Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
METODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Aziskhan, Mardhika W.A, Syamsudhuha Jurusan MatematikaFMIPA Universitas Riau Abstract . The aim of this paper is to solve a heat equation by using Interval Finite Difference method detailing the work of Malgorzata A. Jankowska and Andrzej Marciniak. The method is the modified form of Finite Difference Method which includes the error terms of the corresponding conventional method. It gives a solution in interval form which consists all of the possible numerical error. Keywords:Heat equation, Finite Difference Method, Finite Difference Interval Method
PENDAHULUAN Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial orde dua dengan bentuk umum sebagai berikut : (
)
(
)
(1)
dengan syarat awal (
)
( )
(2)
dengan syarat batas (
)
(
)
(3)
dengan konstanta merupakan koefisien difusi. Penyelesaian dari persamaan (1) merupakan temperatur pada titik disepanjang batang homogen yang panjangnya ( ) pada waktu . Untuk memperoleh solusi dari persamaan panas tersebut dapat diselesaikan secara numerik, salah satunya dengan metode Finite Difference. Tetapi pada penggunaannya metode tersebut mengabaikan galat pemotongan (truncation error). Dalam penelitian ini, penulis ingin mengetahui bagaimana jika metode tersebut dikembangkan dengan penerapan analisis interval sehingga tidak mengabaikan galat pemotongan. METODE FINITE DIFFERENCE
Untuk mendapatkan bentuk diskrit persamaan panas pada persamaan (1) dengan syarat awal (2) dan syarat batas (3) dengan interval waktu , -, pilih bilangan bulat dan sebagai partisi dari dan . Kemudian akan diperoleh ⁄ mesh constant dan dengan ⁄ . Maka diperoleh titik grid dan ( ), dimana untuk dan untuk . Dengan menggunakan Teorema Taylor Dua Variabel [6], diperoleh formula Backward Difference turunan pertama berorde ( ) pada langkah ke dalam sebagai berikut : (
(
)
)
(
)
(4) (
dengan
(
).
)
Karena
pemotongan diabaikan yaitu dan Pendekatan
|
galat (
)
akan dibentuk
dalam notasi indeks ganda pendekatan untuk ( ) dengan , . Maka dalam indeks ganda persamaan (4) dapat ditulis sebagai pendekatan diskrit untuk turunan pertama orde ( ) menjadi |
(5)
Semirata 2013 FMIPA Unila |47
Aziskhan: Metode Finite Difference Interval Untuk Menyelesaikan Persamaan Panas
Formula Forward Difference turunan pertama berorde ( ) pada langkah ke dalam sebagai berikut : (
(
)
)
(
)
(6) (
dengan ( pemotongan
)
) dan karena galat diabaikan yaitu
( ), maka dalam indeks ganda persamaan (6) dapat ditulis sebagai pendekatan diskrit untuk turunan pertama orde ( ) menjadi
dan syarat batas (13)
Persamaan (11) merupakan formula Backward Difference yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. b. Metode Forward Persamaan Panas
Difference
untuk
Subtitusi persamaan (7) dan persamaan (9) ke persamaan panas pada persamaan (1), sehingga diperoleh (14)
|
(7)
Dan formula Central Difference turunan kedua orde ( ) sebagai berikut : (
serta Memisalkan diperoleh (
)
(
) (
, maka akan
(
)
(
)
(8)
)
( dimana pemotongan yang
). Karena galat diabaikan yaitu
( ), pendekatan diskrit untuk persamaan (8) yaitu |
Difference
, ( )
(16)
(17)
untuk
Dengan mensubtitusi persamaan (5) dan persamaan (9) ke persamaan panas pada persamaan (1), diperoleh (10)
untuk dengan syarat awal
(15)
dan syarat batas
(9)
a. Metode Backward Persamaan Panas
serta Memisalkan diperoleh (
untuk dengan syarat awal
)
Persamaan (15) merupakan formula metode Forward Difference yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL a. Metode Backward Difference Interval untuk Persamaan Panas
, maka akan
Perhatikan persamaan (4) dan (8), karena galat pemotongan akan dirubah kedalam bentuk interval maka perlu (11) didapatkan interval yang memuat
)
(
, ( )
48| Semirata 2013 FMIPA Unila
(12)
) dan ( ( ) dan ( persamaan (1) diperoleh
), dengan ). Dari
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
(
)
(
)
(18)
(
)
(
)
(19)
Dan
Persamaan (24) merupakan formula metode Backward Difference Interval yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. Dalam bentuk matrik, persamaan (24) dapat dituliskan sebagai berikut ( )
Dengan mengasumsikan |
(
)|
(20)
(
)
(27)
dengan
maka akan diperoleh (
,
)
(
dengan
-
(21) [
) dan
(
,
)
-
]
(22) ( )
dengan ( ). Kemudian subtitusi persamaan (4) dan persamaan (8) ke persamaan (1) serta memisalkan akan diperoleh (
dan [
]
,
Dengan nilai
(
)
,
dimana
-,
, -)
(24) -
untuk ,dengan
-
(28)
adalah sebagai berikut
b. Metode Forward Difference Interval untuk Persamaan Panas
Perhatikan persamaan (6) dan (8), karena galat pemotongan akan dirubah kedalam bentuk interval maka perlu didapatkan interval yang memuat (
) dan ( ( ) dan ( persamaan (1) diperoleh
), dengan ). Dari
(
)
(
)
(30)
(
)
(
)
(31)
dan (25)
dan syarat batas ,
,
(29)
syarat awal (,
-
|
,
]
|
)
)
,
[
(23)
Dengan pendekatan untuk ( ) Kemudian subtitusi persamaan (21) dan (22) ke persamaan (23) maka diperoleh (
)
dan
) (
(
dengan mengasumsikan -
(26) |
(
)|
(32)
Semirata 2013 FMIPA Unila |49
Aziskhan: Metode Finite Difference Interval Untuk Menyelesaikan Persamaan Panas
sehingga diperoleh (
,
) (
dengan (
-
(33)
,
-
( (
)
(35)
)
dengan pendekatan untuk ( ) Kemudian subtitusi persamaan (33) dan (34) ke persamaan (35) maka diperoleh )
[
[ ]
]
,
-
dengan nilai
,
-
(40)
adalah sebagai berikut (41)
| |
Contoh Numerik Misalkan sebatang kawat berukuran 1 meter yang diberi aliran panas disepanjang sumbu selama detik. Bentuk umum persamaan panas, yaitu (
)
(
)
(42)
dengan syarat awal ,
,
,
dimana
dan
]
(34)
)
(
)
dan
dengan ( ). Kemudian subtitusi persamaan (6) dan (8) ke persamaan (1) serta dengan memisalkan akan diperoleh (
(
, [
) dan )
( )
)
(
)
(43)
-
-,
,
(
(36)
untuk , dengan
dan syarat batas (
)
(
)
(44)
syarat awal (,
-)
(37)
-
(38)
dan syarat batas ,
Persamaan (36) merupakan formula metode Forward Difference Interval yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. Dalam bentuk matrik, persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut ( )
(
)
(39)
dengan
[
50| Semirata 2013 FMIPA Unila
]
Permasalahan diatas akan diselesaikan secara numerik yaitu menggunakan metode Finite Difference dan metode Finite Difference Interval. Dengan memilih , , karena telah didefinisikan ( )⁄ ⁄ ( ) sehingga diperoleh ⁄ ⁄ maka diperoleh dan . Kemudian nilai untuk metode Backward Difference Interval yang diperoleh dari persamaan (29) serta untuk metode Forward Difference Interval yang diperoleh dari persamaan (41). Pada Tabel 1, kolom ( ) menyatakan solusi eksak. Kolom merupakan solusi numerik dengan metode Backward Difference. Sedangkan pada kolom , - merupakan solusi numerik dengan metode
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
BackwardDifference Interval, merupakan solusi interval atas dan merupakan interval bawah. Kolom merupakan solusi numerik yang dengan metode Forward Difference. Sedangkan kolom , - merupakan solusi numerik dengan metode Forward Difference Interval, merupakan interval atas sedangkan merupakan interval bawah. Berdasarkan Gambar 1(a) dapat dilihat bahwa metode Backward Difference dan solusi eksak berada di dalam grafik metode Backward Difference Interval, hal ini menunjukkan bahwa metode Backward Difference Interval memberikan solusi dalam bentuk interval yang memuat semua kemungkinan galat numerik. Selanjutnya berdasarkan Gambar 1(b) dapat dilihat bahwa hanya pada titik ( ) saja solusi eksak berada di dalam grafik metode Forward Difference Interval, hal ini menunjukkan nilai yang diperoleh dari hasil rumusan persamaan (41) hanya menjamin keberadaan solusi eksak di dalam solusi Forward Difference Interval pada titik ( ) saja. Untuk itu dilakukan komputasi numerik metode Forward Difference Interval dengan pengambilan nilai yang berbeda dari , pada komputasi berikut ini diambil nilai . Dari hasil eksperimen tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa Metode Finite Difference Interval mempunyai keunggulan dari Metode Finite Difference dalam memberikan solusi yang mendekati solusi sebenarnya (solusi eksak). Solusi yang diperoleh dengan Metode Finite Difference Interval yaitu dalam bentuk interval yang berisi semua kemungkinan galat numerik dengan pemilihan nilai yang tepat. KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan Penerapan analisis interval pada metode Finite Difference menghasilkan sebuah metode baru yaitu metode Finite Difference Interval yang menghasilkan solusi dalam bentuk interval. Pada komputasi numeric, dilakukan perhitungan dengan metode Finite Difference serta metode Finite Difference Interval dengan nilai M hasil rumusan pada persamaan (29) dan persamaan (41). Pada metode Backward Difference Interval memberikan solusi dalam bentuk interval yang memuat semuakemungkinan galat numerik sedangkan untuk metode Forward Difference Interval hanya memuat solusi eksak pada titik saja. Dengan pemilihan nilai yang lebih besar dari sebelumnya, diperolehlah solusi dari metode Forward Difference Interval dalambentuk interval yang memuat semuakemungkinan galat numerik.Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Finite Difference Interval mempunyai keunggulan dari metode Finite Difference dalam memberikan solusi yang mendekati solusi eksak karena metode Finite Difference Interval memberikan solusi yang memuat semua kemungkinan galat numeric dengan pemilihan nilai M yang tepat. Saran Pada Makalah ini hanya dibahas bagaimana menentukan formula dan solusi numeric metode Finite Difference dan metode Finite Difference Interval untuk menyelesaikan persamaan panas. Jika anda tertarik dengan topic ini, silahkan bahas mengenai stabilitas dari metode Finite Difference Interval untuk menyelesaikan persamaan panas. DAFTAR PUSTAKA Atkinson, K. E. 1993. Elementary Numerical Analysis. John Wiley & Sons, Inc, New York.
Semirata 2013 FMIPA Unila |51
Aziskhan: Metode Finite Difference Interval Untuk Menyelesaikan Persamaan Panas
Bartle, R. G & D. R. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, Third Edition. John Wiley & Sons, Inc, New York. Faires, JD & R. Burden. 1993. Numerical Analysis Fifth Edition. PWS Publishing Company, Boston.
Dimensional Heat Equation: 4 hal. http://para08.idi.ntnu.no/docs/submission107.pdf, 25 Desember 2011. Pk. 17.00,
Martono, K. 1999. Kalkulus. Erlangga, Bandung. Patel, V.A. 1994. Numerical Analysis. Saunders College Publishing, Orlando.
Jankowska, M. A., Marciniak, A. Sauer, T. 2006. Numerical Analysis. 2009. An Interval Finite Difference Addison Wesley, Boston. Method for Solving the OneTabel 3Solusi Numerik Dengan Menggunakan Metode Backward Differencedan metode Backward Difference Interval dengan nilai , serta solusi numerik dengan menggunakan metode Forward Difference dan metode Forward Difference Interval dengan nilai 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 10.000
( ) 0.0000 0.0955 0.1887 0.2772 0.3588 0.4317 0.4939 0.5440 0.5806 0.6030 0.6105 0.6030 0.5806 0.5440 0.4939 0.4317 0.3588 0.2772 0.1887 0.0955 0.0000
52| Semirata 2013 FMIPA Unila
0.0000 0.0957 0.1891 0.2779 0.3597 0.4328 0.4952 0.5453 0.5821 0.6045 0.6120 0.6045 0.5821 0.5453 0.4952 0.4328 0.3597 0.2779 0.1891 0.0957 0.0000
[ ] [0.0000,0.0000] [0.0949,0.0966] [0.1876,0.1907] [0.2758,0.2800] [0.3572,0.3623] [0.4299,0.4356] [0.4921,0.4982] [0.5421,0.5486] [0.5787,0.5855] [0.6011,0.6080] [0.6086,0.6155] [0.6011,0.6080] [0.5787,0.5855] [0.5421,0.5486] [0.4921,0.4982] [0.4299,0.4356] [0.3572,0.3623] [0.2758,0.2800] [0.1876,0.1907] [0.0949,0.0966] [0.0000,0.0000]
0.00000 0.09545 0.18856 0.27702 0.35866 0.43147 0.49365 0.54368 0.58032 0.60268 0.61019 0.60268 0.58032 0.54368 0.49365 0.43147 0.35866 0.27702 0.18856 0.09545 0.00000
[ ] [0.00000,0.00000] [0.09528,0.09562] [0.18825,0.18887] [0.27660,0.27744] [0.35815,0.35917] [0.43089,0.43205] [0.49303,0.49427] [0.54302,0.54434] [0.57964,0.58100] [0.60198,0.60338] [0.60949,0.61089] [0.60198,0.60338] [0.57964,0.58100] [0.54302,0.54434] [0.49303,0.49427] [0.43089,0.43205] [0.35815,0.35917] [0.27660,0.27744] [0.18825,0.18887] [0.09528,0.09562] [0.00000,0.00000]
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Gambar 3 (a) grafik solusi numerik metode backward difference interval dengan , solusi numerik metode backward difference dan solusi eksak dalam dan pada , (b) grafik solusi numerik metode forward difference interval dengan nilai , solusi numerik metode forward difference dan solusi eksak dalam dan pada .
Gambar 4 grafik solusi numerik metode forward difference dan metode forward difference interval dengan nilai serta solusi eksak dalam dan pada Dari grafik 2 terlihat bahwa solusi eksak berada di dalam grafik solusi metode forward difference interval, ini menunjukkan bahwa metode forward difference interval dengan nilai memberikan solusi yang memuat semua kemungkinan galat numerik.
Semirata 2013 FMIPA Unila |53
