METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL LOTKA-VOLTERRA PUTRI TSANIYA KARIMA

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL LOTKA-VOLTERRA

PUTRI TSANIYA KARIMA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2015 Putri Tsaniya Karima NIM G54110062

ABSTRAK PUTRI TSANIYA KARIMA. Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra. Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan FAHREN BUKHARI. Dalam kehidupan nyata, banyak fenomena yang dapat dipelajari menggunakan model matematika yang biasanya dibentuk dari suatu sistem persamaan diferensial. Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial sebuah model menjadi penting. Namun tidak semua sistem persamaan diferensial dapat diperoleh penyelesaian analitiknya. Oleh karena itu diperlukan metode iteratif atau pendekatan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan diferensial tersebut. Salah satu metode iteratif yang dapat digunakan adalah metode transformasi diferensial. Metode yang dibentuk dengan ide dasar deret Taylor ini menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik dalam bentuk polinom. Pada penelitian ini, metode transformasi diferensial digunakan untuk mendapatkan pendekatan penyelesaian analitik dari model Lotka-Volterra. Hasil penelitian menunjukkan pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode transformasi diferensial cukup akurat untuk model Lotka-Volterra dalam horizon waktu yang kecil. Kata kunci: model mangsa pemangsa, Lotka-Volterra, metode transformasi diferensial

ABSTRACT PUTRI TSANIYA KARIMA. The Solution of Lotka-Volterra Model by Differential Transformation Method. Supervised by ELIS KHATIZAH and FAHREN BUKHARI. There are many phenomena that can be studied using mathematical models that are usually constructed in the form of a differential equation system. It is important to determine solution of the differential equation system. However, some solutions of differential equation system can not be obtained analytically. Therefore we need an iterative or approach method to obtain the solution of differential equation system. One of iterative methods that can be used is differential transformation method. The method that is developed with the basic idea of the Taylor series generates analytic approach solution in the form of a polynomial. In this paper, differential transformation method is used to obtain an approximate solution of Lotka-Volterra model. The results showed that the completion of an analytical approach using differential transformation method is accurate enough for Lotka-Volterra model at short time horizon. Keywords: prey and predator model, Lotka-Volterra, differential transformation method

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL LOTKA-VOLTERRA

PUTRI TSANIYA KARIMA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan sebaikbaiknya. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah metode penyelesaian sistem persamaan diferensial biasa, dengan judul Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen pembimbing I dan Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kebaikan, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Bapak Ruhiyat, SSi, MSi selaku dosen penguji yang banyak memberikan bantuan dan saran. Penghargaan tertinggi penulis berikan kepada ibunda Hj. Nenny Martini, ayahanda H. Sutarno, kakak dan adik-adik tercinta, beserta seluruh keluarga, atas kasih sayang, doa, dan dukungan yang luar biasa besar dan tak ternilai harganya. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada pejuang satu bimbingan, Arli dan Irma, serta sahabat-sahabat tercinta, Pristi, Lidya, Resty, Sifa, Intan Fitria, Riefdah, Riski, Alfi, Hanna, Andini, Atikah, Nina, dan seluruh rekan Departemen Matematika, terutama angkatan 48, atas segala bentuk dukungan selama lebih dari tiga tahun ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2015 Putri Tsaniya Karima

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

LANDASAN TEORI

2

HASIL DAN PEMBAHASAN

4

Model Lotka-Volterra

4

Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra

5

SIMPULAN

11

DAFTAR PUSTAKA

12

LAMPIRAN

13

RIWAYAT HIDUP

22

DAFTAR GAMBAR 1 Diagram alir algoritme metode transformasi diferensial untuk model Lotka-Volterra 2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b) Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4 3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica 4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica 5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica 6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica

6 9 10 20 20 21

DAFTAR LAMPIRAN 1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3, dan Kasus 4 2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra 3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0 4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode numerik built-in Mathematica 8.0

13 15 18 20

PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan nyata, banyak permasalahan yang berkaitan dengan berbagai disiplin ilmu pengetahuan seperti ilmu hayati, fisika, sosial, maupun ekonomi. Fenomena dari berbagai permasalahan ini dapat dipelajari menggunakan model matematik yang merepresentasikan kondisi nyata. Struktur model biasanya dibangun dari fungsi-fungsi yang ditulis secara matematis yang memenuhi asumsi tertentu. Beberapa model tersebut biasanya berbentuk sistem persamaan diferensial biasa, baik linear maupun taklinear. Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial dalam sebuah model menjadi penting untuk memenuhi tujuan tertentu. Sistem persamaan diferensial biasa linear umumnya dapat diselesaikan menggunakan metode analitik atau langsung seperti metode Laplace. Namun untuk sistem persamaan diferensial biasa taklinear, penyelesaian secara analitik tidak mudah dilakukan. Persamaan diferensial biasa taklinear tersebut diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu untuk selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial biasa linear. Walaupun begitu, penyelesaian analitik tidak selalu dapat diperoleh. Untuk itu, digunakan metode iteratif yang menghasilkan suatu pendekatan dari penyelesaian eksak. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat diterapkan pada persamaan taklinear tanpa linearisasi, yaitu metode transformasi diferensial. Metode yang menghasilkan pendekatan untuk solusi analitik ini awalnya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal yang linear dan taklinear pada analisis sirkuit listrik. Metode ini membangun sebuah teknik numerik semi-analitik dengan ide dasar deret Taylor untuk menghasilkan penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk polinom. Salah satu model yang berbentuk sistem persamaan diferensial biasa taklinear yang dapat diselesaikan oleh metode ini adalah model mangsa pemangsa (prey-predator). Model mangsa pemangsa terbentuk berdasarkan pada kenyataan bahwa makhluk hidup di dunia ini terdiri atas berbagai macam spesies yang membentuk sebuah populasi dan hidup berdampingan bersama-sama untuk menjaga kestabilan ekosistem. Setiap makhluk hidup saling membutuhkan dan melakukan proses interaksi satu sama lain. Proses interaksi atau hubungan yang terjadi antar individu tersebut salah satunya menimbulkan sebuah siklus yang dikenal sebagai rantai makanan, yaitu proses perpindahan energi dari sumberdaya tumbuhan ke organisme lainnya melalui jenjang makanan. Dalam siklus ini, terdapat interaksi spesies pemangsa dan mangsa, yaitu memakan dan dimakan, yang menyebabkan perubahan banyaknya populasi kedua spesies terhadap waktu. Dari perilaku sistem mangsa-pemangsa yang dinamis inilah para ahli membentuk sebuah model yang mengikuti kaidah sistem persamaan diferensial. Pada penelitian ini metode transformasi diferensial akan digunakan untuk menyelesaikan model mangsa pemangsa Lotka-Volterra. Software Scilab 5.5.0 digunakan untuk menjalankan algoritme yang dibentuk sehingga hasil penyelesaiannya lebih mudah didapatkan.

2 Tujuan Penelitian Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1. menerapkan metode transformasi diferensial untuk menentukan pendekatan penyelesaian analitik model mangsa pemangsa Lotka-Volterra, 2. menyusun program Scilab 5.5.0 untuk metode transformasi diferensial yang diterapkan pada model mangsa pemangsa Lotka-Volterra, 3. membandingkan grafik hasil penyelesaian metode transformasi diferensial dengan metode numerik built-in Mathematica 8.0.

LANDASAN TEORI Definisi 1 (sistem persamaan diferensial) Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan state variabel yang dinyatakan dengan buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu dan vektor parameter , maka sistem persamaan diferensialnya didefinisikan sebagai berikut:

atau . (Luenberger 1979) Definisi 2 (sistem persamaan diferensial taklinear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai: ̇

(1)

dengan [

] dan

[

].

Jika fungsi taklinear pada , maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial taklinear. (Braun 1983)

3 Definisi 3 (deret Taylor) Diberikan fungsi dan semua turunannya, selang . Misalkan , untuk nilai-nilai dapat diekspansi ke dalam deret Taylor:

di dalam di sekitar

dan

,

. Jika

, maka: . (Munir 2003)

Definisi 4 (metode transformasi diferensial untuk persamaan diferensial) Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk memperoleh penyelesaian analitik deret Taylor dari persamaan diferensial. Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk fungsi yang memiliki turunan pada setiap titik di persekitaran domain sebagai berikut: [

]

,

(2)

dengan merupakan fungsi asli dan merupakan fungsi transformasi. Suatu fungsi di dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu ∑

[

]

(3)

Berdasarkan Persamaan (2), maka Persamaan (3) berubah menjadi ∑ Saat

.

, diperoleh ∑

(4)

yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. (Yesilce 2010) Batiha (2015) dalam artikelnya The Solution of The Prey and Predator Problem by Differential Transformation Method menyebutkan bahwa terdapat beberapa teorema yang menunjukkan sifat operasi dasar metode transformasi diferensial. Adapun teorema-teorema tersebut adalah sebagai berikut. Teorema 1 Jika

, maka

.

4 Teorema 2 Jika Teorema 3 Jika

, maka

.

, maka

.

Teorema 4 Jika

, maka

.

Teorema 5 Jika

, maka

Teorema 6 Jika

, maka

Teorema 7 Jika

, maka

Teorema 8 Jika Teorema 9 Jika

.

{

}.

{

}.

{

, maka

, maka

}.

∑

.

Teorema 10 Jika

, maka

, dengan

adalah konstanta.

HASIL DAN PEMBAHASAN Model Lotka-Volterra Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model dasar mangsa pemangsa Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra menggambarkan sistem interaksi dua spesies yang diperkenalkan secara terpisah oleh Alfred J. Lotka dan Vito Volterra sekitar tahun 1920. Interaksi yang memberikan pengaruh terhadap banyaknya populasi dua spesies tersebut adalah rantai makanan. Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut: 1. Hanya terdapat dua spesies yaitu mangsa (prey) dan pemangsa (predator). 2. Persediaan makanan untuk mangsa cukup. 3. Persediaan makanan pemangsa bergantung pada populasi mangsa.

5 4. Populasi mangsa akan menurun pada saat terjadinya interaksi mangsa dengan pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan pertumbuhannya. 5. Populasi pemangsa akan meningkat pada saat terjadinya interaksi mangsa dan pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan pertumbuhannya. 6. Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak sehingga setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa. 7. Sepanjang terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa, habitat kedua spesies tersebut tetap dan tidak adanya perpindahan. Secara matematis, model Lotka-Volterra dinyatakan sebagai berikut: (

) (5) (

)

dan konstanta , serta dengan : banyaknya populasi mangsa pada waktu (satuan populasi), : banyaknya populasi pemangsa pada waktu (satuan populasi), : laju pertumbuhan populasi mangsa (satuan 1/waktu), : tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang berpengaruh terhadap populasi mangsa (satuan 1/(populasi.waktu)), : laju kematian alami populasi pemangsa (satuan 1/waktu), : tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang berpengaruh terhadap populasi pemangsa (satuan 1/(populasi.waktu)). Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan penyelesaian dari model LotkaVolterra menggunakan metode transformasi diferensial. Penyelesaian yang diperoleh akan menunjukkan banyaknya populasi mangsa dan pemangsa setelah terjadi interaksi di antara keduanya pada waktu tertentu. Hal ini menjadi sangat penting dalam pembahasan ilmu ekologi karena kelangsungan hidup manusia tergantung pada keseimbangan lingkungan sekitarnya. Dan keseimbangan tersebut dapat tercapai jika jumlah rata-rata spesies dari dua populasi yaitu populasi mangsa dan pemangsa yang berinteraksi satu sama lain bersesuaian dengan ukuran atau proporsinya.

Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah metode transformasi diferensial. Rumusan deret Taylor yang dijabarkan pada Definisi 4 merupakan ide awal Zhou (1986) merancang metode ini. Dengan metode ini, dihasilkan suatu polinom yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik untuk persamaan diferensial linear maupun taklinear. Khusus untuk persamaan diferensial taklinear tidak perlu pelinearan sebagaimana metode yang lazim digunakan. Alur penggunaan metode transformasi diferensial linear maupun taklinear melibatkan perhitungan yang dapat dilakukan secara manual. Langkah pertama untuk menyelesaikan model Lotka-Volterra dengan metode transformasi

6 diferensial adalah membentuk Sistem (9) menjadi dua fungsi transformasi sesuai Definisi 4, Teorema 1, Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 9. Diperoleh ∑

,

(6)

∑

.

(7)

Dengan menyubstitusi nilai awal dan serta parameter , , , dan tertentu akan diperoleh koefisien polinom hasil invers transformasi sesuai Persamaan (4). Polinom inilah yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik Sistem (5). Proses iteratif dalam menentukan koefisien polinom tersebut ada kalanya melibatkan perhitungan yang rumit dan tidak efektif sehingga perlu bantuan komputer. Oleh karena itu, penulis menyusun sebuah algoritme metode transformasi diferensial khusus untuk model Lotka-Volterra. Algoritme untuk metode ini diimplementasikan dengan membuat program dalam Scilab 5.5.0 yang hasilnya terdapat pada Lampiran 2. Adapun bagan alir algoritme metode ini adalah sebagai berikut. Mulai

Input a,b,c,d,k,x(0),y(0)

For i = 0 to k+1

For m = 1 to i

Hitung nilai f untuk perhitungan x dan y

Next m

Hitung x dan y

Buat f = 0

Next i

Print x dan y

Selesai

Gambar 1 Diagram alir algoritme metode transformasi diferensial untuk model Lotka-Volterra

7 Selanjutnya, akan dibahas empat kasus Model Lotka-Volterra yang dibedakan berdasarkan jumlah populasi awal mangsa dan pemangsa, serta laju pertumbuhan mangsa dan laju kematian alami pemangsa. Secara ringkas, keempat kasus ini dapat dibedakan atas pemilihan nilai awal dan parameter yang tertera pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai awal dan parameter untuk empat kasus model Lotka-Volterra Kasus 1 2 3 4

14 14 16 16

18 18 10 10

1 0.1 0.1 1

1 1 1 1

0.1 1 1 0.1

1 1 1 1

Kasus 1 Pada Kasus 1 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih kecil daripada jumlah populasi awal pemangsa dan laju pertumbuhan populasi mangsa lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan parameter yang bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut , , , , dan . , Merujuk pada Persamaan (6) dan Persamaan (7), fungsi transformasi yang bersesuaian dengan parameter tersebut adalah sebagai berikut: ∑

, ∑

Substitusikan nilai awal untuk ,

.

dan

, diperoleh

, , untuk

, ∑ , ∑ ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

dan seterusnya.

8 Selanjutnya berdasarkan Persamaan (4), dapat diperoleh pendekatan penyelesaian analitik Kasus 1 untuk Sistem (5) yang berbentuk polinom sebagai berikut: ∑ ∑

(8) (9)

Persamaan (8) dan Persamaan (9) tersebut dapat pula diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun penulis pada Lampiran 2. Kasus 2 Pada Kasus 2, asumsi yang digunakan sama seperti Kasus 1, yaitu jumlah populasi awal mangsa lebih kecil daripada jumlah populasi awal pemangsa. Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa pada Kasus 2 ini lebih kecil daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan parameter yang bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut , , , , dan . , Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, pendekatan penyelesaian analitik untuk Kasus 2 adalah sebagai berikut: ∑ ∑

(10) (11)

Pengerjaan manual untuk Persamaan (10) dan Persamaan (11) dapat dilihat pada Lampiran 1. Namun Persamaan (10) dan Persamaan (11) tersebut dapat pula diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun penulis pada Lampiran 2. Kasus 3 Pada Kasus 3 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih besar daripada jumlah populasi awal pemangsa, dan . Asumsi ini berbeda dengan dua kasus sebelumnya. Selanjutnya, laju pertumbuhan populasi mangsa pada Kasus 3 ini lebih kecil daripada laju kematian alami populasi pemangsa atau sama dengan Kasus 2. Dengan demikian, nilai parameter yang digunakan pada Kasus 3 sama dengan Kasus 2, yaitu , , , dan . Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut: ∑ ∑

(12) (13)

Pengerjaan manual untuk Persamaan (12) dan Persamaan (13) dapat dilihat pada Lampiran 1. Namun Persamaan (12) dan Persamaan (13) tersebut dapat pula diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun penulis pada Lampiran 2.

9 Kasus 4 Pada Kasus 4, asumsi yang digunakan sama dengan Kasus 3, yaitu jumlah populasi awal mangsa lebih besar daripada jumlah populasi awal pemangsa, dan . Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa pada Kasus 4 ini lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa, sebagaimana asumsi pada Kasus 1. Dengan demikian, nilai parameter yang digunakan pada Kasus 4 sama seperti pada Kasus 1, yaitu , , , dan . Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut: ∑ ∑

(14) (15)

Pengerjaan manual untuk Persamaan (14) dan Persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 1. Namun Persamaan (14) dan Persamaan (15) tersebut dapat pula diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun penulis pada Lampiran 2. Dengan menjalankan program yang terdapat pada Lampiran 2 dalam Scilab 5.5.0, diperoleh grafik penyelesaian Sistem (5). Grafik tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.

(a)

(c)

(b)

(d)

Gambar 2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b) Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4

10

Dari Gambar 2, terlihat bahwa semakin meningkat populasi pemangsa, maka populasi mangsa akan semakin menurun. Hal ini disebabkan adanya interaksi antara mangsa dan pemangsa. Namun hingga waktu tertentu, saat populasi mangsa hampir punah, banyaknya populasi pemangsa akan mengalami penurunan. Seiring berjalannya waktu, populasi pemangsa menuju kepunahan, sementara populasi mangsa menuju tak hingga. Berdasarkan interpretasi Gambar 2, penyelesaian model Lotka-Volterra menggunakan metode transformasi diferensial cukup realistis untuk periode pengamatan jangka pendek. Hal ini sesuai dengan realita dinamika populasi mangsa dan pemangsa. Akan tetapi, metode transformasi diferensial tidak realistis untuk penyelesaian model Lotka-Volterra dalam periode pengamatan jangka panjang. Ketidakrealistisan itu mungkin terjadi karena pada dasarnya model Lotka Volterra dibangun dari asumsi yang sangat sederhana. Model ini tidak mempertimbangkan persaingan di antara spesies yang sama, mangsa dengan mangsa yang lain, ataupun pemangsa dengan pemangsa yang lain. Akibatnya, populasi mangsa dapat tumbuh tak berhingga banyaknya tanpa batasan sumber daya, dan pemangsa memiliki tingkat konsumsi yang tak terbatas pula (VPISU 1996). Selanjutnya, grafik penyelesaian model Lotka-Volterra dengan metode transformasi diferensial akan dibandingkan dengan grafik hasil komputasi metode numerik built-in Mathematica. Metode numerik built-in Mathematica tersebut dapat dilihat pada Lampiran 3. Untuk perbandingan kedua metode ini, penulis akan mengambil Kasus 1 dengan derajat polinom hingga pada penyelesaian menggunakan metode transformasi diferensial. Adapun perbandingan kedua metode untuk Kasus 2, Kasus 3, dan Kasus 4 terdapat pada Lampiran 4. Perbandingan grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi diferensial dan metode numerik built-in Mathematica dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4. x 50

Pemangsa (Mathematica) Mangsa (Mathematica) Pemangsa (MTD) Mangsa (MTD)

40 30 20 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

t

10 20

Gambar 3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica

11 Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa setelah waktu terdapat simpangan yang besar antara hasil penyelesaian metode transformasi diferensial dengan metode numerik built-in Mathematica. Hal ini menunjukkan bahwa metode transformasi diferensial merupakan metode yang bias untuk periode pengamatan jangka panjang.

SIMPULAN Sistem persamaan diferensial taklinear seperti model mangsa pemangsa Lotka-Volterra dapat diselesaikan menggunakan metode transformasi diferensial. Pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode ini berupa fungsi polinom. Tanpa perlu proses linearisasi, penyelesaian dari sistem persamaan diferensial taklinear didapatkan secara sederhana. Namun terdapat simpangan yang besar antara hasil penyelesaian menggunakan metode transformasi diferensial dengan metode numerik built-in Mathematica dalam horizon waktu yang besar. Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra telah berhasil dibuat. Dengan konstruksi algoritme yang disusun dalam karya ilmiah ini, pencarian solusi dari model Lotka-Volterra menggunakan metode transformasi diferensial menjadi sangat mudah dan praktis.

12

DAFTAR PUSTAKA Batiha B. 2015. The solution of the prey and predator problem by differential transformation method. International Journal of Basic and Applied Sciences. 4(1):36-43. doi: 10.14419/ijbas.v4i1.4034. Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York (US): Springer-Verlag. Luenberger DG. 1979. Introduction to Dynamic System: Theory, Models, and Applications. New York (US): John Wiley & Sons. Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika.

[VPISU] Virginia Polytechnic Institute and State University. 1996. Quantitative Population Ecology. Virginia (US): VPISU. [diunduh 2015 Mar]. Tersedia pada: https://home.comcast.net/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html. Yesilce Y. Differential transform method for free vibration analysis of a moving beam. International Journal of Structural Engineering and Mechanics. 35(5):645-658. doi: 10.12989/sem.2010.35.5.645.

13 Lampiran 1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3, dan Kasus 4  Kasus 2 Diberikan nilai awal dan parameter: , dan ; untuk

,

,

,

,

, , ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

sehingga diperoleh Persamaan 10 dan Persamaan 11.  Kasus 3 Diberikan nilai awal dan parameter: ; , dan untuk

,

,

,

, , ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

,

14 sehingga diperoleh Persamaan 12 dan Persamaan 13.  Kasus 4 Diberikan nilai awal dan parameter: ; , dan untuk

,

,

,

,

, , ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

untuk

, ∑ , ∑ ,

sehingga diperoleh Persamaan 14 dan Persamaan 15.

15 Lampiran 2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra //------------------------------------------------------------------------------------------------// Model Lotka-Volterra // dx/dt = x(a-by) // dy/dt = -y(c-dx) // akan menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik // x(t) = x(0) + x(1)*t + x(2)*t^2 + ... // y(t) = y(0) + y(1)*t + y(2)*t^2 + ... // menggunakan metode transformasi diferensial. //------------------------------------------------------------------------------------------------// Input: // a,b,c,d = berupa bilangan real positif // x0, y0 = nilai awal, berupa bilangan real positif // Input tambahan: // k = banyaknya iterasi //------------------------------------------------------------------------------------------------// program dimulai dengan memasukkan input clear mprintf("\n Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra") mprintf("\n Model Umum : dy/dt = -y(c-dx) & dx/dt = x(a-by)") mprintf("\n Silakan masukkan terlebih dahulu input yang dibutuhkan \n") a = input(" Nilai laju pertumbuhan mangsa = "); b = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap populasi mangsa = "); c = input(" Nilai laju kematian alami pemangsa = "); d = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap populasi pemangsa = "); x0 = input(" Nilai awal untuk x = "); y0 = input(" Nilai awal untuk y = "); k = input(" Banyaknya iterasi = "); // kemudian dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan hasil penyelesaian if k < 0 & a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0 error('Periksa kembali nilai k, nilai parameter, dan nilai awal') elseif k < 0 then error('Maaf nilai k yang anda input tidak memenuhi syarat, silakan diulang kembali program ini.') elseif a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0 then error('Input tidak boleh bernilai nol, silakan diulang kembali program ini.')

16 else x = [x0]; y = [y0]; f = 0; for i = 1:k+1 for m = 1:i f = f+(x(m)*y(i-m+1)); end x = [x (a*x(i)-(b*f))/i]; y = [y ((-1*c*y(i))+d*f)/i]; f = 0; end xt = poly(x,'t','coeff'); yt = poly(y,'t','coeff'); disp(xt,'Bentuk polinom dari solusi x pada sistem tersebut adalah') disp(yt,'Bentuk polinom dari solusi y pada sistem tersebut adalah') // untuk lebih lengkap, dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan grafik mprintf("\n Apakah anda ingin lanjut membuat plot dari sistem di atas?") mprintf("\n Pilih : 1 atau 0") mprintf("\n 1 : Ya") mprintf("\n 0 : Tidak") answer = input(" Jawab : "); if isempty(answer) then error('Tidak ada jawaban.') elseif answer ~= 1 & answer ~= 0 then error('Jawaban harus berupa bilangan 1 atau 0.') elseif answer == 0 then mprintf(" Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.") elseif answer == 1 then t = [0:0.01:0.2]; //selang t ini dapat diubah sesuai kebutuhan m1 = length(x); m2 = length(y); n = length(t); A = zeros(m1,n); B = zeros(m2,n); for i = 1:m1 for j = 1:n if i == 1 then A(i,j) = x(i); else A(i,j) = x(i)*(t(j)^(i-1)); end end end for i = 1:m2 for j = 1:n

17 if i == 1 then B(i,j) = y(i); else B(i,j) = y(i)*(t(j)^(i-1)); end end end grafik1 = sum(A,1); grafik2 = sum(B,1); plot(t,grafik1,'b') plot(t,grafik2,'r') legend("Mangsa","Pemangsa",5,%f); xtitle('Model Lotka-Volterra','Waktu','Populasi') mprintf("\n Diperoleh grafik hasil penyelesaian model Lotka-Volterra \n") mprintf(" menggunakan metode transformasi diferensial, dalam selang waktu t dari 0 hingga 0.2 satuan waktu. \n") //keterangan ini diubah sesuai dengan input mprintf("\n Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.\n") end end

18 Lampiran 3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0  Kasus 1

 Kasus 2

19  Kasus 3

 Kasus 4

20 Lampiran 4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode numerik built-in Mathematica 8.0  Kasus 2 Pemangsa (Mathematica) Mangsa (Mathematica) Pemangsa (MTD) Mangsa (MTD)

Gambar 4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica

 Kasus 3 Pemangsa (Mathematica) Mangsa (Mathematica) Pemangsa (MTD) Mangsa (MTD)

Gambar 5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica

21  Kasus 4 Pemangsa (Mathematica) Mangsa (Mathematica) Pemangsa (MTD) Mangsa (MTD)

Gambar 6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi ( dan metode numerik built-in Mathematica

22

RIWAYAT HIDUP Putri Tsaniya Karima dilahirkan di Bogor pada tanggal 5 Juni 1995 dari pasangan Ir H. Sutarno, MSc dan Hj. Nenny Martini, SPdI. Penulis merupakan anak kedua dari lima bersaudara. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Insan Kamil Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Selama menempuh studi S1 di Departemen Matematika, penulis aktif di berbagai kegiataan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Staf Dewan Gedung Gedung A2 Asrama Tingkat Persiapan Bersama (TPB) 20112012, Staf Departemen Internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA) 2012-2013, dan Staf Departemen Infokom Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) 2013-2014. Selain itu, penulis aktif mengikuti beberapa kepanitiaan, antara lain sebagai Staf Divisi Sponsorship IPB’s Dedication for Education (IDEA) 2012, Staf Divisi Acara Mathematics Camp 2012, Staf Divisi Sponsorship Explo Science 2013, Staf Divisi Sponsorship Pesta Sains Nasional (PSN) 2013, Staf Divisi Sponsorship The 3rd IPB Mathematics Challenge (IMC) 2014, dan Ketua Divisi Kesekretariatan PSN 2014. Penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik pada semester ganjil tahun akademik 2014-2015.