MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA

MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA

MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA

HARGA HARAPAN Definisi Misalkan X variabel random. Bila X variabel random kontinu dengan f.k.p. f (x) dan Z∞ |x|f (x)dx < ∞, −∞

maka harga harapan X adalah Z∞ E (X ) =

xf (x)dx −∞


Teorema Misalkan fungsi g 1

X variabel

random

dan Y = g (X ) untuk suatu

Andaikan X kontinu dengan f.k.p. fx (x). Bila R∞ |g (x)|fx (x)dx < ∞, maka harga harapan Y ujud dan −∞

diberikan oleh

Z∞ E (Y ) =

g (x)fx (x)dx −∞


2 Andaikan X diskret dengan f.m.p. px (x) dan misalkan penyokong X dinyatakan dengan Sx . Bila P |g (x)|px (x) < ∞, maka harga harapan Y ujud dan x∈Sx

diberikan oleh E (Y ) =

X

g (x)px (x)

x∈Sx


HARGA HARAPAN KHUSUS Definisi (Variansi) Misalkan X variabel random dengan mean µ berhingga dan sedemikian hingga E [(X − µ)2 ] berhingga. Dengan demikian, variansi X didefinisikan sebagai E [(X − µ)2 ]. Variansi X biasanya dinyatakan dengan σ 2 atau dengan Var(X ). Definisi Misalkan X variabel random sedemikian hingga untuk suatu h > 0, harga harapan e tx ujud untuk −h < t < h. Fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai fungsi M(t) = E [e tx ] untuk −h < t < h. Kita akan menggunakan singkatan f.p.m. untuk menyatakan fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random.


Teorema Misalkan X dan Y dua variabel random dengan f.p.m. masing-masing adalah Mx dan My , dan ujud dalam interval yang memuat 0. Dengan demikian, Fx (z) = Fy (z) untuk semua z ∈ R bila dan hanya bila Mx (t) = My (t) untuk setiap t ∈ (−h, h) untuk suatu h > 0. Contoh Misalkan X mempunyai f.k.p. ( 2(1 − x) f (x) = 0

0<x <1 yang lain


Dengan demikian, Z∞ E (X ) =

Z1 (x)2(1 − x)dx =

xf (x)dx = −∞

E (X 2 ) =

1 3

0

Z∞

x 2 f (x)dx =

−∞

Z1

(x 2 )2(1 − x)dx =

1 6

0

Menggunakan teorema di atas 1 1 5 E (6x + 3x 2 ) = 6 +3 = 3 6 2


Contoh Misalkan X mempunyai f.m.p.  x p(x) = 6 0

, x = 1, 2, 3 yang lain

Dengan demikian, 3

E (X ) =

3 X x=1

3

x p(x) =

3 X

x3

x=1

x 6

1 2 2 3 = 13 + 23 . + 33 6 6 6 6 98 1 16 81 = + + = 6 6 6 6


Contoh Misalkan X variabel random diskret yang mempunyai f.p.m. M(t) =

1 t 2 3 4 e + e 2t + e 3t + e 4t 10 10 10 10

untuk setiap t. Bila t mempunyai penyokong {x1 , x2 , x3 , ...} dengan f.m.p. p(x) maka X M(t) = e tx p(x) x

Ini artinya 1 t 2 3 4 e + e 2t + e 3t + e 4t 10 10 10 10 x1 t x2 t = p(x1 )e + p(x2 )e + ...


Akibatnya, 1 2 ; x2 = 2, p(x2 ) = ; 10 10 3 4 x3 = 3, p(x3 ) = ; x4 = 4, p(x4 ) = 10 10

x1 = 1, p(x1 ) =

atau p(x) =

1 , x = 1, 2, 3, 4 10


Teorema Bila X variabel random dengan fungsi pembangkit momen M(t). Maka E (X n ) = M (n) (t)|t=0 Contoh Telah diketahui bahwa deret 1 1 1 1 + + + + ... 12 22 32 42 konvergen ke

π2 6 ,

maka

6 p(x) = π 2 x 2  0  

, x = 1, 2, 3, 4 yang lain


adalah f.m.p. dari suatu variabel random diskret. Fungsi pembangkit momen dari X bila ujud diberikan oleh X M(t) = E [e tx ] = e tx p(x) =

x ∞ X x=1

6e tx π2x 2

Karena deret ini divergen untuk t > 0, maka tidak ada h > 0 sedemikian hingga M(t) ujud untuk −h < t < h. Ini menunjukkan contoh adanya distribusi yang telah mempunyai fungsi pembangkit momen.


Contoh 2 Misalkan X mempunyai f.p.m. M(t) = e t /2 , −∞ < t < ∞. Kita dapat menentukan M (n) (t) untuk setiap n untuk mencari momen. Cara lain adalah melalui ekspansi deret Mc.Laurin. 2 e t /2

2 n 1 t2 1 t2 1 t2 + + ... + + ... = 1+ 1! 2 2! 2 n! 2 t 2 (3)(1)t 4 (2n − 1)...(3)(1)t 2n = 1+ + + ... + + ... 2! 4! (2n)!

Secara umum, deret Mc. laurin dari M(t) adalah M (2) (0) 2 M (n) (0) M 1 (0) t+ t + ... + + ... 1! 2! n! E (x) E (x 2 ) 2 E (x n ) n = 1+ t+ t + ... + t + ... 1! 2! n!

M(t) = M(0) +


Jadi, koefisien

tn n!

dalam penyajian deret Mc. Laurin dari M(t)

adalah E (X n ). Oleh karena itu, untuk M(t) = e t mempunyai E (X 2n ) = (2n − 1)(2n − 3)...(3)(1) =

2/2 ,

kita

(2n)! , n = 1, 2, 3, ... 2n n!

dan E (X 2n−1 ) = 0, n = 1, 2, 3, ...


BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA Teorema Misalkan X mempunyai mean berhingga µ dan variansi σ 2 , maka untuk setiap ε > 0 P {|X − µ| > ε} 6

σ ε2

Teorema (Ketaksamaan Markov) Bila X variabel random yang menjalani harga-harga nonnegatif, maka untuk setiap a > 0 berlaku P {X > a} 6

E [X ] a


Contoh Misalkan diketahui jumlah item yang diproduksi suatu pabrik selama satu minggu merupakan variabel random dengan mean 500. Pernyataan tersebut memberi informasi bahwa bila X menyatakan jumlah item yang diproduksi minggu ini, maka dengan (X ) 500 ketaksamaan Markov P {X > 1000} 6 E1000 = 1000 = 12 . Bila variansi produksi minggu ini sama dengan 100, maka yang dapat dikatakan tentang probabilitas produksi minggu ini diantara 400 dan 600 adalah P (400 < X < 600) = P (400 − 500 < X − 500 < 600 − 500) = P (100 < X − 500 < 100) = P (|X − 500| < 100)


Dengan demikian ε = 100, sehingga σ2 1 P {|X − 500| > 100} 6 = 1002 100 Akibatnya, P {|X − 500| < 100} > 1 −

99 1 = 100 100

Ini berarti probabilitas produksi minggu ini yang terletak diantara 400 dan 600 paling sedikit 0,99.


MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA

Recommend Documents