BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2

BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana A.

Kuosien Diferensi dan Derivatif 1.1 Kuosien diferensi (∆y/∆x) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. (∆y/∆x) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y = f(x) Penjelasan kuosien diferensi :


Contoh:


1.2 Derivatif Derifatif/turunan  hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi. Diferensiasi  penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol Penjelasan : Turunan fungsi = kuosien diferensinya

Contoh :

limit

dari


B.

Kaidah-kaidah Diferensial 1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5  dy/dx = 0 2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x3 dy/dx=3x3-1=3x2 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x),  dy/dx = k dv/dx


contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) =15x2 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

dy kdv / dx =− dx v2 5 dy 5(3 x 2 ) 15 x 2 contoh : y = 3 , = − 3 2 = − 6 x dx (x ) x 5.Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v =h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x 2,du/dx = 8x  v = x3 ,dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) dy dv du =u +v dx dx dx contoh : y = (4 x 2 )( x 3 ) dy dv du =u +v = (4 x 2 )(3 x 2 ) + ( x 3 )(8 x) = 12 x 4 + 8 x 4 = 20 x 4 dx dx dx maka ⇒


7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x) v

dv du −u dx dx 2 v

dy = dx 4x2 contoh : y = 3 x dv du −u v ( x 3 )(8 x ) − ( 4 x 2 )(3 x 2 ) dy dx dx = = 2 v ( x3 )2 dx maka ⇒

−4 8 x 4 − 12 x 4 −2 = = − x 4 x6 x2

8. Diferensiasi Fungsi komposit Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka : dy dy du = • dx du dx contoh : y = (4 x 3 + 5) 2 ⇒ misal : u = 4 x 3 + 5 ⇒ y = u 2 du dy = 12 x 2 , = 2u dx du dy dy du = • = 2u (12 x 2 ) = 2(4 x 3 + 5)(12 x 2 ) = 96 x 5 + 120 x 2 dx du dx


9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx) Contoh : du 3 2 3 y = (4 x + 5) , ⇒ misal : u = 4 x + 5 → = 12 x 2 dx dy du = nu n −1 • = 2(4 x 3 + 5)(12 x 2 ) = 96 x 5 + 120 x 2 dx dx 10. Diferensiasi fungsi logaritmik Jika y = alogx, maka dy 1 = dx x ln a dy 1 1 contoh : y = log 2, ⇒ = = dx x ln a 2 ln 5 5

11.Diferensiasi logaritmik

fungsi

komposit-

Jika y=alogu, dimana u=g(x), maka :

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 a

log e du • dx u dx  x −3  contoh : y = log  2 + x   ( x − 3) 5 du ( x + 2) − ( x − 3) ⇒ = = misalkan : u = ( x + 2) ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 dx dy

=

a

log e du • dx u dx log e 5 5 log e 5 log e = • = =  x − 3  ( x + 2) 2 ( x − 3)( x + 2) ( x 2 − x − 6)    x+2 dy

=

12.Diferensiasi fungsi kompositlogaritmik-berpangkat Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka : dy dy a log e du = • • dx du u dx contoh : y = (log 5 x 2 ) 3 du = 10 x dx dy  log e  = 3(log 5 x 2 ) 2  2 (10 x) dx  5x  30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6 2 2 = = (log 5 ) log e x 2 5x x

misalkan u = 5 x 2 →


13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5 14.Diferensiasi fungsi KompositLogaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka : dy 1 du = • dx u dx  x −3 contoh : y = ln   x+2 ( x − 3) 5 du ⇒ = misalkan : u = ( x + 2) dx ( x + 2) 2 5 5 dy 1 du ( x + 2) = • = • = dx u dx ( x − 3) ( x + 2) 2 ( x 2 − x − 6)

15.Diferensiasi fungsi KompositLogaritmik-Napier-berpangkat Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta ,Maka


dy dy 1 du = • • dx du u dx contoh : y = (ln 5 x 2 ) 3 du = 10 x dx 6 dy  1  = 3(ln 5 x 2 ) 2  2 (10 x) = (ln 5 x 2 ) 2 dx x  5x 

misalkan u = 5 x 2 →

16. Diferensiasi fungsi eksponensial Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a Contoh : y = 5x, dy = a x ln a = 5 x ln 5 dx Dalam hal y = e x , maka

dy = e x juga, dx

sebab ln e = 1

17.Diferensasi eksponensial

fungsi

komposit

Jika y = au dimana u = g(x), maka :

–


du dy = a u ln a dx dx Contoh : y = 93 x

2

−4

misalkan u = 3 x 2 − 4 →

du = 6x dx

2 2 dy du = a u ln a = 93 x − 4 (ln 9)(6 x) = (6 x)93 x − 4 ln 9 dx dx dy du = eu Kasus Khusus : dalam hal y = e u , maka dx dx

18. Diferensiasi fungsi kompleks Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x) Maka : dy du dv = vu v −1 • + u v • ln u • dx dx dx contoh : y = 4 x x , misalkan : u = 4 x → du / dx = 4 3

v = x 3 → dv / dx = 3x 2 dy du dv = vu v −1 • + u v • ln u • dx dx dx = ( x 3 )4 x x −1 (4) + 4 x x ln 4 x(3 x 2 ) 3

= 16 x x

3

+2

+ 12 x x

3

3

+2

ln 4 x

3+ 2

= 4 x x (4 + 3 ln 4 x)

19. Diferensiasi fungsi balikan


Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsifungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka : dy 1 = dx dy / dx contoh : x = 5 y + 0,5 y 4 dy 1 1 dy 3 = 5 + 2y → = = dx dy / dx (5 + 2 y 3 ) dx

20.Diferensiasi Implisit Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x


contoh : 4 xy 2 − x 2 + 2 y = 0, tentukan

dy dx

dy dy 2 + 4 y − 2x + 2 =0 8 xy dx dx (8 xy + 2) dy = 2 x − 4 y 2 dx dy x − 2 y2 2x − 4 y2 = = dx 8 xy + 2 4 xy + 1

C.

Hakikat Derivatif dan Diferensial ∆y ⇒ lereng dari kurva y = f(x) ∆x lim ∆y dy = ∆x → 0 ∆x dx


D. Derivatif dari Derivatif Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first derivative)


sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama , dan seterusnya. Contoh :

Derivatif pertama dan derivative kedua sangat bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan seperti menentukan posisi-posisi khusus dari kurva fungsi nonlinier.


E. Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya 1. Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.

Contoh : Tentukan apakah y = f(x)= 1/3x3– 4x2+12x -5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x=5 dan x=7. Selidiki pula untuk x= 6


F1(X) = x2-8x+12  F1(5) = 52 - 8(5) +12 = -3<0  fungsi menurun  F1(7) = 72 - 8(7) +12 = 5<0  fungsi menurun  F1(6) = 62 - 8(6) +12 = 0  fungsi berada di titik ekstrim yaitu titik minimum 2. Titik ekstrim fungsi parabolic  Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.  Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.


Contoh: y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta  Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)  y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4


3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik  Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut  Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0  Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum  Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum  Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0 Contoh : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 y’ = x2 – 6x + 8 y” = 2x – 6 Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4


 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim maksimum karena untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)  Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum karena untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) Titik belok Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik  didapatkannilai y = 3  titik belok (3,3) Jadi, fungsi kubik y =1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 berada di : Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3) Titik minimum pada koordinat (4;2,33)


Referensi :

http://rosihan.web.id

BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana

Recommend Documents