DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Tujuan instruktusional khusus : Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep diferensial dan memanfaatkannya dalam melakukan analisis bisnis dan ekonomi yang berkaitan dengan masalah perubahan penentuan tingkat maksimum dan minimum.
Materi Pembahasan : 1. Elastisitas 2. Biaya Marjinal 3. Penerimaan Marjinal 4. Utilitas Marjinal 5. Produk Marjinal 6. Analisis Profit Maksimum
MATEMATIKA BISNIS
1
1. Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai:
Ey y / y dy x lim * x 0 Ex x / x dx y
Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. 1. Elastisitas Permintaan Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara
persentase
perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi puritan dinyatakan dengan Qd = f (p) maka elastisitas permintaannya :
d
%Qd EQd (Qd / Q) dQd P lim * %P EP P0 (P / P) dP Qd
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila d > 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Unitary elastis apabila d = 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada persentase perubahan harganya.
Inelastis apabila
d < 1 yang artinya jika harga barang berubah
sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
MATEMATIKA BISNIS
2
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Q d = 25 – 3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.
Qd 25 3P 2 Qd '
d
dQd 6P dP
dQd P P * 6 P * dP Qd 25 3P 2
6(5) *
5 3(elastis) 25 75
d = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukam P =5, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%. 2. Elastisitas Penawaran Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas penawarannya :
s
%Qs EQs (Qs / Q) dQs P lim * %P EP P0 (P / P) dP Qs
Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila s >1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Unitary elastis apabila s
= 1 yang artinya jika harga berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan harganya.
MATEMATIKA BISNIS
3
Inelastis apabila s
<1 yang artinya jika harga
barang
berubah
sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh : Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qs = -200 +7P² Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.
Qs '
dQs 14P dP
s
dQs P * 14P * dP Qs
14(10) *
P 200 7 P
2
10 2,8(elastis) 200 700
s = 2,8 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. 3. Elastisitas Produksi Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f (x), maka elastisitas produksinya :
p
%P EP (P / P) dP x lim * %x EX x0 (x / x) dX P
Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila
p > 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya. Unitary elastis apabila
p =1 yang artinya jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya. MATEMATIKA BISNIS
4
Inelastis apabila
p < 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya. Contoh : Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan P = 6x² - x³ Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit.
P 6x 2 x 3 P '
dP 12 x 3x 2 dx
dP x * 12 x 3x 2 * x dx P 3 (36 27) * 1(unitary elastis) 54 27
p
p = 1 berarti bahwa apabila, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebesar 1 %. 2. Biaya Marjinal Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :
MC = c' =
dC dQ
Contoh : Biaya total
: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4
Biaya Marjinal
: MC = C’ = dC/dQ = 3Q² - 6Q + 4
Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.
MATEMATIKA BISNIS
5
C = Q³ -3 Q² + 4Q + 4 MC = C’ = 3Q² - 6Q + 4 (MC)’ = C” = 6Q - 6 MC minimum jika (MC)’ = 0 (MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1 Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1 C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6
3. Penerimaan Marjinal Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :
MR R'
dR dQ
Contoh : Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka
R= 16Q- 2 Q²
Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q² Penerimaan marjinal : MR = R’ = 16 – 4Q Pada MR = 0, Q = 4 P= 16 – 2(4) = 8 R =16(4) – 2(4)² = 32
MATEMATIKA BISNIS
6
4. Utilitas Marjinal Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
MU = U' =
dU dQ
Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5 Q² MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0; Q = 9 U maks = 90(9) – 5(9)² = 810 – 405 = 405
5. Produk Marjinal Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x) dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya
MP P'
dP dX
Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³ Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x² P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108. P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ; Yakni pada X = 3
MATEMATIKA BISNIS
7
6. Analisis Profit Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena
penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya
(Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual (Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π). Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit): 1. π’ = 0 2. π’’ < 0, dimana π = R – C Contoh Diketahui:
R = – 2Q2 + 1000Q C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Ditanyakan: a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? d. Berapa harga jual per unit
pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
MATEMATIKA BISNIS
8
Penyelesaian: a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 Agar keuntungan maksimum: Syarat 1. π’ = 0 π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0 Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran) Syarat 2. π’’ < 0, Q1 = 3, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96 Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 √ Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum: C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000 C = 18.625 c. Besarnya pendapatan: R = – 2Q2 + 1000Q R = – 2.(352)+ 1000.(35) R = 32.550 d. Harga jual per unit: R = P.Q, maka P = R/Q P = 32550/35 = 930/unit e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah: π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925 atau: π=R–C π = 32.550 – 18.625 = 13.925
MATEMATIKA BISNIS
9
Latihan Diketahui: 1. R = – 26Q2 + 3300Q C = Q3 – 2Q2 + 420Q + 750 2. P = – 0,2Q + 557 C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000 3. P = – 3Q + 216 C = 0,08Q3 – 3Q2 + 120Q + 200 Ditanyakan: a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? d. Berapa harga jual per unit
pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Daftar Pustaka: 1. Dumairy. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. 1999. Yogyakarta. 2. Dowling Edward. Matematika untuk Ekonomi. 1995. Jakarta
MATEMATIKA BISNIS
10
