KETAKSAMAAN OLSEN UNTUK OPERATOR RIESZ YANG DIPERUMUM
Oleh Hendra Gunawan* dan Yudi Soeharyadi Institut Teknologi Bandung Bandung, Indonesia
dipresentasikan pada Konferensi Nasional Matematika XIII, di Semarang, 24-27 Juli 2006
1
Abstrak. Ketaksamaan Olsen menyatakan bahwa operator multiplikasi yang dikenakan pada operator Riesz merupakan operator yang terbatas dari Lp ke Lp, jika diketahui multiplikatornya berada di ruang Lebesgue tertentu. Dalam seminar ini akan dibahas perluasan dari ketaksamaan ini di ruang Morrey. Lebih jauh, ketaksamaan serupa untuk operator Riesz yang diperumum di ruang Morrey yang diperumum akan dibuktikan. Hasil yang dipresentasikan dalam seminar ini merupakan hasil kerjasama dengan Eridani (Unair).
2
Ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev Untuk 0 < α < n, operator Riesz atau operator integral fraksional Iα, yang didefinisikan sebagai Z
Iαf (x) =
f (y) dy, n n−α R |x − y|
merupakan operator terbatas dari Lp(Rn) ke Lq (Rn) dengan 1/p−1/q = α/n, 1 < p < q < ∞. Persisnya, kita mempunyai ketaksamaan kIαf kq ≤ Cp,q kf kp, yang dikenal sebagai ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev ([S], h. 354).
3
Ketaksamaan H-L-S dapat dibuktikan sebagai berikut. Tulis Iαf (x) := I1(x) + I2(x) dengan Z
I1(x) :=
f (y) dy; n−α |x−y|
Z
f (y) I2(x) := dy. |x−y|>R |x − y|n−α Untuk sementara, nilai R bebas.
4
Untuk integral pertama, kita mempunyai hampiran |I1(x)| ≤ C.RαM f (x), di mana M f adalah fungsi maksimal HardyLittlewood, yang didefinisikan sebagai Z
1 M f (x) := sup |f (y)| dy. r>0 |B(x, r)| B(x,r) Lihat [G] untuk mendapatkan gagasannya. Teorema (H-L): kM f kp ≤ Cpkf kp, f ∈ Lp(Rn), 1 < p ≤ ∞.
5
Dengan ketaksamaan Holder, integral kedua memenuhi |I2(x)| ≤ C.R−n/q kf kp Dengan demikian kita peroleh |Iα(x)| ≤ C.[RαM f (x) + R−n/q kf kp]. Sekarang pilih R = R(x) sehingga RαM f (x) = R−n/q kf kp. Untuk nilai R ini, kita peroleh 1−p/q
|Iα(x)| ≤ C.[M f (x)]p/q kf kp
.
R
Selanjutnya tinggal menaksir Rn |Iα(x)|q dx, dengan menggunakan Teorema H-L untuk M f .
6
Ketaksamaan Olsen Misalkan p, q dan α seperti tadi. Maka, αp p + = 1. n q Teorema (Olsen): Jika W ∈ Ln/α, maka operator multiplikasi W.Iα, yakni f 7→ W.Iαf, terbatas di Lp(Rn), dengan kW.Iαf kp ≤ C.kW kn/αkf kp. Bukti. Gunakan ketaksamaan Holder dan ketaksamaan H-L-S. Catatan. Ketaksamaan Olsen dapat digunakan untuk mempelajari perilaku operator Schrodinger, lihat [KNS]. 7
Ketaksamaan Adams-Chiarenza-Frasca Dalam [A] dan [CF], diperlihatkan bahwa Iα juga terbatas dari ruang Morrey Lp,λ(Rn) ke Lq,λ(Rn) dengan 1/p − 1/q = α/(n − λ), 0 ≤ λ < n − αp. Ruang Morrey Lp,λ(Rn) didefinisikan sebagai himpunan semua fungsi f yang terintegralkan lokal pada Rn dengan Z
1 kf kp,λ := sup( λ |f (y)|pdy )1/p < ∞, B B r di mana supremum diambil atas semua bola B = B(a, r) di Rn dan |B| menyatakan ukuran Lebesgue dari B. Perhatikan bahwa Lp,0(Rn) = Lp(Rn). Dengan mengambil λ = 0, diperoleh kembali keterbatasan Iα dari Lp(Rn) ke Lq (Rn). 8
Teorema (C-F): kM f kp,λ ≤ Cp,λkf kp,λ. Teorema (A-C-F): kIαf kq,λ ≤ Cp,q kf kp,λ. Bukti. Gagasannya serupa dengan sebelumnya. Tulis Iαf (x) := I1(x) + I2(x) dengan Z
f (y) I1(x) := dy; n−α |x−y|
f (y) I2(x) := dy, |x−y|>R |x − y|n−α lalu taksir masing-masing integral, dan pilih R yang optimal sehingga diperoleh ketaksamaan yang diinginkan, dengan menggunakan teorema sebelumnya tentang M f . 9
Ketaksamaan Olsen di Ruang Morrey Misalkan p, q, α dan λ seperti tadi. Maka p αp + = 1. n−λ q Teorema (Olsen): Jika W ∈ L(n−λ)/α,λ, maka operator multiplikasi W.Iα, yakni f 7→ W.Iαf, terbatas di Lp,λ(Rn), dengan kW.Iαf kp,λ ≤ C.kW k(n−λ)/α,λkf kp,λ.
10
Operator Riesz yang Diperumum Untuk fungsi ρ : (0, ∞) −→ (0, ∞), definisikan operator Tρ sebagai Z
Tρf (x) :=
ρ(|x − y|) n f (y) dy. n R |x − y|
Perhatikan jika ρ(t) = tα, 0 < α < n, maka Tρ adalah operator Riesz Iα. Operator Tρ pertama kali dipelajari oleh Nakai [N2]. Untuk fungsi φ : (0, ∞) → (0, ∞) dan 1 ≤ p < ∞, kita definisikan Ã
Z
1 1 kf kp,φ := sup |f (y)|pdy B φ(B) |B| B
!1/p
dan (untuk p = ∞) 1 kf kL∞(B), B φ(B) dengan nilai supremum diambil atas semua bola buka B = B(a, r) di Rn, |B| menyatakan ukuran Lebesgue B, dan φ(B) = φ(r). kf k∞,φ := sup
11
Definisikan ruang Morrey Mp,φ = Mp,φ(Rn), for 1 ≤ p ≤ ∞, sebagai himpunan semua fungsi p f ∈ Lloc(Rn) dengan kf kp,φ < ∞. Jika φ(t) = t(λ−n)/p dengan 0 ≤ λ < n, 1 ≤ p < ∞, maka Mp,φ := Lp,λ = Lp,λ(Rn), ruang Morrey klasik. Fungsi φ diasumsikan memenuhi (*)
1 2
≤ C1. ≤ rs ≤ 2 ⇒ C1 ≤ φ(r) φ(s) 1
Fungsi φ yang memenuhi (*) dikatakan memenuhi the doubling condition (dengan konstanta pengganda C1). Jika ρ memenuhi the doubling condition, maka untuk tiap k ∈ Z dan r > 0 berlaku Z 2k+1r ρ(t) 2k r
t
dt ∼ ρ(2k r). 12
Berkenaan dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood M , kita mempunyai hasil berikut dari Nakai [N1] dan akibatnya [G]. Teorema (Nakai) Jika φ memenuhi the douR ∞ φ(t)p p, untuk bling condition dan r dt ≤ Cφ(r) t r > 0 dan 1 < p < ∞, maka kM f kp,φ ≤ Cp kf kp,φ.
Teorema (Gunawan). Misalkan ρ dan φ memenuhi the doubling condition. Misalkan pula p R p φ surjective, r∞ φ(t) t dt ≤ Cφ(r) , dan φ(r)
Z r ρ(t)
dt +
Z ∞ ρ(t)φ(t)
dt ≤ Cφ(r)p/q ,
t t r untuk r > 0 dan 1 < p < q < ∞. Maka terdapat Cp,q > 0 sedemikian sehingga 0
kTρf kM
q,φp/q
≤ Cp,q kf kMp,φ
yakni, Tρ terbatas dari Mp,φ ke Mq,φp/q . 13
Akhirnya, dengan teorema tadi dan ketaksamaan Holder, kita peroleh: Teorema. Misalkan ρ dan φ memenuhi the doubling condition. Misalkan pula φ surjective, R ∞ φ(t)p p, dan dt ≤ Cφ(r) r t φ(r)
Z r ρ(t)
dt +
Z ∞ ρ(t)φ(t)
dt ≤ Cφ(r)p/q ,
t t r untuk r > 0 dan 1 < p < q < ∞. Jika W ∈ Ms,φsp , maka terdapat Cp,q > 0 sedemikian sehingga 0
kW · Tρf kMp,φ ≤ Cp,q kW kMs,φsp kf kMp,φ , dengan s := (q − p)/pq.
14
References [A] D.R. Adams, “A note on Riesz potentials”, Duke Math. J. 42 (1975), 765–778. [CF] F. Chiarenza and M. Frasca, “Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximal function”, Rend. Mat. 7 (1987), 273–279. [G] H. Gunawan, “A note on the generalized fractional integral operators”, J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) 9(1) (2003), 39–43. [KNS] K. Kurata, S. Nishigaki and S. Sugano, “Boundedness of integral operators on generalized Morrey spaces and its application to Schr¨ odinger operators”, Proc. Amer. Math. Soc. 128 (1999), 1125–1134. 15
[N1] E. Nakai, “Hardy-Littlewood maximal operator, singular integral operators, and the Riesz potentials on generalized Morrey spaces”, Math. Nachr. 166 (1994), 95–103. [N2] E. Nakai, “On generalized fractional integrals”, Taiwanese J. Math. 5 (2001), 587– 602. [S] E. M. Stein, Harmonic Analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1993.
16
