Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-Hasilkali Dalam Baku Hendra Gunawan Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132
[email protected]
1
Abstrak Beberapa hasil penelitian terkini tentang ruang n-hasilkali dalam, di antaranya adalah generalisasi dari ketaksamaan CauchySchwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang n-hasilkali dalam baku, akan disajikan.
2
Pendahuluan Untuk kemudahan, kita hanya akan bekerja dengan ruang hasilkali dalam real, walaupun sesungguhnya fakta-fakta yang dikemukakan di sini berlaku di ruang hasilkali dalam kompleks. Misalkan H ruang vektor real yang dilengkapi dengan hasilkali dalam h·, ·i : H × H → R, yang memenuhi (1) hx, xi ≥ 0 ∀ x ∈ H; hx, xi = 0 j.h.j. x = 0, (2) hx, yi = hy, xi ∀ x, y ∈ H, (3) hαx, yi = αhx, yi ∀ x, y ∈ H, ∀ α ∈ R, dan (4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ∀ x, y, z ∈ H. Dalam perkataan lain, (H, h·, ·i) merupakan ruang hasilkali dalam. 3
Pada (H, h·, ·i), berlaku ketaksamaan Cauchy-Schwarz: hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi. Selanjutnya, kita dapat mendefinisikan norm k·k : H → R dengan kxk := hx, xi1/2. Periksa bahwa k · k memenuhi (5) kxk ≥ 0 ∀ x ∈ H; kxk = 0 j.h.j. x = 0, (6) kαxk = |α| kxk ∀ x ∈ H, ∀ α ∈ R, dan (7) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x, y ∈ H. Ketaksamaan pada (7) dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. 4
Pada (H, h·, ·i), berlaku hukum Pythagoras: kx + yk2 = kxk2 + kyk2 asalkan hx, yi = 0, dan kesamaan polarisasi: kx + yk2 − kx − yk2 = 4hx, yi, serta hukum jajarangenjang: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2. Kesamaan terakhir merupakan ciri sebuah norm yang diperoleh dari hasilkali dalam.
5
Misalkan I suatu himpunan indeks (biasanya merupakan himpunan terhitung). Himpunan {ei : i ∈ I}, dengan ei 6= 0 ∀ i ∈ I, dikatakan ortogonal apabila hei, ej i = 0 untuk setiap i 6= j. Himpunan ortogonal {ei : i ∈ I} dikatakan ortonormal apabila keik = 1 ∀ i ∈ I. Himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} dikatakan lengkap apabila x = P i∈I hx, eiiei untuk setiap x ∈ H.
6
Jika {ei : i ∈ I} merupakan himpunan ortonormal di H, maka untuk setiap x ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel: X
hx, eii2 ≤ kxk2.
i∈I
Jika himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} lengkap, maka untuk setiap x ∈ H berlaku kesamaan Parseval: X
hx, eii2 = kxk2.
i∈I
Sebaliknya juga benar: jika kesamaan Parseval berlaku, maka {ei : i ∈ I} lengkap.
7
Ruang n-hasilkali dalam Misalkan H ruang vektor real berdimensi d ≥ n (n ≥ 2). Sebarang fungsi bernilai real h·, ·|·, . . . , ·i pada H n+1 yang memenuhi kelima sifat berikut: H1. hx1, x1|x2, . . . , xni ≥ 0; hx1, x1|x2, . . . , xni = 0 jhj x1, x2, . . . , xn bergantung linear; H2. hx1, x1|x2, . . . , xni = hxi1 , xi1 |xi2 , . . . , xin i untuk tiap permutasi (i1, . . . , in) dari (1, . . . , n); H3. hx0, x1|x2, . . . , xni = hx1, x0|x2, . . . , xni; H4. hαx0, x1|x2, . . . , xni = αhx0, x1|x2, . . . , xni, α ∈ R; 8
H5. hx0+x00, x1|x2, . . . , xni = hx0, x1|x2, . . . , xni+ hx00, x1|x2, . . . , xni, disebut n-hasilkali dalam pada H, dan pasangan (H, h·, ·|·, . . . , ·i) disebut ruang n-hasilkali dalam. Pada ruang n-hasilkali dalam (H, h·, ·|·, . . . , ·i), berlaku ketaksamaan Cauchy-Schwarz hx0, x1|x2, . . . , xni2 ≤ hx0, x0|x2, . . . , xnihx1, x1|x2, . . . , xni, dengan kesamaan dipenuhi j.h.j. linear (lihat [G1]).
x0, x1, x2, . . . , xn bergantung
8
Selanjutnya, fungsi k·, . . . , ·k yang didefinisikan pada H n oleh kx1, x2, . . . , xnk := hx1, x1|x2, . . . , xni1/2 merupakan suatu n-norm pada H, yang memenuhi keempat sifat berikut: N1. kx1, . . . , xnk ≥ 0; kx1, . . . , xnk = 0 jhj x1, . . . , xn bergantung linear; N2. kx1, . . . , xnk invarian terhadap permutasi; N3. kαx1, x2, . . . , xnk = |α| kx1, x2, . . . , xnk, α ∈ R; N4. kx0 + x1, x2, . . . , xnk ≤ kx0, x2, . . . , xnk + kx1, x2, . . . , xnk. 9
Contoh. Jika (H, h·, ·i) merupakan ruang hasilkali dalam, maka H dapat pula dilengkapi dengan n-hasilkali dalam baku hx , x i hx , x i . . . hx , xni 0 1 0 2 0 hx , x i hx , x i . . . hx , x i 2 2 2 n hx0, x1|x2, . . . , xni := 2 .. 1 . ... . .. .. . hxn, x i hxn, x i . . . hxn, xni 1 2
dan n-norm baku kx1, x2, . . . , xnk := hx1, x1|x2, . . . , xni1/2. Perhatikan bahwa kx1, . . . , xnk2 = G(x1, . . . , xn), yang merupakan determinan Gram (lihat [FRG] and [MPF]). Secara geometris, kx1, . . . , xnk menyatakan volume paralelpipedium berdimensi n yang direntang oleh x1, . . . , xn. 10
Catatan. Konsep ruang n-norm dikembangkan lebih dahulu oleh G¨ ahler pada tahun 1960-an sebagai generalisasi dari konsep panjang, luas dan volume di ruang vektor real (lihat [Ga1], [Ga2] and [Ga3]). Konsep ruang n-hasilkali dalam dikembangkan belakangan oleh Diminnie, G¨ ahler dan White [DGW1] dan [DGW2] (untuk n = 2) pada tahun 1970-an, serta Misiak [M1] (untuk n ≥ 2) pada akhir tahun 1980-an.
11
Seperti halnya ruang hasilkali dalam, ruang n-hasilkali dalam (H, h·, ·|·, . . . , ·i) mempunyai sejumlah sifat yang bagus. Selain ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita juga mempunyai kesamaan polarisasi: kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 − kx0 − x1, x2, . . . , xnk2 = 4hx0, x1|x2, . . . , xni, dan hukum jajarangenjang: kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 + kx0 − x1, x2, . . . , xnk2 = 2(kx0, x2, . . . , xnk2 + kx1, x2, . . . , xnk2), yang merupakan ciri sebuah n-norm yang diperoleh dari n-hasilkali dalam. 12
Kemudian, dari kesamaan polarisasi dan sifat (H2), kita peroleh hx0, x1|x2, . . . , xni = hx0, x1|xi2 , . . . , xin i untuk tiap permutasi (i2, . . . , in) dari (2, . . . , n). Selanjutnya, jika x0 atau x1 merupakan kombinasi linear dari x2, . . . , xn, maka hx0, x1|x2, . . . , xni = 0, dan dalam hal ini kita peroleh kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 = kx0, x2, . . . , xnk2 + kx1, x2, . . . , xnk2.
13
Sebelumnya kita telah mengetahui bahwa pada ruang hasilkali dalam (H, h·, ·i), kita dapat mendefinisikan n-hasilkali dalam baku. Sebaliknya, pada ruang n-hasilkali dalam (H, h·, ·|·, . . . , ·i), kita juga dapat mendefinisikan suatu hasilkali dalam. Persisnya, ambil sebarang himpunan bebas linear {a1, . . . , an} di H. Lalu, untuk setiap x, y ∈ H, definisikan hx, yi :=
X
hx, y|ai2 , . . . , ain i.
{i2 ,...,in}⊆{1,...,n}
Maka h·, ·i merupakan hasilkali dalam pada H. Pengamatan lebih lanjut tentang hal ini dapat dilihat di [G2] dan [G3].
14
Catatan. Walaupun ruang n-hasilkali dalam ternyata merupakan ruang hasilkali dalam, generalisasi dari ketaksamaan CauchySchwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang n-hasilkali dalam baku, yang berupa ketaksamaan/kesamaan determinantal, cukup menarik untuk dibahas. Di samping memberikan kemudahan dalam penyajian, konsep n-hasilkali dalam ternyata membuka jalan bagi penemuan baru.
15
Ketaksamaan dan kesamaan di ruang n-hasilkali dalam baku Misalkan (H, h·, ·i) ruang hasilkali dalam yang juga dilengkapi dengan n-hasilkali dalam baku h·, ·|·, . . . , ·i. Maka kita mempunyai teorema berikut tentang ketaksamaan Cauchy-Schwarz di H: Teorema 1. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz hx0, x1|x2, . . . , xni2 ≤ kx0, x2, . . . , xnk2kx1, x2, . . . , xnk2 ekivalen dengan ketaksamaan determinantal hx , x i hx , x i . . . hx , xni 0 0 0 1 0 hx , x i hx , x i . . . hx , x i 1 0 1 1 1 n . . ... . .. .. .. hxn, x i hxn, x i . . . hxn, xni 0 1
≥ 0. 16
Catatan. Kebenaran masing-masing ketaksamaan dalam Teorema 1 merupakan hal yang trivial. Untuk n = 1 atau 2, ekivalensi di antara kedua ketaksamaan tersebut mudah dilihat. Teorema 1 merupakan konsekuensi dari fakta berikut: Fakta. Setiap matriks A1 = [aij ] berukuran N × N (N ≥ 3), dengan determinan submatriks Am = [aij ]i,j=m,...,N (m = 3, . . . , N ) bernilai tak nol, mestilah memenuhi |A1||A3| = |A11||A22| − |A12||A21| dimana Aij adalah matriks (N − 1) × (N − 1) yang diperoleh dari A1 dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. (Khususnya, jika A1 simetris, maka |A1||A3| = |A11||A22| − |A12|2.) 17
Teorema 2. Jika {ek } merupakan himpunan ortonormal di H, maka untuk setiap x1, . . . , xn ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel:
he , x i he , x i k 1 k 2 X hx , x i hx , x i 2 1 2 2 . ... .. k hxn, x1i hxn, x2i hx1, x1i . . . hx1, xni ... ... ... · hxn, x1i . . . hxn, xni
2
. . . hek , xni . . . hx2, xni ... ... . . . hxn, xni
≤
hx2, x2i . . . hx2, xni ... ... ... . hxn, x2i . . . hxn, xni
(1)
Jika, sebagai tambahan, {ek } lengkap, maka kesamaan berlaku.
18
Catatan. Untuk n = 1, ruas kanan disepakati terdiri dari suku pertama saja: ketaksamaan di atas tak lain merupakan ketaksamaan Bessel di ruang hasilkali dalam, sementara kesamaannya dikenal sebagai kesamaan Parseval. Dengan menggunakan notasi n-hasilkali dalam baku, ketaksamaan (1) dapat dituliskan sebagai X
hek , x1|x2, . . . , xni2 ≤ kx1, x2, . . . , xnk2kx2, . . . , xnk2 n−1 ,
k
dengan k·, . . . , ·kn−1 menyatakan (n − 1)-norm baku pada H. Seperti halnya Teorema 1, Teorema 2 dapat dibuktikan pula dengan menggunakan fakta tadi. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut. 19
Sketsa Bukti Teorema 2 (untuk n ≥ 2). Pertama catat jika x1, x2, . . . , xn bergantung linear, maka kedua ruas (1) bernilai 0 dan karenanya tak ada yang harus dibuktikan. Jadi, untuk selanjutnya asumsikan bahwa x1, x2, . . . , xn bebas linear. Untuk setiap k, tinjau (n + 1) × (n + 1) matriks simetris berikut
hek , ek i hek , x1i hx1, ek i hx1, x1i ... ... hxn, ek i hxn, x1i
. . . hek , xni . . . hx1, xni ... ... . . . hxn, xni
.
Maka, dengan menggunakan fakta tentang determinan matriks, kita mempunyai hek , x1|x2, . . . , xni2 = kek , x2, . . . , xnk2kx1, x2, . . . , xnk2− 2 kek , x1, x2, . . . , xnk2 kx , . . . , x k n n−1 . n+1 2 20
Sekarang bagi kedua ruas dengan kx1, x2, . . . , xnk2kx2, . . . , xnk2 n−1 untuk memperoleh hek , x1|x2, . . . , xni2 = 2 2 kx1, x2, . . . , xnk kx2, . . . , xnkn−1 2 kek , x2, . . . , xnk2 kek , x1, x2, . . . , xnkn+1 − . 2 kx , x , . . . , x k kx2, . . . , xnk2 n 1 2 n−1
Selanjutnya kita tinggal menunjukkan bahwa, dengan menggerakkan nilai k, jumlah dari suku-suku di ruas kanan lebih kecil daripada 1 (atau, dalam kasus di mana {ek } lengkap, sama dengan 1). Semua ini dapat dilakukan dengan bantuan intuisi geometris dari n-norm baku, proyeksi ortogonal, proses GramSchmidt, dan hukum Pythagoras, serta ketaksamaan Bessel (dan kesamaan Parseval) di ruang hasilkali dalam (lihat [G4]). 21
Rujukan [DGW1] C. Diminnie, S. G¨ ahler and A. White, “2-inner product spaces”, Demonstratio Math. 6 (1973), 525-536. [DGW2] C. Diminnie, S. G¨ ahler and A. White, “2-inner product spaces. II”, Demonstratio Math. 10 (1977), 169-188. [Ga1] S. G¨ ahler, “Lineare 2-normietre R¨ aume”, Math. Nachr. 28 (1965), 1-43. [Ga2] S. G¨ ahler, “Untersuchungen ¨ uber verallgemeinerte m-metrische R¨ aume. I”, Math. Nachr. 40 (1969), 165-189. [Ga3] S. G¨ ahler, “Untersuchungen ¨ uber verallgemeinerte m-metrische R¨ aume. II”, Math. Nachr. 40 (1969), 229-264. 22
[FRG] F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol. I, Chelsea Publ. Co., New York (1960), 247–256. [G1] H. Gunawan, “On n-inner products, n-norms, and the Cauchy-Schwarz inequality”, Sci. Math. Japon. 55 (2002), 53–60. [G2] H. Gunawan, “On n-inner product spaces”, preprint. [G3] H. Gunawan, “An inner product that makes a set of vectors orthonormal, Austral. math. Soc. Gaz. 28 (2001), 194-197. [G4] H. Gunawan, “A generalization of Bessel’s inequality and Parseval’s identity”, akan terbit di Per. Math. Hungar. [M1] A. Misiak, “n-inner product spaces”, Math. Nachr. 140 (1989), 299-319. [MPF] D.S. Mitrinovi´ c, J.E. Peˇ cari´ c and A.M. Fink, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1993), 595–603. 22
