2. Fungsi Bessel
2.1. Persamaan Diferensial Bessel 2.2. Sifat-sifat Fungsi Bessel 2.3. Fungsi-fungsi Hankel, Bessel Orde-fraksional, Bessel Sferis
Penggunaan Fungsi Bessel
Mencari solusi separasi variabel dari persamaan Laplace dan Helmholtz dalam koordinat silinder dan sferis Khususnya penting dalam berbagai problem seperti propagasi gelombang, potensial statik dan sebagainya.
Contoh dalam koordinat Silinder: - Electromagnetic waves in a cylindrical waveguide - Heat conduction in a cylindrical object. - Modes of vibration of a thin circular (or annular) artificial membrane. - Diffusion problems on a lattice.
Useful properties for other problems, such as signal processing (e.g., see FM synthesis, Kaiser window, or Bessel filter).
Persamaan Diferensial Bessel
Fungsi Bessel, pertama kali didefinisikan oleh seorang ahli Matematik Daniel Bernoulli dan diperluas oleh Friedrich Bessel, merupakan solusi persamaan diferensial: (2.1)
untuk α real atau kompleks. Kasus paling umum apabila α adalah bilangan bulat n.
Fungsi generator Lihat fungsi dengan 2 variabel:
g ( x, t ) = e ( x / 2 )(t −1/ t )
(2.2)
Ekspansikan berdasarkan deret Laurent akan didapat:
e ( x / 2 )(t −1/ t ) =
n =∞
n J ( x ) t ∑ n
n = −∞
(2.3)
Jn(x) yang merupakan koefisien tn adalah fungsi Bessel jenis pertama dari orde bilangan bulat n.
e ( x / 2 )(t −1/ t ) =
n =∞
n J ( x ) t ∑ n
n = −∞
e ( x / 2 )(t −1/ t ) = e xt / 2 e − x / 2t
−s x t ⎛ x⎞ t ⎛ ⎞ = ∑ ⎜ ⎟ ∑ (−1) s ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ s! r = 0 ⎝ 2 ⎠ r! s = 0 r
∞
r ∞
s
Untuk suatu s tertentu, kita dapatkan tn (n≥0) dari:
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
n+ s
n+ s
−s t x t ⎛ ⎞ (−1) s ⎜ ⎟ (n + s )! ⎝ 2 ⎠ s! s
Sehingga koefisien tn menjadi:
(−1) ⎛ x ⎞ J n ( x) = ∑ ⎜ ⎟ s = 0 s!( n + s )! ⎝ 2 ⎠ ∞
s
n+2 s
(2.4)
Kalau n < 0:
(−1) ⎛ x⎞ J − n ( x) = ∑ ⎜ ⎟ s = 0 s!( − n + s )! ⎝ 2 ⎠ ∞
s
− n+2 s
Karena (s – n)! Æ ∞ kalau s=0,1,2,…(n-1); maka: s+n
(−1) ⎛ x⎞ J − n ( x) = ∑ ⎜ ⎟ s = 0 s!( n + s )! ⎝ 2 ⎠ ∞
n+2 s
Sehingga dapat disimpulkan: J-n(x)= (-1)n Jn(x) untuk n bilangan bulat
(2.5)
Kembali ke fungsi generator:
g ( x, t ) = e ( x / 2 )(t −1/ t ) =
n =∞
n J ( x ) t ∑ n
n = −∞
Bila kita diferensialkan secara parsial terhadap t, maka:
∂ 1 1 ( x / 2 )(t −1/ t ) g ( x, t ) = x(1 + 2 )e ∂t 2 t =
n =∞
∑ nJ
n = −∞
n
( x)t
n −1
Digabung akan diperoleh (misal untuk koefisien tn-1): 2n Jn(x) Jn-1(x) + Jn+1(x) = x
(2.6)
2n Jn-1(x) + Jn+1(x) = Jn(x) disebut x
Persamaan dengan persamaan rekursi.
Disini apabila J0 dan J1 diketahui maka J2 dapat dicari, dan seterusnya. Hal ini sangat bermanfaat, khususnya kalau kita menggunakan komputer digital.
Kalau fungsi generator kita diferensialkan terhadap x, kita dapatkan:
∂ 1 1 ( x / 2 )(t −1/ t ) n =∞ n g ( x, t ) = (t − )e = ∑ J 'n ( x)t ∂x 2 t n = −∞ Kita dapatkan hubungan rekursi: Jn-1(x) − Jn+1(x) = 2J’n(x)
Kasus spesial untuk hal ini: J’0(x) = - J1(x)
(2.7)
Gabungan pers. (2.6) dan (2.7) menghasilkan: n Jn(x) + J’n(x) Jn-1(x) = x
(2.8)
Kalikan dengan xn dan disusun kembali menghasilkan (buktikan!) :
d n [ x J n ( x)] = x n J n −1 ( x) dx
(2.9)
Kurangi pers. (2.7) dengan (2.6) bagi 2 menghasilkan: n (2.10) J (x) = J (x) - J’ (x) n+1
x
n
n
d −n −n [ x J ( x )] = − x J n +1 ( x) Lalu buktikan: n dx
(2.11)
Persamaan (2.6) s.d. (2.11) merupakan hubungan rekursi fungsi Bessel. Selanjutnya kita akan kembali bahas persamaan differensial Bessel.
Hubungan rekursi (2.8) dapat ditulis kembali, dengan n tidak harus bilangan bulat, sebut saja ν, fungsi menjadi Zν.
xZ 'ν ( x) = xZν −1 ( x) −νZν ( x)
(2.12)
Dst. (lihat Arfken), maka akan diperoleh persamaan diferensial orde-2 yang merupakan persamaan Bessel:
x Z "ν + xZ 'ν +( x −ν ) Zν = 0 2
2
2
(2.13)
Representasi Integral Kita lihat kembali fungsi generator:
g ( x, t ) = e ( x / 2 )(t −1/ t ) =
n =∞
n J ( x ) t ∑ n
n = −∞
Substitusikan t = eiθ, akan diperoleh: eix sin θ = J0(x) + 2[J2(x) cos 2θ+J4(x) cos 4θ + …..] + 2i[J1(x) sin θ+J3(x) sin 3θ + …..]
Dalam notasi sumasi dapat ditulis: ∞
cos( x sin θ ) = J 0 ( x) + 2∑ J 2 n ( x) cos(2nθ )
(2.14)
n =1
∞
sin( x sin θ ) = 2∑ J 2 n −1 ( x) sin[(2n − 1)θ ] n =1
(2.15)
Gunakan sifat ortogonalitas sin & cos, didapat: π
⎧ J n ( x) untuk n genap cos( x sin θ ) cos nθ dθ = ⎨ ∫ π 0 untuk n ganjil ⎩ 0 1
π
⎧ 0 untuk n genap sin( x sin θ ) sin nθ dθ = ⎨ ∫ π 0 ⎩ J n ( x) untuk n ganjil 1
Kombinasikan, akan diperoleh: J n ( x) =
1
π
[cos( x sin θ ) cos nθ + sin( x sin θ ) sin nθ ]dθ ∫ π 0
=
1
π
cos(nθ − x sin θ )dθ , ∫ π
n = 0,1,2,3,4...
(2.16)
0
Kasus spesial: J 0 ( x) =
1
π
cos( x sin θ )dθ ∫ π 0
(2.17)
Contoh penggunaan di Fisika
Difraksi Fraunhofer Tabung resonansi silindris
Difraksi Fraunhofer y
r
θ
x
α
Dalam teori difraksi melalui lubang lingkaran kita dapatkan integral: a 2π
Φ ∝ ∫ ∫ e ibr sin θ rdrdθ 0 0
disini: Φ: amplitudo gelombang terdifraksi θ: sudut azimuth a: radius lubang b=
2π
λ
sin α
Sesuai dengan representasi integral, maka dapat ditulis: a
Φ ∝ 2π ∫ J 0 (br )rdr 0
Gunakan (2.11), diperoleh: 2π 2πa λa sin α ) Φ ∝ 2 J1 (ab) ∝ J1 ( sin α λ b
Intensitas difraksi: 2πa ⎡ λa ⎤ 2 J1 ( sin α )⎥ Φ ∝⎢ λ ⎣ sin α ⎦
2
Titik nol pertama J1(x) terjadi pada x=3,8317, sehingga gelap pertama pola difraksi pada: 2πa sin α = 3,8317 λ
Soal latihan 1. Tunjukkan bahwa: ∞
a ). cos( x) = J 0 ( x) + 2∑ (−1) n J 2 n ( x) n =1
∞
b). sin( x) = 2∑ (−1) n +1 J 2 n −1 ( x) n =1
2. Buktikan bahwa: sin x = x
π /2
∫J 0
0
( x cos θ ) cos θ dθ
3.Tunjukkan bahwa: J 0 ( x) =
2
1
π∫
cos xt 1− t 2
0
dt
4. Turunkan persamaan ini: n
⎛ d ⎞ J n ( x) = (−1) x ⎜ ⎟ J 0 ( x) ⎝ xdx ⎠ n
n
(petunjuk: gunakan induksi matematik)
Pelajari sendiri tentang ortogonalitas fungsi Bessel (Arfken p.645-648)
Sekedar pengingat tentang fungsi ortogonal It is common to use the following inner product for two functions f and g:
Here we introduce a nonnegative weight function w(x) in the definition of this inner product. We say that those functions are orthogonal if that inner product is zero:
We write the norms with respect to this inner product and the weight function as The members of a sequence { fi : i = 1, 2, 3, ... } are: - orthogonal if - orthonormal where is the Kronecker delta. In other words, any two of them are orthogonal, and the norm of each is 1 in the case of the orthonormal sequence. See in particular orthogonal polynomials.
Contoh: (buktikan!) ⎧πδ m ,n , m ≠ 0 ∫0 sin mx sin nx dx = ⎨⎩ 0 , m = 0 2π ⎧πδ m ,n , m ≠ 0 ∫0 cos mx cos nx dx = ⎨⎩ 2π , m = n = 0 2π
2π
∫ cos mx sin nx dx = 0 0
untuk semua m dan n bulat
Fungsi Neumann, Fungsi Bessel jenis kedua, Nv(x) Dari teori persamaan diferensial, karena merupakan orde dua maka persamaan Bessel mempunyai dua solusi independen. Untuk ν bukan bilangan bulat kita mempunyai dua solusi yakni Jν(x) dan J-ν(x) yang saling independen. Namun kalau ν bilangan bulat maka kedua solusi tersebut saling bergantung.
Solusi kedua dicoba sebagai berikut (kombinasi linear dari Jν(x) dan J-ν(x)):
cosνπ Jν ( x) − J −ν ( x) Nν ( x) = sinνπ
(2.18)
Ini yang disebut sebagai fungsi Neumann. Jelas tampak bahwa untuk ν bukan bilangan bulat, Nν(x) memenuhi persamaan Bessel.
Bentuk integral Fungsi Neumann Sama seperti semua fungsi Bessel, Nν(x) juga mempunyai representasi integral. Sebagai contoh untuk N0(x) kita mempunyai:
N 0 ( x) = −
2
∞
cos( x cosh t )dt ∫ π 0
2
∞
cos xt =− ∫ 2 dt 1/ 2 π 1 (t − 1)
x>0
(2.19)
Solusi umum persamaan Bessel y(x) = AJν(x) + BNν(x)
(2.20)
Hubungan Rekursi Hubungan rekursi gabungan fungsi Bessel dan fungsi Neumann sangat banyak, diantaranya dapat disebut:
2 sinνπ Jν J −ν +1 + J −ν Jν −1 = πx 2 sinνπ Jν J −ν −1 + J −ν Jν +1 = − πx 2 Jν N 'ν − J −ν Nν = πx 2 Jν Nν +1 − Jν +1 Nν = − πx
(2.21) (2.22)
(2.23) (2.24)
Aplikasi Fungsi Neumann
Coaxial Wave Guide (Arfken p.655-656)
Fungsi Hankel Definisi-definisi: Fungsi Hankel jenis 1: Hν(1)(x) =Jν(x) + i Nν(x)
(2.25)
Fungsi Hankel jenis 2: Hν(2)(x) =Jν(x) - i Nν(x)
(2.26)
Hal ini analog:
e ± iθ = cos θ ± i sin θ
Karena fungsi Hankel merupakan kombinasi linear Jν dan Nν maka memenuhi rekursi yang sama seperti: 2ν Hν −1 ( x) + Hν +1 ( x) = Hν ( x ) x
(2.27)
Hν −1 ( x) − Hν +1 ( x) = 2 H 'ν ( x)
(2.28)
Keduanya berlaku untuk Hν(1)(x) dan Hν(2)(x)
Beberapa formula Wronskian dapat dikembangkan: 4 Hν H − Hν H = iπx 2 (1) (1) Jν −1 Hν − Jν Hν −1 = iπx ( 2)
(1) ν +1
( 2) ν −1
Jν H
(1)
( 2) ν +1
− Jν −1 Hν
( 2)
2 = iπx
(2.29) (2.30) (2.31)
Pelajari sendiri Modified Bessel Function yang juga ditemui di berbagai kasus Fisika
Fungsi Bessel Sferis Ketika persamaan Helmholtz pada koordinat sferis dipisahkan, persamaan radial mempunyai bentuk: 2 dR d R 2 2 2 + 2 r + [ k r − n(n + 1)]R = 0 r 2 dr dr
(2.32)
Jelas persamaan ini bukan merupakan pers. Bessel, namun kalau kita substitusi: (2.31) Z (kr ) R(kr ) = (kr )1/ 2 Persamaan menjadi: 2 d Z dZ 2 2 2 1 2 (2.34) r r + + [ k r − ( n + 2 ) ]Z = 0 2 dr dr
Tampak bahwa Z merupakan fungsi Bessel orde n + ½. Fungsi semacam ini dilabelkan sebagai fungsi Bessel sferis dengan definisi:
jn ( x ) = nn ( x) = h ( x) = (1) n
h ( x) = ( 2) n
π 2x
π 2x
J n + 1 ( x)
(2.35)
N n + 1 ( x)
(2.36)
2
π 2x
π 2x
2
H n(1+)1 ( x) = jn ( x) + inn ( x)
(2.37)
( x) = jn ( x) − inn ( x)
(2.38)
2
H
( 2) n + 12
Dalam bentuk deret dapat dibuktikan: s ( − 1 ) ( s + n)! 2 s n n x jn ( x ) = 2 x ∑ s = 0 s!( 2 s + 2n + 1)!
(2.39)
(−1) n +1 ∞ (−1) s ( s − n)! 2 s nn ( x) = n n +1 ∑ x 2 x s =0 s!(2 s − 2n)!
(2.40)
∞
Spherical Bessel functions of 1st kind, jn(x), for n=0,1,2
Spherical Bessel functions of 2nd kind, nn(x), for n=0,1,2
Kasus khusus untuk n=0 (−1) s 2 s sin x j0 ( x ) = ∑ x = x s = 0 ( 2 s + 1)! ∞
(2.41)
Juga untuk n0 (buktikan!):
cos x (2.42) n0 = − x Dengan demikian fungsi Hankel sferis menjadi: 1 i ix (1) h0 ( x) = (sin x − i cos x) = − e (2.43) x x 1 i −ix ( 2) h0 ( x) = (sin x + i cos x) = e (2.44) x x
Hubungan rekursi: Dapat diturunkan dari deret atau dari hubungan rekursi fungsi Bessel yang sudah ada, diperoleh: 2n + 1 f n −1 ( x) + f n +1 ( x) = f n ( x) (2.45) x nf n −1 ( x) − (n + 1) f n +1 ( x) = (2n + 1) f 'n ( x) (2.46) Dan juga: d [ x n +1 f ( x)] = x n +1 f ( x) n n −1 dx d −n −n [ x f n ( x)] = − x f n +1 ( x) dx Disini fn dapat berupa jn, nn, hn(1) dan hn(2)
(2.47) (2.48)
Dari (2.48) secara cepat dapat ditunjukkan (buktikan!): sin x cos x − 2 x x 3 ⎛ 3 1⎞ j2 ( x) = ⎜ 3 − ⎟ sin x − 2 cos x x⎠ x ⎝x
(2.49)
cos x sin x − 2 x x 3 ⎛ 3 1⎞ n2 ( x) = −⎜ 3 − ⎟ cos x − 2 sin x x⎠ x ⎝x
(2.50)
j1 ( x) =
n1 ( x) = −
dan seterusnya …
Dengan induksi matematik, dapat diperoleh formula Rayleigh: n n⎛ d ⎞ jn ( x) = (−1) x ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠
n
⎛ sin x ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ x ⎠ n
⎛ d ⎞ ⎛ cos x ⎞ nn ( x) = −(−1) x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠ ⎝ x ⎠ n
(2.51)
n
Serupa untuk fungsi Hankel: (1) n n⎛ d ⎞ hn ( x) = −i (−1) x ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠
⎛ d ⎞ h ( x) = i (−1) x ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠ ( 2) n
n
n
n
n
⎛ e ix ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x ⎠
⎛e ⎜⎜ ⎝ x
−ix
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2.52)
Pelajari sendiri masalah ortogonalitas untuk fungsi Bessel sferis. ÎBanyak bermanfaat dan digunakan pada normalisasi fungsi gelombang.
Contoh penerapan di Fisika: Partikel dalam bola Di Mekanika Kuantum sering dibahas problem partikel dalam bola berjari-jari r. Untuk menjelaskan hal ini perlu fungsi gelombang ψ yang memenuhi: 2
h 2 − ∇ ψ = Eψ 2m Dengan syarat batas ψ memenuhi kondisi: (a). ψ(r≤a) bernilai tertentu (b). ψ(r>a)=0 Hal ini berkorespondensi dengan potensial (a). V = 0 untuk r≤a, dan (b). V = ∞ untuk r>a
Bagian radial R fungsi tersebut: d 2 R 2 dR ⎛ 2mE n(n + 1) ⎞ + +⎜ 2 − ⎟R = 0 2 2 dr r dr ⎝ h r ⎠
Solusi R untuk n=0 ⎛ 2mE R = Aj0 ⎜⎜ ⎝ h
⎞ ⎛ 2mE r ⎟⎟ + Bn0 ⎜⎜ ⎠ ⎝ h
Dapat dibuktikan, bahwa:
nπ h En = 2 2ma 2
2
2
⎞ r ⎟⎟ ⎠
Latihan 1. Dari hubungan rekursi, tunjukkan fungsi Bessel sferis memenuhi persamaan diferensial:
x 2 f n'' ( x) + 2 f n' ( x) + [ x 2 − n(n + 1)] f n ( x) = 0 2. Dari induksi Matematika Raleigh untuk fungsi Bessel dan Neumann sferis evaluasi j0(x), j1(x), j2(x),dan j3(x) serta n0(x), n1(x), n2(x),dan n3(x) n
⎛ d ⎞ ⎛ sin x ⎞ jn ( x) = (−1) x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠ ⎝ x ⎠ n
n
n
⎛ d ⎞ ⎛ cos x ⎞ nn ( x) = −(−1) x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xdx ⎠ ⎝ x ⎠ n
n
Ke Bab 3
