perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL
oleh ASRI SEJATI M0110009
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2015to user commit
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK Asri Sejati, 2015. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferensial Sturm-Liouville biasa dengan derivatif berorde dua diubah menjadi derivatif berorde fraksional α. Derivatif fraksional yang digunakan dideskripsikan dalam bentuk Caputo. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional didefinisikan sebagai ′
Dα [p(x)y (x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1, dengan p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), dan r(x) kontinu dalam interval [a, b], λ nilai eigen, dan y(x) fungsi eigen. Masalah Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang memenuhi syarat batas ′
α1 y(a) + β1 y (a) = 0,
′
α2 y(b) + β2 y (b) = 0,
dengan α1 , α2 , β1 , β2 merupakan konstanta riil. Penyelesaian dari masalah SturmLiouville fraksional yaitu nilai eigen λ dan fungsi eigen y yang bersesuaian dengan λ. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah SturmLiouville fraksional adalah metode transformasi diferensial fraksional (MTDF). Metode transformasi diferensial fraksional adalah metode yang didasarkan pada ekspansi deret Taylor yang mengkonstruksikan penyelesaian analitik dalam bentuk polinomial. Metode ini digunakan untuk menentukan koefisien deret Taylor dengan menyelesaikan persamaan rekursif dari persamaan diferensial yang diberikan. Dalam penelitian ini, MTDF diterapkan untuk menentukan nilai eigen dan fungsi eigen yang merupakan penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville fraksional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MTDF dapat diterapkan dengan mudah untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional. Dalam penggunaan MTDF, transformasi diferensial fraksional Y (k) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi diferensial fraksional. Selanjutnya, nilai-nilai Y (k) sampai dengan sejumlah N suku sebarang dapat digunakan untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen yang diperoleh digunakan untuk menentukan fungsi eigen y(x) yang merupakan transformasi invers diferensial dari Y (k). Fungsi eigen yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville fraksional y(x) =
n ∑
k
Y (k)(x − x0 ) β .
k=0
to user Kata kunci: metode transformasi commit diferensial fraksional, masalah Sturm-Liouville fraksional, nilai eigen, fungsi eigen
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT Asri Sejati, 2015. FRACTIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD FOR SOLVING FRACTIONAL STURM-LIOUVILLE PROBLEM. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A fractional Sturm-Liouville differential equation is an ordinary SturmLiouville differential equation in which the second order derivative is replaced by a fractional derivative of order α. The fractional derivatives are described in the Caputo sense. A Fractional Sturm-Liouville differential equation is defined as ′ Dα [p(x)y (x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1, where p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), and r(x) are continuous function in the interval [a, b], λ is eigen value, and y(x) is eigen function. A fractional Sturm-Liouville problems is fractional Sturm-Liouville differential equation which subject to the boundary conditions ′
′
α1 y(a) + β1 y (a) = 0,
α2 y(b) + β2 y (b) = 0,
with α1 , α2 , β1 , β2 is real constants. The Solution of the fractional SturmLiouville problems is the eigen values λ and eigen functions y which corresponding to the eigen values. One of the approximate method that can be used to solve the fractional Sturm-Liouville problems is the fractional differential transform method (FDTM). The FDTM is the method based on the Taylor series expansion which costructs an analytical solution in the form of a polynomial. This method is used to determine the coefficients of the Taylor series by solving recursive equation from the given differential equation. In this research, FDTM is applied for computing the eigen values and eigen functions that are the approximate solutions of the fractional Sturm-Liouville problems. The results of the research show that FDTM can be applied easily to solve fractional Sturm-Liouville problems. In the use of FDTM, the fractional differential transformation Y (k) can be determined by using the properties of the fractional differential transform. Furthermore, the values of Y (k) up to any arbitrary value of N can be used to obtain the eigen values. The obtained eigen values are used to determine the eigen functions y(x) that are the differential inverse transform of Y (k). The obtained eigen functions are the approximate solutions of fractional Sturm-Liouville problems y(x) =
n ∑
k
Y (k)(x − x0 ) β .
k=0
Keywords: fractional differential transform method, fractional Sturm-Liouville problem, eigen value, eigen function commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Kemarin hanyalah sepenggal kisah perjalanan, seburuk apapun itu, jangan sesali, mari bangkit dan berjuang untuk menyongsong hari esok yang lebih dan lebih baik lagi. Bukanlah kesulitan yang membuat kita takut, sebaliknya ketakutanlah yang membuat kita menjadi sulit, maju dan hadapi. Saat terjatuh ingatlah bahwa alasan mengapa kita jatuh adalah agar kita bisa bangkit lagi.
(Penulis)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk Kedua orangtua, kakak, dan adik-adikku tercinta, terimakasih untuk semangat dan doa yang selalu menyertai.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis bermaksud menyampaikan rasa terimakasih kepada Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Bapak Irwan Susanto, S.Si., DEA selaku Pembimbing II yang telah dengan sabar memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada teman-teman yang telah memberikan dukungan dan dorongan, serta semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, Januari 2015
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
II LANDASAN TEORI 2.1
6
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.1
Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Integral dan Derivatif Fraksional . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1.3
commit .to. user Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.4
Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . .
14
viii
perpustakaan.uns.ac.id
2.1.5 2.2
digilib.uns.ac.id
Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . . . . . .
14
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
III METODE PENELITIAN
18
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
19
4.1
Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2
Metode Transformasi Diferensial Fraksional
. . . . . . . . . . . .
20
4.3
Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
44
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
DAFTAR PUSTAKA
46
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
4.1
Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan N = 67 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan N = 69 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
35
Pendekatan dua nilai eigen pertama λ1 dan λ2 sampai dengan N = 101 suku pada Contoh 4.3.4
4.5
31
Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan N = 67 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
7 4 ,5 Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 dengan α = 21 , 35 , 10
dan
9 10
untuk N suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . . . . . .
commit to user
x
42
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
4.1
Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 , λ2 , dan λ3 untuk n = 70 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . .
4.2
Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 , λ2 , dan λ3 untuk n = 50 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . .
4.3
36
Grafik pendekatan dua fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 dan λ2 untuk n = 80 suku pada Contoh 4.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
32
Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 , λ2 , dan λ3 untuk n = 30 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . .
4.4
27
40
Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 (a), λ2 (b), dan λ3 (c) untuk n suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . .
commit to user
xi
43
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
λ
:
nilai eigen
r(x)
:
fungsi bobot
y(x)
:
fungsi eigen
k
:
konstanta suku (iterasi)
x0
:
batas bawah interval
α
:
orde derivatif fraksional (0 < α ≤ 1)
Dα
:
operator diferensial fraksional berorde α
J α = D−α
:
operator integral fraksional berorde α
Jxα0 y(x)
:
integral fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x) dengan orde α dan batas bawah x0
Dxα0 y(x)
:
derivatif fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x) dengan orde α dan batas bawah x0
D∗αx0 y(x)
:
derivatif fraksional Caputo dari fungsi y(x) dengan orde α dan batas bawah x0
Γ(z)
:
fungsi Gamma dari z
m
:
bilangan bulat positif terkecil yang lebih besar dari α
Z+
:
himpunan bilangan bulat positif
′ dy , y (x), D1 y(x) dx
:
derivatif pertama dari fungsi y(x) (α = 1)
Y (k)
:
transformasi diferensial fraksional dari fungsi y(x)
q
:
orde persamaan diferensial fraksional
β
:
orde pembagi dari α
N
:
jumlah suku pertama saat nilai eigen diperoleh
n
:
jumlah suku pertama yang diambil pada penyelesaian y(x)
2
:
tanda telah terbukti
commit to user
xii
