Metode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas

Metode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas Imam Solekhudin1 Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, [email protected]

Abstrak. Permasalahan perpindahan panas keadaan stasioner dimodelkan dengan menggunakan persamaan Laplace. Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan ini, dengan diketehui syarat-syarat batasnya, adalah Metode Elemen Batas (MEB). Pada paper ini akan dibahas mengenai solusi numerik permasalahan tersebut dengan menggunakan MEB standar, dan membandingkan solusi-solusi numerik yang diperoleh dengan solusi analitiknya. Kata Kunci: Perpindahan panas, persamaan Laplace, Metode elemen batas.

1

Pendahuluan

Perpindahan panas pada domain R, yang dibatasi kurva C, dimodelkan dengan persaman Laplace berikut ∇2 T =

1 ∂T , K ∂t

(1)

dengan t adalah waktu, T (t, x, y) adalah temperatur (suhu), K = k/ρc adalah thermal divusiffity, k adalah konduktivitas termal, ρ adalah densitas, dan c adalah specific heat. Permasalahan yang melibatkan perpindahan panas stasioner dapat diselesaikan menggunakan metode beda hingga atau metode elemen hingga. Akan tetapi metode ini kurang fleksibel, karena titik-titik di luar grid tidak dapat ditentukan solusinya. Pada paper ini digunakan suatu metode numerik, yaitu metode elemen batas, yang merupakan alternatif selain dua metode tersebut [1,2]. Dengan menggunakan metode ini, kelemahan yang ada pada dua metode tersebut dapat ditutupi. Selanjutnya, metode ini diaplikasikan untuk menyelesaikan suatu masalah perpindahan panas stasioner, dan solusi numerik yang diperoleh dibandingkan dengan solusi analitik, untuk mengobservasi keakuratan MEB.

2

Formulasi Permasalahan dan Persamaan-persamaan Dasar

Perpindahan panas dalam suatu medium dua dimensi, dimodelkan dalam persamaan differensial parsial berikut ∂ 2T 1 ∂T ∂ 2T + = . 2 2 ∂x ∂y K ∂t

(2)

Apabila perpindahan panas telah terjadi dalam waktu yang sangat lama, atau secara matematika dituliskan sebagai t → ∞, maka distribusi temperatur 833

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya

pada medium tersebut tetap. Artinya, untuk jika diambil sebarang titik pada medium tersebut, maka suhu di titik tersebut tidak lagi mengalami perubahan. Berdasarkan fakta ini, diperoleh ∂T = 0. ∂t

(3)

Jadi Persamaan (2) dapat ditulis menjadi ∂ 2T ∂ 2T + = 0, ∂x2 ∂y 2

(4)

yang merupakan persamaan Laplace dua dimensi. Persamaan (4) dapat diselesaikan secara analitik untuk syarat-syarat batas tertentu. Untuk sebarang syarat batas, metode analitik mungkin tidak dapat diaplikasikan. Oleh karena itu, diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya. Salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang memuat persamaan Laplace adalah MEB. Berikut ini akan dituliskan mengenai penurunan MEB secara singkat. Untuk detailnya, dapat dilihat di dalam [3]. Jika T1 dan T2 solusi persamaan (4), maka T2

∂ 2 T1 ∂ 2 T1 + ∂x2 ∂y 2

∂ 2 T2 ∂ 2 T2 + ∂x2 ∂y 2

!

− T1

!

= 0,

akibatnya "

#

"

#

∂ ∂T1 ∂T2 ∂ ∂T1 ∂T2 T2 − T1 + T2 − T1 = 0. ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Menggunakan Teorema Divergensi diperoleh 0=

Z Z ( R

=

Z C

"

#

"

∂ ∂T1 ∂T2 ∂ ∂T1 ∂T2 T2 − T1 + T2 − T1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

#)

dxdy

!

∂T1 ∂T2 T2 − T1 ds(x, y) ∂n ∂n

Jadi Z C

!

∂T1 ∂T2 T2 − T1 ds(x, y) = 0. ∂n ∂n

(5)

Jika T1 = T , dengan T =

1 ln[(x − x∗ )2 + (y − y ∗ )2 ], 4π

suatu solusi fundamental persamaan Laplace dua dimensi, dan T2 = T solusi Persamaan (4) yang diinginkan, maka Persamaan (5) menjadi Z C

!

∂T ∂T T −T ds(x, y) = 0. ∂n ∂n 834

(6)

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya

Persamaan (6) tidak valid untuk (x∗ , y ∗ ) ∈ R ∪ C. Jika (x∗ , y ∗ ) ∈ R ∪ C, diperoleh ∗

∗

∗

∗

λ(x , y )T (x , y ) =

!

∂T ∂T T −T ds(x, y), ∂n ∂n

Z C

(7)

dengan λ(x∗ , y ∗ ) =

 ∗ ∗  / R∪C  0, (x , y ) ∈

, (x∗ , y ∗ ) terletak pada bagian yang smooth dari C 1, (x∗ , y ∗ ) ∈ R 1

 2

Untuk menentukan solusi Persamaan (7) dengan menggunakan MEB, batas domain didekati dengan segmen-segmen garis yang sambung menyambung, dengan ujung-ujung segmennya berada pada batas. Katakan jumlah segmen adalah N . Segmen ke n, dinotasikan dengan C (n) . Pada setiap C (n) , n = 1, 2, · · · , N , diambil titik kolokasi (x(n) , y (n) ), yang merupakan titik tengah segmen C (n) . Nilai T dan ∂T /∂n dianggap konstan, yaitu T (x, y) ≈ T (x(n) , y (n) ) = T (n) ∂T (x, y) ∂T (x, y) ≈ = τ (n) ∂n ∂n (x,y)=(x(n) ,y(n) ) Persamaan (7) dapat didekati dengan  Z N X  (i) ∗ ∗ ∗ ∗ λ(x , y )T (x , y ) = T i=1



C (i)

∂T ds(x, y) − τ (i) ∂n

Z

T ds(x, y) , 

C (i)

atau dapat ditulis ∗

∗

∗

∗

λ(x , y )T (x , y ) =

N h X

(i)

(i)

T (i) F2 − τ (i) F1

i

,

(8)

i=1

Jika (x∗ , y ∗ ) diganti dengan (x(k) , y (k) ), k = 1, 2, · · · , N , maka diperoleh suatu sistem persamaan linear (SPL) N 1 (k) X (i) (i)(x(k) ,y (k) ) T = T (i) F2 (x(k) , y (k) ) − τ (i) F1 , k = 1, 2, · · · , N. 2 i=1





(9)

Dengan menyelesaikan SPL (9), dapat diperoleh solusi pada titik-titik kolokasi. Selanjutnya dengan menggunakan solusi pada titik-titik kolokasi tersebut, dapat diperoleh solusi pada sebarang titik di R ∪ C dengan menggunakan Persamaan (8). 835

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya

3

Ekperimen Numerik

Pada bagian ini, MEB diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas steady, pada contoh berikut. Akan dicari distribusi panas pada lempengan berbentuk persegi dengan panjang sisi 1 satuan, dengan syarat batas sebagai berikut. ∂T ∂n T T ∂T ∂n

= −x, untuk 0 ≤ x ≤ 1 dan y = 0.

(10)

= y, untuk x = 1 dan 0 ≤ y ≤ 1. = x, untuk 0 ≤ x ≤ 1 dan y = 1.

(11) (12)

= −y, untuk x = 0 dan 0 ≤ y ≤ 1.

(13)

Persamaan Laplace (4) dengan Syarat-syarat batas (10) - (13) diselesaikan dengan menggunakan MEB sebagaimana diuraikan di atas. Untuk mengaplikasikan MEB, batas di dekati dengan segmen berjumlah berturut-turut 20 dan 100. Selanjutnya solusi numerik yang diperoleh dibandingkan dengan solusi analitik. Solusi analitik untuk permasalahan di atas adalah T = xy.

(14)

Solusi-solusi numerik beserta solusi analitiknya beserta galatnya ditampilkan dalam Tabel 1 dan 2 Tabel 1. Solusi numerik dan solusi eksak di beberapa titik. (x,y) (0.1,0.2) (0.1,0.4) (0.1,0.6) (0.1,0.8) (0.5,0.2) (0.5,0.4) (0.5,0.6) (0.5,0.8) (0.9,0.2) (0.9,0.4) (0.9,0.6) (0.9,0.8)

Eksak 0.02000000 0.04000000 0.06000000 0.08000000 0.10000000 0.20000000 0.30000000 0.40000000 0.18000000 0.36000000 0.54000000 0.72000000

N = 20 0.01550308 0.03795487 0.06006959 0.08305987 0.09913782 0.19946672 0.29987347 0.40011369 0.18132027 0.36021443 0.54004255 0.72021022

N = 100 0.01965687 0.03977502 0.05986484 0.07997726 0.09984013 0.19988164 0.29992470 0.39996538 0.18000124 0.35998221 0.53998613 0.71999372

Tabel 1 menunjukkan solusi analitik dan solusi numerik yang diperoleh dengan menggunakan jumlah segmen 20 dan 100. Terlihat bahwa solusi-solusi numerik yang diperoleh cukup akurat. Keakuratan solusi-solusi tersebut dapat terlihat dari galat yang diperoleh dari masing-masing solusi, yang ditampilkan di dalam Tabel 2. Berdasarkan hasil yang ditampilkan dalam Tabel 2, sesuai dengan hipotesa, bahwa jumlah segmen yang lebih besar secara umum memberikan solusi yang lebih akurat dibandingkan dengan jumlah segmen yang lebih sedikit. 836

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya Tabel 2. Error yang dihasilkan untuk N = 20 dan N = 100. (x,y) (0.1,0.2) (0.1,0.4) (0.1,0.6) (0.1,0.8) (0.5,0.2) (0.5,0.4) (0.5,0.6) (0.5,0.8) (0.9,0.2) (0.9,0.4) (0.9,0.6) (0.9,0.8)

4

N = 20 0.00449692 0.00204513 0.00006959 0.00305987 0.00086218 0.00053328 0.00012653 0.00011369 0.00132027 0.00021443 0.00004255 0.00021022

N = 100 0.00034313 0.00022498 0.00013516 0.00002274 0.00015987 0.00011836 0.00007530 0.00003462 0.00000124 0.00001779 0.00001387 0.00000628

Kesimpulan

Metode elemen batas (MEB) dapat digunakan sebagai salah satu metode numerik untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas stasioner. Solusi-solusi numerik yang diperoleh sangat bergantung pada jumlah segmen yang digunakan untuk mendekati batas pada masalah aslinya. Berdasarkan eksperimen numerik diperoleh jumlah segmen yang lebih banyak secara umum memberikan solusi yang lebih akurat.

Daftar Pustaka [1]. Brebbia, C.A., Telles, J.C.F., Wrobel L.C., Boundary Element Techniques: Theory and Applications in Engineering, Springer, Berlin, 1984. [2]. Godinho, L., Tadeu, A., Simoes, N., Study of Transient Heat Conduction in 2.5D Domains using the Boundary Element Method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 28, pp. 593-606, 2 [3]. Ang, W.T., A Beginner’s Course in Boundary Element Methods, Universal Publishers, Boca Raton, Florida, 2007.

837

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya

838