.866873543488509 0.866873543487685

metode Tali Busur dan relatif sama dengan metode Newton-Raphson.

IV SIMPULAN Dari analisis kekonvergenan diketahui bahwa kekonvergenan barisan hampiran akar yang diperoleh dengan generalisasi metode Tali Busur relatif cepat. Derajat kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur untuk nilai awal sampai 𝑘 = 2 adalah 𝑠2 = 1.63 ⋯, ini lebih besar dari pada metode Tali Busur yang memiliki

kekonvergenan 𝑠1 = 1.60 ⋯ dan semakin mendekati kekonvergenan metode NewtonRaphson dengan semakin besarnya 𝑘. Kecepatan kekonvergenan metode-metode tersebut dipengaruhi oleh nilai awal yang ditentukan, semakin dekat nilai awal yang dipilih dengan akar sebenarnya, maka metode pencarian akar tersebut akan semakin cepat.

23

24

V DAFTAR PUSTAKA Atkinson KE. & Weimin Han. 2003. Elementary Numerical Analysis, second edition. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. Bartle RG. 1964. The Element of Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc. Burden RL. & J. Douglas Faires. 1993. Numerical Analysis, fifth edition. Boston: PWA-KENT Publishing Company.. Cheney W. & D. Kincaid. 1994. Numerical Mathematics and Computing, third edition. California: Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove.

Goldberg RR. 1976. Methods of Real Analysis, second edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Yogyakarta: Penerbit Andi. Sidi Avram. 2007. Generalization of the Secant Method for Nonlinear Equations: Applied Mathematics E-Notes, 8(2008), 115-123. Traub JF. 1964. Iterative Methods for the Solution of Equations. Englewood Cliffts, N.J: Prentice Hall, Inc.

24

25

LAMPIRAN

25

26

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12 Akan dibuktikan: i. Barisan 𝑥𝑛 ii.

li𝑚𝑛→∞

∞ 𝑛=0 𝜖 𝑛 +1

𝑘 𝜖 𝑖=0 𝑛 −𝑖

konvergen ke 𝛼 =

−1 𝑘+1 𝑓 (𝑘+1) 𝛼 𝑘 +1 !

−𝑘 −1

𝑓′ 𝛼 −𝑘 −1

≡ 𝐿;

iii. 2 − 2 𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 ; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘 +1 ; lim 𝑠𝑘 = 2 iv. lim𝑛→∞

𝜖 𝑛 +1 𝜖𝑛

𝑠𝑘

𝑘→∞

= 𝐿

𝑠𝑘 −1 /𝑘

Bukti: i. Akan dibuktikan: barisan 𝑥𝑛 ⟺ lim 𝑥𝑛 = 𝛼

∞ 𝑛=0

konvergen ke 𝛼.

𝑛 →∞

⟺ lim 𝜖𝑛 = 0 𝑛 →∞

karena 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 .

Penyelesaian: Dimulai dengan menurunkan persamaan galat hampiran 𝑥𝑛+1 . Karena 𝑓 𝛼 = 0 diperoleh 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 = 𝑥𝑛 − 𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 . Misalkan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran pada iterasi ke-𝑛 dan 𝛼 adalah akar sebenarmya, maka 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 dan 𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 − ′ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛 ) = (𝑥𝑛 − 𝛼) − ′ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑥𝑛 − 𝛼 − ′ 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 1− ′ 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑥𝑛 − 𝛼 . (21) 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 ′ Selanjutnya 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 pada persamaan di atas dapat dijabarkan sebagai berikut ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 +𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 ′ (22) = 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 + 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 . (1)

(2)

Sisi kanan dari persamaan (22) dapat dibagi menjadi dua bagian, bagian kedua dari sisi kanan dapat dituliskan sebagai berikut 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 (karena Teorema 3) 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 (karena Definisi 10) 𝑓 2 𝜂𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 , (karena Lema 4) 2! untuk 𝜂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼. Bagian pertama dari sisi kanan persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut ′ ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 = − 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 . Dari Lema 3 diperoleh persamaan galat interpolasi, yaitu

26

27

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘

𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑥 = 𝑘+1 !

𝑘

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 −𝑖 = 𝑖=0

𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 . 𝑘+1 !

Sehingga turunannya adalah 𝑓

𝑘+1

𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛 −1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 +1 + ⋯ 𝑘+1 ! (𝑘 +1) 𝑓 𝜉 + 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑓 (𝑘 +1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 . + 𝑘+1 !

𝑓 ′ 𝑥 − 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥 =

Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 , diperoleh 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 =

=

𝑓

𝑘+1

𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯ 𝑘+1 ! 𝑛 (𝑘+1) 𝑓 𝜉 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 + 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 + 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑘+1 ! 𝑛

𝑓 (𝑘 +1) 𝜉𝑛 𝑘+1 !

𝑓 (𝑘+1) 𝜉𝑛 = 𝑘+1 !

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑖 ,

(23)

𝑖=1

untuk 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 . ′ Karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 , hal ini mengakibatkan 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 pada persamaan (22) dapat didefinisikan menjadi ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = −

𝑓 (𝑘 +1) 𝜉𝑛 𝑘+1 !

𝑘

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑖=1

𝑓

2

𝜂𝑛 𝜖𝑛 . 2!

(24)

Sehingga dengan menyubstitusikan persamaan (23) dan (24) pada persamaan (21) diperoleh 𝑓 (𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 𝑓 2 𝜂𝑛 − 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝜖𝑛 𝑖=1 2! 𝑘+1 ! 𝜖𝑛+1 = 𝜖𝑛 . 𝑓 (𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 ′ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘 + 1 ! 𝑖=1 𝑛 Selanjutnya definisikan 𝑓 (𝑘 +1) 𝜉𝑛 𝑓 2 𝜂𝑛 𝐷𝑛 = − dan 𝐸𝑛 = . (25) 𝑘+1 ! 2! Akhirnya diperoleh ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 𝐷𝑛 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝜖𝑛 ; di mana 𝐶𝑛 ≡ = . (26) 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 + 𝐷𝑛 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan 𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) dengan 𝑇 > 0, sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼 |𝑓 ′ (𝑥)| > 0. Hal ini dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓 ′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan 𝑀𝑠 = max𝑥∈𝐼

𝑓 𝑠 𝑥 𝑠!

, 𝑠 = 1, 2, ⋯, dan pilih interval 𝐽 = (𝛼 −

𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛−𝑖 , dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘 di J, maka 𝑀𝑘+1 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝑀𝑘+1 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝐶𝑛 ≤ ≤ ≤ 𝐶 < 1. 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘, di J, maka 𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2 −𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝑡/2, ∀𝑛. Dari sini diperoleh

27

28

𝑘

𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖

≤ 𝑡 × 𝑡 ×. . .× 𝑡 = 𝑡 𝑘 . 𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖

𝑖=1

Sehingga 𝐶 dapat dituliskan sebagai 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 . 𝐶= 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 Selanjutnya akan ditunjukkan 𝐶 < 1, karena 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) dipilih cukup kecil sehingga berlaku 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2, maka dengan menggunakan 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 > 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 1 1 < 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 < 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 2𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 𝑘 𝑀𝑘+1 𝑡 + 𝑀2 𝑡/2 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 < 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 + 𝑀2 𝑡/2 𝑘 𝑀𝑘+1 𝑡 + 𝑀2 𝑡/2 < 1. 𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝑡 𝑘 Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 ∞𝑛=0 turun. Karena 0 ≤ 𝜖𝑛 atau 𝜖𝑛 ∞𝑛=0 terbatas di bawah dan 𝜖𝑛 ∞𝑛=0 turun, maka menurut Teorema 6 maka 𝜖𝑛 ∞𝑛=0 konvergen. Dari persamaan (26) diketahui 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 . Untuk 𝑛 = 1, diperoleh 𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh 𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh 𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim 0 ≤ lim 𝜖𝑛 ≤ lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . 𝑛→∞

𝑛 →∞

𝑛 →∞

Menurut Teorema Apit jika lim𝑛→∞ 0 = lim 𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka lim 𝜖𝑛 = 0. Karena diketahui 𝑛→∞

𝑛→∞

lim 𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim 𝜖𝑛 = 0, maka dari sini diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼.

𝑛→∞

𝑛→∞

Dengan demikian (i) terbukti.

ii. Selanjutnya akan dibuktikan: lim

𝑛→∞

𝜖𝑛+1 ∞ 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖

=

−1 𝑘+1 𝑓 (𝑘 +1) 𝛼 ≡ 𝐿. 𝑘 + 1 ! 𝑓′ 𝛼

Penyelesaian: Diketahui 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 , di mana 𝐼 = 𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇 ; 𝑇 > 0, maka diperoleh 𝑓 kontinu di 𝛼. Menurut Teorema 8 jika diketahui lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen ke 𝑓 𝛼 . Selanjutnya perhatikan bahwa 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 lim = 𝑓′ 𝛼 menurut definisi turunan 𝑛→∞ 𝑥𝑛 − 𝛼 lim 𝑓 𝛼, 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝛼 karena Definisi 10 𝑛→∞

28

29

lim 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = 𝑓 ′ 𝛼 .

𝑛 →∞

karena Teorema 2

Dari Lema 3 diketahui 𝑝𝑛,𝑘

𝑓 (𝑘 +1) 𝜉 𝑥 =𝑓 𝑥 − 𝑘+1 !

𝑘

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 𝑖=0

𝑓 (𝑘 +1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 −2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯ + 𝑘+1 ! 𝑓 (𝑘+1) 𝜉 + 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 +1 . 𝑘+1 ! Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 diperoleh 𝑝𝑛,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 −

𝑘+1

𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑛 𝑘 +1 𝑓 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯ + 𝑘+1 ! 𝑛 𝑘 +1 𝑓 𝜉 + 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 𝑘+1 ! 𝑛

′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝑥𝑛 −

𝑓

𝑓 (𝑘+1) 𝜉 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 −2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 𝑘+1 ! 𝑛 Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka diperoleh 𝑓 (𝑘 +1) 𝜉 ′ lim 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 −1 lim 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 −2 ⋯ lim 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 lim 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = lim 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − lim 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛 →∞ 𝑛 →∞ 𝑛→∞ 𝑘 + 1 ! 𝑛→∞ (𝑘+1) 𝑓 𝜉 ′ 𝛼−𝛼 𝛼−𝛼 ⋯ 𝛼−𝛼 (karena Teorema 9) lim 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝛼 − 𝑛→∞ 𝑘+1 ! ′ ′ lim 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 . 𝑛→∞ Akibatnya diperoleh ′ lim 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝛼 = lim 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 . (27) ′ 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝑥𝑛 −

𝑛 →∞

Dari sini karena 𝐶𝑛 = lim lim 𝐶𝑛 = 𝑛→∞

𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥 𝑛 −𝑓 𝑥 𝑛 ,𝛼

′ 𝑝𝑛,𝑘

𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥 𝑛

𝑛 →∞

, maka hal ini mengakibatkan

𝑥𝑛 − lim 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 𝑛 →∞

lim 𝑝′ 𝑥𝑛 𝑛 →∞ 𝑛 ,𝑘 ′ lim 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 lim 𝑝𝑛,𝑘 𝑥𝑛 − 𝑛→∞ ′ = 𝑛→∞ ′ lim 𝑝 𝑥𝑛 lim 𝑝 𝑥𝑛 𝑛 →∞ 𝑛 ,𝑘 𝑛→∞ 𝑛 ,𝑘 ′ ′ 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 = ′ − ′ = 0. 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 𝜖 Selanjutnya karena 𝑛𝜖 +1 = 𝐶𝑛 , maka 𝑛 →∞

𝑛

lim (𝜖𝑛+1 /𝜖𝑛 ) = 0 , ∀𝑛.

𝑛 →∞

Atau menurut Definisi 15 𝜖𝑛+1 = 𝑜(𝜖𝑛 ), saat 𝑛 → ∞. Akibatnya menurut Teorema 5 𝜖𝑛+1 = 𝑂 𝜖𝑛 , saat 𝑛 → ∞. Karena diketahui 1 < 𝑠𝑘 < 2, maka 𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 konvergen dengan derajat lebih besar 1. Sebagai akibat lim𝑛→∞ (𝜖𝑛+1 /𝜖𝑛 ) = 0 , ∀𝑛 diperoleh 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 𝜖𝑛−𝑖+1 lim = 0 , lim = 0 , lim = 0 , ⋯ , lim = 0. 𝑛→∞ 𝜖𝑛−1 𝑛→∞ 𝜖𝑛−2 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−3 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 Dari sini diperoleh

29

30

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 lim = lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛−1 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−2 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 𝜖𝑛 =0 = lim 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−2 dan seterusnya. Akhirnya diperoleh 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 𝜖𝑛−𝑘+1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 𝜖𝑛−𝑖+1 lim lim ⋯ lim = lim ⋯ lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 𝜖𝑛−3 𝑛→∞ 𝜖𝑛−1 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−2 𝑛→∞ 𝜖𝑛−3 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 = lim = 0 ; ∀𝑖 > 1, 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 dan 𝜖𝑛 lim = 0 ; 𝑗 < 𝑖. 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑗 Dari sini diperoleh 𝜖𝑛 𝜖 lim 𝑛 𝜖𝑛−𝑖 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 lim = 𝜖 𝑛→∞ 𝜖𝑛 lim 𝑛 𝜖𝑛−𝑗 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑗 𝜖𝑛−𝑗 𝜖𝑛 = lim lim 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝑛 →∞ 𝜖𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛−𝑗 = lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 𝜖𝑛−𝑗 = 0. = lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 lim

𝜖

𝜖

Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖 𝑛 = 𝑜 𝜖 𝑛 ; 𝑛 → ∞ dan 𝑗 < 𝑖. Selanjutnya perhatikan 𝑛 −𝑖 𝑛 −𝑗 𝜖𝑛 𝜖𝑛 lim 𝜖 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 lim 𝑛−𝑖 = 𝜖 𝑛→∞ 𝜖𝑛 lim 𝜖 𝑛 𝜖𝑛−1 𝑛→∞ 𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = lim lim 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝑛→∞ 𝜖𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = lim 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = lim = 0. 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝜖 𝜖 Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖 𝑛 = 𝑜 𝜖 𝑛 ; 𝑛 → ∞. Perhatikan juga bahwa 𝑛 −1 𝑛 −𝑖 𝜖 𝜖 − 𝜖𝑛 lim − 𝜖 𝑛 𝑛→∞ 𝑛−𝑖 𝑛−𝑖 lim = 𝜖 𝜖𝑛 𝑛→∞ lim 𝜖 𝑛 𝜖𝑛−1 𝑛 →∞ 𝑛−1 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = lim − lim 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝑛→∞ 𝜖𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = lim − 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 𝜖𝑛−1 = − lim = 0. 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 𝜖 𝜖 Menurut Definisi 15 dapat dituliskan − 𝑛 = 𝑜 𝑛 ; 𝑛 → ∞, atau menurut Teorema 5 dapat juga dituliskan − 𝜖

𝜖𝑛 𝑛 −𝑖

=𝑂

𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −1

𝜖 𝑛 −𝑖

𝜖 𝑛 −1

. Selanjutnya dengan memperluas hasil

𝑘 𝑖=1

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖

pada

persamaan (26) diperoleh 𝑘

𝑘

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 = 𝑖=1

−𝜖𝑛−𝑖 + 𝜖𝑛 𝑖=1

30

31

𝑘

=

−𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−𝑖 𝑖=1 𝑘

=

−1 𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−𝑖 𝑖=1

= −1

𝑘 𝑘

𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−𝑖 𝑖=1 𝑘

= −1

𝑘

𝜖𝑛−𝑖 1 + 𝑂 𝑖=1 𝑘

= −1

𝑘

𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

1+𝑂

𝑖=1

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

untuk 𝑛 → ∞.

(28)

Sekarang definisikan 𝐷𝑛 𝐸𝑛 dan 𝐸𝑛 = ′ . 𝑥𝑛 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 Dengan menyubstitusikan persamaan (28) dan (29) pada persamaan (26) akan diperoleh 𝐷𝑛 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝜖𝑛 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 𝐷𝑛 =

𝐷𝑛 = ′ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 𝑘

𝑝𝑛′ ,𝑘

𝑘

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑖=1

𝐸𝑛 𝜖 𝜖 𝑥𝑛 𝑛 𝑛

𝑝𝑛′ ,𝑘

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛2

= 𝐷𝑛 𝑖=1

= 𝐷𝑛 −1

𝑘 𝑘

1+𝑂

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛2

𝜖𝑛−𝑖

1+𝑂

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛 𝜖𝑛2

𝑖=0 𝑘

= −1 𝑘 𝐷𝑛

𝜖𝑛−𝑖 𝑖=0

(karena persamaan (29))

𝜖𝑛−𝑖 𝑖=1 𝑘

= −1 𝑘 𝐷𝑛

1+𝑂

(29)

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

(karena persamaan (28))

𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛2 ; untuk 𝑛 → ∞.

Dengan membagi kedua ruas persamaan di atas dengan 𝑘𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 , diperoleh 𝜖𝑛 −1 𝑘 𝐷𝑛 𝑘𝑖=1 𝜖𝑛−𝑖 1 + 𝑂 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛2 𝜖𝑛+1 𝜖𝑛−1 = 𝑘 𝑘 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝑘 𝑘 −1 𝐷𝑛 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 𝐸𝑛 𝜖𝑛2 = 1 + 𝑂 + 𝑘 𝑘 𝜖𝑛−1 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 2 𝜖 𝐸 𝜖 𝑛 𝑛 𝑛 = −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 + 𝑘 ; untuk 𝑛 → ∞. 𝜖𝑛−1 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 Dari sini didefinisikan 𝜎𝑛 , yaitu 𝜖𝑛+1 𝜎𝑛 = 𝑘 . 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 Ganti indeks 𝑛 dengan 𝑛 − 1 pada persamaan di atas, diperoleh 𝜖𝑛 𝜎𝑛−1 = 𝑘 . 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖−1 Dari sini diperoleh

(30)

(31)

31

32

𝑘

𝜖𝑛 = 𝜎𝑛−1 Sehingga 𝜖𝑛2

𝜖 𝑛2 𝑘 𝜖 𝑖=0 𝑛 −𝑖

𝜖𝑛−𝑖−1 . 𝑖=0

pada persamaan (30) dapat dituliskan

𝜖𝑛 𝜖𝑛 𝑘 𝑖=1 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 = 𝑘 𝑖=1 𝜖𝑛−𝑖 𝜎𝑛−1 𝑘𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖−1 = 𝑘 𝑖=1 𝜖𝑛−𝑖 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 … 𝜖𝑛−𝑘 𝜖𝑛−𝑘−1 = 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 … 𝜖𝑛−𝑘 = 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 . Akhirnya persamaan (30) dapat dituliskan 𝜖𝑛 𝜎𝑛 = −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 + 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 ; 𝑛 → ∞. (32) 𝜖𝑛−1 Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 −1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka dari persamaan (25) diperoleh −𝑓 (𝑘 +1) 𝜉𝑛 lim 𝐷𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑘+1 ! −𝑓 (𝑘+1) 𝛼 = (33) 𝑘+1 ! dan karena 𝜂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼, maka 𝑓 (2) 𝜂𝑛 lim 𝐸𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛→∞ 2! 𝑓 (2) 𝛼 = ′ . (34) 2𝑓 𝛼 Selanjutnya perhatikan bahwa 𝐷𝑛 lim 𝐷𝑛 = lim ′ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛 lim 𝐷𝑛 = 𝑛→∞ lim 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 𝑘 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖

=

𝜖𝑛

𝑛→∞

=−

1 𝑓 (𝑘+1) 𝛼 𝑘 + 1 ! lim 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 𝑛 →∞

1 𝑓 (𝑘 +1) 𝛼 =− 𝑘 + 1 ! 𝑓′ 𝛼 dan 𝐸𝑛 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 lim 𝐸𝑛

lim 𝐸𝑛 = lim

𝑛→∞

𝑛→∞

=

𝑛→∞

lim 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛

𝑛→∞

=

𝑓 (2) 𝛼 2! lim 𝑝𝑛′ ,𝑘 𝑥𝑛 𝑛 →∞

𝑓 (2) 𝛼 = ′ . 2𝑓 𝛼 Akhirnya diperoleh

32

33

𝑓 (𝑘+1) 𝛼 1 𝑓 (2) 𝛼 dan lim 𝐸 = . 𝑛 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑘 + 1 ! 𝑓′ 𝛼 2𝑓 ′ 𝛼 𝜖 Akibatnya menurut Teorema 5, 𝐷𝑛 terbatas. Selanjutnya karena 𝑛 = 𝑂 lim 𝐷𝑛 = −

𝑘 > 0 sehingga 𝐷𝑛

𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −𝑖

≤𝑘

terbatas dan 1 + 𝑂

𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −1 𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −1

. Dari sini diperoleh 1 +

𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −𝑖

𝜖 𝑛 −𝑖

= 1+𝑂

𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −1

(35) 𝜖𝑛 𝜖 𝑛 −1

, maka terdapat

juga terbatas. Karena

juga terbatas, maka menurut Definisi 12 terdapat 𝐷 > 0 yang

mengakibatkan 𝐷𝑛 1 + 𝑂

𝜖𝑛 𝜖𝑛−1

≤ 𝐷,

∀𝑛 ∈ 𝑁.

(36)

Karena lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 0 dan 𝜖𝑛−𝑘−1 merupakan barisan bagian dari 𝜖𝑛 , maka menurut Teorema 9 lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘 −1 = 0. Selanjutnya karena 𝐸𝑛 barisan terbatas dan lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘 −1 = 0, maka menurut Teorema 10 lim𝑛→∞ 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0. Akibatnya karena lim𝑛→∞ 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘 −1 = 0, maka ∃𝑛0 ∈ 𝑁 dan 𝛽 < 1 sehingga 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 ≤ 𝛽, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Akhirnya dari persamaan (32) diperoleh 𝜖𝑛 𝜎𝑛 = −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 + 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘 −1 𝜖𝑛−1 𝜖 𝑛 + 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 ≤ −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1 = −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘 −1 𝜎𝑛−1 = 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛−1 ; ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . (37) Karena 𝑛 ≥ 𝑛0 , maka 𝑛 = 𝑛0 + 𝑠 ; 𝑠 = 1,2, ⋯, jika disubstitusikan pada persamaan di atas diperoleh 𝜎𝑛 0 +𝑠 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛 0 +𝑠−1 ; untuk 𝑠 = 1,2, ⋯. Untuk 𝑠 = 1, diperoleh 𝜎𝑛 0 +1 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛 0 . Untuk 𝑠 = 2, diperoleh 𝜎𝑛 0 +2 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛 0 +1 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛 0 = 𝐷 + 𝐷𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛 0 = 𝐷 1 + 𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛 0 1+𝛽 1−𝛽 =𝐷 + 𝛽2 𝜎𝑛 0 1−𝛽 1 − 𝛽2 + 𝛽2 𝜎𝑛 0 . =𝐷 1−𝛽 Untuk 𝑠 = 3, diperoleh 𝜎𝑛 0 +3 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛 0 +2 1 − 𝛽2 ≤𝐷+𝛽 𝐷 + 𝛽2 𝜎𝑛 0 1−𝛽 1 − 𝛽2 = 𝐷 + 𝛽𝐷 + 𝛽3 𝜎𝑛 0 1−𝛽 1 − 𝛽2 + 𝛽3 𝜎𝑛 0 = 𝐷(1 + 𝛽) 1−𝛽 1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3 =𝐷 + 𝛽3 𝜎𝑛 0 1−𝛽 Karena 𝛽 < 1, maka 𝛽2 < 1, akibatnya

33

34

𝛽 − 𝛽2 < 0 1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3 < 1 − 𝛽3 . Dari sini diperoleh 1 − 𝛽3 + 𝛽3 𝜎𝑛 0 1−𝛽 dan seterusnya. Akhirnya secara umum dapat dituliskan 1 − 𝛽𝑠 𝜎𝑛 0 +𝑠 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝑠 𝜎𝑛 0 , 𝑠 = 1, 2, ⋯. 1−𝛽 Dari fakta 𝛽 < 1, hal ini mengakibatkan 1 𝜎𝑛 0 +𝑠 ≤ 𝐷, ∀𝑠. 1−𝛽 atau {𝜎𝑛 } barisan terbatas. Akibatnya karena 𝜎𝑛−1 terbatas dan lim𝑛→∞ 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka menurut Teorema 10 diperoleh lim 𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1 = 0. 𝜎𝑛 0 +3 ≤ 𝐷

𝑛→∞

Substitusikan pada persamaan (32), sehingga diperoleh 𝜖𝑛+1 𝜖𝑛 lim 𝑘 = lim −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 + 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 𝑛→∞ 𝑛 →∞ 𝜖𝑛−1 𝑖=0 𝜖𝑛−𝑖 𝜖𝑛 + lim 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 = −1 𝑘 lim 𝐷𝑛 1 + lim 𝑛 →∞ 𝑛 →∞ 𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑖 (𝑘 +1) 1 𝑓 𝛼 𝜖𝑛 = −1 𝑘 −1 + lim 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 (karena lim = 0) ′ 𝑛 →∞ 𝑛→∞ 𝑘+1 ! 𝑓 𝛼 𝜖𝑛−𝑖 1 𝑓 (𝑘 +1) 𝛼 = −1 𝑘 +1 (karena lim 𝐸𝑛 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0) 𝑛 →∞ 𝑘 + 1 ! 𝑓′ 𝛼 ≡ 𝐿. Dengan demikian (ii) terbukti. iii. Selanjutnya akan dibuktikan: 2 − 2−𝑘 −1 𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2−𝑘−1 ; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘 +1 ; lim𝑘 →∞ 𝑠𝑘 = 2. Penyelesaian: Untuk membuktikan persamaan di atas, misalkan derajat kekonvergenan adalah 𝑠𝑘 . Selanjutnya misalkan 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan 𝑘

𝑔𝑘,𝑎 = 𝑠 𝑘+1 − 𝑎

𝑠𝑖 . 𝑖=0

Untuk 𝑎 = 1, diperoleh 𝑘

𝑔𝑘,𝑎 = 𝑠

𝑘+1

𝑠𝑖 .

−

(38)

𝑖=0

Dari Lema 5 diketahui persamaan di atas memunyai akar positif 𝑠𝑘 dan max 1, 𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1 1 < 𝑠𝑘 < 2 (karena 𝑎 = 1) Selanjutnya jabarkan persamaan (38), untuk 𝑘 = 1 diperoleh 1 2

𝑠 𝑖 = 𝑠 0 + 𝑠1 .

𝑠 = 𝑖=0

Untuk 𝑘 = 2 diperoleh 2 3

𝑠 𝑖 = 𝑠 0 + 𝑠1 + 𝑠 2 = 2 𝑠 0 + 𝑠1 = 2𝑠 2 .

𝑠 = 𝑖=0

Untuk 𝑘 = 3 diperoleh

34

35

3 4

𝑠 𝑖 = 𝑠 0 + 𝑠1 + 𝑠 2 + 𝑠 3 = 2𝑠 3 ,

𝑠 = 𝑖=0

dan seterusnya, akhirnya secara umum diperoleh 𝑠 𝑘 = 2𝑠 𝑘 −1 ; 𝑠 𝑘+1 = 2𝑠 𝑘 ; 𝑠 𝑘 +2 = 2𝑠 𝑘 +1 . Karena 𝑠𝑘 merupakan akar positif dari 𝑠 𝑘 +1 , maka 𝑠𝑘 = 𝑠 𝑘+1 dan 𝑠𝑘−1 = Dari persamaan di atas diperoleh

𝑠𝑘 .

𝑠𝑘 = 𝑠 𝑘+1 = 2𝑠 𝑘 = 2 𝑠 𝑘 = 2𝑠𝑘−1 𝑠𝑘 +1 = 𝑠 𝑘+2 = 2𝑠 𝑘+1 = 2 𝑠 𝑘+1 = 2𝑠𝑘 . Sehingga untuk 𝑘 ≥ 2 diperoleh 1 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+1 < 𝑠𝑘 +1 . 2 ∞ Dari sini terbukti 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘 +1 atau 𝑠𝑘 ∞ 𝑘=0 barisan naik. Karena 𝑠𝑘 𝑘=0 barisan naik dan terbatas di ∞ atas, maka menurut Teorema 6 barisan 𝑠𝑘 𝑘=0 konvergen. Selanjutnya akan dibuktikan pertaksamaan berikut 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Untuk membuktikan persamaan tersebut, akan dibuktikan dua hal, yaitu: a. 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 b. 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Bukti: a. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 Diketahui 1 𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1 atau 𝑠𝑘−1 = 𝑠𝑘 2 1 1 1 1 𝑠𝑘−1 = 2𝑠𝑘−2 atau 𝑠𝑘−2 = 𝑠𝑘 −1 = 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘 2 2 2 2 1 1 𝑠𝑘 −2 = 2𝑠𝑘−3 atau 𝑠𝑘−3 = 𝑠𝑘 −2 = 𝑠𝑘 2 2 2 dan 𝑠𝑘 > 1, ∀𝑘. (39) Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka berlaku 𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−1 > 𝑠𝑘−2 > 𝑠𝑘 −3 𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−3 . (40) Dari persamaan (39) dan (40) diperoleh 𝑠𝑘 > 𝑠𝑘 −3 > 1 1 𝑠𝑘 > 1 2 2 𝑠𝑘 > 2 2. Karena diperoleh 𝑠𝑘 > 2 2, maka cukup buktikan 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒, sehingga diperoleh 𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒. Sekarang akan dibuktikan 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 𝑒 𝑒 di mana 2 –𝑘−1 𝑒 = 2 –(𝑘+1) 𝑒 = 𝑘 +1 = ; untuk 𝑘 ≥ 2. 2 2∙2𝑘 𝑒 2.72 Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1 𝑒 = = = 0.34, dari sini diperoleh 8

8

2 2 > 2 − 0.34 atau 3.3 > 1.66 benar . Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1 𝑒 ≈ 0 yang berarti

35

36

2 2 > 2. Dari sini terbukti. 𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1 𝑒. b. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Diketahui 1 𝑠𝑘 +1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘 +1 . 2 Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘 +1 , ∀𝑘 dan 𝑠𝑘 < 2, ∀𝑘. Dari sini diperoleh 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘 +1 < 2 2𝑠𝑘 < 2 𝑠𝑘 < 2. Sehingga dengan membuktikan 2 < 2 − 2 –𝑘−1 , maka diperoleh 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Sekarang akan dibuktikan 2 < 2 − 2 –𝑘−1 . Karena 1 1 di mana 2 –𝑘−1 = 2 – 𝑘+1 = 𝑘 +1 = ; untuk 𝑘 ≥ 2. 2 2∙2𝑘 1 Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1 = 8 = 0.125, dari sini diperoleh

Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1

2 < 2 − 0.125 1.3 < 1.875 benar . ≈ 0 yang berarti 2 < 2.

Dari sini terbukti 𝑠𝑘 < 2 < 2 − 2 –𝑘−1 atau 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Dari (a) dan (b) diperoleh 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘 −1 lim 2 − 2 –𝑘 −1 𝑒 < lim 𝑠𝑘 < lim 2 − 2 –𝑘−1

𝑘→∞

𝑘 →∞

𝑘→∞

Karena lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1 𝑒 = lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1 = 2, maka menurut Teorema Apit lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 2. Dengan demikian (iii) terbukti. iv. Selanjutnya akan dibuktikan: lim

𝑛→∞

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛 𝑠𝑘

Penyelesaian: Diberikan 𝜎𝑛 = 𝐿, ∀𝑛 akan ditunjukkan 𝜖𝑛+1 = 𝑄 𝜖𝑛

𝑠𝑘 −1 /𝑘

𝑠𝑘

. Misalkan

𝑘

𝑠 𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝑖=0

di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, ∀𝑛. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan 𝑘

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠

𝑘 +1

𝑠𝑖 = 0

−𝑎 𝑖=0

maka dari Teorema 11 diperoleh lim

𝑛→∞

Dengan demikian (iv) terbukti.

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛 𝑠𝑘

𝑠𝑘 −1 /𝑘

.

Karena (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti, dengan demikian Teorema 12 terbukti.

36

37

Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.1. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson'); disp ('-------------------------------'); x0=0.1; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window: >> newton ------------------------------Program metode Newton-Raphson ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000 11.000000000000000 12.000000000000000 13.000000000000000 14.000000000000000

2.600218575884343 2.426600259970995 2.242991672103380 2.047916317598964 1.840004601601038 1.618989165091132 1.388668006975518 1.164100012889030 0.981747018725197 0.886763397414741 0.867518289880120 0.866874231824007 0.866873543488470 0.866873543487685

2.500218575884343 0.173618315913348 0.183608587867615 0.195075354504416 0.207911715997926 0.221015436509906 0.230321158115614 0.224567994086488 0.182352994163833 0.094983621310456 0.019245107534621 0.000644058056113 0.000000688335537 0.000000000000785

37

38

Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur'); disp ('--------------------------'); x0=0.1; x1=0.2; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar; i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000 11.000000000000000 12.000000000000000 13.000000000000000 14.000000000000000 15.000000000000000 16.000000000000000 17.000000000000000 18.000000000000000 19.000000000000000 20.000000000000000 21.000000000000000 22.000000000000000 23.000000000000000 24.000000000000000

2.329480661498825 0.204979952966205 0.209935202802368 2.068405703134396 0.226008365937093 0.241802415334364 1.954771393830092 0.266632050737302 0.290734393114400 1.777893597293117 0.336743183019225 0.379866446228140 1.509250575181494 0.478826798989551 0.560289104098675 1.128268818527795 0.739670411338161 0.816297150429572 0.878330886413819 0.865898622003941 0.866855118153935 0.866873573260298 0.866873543486776 0.866873543487685

2.129480661498825 2.124500708532620 0.004955249836163 1.858470500332028 1.842397337197304 0.015794049397271 1.712968978495728 1.688139343092790 0.024102342377099 1.487159204178716 1.441150414273891 0.043123263208915 1.129384128953354 1.030423776191944 0.081462305109124 0.567979714429120 0.388598407189634 0.076626739091411 0.062033735984248 0.012432264409878 0.000956496149994 0.000018455106364 0.000000029773523 0.000000000000909

38

40

Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.1; x1=0.2; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: >> generalisasi -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 1.241618118582198 1.087862542916627 2.000000000000000 1.222380906028619 0.019237212553579 3.000000000000000 1.091121603581428 0.131259302447191 4.000000000000000 0.976234727891453 0.114886875689975 5.000000000000000 0.908803572894221 0.067431154997232 6.000000000000000 0.875828727133999 0.032974845760222 7.000000000000000 0.867664390677719 0.008164336456280 8.000000000000000 0.866888736538335 0.000775654139384 9.000000000000000 0.866873569065500 0.000015167472835 10.000000000000000 0.866873543488509 0.000000025576992 11.0000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000824

40

40

Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.2. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2'); disp ('-------------------------------'); x0=0.2; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window: ------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000 11.000000000000000

2.101655599851019 1.897302776402499 1.679696556361177 1.451053648263684 1.222381840244686 1.023785209954342 0.902730433614113 0.868941553083035 0.866880616716863 0.866873543570572 0.866873543487685

1.901655599851019 0.204352823448520 0.217606220041322 0.228642908097493 0.228671808018998 0.198596630290344 0.121054776340229 0.033788880531078 0.002060936366173 0.000007073146291 0.000000000082887

40

41

Lampiran 6 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.3. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.3'); disp ('-------------------------------'); x0=0.3; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window: ------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.3 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000

1.700965356538817 1.473104246569059 1.243520341119593 1.040093685166183 0.909994301397412 0.869846441718644 0.866888150060895 0.866873543841149 0.866873543487685 0.866873543487685

1.400965356538817 0.227861109969759 0.229583905449466 0.203426655953410 0.130099383768771 0.040147859678769 0.002958291657749 0.000014606219746 0.000000000353464 0.000000000000000

41

42

Lampiran 7 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.4. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.4'); disp ('-------------------------------'); x0=0.4; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window: ------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.4 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000

1.392797220931011 1.167880830590423 0.984333156493182 0.887625011760497 0.867574861053666 0.866874357876872 0.866873543488783 0.866873543487685

0.992797220931011 0.224916390340589 0.183547674097240 0.096708144732685 0.020050150706832 0.000700503176794 0.000000814388089 0.000000000001099

42

43

Lampiran 8 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.5. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5'); disp ('-------------------------------'); x0=0.5; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window: ------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000

1.167543366858235 0.984101485737480 0.887547158385979 0.867569653356194 0.866874345830584 0.866873543488751 0.866873543487685

0.667543366858234 0.183441881120754 0.096554327351501 0.019977505029785 0.000695307525610 0.000000802341833 0.000000000001066

43

44

Lampiran 9 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.6. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.6'); disp ('-------------------------------'); x0=0.6; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window:

------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.6 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000

1.013770649272111 0.898557472264785 0.868493783931078 0.866877886910247 0.866873543518940 0.866873543487685

0.413770649272111 0.115213177007326 0.030063688333707 0.001615897020831 0.000004343391308 0.000000000031255

44

45

Lampiran 10 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal𝑥0 = 0.7. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.7'); disp ('-------------------------------'); x0=0.7; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window:

------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.7 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000

0.919813429265949 0.871318425532066 0.866906155762251 0.866873545249679 0.866873543487685 0.866873543487685

0.219813429265949 0.048495003733883 0.004412269769814 0.000032610512572 0.000000001761994 0.000000000000000

45

46

Lampiran 11 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟖 Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.8. Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% -----------------------------% Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % -----------------------------clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.8'); disp ('-------------------------------'); x0=0.8; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)
Tampilan dalam Command Window:

------------------------------Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.8 ------------------------------>> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000

0.874703244739892 0.866974454313793 0.866873560356840 0.866873543487685 0.866873543487685

0.074703244739892 0.007728790426099 0.000100893956953 0.000000016869155 0.000000000000000

46

47

Lampiran 12 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000 11.000000000000000 12.000000000000000 13.000000000000000 14.000000000000000 15.000000000000000 16.000000000000000

1.881080682254595 0.330862427429321 0.360442265680606 1.548671280222205 0.450894650210092 0.527512845331708 1.184589767948802 0.700775299635268 0.788459250941773 0.890707831032499 0.863713122092770 0.866749825492460 0.866874192151602 0.866873543354722 0.866873543487685 0.866873543487685

1.581080682254594 1.550218254825274 0.029579838251286 1.188229014541599 1.097776630012113 0.076618195121615 0.657076922617095 0.483814468313535 0.087683951306506 0.102248580090726 0.026994708939729 0.003036703399689 0.000124366659142 0.000000648796880 0.000000000132962 0.000000000000000

47

48

Lampiran 13 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4'); disp ('--------------------------'); x0=0.3; x1=0.4; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000 11.000000000000000 12.000000000000000

1.528559038077313 0.489960956821234 0.564867472891995 1.115467924575956 0.746861969904282 0.821252079964087 0.876575989410998 0.866129699625391 0.866861631016634 0.866873558172654 0.866873543487395 0.866873543487685

1.128559038077313 1.038598081256079 0.074906516070762 0.550600451683961 0.368605954671674 0.074390110059805 0.055323909446911 0.010446289785607 0.000731931391243 0.000011927156020 0.000000014685259 0.000000000000290

48

48

Lampiran 14 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5'); disp ('--------------------------'); x0=0.4; x1=0.5; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000

1.264037893759006 0.653192020706219 0.745682459676815 0.916049672011209 0.856759459813652 0.866063272995434 0.866887181823882 0.866873525173477 0.866873543487271 0.866873543487685

0.764037893759006 0.610845873052787 0.092490438970596 0.170367212334394 0.059290212197557 0.009303813181782 0.000823908828448 0.000013656650405 0.000000018313794 0.000000000000414

48

50

Lampiran 15 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6'); disp ('--------------------------'); x0=0.5; x1=0.6; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000

1.076726174854415 0.775937609975672 0.837311241796227 0.871551077038735 0.866642140143566 0.866871753535173 0.866873544173973 0.866873543487683 0.866873543487685

0.476726174854415 0.300788564878743 0.061373631820555 0.034239835242508 0.004908936895169 0.000229613391607 0.000001790638800 0.000000000686291 0.000000000000002

50

51

Lampiran 16 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7'); disp ('--------------------------'); x0=0.6; x1=0.7; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000

0.954912435147587 0.842044511400741 0.863354253966290 0.867020001111578 0.866872688372952 0.866873543280210 0.866873543487685 0.866873543487685

0.254912435147587 0.112867923746846 0.021309742565548 0.003665747145288 0.000147312738626 0.000000854907258 0.000000000207474 0.000000000000000

51

52

Lampiran 17 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖 Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 Dalam M-File:

2 −2

− 1 dengan nilai

% ------------------------% Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8'); disp ('--------------------------'); x0=0.7; x1=0.8; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------Program metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8 ------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000

0.887195516470864 0.864581776901575 0.866796963635153 0.866873834534596 0.866873543450758 0.866873543487685

0.087195516470864 0.022613739569289 0.002215186733578 0.000076870899443 0.000000291083838 0.000000000036927

52

53

Lampiran 18 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000 9.000000000000000 10.000000000000000

1.074580877621760 1.043516668214085 0.942044197078026 0.889758905463771 0.870403897901499 0.867046143618554 0.866874846634216 0.866873543965297 0.866873543487686 0.866873543487685

0.806499804632834 0.031064209407676 0.101472471136059 0.052285291614255 0.019355007562273 0.003357754282945 0.000171296984338 0.000001302668918 0.000000000477611 0.000000000000001

53

54

Lampiran 19 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.3; x1=0.4; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000 8.000000000000000

0.965748878703760 0.934734594405536 0.882599875476789 0.869007963080974 0.866945836011143 0.866873872714542 0.866873543538188 0.866873543487685

0.562810159373553 0.031014284298224 0.052134718928747 0.013591912395816 0.002062127069831 0.000071963296601 0.000000329176355 0.000000000050503

54

55

Lampiran 20 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.4; x1=0.5; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000

0.906183265861903 0.886198122617135 0.868718016692311 0.866948698593440 0.866873839991434 0.866873543534960 0.866873543487685

0.357854627897103 0.019985143244768 0.017480105924825 0.001769318098871 0.000074858602006 0.000000296456473 0.000000000047276

55

56

Lampiran 21 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.5; x1=0.6; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000 7.000000000000000

0.879039878992060 0.870574101058010 0.866979295814307 0.866874374953973 0.866873543674432 0.866873543487685 0.866873543487685

0.197686295862355 0.008465777934050 0.003594805243703 0.000104920860334 0.000000831279541 0.000000000186747 0.000000000000000

56

58

Lampiran 22 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.6; x1=0.7; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000 6.000000000000000

0.869277737355401 0.867229739495510 0.866875453580794 0.866873544931097 0.866873543487691 0.866873543487685

0.085634697792186 0.002047997859891 0.000354285914716 0.000001908649697 0.000000001443406 0.000000000000006

58

57

Lampiran 23 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 dan 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖 Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑥 dengan nilai awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 Dalam M-File:

2 −2

−1

% ----------------------------------------------% Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.7; x1=0.8; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------------------------------Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8 ------------------------------------------------------->> akar akar = 1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000 5.000000000000000

0.867019139422939 0.866879283798083 0.866873545281227 0.866873543487707 0.866873543487685

0.020176377047925 0.000139855624856 0.000005738516857 0.000000001793520 0.000000000000022

57