BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2

BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi A. Elastisitas Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

1.1 Elastisitas Permintaan Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga.  Rumus elastisitas permintaan

ηd= →

P dQd dP . Qd ,

Ket : Qd  fungsi permintaan , P Harga


Permintaan suatu barang dikatakan bersifat: Elastis → jika

ηd

> 0  jika harga barang

tersebut berubah sebesar presentase maka permintaan terhadapnya akan dengan persentase yang lebih besar perubahan harganya

Inelastis → jika

ηd

< 0  jika harga barang

tersebut berubah sebesar presentase maka permintaan terhadapnya akan dengan persentase yang lebih kecil perubahan harganya

Uniter

→

tertentu, berubah daripada

tertentu, berubah daripada

jika η d = 0  jika harga barang

tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang sama dengan perubahan harganya

Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang

→

Q = 25 – 3 P 2


Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Jawab : = - 6 (5) →

→η d =

(5) 25 − 3(5) 2

dQd dP

.

P Qd

=(-6P)

P 25 − 3P 2

=3

η d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .

1.2 Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga


 Rumus Elastisitas Penawaran

η s = dQ dP

s

.

P Qs

Ket : Qs  fungsi penawaran , P Harga Penawaran suatu barang dikatakan bersifat:

Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan → Q = - 200 + 7 P 2


Tentukan

elastisitas

penawarannya,

pada tingkat harga P = 10 Jawab : η s =

dQs dP

.

P Qs

= ( 14 P )

P − 200 + 7 P 2

(10) η Pada P = 10 → s = (14)(10) − 200 + (7)(10) = 2

2,8 ( elastis )

η s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.


 Rumus Elastisitas Produksi dP x η p = dx . P

Ket : Pjumlah produk yang dihasilkan (output) xjumlah faktor produksi yang digunakan (input) Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3 dP x  Jawab : η p = dx . P =

X ( 12 X – 3 X ) 6 X 2 − X 3 2

 Pada X = 3 →

η

p

=


3  ( 12 . 3 – 3 . 3 ) 6(3) 2 − (3) 3 = 1 2

 η

p

= 1 (uniter) artinya pada tingkat

penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.

B. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal 1. Biaya Marjinal Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.

dC Rumus biaya marjinal MC = TC = dQ dan MC minimum jika MCI = 0 I


Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4 Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4 Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

 Jawab = MC minimum pada MC ‘ = 0 MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 → 6 Q = 6 → Q = 1 → MC minimum MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 – 6(1)+4=6  Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.

2. Penerimaan Marjinal Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit


 Rumus penerimaan marjinal MR = TR

I

=

dR dQ dan TR maks. Jika MR = 0 Contoh : fungsi permintaan suatu barang

→

P = 16 – 2 Q Berapakah besarnya penerimaan maksimum ? Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q) = 16 Q – 2 Q 2 Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q TR akan maksimum jika MR = 0 → 16 – 4 Q = 0 →

4 Q = 16 → Q = 4

TR Maks. = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00


C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal : MU = U’ = dU / dQ Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya. Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405


D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk marginal : MP = P’ = dp/ dx Contoh: Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x – 3x2 Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3


E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial. Fungsi keuntungan ( π ) → π = TR – TC

π akan optimum jika π I = 0 π ’’ < 0 → π maksimum

= keuntungan

maksimum

π ’’

>0

→

π minimum = kerugian maksimum

Contoh : jika fungsi penerimaan Dan fungsi biaya total

→

TR = - 2 Q 2 + 1000 Q 3

2

→ TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000


Berapakah

tingkat

keuntungan

maksimum ? Jawab :

π = TR – TC =(- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000)

π = - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 Agar keuntungan maks. → π ’ = 0 →

π ’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0 - Q 2 + 38 Q – 105 = 0

( - Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0 → Q 1 = 3 dan Q 2 = 35 →

π ’’ = - 6 Q + 114

pada Q = 3

→

π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 3 ) + 114

= 96 > 0 berarti pada Q = 3

, maka kerugian akan

maksimum. pada Q = 35

→

114 = - 96 < 0

π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 35 ) +


berarti pada Q = 35 , maka keuntungan akan maksimum → π

= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 = (- 35) 3 +

57 (35) 2 – 315 (35) – 2.000 → π →

= 13.925

jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 13.925,00 pada jumlah penjualan sebanyak 35 unit.


Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk  diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial Diferensial Parsial  diferensiasi secara bagian demi bagian • Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Contoh :

y = f ( x, z )


 a ) f x ( x , z ) = y '...? b) f x ( x, z ) = 

∂y ∂x ∂y ∂z

Diferensiasi Total:

∂y ∂y dy = dx + dz ∂z ∂x Contoh:

B. Derivatif dari Derivatif Parsial Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi




C. Nilai Ekstrim



D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode : 4.1 Pengganda Lagrange


Contoh:


4.2 Kondisi Kuhn-Tucker


Referensi :

http://rosihan.web.id

BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi

Recommend Documents